%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Differenzenverfahren 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In der Vorlesung wurde zum Anfangswertproblem
\begin{equation}
	u_t +c\,u_x =0, \quad u(0,x)= f(x)
\end{equation}
mit $c \in \R, f \in C^1(\R)$ das Differenzenverfahren über einem Gitter mit den Maschenweiten $h, k > 0$ und
\begin{equation}
	\frac{v(t+k,x)-v(tx)}{k} + c\frac{v(t,x+h)-v(t,x)}{h} = 0,\qquad v(0, x)= f(x)
\end{equation}
betrachtet. Zeigen Sie für $c< 0$ die Konvergenz. Genauer: Die Differenz $w = u - v$ zwischen der exakten Lösung und der Naherungslösung geht in allen Gitterpunkten aus einer beschränkten Menge des $\R^2_+:=\{(t,x) \in \R^2 |  t \geq 0\}$ gleichmäßig mit $h,k$ gegen Null,falls $c< 0, \lambda:= k/h> 0$ fest bleibt und $\lambda c \leq 1$ gilt.\\
Hinweis:Zeigen Sie zunächst
$$|w(t+k,x)| \leq (1-\lambda|c|)\,|w(t,x)|+\lambda|c|\,|w(t,x+h)|+o(h).$$
\end{minipage}
&
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% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
