%Vorlage für Aufgabentext
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\underline{\textbf{Definition und Eigenschaften von $C(R)$
}}\\

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Sei $R$ ein Ring. In $R^2 = R\times R$ führen wir zwei zweistellige Operationen $+$ und $\cdot$ ein, indem wir für alle $(r_1,r_2), (s_1,s_2) \in R\times R$ setzen
\begin{eqnarray*}
(r_1,r_2) + (s_1,s_2) &:=& (r_1 + s_1,r_2 + s_2)~\mbox{ und}\\
(r_1,r_2)\cdot (s_1,s_2) &:=& (r_1s_1- r_2s_2, r_1s_2 + r_2s_1).
\end{eqnarray*}
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item $(R^2, +, \cdot)$ ein Ring ist, der genau dann kommutativ ist, wenn $R$ es ist. Man bezeichnet ihn mit $C(R)$.
	\item $C(R)$ besitzt ein Einselement genau dann, wenn $R$ ein Einselement besitzt.
  \item Identifiziert man $x \in R$ mit $(x,0_R) \in C(R)$, so ist $R$ Unterring von $C(R)$. 
  (Damit darf man z. B. $0_{C(R)} = 0_R$ setzen usw.)
  \item Sei $R$ kommutativ. Definiert man für $u := (a,b) \in C(R)$ die \underline{Norm} von $u$ durch $R \ni N(u) := a^2 + b^2$ ($=(a,b)(a,-b)$ wegen der in c) definierten Identifizierung), so gilt $N(uv) = N(u)N(v)$ für alle $u, v \in C(R)$.
  \item Sei $R$ kommutativ. Für $u \in C(R)$ gilt $u \in C(R)^*$ genau dann, wenn $N(u) \in R^*$\footnote{Für einen Ring $R$ bezeichnet $R^*$ die Teilmenge der bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente von $R$}.
  \item Sei $R$ kommutativ. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
  \begin{description}
\item[(i)] $C(R)$ ist Integritätsring (Körper)
\item[(ii)] $R$ ist Integritätsring (Körper) und $N(u) \ne 0_R$ für alle $u \in C(R) \setminus \{0_R\}$
\item[(iii)] $N(u) \ne 0_R$ ($N(u) \in R^*$) für alle $u \in C(R) \setminus \{0_R\}$.
\end{description}
\end{enumerate}

\end{minipage}
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%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
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