%Vorlage für Aufgabentext
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\underline{\textbf{elliptische Koordinaten
}}\\

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\ben
\item Rechnen Sie den Laplace-Operator in der Ebene auf sogenannte elliptische
Koordinaten um. Dazu werden Koordinaten $(\eta, \vp)$ im $\R^2$ eingeführt durch
$$x = c\,\cosh \eta\,\cos \vp,\ y = c\,\sinh \eta\, \sin \vp,\ c = const. > 0.$$
Welchen Kurven in der $(x; y)$-Ebene entsprechen den Linien $\eta = const.$ bzw. $\vp = const.$?
\item Sei  $\psi = \psi(x_1, x_2)$ harmonisch und $\tilde{\psi}   = \tilde{\psi} (\eta; \vp)$ entstehe aus $\psi$  durch Umrechnen auf
elliptische Koordinaten, d.h.
$$\psi(x_1, x_2) = \psi (c\,\cosh \eta\, \cos \vp,\ c\, \sinh \eta\, \sin \vp) = \tilde{\psi} (\eta, \vp).$$
Welcher Gleichung genügt dann $\tilde{\psi}$  ?
\item Es sei $G \subset \R^2$ die Ellipse
$$G := \left \{(x_1, x_2) \in \R^2\ \left|\ \frac{x^2_1}{a^2} + \frac{x^2_2}{b^2} < 1\right. \right \}, a, b > 0.$$
Bestimmen Sie unter Benutzung elliptischer Koordinaten eine Lösung $\psi = \psi(x_1, x_2)$ des folgenden äußeren Dirichletproblems:
\bea
\Delta\psi  &=& 0 \quad\mbox{in}\quad \R^2 \backslash G,\\
\psi &=& x_1 \quad\mbox{auf}\quad \partial G,\\
|\psi| &\ & \mbox{beschränkt für}\quad |x| \rightarrow \infty.
\eea
\een
\end{minipage}
&
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%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
