%Vorlage für Aufgabentext
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\underline{\textbf{Bernoullische \dgl
}}\\

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Es seien $f_0, f_1$ stetige reelle Funktionen in einem Intervall $(a, b)$ und $\alpha \in \R$.
Dann heißt die Differentialgleichung
\[ y' = f_0(x)y^\alpha + f_1(x)y\]
eine Bernoullische Differentialgleichung. Für $\alpha = 0$ entsteht eine inhomogene lineare und
für $\alpha = 1$ eine homogene lineare Differentialgleichung, die nach Rezept gelöst werden
können.
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass im Fall $\alpha \neq 1$ und $y > 0$ durch die Substitution $z = y^{1-\alpha}$ 
eine lineare Differentialgleichung für $z$ entsteht.
\item Beweisen Sie folgenden Satz: Sind $f_0,  f_1$ in $(a, b)$ stetig und $\alpha \in \R \setminus \set{1}$, dann besitzt
das Anfangswertproblem
\[ y' = f_0(x)y^\alpha + f_1(x)y, \quad y(x_0)= y_0,\quad x_0 \in (a, b),\quad y_0>0\]
eine eindeutig bestimmte Lösung in einer Umgebung von $x_0$. Ist $\alpha \in \Z \setminus \set{1}$, dann gilt
das auch für $y_0 < 0$.
\item Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\[ 4y'\, \sin x =  -y\,\rkl{1 + y^4} + y^5\,\cos x.\]
\end{enumerate}

\end{minipage}
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%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
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\end{tabular}
}
