%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Parallelogrammbedingung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Lösung $u = u(t, x)$ des charakteristischen Anfangswertproblems
für die eindimensionale Wellengleichung
\begin{equation}
	u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0.
\end{equation}
Genauer: Auf zwei sich schneidenden Charakteristiken
$$x + at = \alpha,\ x - at = \beta$$
seien die Werte der gesuchten Funktion $u$ vorgegeben:
$$u(t, \alpha - at) = f(t),\ u(t, \beta + at) = g(t)$$
mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $f, g$, so dass im Schnittpunkt der Charakteristiken
die Werte übereinstimmen.
\ben
\item Bestimmen Sie die Lösung $u$ in Abhängigkeit von den Funktionen $f$ und $g$.
\item Bestätigen Sie für $u$ die Formel
$$u(t_0, x_0) + u(t_1, x_1) = u(t_2, x_2) + u(t_3, x_3)$$
für jedes "`charakteristische Parallelogramm"', d. h. $(t_0, x_0), (t_1, x_1)$ und $(t_2, x_2), (t_3, x_3)$
sind gegenüberliegende Eckpunkte in einem Parallelogramm, dessen Seiten auf Charakteristiken
der Wellengleichung liegen.
\item Zeigen Sie umgekehrt, dass jede dreimal stetig differenzierbare Funktion $u = u(t, x)$, die
die Eigenschaft b) für alle charakteristischen Parallelogramme besitzt, eine Lösung der
Wellengleichung ist.
\een
\end{minipage}
&
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% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
