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\underline{\textbf{Beispiel für einen nicht zusammenhängenden topologischen Raum
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\textbf{Definition:} Ein topologischer Raum $(X, \tau)$ heißt \emph{zusammenhängend} genau dann, wenn keine offenen, disjunkten, nichtleeren Mengen $U, V \in \tau$ mit $X = U \cup V$ existieren.

$(X, \tau)$ heißt \emph{bogenzusammenhängend} genau dann, wenn für alle $x, y \in X$ eine stetige Abbildung $\omega : [a, b] \subset \R \to X$ mit $\omega(a) = x, \omega(b) = y$ existiert. $\omega$ heißt Weg von $x$ nach $y$.

$A \subset X$ heißt zusammenhängend (bogenzusammenhängend) genau dann, wenn $(A, \tau_A)$ zusammenhängend (bogenzusammenhängend) ist. D.~h. $A \subset X$ ist zusammenhängend, genau dann wenn
es keine offenen Mengen $U, V \subset X$ gibt, so dass
\begin{itemize}
	\item $A \subseteq U \cup V$,
	\item $A \cap (U \cap V ) = \emptyset$,
	\item $A \cap U \neq \emptyset,\ A \cap V \neq \emptyset$. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Sei $\R^2$ mit der Standardtopologie versehen. Betrachten Sie den Teilraum
$$X:= \{ (x,y)\in \R^2 \, |\,  x>0,\,  y=0\} \cup \{ (x,y)\in \R^2 \, |\, x>0, \, y=\frac{1}{x}\}$$
versehen mit der Relativtopologie. Ist $X$ zusammenhängend? Ist $X$ wegzusammenhängend?
\item Zeigen Sie, dass die zusammenhängenden Mengen von $\R$ gerade die Intervalle sind.
\end{enumerate}

\end{minipage}
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