%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame
    Vielfache I
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $X~\subseteq~\Z$.\\
$n~\in~\Z$ heißt \underline{größter gemeinsamer Teiler} von $X$  ($\ggT\, X$), wenn folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $n|x$ für alle $x \in X$ und
\item $s|n$  für alle $s \in \Z$ mit $s|x$ für alle $x \in X$.
\end{itemize}
$n~\in~\Z$ heißt \underline{kleinstes gemeinsames Vielfaches} von $X$  ($\kgV\,X$), wenn folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $x|n$ für alle $x \in X$ und
\item $n|s$ für alle $s \in \Z$ mit $x|s$ für alle $x \in X$.
\end{itemize}
Mit $\GgT\, X$ ($\KgV\, X$) bezeichnen wir die Menge aller größten gemeinsamen Teiler (kleinsten gemeinsamen Vielfachen) von $X$.\\ 
Offensichtlich gilt $\GgT\, \emptyset = \GgT\, \{0\} = \{0\} = \KgV\, \Z$ und $\GgT\, \Z  = \{1,-1\} = \KgV\, \emptyset$. (Hierzu verwendet man: Wenn für $a \in \Z$ gilt $a|\pm 1$, so folgt $a =\pm 1$.)\\ 
Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] $\GgT\, X = \GgT\, \Z X$
\item[b)] Sei $I$ Ideal von $\Z$. Für $n \in \Z$ sind äquivalent:
\begin{description}
\item[(i)] $n \in \GgT\, I$
\item[(ii)] $n \in I$ und $n|m$ für alle $m \in I$
\item[(iii)] $I = \Z n$.
\end{description}
\item[c)] $\KgV\, X = \GgT\, \bigcap_{x \in X} \Z x$.
\end{description}
Insbesondere sind $\GgT\, X$ und $\KgV\, X$ für jede Teilmenge $X$ von $\Z$ nicht
leer. Weiterhin gilt für $n \in \GgT\, X$: Es gibt $a_1,\dots,a_p \in \Z$ und
$x_1,\dots, x_p \in X$ mit $n = a_1x_1 + \ldots + a_px_p$.

{\footnotesize {\it Bemerkung:} Nach dem Darstellungssatz für Ideale in $\Z$ gibt es eindeutig
  bestimmte $m,n \in \N$ mit $\Z X = \Z n$ und $\bigcap_{x \in X} \Z x = \Z
  m$. Dann gilt $\GgT X = \{n,-n\}$ und $\KgV X = \{m,-m\}$. Meist bezeichnet
  man $n$ als den größten gemeinsamen Teiler und $m$ als das kleinste
  gemeinsame Vielfache von $X$ und setzt $\ggT X := n$ sowie $\kgV X :=
  m$.}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
