% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
	zu a): \\
	Sollen $y_i=y_i(x)$, $i=1,\ldots,n$ ein Fundamentalsystem bilden, dann müssen die Funktionen linear unabhängig sein. Außerdem muss es Koeffizientenfunktionen $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_{n-1}(x)$ geben, so dass die \dgls\ 
	\[ a_0 y_i + a_1 y_i' + a_2 y_i'' + \ldots + a_{n-1} y_i^{(n-1)} = -y_i^{(n)}\quad\text{für}\quad i=1,\ldots, n\]
	erfüllt sind. Man kann die Gleichungen in Form des linearen Gleichungssystems
	\[ \begin{pmatrix}
		y_1(x) & y_1'(x) &\ldots & y_1^{(n-1)}(x)\\
		y_2(x) & y_2'(x) & \ldots & y_2^{(n-1)}(x)\\
		\vdots & \vdots &  \ldots & \vdots\\
		y_n(x) & y_n'(x) &  \ldots & y_n^{(n-1)}(x)\\
	\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0(x)\\ a_1(x)\\ \vdots\\ a_{n-1}(x) \end{pmatrix} = 
	- \begin{pmatrix} y_1^{(n)}(x) \\y_1^{(n)}(x) \\\vdots\\y_1^{(n)}(x) 	\end{pmatrix}
	\]
	schreiben. Dessen Koeffizientenmatrix ist die Transponierte der Funktionalmatrix der Funktionen $y_i=y_i(x)$, $i=1,\ldots,n$ und wegen derer linearer Unabhängigkeit für alle $x$ regulär. Somit lassen sich die Koeffizientenfunktionen $a_j=a_j(x)$, $j=0,\ldots,n-1$ eindeutig bestimmen.\\
	
	zu b):\\
	Das Gleichungssystem hat die Gestalt
	\[ 
	\begin{pmatrix}
		y_1(x) & y_1'(x) &y_1''(x)\\
		y_2(x) & y_2'(x) &  y_2''(x)\\
		y_3(x) & y_3'(x) &  y_3''(x)\\
	\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0(x)\\ a_1(x)\\ a_2(x) \end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
		\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & \frac{2}{x^3}\\
		x & 1 &  0\\
		x^2 & 2 x &  2\\
	\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0(x)\\ a_1(x)\\ a_2(x) \end{pmatrix} = 
- \begin{pmatrix} -\frac{6}{x^4} \\0\\0 	\end{pmatrix}
	\]
	Ein Gauß-Algorithmus nach geeigneter Zeilenvertauschung führt zu
\[\begin{array}{ccc|c|l}
a_0 & a_1 & a_2 & &\\
&&&&\\
\hline
&&&&\\
x & 1 &  0&0 & *\\
&&&&\\
x^2 & 2 x &  2 & 0& - x \text{ mal 1. Zeile}\\
&&&&\\
\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & \frac{2}{x^3}& \frac{6}{x^4} &-\frac{1}{x^2} \text{ mal 1. Zeile}\\
&&&&\\
\hline
&&&&\\
x & 1 &  0 & 0 & \\
&&&&\\
0 &  x &  2 & 0& *\\
&&&&\\
0 & -\frac{2}{x^2} & \frac{2}{x^3}& \frac{6}{x^4} &\frac{2}{x^3} \text{ mal 2. Zeile}\\
&&&&\\
\hline
&&&&\\
x & 1 &  0 & 0 & \Rightarrow a_0(x) = -\frac{a_1(x)}{x}= \frac{2}{x^3}\\
&&&&\\
0 &  x &  2 & 0& \Rightarrow a_1(x) = -\frac{2 a_2(x)}{x}= -\frac{2}{x^2}\\
&&&&\\
0 & 0 & \frac{6}{x^3}& \frac{6}{x^4} &\Rightarrow a_2(x) = \frac{1}{x}\\
&&&&\\
\end{array}\]
	Somit erhalten wir also die \dgl
	\[ y''' + \frac{1}{x} y'' - \frac{2}{x^2} y' + \frac{2}{x^3} = 0.\]



% Ende der Lösung
