\part{ Algebra }
\chapter{ Gruppen und Halbgruppen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 1: Kürzbarkeit in Halbgruppen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $H$ eine Halbgruppe. Ein Element $x \in H$ heißt \underline{linkskürzbar} (\underline{rechtskürzbar}), wenn für alle $a, b \in H$ gilt: Aus $xa = xb$ ($ax = bx$) folgt $a=b$. $x$ heißt \underline{kürzbar}, wenn $x$ links- und rechtskürzbar ist. Man sagt, \underline{in} $H$ \underline{gilt die Kürzungsregel}, wenn jedes Element von $H$ kürzbar ist. Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] In jeder Gruppe $G$ gilt die Kürzungsregel.
\item[b)] $H$ ist Gruppe genau dann, wenn $H$ ein linksneutrales Element $e$ besitzt und wenn es für jedes $x \in H$ ein $x' \in H$ gibt mit $x'x = e$.
\item[c)] Sei $H$ eine endliche Halbgruppe. $H$ besitzt genau dann ein linksneutrales (rechtsneutrales, neutrales) Element, wenn $H$ ein linkskürzbares (rechtskürzbares, kürzbares) Element besitzt.
\item[d)] Eine endliche Halbgruppe $H$ ist genau dann eine Gruppe, wenn in $H$ die Kürzungsregel gilt.
\end{description}
{\footnotesize {\it Hinweis:} Für $x \in H$ betrachte man die durch $h \mapsto xh$ bzw. $h \mapsto hx$ für alle $h \in H$ gegebenen Abbildungen $\lambda_x, \rho_x : H \to H$ (\underline{Linkstranslation}, \underline{Rechtstranslation} mit $x$) und beachte, dass $x$ genau dann linkskürzbar bzw. rechtskürzbar ist, wenn $\lambda_x$ bzw. $\rho_x$ injektiv ist.}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 1}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] Da in $G$ ein neutrales Element $e$ und zu jedem $x \in G$ ein inverses $x'\in G$ mit $x'x=xx'=e$ existiert, folgt aus $xa=xb$ und $ax=bx$ durch Multiplkation von links bzw. rechts mit $x'$ stets $a=b$.
	\item[zu b):] 
	
\begin{description}
	\item[i)] Das zu $x\in H$ existierende linksinverse Element $x' \in H$ ist auch rechtsinvers, d.~h. invers, denn aus $x'x=e$ folgt zunächst $x'(xx')=(x'x)x'=ex'=x'$. Da es aber auch zu $x' \in H$ ein linksinverses Element $x'' \in H$ mit $x''x'=e$ gibt, folgt weiter $(x''x')(xx')=x''x'$ bzw. $xx'=e$.
	\item[ii)] Das linksneutrale Element $e\in H$ ist auch rechtsneutral, d.~h. neutral, denn für $a \in H$ und das dazugehörige inverse $a' \in H$ ist wegen i)
	$$a=ea=(aa')a=a(a'a)=ae.$$
	\item[iii)] Das neutrale Element $e\in H$ ist eindeutig bestimmt. Angenommen, es gäbe noch ein zweites neutrales Element $e'\in H$, dann ist $e=ee'=e'$.
	\item[iv)]Das zu $x \in H$ gehörige inverse Element $x'\in H$ ist eindeutig bestimmt. Angenommen, es gäbe ein zweites Inverses $x''\in H$ mit $xx''=x''x=e$, dann ist 
	$$x''=x''e==x''(xx')=(x''x)x'=ex'=x'.$$
\end{description}
	\item[zu c):] Jedes linksneutrale Element $e$ ist auch linkskürzbar, denn wegen $a=ea$ und $b=eb$ folgt aus $ea=eb$ sofort $a=b$. Analog schließt man für rechtsneutrale bzw. neutrale Elemente.\\	
	Sei nun $x\in H$ ein linkskürzbares Element und $n$ die Anzahl der Elemente in $H$. Man betrachte die $n+1$ Potenzen $x, x^2=xx, x^3=xx^2, \ldots, x^{n+1}$, die nicht alle verschieden sein können. Es gibt also $m, k \in \{1,2,\dots,n+1\}$ mit $k<m$ und $x^m=x^k$. Wegen der Linkskürzbarkeit folgt daraus $x^{m-k+1}=xx^{m-k}=x^{m-k}x =x$, d.~h. $e:=x^{m-k}$ ist neutral für Potenzen von $x$. Sei nun $h \in H$ ein Element, das sich nicht als Potenz von $x$ darstellen lässt. Dann ist auch $xeh=xx^{m-k}h=xh$ und wegen der Linkskürzbarkeit von $x$ auch $eh=h$, d.~h. $e$ ist linksneutral in $H$. Analog schließt an für rechtskürzbare bzw. kürzbare Elemente.
	\item[zu d):] Gilt in $H$ die Kürzungsregel, dann existiert wenigstens ein kürzbares Element und wegen c) auch ein neutrales Element $e \in H$.\\
	Sei $x \in H=\{h_1,\dots, h_n\}$ beliebig gewählt, dann müssen wegen der Kürzbarkeit von $x$ die Produkte $xh_1,\dots, xh_n$ und $h_1x,\dots, h_nx$ jeweils paarweise verschieden sein, d.~h. jeweils eines dieser Produkte muss gleich $e$ sein, d.~h. zu $x$ existiert ein rechtsinverses Element $h_l \in H$ mit $xh_l=e$ und ein linksinverses Element $h_m \in H$ mit $h_mx=e$. Dann ist aber auch 
	$$h_m = h_me = h_m(xh_l) = (h_mx)h_l = eh_l =h_l,$$
	also beide Elemente stimmen überein.\\
                      Die Umkehrung folgt aus a).
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Körper }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 2: Körper mit 2 und 3 Elementen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie alle Körper mit 2 und 3 Elementen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 2}}\\
Ein Körper ist
\renewcommand{\labelenumi}{\roman{enumi})}
\begin{enumerate}
	\item eine Menge $\raum{K}$, in der zwei Operationen, genannt Addition und Multiplikation, definiert sind, d.~h. je zwei Elementen $a,b \in \raum{K}$ werden genau zwei Elemente $a+b, a\cdot b \in \raum{K}$ zugeordnet, die nicht unbedingt verschieden sein müssen.
	\item Bezüglich der Addition bildet $\raum{K}$ eine kommutative Gruppe; insbesondere existiert also ein eindeutig bestimmtes neutrales Element, genannt Nullelement $0 \in \raum{K}$ und zu jedem Element $a \in \raum{K}$ existiert ein bezüglich der Addition inverses bzw. negatives Element, genannt $-a \in \raum{K}$. 
	\item Bezüglich der Multiplikation bildet $\raum{K}$ ebenfalls eine kommutative Gruppe; insbesondere existiert also ein eindeutig bestimmtes neutrales Element, genannt Einselement $1 \in \raum{K}$ und zu jedem Element $a \in \raum{K}$ existiert ein bezüglich der Addition inverses Element, genannt $a^{-1} \in \raum{K}$. 
	\item Es gilt das Distributivgesetz: Für alle $a,b,c \in \raum{K}$ ist $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$.
\end{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}

\begin{enumerate}
	\item Aus ii) und iii) folgt sofort, dass  $\raum{K}$ nur die Menge $\set{0,1}$ sein kann. Zu zeigen ist noch, dass dann alle Körperaxiome erfüllte werden können. Aus den Eigenschaften von $0$ und $1$ folgen unmittelbar folgende Relationen, dargestellt in Additions- und Multiplikationstafel:
	\begin{center}
	\begin{tabular}{c|cc}
	+ & 0 & 1\\
	\hline
	0 & 0 & 1\\
	1 & 1 & ?\\
	\end{tabular}
	\hspace{3cm} 
	\begin{tabular}{c|cc}
	$\cdot$ & 0 & 1\\
	\hline
	0 & ? & 0\\
	1 & 0 & 1\\
	\end{tabular}
\end{center}
	Es sind also nur noch die beiden Verknüpfungen $1+1$ und $0\cdot 0$ zu definieren.
	
	Das Element $1$ muss ein negatives Element haben, aber wegen $1+0=1$ kann es das nur selbst sein, denn mehr Elemente gibt es nicht, also ist $1+1=0$,
	
	Nun folgt unmittelbar unter Verwendung von iv)  
	\[0\cdot 0 = (1+1)\cdot(1+1) = (1+1)\cdot 1 +  (1+1)\cdot 1 =  (1+1) +  (1+1) = 0+0=0,\]
also
	\begin{center}
	\begin{tabular}{c|cc}
	+ & 0 & 1\\
	\hline
	0 & 0 & 1\\
	1 & 1 & 0\\
	\end{tabular}
	\hspace{3cm} 
	\begin{tabular}{c|cc}
	$\cdot$ & 0 & 1\\
	\hline
	0 & 0 & 0\\
	1 & 0 & 1\\
	\end{tabular}
\end{center}
Die Gültigkeit des Distributivgesetzes für alle möglichen Kombinationen muss man nun einfach nachrechnen. Wegen der Kommutativität beschränkt das sich aber auf die sechs Beziehungen
\[ 0\cdot(0+0)=0\cdot0 + 0\cdot0,\ 0\cdot(0+1)=0\cdot0 + 0\cdot1, \ 0\cdot(1+1)=0\cdot1 + 0\cdot1,\]
\[ 1\cdot(0+0)=1\cdot0 + 1\cdot0,  
\ 1\cdot(0+1)=1\cdot0 + 1\cdot1,  \ \ 1\cdot(1+1)=1\cdot1 + 1\cdot1\]
Da diese offensichtlich gelten, ist $\raum{K}$ ein Körper.

In $\raum{K}$ wären zwei Ordnungrelationen möglich, nämlich $0<1$ oder $1<0$. 

Wäre $0<1$, so müsste wegen des für Ordnungen geltenden Monotoniegesetzes auch $1=0+1<1+1=0$ sein, was der Antisymmetrie widerspricht. Analog folgte aus $1<0$ auch $0=1+1<0+1=1$.
	\item Analog zu oben muss $\raum{K}$ die Elemente $0$ und $1$ und ein weiteres, $a$ genanntes Element enthalten. Daraus ergäben sich die folgenden vorläufigen Gruppentafeln:
	\begin{center}
	\begin{tabular}{c|ccc}
	+ & 0 & 1 & $a$\\
	\hline
	0 & 0 & 1 & $a$\\
	1 & 1 & ? & ?\\
	$a$ & $a$ & ? & ?\\
	\end{tabular}
	\hspace{3cm} 
	\begin{tabular}{c|ccc}
	$\cdot$ & 0 & 1 & $a$\\
	\hline
	0 & ? & 0 & ?\\
	1 & 0 & 1 & $a$\\
	$a$ & ? & $a$ & ?\\
	\end{tabular}
\end{center}
Für alle $x\in \raum{K}$ folgt nun aus
\[x=x\cdot 1= x\cdot(0+1)=x\cdot 0 + x\cdot 1 = x\cdot 0 + x\]
wegen der Eindeutigkeit des Nullelementes sofort $x\cdot 0=0$, so dass in die erste Spalte und Zeile der Multiplikationstafel überall das Nullelement eingetragen werden muss.

Zu $a \in \raum{K}$ muss es ein inverses Element geben, wegen $a\cdot 0=0$ und $a\cdot 1=a$ kann dies nur  $a$ selbst sein, also ist $a\cdot a=1$. Damit ist die Multiplikationstafel vollständig.

 Aus $1+a=a\cdot a+a=a\cdot (a+1)$ folgt aus der Multiplikationstafel, dass das nur für $a+1=0$ möglich ist, denn $a$ ist nicht das Einselement. $1$ und $a$ sind also gegenseitig entgegengesetzte Elemente, d.~h. $-1=a$ und $-a=1$. Für die beiden letzten freien Stellen in der Additionstafel bleibt dann nur $1+1=a$ und $a+a=1$ übrig, insgesamt erhält man
	\begin{center}
	\begin{tabular}{c|ccc}
	+ & 0 & 1 & $a$\\
	\hline
	0 & 0 & 1 & $a$\\
	1 & 1 & $a$ & 0\\
	$a$ & $a$ & 0 & 1\\
	\end{tabular}
	\hspace{3cm} 
	\begin{tabular}{c|ccc}
	$\cdot$ & 0 & 1 & $a$\\
	\hline
	0 & 0 & 0 & 0\\
	1 & 0 & 1 & $a$\\
	$a$ & 0 & $a$ & 1\\
	\end{tabular}
\end{center}
Das Distributivgesetz muss man nu einfach wieder nachrechen; unter Beachtung der Kommutativität hat man aber hier 18 Gleichungen zu überprüfen. Dies sei dem Leser überlassen. Man erhält schließlich, dass $\raum{K}$ mit den angegebenen Operationen ein dreielementiger Körper ist.

Wäre $0<1$ so folgte aus demMonotoniegesetz $1=0+1<1+1=a$ und $a=1+1<a+1=0$, was aber der Transitivität $0<1<a$ widerspräche. 

Wäre $0>1$ so folgte analog $1=0+1>1+1=a$ und $a=1+1>a+1=0$, was ebenfalls der Transitivität $0>1>a$ widerspräche, also lässt sich auch dieser Körper nicht ordnen.


\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Restklassen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 3: Division mit Rest
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $n \in \Z$, $n \ne 0$. Zeigen Sie, dass es für jedes $m \in \Z$ eindeutig durch $m$ bestimmte $q, r \in \Z$ gibt mit
\[m = qn + r\quad\mbox{und}\quad 0 \le r < |n|.\]
$q$ heißt \underline{partieller Quotient} und $r$ \underline{Rest} der Division von $m$ durch $n$. Mitunter bezeichnet man diesen Rest $r$ mit $r_n(m)$. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 3}}\\
\begin{description}
	\item[1. Vorbereitung:]
	{\it Lemma 1:} Jede nach oben beschränkte Teilmenge von $S \subset \Z$ besitzt ein eindeutig bestimmtes Maximum.\\
	{\it Beweis:} Zunächst besitzt jede nach oben beschränkte Teilmenge $S \subset \R$ ein eindeutig bestimmtes Supremum $s$. Dies ist eine Folgerung aus dem Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen. Für das Supremum $s$ gilt 
	
\begin{description}
	\item[(i)] $x \in S \Longrightarrow x\leq s.$
	\item[(ii)] Zu jedem $\ve >0$ existiert ein $x_{\ve}\in S$ mit $s-\ve<x_{\ve}$.
\end{description}
  Sei nun $S \subset \Z \subset \R$ und $s \in \R$ Supremum von $S$. $\delta$ sei der Abstand von $s$ zu $S \setminus \{s\}$, also das Infimum der Abstände von $s$ zu allen $x \in S$. Ist $s \in \Z$, dann ist $\delta$ mindestens 1, ist $s \in \R \setminus \Z$, dann ist immer noch $\delta >0$. Wähle $\ve=\frac{\delta}2.$ Dann kann die Bedingung (ii) nur dann erfüllt sein, wenn $x_{\ve}=s$, also $s \in S$ ist. Ein Supremum, das zur Menge gehört, ist aber das Maximum der Menge.  
  \item[2. Bezeichnung:] Ist $r \in \R$ , dann bezeichnen wir mit $\left\lfloor r  \right\rfloor$ das nach Lemma 1 eindeutig bestimmte Maximum der Menge $S=\{z\in \Z | z\leq r\}\subset \Z.$. $\left\lfloor r  \right\rfloor$ heißt \underline{Abrundung} oder \underline{größter ganzer Anteil} von $r$.
  \item[3. Eigenschaften von $\left\lfloor .  \right\rfloor$:] Nach Konstruktion ist $\left\lfloor r  \right\rfloor \leq r$. Außerdem muss $r< \left\lfloor r  \right\rfloor+1$ sein, denn sonst wäre $\left\lfloor r  \right\rfloor$ kein Maximum in der betrachtenen Menge $S$.
  \item[4. Eindeutige Darstellung:] Setze $q=\left\lfloor\frac{m}{n} \right\rfloor$. $q$ ist nach Lemma 1 eindeutig bestimmt und es gilt
\begin{equation}
	  q \leq \frac{m}{n} < q+1.
\end{equation}
  
\begin{description}
	\item[Fall n>0:] Multiplikation von (1) mit $n>0$ ergibt
	$$q\,n \leq m < q\,n+n\qquad\mbox{bzw}\qquad 0 \leq m-q\,n < n=|n|.$$
	Setzt man nun $r=m-q\,n$, dann ist alles bewiesen.
	\item[Fall n<0:] Multiplikation von (1) mit $|n|=-n>0$ ergibt
	$$-q\,n \leq -m < -q\,n-n\ \qquad\mbox{bzw}\qquad 0\leq -m+q\,n <-n=|n|.$$
	Setzt man nun $r=-m+q\,n$, dann ist alles bewiesen.
\end{description}
 
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 4: Division mit Rest II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $n \in \Z$. Für $m \in \Z$ setzen wir:
$$r_n(m) := \begin{cases}m & \mbox{wenn } n= 0\\r & \mbox{wenn } n \ne 0\end{cases},$$
wobei $r$ im Fall $n \ne 0$ die eindeutig bestimmte ganze Zahl ist mit $0 \le r < |n|$ und $m = qn + r$ für geeignetes $q \in \Z$,  (siehe "`Division mit Rest I"').\\

Zeigen Sie:
\begin{description}
	\item[a)] Für $a, b \in \Z$ gilt $r_n(a) = r_n(b)$ genau dann, wenn $n| a-b$.
  \item[b)] Für alle $a, b \in \Z$ gilt
\begin{eqnarray*}
r_n(a+b) &=& r_n(r_n(a) + b) \:=\: r_n(a + r_n(b)) \:=\: r_n(r_n(a) + r_n(b))\quad\mbox{und}\\
r_n(a\cdot b) &=& r_n(r_n(a)\cdot b) \:=\: r_n(a\cdot r_n(b)) \:=\: r_n(r_n(a)\cdot r_n(b)).
\end{eqnarray*}
 \item[c)] Die Relation "`$a \equiv b \Longleftrightarrow r_n(a) = r_n(b)$"' ist eine Äquivalenzrelation über $\Z$. Die dazugehörigen Äquivalentklassen heißen auch \underline{Restklassen modulo n}.
\end{description}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 4}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] Für $n=0$ ist $n|a-b \Longleftrightarrow a-b=0 \Longleftrightarrow a=b$.\\
Sei nun $n \neq 0$ und seien $a, b \in \Z$ gegeben, dann gibt es eindeutige Darstellungen $a=q_1n+r_n(a)$ und $b=q_2n+r_n(b)$. Weiterhin ist $a-b=(q_1-q_2)\,n + r_n(a)-r_n(b)$, wobei wegen $0 \leq r_n(a), r_n(b) <n$ noch $-n<r_n(a)-r_n(b)<n$ ist. Nun ist offensichtlich
	$$n|a-b \Longleftrightarrow n|r_n(a)-r_n(b) \Longleftrightarrow r_n(a)-r_n(b)=0 \Longleftrightarrow r_n(a)=r_n(b).$$
	\item[zu b):] Wir zeigen zunächst: 
\begin{equation}
\mbox{Für beliebige } m, q \in \Z \mbox{ ist } r_n(m)=r_n(m+q\,n).	
\end{equation}
	Es existieren nämlich einerseits eindeutige Darstellungen 
	$$m=q_1n+r_n(m) \mbox{ und } m+q\,n=q_2n+r_n(m+q\,n).$$ 
	Andererseits lässt sich aber $m+q\,n$ auch in der Form $$m+q\,n=q_1n+r_n(m)+q\,n=(q_1+q)\,n+r_n(m)$$ 
	darstellen. Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung muss dann aber 
	$$q_2=q_1+q \mbox{ und } r_n(m)=r_n(m+q\,n)$$ 
	sein.\\
	Aus 
	\bea
	  a+b &=& q_1n + r_n(a) +b \:=\: a+ q_2n + r_n(b) \:=\: (q_1+q_2)\,n +r_n(a) +r_n(b)\qquad\mbox{und}\\
	  a\,b &=& q_1b\,n + r_n(a)\,b \:=\: a\,q_2\,n + a\,r_n(b) \:=\: (q_1b+q_2r_n(a))\,n + r_n(a)\,r_n(b)
	\eea
	folgt dann aber wegen (1) sofort die Behauptung.
	\item[zu c):] 
	
\begin{description}
	\item[Reflexivität] folgt aus der Eindeutigkeit der Darstellung bzw. aus $n|0$.
	\item[Symmetrie:] $n|a-b \Leftrightarrow n|b-a$. 
	\item[Transitivität:] Wegen $a-c=(a-b)+(b-c)$ folgt aus ($n|a-b$ und $n|b-c$) sofort $n|a-c$.
\end{description}
Die Äquivalenzrelation teilt $\Z$ in $n$ disjunkte Äquivalenzklassen, den sogenannten\\ \underline{Restklassen modulo n} ein. Die Elemente einer Klasse lassen bei der Teilung durch $n$ denselben Rest.\\
Seien $A, B$ zwei dieser Restklassen und $a \in A, b \in B$ zwei beliebige Elemente (Vertrter) dieser Restklassen, dann kann man folgendermaßen eine Addition und eine Multiplikation in der Menge der Restklassen erklären:

\begin{tabular}{ll}
$A \oplus_n B$ & ist diejenige Restklasse, die $a+b$ enthält und\\
$A \odot_n B$ & ist diejenige Restklasse, die $a\cdot b$ enthält.\\
\end{tabular}

Die in b) bewiesenen Formeln zeigen, dass die so definierten Operationen von den gewähleten Vertretern $a \in A, b \in B$ aus den Restklassen unabhängig sind. Insbesondere kann man stets das betragskleinste, nichtnegative Element aus jeder Restklasse benutzen und die Restklasse mit diesem identifizieren.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 5: Division mit Rest III
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für $n \in \N$ setzen wir
\[L_n := \begin{cases}\Z &  n = 0\\\{0,1,\dots,|n|-1\} & n \ne 0\end{cases}\] und definieren zweistellige Operationen $\oplus_n$ und $\odot_n$ auf $L_n$, indem wir für alle $a, b \in L_n$ setzen (siehe Division mit Rest II)
\[a \oplus_n b := r_n(a+b) \quad\mbox{und}\quad a \odot_n b := r_n(a\cdot b).\]
(Da offensichtlich $L_n = L_{-n}$, $\oplus_n = \oplus_{-n}$ und $\odot_n = \odot_{-n}$, kann man sich bei den nachfolgenden Überlegungen auf den Fall $n \in \N$ beschränken.) \\

Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] $(L_n,\oplus_n,\odot_n)$ ist für alle $n \in \Z$ ein kommutativer Ring mit Einselement.
\item[b)] $L_n$ ist genau dann ein Körper, wenn $n$ Primelement ist.
\end{description}
{\it Bemerkung:} Statt $\oplus_n$ und $\odot_n$ schreibt man kurz $+$ und $\cdot$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 5}}\\
Wie bereits in der Aufgabenstellung festgestellt, genügt es $n\in\N$ zu betrachten.
\begin{description}
	\item[zu a):] 
	
\begin{description}
	\item[n=0] $L_0=\Z$ ist ein kommutativer Ring mit Einselement. Das ist wohlbekannt. 
	\item[n=1] $L_1=\{0\}$. Diese nur aus der Null bestehende Menge ist offensichtlich auch ein Ring und sogar ein Körper . Bemerkenswert ist nur, dass das neutrale Element bezüglich der Adddition mit dem Einseelment, also dem neutralen Element bezüglich der Multiplikation, übereinstimmt. Es ist bezüglich beider Operationen zu sich selbst invers.
	\item[n>1] Die Kommutativität von $\oplus_n$ und $\odot_n$ folgt sofort aus deren Definition und den entsprechenden Gesetzen in $\Z$. Offensichtlich ist $a \odot 1 = r_n(a\cdot 1) = r_n(a) =a$. Die Assoziativität beider Operationen folgt aus den  Relationen
\begin{eqnarray*}
r_n(a+b) &=& r_n(r_n(a) + b) \:=\: r_n(a + r_n(b)) \:=\: r_n(r_n(a) + r_n(b))\quad\mbox{und}\\
r_n(a\cdot b) &=& r_n(r_n(a)\cdot b) \:=\: r_n(a\cdot r_n(b)) \:=\: r_n(r_n(a)\cdot r_n(b)),\\
\end{eqnarray*}
	die in "`Division mit Rest II, Teilaufgabe b)"' bewiesen wurden.\\
	Für den Nachweis, dass $L_n$ ein Ring ist, genügt es daher zu zeigen:
\begin{description}
	\item[(i)] zu $a \in L_n$ existiert ein $a' \in L_n$ mit $a \oplus_n a' = 0$
	\item[(ii)] zu $a, b \in L_n$ ist $a \oplus_n b \in L_n$
	\item[(iii)] zu $a, b \in L_n$ ist $a \odot_n b \in L_n$
\end{description}
(ii) und (iii) sind nach Konstruktion erfüllt. Im Grunde genommen stecken hier die bereits in "`Division mit Rest II"' betrachteten Operationen zwischen den Restklassen dahinter, bei denen man als Vertreter stets das betragkleinste, nichtnegative Element auswählt. Die Restbildung auf der rechten Seite der Definitionen sichert, dass man als Resultat wieder das betragkleinste, nichtnegative Element der Ergebnisrestklasse erhält. In diesem Sinne kann man dann auch die Restklasse mit diesem Element identifizieren und erhält so die oben definierten Mengen $L_n$. 

zu (i): Zu $a \in L_n$ wähle $a'=r_n(-a)$. Dann ist aber auch
$$a \oplus_n a' = r_n(a+a') = r_n(a+r_n(-a)) = r_n(a-a) =r_n(0) = 0.$$
\end{description}
	\item[zu b):] Es genügt zu zeigen, dass für eine Primzahl $n \in \N$ zu jedem $0 \neq a \in L_n$ ein inverses Element $a'$ bezüglich der Operation $\odot_n$ existiert, also ein Element $a'\in L_n$ mit $a \odot_n a'=1.$\\
	
Wir betrachten für eine Primzahl $n$ die Produkte $a\odot_n i = r_n(a\,i),\ i=0,1,\ldots,n-1$ und behaupten, dass diese alle verschieden sind. Gäbe es nämlich $i, j \in \{0,1,\ldots,n-1\}$ mit $i\neq j$ und $a\odot_n i = r_n(a\,i)= r_n(a\,j) = a\odot_n j$. Dann gäbe es Darstellungen $a\,i=q_1n+r_n(a\,i)$ und $a\,j=q_2n+r_n(a\,j)$ und aus $r_n(a\,i)= r_n(a\,j)$ folgte $a\,i-q_1n = a\,j-q_2n$ bzw. $a\,(i-j) = (q_1-q_2)\,n$ bzw. $n|a\,(i-j)$. Da $n$ Primzahl ist folgte weiter $n|a$ oder $n|i-j$. Beides kann aber nicht sein, denn es ist sowohl $0 < a < n$ als auch $-n < i-j < n$ und auch $i-j=0$ ist ausgeschlossen.\\
Da aber nun alle der oben angeführten Produkte $a\odot_n i$ verschieden sind, kommen alle Zahlen aus $\{0,1,\ldots,n-1\}$ - eventuell in geänderter Reihenfolge - als Ergebnis vor. Insbesondere muss es ein $i^*$ geben mit $a\odot_n i^* = 1$. Man kann also $a'=i^*$ setzen.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Ringe }
\section{ C(R) }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 6: Definition und Eigenschaften von $C(R)$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $R$ ein Ring. In $R^2 = R\times R$ führen wir zwei zweistellige Operationen $+$ und $\cdot$ ein, indem wir für alle $(r_1,r_2), (s_1,s_2) \in R\times R$ setzen
\begin{eqnarray*}
(r_1,r_2) + (s_1,s_2) &:=& (r_1 + s_1,r_2 + s_2)~\mbox{ und}\\
(r_1,r_2)\cdot (s_1,s_2) &:=& (r_1s_1- r_2s_2, r_1s_2 + r_2s_1).
\end{eqnarray*}
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item $(R^2, +, \cdot)$ ein Ring ist, der genau dann kommutativ ist, wenn $R$ es ist. Man bezeichnet ihn mit $C(R)$.
	\item $C(R)$ besitzt ein Einselement genau dann, wenn $R$ ein Einselement besitzt.
  \item Identifiziert man $x \in R$ mit $(x,0_R) \in C(R)$, so ist $R$ Unterring von $C(R)$. 
  (Damit darf man z. B. $0_{C(R)} = 0_R$ setzen usw.)
  \item Sei $R$ kommutativ. Definiert man für $u := (a,b) \in C(R)$ die \underline{Norm} von $u$ durch $R \ni N(u) := a^2 + b^2$ ($=(a,b)(a,-b)$ wegen der in c) definierten Identifizierung), so gilt $N(uv) = N(u)N(v)$ für alle $u, v \in C(R)$.
  \item Sei $R$ kommutativ. Für $u \in C(R)$ gilt $u \in C(R)^*$ genau dann, wenn $N(u) \in R^*$\footnote{Für einen Ring $R$ bezeichnet $R^*$ die Teilmenge der bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente von $R$}.
  \item Sei $R$ kommutativ. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
  \begin{description}
\item[(i)] $C(R)$ ist Integritätsring (Körper)
\item[(ii)] $R$ ist Integritätsring (Körper) und $N(u) \ne 0_R$ für alle $u \in C(R) \setminus \{0_R\}$
\item[(iii)] $N(u) \ne 0_R$ ($N(u) \in R^*$) für alle $u \in C(R) \setminus \{0_R\}$.
\end{description}
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 6}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] Dass $R^2$ bezüglich der (komponentenweisen) Addition eine abelsche Gruppe bildet, ist offensichtlich. Für die Multiplikation kann man das Assoziativgesetz und die Distributivgesetze einfach nachrechnen.\\
	Ist $R$ kommutativ, so gilt für $(r_1, r_2), (s_1, s_2) \in R$:
\bea
(r_1, r_2) \cdot (s_1, s_2) &=& (r_1s_1 - r_2s_2, r_1s_2 + r_2s_1)\\
&=& (s_1r_1 - s_2r_2, s_1r_2 + s_2r_1)\\
&=& (s_1, s_2) \cdot (r_1, r_2),
\eea
d.~h. $C(R)$ ist kommutativ. Ist umgekehrt $C(R)$ kommutativ und sind $r, s \in R$, so gilt 
$$(rs, 0_R) = (r, 0_R)\cdot(s, 0_R) = (s, 0_R)\cdot(r, 0_R) = (sr, 0_R),$$
also $rs = sr$.
\item[zu b):] $R$ besitze ein Einselement $1_R$. Sei $\epsilon := (1_R, 0_R)$. Dann gilt für alle 
$$(a, b) \in C(R): \epsilon\,(a, b) = (1_Ra - 0_Rb, 1_Rb + 0_Ra) = (a, b) = (a\,1_R - b\,0_R, b\,1_R + a\,0_R) = (a, b)\epsilon$$ 
und damit ist $\epsilon$ Einselement von $C(R)$.\\
$C(R)$ besitze ein Einselement, sagen wir $(e, d)$ mit $e, d \in R$. Da für alle
$x \in R$ gilt $(x, 0_R) = (e, d)(x, 0_R) = (ex, dx)$ und $(x, 0_R) = (x, 0_R)(e, d) =
(xe, xd)$, folgt insbesondere $ex = x = xe$, d. h. $e$ ist Einselement von $R$.
\item[zu c):] Das ist bezüglich der Addition trivial und wegen $(r, 0_R)(s, 0_R) = (rs, 0_R)$ auch bezüglich der Multiplikation.
\item[zu d):] Sei $u = (a, b), v = (c, d)$ mit $a, b, c, d \in R$, so gilt
\bea
N(uv) &=& N((ac - bd, ad + bc) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2\\
&=& a^2c^2- 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2\\
&=& (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = N(u)N(v).
\eea
\item[zu e):] Sei $u \in C(R)$. Wenn $u \in C(R)^*$, so gibt es ein $v \in C(R)$ mit $uv = 1_R$
und mit d) folgt 
$$N(u)N(v) = N(uv) = N(1_R) = 1_R,$$ 
d.~h. $N(u) \in R^*$.\\ 
Wenn $N(u) \in R^*$ und $u = (a, b)$ mit $a, b \in R$, so gilt mit 
$$v := N(u)^{-1}(a,-b):\qquad uv = N(u)^{-1}(a^2 + b^2, 0_R) = 1_R,$$ 
d.~h. $u \in C(R)^*$ genau dann, wenn $N(u) \in R^*$ ist.
\item[zu f):] Sei $C(R)$ Integritätsring und sei $u \in C(R) \setminus {0_R}$. Wenn $u = (a, b)$ mit
$a, b \in R$, so gilt $(a,-b) \neq 0_R$ und folglich $N(u) = (a, b)(a,-b) \neq 0_R$.
Da jeder Unterring eines Integritätsringes wieder Integritätsring ist, ist nach c)
$R$ selbst Integritätsring.\\
Ist $C(R)$ ein Körper, so folgt aus e), dass $N(u) \in R^*$ für alle $u \in C(R) \setminus {0_R}$. Hieraus ergibt sich insbesondere $r^2 = N(r) \in R^*$ und damit $r \in R^*$ für alle $r \in R \setminus {0_R}$, d.~h. $R$ ist ein Körper und $(i) \Rightarrow (ii)$ ist gezeigt.\\
$(ii) \Rightarrow (iii)$ ist trivial.\\
$(iii) \Rightarrow (i):$ Seien $u, v \in C(R) \setminus {0_R}$. Da $N(uv) = N(u)N(v) \neq 0_R$
nach d), ist $uv \neq 0_R$, d.~h. $C(R)$ ist Integritätsring. Ist $R$ Körper, so
ist $C(R)$ Körper nach e).
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Homomorphismen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 7: Spurhomomorphismus
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement und $n \in \N^+$. Ist $f : R^{n,n} \to R$ ein $R$-Homomorphismus mit $f(AB) = f(BA)$ für alle $A, B \in R^{n,n}$, so gibt es ein $r \in R$ mit
  $f = r\cdot\mbox{spur}$ (d.~h. $f(A) = r\,\mbox{spur} A$ für alle $A \in R^{n,n}$).

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 7}}\\
Man untersuche zunächst die Wirkung des Homomorphismus auf die Matrizen $E_n^{i,j}$, bei denen an der Stelle $(i,j)$ das Einselement $1_R$ und an allen anderen Stellen das Nullelement $0_R$ von $R$ steht.\\
Aus $E_n^{i,i}=V_n^{1,i}E_n^{1,1}V_n^{1,i}$, wobei $V_n^{1,i}$ die entsprechende Vertauschungsmatrix ist, folgt $$f(E_n^{i,i})=f(V_n^{1,i}E_n^{1,1}V_n^{1,i})=f(V_n^{1,i}V_n^{1,i}E_n^{1,1})=f(E_n^{1,1})=:r$$
für $1\leq i \leq n$. Anderseits ist für $i\neq j,\; 1\leq i, j \leq n$ 
$$E_n^{i,j}=E_n^{i,j}E_n^{j,j}\qquad\mbox{und}\qquad E_n^{j,j}E_n^{i,j}=0_n,$$
also
$$f(E_n^{i,j})=f(E_n^{i,j}E_n^{j,j})=f(E_n^{j,j}E_n^{i,j})=f(0_n)=0.$$
Damit gilt für beliebiges $A \in R^{n,n}$
$$f(A)=f\left(\sum_{1\leq i,j \leq n} a_{ij}E_n^{ij}\right) = \sum_{1\leq i,j \leq n} a_{ij}f(E_n^{ij})=\sum_{i=1}^n a_{ii}f(E_n^{ii}) = r\,\sum_{i=1}^n a_{ii} = r\,\mbox{spur}\,A.$$


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Ideale }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 8: Ideale in $\Z$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine Teilmenge $I$ von $\Z$ heißt
  \underline{Ideal} von $\Z$, wenn $I \ne \emptyset$ und wenn für alle $a \in
  \Z$ und alle $x, y \in I$ gilt $ax, x + y \in I$. \\
  
  Z. B. sind $\{0\}$ und
  $\Z$ Ideale von $\Z$. $\{0\}$ wird \underline{Nullideal} genannt und oft
  kurz mit $O$ bezeichnet. Offensichtlich gilt $O \subseteq I$ für jedes Ideal
  $I$ von $\Z$.\\

Für eine Teilmenge $X$ von $\Z$ setzen wir
\[\Z X := \begin{cases} O, & X = \emptyset\\\set{\sum_{i=1}^n a_ix_i~|~n \in \N, a_1,\dots,a_n \in \Z,
x_1,\dots,x_n \in X}, & X \ne \emptyset\end{cases}\]
Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Für jede Teilmenge $X$ von $\Z$ ist  $\Z X$ Ideal von $\Z$.
\item[b)] Ist ${\cal I}$ eine Menge von Idealen von $\Z$, so ist $\bigcap_{I \in {\cal I}} I$ Ideal von $\Z$.
\item[c)] Sei $X \subseteq \Z$ und ${\cal I}$ die Menge aller Ideale $I$ von $\Z$ mit $X \subseteq I$. Dann gilt $\Z X = \bigcap_{I \in {\cal I}} I$.
\item[d)] Für ein Ideal $I$ von $\Z$ gilt $I \cap \N^+ \ne \emptyset$ genau dann, wenn $I \ne O$.
\end{description}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 8}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] Für $X=\emptyset$ ist die Aussage nach Definition richtig. Sei nun $X\neq\emptyset,\ x,y \in I$ und $a\in \Z$, dann gibt es natürliche Zahlen $m$ und $n$ und Teilmengen $A=\{x_1,\ldots,x_m\}\subseteq X$ und  $B=\{y_1,\ldots,y_n\}\subseteq X$ sowie Teilmengen $\{a_1,\ldots,a_m\}\subseteq \Z$ und $\{b_1,\ldots,b_m\}\subseteq \Z$, so dass
\begin{equation}
	x=\sum_{i=1}^m a_ix_i\qquad\mbox{und}\qquad y=\sum_{i=1}^n b_iy_i
\end{equation}
ist. Dann ist aber auch
$$ ax= a\sum_{i=1}^m a_ix_i=\sum_{i=1}^m (a\,a_i)x_i \in I,$$
da die Produkte $a\,a_i$ auch nur ganze Zahlen sind.\\
Die Mengen $A$ und $B$ können nun völlig übereinstimmen, disjunkt sein oder einen nichtleeren Durchschnitt haben. Wir betrachten jetzt die Menge 
$$A \cup B=\{z_i, i=1,\ldots,k, | z_i \in A \mbox{ oder } z_i \in B\}\subseteq X.$$
Hierbei ist $k\in \N, \max(n,m)\leq l \leq m+n$. $x$ und $y$ lassen sich nun auch in der Form
\begin{equation}
	x=\sum_{i=1}^k c_iz_i\qquad\mbox{und}\qquad y=\sum_{i=1}^k d_iz_i
\end{equation}
darstellen, wobei $c_i=a_i$ gewählt wird, wenn $z_i\in A$ ist und sonst $c_i=0$ gesetzt wird. Entsprechend wird $d_i=b_i$ gewählt wird, wenn $z_i\in B$ ist und sonst $d_i=0$ gesetzt. In den beiden Darstellungen (1) und (2) sind $x$ und $y$ jeweils Linearkombinationen von Elementen aus $X$ mit Koeffizienten aus $\Z$. Der Vorteil der Darstellung (2) liegt darin, dass die Elemente aus $X$ in den Darstellungen für $x$ und $y$ übereinstimmen. Nun ist 
$$x+y=\sum_{i=1}^k c_iz_i+\sum_{i=1}^k d_iz_i=\sum_{i=1}^k (c_i+d_i)z_i \in I$$
wieder so eine Linearkombination., also sind die Idealkriterien beide erfüllt.
\item[zu b):] Seien $a \in \Z$ und $x,y \in \bigcap_{I \in {\cal I}} I$ dann ist $x,y \in I\ \forall I \in {\cal I}$. Da jedes $I$ aber selbst Ideal ist, sind auch $ax$ und $x+y$ in jedem dieser $I \in {\cal I}$ enthalten, also ist auch $ax,x+y \in \bigcap_{I \in {\cal I}} I$. 
\item[zu c):] Für $X=\emptyset$ ist die Aussage trivial. Sei nun $X\neq\emptyset$. Wegen $x=1\,x\ \forall x\in X$ ist stets $X \subseteq \Z X$ und $\Z X \in {\cal I}$, also $\bigcap_{I \in {\cal I}} I \subseteq \Z X$.

Sei nun $z \in \Z X$, d. h. $z=\sum_{i=1}^n\ a_i\,x_i$ mit $a_i \in \Z$ und $x_i \in X$ für $i=1,\dots,n$. Man betrachte ein beliebiges Ideal $I \in {\cal I}$, also mit $X \subseteq I$. Da $I$ Ideal ist, sind zunächst die Vielfachen $z_i:=a_ix_i, i=1,\dots,n$ auch alle in $I$, weiter ist $y_2:=z_1+z_2\in I, y_3=y_2+z_3 \in I, \dots, z=y_{n-1}+z_n \in I$, also $\Z X \subseteq I$. Da $I \in {\cal I}$ beliebig gewählt wurde, ist auch $\Z X \subseteq \bigcap_{I \in {\cal I}} I$, also $\Z X = \bigcap_{I \in {\cal I}} I$
\item[zu d):]
\begin{description}
	\item[$\Rightarrow$:] Ist $I \cap \N^+ \ne \emptyset$, dann enthält $I$ außer der 0 wenigstens eine positive natürliche Zahl, also ist $I \supset O$.
	\item[$\Leftarrow$:] Ist $I \ne O$, dann enthält $i$ wenigstens eine von 0 verschiedene ganze Zahl $z$. Ist $z>0$, also $z \in \N^+$, dann ist sowieso $I \cap \N^+ \ne \emptyset$. Ist $z<0$, so enthält $I$ auch die Linearkombination $-z=(-1)\,z$, die dann auch wieder in $\N^+$ ist.
\end{description}


\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 9: Ideale in $\Z$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für $x \in \Z$ setzen wir $\Z x := \Z\{x\} \,\big(= \{ax~|~a \in \Z\}\big)$, s. Aufgabe "`Ideale in $\Z$"'. 

Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Seien $m,n \in \Z$. Dann gilt $m|n$ genau dann, wenn $\Z n \subseteq \Z m$. 

Ferner sind äquivalent:
\begin{description}
\item[(i)] $n|m$ und $m|n$
\item[(ii)] $\Z m = \Z n$
\item[(iii)] $m = \pm n$.
\end{description}
{\footnotesize Man verwende, dass für $a, b \in \Z$ gilt: Wenn $ab = 0$, so folgt $a=0$ oder $b=0$. Wenn $ab = 1$, so folgt $a = b = \pm 1$.}

\item[b)] Für jedes Ideal $I$ von $\Z$ gibt es ein eindeutig bestimmtes $m \in \N$ mit $I = \Z m$.

{\footnotesize Unter Verwendung der Aufgabe "`Ideale in $\Z$"' betrachte man $I \cap \N^+$. Im Fall $I \ne O$ benutze man Division mit Rest.}
\end{description}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 9}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] 
	
\begin{description}
	\item[$(\Rightarrow)$:] Sei $m|n$, d.~h. $n=m\,p$ mit $p\in\Z$, dann gilt
	$$z\in \Z n \Rightarrow z=a\,n=a\,m\,p = (a\,p)\,m \in \Z m, \qquad\mbox{also}\qquad \Z n \subseteq \Z m.$$
	\item[$(\Leftarrow)$:] Wegen $n \in \Z n \subseteq \Z m$ lässt sich jedes $n$ auch  in der Form $z=a\,m$ darstellen, also ist $m|n$.
	\item[$(i) \Leftrightarrow (ii)$:] $m|n$ und $n|m \Leftrightarrow \Z n \subseteq \Z m$ und $\Z m \subseteq \Z n \Leftrightarrow\Z n = \Z m$.
	\item[$(i) \Leftrightarrow (iii)$:] $m|n$ und $n|m \Leftrightarrow n=a\,m$ und $m=b\,n$ für $a,b\in \Z$, also $n=a\,b\,n. \Leftrightarrow  n=m=0$ oder $a\,b=1 \Leftrightarrow m|\pm n$.
\end{description}
	\item[zu b):] Für $I=O=\{0\} = \Z 0$ ist die Aussage trivial. 
	
	Ist $I\neq O$, dann ist $I \cap \N^+ \neq \emptyset$ und es gibt ein minimales $m \in I \cap \N^+$. Ist $m=1$, dann ist offensichtlich $I = \Z = \Z 1$.
	
	Sei $m > 1$, dann ist auch $\Z m \subseteq I$. Ist $I = \Z m$, dann ist alles bewiesen. Anderenfalls existiert ein minimales $n$ mit $m < n \in (I \setminus \Z m) \cap \N^+$. Es kann nicht $m|n$ sein, dann wäre wegen a) nämlich $\Z n \subset \Z m$, also existieren Zahlen $p, q \in \N^+$ mit $n=p\,m +q$, wobei noch $0<q<m$ ist. Mit $m,n \in I$ wäre dann aber dann auch $q=n + (-p)\,m \in I$ im Widerspruch zur Minimalität von $m$.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Matrizenringe }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 10: Beispiel für einen kommutativen Unterring
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie:\\
\begin{enumerate}
	\item Die Teilmenge der quadratischen $(2,2)$-Matrizen mit der Gestalt
\[A=\begin{pmatrix}a& b\\b & a\end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad a,b\in \R\]
bildet einen kommutativen Unterring im Ring der $(2,2)$-Matrizen.
	\item Die Teilmenge der quadratischen $(2,2)$-Matrizen mit der Gestalt
\[A=\begin{pmatrix}a& b\\-b & a\end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad a,b\in \R\]
bildet einen kommutativen Unterring im Ring der $(2,2)$-Matrizen.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 10}}\\
Seien
\[A=\begin{pmatrix}a& b\\\pm b & a\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad C=\begin{pmatrix}c& d\\\pm d & c\end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad a,b, c,d\in \R\]
zwei derartige Matrizen, dann sind
\[A-C=\begin{pmatrix}a-c& b-d\\\pm (b-d) & a-c\end{pmatrix}\]
und 
\[AC=\begin{pmatrix}ac \pm bd& ad+bc\\\pm (ad+bc) & ac \pm bd\end{pmatrix}\]
ebenfalls von dieser Gestalt. Damit ist die Teilmenge ein Unterring.\\
Außerdem ist noch
\[CA=\begin{pmatrix}ac \pm bd& ad+bc\\\pm (ad+bc) & ac \pm bd\end{pmatrix}=AC,\]
also ist der Ring auch kommutativ.
% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Nullteiler }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 11: Integritätsringe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $R$ ein Ring. $x \in R$ heißt \underline{linker} (\underline{rechter}) \underline{Nullteiler} von $R$, wenn es ein $y \in R \setminus\{0_R\}$ gibt mit $xy = 0_R$ ($yx = 0_R$). $x$ heißt \underline{Nullteiler} von $R$, wenn $x$ linker oder rechter Nullteiler von $R$ ist. $R$ heißt \underline{nullteilerfrei}, wenn $R$ außer $0_R$ keine Nullteiler besitzt. Ein kommutativer nullteilerfreier Ring $R$ mit Einselement $1_R \ne 0_R$ heißt \underline{Integritätsring}. Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Jeder endliche nullteilerfreie Ring mit wenigstens zwei Elementen ist Schiefkörper.\\
{\footnotesize {\it Bemerkung:} Nach einem Satz von Wedderburn ist jeder derartige Ring bereits kommutativ, also ein Körper.} 
\item[b)] Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper.
\item[c)] Für alle $n \in \N$ mit $n\ge 2$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent (s. Übungsaufgabe 30):

(i) $L_n$ ist Integritätsring\quad (ii) $L_n$ ist Körper\quad (iii) $n$ ist Primzahl.
\end{description}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 11}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] Jeder endliche Ring $R$ mit mehr als einem Element enthält ein vom Nullelement $0_R$ verschiedenes Element $0_R \neq x \in R$. Man betrachte die Abbildung $\vp(y)=xy$ auf der Menge $R\setminus\{0_R\}$. Da $R$ keine Nullteiler hat, gilt für das volle Bild $\vp(R\setminus\{0_R\}) \subset R \setminus\{0_R\}$. Gäbe es zwei gleiche Bilder $\vp(y)=\vp(z)$ mit $y, z \in R\setminus\{0_R\}$, dann wäre $xy=xz$ bzw. $x(y-z)=0_R$ und, da $R$ nullteilerfrei sein soll, $y=z$, d.~h. $x$ ist linkskürzbar. Da man dieselbe Argumentation auf alle $0_R \neq x \in R$ und ebenso bei Multiplikation von rechts anwenden kann, gilt in $R\setminus\{0_R\}$ die Kürzungsregel. Nach der Aufgabe "`Kürzbarkeit"' ist $R\setminus\{0_R\}$ dann eine Gruppe und $R$ ein Schiefkörper.
	\item[zu b):] Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier, bezüglich der Multiplikation kommutativer Ring, nach a) also ein kommutativer Schiefkörper, also ein Körper. 
	\item[zu c):] 
\begin{description}
	\item[(ii) $\Leftrightarrow$ (iii)] wurde in der Aufgabe "`Division mit Rest III"' bewiesen.
	\item[(i) $\Rightarrow$ (ii)] folgt aus b), da $L_n$ endlich ist.
	\item[(i) $\Leftarrow$ (ii)] ist trivial, denn jeder Körper ist auch ein Integritätsring.
\end{description}
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Teilbarkeit }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 12: Größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame
    Vielfache I
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $X~\subseteq~\Z$.\\
$n~\in~\Z$ heißt \underline{größter gemeinsamer Teiler} von $X$  ($\ggT\, X$), wenn folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $n|x$ für alle $x \in X$ und
\item $s|n$  für alle $s \in \Z$ mit $s|x$ für alle $x \in X$.
\end{itemize}
$n~\in~\Z$ heißt \underline{kleinstes gemeinsames Vielfaches} von $X$  ($\kgV\,X$), wenn folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $x|n$ für alle $x \in X$ und
\item $n|s$ für alle $s \in \Z$ mit $x|s$ für alle $x \in X$.
\end{itemize}
Mit $\GgT\, X$ ($\KgV\, X$) bezeichnen wir die Menge aller größten gemeinsamen Teiler (kleinsten gemeinsamen Vielfachen) von $X$.\\ 
Offensichtlich gilt $\GgT\, \emptyset = \GgT\, \{0\} = \{0\} = \KgV\, \Z$ und $\GgT\, \Z  = \{1,-1\} = \KgV\, \emptyset$. (Hierzu verwendet man: Wenn für $a \in \Z$ gilt $a|\pm 1$, so folgt $a =\pm 1$.)\\ 
Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] $\GgT\, X = \GgT\, \Z X$
\item[b)] Sei $I$ Ideal von $\Z$. Für $n \in \Z$ sind äquivalent:
\begin{description}
\item[(i)] $n \in \GgT\, I$
\item[(ii)] $n \in I$ und $n|m$ für alle $m \in I$
\item[(iii)] $I = \Z n$.
\end{description}
\item[c)] $\KgV\, X = \GgT\, \bigcap_{x \in X} \Z x$.
\end{description}
Insbesondere sind $\GgT\, X$ und $\KgV\, X$ für jede Teilmenge $X$ von $\Z$ nicht
leer. Weiterhin gilt für $n \in \GgT\, X$: Es gibt $a_1,\dots,a_p \in \Z$ und
$x_1,\dots, x_p \in X$ mit $n = a_1x_1 + \ldots + a_px_p$.

{\footnotesize {\it Bemerkung:} Nach dem Darstellungssatz für Ideale in $\Z$ gibt es eindeutig
  bestimmte $m,n \in \N$ mit $\Z X = \Z n$ und $\bigcap_{x \in X} \Z x = \Z
  m$. Dann gilt $\GgT X = \{n,-n\}$ und $\KgV X = \{m,-m\}$. Meist bezeichnet
  man $n$ als den größten gemeinsamen Teiler und $m$ als das kleinste
  gemeinsame Vielfache von $X$ und setzt $\ggT X := n$ sowie $\kgV X :=
  m$.}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 12}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] Für $X \subseteq \Z$ definieren wir die Menge $T(X)=\{n\in\Z : n|x\ \forall x\in X\}$ aller gemeinsamen Teiler von $X$.\\ 
Ist $X \subseteq Y$, so ist jeder gemeinsame Teiler der Elemente von $Y$ erst recht gemeinsamer Teiler aller Elemente der Untermenge $X$, d.~h. es ist $T(Y) \subseteq T(X)$. Insbesondere ist dann auch $\GgT\,Y \subseteq T(X)$ und jedes Element von $\GgT\,Y$ ist sogar Teiler aller Elemente von $\GgT\, X$.\\ 
Da $X \subseteq \Z X$ (Jedes Ideal enthält wenigstens seinen Erzeuger.) ist, muss zunächst $\GgT(\Z X) \subseteq T(X)$ sein. Sei nun $p \in \GgT\,\Z X \subseteq \Z X$, so ist $p = \sum_{i=1}^i a_i x_i $, wobei nach Definition die $a_i \in \Z$ und die $x_i \in X$ sind. Dann muss für jedes $m \in \GgT\,X$ aber $m|p$ sein, woraus sofort $\GgT\,\Z X \subseteq \GgT\,X$ folgt.\\
Ist andererseits $n\in \GgT\,X$ und $m = \sum_{i=1}^i a_i x_i \in \Z X$ beliebig, wobei nach Definition $a_i \in \Z$ und $x_i \in X$, also $n|x_i$ für $i=1,\ldots,k$, dann ist $n$ auch gemeinsamer Teiler von $\Z X$. Da dies aber auch für alle Teiler von $n$ gilt, ist $n \in \GgT\,\Z X$, also  $\GgT\,X \subseteq \GgT\,\Z X$, d.~h. $\GgT\,X =\GgT\,\Z X$.
\item[zu b):] 
\begin{description}
	\item[(iii)$\Rightarrow$(ii):] $\Z n=\{m=an|a\in \Z\}$, d.~h. $n|m$ für alle $m \in \Z n$. Außerdem ist $1\cdot n =n\in \Z n$.
	\item[(ii)$\Rightarrow$(i):] Offensichtlich ist $n$ gemeinsamer Teiler von $I$ und wegen $n\in I$ auch größter gemeinsamer Teiler.
	\item[(i)$\Rightarrow$(iii):] Nach dem Darstellungssatz existiert ein $m \in \Z$ mit $I=\Z m$, insbesondere ist $m\in I$. Da $n|m$ ist, muss auch $I=\Z m \subseteq \Z n$ sein. Da $n$ aber auch noch größter gemeinsamer Teiler ist, muss auch $n \in I$ oder $(-n) \in I$ sein, d.~h. $n=am$ für eon $a \in \Z$ bzw. $m|n$, woraus auch $\Z n \subseteq I=\Z m$ folgt.\\
	Aus (iii)$\Rightarrow$(ii)$\Rightarrow$(i)$\Rightarrow$(iii) folgt die Äquivalenz der drei Aussagen.
\end{description}
 \item[zu c):] Sei $I=\bigcap_{x \in X} \Z x$. Nach dem Darstellungssatz gibt es genau ein $m \in \Z$ mit $I = \Z m$ und nach b) ist $\GgT I =\{-m,m\}$. Wegen $I \subseteq \Z x$ für alle $x \in X$ ist dann auch $x|m$, also $m$ gemeinschaftliches Vielfaches von $X$. Gäbe es ein kleineres gemeinschaftliches Vielfaches $0<n<m$ von $X$ mit $n|m$ und $x|n$ für alle $x\in X$, dann wäre $n\in \Z x$ für alle $x\in X$, also $n \in I$, also auch $m|n$ im Widerspruch zu $n<m$, also ist auch $\KgV X = \{-m,m\}$. 
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Analysis }
\chapter{ Folgen }
\section{ Funktionenfolgen }
\subsection{ gleichmaessige Konvergenz }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 13: Charakteristische Funktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für $M \subset X$ wird die charakteristische Funktion $\chi_{M}$ wie folgt definiert:
\[ \chi_M(x) := \begin{cases}
	1 & \text{für}\quad x \in M\\
	0 & \text{für}\quad x \notin M
\end{cases}.\]
\begin{enumerate}
	\item Berechne 
	\[\nlim \chi_{[- n,n]}(x)\quad\text{für}\quad x \in \R , n \in \N.\] 
	Ist die Konvergenz gleichmäßig auf $\R$?
  \item Zeige, dass die Funktionenfolge $\ser{f_n}$, definiert durch 
  \[f_n( x ) := \e^{-| x|} \chi_{[- n,n]}(x) \]
gleichmäßig auf $\R$ gegen die Funktion $\e^{-| x |}$ konvergiert.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 13}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist
	\[0< g_n(x):=1-\chi_{[- n,n]}(x)= \left.\begin{cases}
	1 & \text{für}\quad |x| > n\\
	0 & \text{für}\quad |x| \leq n	
\end{cases} \right\}\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0,\]
also ist 
	\[\nlim \chi_{[- n,n]}(x)=1\quad\text{für alle}\quad x \in \R.\]
	Wegen 
	\[g_n(n+1):=1-\chi_{[- n,n]}(n+1)=1\]
	kann es aber zu $\ve=1/2$ kein $n_0$ geben, so dass für alle $n>n_0$ und alle $x\in\R$  $g_n(x)<\ve$ ist.
	\item Es ist
	\[0< g_n(x):=\e^{-| x|}-f_n(x)=\left.\begin{cases}
	\e^{-| x|} & \text{für}\quad |x| > n\\
	0 & \text{für}\quad |x| \leq n	
\end{cases} \right\}\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0,\]
also ist 
	\[\nlim f_n(x)=\e^{-| x|}\quad\text{für alle}\quad x \in \R,\]
	wobei die Funktionenfolge $g_n(x)$ monoton fällt.
	Wähle zu vorgegebenem $\ve>0$\\ $n_0(\ve)=\ln(1/\ve)$ bzw. $\ve=\e^{-n_0}$, dann gilt für $n\geq n_0$  
	\[0<g_n(x)\leq g_{n_0}(x)=\left.\begin{cases}
	\e^{-| x|} & \text{für}\quad |x| > n_0 \quad\text{bzw.}\quad \e^{-| x|}<\e^{-n_0}=\ve \\
	0 & \text{für}\quad |x| \leq n_0	
\end{cases}\right\}\leq \ve.\]
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
% Vorlage für Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
\underline{\textbf{Aufgabe 14: Ein Beispiel zur gleichmäßigen Konvergenz}}\\

Man untersuche die Funktionenfolge
$$f_n(x)=\frac{1}{1+nx}, \qquad n \in \mathbb{N}$$
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz in den Intervallen
\begin{enumerate}
\item $[0, 1]$
\item $(0, 1]$
\item $ [q, 1], 0<q<1$
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
  \includegraphics[scale=0.7]{aImage001}
\end{minipage}
\end{tabular}
}



% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 14}}\\
\underline{zur punktweisen Konvergenz:}\\

Für jedes feste $x \in (0, 1]$ ist die Zahlenfolge $f_n(x)=\frac{1}{1+nx}$ eine Nullfolge, für $x=0$ ist $f_n(0) = 1, \forall n \in \mathbb{N}$. Dementsprechend gilt für die Grenzfunktion
$$ 
f(x) := \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) 
=  \left \{ \begin{array}{c} 1 \qquad x=0 \\ 0 \qquad \mbox{sonst} \end{array} \right . .
$$
\underline{zur gleichmäßigen Konvergenz:}\\
\renewcommand{\labelenumi}{zu \alph{enumi}):}
\begin{enumerate}
\item

Wäre die Funktionenfolge $f_n(x)$ auf $[0, 1]$ gleichmäßig konvergent, dann wäre nach einem bekannten Satz von Weierstraß \footnote{Der Satz wird oft in der Form 
$$\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\lim_{x\rightarrow a} f_n(x) \right ) = \lim_{x\rightarrow a} \left(\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x) \right )$$
angegeben, d. h. man kann Grenzübergänge in $x$ und $n$ vertauschen.\\} die Grenzfunktion $f(x)$ stetig, was aber offensichtlich nicht der Fall ist. Also kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.
\item 

Wegen \footnote{In der Grafik oben sind die Funktionen $f_n$ für $n \in \{ 1,2,5,10,100,1000 \}$ dargestellt.\\} $$f_n(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$$ gibt es zu jedem $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$ kein von $x$ unabhängiges $n_0$, so dass $$|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{1+nx}<\varepsilon$$ ist, denn man kann ja für genügend großes $n\  x=\frac{1}{n}$ setzen. Die Konvergenz ist also nicht gleichmäßig, obwohl die Grenzfunktion stetig ist.\footnote{Betrachtet man den linksseitigen Grenzwert für $x\rightarrow +0$, so kann man den unter a) angegebenen Beweis auch hier benutzen. Umgekehrt wäre der hier angegebene Beweis auch für a) ausreichend.}
\item 

Sei zu vorgegebenem $\varepsilon>0\ n_0$ eine natürliche Zahl, für die $n_0 > \frac{1-\varepsilon}{q\varepsilon}$ gilt. Dann ist für alle $x \in [q, 1]$ und für $n \geq n_0$
$$|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{1+nx}\leq \frac{1}{1+nq} \leq \frac{1}{1+n_0q}<\frac{1}{1+\frac{1-\varepsilon}{q\varepsilon} q} =\varepsilon$$
Da $n_0$ von $x$ unabhängig ist, ist die Konvergenz auf $[q, 1]$ gleichmäßig. 

\end{enumerate}
\newpage
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 15: Eine Aufgabe zur gleichmäßigen Konvergenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man zeige, dass die Summe $\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{\sin(nx)}{2^n}$ eine stetige Grenzfunktion besitzt und berechne diese! 
\end{minipage}
&
%\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
%\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 15}}\\
\begin{itemize}
\item Wegen $|\sin(nx)|1\leq 1$ kann man die Summanden gegen die Summanden der von $x$ unabhängigen, konvergenten geometrischen Reihe $\sum_{n=1}^\infty\ (\frac{1}{2})^n$ abschätzen. Nach Satz von Weierstraß konvergiert die Ausgangsreihe absolut und gleichmäßig, d.h. die Grenzfunktion ist stetig.
\item Es ist
$$\sin(nx) = \frac{\e^{inx}-\e^{-inx}}{2i} =\frac{1}{2i}\left ( (\e^{ix})^n - (\e^{-ix})^n \right ).$$
\item Wegen der absoluten Konvergenz kann man die Reihe in zwei geometrische Reihen umordnen, d. h. es ist
\begin{eqnarray*}
	\sum_{n=1}^\infty\ \frac{\sin(nx)}{2^n}&=& \frac{1}{2i}\left (\sum_{n=1}^\infty\  (\frac{\e^{ix}}{2})^n -\sum_{n=1}^\infty\  (\frac{\e^{-ix}}{2})^n \right )\\
	&=&\frac{1}{2i}\left ( (\frac{1}{1-\frac{\e^{ix}}{2}} -1) -(\frac{1}{1-\frac{\e^{-ix}}{2}} -1) \right )\\
	&=&\frac{1}{2i}\left ( (\frac{2}{2-\e^{ix}} -1) -(\frac{2}{2-\e^{-ix}} -1) \right )\\
	&=&\frac{1}{2i}\left ( \frac{\e^{ix}}{2-\e^{ix}} -\frac{\e^{-ix}}{2-\e^{-ix}} \right )\\
	&=&\frac{1}{2i}\frac{(2\,\e^{ix}-1)-(2\,\e^{-ix}-1)}{4-2\,\e^{ix}-2\,\e^{-ix}+1} \\
	&=&\frac{1}{2i}\frac{2\,(\e^{ix}-\e^{-ix})}{5-4\,\frac{\e^{ix}+\e^{-ix}}{2}} \\
	&=&\frac{2\,\frac{\e^{ix}-\e^{-ix}}{2i}}{5-4\,\frac{\e^{ix}+\e^{-ix}}{2}} \\
	&=&\frac{2\,\sin x}{5-4\,\cos x}.
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\newpage
\section{ Zahlenfolgen }
\subsection{ Anwendung der Definition }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 16: Arithmetisches und geometrisches Mittel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: 
\begin{enumerate}
	\item Ist $\ser{a_n}$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen, so gilt
\[ \nlim a_n = \nlim \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} .\]
\item Ist $\ser{b_n}$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen, so gilt
\[ \nlim b_n = \nlim \sqrt[n]{b_1 \cdot b_2 \cdot \ldots \cdot b_n} .\]
:
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 16}}\\
\begin{enumerate}
	\item Sei $\nlim a_n=a$, dann existiert zu gegebenem $\ve>0$ ein $n_1(\ve)$, so dass für alle $n\geq n_1(\ve)$ $|a_n-a| \leq \ve/2$ ist. Dann gilt unter Benutzung der Dreiecksungleichung für $n\geq n_1(\ve)$ aber auch
	\bea
	\abs{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \, a_k - a} &\leq& \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n_1(\ve)} \, \abs{a_k -a} +  \frac{1}{n} \sum_{k=n_1(\ve)+1}^n \, \abs{a_k -a}\\
	&\leq& \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n_1(\ve)} \, \abs{a_k -a} +  \frac{1}{n} \sum_{k=n_1(\ve)+1}^n \, \frac{\ve}{2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n_1(\ve)} \, \abs{a_k -a} +  \frac{n-n_1(\ve)}{n} \,\frac{\ve}{2}.\\
	\eea
	Wähle nun außerdem noch 
	\[ n \geq n_2(\ve) := \left\lceil \frac{2}{\ve}\,\sum_{k=1}^{n_1(\ve)} \, \abs{a_k -a}\right\rceil,\]
	dann gilt insgesamt für $n \geq n_(\ve) \geq \max\set{n_1(\ve), n_2(\ve)}$
	\[\abs{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \, a_k - a} \leq \frac{\ve}{2} + \frac{\ve}{2} = \ve.\] 
	Hierbei bedeutet für eine reelle Zahl $\alpha \in \R$ $\left\lceil \alpha\right\rceil \in \N$ deren Abrundung nach oben, d.~h. es gilt $\left\lceil \alpha\right\rceil -1 < \alpha \leq \left\lceil \alpha\right\rceil$.
	\item Mit $a_n := \ln b_n$ folgt aus a) unter Anwendung von Logarithmengesetzen
	\[ 
	\nlim \ln b_n = \nlim \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \, \ln b_k = \nlim \frac{1}{n} \ln\rkl{\prod_{k=1}^n \, \, b_k} =\nlim \ln \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \, \, b_k} ,\]
	woraus wegen der Stetigkeit und Eineindeutigkeit der Logarithmusfunktion die Behauptung folgt.

\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 17: Cauchy-Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Führen Sie die Einzelheiten für den Beweis der folgenden Behauptung aus
der Vorlesung aus: Jede komplexe Cauchyfolge ist beschränkt.
\item Ist die komplexe Zahlenfolge $\ser{a_n}$ mit 
\[  a_n = (-1)^n + i^n\]
eine Cauchyfolge?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 17}}\\
\begin{enumerate}
	\item Sei  $\ser{a_n}$ eine Cauchy-Folge dann existiert zu $\ve=1$ ein $n_0 \in \N$, so dass 
	\[ \abs{a_n -a_{n+p}} < 1 \quad\text{für alle}\quad n, p \in \N,\ n\geq n_0\]
	ist. Nach der Dreiecksungleichung ist dann also
	\[\abs{a_{n_0+p}} - \abs{a_{n_0}} \leq \abs{a_{n_0} -a_{n_0+p}} < 1 \text{ bzw. } \abs{a_{n_0+p}} < 1 +\abs{a_{n_0}} \text{ für alle } p \in \N.\]
	Insgesamt ist also
	\[ \abs{a_n} \leq \max\set{\abs{a_1}, \abs{a_2}, \ldots, \abs{a_{n_0+1}}, 1 +\abs{a_{n_0}} } =: C,\]
	also $\ser{a_n}$ beschränkt.
	
	\item Es ist
	\[ a_n = \begin{cases} 2 & \text{falls } n \equiv 0 \mod 4\\ -1 + i & \text{falls } n \equiv 1 \mod 4\\ 0 & \text{falls } n \equiv 2 \mod 4\\ -1 - i & \text{falls } n \equiv 3 \mod 4 \end{cases}.\]
	Damit ist 
	\[\abs{a_{4k} - a_{4k+2}} = 2 \quad\text{für alle } k \in \N,\]
	also kann $\ser{a_n}$ keine Cauchy-Folge sein.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 18: $(\ve, n_0)$-Abschätzungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, dass die nachstehenden Zahlenfolgen $\ser{a_n}$ gegen einen Grenzwertwert $a$ konvergieren, und bestimmen Sie zu jedem $\ve > 0$ ein $n_0 = n_0(\ve)$, so dass
$\abs{a - a_n} \leq \ve$ für alle  $n \geq n_0$ gilt (sogenannte $(\ve, n_0)$-Abschätzung):
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{n^2}{n^2 + 2 n + 2}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{2 n^3 i - 4 n^4}{n^4 + 3 n i - 1}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \rkl{1 + \frac{1}{n}}^{10}}$. 
\end{enumerate}
Achtung: In b) bezeichnet $i$ die imaginäre Einheit, die Zahlenfolge ist also komplex!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 18}}\\
\begin{enumerate}
	\item Mit $a=1$ ist zu gegebenem $\ve >0$
	\[\abs{a_n - a} = \frac{2n + 2}{n^2 + 2 n + 2} \leq \frac{4n}{n^2} =\frac{4}{n} \leq \frac{4}{n_0} \leq \ve\]
	für alle $n\geq n_0$ und ein $n_0 \in \N$ mit $n_0 \geq 4/\ve$.
	\item Mit $a=-4$ ist zu gegebenem $\ve >0$
	\bea
	\abs{a_n - a}^2 &=& \abs{\frac{2 n^3 i - 4 n^4}{n^4 + 3 n i - 1} + 4 }^2 = \abs{\frac{2 n^3 i +12 n i - 4}{n^4 + 3 n i - 1}}^2 = \frac{16 + (2 n^3 +12 n)^2}{(n^4 -1)^2 + 9 n^2}\\ 
	&=&  \frac{4 n^6 +48 n^4 + 144 n^2 +16}{n^8 - 2 n^4 + 9 n^2 +1} \leq \frac{212 n^6}{n^8 -2n^4} =\frac{212 n^2}{n^4 -2} \leq \frac{212 n^2}{n^4-\frac{n^4}{2}} = \frac{424}{n^2} \leq \frac{525}{n^2},
		\eea
		also ist
		\[\abs{a_n - a} \leq \frac{25}{n}  \leq \frac{25}{n_0} \leq \ve\]
	für alle $n\geq n_0$ und ein $n_0 \in \N$ mit $n_0 \geq 25/\ve$.
	\item Mit $a=-1$ ist nach dem Binomischen Satz zu gegebenem $\ve >0$
	\bea
	\abs{a_n - a} &=& \rkl{1 + \frac{1}{n}}^{10} - 1 = \sum_{k=1}^{10}\, \binom{10}{k}\,\frac{1}{n^k}\\
	&\leq& \sum_{k=1}^{10}\, \binom{10}{k}\,\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{10}\, \binom{10}{k} \leq \frac{2^{10}}{n} \leq \frac{1024}{n_0} \leq \ve
	\eea
	für alle $n\geq n_0$ und ein $n_0 \in \N$ mit $n_0 \geq 1024/\ve$.
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 19: k-te Wurzel u. a. 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es sei $\ser{a_n}$ eine reelle oder komplexe Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann
auch $\ser{\sqrt[k]{a_n}}$ mit einem festen $k \in \N$ eine Nullfolge ist. 

Ist $\ser{\sqrt[n]{a_n}}$ ebenfalls eine Nullfolge? (Beweis oder Gegenbeispiel!).
\item Es seien $\ser{x_n}$, $\ser{y_n]}$ zwei komplexe Nullfolgen, so dass
\[ |y_0| + |y_1| + \ldots + |y_n| \leq K\]
für alle $n = 0, 1, \ldots$ mit einer festen Schranke $K$ gilt. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge
$\ser{z_n]}$ mit
\[ z_n := x_0\,y_n + x_1\,y_{n?1} + \ldots + x_n\,y_0\]
eine Nullfoge ist.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 19}}\\
\begin{enumerate}
	\item Zu gegebenem $\varepsilon>0$ und jedem festen $k\in \N$ gibt es nach Definition ein $n_0(\varepsilon^{k})\in\mathbb{N}$,
sodass $|a_{n}|<\varepsilon^{k}$ für alle $n\geq n_0(\varepsilon^{k})$.
Dann gilt auch $\sqrt[k]{|a_{n}|}<\varepsilon$ für alle $n \geq n_0(\varepsilon^{k})$, d.~h. $\ser{\sqrt[k]{a_n}}$ ist ebenfalls eine Nullfolge.

Dagegen ist für 
\[a_n=\frac{1}{n} \quad \nlim \sqrt[n]{a_n} = \nlim \frac{1}{\sqrt[n]{n}} =1,\]
also $\ser{\sqrt[n]{a_n}}$ keine Nullfolge.

\item 
 Da $\ser{x_n}$ eine Nullfolge ist, existiert zu vorgegebenem $\varepsilon>0$ ein $n_0(\varepsilon) \in \N$, so dass $|x_{m}|\leq \frac{\varepsilon}{2K}$ für $m\geq n_0(\varepsilon)$. Dann gilt 
\begin{eqnarray*}
\abs{z_{n}} & \leq & \sum_{k=0}^{n}\,\abs{x_{k}y_{n-k}} \leq \sum_{k=0}^{n_0(\ve)-1}\,\abs{x_{k}}\abs{y_{n-k}} + \sum_{k=n_0(\ve)}^{n}\,\abs{x_{k}}\abs{y_{n-k}} \qquad |\ l=n_0(\ve)-1-k\\
 & \leq & \sum_{l=0}^{n_0(\varepsilon)-1}\,\abs{x_{n_0(\varepsilon)-1-l}}\abs{y_{n+l+1-n_0(\varepsilon)}}+\frac{\varepsilon}{2K}\,\sum_{k=n_0(\varepsilon)}^{n}\, \abs{y_{n-k}}\\
 & \leq & \sum_{l=0}^{n_0(\varepsilon)-1}\,\abs{x_{n_0(\varepsilon)-1-l}}\abs{y_{n+l+1-n_0(\varepsilon)}}+\frac{\varepsilon}{2K}\,K
\end{eqnarray*}
Setze
\[S:=\sum_{l=0}^{n_0(\varepsilon)-1}\,\abs{x_{n_0(\varepsilon)-1-l}} = \sum_{k=0}^{n_0(\varepsilon)-1}\,\abs{x_{k}}.\]
Da $\ser{y_n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist, existiert zu vorgegebenem $\varepsilon>0$ ein $n_1(\varepsilon) \in \N$, so dass 
\[|y_{m}|\leq \frac{\varepsilon}{2S} \quad\text{für}\quad m\geq n_1(\varepsilon).\] 
Wähle nun auch noch $n+1-n_0(\varepsilon) \geq n_1(\varepsilon)$, also $n \geq n_1(\varepsilon) +n_0(\varepsilon)-1$.  Dann gilt auch noch  
\[ \abs{z_{n}}  \leq  \frac{\varepsilon}{2S}\,\sum_{k=0}^{n_0(\varepsilon)-1}|x_{k}|+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,\]
d.~h. $\ser{z_n]}$ ist eine Nullfolge.\endproof
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 20: Anwendungen der geometrischen Folge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $a > 0$. Berechnen Sie die Grenzwerte $\nlim a_n$ für
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{a^{n}-a^{-n}}{a^{n}+a^{-n}}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{a^{n}}{\prod_{k=1}^{n}(1+a^{k})}}$,
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 20}}\\
Wegen
\[ \nlim a^n = \begin{cases} 0 & \text{für } |a| <1\\ 1 & \text{für } a =1\\ \infty & \text{für } a >1\\
\text{existiert nicht} & \text{für } a \leq -1 \end{cases}\]
gilt
\begin{enumerate}
\item \[\nlim \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} = 
	\begin{cases}
	\frac{0}{1+0} = 0 & \text{für } 0<a <1\\	
	\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} & \text{für } a=1\\	
	\nlim \frac{1}{a^{-2n}+a} = \frac{1}{0+a} = \frac{1}{a} & \text{für } a >1	
	\end{cases}.\]

\item \[\nlim \frac{a^{n}-a^{-n}}{a^{n}+a^{-n}} = 
	\begin{cases}
	\nlim \frac{a^{2n}-1}{a^{2n}+1} =\frac{-1}{1} = -1 & \text{für } 0<a <1\\	
	\frac{1-1}{1+1} = 0 & \text{für } a=1\\	
	\nlim \frac{1-a^{-2n}}{1+a^{-2n}} = \frac{1}{1} = 1 & \text{für } a >1	
	\end{cases}.\]

\item Offensichtlich ist 
\[ \prod_{k=1}^{n}(1+a^{k}) \geq 
\begin{cases} 
\prod_{k=1}^{n}(1) = 1 & \text{für } 0<a <1\\
\prod_{k=1}^{n}(1+1) = 2^n & \text{für } a=1\\
\prod_{k=1}^{n}(a^{k})	= a^{\frac{n(n+1)}{2}} & \text{für } a >1 
\end{cases}\]
Damit gilt
\[0 \leq \nlim \frac{a^{n}}{\prod_{k=1}^{n}(1+a^{k})} = 
	\begin{cases}
	\nlim \frac{a^{n}-1}{1} = 0 & \text{für } 0<a <1\\	
	\nlim \frac{1}{2^n} = 0 & \text{für } a=1\\	
	\nlim \frac{a^{n}}{a^{\frac{n(n+1)}{2}}} = \frac{1}{a^{\frac{n(n-1)}{2}}} = 0 & \text{für } a >1	
	\end{cases}.\]
\[\text{Insgesamt ist also für alle } a>0 \quad \nlim \frac{a^{n}}{\prod_{k=1}^{n}(1+a^{k})} = 0.\]
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ liminf und limsup }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 21: Eigenschaften von $\liminf$ und $\liminf$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $\{a_n\}_{n\in\N}$ eine reelle Zahlenfolge. \\

Man zeige:
\ben
\item $$\liminf_{n\rightarrow\infty}\, a_n = \nlim\ \inf\, \{a_k\ |\ k>n\} = \sup\,\{\inf\, \{a_k\ |\ k>n\}\ |\ n\in\N\}$$
\item $$\limsup_{n\rightarrow\infty}\, a_n = \nlim\ \sup\, \{a_k\ |\ k>n\} = \inf\,\{\sup\, \{a_k\ |\ k>n\}\ |\ n\in\N\}$$
\een


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 21}}\\
\begin{description}
	\item[zu (a)] Wir setzen $M_n=\{a_k\ |\ k>n\},\ i_n = \inf M_n$. Da $M_{n+1}\subset M_n$ für alle $n\in\N$  ist $i_{n+1} \geq i_n$, d.~h. die Folge $\{i_n\}_{n\in\N}$ ist monoton wachsend, woraus sofort - eventuell im uneigentlichen Sinne - $\nlim i_n = \sup \{i_n\ |\ n \in\N\}$ folgt.\\

Damit ist aber bereits 
$$\nlim\ \inf\, \{a_k\ |\ k>n\} = \sup\,\{\inf\, \{a_k\ |\ k>n\}\ |\ n\in\N\}$$	
bewiesen.\\

Aus der Definition des Infimums folgt für alle $n\in\N$:
\begin{description}
	\item[(i)] Für alle $k>n$ ist $a_k \geq i_n$
	\item[(ii)] Für alle $\ve>0$ existiert ein $k_n>n$ mit $a_{k_n}<i_n+\ve/2$ 
\end{description}
\begin{itemize}
	\item 
	Sei nun zunächst $\nlim i_n = i < \infty$, dann existiert $\ve>0$ ein $n(\ve)$, so dass für alle $n>n(\ve)$ gilt $|i_n - i| < \ve/2$. Dann ist aber auch wegen (ii)
	$$|a_{k_n} - i| \leq |a_{k_n} - i_n| + |i_n - i| < \ve,$$
	also $i$ Häufungspunkt der Folge $\{a_n\}_{n\in\N}$.\\
	Wegen (i) liegen links jedes $i_n$ nur endlich viele Glieder der Zahlenfolge $\{a_n\}_{n\in\N}$, also kann es keine kleineren Häufungspunkte geben, d.~h. es ist dann $\liminf_{n\rightarrow\infty}\, a_n = i$.
	\item Ist $i=\infty$, dann liegen links jeder noch so großen Zahl ($i_n$) ebenfalls nur endlich viele Folgenglieder, d.~h. es kann gar keinen endlichen Häufungspunkt geben. Gleichzeitig ist damit die Folge nach unten beschränkt. Andererseits muss $\{a_n\}_{n\in\N}$ (nach oben) unbeschränkt sein, sonst hätte Sie ja endliche Häufungspunkte, also gilt in diesem Falle sogar
	$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\, a_n = \nlim a_n = \infty.$$
\end{itemize}
Damit ist auch der vordere Teil der Gleichungskette vollständig bewiesen.

\item[zu (b)] Wir setzen $M_n=\{a_k\ |\ k>n\},\ s_n = \sup M_n$. Da $M_{n+1}\subset M_n$ für alle $n\in\N$  ist $s_{n+1} \leq s_n$, d.~h. die Folge $\{s_n\}_{n\in\N}$ ist monoton fallend, woraus sofort - eventuell im uneigentlichen Sinne - $\nlim s_n = \inf \{s_n\ |\ n \in\N\}$ folgt.\\

Damit ist aber bereits 
$$\nlim\ \sup\, \{a_k\ |\ k>n\} = \inf\,\{\sup\, \{a_k\ |\ k>n\}\ |\ n\in\N\}$$	
bewiesen.\\

Aus der Definition des Supremums folgt für alle $n\in\N$:
\begin{description}
	\item[(i)] Für alle $k>n$ ist $a_k \leq s_n$
	\item[(ii)] Für alle $\ve>0$ existiert ein $k_n>n$ mit $a_{k_n}>s_n-\ve/2$ 
\end{description}
\begin{itemize}
	\item 
	Sei nun zunächst $\nlim s_n = s > -\infty$, dann existiert $\ve>0$ ein $n(\ve)$, so dass für alle $n>n(\ve)$ gilt $|s_n - s| < \ve/2$. Dann ist aber auch wegen (ii)
	$$|a_{k_n} - s| \leq |a_{k_n} - s_n| + |s_n - s| < \ve,$$
	also $s$ Häufungspunkt der Folge $\{a_n\}_{n\in\N}$.\\
	Wegen (i) liegen rechts jedes $s_n$ nur endlich viele Glieder der Zahlenfolge $\{a_n\}_{n\in\N}$, also kann es keine größeren Häufungspunkte geben, d.~h. es ist dann $\limsup_{n\rightarrow\infty}\, a_n = s$.
	\item Ist $s=-\infty$, dann liegen rechtss jeder noch so kleinen Zahl ($s_n$) ebenfalls nur endlich viele Folgenglieder, d.~h. es kann gar keinen endlichen Häufungspunkt geben. Gleichzeitig ist damit die Folge nach oben beschränkt. Andererseits muss $\{a_n\}_{n\in\N}$ (nach unten) unbeschränkt sein, sonst hätte Sie ja endliche Häufungspunkte, also gilt in diesem Falle sogar
	$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\, a_n = \nlim a_n = -\infty.$$
\end{itemize}
Damit ist auch der vordere Teil der Gleichungskette vollständig bewiesen.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 22: Häufungswerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finde alle Häufungswerte der Zahlenfolge
\[x_n=\frac{n}{n+5}\rkl{\sin \frac{n\pi}{4}+\cos \frac{n\pi}{4}},\quad  n\in \N\cup \set{0}\]
und bestimmen Sie $\nlims x_n$ und $\nlimi x_n$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 22}}\\
Wir setzen
\[x_n=a_n\cdot b_n\quad\text{mit}\quad a_n=\frac{n}{n+5},\quad b_n=\sin \frac{n\pi}{4}+\cos \frac{n\pi}{4}.\]
Offensichtlich ist $\nlim a_n=1$. Die Folge $b_n$ lassen wir von Maple berechnen.\\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b:=proc(n)
return sin(n*Pi/4)+cos(n*Pi/4)
end;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{b := proc (n) return sin(1/4*n*Pi)+cos(1/4*n*Pi) end proc;}{%
\[
b := \textbf{proc} (n)\,\textbf{return } \mathrm{sin}(1/4 \ast n
 \ast \pi ) + \mathrm{cos}(1/4 \ast n \ast \pi )\,\textbf{
end proc} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b(0);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{1;}{%
\[
1
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b(1);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{2^(1/2);}{%
\[
\sqrt{2}
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{ser=[seq(b(n),n=0..7)];}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{ser = [1, 2^(1/2), 1, 0, -1, -2^(1/2), -1, 0];}{%
\[
\mathit{ser}=[1, \,\sqrt{2}, \,1, \,0, \,-1, \, - \sqrt{2}, \,-1
, \,0]
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{ser=[seq(b(n),n=8..15)];}{%
}
\end{mapleinput}

\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{ser = [1, 2^(1/2), 1, 0, -1, -2^(1/2), -1, 0];}{%
\[
\mathit{ser}=[1, \,\sqrt{2}, \,1, \,0, \,-1, \, - \sqrt{2}, \,-1
, \,0]
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}

Wie man sieht, zerfällt die Folge $b_n$ wegen der Periodizität der $\sin$- und $\cos$-Funktion in acht konstante Teilfolgen mit den fünf verschiedenen Werten $\set{- \sqrt{2}, \,-1, \,0,\,1,\,\sqrt{2}}$. Dies sind dann wegen $\nlim a_n=1$ auch die Häufungswerte von $x_n$. Damit ist
\[ \nlims x_n = \sqrt{2} \quad\text{und}\quad \nlimi x_n = - \sqrt{2}.\] 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 23: Häufungswerte und Limesmengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie die Limesmenge $\mathscr{L}(F)$ der Folge $F = \ser{a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor}$ mit den Folgengliedern $a_n := 4^n/7$. Dabei bezeichnet $\left\lfloor x \right\rfloor$ den größten ganzen Anteil einer reellen Zahl $x$, d.~h. es ist $\N \ni \left\lfloor x \right\rfloor \leq x < \left\lfloor x \right\rfloor+1$.
	\item Führen Sie die Einzelheiten für den Beweis der folgenden Behauptung aus: Jeder
Häufungspunkt der Limesmenge $\mathscr{L}(F)$ einer einer komplexen Zahlenfolge $F$ gehört wieder
zur Limesmenge $\mathscr{L}(F)$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 23}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist
	\[ 4^n \equiv 
	\begin{cases}
		1  \mod 7 & \text{für } n \equiv 0 \mod 7, \text{ also }  a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor = \frac{1}{7}\\
		4  \mod 7 & \text{für } n \equiv 1 \mod 7, \text{ also }  a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor = \frac{4}{7}\\
		2  \mod 7 & \text{für } n \equiv 2 \mod 7, \text{ also }  a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor = \frac{2}{7}\\
		1  \mod 7 & \text{für } n \equiv 3 \mod 7, \text{ also }  a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor = \frac{1}{7}\\
		4  \mod 7 & \text{für } n \equiv 4 \mod 7, \text{ also }  a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor = \frac{4}{7}\\
		2  \mod 7 & \text{für } n \equiv 5 \mod 7, \text{ also }  a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor = \frac{2}{7}\\
		1  \mod 7 & \text{für } n \equiv 6 \mod 7, \text{ also }  a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor = \frac{1}{7}
	\end{cases},\]
	also ist $\displaystyle{\mathscr{L}(F) = \set{\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7}}}$.
	
	\item Sei $F= \ser{z_n}$. $z \in \C$ ist Häufungspunkt von $\mathscr{L}(F)$ wenn sich in jeder $\varepsilon$-Umgebung von $z$ mindestens ein von $z$ verschiedener Punkt $\tilde{z} \in \mathscr{L}(F)$ befindet. Setze $\varepsilon_1:=\varepsilon - |z - \tilde{z}|$. Nun ist $\tilde{z}$ Häufungswert von $F$, d.~h. es existiert eine gegen $\tilde{z}$ konvergente Teilfolge $\set{z_{n_l}}_{l\in \N}$. Mit anderen Worten existiert ein $l_0 \in \N$, so dass für $l \geq l_0$ \quad $|z_{n_l}|<\varepsilon_1$ ist. Dann ist aber für $l \geq l_0$ auch 
	\[ \abs{z-z_{n_l}} \leq \abs{z-\tilde{z}} + \abs{\tilde{z}-z_{n_l}} \leq \abs{z-\tilde{z}} + \varepsilon_1 = \abs{z-\tilde{z}} + \varepsilon -\abs{z-\tilde{z}}  = \varepsilon,\]
	also ist $z \in \mathscr{L}(F)$.
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 24: Rechnen mit oberen Grenzwerten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es seien $\ser{a_n}$, $\ser{b_n}$ beschränkte reelle Folgen. Zeigen Sie:
\[ \nlimi a_n + \nlims b_n \leq \nlims (a_n + b_n) \leq \nlims a_n + \nlims b_n.\]
\item Bestimmen Sie $\nlimi a_n$ und $\nlims a_n$ für die Folgen $\ser{a_n}$ mit
\[ a_n = \rkl{1 + (-1)^n}\,(-1)^{n(n+1)/2}\quad\text{ bzw. }\quad a_n = \rkl{1 + \frac{(-1)^n}{2n}}^{3n}.\]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 24}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wir setzen
	\[ a:= \nlimi a_n,\  A:= \nlims a_n\quad\text{sowie}\quad B:=\nlims b_n ,\]
	dann existieren nach der Definition des \emph{limes superior} zu gegebenem $\varepsilon >0$ natürliche Zahlen $n_a(\varepsilon), n_b(\varepsilon)$, so dass
	\[ n\geq n_a(\varepsilon) \Longrightarrow a_n \leq A+\frac{\varepsilon}{2} \quad\text{und}\quad n\geq n_b(\varepsilon) \Longrightarrow b_n \leq B+\frac{\varepsilon}{2}.\]
	Insgesamt ist dann für $n\geq \max\set{n_a(\varepsilon), n_b(\varepsilon)}$
	\[a_n + b_n \leq A+B+ \varepsilon.\]
	Da die rechte Seite der Ungleichung gar nicht von $n$ abhängt, kann man darauf den $\limsup$ anwenden und erhält
	\[ \nlims (a_n + b_n) \leq \nlims a_n + \nlims b_n + \varepsilon.\]
	Da dies aber für alle $\varepsilon >0$ gelten muss, ist der rechte Teil der Ungleichung gezeigt.\\
	Nach der Definition des \emph{limes inferior} gibt es außerdem ein $n_1(\varepsilon) \in \N$, so dass
	\[n\geq n_1(\varepsilon) \Longrightarrow a_n \geq a-\frac{\varepsilon}{2} \Longrightarrow a_n +b_n \geq a + b_n -\varepsilon.\]
	Wendet man auf die letzte Ungleichung den $\limsup$ an so folgt zunächst
	\[ \nlims (a_n + b_n) \geq a + \nlims b_n + \varepsilon.\]
	Da dies für beliebige $\varepsilon>0$ gelten muss, muss aber auch
	\[ \nlims (a_n + b_n) \geq \nlimi a_n + \nlims b_n\]
	sein. Damit ist auch der linke Teil der Ungleichung bewiesen. \endproof
	
	\item Es ist für die erste Folge für $k \in \N$
	\bea
	a_{4k} &=& \rkl{1 + (-1)^{4k}}\,(-1)^{4k(4k+1)/2} = 2,\\
	a_{4k+1} &=& \rkl{1 + (-1)^{4k+1}}\,(-1)^{(4k+1)(4k+2)/2} = 0,\\
	a_{4k+2} &=& \rkl{1 + (-1)^{4k+2}}\,(-1)^{(4k+2)(4k+3)/2} = -2,\\
	a_{4k+3} &=& \rkl{1 + (-1)^{4k+3}}\,(-1)^{(4k+3)(4k+4)/2} = 0.
	\eea
	Damit ist $\mathscr{L}(a_n) = \set{-2, 0, 2}$ und $\nlimi a_n = -2, \ \nlims a_n= 2$.\\
	
	Für die zweite Folge ist für $k \in \N$
	\bea
	a_{2k} &=& \rkl{1 + \frac{(-1)^{2k}}{4k}}^{6k} = \rkl{1 + \frac{1}{4k}}^{6k} = \rkl{\rkl{1 + \frac{1}{4k}}^{4k}}^{3/2} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} \sqrt{\e^3},\\
	a_{2k+1} &=& \rkl{1 + \frac{(-1)^{2k+1}}{4k+2}}^{6k+3} = \rkl{1 - \frac{1}{4k+2}}^{6k+3} = \rkl{1 - \frac{1}{4k+2}}^{6k+4}\, \rkl{1 - \frac{1}{4k+2}}^{-1}\\
	&=& \rkl{\rkl{1 - \frac{1}{4k+2}}^{4k+2}}^{3/2}\, \rkl{1 - \frac{1}{4k+2}}^{-1} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{\e^3}}.
	\eea
	Damit ist
	\[\mathscr{L}(a_n) = \set{\frac{1}{\sqrt{\e^3}}, \sqrt{\e^3}}\quad\text{und}\quad \nlimi a_n = \frac{1}{\sqrt{\e^3}}, \ \nlims a_n= \sqrt{\e^3}.\] 
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 25: Vergleich von Wurzel- und Quotientenkriterium.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben sei eine Zahlenfolge 
\ben
\item Beweisen Sie:
$$\liminf_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert \leq \liminf_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert }\leq \limsup_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert }\leq \limsup_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert$$
\item Geben Sie eine Folge an, für die in der Formel kein Gleichheitszeichen auftritt.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 25}}\\
\ben
\item Sei zunächst $\{b_n\}_{n\geq1}$ eine Folge positver Zahlen. Wir zeigen
$$0 \stackrel{(1)}{\leq} \liminf_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n+1}}{b_{n}}\stackrel{(2)}{\leq} \liminf_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{b_{n}}\stackrel{(3)}{\leq} \limsup_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{b_{n}}\stackrel{(4)}{\leq} \limsup_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n+1}}{b_{n}}.$$
(1) und (3) sind klar.\\
zu (2): Sei 
$$b=\liminf_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$
und zunächst $b>0$. Dann gibt es zu jedem $\ve$ mit $0<\ve<b$ ein $n_0(\ve)$ mit 
$$  \frac{b_{n+1}}{b_{n}} > b-\ve >0\qquad\mbox{bzw. }b_{n+1}>(b-\ve)b_n\qquad\mbox{für } n\geq n_0(\ve).$$
Rekursiv erhält man so für $n=n_0+k$
$$b_n>(b-\ve)^k\,b_{n_0} = (b-\ve)^n\,\frac{b_{n_0}}{(b-\ve)^{n_0}}.$$
Somit ist dann auch 
$$\sqrt[n]{b_n}>(b-\ve)\sqrt[n]{\frac{b_{n_0}}{(b-\ve)^{n_0}}}.$$
Da der Ausdruck unter der rechten Wurzel nicht von $n$ abhängt, erhält man noch
$$\liminf_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{b_n} \geq b-\ve$$
Dies gilt für jedes noch so kleine $\ve$ mit $0<\ve<b$, somit folgt 
$$\liminf_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{b_n}\geq b, \qquad\mbox{das ist (2).}$$
Für $b=0$ ist wegen $\sqrt[n]{b_{n}}>0=b$ ohnehin nichts zu beweisen.\\
Der Beweis für (4) geht analog. Mit $b_n=|a_n|$ kann man die Beweise auf allgemeine Zahlenfolgen übertragen.\\

\item Für 
$$a_n = \frac{(-1)^n}{(3+(-1)^n)^n}$$
ist
$$\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{3+(-1)^n}=\left\{\begin{array}{cl}\frac14 & \mbox{für gerades } n\\ \\
\frac12 & \mbox{für ungerades } n\\\end{array}\right.$$
und
$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(3+(-1)^n)^n}{(3+(-1)^{n+1})^{n+1}}=\left\{\begin{array}{cl}\left(2\right)^n\frac12 & \mbox{für gerades } n\\ \\
\left(\frac12\right)^n\frac14 & \mbox{für ungerades } n\\\end{array}\right.$$
Somit ist 
$$\liminf_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert =0 < \liminf_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert }=\frac14 < \limsup_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert }=\frac12< \limsup_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert=\infty$$
\een



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 26: Polizistenregel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie die Polizistenregel:\\ 
Gilt 
$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n \qquad\mbox{und}\qquad a_n\leq c_n\leq b_n \quad\mbox{für alle}\quad n\geq n_0,$$
so konvergiert auch die Folge $\{c_n\}$ und es gilt  
$$\lim_{n\rightarrow \infty} c_n=a.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 26}}\\
Aus Satz 11 (2) wissen wir:

$$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = 0, |y_n| \leq K |x_n| \quad\mbox{für}\quad n\geq n_0 \ \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} y_n = 0,$$
mit anderen Worten:\\
"`Wird eine Folge $\{y_n\}$ von einer gewissen Stelle $n_0$ an betragsmäßig von einer Nullfolge $\{x_n\}$ majorisiert, dann ist $\{y_n\}$ selbst eine Nullfolge."'\\

Sei jetzt $x_n:=b_n - a_n, y_n:=c_n-a_n$, dann ist $\{x_n\}$ wegen 
$$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \lim_{n\rightarrow\infty} (b_n -a_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n - \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a -a =0$$
eine Nullfolge und wegen 
$$0\leq y_n=c_n-a_n \leq b_n-a_n=x_n$$
muss dann nach obigem Satz auch $\{y_n\}$ eine Nullfolge sein.

Andererseits ist aber
$$\lim_{n\rightarrow\infty} c_n = \lim_{n\rightarrow\infty} (y_n +a_n) =
\lim_{n\rightarrow\infty} y_n + \lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0+a = a.$$
\endproof
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 27: Potenzfunktion versus Exponentialfunktion}
}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für festes $k \in \N$ die folgenden Grentwerte
\begin{enumerate}
	\item $\nlim \frac{n^k}{b^n}$ für $b>1$
	\item $\nlim n^k\,a^n$ für $\abs{a}<1$
\end{enumerate}
\tip{Zeigen Sie zunächst a) für k=1 und leiten Sie die anderen Ergebnisse davon ab.}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 27}}\\

\begin{description}
	\item[zu a):] Setze $b=1+c$ mit $c>0$ und $k=1$. Dann erhält man unter Benutzun des Binomischen Lehrsatzes für $n>2$
	\[0<\frac{n}{b^n} =\frac{n}{(1+c)^n} = \frac{n}{\sum_{l=1}^n \binom{n}{l}c^l} < \frac{n}{\binom{n}{2}c^2} = \frac{2}{(n-1)c^2} \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0.\]
	Daraus folgt nun unmittelbar $\nlim \frac{n}{b^n}=0$ für $b>1$.\\
	
	Sei nun $k>1$, dann ist
	\[0<\frac{n^k}{b^n} = \frac{n^k}{(b^{n/k})^k} = \rkl{\frac{n}{\sqrt[k]{b}^n}}^k.\]
	Wegen $\tilde{b}=\sqrt[k]{b}>1$ konvergiert nach dem oben Bewiesenen jeder der $k$ Faktoren $n/\tilde{b}^n$ gegen $0$ und damit auch das Produkt.
 \item[zu b):] Mit $b=\frac{1}{\abs{a}}>1$ ist 	
\[\nlim \abs{n^k\,a^n} = \nlim n^k\,\abs{a}^n = \nlim \frac{n^k}{b^n} = 0\]
und damit auch 
\[\nlim n^k\,a^n = 0.\]
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ rekursiv definierte Folgen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 28: Eine rekursiv definierte Folge in $\C$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge 
\begin{equation}
	z_{n+1} = \frac12 \left ( z_n + \frac1{z_n} \right )
\end{equation}
in Abhängigkeit vom Startwert $0\neq z_1 \in \C$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 28}}\\
Angenommen, es wäre bereits bewiesen, dass $z=\lim_{n\rightarrow\infty} z_n$ existiert, dann könnte man in der Gleichung (1) zur Grenze übergehen und erhielte $z^2=1$, d. h. als Grenzwert kämen nur $z=1$ oder $z=-1$ in Frage.

Wir untersuchen, ob man die Konvergenz gegen einen dieser Punkte direkt beweisen kann, indem man auf beiden Seiten der Gleichung (1) $1$ bzw. $-1$ abzieht und etwas umformt:
\begin{eqnarray}
	z_{n+1} - 1 &=& \frac12\left (z_n + \frac1{z_n} -2\right ) = \frac{(z_n -1)^2}{2z_n}\\
	z_{n+1} + 1 &=& \frac12\left (z_n + \frac1{z_n} +2\right ) = \frac{(z_n +1)^2}{2z_n}
\end{eqnarray}
Wenn Konvergenz vorliegt, dann ist diese quadratisch, es könnte allerdings noch sein, dass $z_n$ sehr nahe an $0$ herankommt und dadurch der große Faktor $\frac1{2z_n}$ die Konvergenz zerstört. Dies legt die Idee nahe, den Quotienten aus beiden Gleichungen zu bilden, da sich dabei der störende Faktor wegkürzt:
$$\frac{z_{n+1} - 1}{z_{n+1} + 1} = \left (\frac{z_n-1}{z_n+1}\right )^2.$$
Wir betrachten nun die Folge 
\begin{equation}
	q_n := \left |\frac{z_n-1}{z_n+1}\right | \qquad\mbox{mit der Rekursionsformel}\qquad q_{n+1} = q_n^2.
\end{equation}
Ohne Mühe läßt sich daraus die explizite Form 
\begin{equation}
	q_{n+1} = q_1^{2n}= \left ( q_1^2 \right )^n
\end{equation}
erkennen. 

Wir untersuchen nun die Konvergenz der Folge in (5) in Abhängigkeit von $q_1$ bzw. $z_1$ und deren Auswirkung auf die Folge $\{z_n\}$.
\ben
\item \underline{Sei $q_1=1$, d. h. $|z_1-1|=|z_1+1|$.}

$z_1$ liegt also auf der Mittelsenkrechten der Strecke von $z=-1$ nach $z=1$, also auf der imaginären Achse, aber nicht im Ursprung. Wegen Gleichung (5) sind alle $q_n=1$, also ist für alle $n$ der Realteil $\re(z_n)=0$, also $z_n= iy_n$ mit $y_n \in \R$. Setzt man dies in die Rekursionsformel (1) ein, so erhält man
\begin{equation}
	y_{n+1} = \frac12\left (y_n - \frac1{y_n}\right).
\end{equation}
Wird einmal $y_n=\pm 1$, so wäre $y_{n+1}=0$ und $y_{n+2}$ kann nicht mehr berechnet werden, insbesondere darf man nicht mit $y_1=\pm 1$ bzw. $z_1=\pm i$ starten. In diesen Fällen ist die Folge nicht definiert. Hätte die Folge einen Grenzwert $y$, könnte man also in (6) $n$ gegen unendlich laufen lassen, dann wäre $y^2=-1$. Da $y$ aber reell ist, kann das nicht sein und die Folge divergiert.

\item \underline{Sei nun $q_1<1$, d. h. $|z_1-1|<|z_1+1|$.}

Der Abstand von $z_1$ zu $1$ ist kleiner als der Abstand von $z_1$ zu $-1$, $z_1$ liegt also in  der rechten Halbebene, d. h. $\re(z_1)>0$. Die Folge $\{q_n\}$ bildet eine monoton fallende Nullfolge, also liegen alle $z_n$ in der rechten Halbebene und es gilt wegen (5) und (4)
$$\lim_{n\rightarrow\infty} q_n=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} |z_n -1|=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} z_n=1.$$  

\item \underline{Sei schließlich $q_1>1$, d. h. $|z_1-1|>|z_1+1|$.}

Der Abstand von $z_1$ zu $-1$ ist kleiner als der Abstand von $z_1$ zu $1$, $z_1$ liegt also in  der linken Halbebene, d. h. $\re(z_1)<0$. Die Folge $\{q_n\}$ bildet eine monoton wachsende, bestimmt gegen Unendlich divergierende Folge, deshalb liegen alle $z_n$ in der linken Halbebene. Wir betrachten aber besser die Folge
$$ r_n := \frac1{q_n} = \left |\frac{z_n+1}{z_n-1}\right |,$$
damit sind wir auch gleich das Problem $z_1=-1$ los.  Die Folge $\{r_n\}$ bildet wieder eine monoton fallende Nullfolge und analog zu b) erhalten wir
$$\lim_{n\rightarrow\infty} r_n=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} |z_n +1|=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty} z_n=-1.$$  
\een 
Damit ist alles gezeigt.


% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ monoton beschränkte }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 29: Arithmetisches Mittel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x_0, x_1\in \R$ und die Folge $\ser{x_n}$ sei rekursiv definiert durch
\[x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}\quad\text{für } n\in\N.\]
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, das die Folge $\ser{x_n}$ konvergiert.
	\item Berechnen Sie $\nlim x_n$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 29}}\\
\begin{enumerate}
	\item Da das arithmetische Mittel zweier Zahlen stets zwischen diesen beiden Zahlen liegt, ist z.~B. im Falle $x_0\leq x_1$ 
	\bea
	 x_0 &\leq& x_2 \leq x_1\\
	 x_0 &\leq& x_2 \leq x_3 \leq x_1\\
	 x_0 &\leq& x_2 \leq x_4 \leq x_3 \leq x_1\\
	&\vdots&\\
	 x_0 &\leq& x_2 \leq x_4 \leq \ldots \leq x_{2k}  \leq \ldots \leq x_{2k+1}  \leq \ldots \leq x_3 \leq x_1\\	
	\eea
	Wie man sieht, bildet die Teilfolge mit geraden Indizes eine monoton wachsende, nach oben beschränkte und damit konvergente Teilfolge und die Teilfolge mit ungeraden Indizes eine monoton fallende, nach unten beschränkte, ebenfalls konvergente Teilfolge.\\
	Im Falle $x_1\leq x_0$ ist es umgekehrt.\\
	Offen ist noch, ob die beiden Grenzwerte der  Teilfolgen übereinstimmen. Dazu schätzen wir folgendermaßen ab:
	\[x_{n+1}-x_n = \frac{x_n+x_{n-1}}{2} -x_n =-\frac{1}{2}(x_n-x_{n-1}),\]
	also
	\bea
	x_2-x_1 &=& -\frac{1}{2}(x_1-x_0)\\
	x_3-x_2 &=& -\frac{1}{2}(x_2-x_1) =  \rkl{-\frac{1}{2}}^2(x_1-x_0)\\
	x_4-x_3 &=& -\frac{1}{2}(x_3-x_2) = \rkl{-\frac{1}{2}}^2(x_2-x_1) =  \rkl{-\frac{1}{2}}^3(x_1-x_0)\\
	\eea
	und weiter induktiv
	\[x_{n+1}-x_n =  \rkl{-\frac{1}{2}}^n(x_1-x_0) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0.\]
	Da von den aufeinanderfolgenden  Indizes $n$ und $n+1$ stets genau einer gerade und einer ungerade ist, folgt daraus die Gleichheit der beiden Teilfolgengrenzwerte.
	\item Es ist
	\bea
	x_n&=&(x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+(x_{n-2}-x_{n-3})+\ldots +(x_2-x_1)+(x_1-x_0) +x_0\\
	&=& \sum_{k=0}^{n-1} (x_{k+1}-x_k) +x_0 =  \sum_{k=0}^{n-1} \rkl{-\frac{1}{2}}^k(x_1-x_0) +x_0 =x_0+(x_1-x_0)\sum_{k=0}^{n-1}  \rkl{-\frac{1}{2}}^k.\\
	\eea
	Mit der Summenformel für die endliche geometrische Reihe erhält man
	\[x_n = x_0 + (x_1-x_0)\frac{\rkl{-\frac{1}{2}}^n-1}{\rkl{-\frac{1}{2}}-1} =  x_0 + \frac{2}{3}(x_1-x_0)\rkl{1-\rkl{-\frac{1}{2}}^n} \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}  \frac{2x_1+x_0}{3}.\]
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 30: Konvergenzuntersuchung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ist die Zahlenfolge 
$$
a_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}
$$
konvergent? 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 30}}\\
Es ist
\bea
a_{n+1}-a_n &=& \left ( \frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+2}\right) - \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)\\
&=&\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}\\
&=&\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} > 0,\\
\eea

also ist $\left\{a_n\right\}$ monoton wachsend.\\

Andererseits ist
\bea
a_{n}&=&\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\\ &<& \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n} = n\,\frac{1}{n} =1,\\
\eea
also ist $\left\{a_n\right\}$ nach oben beschränkt. 

Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge besitzt aber immer einen Grenzwert.\\

Aus
$$
a_{n}=\sum_{k=1}^n\ \frac1{n+k} = \frac1n\,\sum_{k=1}^n\ \frac1{1+\frac{k}{n}}
$$
kann man erkennen, das es sich bei $a_n$ gerade um eine Zwischensumme des Integrals
$$
\int_1^2\ \frac1x\, dx = \ln 2 \approx 0.6930971803
$$
handelt.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 31: fast monotone Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine reelle Zahlenfolge $\{a_n\}_{n\geq 1}$ werde rekursiv definiert durch
$$a_1=2,\qquad a_{n+1}=\sqrt{a_n} + \frac1n \quad\mbox{für}\quad n=1,2,\ldots .$$
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 31}}\\
1. Weg:\\
Mit vollständiger Induktion zeigen wir zunächst $1\leq a_n\leq 3$ f"ur
alle $n$. Das ist richtig für $n=1$. Gilt die Ungleichung für ein
$n\in \ N$, so folgt:
\[
a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac{1}{n}\geq1+\frac{1}{n}\geq 1
\quad \text{und}\quad
a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac{1}{n}\leq\sqrt{3}+1\leq3.
\]
Also
\[
3\geq a:=\limsup_{n\to\infty}a_n \geq \liminf_{n\to\infty}a_n\geq1.
\]
Ferner:
\[
a=\limsup_{n\to\infty} a_{n+1}
=\limsup_{n\to\infty}\left( \sqrt{a_n}+\frac{1}{n}\right)
\leq \limsup_{n\to\infty}\sqrt{a_n}+\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}
=\sqrt{a}+0=\sqrt{a}
\]
Hieraus folgt zunächst $a\leq 1$ und wegen der obigen Abschätzung auch  $a=1$, also stimmen oberer und unterer Grenzwert der
Folge überein und daher existiert $\lim_{n\to\infty}a_n$ und ist
gleich $1$.\\

2. Weg:\\
Wie oben zeige man zuerst $a_n >1$ f"ur alle $n \in\N$. Ist außerdem für ein $n$ bereits $a_{n+1} \leq a_n$, dann ist auch 
$$a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}} + \frac1{n+1} \leq \sqrt{a_n} + \frac1n =a_{n+1},$$
es fehlt also nur ein Induktionsanfang. Leider ist $a_2 = \sqrt{2} +1 > 2,4 > a_1$, aber es ist auch $a_2 < 2,56 = (1,6)^2$, also $a_3 = \sqrt{a_2} + \frac12 < 2,1 < a_2$ . Damit ist die Folge für $n>2$ sogar monoton fallend und nach unten gegen 1 beschränkt, also existiert $a:=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n$ und aus der Rekursionsformel erhält man
$$ 1 \leq a = \sqrt{a}, \quad\mbox{d. h. }\quad a=1.$$ 



% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe 
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 32: Konvergenz rekursiv definierter Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben sei ein $c>0$, ein Startwert $x_0 \in (0, \frac{2}{c})$\\
und eine rekursiv definierte Folge: $x_{n+1}:=x_n(2-c\,x_n)$\qquad(*)\\

Man zeige:
\begin{itemize}
\item a) Die Folge $\{x_n\}$ ist für $n \geq 1$ monoton wachsend und beschränkt.
\item b) Es ist $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{c}$.
\item c) Im Fall $c \in (0,2)$ und $x_0=1$ gilt: $x_n=\frac{1-(1-c)^{2^n}}{c}$ für $n \in \raum{N}$.
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 32}}\\
{\bf zu a)} Wegen
$$x_{n+1}:=x_n(2-c\,x_n) =\frac{1}{c} - \frac{1}{c} + 2\,x_n -c\,x_n^2 = \frac{1}{c} - (\frac{1}{\sqrt{c}}-\sqrt{c}\,x_n)^2 <\frac{1}{c}$$
und 
$$ x_{n+1}\geq 0 \qquad\mbox{wegen}\qquad 2-c\,x_n > 2-c\,\frac{2}{c}=0$$
ist 
$$ 0 \leq x_n \leq \frac {1}{c}\qquad\mbox{für}\qquad n \geq 1.$$\\

Andererseits erhält man aus der Rekursionsformel
$$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = 2 - c\,x_n \geq 2 - c\,\frac{1}{c} =1\qquad\mbox{für}\qquad n \geq 1,$$
d. h. die Folge ist monoton wachsend.\\ 
 

{\bf zu b)} Wegen Monotonie und Beschränktheit existiert $x:=\lim_{n \rightarrow \infty} x_n$.\\
Um $x$ zu bestimmen, muss man in der Rekursionsgleichung den Grenzwert bilden, d. h. es muss gelten
$$x=x(2-c\,x) \qquad\mbox{woraus}\qquad x=0 \qquad\mbox{oder}\qquad x=\frac{1}{c}\qquad\mbox{folgt}.$$
$x=0$ kann man wegen des monotonen Wachstums der (positiven) Folge ausschließen, also ist 
$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{c}$$.\\

{\bf zu c)} (Beweis durch vollständige Induktion)\\
\begin{description} 
\item{Induktionsanfang}
$$x_1=1\,(2-c)=2-c=\frac{2c-c^2}{c}= \frac{1-1+2c-c^2}{c}=\frac{1-(1-c)^2}{c}=\frac{1-(1-c)^{2^1}}{c}$$
\item{Induktionsschritt}
\bea
x_{n+1}&=& \frac{1}{c} - (\frac{1}{\sqrt{c}}-\sqrt{c}x_n)^2 \qquad \mbox{siehe a)}\\
&=&\frac{1}{c} - (\frac{1}{\sqrt{c}}-\sqrt{c}\,\frac{1-(1-c)^{2^n}}{c})^2 \qquad \mbox{Induktionsvoraussetzung)}\\
&=&\frac{1}{c} - \frac{1}{c}\,(1-(1-(1-c)^{2^n}))^2 \\ 
&=&\frac{1}{c} - \frac{1}{c}\,(1-c)^{2^{n+1}} \\ 
&=&\frac{1-(1-c)^{2^{n+1}}}{c}. \\ 
\eea
\end{description}
Da $c \in (0,2)$ ist $|1-c|<1$, d. h. $(1-c)^{2^n}$ ist eine Nullfolge. \\
Man sieht also auch hier
$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{c}$$.\\
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 33: Eine monoton wachsende Folge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $0<b\in \R$ gegeben, wir definieren rekursiv die Folge
\bea
a_1 &=& \sqrt{b}\\
a_{n+1} &=& \sqrt{b + a_n}
\eea 
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie deren Grenzwert!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 33}}\\
Wir schreiben uns die ersten drei Glieder der Folge auf:
\bea
a_1 &=& \sqrt{b}\\
a_2 &=& \sqrt{b + \sqrt{b}} \geq \sqrt{b} = a_1\\
a_3 &=& \sqrt{b + \sqrt{b+ \sqrt{b}}} \geq \sqrt{b+\sqrt{b}} = a_2\\
\eea
Offensichtlich ist die Folge monoton wachsend. Wir beweisen es dennoch durch vollständige Induktion. Der Induktionsanfang ist gemacht.

Im Induktionsschritt dürfen wir $a_{n+1} \geq a_n$ voraussetzen und erhalten
\[a_{n+2} = \sqrt{b+a_{n+1}} \geq \sqrt{b+a_{n}} =a_{n+1},\]
womit die Monotonie bewiesen ist.\\

Um eine Ahnung zu erhalten, wogegen wir die Folge nach oben abschätzen könnten, nehmen wir schon mal an, das der Grenzwert $a=\nlim a_n$ existiert und gehen damit in die Rekursionsgleichung. Wir erhalten
\[ a= \sqrt{b+a}\quad\text{bzw.}\quad a^2=b+a \quad\text{bzw.}\quad a^2-a-b=0.\]
Diese quadratische Gleichung für $a$ hat die beiden Wurzeln 
\[a=\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+b},\]
von denen nur die mit "`+"' positiv ist und als Grenzwert in Frage kommt.\\

Wir beweisen nun 
\[a_n \leq a=\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+b}\]
durch vollständige Induktion.
\[\text{IA: } a_1 = \sqrt{b} \leq \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+b}\]
\[\text{I.-Schritt: } a_{n+1} = \sqrt{b + a_n}} \leq \sqrt{b + a}} = \sqrt{a^2} = a .\]

Damit ist nun auch die Existent des Grenzwertes gesichert.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 34: Monotone Teilfolgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $a_0 > 0$ vorgegeben und die Folge 
\begin{equation}
	a_{n+1} = \frac1{1+a_n}
\end{equation}
rekursiv definiert.\\

Besitzt die Folge $\{a_n\}$ einen Grenzwert ? Wenn ja, dann berechne man diesen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 34}}\\
Offensichtlich ist $0 < a_n < 1$ für alle $n \in \N$, die Folge ist also beschränkt und besitzt somit wenigstens eine konvergente Teilfolge. 

Wäre die gesamte Folge konvergent, dann könnte man den Grenzwert berechnen, indem man in der Rekursionsformel (1) $n$ gegen unendlich laufen lässt. Dies würde auf die Gleichung
\begin{equation}
	a=\frac1{1+a}\qquad\mbox{bzw.}\qquad a^2+a-1=0
\end{equation}
führen, die die Lösungen $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ hat. Da die $a_n$ alle positiv sind, scheidet der negative Wert aus, so dass als Grenzwert nur der Wert
$$a= \frac{\sqrt{5}-1}{2}=0.61803\ldots$$
in Frage kommt.

Setzt man in der linken Gleichung von (2) den Wert von $a$ auf der rechten Seite nochmal ein, so erhält man die Identität
\begin{equation}
	a=\frac1{1+\frac1{1+a}}=\frac{1+a}{2+a}
\end{equation}

Um einen Eindruck zu bekommen, betrachten wir die Folge $\{a_n\}$ mit $a_0=1$:
\begin{center}
	\begin{tabular}{r|l}
	  $n$ & $a_n$\\
	  \hline
	  0 & 1\\
	  1 & 0.5\\
	  2 & 0.666666\ldots\\
		3 & 0.6\\
		4 & 0.625\\
		5 & 0.615384\ldots\\
		6 & 0.619047\ldots\\
		\vdots & \vdots\\
	\end{tabular}
\end{center}

Wie man sieht, ist diese Folge selbst nicht monoton, bei näherem Hinsehen fällt aber auf, dass
$$ a_1 < a_3 < a_5 < a < a_6 < a_4 < a_2 < a_0$$
ist.

Man kann also vermuten, dass die Teilfolge mit den geraden Indizes monoton fallend und die Teilfolge mit den ungeraden Indizes monoton wachsend gegen $a$ konvergiert. Dies wollen wir jetzt - für allgemeines $a_0$ - beweisen. Dazu stellen wir zunächst $a_{n+2}$ durch $a_n$ dar:
\begin{equation}
a_{n+2} = \frac1{1+a_{n+1}}= \frac1{1+\frac1{1+a_n}}= \frac{1+a_n}{2+a_n}=1-\frac{1}{2+a_n}.
\end{equation}

Jetzt können wir die vier entscheidenden Abschätzungen herleiten:

\begin{description}
	\item[A1: $a_n < a \Rightarrow a_{n+2}<a$ und $a_{n+2}>a_n$:]
	\bea
	a_n < a &\Rightarrow& -\frac1{2+ a_n} < -\frac1{2+a}\Rightarrow a_{n+2}\stackrel{(4)}{=}1-\frac1{2+ a_n} < 1-\frac1{2+a}=\frac{1+a}{2+a} \stackrel{(3)}{=} a\\
	&\\
	a_{n+2}-a_n &\stackrel{(4)}{=}& \frac{1-a_n-a_n^2}{2+a_n} > \frac{1-a-a^2}{2+a_n} = \frac{1-a(1+a)}{2+a_n} \stackrel{(2)}{=}0\\
	\eea

	\item[A2: $a_n > a \Rightarrow a_{n+2}>a$ und $a_{n+2}<a_n$:] 
	\bea
	a_n > a &\Rightarrow&  -\frac1{2+ a_n} > -\frac1{2+a}\Rightarrow a_{n+2}\stackrel{(4)}{=}1-\frac1{2+ a_n} > 1-\frac1{2+a}=\frac{1+a}{2+a} \stackrel{(3)}{=} a\\
	&\\
	a_{n+2}-a_n &\stackrel{(4)}{=}& \frac{1-a_n-a_n^2}{2+a_n} < \frac{1-a-a^2}{2+a_n} = \frac{1-a(1+a)}{2+a_n} \stackrel{(2)}{=}0\\
	\eea
\end{description}
Nun können wir eine vollständige Fallunterscheidung für $a_0$ durchführen:
\begin{description}
	\item[$a_0=a$:] In diesem Fall erhält man wegen (2) die konstante Folge $a_n=a$, die natürlich den Grenzwert a besitzt.
	\item[$a_0<a$:] Dann ist wegen (A1) die Teilfolge mit den geraden Indizes eine monoton wachsende, nach oben gegen $a$ beschränkte und damit konvergente Folge, deren Grenzwert man durch Grenzübergang in (4) berechnen kann. Wegen (3) ist der Grenzwert $a$.\\
	Wegen 
	$$a_1=\frac1{1+a_0} > \frac1{1+a} =a$$ und (A2) ist die Teilfolge mit ungeraden Indizes eine monoton fallende, nach unten gegen $a$ beschränkte und damit ebenfalls konvergente Zahlenfolge, deren Grenzwert $a$ man wie oben durch Grenzübergang in (4) berechnen kann.
	\item[$a_0>a$:] Dann ist $$a_1=\frac1{1+a_0} < \frac1{1+a} =a$$ und die Teilfolgen mit den geraden bzw. ungeraden Indizes vertauschen - im Vergleich zum vorherigen Fall - die Rollen. Sonst ist alles analog.
\end{description}

Damit haben wir insgesamt bewiesen: Unabhängig von $a_0>0$ ist
$$ \lim_{n \rightarrow\infty} a_n = a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 35: Quadratwurzel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x_0$ und $A$ positive reelle Zahlen. Ferner sei eine Folge $\{ x_n \} $ rekursiv
definiert durch:
$$ x_n = \frac{1}{2}  \left( x_{n-1} + \frac{A}{x_{n-1} } \right), \quad (n \in \mathbb{N} ).$$
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass $x_n \geq  \sqrt{A}$, ($ n \in \mathbb{N}$).
	\item Zeigen Sie, dass $x_{n+1} \leq x_n$, ($ n \in \mathbb{N} $).
	\item Zeigen Sie, dass $\lim_{n\to \infty } x_n $ existiert.
	\item Zeigen Sie, dass $\lim_{n\to \infty}  x_n = \sqrt{A} $. 
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 35}}\\
\begin{enumerate}
	\item Nach der Ungleichung über das arithmetische und geometrische Mittel ist
	\[ x_n = \frac{1}{2}  \left( x_{n-1} + \frac{A}{x_{n-1} }  \right)\geq \sqrt{ x_{n-1}\,\frac{A}{x_{n-1}}} = \sqrt{A}. \]
	Das ist die Beschränktheit nach unten.
	\item Es ist
	\[ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{1}{2}  \left( 1 + \frac{A}{x_{n-1}^2 }  \right) \leq \frac{1}{2}  \left( 1 + \frac{A}{\sqrt{A}^2 } \right)  = 1,\]
	also $x_n \leq x_{n-1}$, d.~h. $x_n$ ist monoton fallend.
	\item Eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge ist konvergent, d.~h. $\nlim x_n = x$ existiert.
	\item Wende auf die Rekursionsformel den Grenzwert an, dann erhält man
	\[ x = \frac{1}{2}  \left( x + \frac{A}{x }  \right), \quad\text{also}\quad 2 x^2 = x^2 +A \quad\text{bzw.}\quad x^2=A.\]
	Da die $x_n$ alle positiv sind, kann der Grenzwert nicht negativ sein, also ist $x=\sqrt{A}.$
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 36: Einschachtelung für rekursive Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a, b > 0$ gegeben und die Folge $\ser{a_n}$ werde rekursiv definiert durch
\[a_0 = a,\quad a_1 = b,\quad a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n}\quad \text{für } n = 0, 1, \ldots\]
Zeigen Sie, dass die Folge $\ser{a_n}$ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 36}}\\
Wir setzen $a=b=x$ und beweisen folgenden 
\begin{hsatz} 
\begin{enumerate}
	\item Für $0<x<4$ ist $\ser{a_n}$ monoton steigend und $a_n<4$ für alle $n\in \N$.
	\item Für $x=4$ ist $a_n=4$ für alle $n\in \N$.
	\item Für $x>4$ ist $\ser{a_n}$ monoton fallend und $a_n>4$ für alle $n\in \N$.
\end{enumerate}
\end{hsatz}
\textbf{Beweis:}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{description}
		\item[Induktionsanfang:] 
		\begin{enumerate}
			\item $a_2-x=2\sqrt{x}-x = \sqrt{x}(2-\sqrt{x}) > \sqrt{x}(2-\sqrt{4}) = 0$ \quad (Monotonie)
			\item $a_2=2\sqrt{x}  < 2 \sqrt{4} =4$\quad (Beschränktheit).
		\end{enumerate}
		\item[Induktionsschritt:] Seien Monotonie und Beschränktheit für $k=1, 2, \ldots, n+1$ bewiesen, dann folgt aus der Monotonie der Wurzelfunktion 
		\begin{enumerate}
		  \item $a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n} > \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n-1}} = a_{n+1}$ \quad (Monotonie). 
			\item $a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n} < 2 \sqrt{4} =4$\quad (Beschränktheit).
		\end{enumerate}
	\end{description}
	\item trivial
	\item völlig analog zu a)
\end{enumerate}
\endproof\\


In allen Fällen konvergiert also die Folge, d.~h. wir dürfen den Grenzwert auf die Rekursionsgleichung anwenden. Mit $A:=\nlim a_n$ erhalten wir $A = 2 \sqrt{A}$, also $A=4$ oder $A=0$, wobei der zweite Wert wegen der Monotonie und Beschränktheit der Folge nicht auftreten kann. Dieses Ergebnis gilt insbesondere auch für $x=a$ und für $x=b$.\\

Es seien nun $\set{u_n}_n\in \N$ bzw. $\set{o_n}_n\in \N$ diejenigen Folgen, für die 
\[u_0 = a,\quad u_1 = a,\quad u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1}} + \sqrt{u_n}\quad \text{für } n = 0, 1, \ldots\]
bzw.
\[o_0 = a,\quad o_1 = b,\quad o_{n+2} = \sqrt{o_{n+1}} + \sqrt{o_n}\quad \text{für } n = 0, 1, \ldots\]
gilt, dann ist schon mal $u_k \leq a_k \leq o_k$ für $k=0, 1, 2 $. Wir zeigen noch

\begin{hsatz} Es ist $u_n \leq a_n \leq o_n$ für alle $n \in \N_0$.
\end{hsatz} 
\textbf{Beweis:}
\begin{description}
	\item[Induktionsanfang:] Nach Konstruktion erfüllt.
	\item[Induktionsschritt:] Sei die Behauptung für $k=0, 1, \ldots, n+1$ bereits bewiesen. Aus der Monotonie der Wurzel-Funktion folgt dann aus $0 < u_n \leq a_n \leq o_n$ und $0 <u_{n+1} \leq a_{n+1} \leq o_{n+1}$ durch Wurzelziehen in beiden Ungleichungen und anschließender Addition
	\[0 < \sqrt{u_{n+1}} + \sqrt{u_n} \leq \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n} \leq \sqrt{o_{n+1}} + \sqrt{o_n},\]
	also
	\[ u_{n+2} \leq a_{n+2} \leq o_{n+2}.\]
\end{description}
\endproof\\

Damit gilt nach dem Einschachtelungssatz auch $\nlim a_n =4$.



% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Teilfolgen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 37: Existenz einer speziellen Teilfolge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Besitzt die Folge $\{a_n\}_{n\geq 1}$ mit $a_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ eine Teilfolge $\{a_{n_l}\}_{l\geq 1}$,
die mit der Folge $\{(\sqrt{2} - 1)^l\}_{l\geq 1}$ übereinstimmt? Wenn ja, geben Sie die ersten 5 Werte
für $n_l$ an.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 37}}\\
Wenn es eine derartige Folge gibt, dann muss gelten
\begin{equation}
	\sqrt{n_l + 1} - \sqrt{n_l} = (\sqrt{2} - 1)^l.
\end{equation}
Erweitert man diese Gleichung links und recht nach der dritten binomischen Formel, so ergibt sich 
$$\frac 1{\sqrt{n_l + 1} + \sqrt{n_l}} = \frac{(\sqrt{n_l + 1} - \sqrt{n_l})(\sqrt{n_l + 1} + \sqrt{n_l})}{\sqrt{n_l + 1} + \sqrt{n_l}} = \left (\frac{(\sqrt{2} - 1)\,(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} + 1}\right )^l= \frac1{(\sqrt{2} + 1)^l},$$
also muss gleichzeitig zu (1) auch
\begin{equation}
	\sqrt{n_l + 1} + \sqrt{n_l} = (\sqrt{2} + 1)^l
\end{equation}
gelten. Subtrahiert man nun (1) von (2), dividiert durch 2 und quadriert, so erhält man
\begin{equation}
	n_l = \frac14 \left (\sqrt{2} + 1)^l -(\sqrt{2} - 1)^l \right )^2.
\end{equation}
Fraglich ist noch, ob $n_l$ wirklich ganzzahlig ist. Mit Hilfe des binomischen Satzes gilt
\bea
	n_l &=& \frac14 \rkl{\rkl{\sqrt{2} + 1}^l -\rkl{\sqrt{2} - 1}^l}^2=\frac14 \rkl{\rkl{\sqrt{2}+1}^{2l} -2\underbrace{\rkl{\sqrt{2}+1}^l\rkl{\sqrt{2}-1}^l}_{=1}+\rkl{\sqrt{2} - 1}^{2l}}\\
  &=& \frac14 \rkl{ \sum_{k=0}^{2l}\,\binom{2l}{k}\,\sqrt{2}^k + \sum_{k=0}^{2l}\,\binom{2l}{k}\,\sqrt{2}^k(-1)^{2l-k}\ -2}\\
  &=& \frac14\,\rkl{2\,\sum_{m=0}^l\,\binom{2l}{2m}\,\sqrt{2}^{2m}-2}
  = \frac12\ \rkl{ \sum_{m=0}^l\,\binom{2l}{2m}\,2^m\ -1}=   \sum_{m=1}^l\,\binom{2l}{2m}\,2^{m-1}.\\
\eea
Beim Übergang von der vorletzten zur letzten Zeile benutzt man, dass sich für ungerades $k$ die entsprechenden Summanden in den beiden Summen wegheben, während sie für gerades $k=2m$ doppelt vorkommen. Jetzt sieht man auch, dass $n_l$ tatsächlich ganzzahlig ist.

Einfacher ist es jedoch, die Formel (3) mit einem Computeralgebra-Progamm wie maple\footnote{Maple, Mathematica und andere Computeralgebra-Programme sind im Computerkabinett des mathematischen Institutes installiert.} berechnen zu lassen. \\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{n:= proc(l) ((expand((sqrt(2)+1)^l)-expand((sqrt(2)-1)^l))/2)^2 end
proc;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{n := proc (l) (1/2*expand((sqrt(2)+1)^l)-1/2*expand((sqrt(2)-1)^l))^2
end proc;}{%
\[
n := \textbf{proc} (l)\,(1/2 \ast \mathrm{expand}((\mathrm{sqrt}(
2) + 1)^{l}) - 1/2 \ast \mathrm{expand}((\mathrm{sqrt}(2) - 1)^{l
}))^{2}\,\textbf{end proc} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{\{seq(n(i),i=1..20)\};}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{\{1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449, 2239277041,
2584123765441, 15061377048200, 13051463048, 443365544448, 76069501249,
511643454094368, 87784138523761, 11309768, 65918161, 384199200\};}{%
\maplemultiline{
\{1, \,8, \,49, \,288, \,1681, \,9800, \,57121, \,332928, \,
1940449, \,2239277041, \,2584123765441,  \\
15061377048200, \,13051463048, \,443365544448, \,76069501249, 
 \\
511643454094368, \,87784138523761, \,11309768, \,65918161, \,
384199200\} }
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 38: Häufungswerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finde alle Häufungswerte der Zahlenfolge
\[x_n=\frac{n}{n+5}\rkl{\sin \frac{n\pi}{4}+\cos \frac{n\pi}{4}},\quad  n\in \N\cup \set{0}\]
und bestimmen Sie $\nlims x_n$ und $\nlimi x_n$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 38}}\\
Wir setzen
\[x_n=a_n\cdot b_n\quad\text{mit}\quad a_n=\frac{n}{n+5},\quad b_n=\sin \frac{n\pi}{4}+\cos \frac{n\pi}{4}.\]
Offensichtlich ist $\nlim a_n=1$. Die Folge $b_n$ lassen wir von Maple berechnen.\\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b:=proc(n)
return sin(n*Pi/4)+cos(n*Pi/4)
end;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{b := proc (n) return sin(1/4*n*Pi)+cos(1/4*n*Pi) end proc;}{%
\[
b := \textbf{proc} (n)\,\textbf{return } \mathrm{sin}(1/4 \ast n
 \ast \pi ) + \mathrm{cos}(1/4 \ast n \ast \pi )\,\textbf{
end proc} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b(0);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{1;}{%
\[
1
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b(1);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{2^(1/2);}{%
\[
\sqrt{2}
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{ser=[seq(b(n),n=0..7)];}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{ser = [1, 2^(1/2), 1, 0, -1, -2^(1/2), -1, 0];}{%
\[
\mathit{ser}=[1, \,\sqrt{2}, \,1, \,0, \,-1, \, - \sqrt{2}, \,-1
, \,0]
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{ser=[seq(b(n),n=8..15)];}{%
}
\end{mapleinput}

\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{ser = [1, 2^(1/2), 1, 0, -1, -2^(1/2), -1, 0];}{%
\[
\mathit{ser}=[1, \,\sqrt{2}, \,1, \,0, \,-1, \, - \sqrt{2}, \,-1
, \,0]
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}

Wie man sieht, zerfällt die Folge $b_n$ wegen der Periodizität der $\sin$- und $\cos$-Funktion in acht konstante Teilfolgen mit den fünf verschiedenen Werten $\set{- \sqrt{2}, \,-1, \,0,\,1,\,\sqrt{2}}$. Dies sind dann wegen $\nlim a_n=1$ auch die Häufungswerte von $x_n$. Damit ist
\[ \nlims x_n = \sqrt{2} \quad\text{und}\quad \nlimi x_n = - \sqrt{2}.\] 



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Funktionen }
\section{ einer Variablen }
\subsection{ Differentialrechnung }
\subsubsection*{ Anwendungen }
\paragraph*{ Extremwertaufgaben }\ \\
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 39: 
Ein Minimalproblem 
}}\\
% Aufgabentext eintragen

Es sei $f\colon (a-\varepsilon,b+\varepsilon)\to\R$ eine differenzierbare
Funktion mit $a<b$, $\varepsilon>0$ und $f(a)=f(b)=0$, $f(x)>0$
f.a. $a<x<b$.

Es sei für $a<x_0<x_1<b$ die Funktion $D_{x_0,x_1}\colon [a,b]\to\R$
definiert durch
$$
   D_{x_0,x_1}(t)=\sqrt{(t-x_0)^2+f(t)^2}+\sqrt{(t-x_1)^2+f(t)^2}\,.
$$
\begin{enumerate}
\item[a)] Gib eine geometrische Interpretation von $D(t)$.
\item[b)] Zeige: F\"ur alle $a<x_0<x_1<b$ existiert ein $\xi\in(a,b)$ mit 
$$
    D_{x_0,x_1}(\xi)=\inf_{t\in[a,b]}D_{x_0,x_1}(t)\,.
$$
\item[c)] Sei $T$ die Tangente von $f$ in dem Punkt $(\xi,f(\xi))$. Was
  kann man über die Winkel zwischen $T$ und der Strecke von
  $(x_0,0)$ nach $(\xi,f(\xi))$ sowie zwischen $T$ und der Strecke von
  $(x_1,0)$ nach $(\xi,f(\xi))$ sagen?
\item[d)] Gib eine geometrische Interpretation des Ergebnisses aus c).
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Hier Lösungstext eintragen
\underline{\textbf{Lösung 39}}\\
\begin{enumerate}
\item[zu a)] $D_{x_0,x_1}(t)$ ist gerade die Summe der Abstände der Punkte $(x_0,0)$ und $x_1,0)$ vom Punkt $(t,f(t))$.

\includegraphics{lImage001}
\item[zu b)] Wegen der Stetigkeit von $f$ und der Wurzelfunktion ist für feste $x_0, x_1$ die Funktion $D_{x_0,x_1}(t)$ ebenfalls stetig und auf $[a,b]$ nach unten beschränkt. Es exitiert also ein $\xi \in [a,b]$ mit  
$$   D_{x_0,x_1}(\xi)=\inf_{t\in[a,b]}D_{x_0,x_1}(t)\,, $$
wobei allerdings nicht klar ist, ob $\xi$ im Inneren oder auf dem Rand des Intervalles liegt. (Mit der gleichen Begründung kann man auch die Existenz des Maximums von $D_{x_0,x_1}$auf $[a,b]$ zeigen. Da $f$ in einer Umgebung von $[a,b]$ differenzierbar ist, können wir die erste Ableitung von $D_{x_0,x_1}$ bilden:
$$ D'_{x_0,x_1}(t)=\frac{t-x_0 +f(t)f'(t)}{\sqrt{(t-x_0)^2+f(t)^2}}+\frac{t-x_1 +f(t)f'(t)}{\sqrt{(t-x_1)^2+f(t)^2}}\,.$$
Offensichtlich ist $D'_{x_0,x_1}(a)=-2<0$ und $D'_{x_0,x_1}(b)=2>0$, d. h. es liegen am Rand lokale Maxima vor. Andererseits gibt es wegen der Stetigkeit von $D'_{x_0,x_1}$ wenigstens ein $\xi \in (a,b)$, für das die  
notwendige Bedingung für ein lokales Extremum im Inneren erfüllt ist. Mindestens eines davon ist auch globales Minimum, dieses bezeichnen wir fortan mit $\xi$.
\begin{equation}
	D'_{x_0,x_1}(\xi)=\frac{\xi-x_0 +f(\xi)f'(\xi)}{\sqrt{(\xi-x_0)^2+f(\xi)^2}}+\frac{\xi-x_1 +f(\xi)f'(\xi)}{\sqrt{(\xi-x_1)^2+f(\xi)^2}}=0\,.
\end{equation}
\item[zu c)] Im folgenden arbeiten wir mit Vektoren und bezeichnen
$$ \vec{r}_0 = \bma{c}\xi-x_0\\f(\xi)\\\ema,\ \vec{r}_1 = \bma{c}\xi-x_1\\f(\xi)\\\ema,\ \vec{t} = \bma{c}1\\f'(\xi)\\\ema,\ \vec{n} = \bma{c}f'(\xi)\\-1\\\ema\,.$$
$\vec{t}$ ist dabei der Tangentenvektor, der senkrecht auf dem Normalenvektor $\vec{n}$ steht, den man wiederum aus der Tangentengleichung 
$$y-f(\xi) = f'(\xi)(x-\xi)\quad\mbox{ bzw. }\quad  f'(\xi)(x-\xi)-(y-f(\xi)) = 0 \quad\mbox{ bzw. }\quad \vec{n}^T\,\bma{c}\xi-x\\y-f(\xi)\\\ema$$
erhält. Gleichung (1) lautet nun in vektorieller Form, wenn man noch durch $\sqrt{1+f'(\xi)^2}$ dividiert.
\begin{equation}
	\cos\angle(\vec{r}_0,\vec{t}) = \frac{\vec{r}_0^T\,\vec{t}}{\|\vec{r}_0\|\,\|\vec{t}\|} = - \frac{\vec{r}_1^T\,\vec{t}}{\|\vec{r}_0\|\,\|\vec{t}\|} = - \cos\angle(\vec{r}_1,\vec{t})=\cos\angle(\vec{t},\vec{r}_1)\,. 
\end{equation}
\item[zu d)] Die geometrische Interpretation lautet folgendermaßen:

Ist $\xi \in (a,b)$ das globale Minimum von $D_{x_0,x_1}$, dann sind die Winkel zwischen den Vektoren $\vec{r}_0$ und $\vec{r}_1$ und der Tangente bzw. der Normale gleich groß, es gilt also ein Brechungsgesetz.

Die Gleichheit der Winkel resultiert nur aus der notwendigen Bedingung (1), ist also unabhängig von der Eigenschaft des absoluten Minimums. Das gleiche Ergebnis erhält man also an allen stationären Punkten von $D_{x_0,x_1}$, das sind solche, in denen $D'_{x_0,x_1}(\xi)=0$ ist.
In einem Randextremwert gilt das im allgemeinen nicht, es sei denn, die Kurve mündet senkrecht bei $a$ und $b$ in die $x$-Achse ein.

{\em Beispiel: } Ist $f$ die oberer Halbkurve einer Ellipse, dann sind nach Definition alle Abstandssummen von den Brennpunkten $x_0$ und $x_1$ gleich groß. Bei der Ellipse ist also jeder Punkt $\xi \in [a,b]$ zugleich lokales Maximum und lokales Minimum von $D_{x_0,x_1}$, d. h. es gilt in allen Punkten das Brechungsgesetz. 
\end{enumerate}
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 40: Kegelvolumen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Aus einem Kreis wird ein Sektor mit dem Zentriwinkel $\alpha$ herausgeschnitten. Der Sektor wird zu einem Kegel zusammengerollt. Bei welcher Größe des Winkels $\alpha$ wird das Volumen des Kegels am größten sein?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 40}}\\
$r$ sei der Radius des Kreises, $s$ die Länge des Bogens des herausgeschnittenen Sektors, d.h. der Umfang des Grundkreises des entstehenden Kegels. Sei $R$ der Radius des Kegelbodens, dann ist $2\pi R = s = r\alpha$, also $R=\frac{r\alpha}{2\pi}$. $r$ ist gleichzeitig die Länge der Mantellinie des Kegels. Die Höhe $h$ des Kegels ist $\sqrt{r^2 -R^2}$.\\

Für das Volumen des Kegels ergibt sich daher in Abhängigkeit vom Winkel $\alpha$:
$$V(\alpha) = {1 \over 3} \pi R^2(\alpha)\sqrt{r^2 - R^2(\alpha)} = {\pi \over 3}  (\frac{r\alpha }{2\pi})^2 \sqrt{r^2 -(\frac{r\alpha }{2\pi })^2} = {\pi \over 3}\frac{r^2 \alpha^2}{4\pi^2}r\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}}= \frac{4r^3\alpha^2}{3\pi}\frac{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{2\pi}$$
also
\bea 
V(\alpha) & = & \frac{2r^3}{3\pi^2}\alpha^2\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\ 
V'(\alpha) & = & \frac{2r^3}{3\pi^2}(2\alpha\sqrt{4\pi^2-\alpha^2} - \frac{\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}})\\
 & = & \frac{2r^3}{3\pi^2}\frac{2\alpha(4\pi^2-\alpha^2)-\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\\
 & = & \frac{2r^3}{3\pi^2}\frac{8\alpha\pi^2-3\alpha^3}{4\pi^2-\alpha^2}
\eea
Dabei ist $V'(\alpha)=0$ für $\alpha=0$ oder $\alpha={2 \over 3}\sqrt{6}\pi$.
Da $V(0)=0 ~(R=0)$ und $V(2\pi)=0 ~(h=0)$ und $V(\alpha)>0$ für $0<\alpha<2\pi$ und $V$ stetig von $\alpha$ abhängt, muss es ein Maximum im Inneren des Intervalles $(0,2\pi)$ geben. Dies kann dann nur bei $\alpha={2 \over 3}\sqrt{6}\pi$ sein. Da es nur ein lokales Maximum in diesem Intervall gibt, muss dieses auch globales Maximum sein.


% Ende der Lösung
\newpage
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{260pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 41: Maximaler Sichtwinkel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Auf einem der beiden Schenkel eines Winkels $\alpha, 0<\alpha<\frac\pi2$, sind zwei Punkte $A, B$ markiert mit den vom Scheitelpunkt $S$ aus gemessenen Abständen $a, b (a<b)$. Gesucht wird auf dem anderen Schenkel der Punkt $X$, von dem aus die Strecke $AB$ unter maximalem Winkel $\phi$ erscheint. Wie lauten bei festem $\alpha$ die Bedingungen für das Verhältnis $\lambda=a:b$, die darüber entscheiden, ob $\phi$ ein spitzer, rechter oder stumpfer Winkel ist?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{170pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.45]{aImage002}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 41}}\\
Wie man an der Skizze sieht, gilt im Dreieck $\Delta (A(a,0),B(b,0),X(x,x\tan \alpha))$ bzw. in dessen Teildreiecken 
$$\tan \beta = \frac{x-a}{x\tan \alpha},\quad \tan \gamma = \frac{b-x}{x\tan \alpha},$$
d. h. mit $t:=\tan \alpha$ und $a=\lambda b, 0<\lambda<1$
\begin{eqnarray*}
\tan\varphi &=& \tan(\beta+\gamma) = \frac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta \tan\gamma}\\
&=&\frac{x-\lambda b + b - x}{xt-\frac{(x-\lambda b)(b-x)}{xt}} = \frac{bxt(1-\lambda)}{x^2t^2+x^2+\lambda b^2 - xb(1+\lambda)}\\
&=&\frac{bxt(1-\lambda)}{x^2(t^2+1)- xb(1+\lambda)+\lambda b^2 }
\end{eqnarray*} 
Der Zähler dieser Funktion ist wegen $\lambda<1$ stets positiv. Wir bestimmen die Nullstellen $x_{1/2}$ des Nenners bzw der dazu äquivalenten Gleichung
$$x^2- \frac{xb(1+\lambda)}{t^2+1}+\frac{\lambda b^2}{t^2+1} = 0. $$
Es ist 
\begin{eqnarray*}
x_{1/2}&=& \frac{b(1+\lambda)}{2(t^2+1)}\pm \sqrt{\frac{b^2(1+\lambda)^2}{4(t^2+1)^2}-\frac{\lambda b^2}{t^2+1}}=\frac{b(1+\lambda)}{2(t^2+1)}\pm \sqrt{\frac{b^2(1+\lambda)^2}{4(t^2+1)^2}-\frac{4\lambda b^2(t^2+1)}{4(t^2+1)^2}}\\
&=&\frac{b(1+\lambda)}{2(t^2+1)}\pm \frac{\sqrt{b^2(1+\lambda)^2-4\lambda b^2(t^2+1)}}{2(t^2+1)}
=\frac{b(1+\lambda)\pm b\sqrt{(1+\lambda)^2-4\lambda (t^2+1)}}{2(t^2+1)}\\
&=&\frac{b\left (1+\lambda\pm \sqrt{(1+\lambda)^2-4\lambda (t^2+1)}\right)}{2(t^2+1)}.
\end{eqnarray*}
Ist 
$$f(t,\lambda):=(1+\lambda)^2-4\lambda (t^2+1)=\lambda^2 -(2+4t^2)\lambda +1<0,$$ 
dann gibt es keine reelle Nullstellen, d. h. $\tan\varphi$ ist positiv und beschränkt und $\varphi$ ist spitz. Ist $f(t,\lambda)=0$, dann gibt es eine reelle Nullstelle, an dieser wird $\tan\varphi=\infty$ und $\varphi=\frac\pi2$ ist der größte Winkel, unter dem die Strecke $AB$ zu sehen ist. Ist schließlich $f(t,\lambda)>0$, dann gibt es zwei reelle Nullstellen des Nenners, d. h. dazwischen wird $\tan\varphi$ negativ und der größte Betrachtungswinkel ist stumpf. 

Für festes $t=\tan\alpha$ ist $f(t,\lambda)$ eine quadratische Funktion in $\lambda$ mit den Nullstellen
$$\lambda_{1/2} = 1+2t^2\pm \sqrt{4t^2+4t^4}=1+2t^2\pm2t\sqrt{1+t^2},\mbox{ mit }\lambda_1>1>\lambda_2>0$$
d. h. es ist 
\begin{eqnarray*}
f(t,\lambda) &<& 0 \qquad\mbox{und}\quad\varphi\quad\mbox{spitz für}\qquad \lambda_2 < \lambda < 1\\ 
f(t,\lambda) &=& 0 \qquad\mbox{und}\quad\varphi=\frac\pi2\quad\mbox{für}\qquad \lambda=\lambda_2\\ 
f(t,\lambda) &=& 0 \qquad\mbox{und}\quad\varphi\quad\mbox{stumpf für}\qquad \lambda<\lambda_2\\ 
\end{eqnarray*}
Um den Punkt $X$ zu bestimmen, genügt es, die oben angegebene Funktion für $\tan\varphi$ nach $x$ zu differenzieren.
$$\frac{d\tan\varphi}{dx}=\frac{bt(1-\lambda)(x^2(t^2+1)- xb(1+\lambda)+\lambda b^2)-btx(1-\lambda)(2x(t^2+1)-b(1+\lambda))}{(x^2(t^2+1)- xb(1+\lambda)+\lambda b^2)^2}.$$
Zur Bestimmung der Extremwerte sind zunächst nur die (positiven) Nullstellen des Zählers interessant, d. h. wir betrachten die Gleichung
\begin{eqnarray*}
&&bt(1-\lambda)\left(x^2(t^2+1)-xb(1+\lambda)+\lambda b^2-2x^2(t^2+1)+bx(1+\lambda)\right)=0, \qquad x>0\\
&\Leftrightarrow&\lambda b^2-x^2(t^2+1)=0, \qquad x>0\\
&\Leftrightarrow& x=\frac{\sqrt{\lambda}\,b}{\sqrt{t^2+1}}\\
\end{eqnarray*}
Vom Punkt $S$ aus sieht man die Strecke $AB$ unter dem Winkel Null, entfernt man sich von $S$, dann wird der Winkel größer, erreicht sein Maximum und wird dann wieder kleiner, für $x\rightarrow\infty$ wird der Winkel wieder Null. Da nur ein (positiver) Extremwert existiert, ist dieser das gesuchte Maximum.
\newpage
% Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{280pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 42: Maximumproblem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man suche unter allen Dreiecken mit gegebener fester Seite $c$ und gegenüberliegendem Winkel $\gamma$ dasjenige mit dem größten Flächeninhalt!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{150pt}\hspace{10mm}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage003}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 42}}\\
\ben
\item \underline{Beste Lösung mit Differentialrechnung}\\

Für die Dreiecksfläche gilt
\begin{equation}
	F=\frac{1}{2}c\,h_c.
\end{equation}
Dabei ist nach Pythagoras und Sinussatz $h_c=b\,\sin\alpha =c^2\,\frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin\gamma}$, d.~h.
\begin{equation}
	F(\alpha)=\frac{c^2}{\sin\gamma}\sin\alpha\,\sin(\pi-(\alpha+\gamma)) = \frac{c^2}{\sin\gamma}\sin\alpha\,\sin(\alpha+\gamma). 
\end{equation}
Aus $F'(\alpha)=0$ folgt dann sofort
$$0=\cos\alpha\,\sin(\alpha+\gamma)+\sin\alpha\,\cos(\alpha+\gamma)=\sin(2\alpha+\gamma),$$
also
$$2 \alpha+\gamma=k\pi.$$
Wegen $0<\alpha, \gamma <\pi $ und $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ kommt nur $k=1$ in Frage, dann ist aber 
$$2 \alpha+\gamma=\alpha+\beta+\gamma \quad\text{also}\quad \alpha=\beta=\frac{\pi-\gamma}{2},$$
das Dreieck ist also gleichschenklig.
 
\item \underline{Lösung mit Cosinussatz durch Auflösung nach einer Variablen}\\

Sind $a$ und $b$ die beiden anderen Seiten des Dreiecks, dann gilt für den Flächeninhalt
\begin{equation}
	F=\frac{1}{2}ab\sin \gamma
\end{equation}
Außerdem gilt noch der Kosinussatz:
\begin{equation}
	 c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos\gamma
\end{equation}

Wegen (5) ist 
\begin{equation}
	b_{1/2} = a\cos\gamma \pm \sqrt{a^2\cos^2\gamma-a^2+c^2} = a\cos\gamma \pm \sqrt{c^2-a^2\sin^2\gamma},
\end{equation}
was nur unter der Bedingung 
\begin{eqnarray}
	a&\leq& \frac{c}{\sin \gamma}\qquad\mbox{für +}\\
	c\leq a &\leq&\frac{c}{\sin \gamma}\qquad\mbox{für -}
\end{eqnarray}
möglich ist. Die Lösung $b_2$ ist nur für $c\leq a$ sinnvoll, anderenfalls wäre die Lösung negativ. Setzt man nun (6) in (4) ein, so erhält man $F$ nur in Abhängigkeit von $a$:

$$F(a)=\frac{\sin \gamma}{2}(a^2\cos\gamma \pm \sqrt{a^2c^2-a^4\sin^2\gamma}).$$
Notwendig für die Existenz eines lokalen Maximums ist
\bea
F'(a)&=&\frac{\sin \gamma}{2}(2a\cos\gamma \pm \frac{ac^2-2a^3\sin^2\gamma}{\sqrt{a^2c^2-a^4\sin^2\gamma}})=0\quad\mbox{bzw.}\\
2a\cos\gamma\sqrt{c^2-a^2\sin^2\gamma}&=&\left \{ \begin{array}{c} 2a^2\sin^2\gamma-c^2\quad\mbox{für}\quad \frac{c}{\sqrt{2}\sin\gamma}\leq a\leq \frac{ c}{\sin\gamma}\qquad\mbox{Fall (+)}\\c^2-2a^2\sin^2\gamma\quad\mbox{für}\quad c\leq a \leq \frac{c}{\sqrt{2}\sin\gamma}\qquad\mbox{Fall (-)} \end{array} \right .\\
\eea
Beim Quadrieren spielen die Vorzeichen zunächst keine Rolle mehr.
\bea
4\cos^2\gamma(a^2c^2-a^4\sin^2\gamma) &=& c^4 -4a^2c^2\sin^2\gamma+4a^4\sin^4\gamma\quad\mbox{bzw.}\\
0&=& c^4 -4a^2c^2\sin^2\gamma + 4a^4\sin^4\gamma - 4a^2c^2\cos^2\gamma + 4a^4\sin^2\gamma\cos^2\gamma\quad\mbox{bzw.}\\
0&=&4a^4\sin^2\gamma-4a^2c^2+c^4\quad\mbox{bzw.}\\
0&=&a^4 - \frac{c^2}{\sin^2\gamma}a^2 +\frac{c^4}{4\sin^2\gamma}.
\eea
Dies ist eine biquadratische Gleichung für $a$ mit der Lösung
$$a_{1/2}=\sqrt{\frac{c^2}{2\sin^2\gamma}\pm \sqrt{\frac{c^4}{4\sin^4\gamma}-\frac{c^4}{4\sin^2\gamma}}}=\sqrt{\frac{c^2}{2\sin^2\gamma}(1\pm\cos\gamma)}= \frac{c}{\sin\gamma}\sqrt{\frac{1\pm\cos\gamma}{2}}.$$
Unter Verwendung der Additionstheoreme
$$ \sin\gamma=2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\quad\mbox{und}\quad \cos\gamma=2\cos^2\frac{\gamma}{2}-1$$
erhält man schließlich
$$a_1=\frac{c}{2\sin\frac{\gamma}{2}} \qquad\mbox{und}\qquad a_2=\frac{c}{2\cos\frac{\gamma}{2}}.$$
Setzt man diese Lösungen in die Gleichung (6) ein, so ergibt sich mit $\varphi=\frac{\gamma}{2}$
\ben
\item $a=\frac{c}{2\sin\varphi}$
\bea
b_{1/2} &=& \frac{c\cos2\varphi}{2\sin\varphi}\pm \sqrt{c^2-c^2\frac{\sin^22\varphi}{4\sin^2\varphi}}\\
&=& \frac{c}{2\sin\varphi}\left (1- 2\sin^2\varphi \pm \sqrt{4\sin^2\varphi -4\sin^2\varphi \cos^2\varphi} \right )\\
&=&\frac{c}{2\sin\varphi}\left (1- 2\sin^2\varphi \pm 2\sin^2\varphi\right )
\eea
d. h. 
\bea
b_1&=&a\qquad  \mbox{für}\qquad a\sin\gamma\leq c<\sqrt{2}a\sin\gamma\\
b_2&=&a(1- 4\sin^2\varphi)=a(2\cos\gamma-1)\qquad  \mbox{für}\qquad c\geq\sqrt{2}a\sin\gamma.
\eea
\item $a=\frac{c}{2\cos\varphi}$
\bea
b_{3/4} &=& \frac{c\cos2\varphi}{2\cos\varphi}\pm \sqrt{c^2-c^2\frac{\sin^22\varphi}{4\cos^2\varphi}}\\
&=& \frac{c}{2\cos\varphi}\left (2\cos^2\varphi -1 \pm \sqrt{4\cos^2\varphi -4\sin^2\varphi \cos^2\varphi} \right )\\
&=&\frac{c}{2\cos\varphi}\left (2\cos^2\varphi -1 \pm 2\cos^2\varphi\right )
\eea
d. h. 
\bea
b_3&=&  -a \qquad  \mbox{für}\qquad a\sin\gamma\leq c<\sqrt{2}a\sin\gamma\\
b_4&=&a(4\cos^2\varphi\ - 1)=a(2\cos\gamma+1)\qquad  \mbox{für}\qquad c\geq\sqrt{2}a\sin\gamma.
\eea
\een
Offensichtlich entfällt die Lösung $b_3$ aus praktischen Erwägungen. Bei den anderen drei Lösungen überprüfen wir mit Hilfe von (5) ob die Bedingungen in (7) und (8) bzw. (9) erfüllt sind:
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
		Nr. & $a$ & $b$ & $c$ & Bedingung & erfüllt?\\
		\hline
		&&&&&\\
		1 &  $a$ &  $a$ & $a\sqrt{2(1-\cos\gamma)}$&$\sin\gamma\leq\sqrt{2(1-\cos\gamma)}\leq\sqrt{2}\sin\gamma$&ja\\
		&&&&&\\
		2 &  $a$ &$a(2\cos\gamma-1)$&$a\sqrt{2(1-\cos\gamma)}$&$\sqrt{1-\cos\gamma}\geq\sin\gamma$&nein\\
		&&&&&\\
		4 &  $a$ & $a(2\cos\gamma+1)$&$a\sqrt{2(1+\cos\gamma)}$&$\sqrt{1+\cos\gamma}\geq\sin\gamma$&ja\\
		
	\end{tabular}
\end{center}
 
\item \underline{Lösung im $\Rx{2}$ mit Lagrangeschem Multiplikator}\\

Man betrachte
$$ F(a,b,\lambda) = \frac{1}{2}ab\sin\gamma+\lambda(a^2+b^2-2ab\cos\gamma -c^2).$$
Notwendig für die Existenz eines lokalen Maximums ist das Verschwinden aller ersten partiellen Ableitungen, d. h. man erhält das Gleichungssystem
\bea
F_a(a,b,\lambda)=\frac{1}{2}b\sin\gamma+\lambda(2a-2b\cos\gamma)&=&0\\
F_b(a,b,\lambda)=\frac{1}{2}a\sin\gamma+\lambda(2b-2a\cos\gamma)&=&0\\
F_\lambda(a,b,\lambda)=a^2+b^2-2ab\cos\gamma -c^2
\eea
Aus den ersten beiden Gleichungen erhält man
\bea
a&=&b(\cos\gamma-\frac{\sin\gamma}{4\lambda})\\
b&=&a(\cos\gamma-\frac{\sin\gamma}{4\lambda}),\\
\eea
$$\mbox{d. h. }\qquad 1 = (\cos\gamma-\frac{\sin\gamma}{4\lambda})^2 \mbox{ bzw. } (\cos\gamma-\frac{\sin\gamma}{4\lambda})=\pm 1,$$
also ist $a=b$ oder $a=-b$. Die zweite Bedingung ist wegen $a, b > 0$ praktisch nicht erfüllbar, also wird das aus natürlichen Überlegungen existierend Maximum von gleichschenkligen Dreieck angenommen.
\item \underline{elementargeometrische Lösung}\\
Nach dem Peripheriewinkelsatz stehen nur Dreiecke zur Konkurrenz, deren Spitze $C$ auf dem Kreisbogen über der Sehne $c$ liegen. Von denen ist dasjenige mit der größten Höhe das flächengrößte Dreieck, also aus Symmetriegründen das, bei dem die Höhe gleich der Mittelsenkrechten ist, also das gleichschenklige Dreieck.
\een
\newpage
\paragraph*{ Fehlerrechnung }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 43: Bestimmung der dritten Dreiecksseite
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die folgende Aufgabe im Rahmen der elementaren Fehlerrechnung,
d.h. bei kleinem $h$ wird für eine Differenz $f(x+h)-f(x)$ näherungsweise $f'(x)·h$ gesetzt. 

In einem Dreieck soll die Messung der Seiten $b$ und $c$ als genau angesehen werden, während die
Messung des eingeschlossenen Winkels $\alpha$ mit dem absoluten Fehler $|d\alpha|$ behaftet ist. 

Mit welchem absoluten und relativen Fehler kann daraus die dritte Dreiecksseite $c$ berechnet
werden? Rechnen Sie mit folgenden Zahlenwerten: $b$ = 400 Meter, $c$ = 500 Meter, $\alpha$ = 60
Grad, $|d\alpha|$ = 10 Bogensekunden (1 Bogensekunde = (1/3600) Grad).

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 43}}\\
Zunächst ist zu beachten, dass der Winkel $\alpha$ und der absolute Eingangsfehler $d\alpha$ in das Bogenmaß umzurechnen sind, da sonst die Einheiten nicht stimmen und auch die Winkelfunktionen dieses verlangen. Es ist
$$ \alpha = 60° = \frac{\pi}{3}\qquad\mbox{und}\qquad d\alpha=10'' = \frac{10}{3600}\cdot\frac{\pi}{180}= \frac{\pi}{10^2\cdot 2^3\cdot 3^4 }$$
Aus dem Cosinussatz gewinnt man
$$ f(\alpha) = \sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha} = 100\sqrt{21}\,m,$$
sowie
$$f'(\alpha)=\frac{bc\sin\alpha}{f(\alpha)} = \frac{10^3}{\sqrt{7}}\approx 378\, m.$$
Die Ableitung stellt - vom Standpunkt der Numerik gesehen - den Verstärkungsfaktor für den absoluten Eingangsfehler $d\alpha$ dar. Da dieser aber sehr klein ist, ist der absolute Fehler
$$df = f'(\alpha)d\alpha = \frac{10^3}{\sqrt{7}}\frac{\pi}{10^2\cdot 2^3\cdot 3^4 }\approx 0.018 m$$ 
immer noch vertretbar.

Der relative Fehler 
$$\frac{df}{f}= \frac{\sqrt{3}\pi}{2^4\cdot3^5\cdot5\cdot7} \approx 4\cdot10^{-5}$$ ist natürlich noch kleiner, numerisch interessanter ist aber, wie der relative Eingansfehler $\frac{d\alpha}{\alpha}$ verstärkt wird. Diesen Faktor erhält man durch Erweitern des relativen Fehlers mit $\alpha$, d.~h.
$$\frac{df}{f}= \frac{\alpha\cdot f'(\alpha)}{f(\alpha)}\cdot\frac{d\alpha}{\alpha} \approx 0.86\cdot\frac{d\alpha}{\alpha},$$
der relative Eingangsfehler wird also nicht verstärkt. Solche Probleme werden in der Numerik als gut konditioniert bezeichnet.\\

Die tatsächlichen Rechnungen wurden mit Maple ausgeführt, auf der nächsten Seite sehen Sie das dazugehörige Protokoll:\\
\newpage
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{alpha:=Pi/3;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{alpha := 1/3*Pi;}{%
\[
\alpha  := {\displaystyle \frac {\pi }{3}} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{d_alpha:=Pi/180/360;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{d_alpha := 1/64800*Pi;}{%
\[
\mathit{d\_alpha} := {\displaystyle \frac {\pi }{64800}} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b:=400;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{b := 400;}{%
\[
b := 400
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{c:=500;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{c := 500;}{%
\[
c := 500
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{f:=sqrt(b^2+c^2-2*b*c*cos(alpha));}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{f := 100*21^(1/2);}{%
\[
f := 100\,\sqrt{21}
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{fs:=b*c*sin(alpha)/f;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{fs := 1000/21*3^(1/2)*21^(1/2);}{%
\[
\mathit{fs} := {\displaystyle \frac {1000\,\sqrt{3}\,\sqrt{21}}{
21}} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{evalf(fs);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{377.9644731;}{%
\[
377.9644731
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{absF:=fs*d_alpha;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{absF := 5/6804*3^(1/2)*21^(1/2)*Pi;}{%
\[
\mathit{absF} := {\displaystyle \frac {5\,\sqrt{3}\,\sqrt{21}\,
\pi }{6804}} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{evalf(absF);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{.1832423476e-1;}{%
\[
0.01832423476
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{relF:=fs/f*d_alpha;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{relF := 1/136080*3^(1/2)*Pi;}{%
\[
\mathit{relF} := {\displaystyle \frac {\sqrt{3}\,\pi }{136080}} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{evalf(relF);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{.3998675849e-4;}{%
\[
0.00003998675849
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{relFF:=alpha*fs/f;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{relFF := 10/63*3^(1/2)*Pi;}{%
\[
\mathit{relFF} := {\displaystyle \frac {10\,\sqrt{3}\,\pi }{63}} 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{evalf(relFF);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{.8637139832;}{%
\[
0.8637139832
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
 





% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ lHospital }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 44: Differenzenformel für 2. Ableitung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f:(a,b) \to \mathbb{R} $ zweimal differenzierbar in einem Punkt $x_0 \in (a,b)$. 
Zeigen Sie, dass
$$
\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{h^2} ( f(x_0 +h) -2f(x_0 ) + f(x_0 -h) ) = f'' (x_0 ).
$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 44}}\\
Weil $f$ zweimal differenzierbar in $x_0 $ ist, ist $f' $  stetig in $x_0 $. 
Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital erh\"alt man dann:
\begin{eqnarray*}
 & & \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_0 +h) -2f(x_0 ) + f(x_0 -h) }{h^2 } 
 \\
 & = & 
\lim\limits_{h\to 0} \frac{ \frac{d}{dh} [f(x_0 +h) -2f(x_0 ) + f(x_0 -h) ]}{\frac{d}{dh} [h^2 ]}
\\
 & = & \lim\limits_{h\to 0} \frac{f'(x_0 +h) - f'(x_0 -h) }{2h } \\
  & = & \frac{1}{2} \lim\limits_{h\to 0} \frac{f'(x_0 +h) - f'(x_0 ) }{h } 
+\frac{1}{2}\lim\limits_{h\to 0} \frac{f'(x_0 -h ) - f'(x_0 ) }{(-h) }\\
 & = &   \frac{1}{2} f'' (x_0 ) + \frac{1}{2} f'' (x_0 ) = f'' (x_0 ).
\end{eqnarray*}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 45: Grenzwertberechnungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ermitteln Sie ob der Grenzwert existiert, 
und wenn er existiert, so berechnen Sie ihn.
\begin{enumerate}
	\item $\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{e^x -1} $.
	\item $\lim\limits_{x\to \infty } (\cosh x -\sinh x) $.
	\item $\lim\limits_{ x\to 0+0 }\left( \frac{1}{\sin x } - \frac{1}{x} \right)$.
	\item $\lim\limits_{ x\to 0}  \frac{\arctan x}{\arcsin x } $.
	\item $\lim\limits_{ x\to 0}  |\sin x | ^x $.
	\item $\lim\limits_{ x\to e}  \frac{\ln (\ln x)}{\sin (x-e)}  $.
	\item $\lim\limits_{ x\to +\infty }  x\sin (1/x) $.
	\item $\lim\limits_{ x\to +\infty }  \sqrt{x} ( e^{-1/x} -1 ) $.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 45}}\\
\begin{enumerate}
	\item Nach der Regel von de l'Hospital gilt 
$$
0= \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x }{e^x } = \lim\limits_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)'}{(e^x -1)'} = 
\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{e^x -1} . 
$$
	\item Es gilt 
$$
\lim\limits_{x\to \infty } (\cosh x -\sinh x) = \lim\limits_{x\to \infty } 
\left( \frac{e^x + e ^{-x} }{2} -\frac{e^x - e ^{-x} }{2} 
\right) =  \lim\limits_{x\to \infty } e ^{-x} =0.
$$ 
	\item Nach zweimaliger Anwendung der Regel von de l'Hospital folgt:
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{ x\to 0+0 } \left( \frac{1}{\sin x } - \frac{1}{x} \right) & = & 
\lim\limits_{ x\to 0+0 }  \frac{x-\sin x }{x\sin x } \\
 & = & \lim\limits_{ x\to 0+0 }  \frac{( x-\sin x )'}{(x\sin x )'  } = 
 \lim\limits_{ x\to 0+0 }  \frac{1-\cos x }{\sin x + x\cos x}
\\
 & = &
 \lim\limits_{ x\to 0+0 } \frac{ (1-\cos x )' }{(\sin x + x\cos x )'} =
  \lim\limits_{ x\to 0+0 } \frac{ \sin x }{2 \cos x -x\sin x } =0.
\end{eqnarray*} 
	\item Nach der Regel von de l'Hospital folgt:
$$ \lim\limits_{ x\to 0}  \frac{\arctan x}{\arcsin x } = 
\lim\limits_{ x\to 0}  \frac{ (\arctan x )'}{(\arcsin x )'} =
\lim\limits_{ x\to 0} \frac{ (1+x^2 ) ^{-1}}{ (1-x^2 )^{-1/2}} =1.
$$ 
	\item Nach der Regel von de l'Hospital, und unter Benutzung des bekannten Grenzwertes\\ 
$\lim_{x\to 0 } x^{-1} \sin x =1$ folgt:
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{ x\to 0} x \ln |\sin x |
 & = & \lim\limits_{ x\to 0} \frac{ \ln |\sin x | }{1/x}
\\
 & = &  \lim\limits_{ x\to 0} \frac{ (\ln |\sin x | )'}{(1/x )'} = 
 \lim\limits_{ x\to 0} \frac{ (\sin x) ^{-1} \cos x }{- x ^{-2} }
 \\
 & = & \lim\limits_{ x\to 0} \frac{ -x ^2  \cos x }{\sin x } =  
 \lim\limits_{ x\to 0} \frac{ -x    }{\sin x }
\cdot \lim\limits_{ x\to 0} x\cos x = (-1) \cdot 0 =0.   
\end{eqnarray*} 
Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion ist daher
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{ x\to 0}  |\sin x | ^x  & = & \lim\limits_{ x\to 0} \mbox{ exp } \{ x \ln |\sin x | \}
\\
 & = & \mbox{ exp } \left\{  \lim\limits_{ x\to 0} x \ln |\sin x | \right\} = e ^0 =1 .
 \end{eqnarray*}
	\item Nach der Regel von de l'Hospital folgt: 
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{ x\to e}  
\frac{\ln (\ln x)}{\sin (x-e)}  
 & = & \lim\limits_{ x\to e}  \frac{(\ln (\ln x))'}{(\sin (x-e))'}
\\
 & = &  \lim\limits_{ x\to e}  \frac{ (x\ln x) ^{-1} }{ \cos (x-e)} 
 =  \lim\limits_{ x\to e}  \frac{ 1}{ x(\ln x) [ \cos (x-e) ]} = \frac{1}{e} .
\end{eqnarray*}
	\item Es gilt nach Substitution $y:= (1/x)$:
$$
\lim\limits_{ x\to +\infty }  x\sin (1/x)  =  
\lim\limits_{ x\to +\infty }  \frac{\sin (1/x)}{1/x} 
 =  \lim\limits_{ y\to 0 }  \frac{\sin y}{y} =1.
$$
	\item Nach der Regel von de l'Hospital folgt: 
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{ x\to +\infty }  \sqrt{x} ( e^{-1/x} -1 )
 & = & \lim\limits_{ x\to +\infty }  \frac{ e^{-1/x} -1 }{x ^{-1/2} }
\\
 & = &  \lim\limits_{ x\to +\infty }  \frac{ (e^{-1/x} -1 )'}{(x ^{-1/2} )'  } 
 = \lim\limits_{ x\to +\infty }  \frac{ x^{-2} e^{-1/x}}{ -(1/2) x ^{-3/2}   }
\\
 & = &  -2\lim\limits_{ x\to +\infty }  x^{-1/2} e^{-1/x} =0.
\end{eqnarray*} 
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 46: Uneigentliche Integrale und Regel von de l'Hospital
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f$ integrierbar auf $[0,b]$ für alle $b> 0, \flim{x}{\infty} f(x)= A, (A \in \R)$, 
und $a> -1$. Berechnen Sie
\[ \flim{x}{\infty} x^{-a-1}\,\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 46}}\\
\begin{description}
	\item[Fall 1:] $\displaystyle{\int_0^\infty\,f(t)\,t^a\,dt} =: I <\infty$ existiert.\\
	Dann ist 
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}}=0.\]
	
	\item[Fall 2:] $\displaystyle{\int_0^\infty\,f(t)\,t^a\,dt} =\infty$ existiert nicht.\\ 
	Dann ist 
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}}\]
ein unbestimmter Ausdruck vom Typ "`$\infty/\infty$"', auf den man die Regel von de l'Hospital anwenden kann. Aus dieser und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt dann
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}} = \flim{x}{\infty} \frac{f(x)\,x^a}{(a+1)x^{a}} = \frac{A}{a+1}.\]
\end{description}

\underline{Bemerkung:} Fall 1 kann nur für $A=0$ auftreten. Ist z.~B. $A>0$, dann existiert wegen $\flim{x}{\infty} f(x)= A$ ein $\chi>0$, so dass $f(t)>\frac{A}{2}$ für $x>\chi$ ist. Dann kann das unbestimmte Integral  
\[\int_\chi^\infty\,f(t)\,t^a\,dt > \frac{A}{2}\,\int_\chi^\infty\,t^a\,dt\] 
wegen $a>-1$ aber nicht existieren. Für $A<0$ kann man zu $-f$ übergehen.\\

Da für $A=0$ aber auch im zweiten Falle der Grenzwert gleich 0 ist, kann man beide Ergebnisse zusammenfassen zu
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}} = \frac{A}{a+1}.\]




% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{220pt}
\underline{Aufgabe:}\\

Für einen Wert $x \in (0,1)$ betrachte man den auf den Kreisbogen eines Einheitkreises mit Mittelpunkt in (1,0) darüberliegenden Punkt mit der Ordinate $y$. Die Länge des zugehörigen Bogenstückes vom Ursprung bis zu diesem Punkt sei $b$. Die Gerade durch die Punkte $(0,b)$ und $(x,y)$ schneide die $x$-Achse im Punkte $(a,0)$. Wie verhält sich $a$, wenn $x$ gegen $0$ strebt?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{210pt}
\includegraphics[scale=0.5]{aImage004}
\end{minipage}
\end{tabular}
}\\


% Lösung
\underline{\textbf{Lösung 46}}\\
Der Radiuswinkel am Kreismittelpunkt hat den Wert $b$. Geht $x$ gegen $0$, dann geht auch $b$ gegen $0$. Außerdem gilt

\bea
\cos b = 1 - x, & \mbox{d. h. } & x = 1 - \cos b \\
\sin b =y, & \mbox{d. h. } & y= \sin b\\
\eea 

Die Achsenabschnittsgleichung für die Gerade lautet
$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. $$
Da unser Punkt mit den Koordinaten $(x,y)$ auf der Geraden liegt, gilt also
$$ \frac{1-\cos b}{a} + \frac{\sin b}{b} = 1. $$
Löst man diese Gleichung nach $a$ auf, so gilt
$$ a(b) = \frac{b-b\cos b}{b-\sin b}.$$

Dreimalige Anwendung der Regel von l'Hospital ergibt schließlich

$$\lim_{b\rightarrow 0} \frac{b-b\cos b}{b-\sin b} = \lim_{b\rightarrow 0} \frac{1 -\cos b +b\sin b}{1-\cos b} =\lim_{b\rightarrow 0} \frac{2\sin b+b\cos b}{\sin b}=\lim_{b\rightarrow 0} \frac{3\cos b- b\sin b}{\cos b} = 3.$$

\newpage
\subsubsection*{ Bestimmung der Ableitung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 47: Bestimmung der Ableitungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ermitteln Sie die Definitionsbereiche und Ableitungen für die folgenden
Funktionen.
\begin{enumerate}
\item $f_1(x) = |x|^a,\quad  ( a \in \R )$; 
\item $f_2(x) = x^x$ ;
\item $f_3(x) = \sin(\e^{x^2})$ ;
\item $f_4(x) = \arctan(x^2 + 1)$ ;
\item $f_5(x) = \arcosh(1 + \sin x)$ .
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 47}}\\
\begin{enumerate}
\item Für $a=0$ ist $f_1(x)\equiv 1$ und $f_1'(x)\equiv 0$. Sei nun $a\neq 0$:
\[f_1(x) = |x|^a =\begin{cases}x^a & \text{falls } x>0\\ (-x)^a & \text{falls } x<0\\ 0 & \text{falls } x=0\\\end{cases}\quad  ( a \in \R ).\]

In den ersten beiden Fällen kann man mit den üblichen Rechenregeln ableiten, im Falle $x=0$ benutzen wir die Definition:
\[\flim{h}{0+0} \frac{h^a-0}{h}= \flim{h}{0+0}h^{a-1} = \begin{cases}0 & \text{falls } a>1\\ 1 & \text{falls } a=1\\   \infty & \text{falls } 0\neq a<1, \\\end{cases}\]
und
\[\flim{h}{0-0} -\frac{(-h)^a-0}{(-h)}= -\flim{h}{0+0}(-h)^{a-1} = \begin{cases}0 & \text{falls } a>1\\ -1 & \text{falls } a=1\\ -\infty & \text{falls } 0 \neq a<1\\\end{cases}.\]
Insgesamt ist
\[f_1'(x)  =\begin{cases}ax^{a-1}=a|x|^{a-1} & \text{falls } x>0\\ -a(-x)^{a-1}=-a|x|^{a-1} & \text{falls } x<0\\ \begin{cases} 0 & \text{falls } a>1\\ \text{nicht definiert } & \text{falls } a \leq 1\\	
\end{cases} & \text{falls } x=0\\\end{cases}\quad  ( a \in \R ).\]
Damit ist dann auch 
\[\db f_1' = \begin{cases}  \R & \text{ falls } a>1 \text { oder } a=0\\ \R\setminus\set{0} & \text{ falls } 0 \neq a \leq 1 \\\end{cases}.\]

\item Da bereits $\db f_2 =\R^+:=\set{x\in \R\ |\ x>0}$ ist, kann $\db f_2'$ nicht größer sein. Wegen 
\[f_2(x) = x^x=\e^{x\ln x} \Rightarrow f_2'(x) =  \e^{x\ln x}\rkl{1+\ln x}=x^x\rkl{1+\ln x}\]
und damit $\db f_2=\R^+$.

\item Nach Kettenregel gilt 
\[f_3(x) = \sin(\e^{x^2}) \Longrightarrow f_3'(x) = \cos(\e^{x^2})\cdot \e^{x^2} \cdot 2x\]
und $\db f_3'= \R$.

\item Mit 
\[z=\tan y \quad\text{und}\quad \frac{dz}{dy} =\frac{d}{dy}\tan y = 1+\tan^2 y\]
ist 
\[y=\arctan z \quad\text{und}\quad \frac{dy}{dz} =\frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+z^2}.\]
Mit $z=x^2+1$ folgt nach Kettenregel
\[f_4(x) = \arctan(x^2 + 1) \Longrightarrow f_4'(x)=\frac{1}{1+(x^2+1)^2}\cdot 2x =\frac{2x}{x^4+2x^2+2}\]
und $\db f_4'=\R$.

\item Wegen $\arcosh x = \ln(x+\sqrt{x^2-1}$ und $\db \arcosh =[1,\infty)$ ist $f_5$ nur dort definiert, wo $\sin x \geq 0$ ist, also ist $\db f_5 = \set{x \in \R\ |\ 2k\pi \leq x \leq (2k+1)\pi, k\in\Z}$. Dort gilt 
\[f_5(x) = \arcosh(1 + \sin x) = \ln\rkl{1+\sin x+\sqrt{(1+\sin x)^2-1}} = \ln\rkl{1+\sin x+\sqrt{2\sin x+\sin^2 x}}\]
und nach Kettenregel 
\bea
f_5'(x) &=& \frac{1}{1+\sin x+\sqrt{2\sin x+\sin^2 x}}\cdot \rkl{\cos x + \frac{\cos x+\sin x \cos x}{\sqrt{2\sin x+\sin^2 x}}}\\
&=& \frac{\cos x}{1+\sin x+\sqrt{2\sin x+\sin^2 x}}\cdot \rkl{\frac{\sqrt{2\sin x+\sin^2 x} +1 +\sin x }{\sqrt{2\sin x+\sin^2 x}}}\\
&=& \frac{\cos x}{\sqrt{2\sin x+\sin^2 x}}\\
\eea
Der letzte Ausdruck zeigt, dass die Ableitung an den Nullstellen der $\sin$-Funktion nicht existiert, also ist $\db f_5'=\set{x \in \R\ |\ 2k\pi < x < (2k+1)\pi, k\in\Z}$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ Mittelwertsätze }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 48: Anwendung des Mittelwertsatzes
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $f :(0; 1) ^\to \R$ differenzierbar und der Grenzwert $A=\flim{x}{0+0} f'(x)$ existiere.\\
Zeigen Sie:\\ 
Dann existiert auch $\flim{x}{0+0} f(x):= \lambda$. Ferner ist die durch $f(0):= \lambda$ auf $[0; 1)$ fortgesetzte Funktion in $0$ rechtsseitig differenzierbar mit der Ableitung
\[f'_+(0):=\flim{x}{0+0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \flim{x}{0+0} f'(x).\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 48}}\\
Sei $\ser{x_n}$ eine positive Nullfolge. Dann gilt für die Folge $\ser{f(x_n)}$ nach Mittelwertsatz
\[\frac{f(x_n)-f(x_m)}{x_n-x_m}=f'(\xi_{m,n}),\]
wobei mit $m,n\to\infty$ auch $\xi_{m,n}\to 0$ und $f'(\xi_{m,n})\to A$ geht. Aus der geforderten Konvergenz von $f'$ folgt aber die Beschränktheit
\[\abs{f'(\xi_{m,n})}<c\quad\text{bzw.}\quad \abs{f(x_n)-f(x_m)}<c\,\abs{x_n-x_m}.\]
$\ser{f(x_n)}$ ist also eine Cauchy-Folge und damit konvergent mit $\nlim f(x_n):= \lambda$.\\
Sei nun $\ser{y_n}$ eine weitere positive Nullfolge, dann folgt analog die Konvergenz $\nlim f(y_n):= \mu$, wobei
\bea
\abs{\lambda-\mu}&\leq&\abs{\lambda-f(x_n)}+\abs{f(x_n)-f(y_n)}+\abs{f(y_n)-\mu}\\
&=&\abs{\lambda-f(x_n)}+\abs{f'(\xi_n)}\abs{x_n-y_n}+\abs{f(y_n)-\mu}\\
&\leq&\abs{\lambda-f(x_n)}+c\,\abs{x_n-y_n}+\abs{f(y_n)-\mu}\\
\eea
Da nun die rechte Seite für $n \to \infty$ gegen 0 konvergiert, folgt $\lambda=\mu$ bzw. $\flim{x}{0+0} f(x):= \lambda$. Damit erfüllt dann $f$ im Intervall $[0,x]$ die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes und es ist
\[f'_+(0):=\flim{x}{0+0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} =  \flim{x}{0+0} f'(\xi)=  \flim{x}{0+0} f'(x)=A, \quad 0<\xi<x.\]

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 49: Anwendung des Satzes von Rolle
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Rolle: Die Gleichung
\[x^n + px + q =0,\quad (p;q \in \R)\]
hat für gerades $n \in \N$ höchstens zwei und für ungerades $n \in \N$ höchstens drei reelle Lösungen $x$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 49}}\\
Der Fall $n=0$ ist trivial. Dann hat die Gleichung keine Lösung, wenn auch noch $p=0$ ist und sonst die einzige Lösung $x=-(q+1)/p$.\\
Im Falle $n=1$ hat die Gleichung keine Lösung, falls $p=-1$ ist und sonst die einzige Lösung $x=-q/(p+1).$
Sei nun $n>1$.\\ 
Betrachte die stetige und differenzierbare Funktion
\[f(x)=x^n + px + q \quad\text{mit}\quad f'(x)=nx^{n-1}+p\quad\text{und}\quad f''(x)=n(n-1)x^{n-2}.\]
\begin{description}
	\item[$n$ gerade] Die Gleichung $f'(x)=0$ hat genau eine reelle Lösung, d.~h. $f$ hat höchstens ein lokales Extremum. \\
	Hätte die Gleichung $f(x)=0$ drei verschiedene Lösungen, dann müsste nach dem Satz von Rolle $f$ aber wenigstens zwei lokale Extrema haben.
	\item[$n$ ungerade] Die Gleichung $f''(x)=0$ hat nur eine reelle Lösung, nämlich $x=0$. Analog zu oben, hat dann die Gleichung $f'(x)=0$ höchstens zwei reelle Lösungen und mit demselben Schluss hat die Gleichung $f(x)=0$ höchstens drei reelle Lösungen. 	
\end{description}

% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ Ungleichungen aus Mittelwertsatz }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 50: Bernoulli-Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a\in \mathbb{R} $, $a\not= 0$, $a\not=1 $, und $x\geq -1 $. 
Benutzen Sie den Mittelwertsatz um die folgenden Ungleichungen zu zeigen: 
\begin{eqnarray*}
 & & (1 + x)^a \leq 1+ax \quad \mbox{wenn }\ 0<a<1\\   
 & & (1 + x)^a \geq 1+ax \quad \mbox{wenn  }\ a<0 \ \mbox{ oder } \ a>1.
\end{eqnarray*}  

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 50}}\\

Für $x=0$ tritt in beiden Ungleichungen offensichtlich Gleichheit ein.\\
sei nun $x\neq 0$. Wir wenden auf die Funktion $f(x)= (1+x)^a$ im Intervall $[0,x]$ den Mittelwertsatz an, dann gilt zunächst
\[ \frac{(1+x)^a - 1}{x -0} = a (1+\xi)^{a-1} , \quad \xi \in (0,x),\qquad \text{(M)}\]
\begin{description}
	\item[Fall 1 $0<a<1$:] Dann ist $1-a>0$ und aus (M) folgt 
\[ \frac{(1+x)^a - 1}{x} =  \begin{cases} \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \leq a & \text{ falls } x>0 \\ \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \geq a & \text{ falls } x<0 
\end{cases} , \quad \text{also}\quad (1 + x)^a \leq 1+ax \]
	\item[Fall 2 $a>1$:] Dann ist $a-1>0$ und aus (M) folgt 
\[  \begin{cases} \frac{(1+x)^a - 1}{x} \geq a & \text{ falls } x>0 \\ \frac{(1+x)^a - 1}{x} \leq a & \text{ falls } x<0 
\end{cases} , \quad \text{also}\quad (1 + x)^a \geq 1+ax \]
	\item[Fall 3 $a<0$:] Dann ist (wie im Fall~1)\  $1-a>0$, aber wegen $a< 0$ führen die Abschätzungen aus Fall~1 gerade auf die entgegengesetzten Ordnungsrelationen, also 
\[ \frac{(1+x)^a - 1}{x} =  \begin{cases} \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \geq a & \text{ falls } x>0 \\ \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \leq a & \text{ falls } x<0 
\end{cases} , \quad \text{also}\quad (1 + x)^a \geq 1+ax \]
\end{description}

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 51: Verallgemeinerter Satz von Rolle I
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie folgende verallgemeinerte Variante des Satzes von Rolle:\\
Es sei $f :(a,b) \to \R$ eine $n$-mal differenzierbare Funktion und es seien $a<x_0 <x_1 <\ldots <x_n <b$ Nullstellen von $f$. Dann existiert ein $\xi \in (x_0,x_n)$ mit $f^{(n)}(\xi)=0$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 51}}\\
\begin{description}
	\item[Induktionsanfang] Für $n=1$ ist dies genau der klassische Satz von Rolle.
	\item[Induktionsschritt] Sei die Aussage für ein beliebiges $n$ bewiesen.\\ 
	Wir betrachten nun eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion $f :(a,b) \to \R$ mit $n+2$ verschiedenen Nullstellen $a<\tilde{x}_0 <\tilde{x}_1 <\ldots <\tilde{x}_n < \tilde{x}_{n+1}<b$ und wenden jeweils auf die Intervalle $[\tilde{x}_{k-1},\tilde{x}_k],\ k=1,\ldots,n+1$ den klassischen Satz von Rolle an. Damit erhalten wir für die noch $n$-mal differenzierbare Funktion $f'$ die $n+1$ verschiedenen Nullstellen $x_k,\ k=0,\ldots,n$ mit  
	\[a<\tilde{x}_0 <x_0<\tilde{x}_1 <x_1\ldots <x_{n-1}<\tilde{x}_n <x_n< \tilde{x}_{n+1}<b.\]
	Nach Induktionsvoraussetzung existiert dann ein $\xi\in(x_0,x_n)\subset (\tilde{x}_0,\tilde{x}_{n+1})$ mit
	\[0=(f')^{(n)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi).\]
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 52: Verallgemeinerter Satz von Rolle II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie den folgenden verallgemeinerten Satz von Rolle:\\[10pt]
    Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $f$ eine auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b$] stetige Funktion, die bei $a$ $n$-mal und im Inneren des Intervalls $(n+1)$-mal differenzierbar ist; weiterhin gelte:
    \[f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = f^{(n)}(a) = f(b) = 0 .\]

Dann gibt es im Intervall $(a,b)$ eine Stelle $c$ mit $f^{(n+1)}(c) = 0$ .
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 52}}\\
    Der Beweis wird durch vollständige Induktion geführt. Dabei ist die Aussage des Satzes für $n = 0$ offensichtlich richtig, denn dann stimmt der Satz mit dem Satz von Rolle überein. Der erste Teil des Induktionsbeweises ist damit abgeschlossen.\\

    Es wird nun vorausgesetzt, dass $n$ eine natürliche Zahl ist, und die Aussage des verallgemeinerten Satzes von Rolle richtig ist. Hiermit ist dann zu zeigen:\\

    Ist $f$ eine auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetige Funktion, die bei $a$ $(n+1)$-mal und im Inneren des Intervalls $(n+2)$-mal differenzierbar ist, wobei 
    \[f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = f^{(n)}(a) = f^{(n+1)(a)} = f(b) = 0\] 
    gilt, dann gibt es im Intervall $(a,b)$ eine Stelle $c$ mit $f^{(n+2)}(c) = 0$ .\\

    Aufgrund der Induktionsannahme gibt es wegen

    \[f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = f^{(n)}(a) = f(b) = 0\]

    im Intervall $(a,b)$ eine Stelle $d$ mit $f^{(n+1)}(d) = 0$ .\\ 

    Somit gilt $f^{(n+1)}(a) = f^{(n+1)}(d) = 0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es daher im Intervall $(a, d)$ eine Stelle $c$ mit $\rkl{f^{(n+1)}}'(c) = 0$ .\\

    Wegen $\rkl{f^{(n+1)}}'(c) = f^{(n+2)}(c)$ und $a < c < d < b$ ist $c$ eine Stelle im Intervall $(a, b)$, für die $f^{(n+2)}(c) = 0$ gilt.\\ 

    Damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen.


% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 53: Zwischenwertsatz von Darboux
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie den Zwischenwertsatz von Darboux: Ist $f : [a, b] \rightarrow \R$ differenzierbar und $f'(a) < m < f'(b)$, so existiert ein $\zeta \in (a, b)$ mit $f'(\zeta) = m$.\\ 
Hinweis:
Betrachten Sie für ein hinreichend kleines, aber festes $h > 0$ die stetige Hilfsfunktion $\phi$ mit
$$\phi(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad\mbox{für}\quad x \in [a, b - h].$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 53}}\\
\underline{1. Beweis:}\\

Da $f'(a)$ und $f'(b)$ existieren, gibt es zu gegebenem $m\in(f'(a),f'(b))$ ein genügend kleines $h$, so dass für die Differenzenquotienten $\phi(a)$ und $\phi(b)$ ebenfalls $m\in(\phi(a),\phi(b))$ gilt.\\

Da $\phi$ stetig ist, weil ja $f$ differenzierbar und damit auch stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein $\xi_h \in (a,b-h)$ und nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein $\zeta \in (\xi_h, \xi_h+h) \subset (a,b)$ mit
$$ m= \phi(\xi_h) = \frac{f(\xi_h + h) - f(\xi_h)}{h} = f'(\zeta).$$
\hfill\endproof

\underline{2. Beweis: (vgl. Fichtenholtz, Bd. 1, S. 206)}\\

Betrachte zu gegebenem $m\in(f'(a),f'(b))$ die ebenfalls differenzierbare und stetige Funktion
$$ g(x) = f(x) - m\,x, $$
diese nimmt nach dem Satz von Weierstraß im Intervall $[a,b]$ ihr Minimum an. Da wegen $g'(a)<0$ und $g'(b)>0$ am Rand lokale Maxima vorliegen, wird das Minimum in einem inneren Punkt $\zeta \in (a,b)$ angenommen. Da $g$ differenzierbar ist, folgt notwendigerweise 
$$ g'(\zeta)=0,\quad\mbox{also}\quad f'(\zeta) = m.$$
\hfill\endproof

\underline{Bemerkung:} Die Ableitung $f'$ muss nicht stetig sein. Wüsste man, dass die Ableitung stetig ist, so folgte der Beweis leicht aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.\\
Auch als Ergebnis des Satzes von Darboux folgt nicht die Stetigkeit von $f'$, wohl aber, dass $f'$ keine Sprünge oder Lücken, sondern höchstens wesentliche Unstetigkeitsstellen haben kann.\\
Als Beispiel kann man die Funktion 
$$f(x)= \left \{ \begin{array}{ccc} x^2\sin\frac1x,& \mbox{falls} & x\neq 0\\ 0 &  \mbox{falls} & x=0 \end{array} \right . $$
betrachten, die in $x=0$ zwar differenzierbar ist, deren Ableitung aber eine wesentliche Unstetigkeit in $x=0$ besitzt.
\newpage
\subsubsection*{ Taylorscher Lehrsatz }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 54: Restgliedabschätzung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Verwenden Sie den Taylorschen Satz, um die Absch\"atzung 
$$
\left| \log (1+x) - x + \frac{x^2}{2} \right| < \frac{1}{2000} \quad \mbox{f\"ur $|x|\leq 0.1$}
$$
zu zeigen.


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 54}}\\

Mit $f(x)=\log (1+x)$ ist
\bea
 f(x)=\log (1+x), && f(0)=0,\\
f'(x)=\frac{1}{1+x}, && f'(0) = 1,\\
f''(x)= -\frac{1}{(1+x)^2}, && f''(0) = -1,\\
f'''(x) =\frac{2}{(1+x)^3}, && f'''(0) = 2,\\
\eea
also nach Taylorschem Lehrsatz für ein $\xi \in (0,x)$ bzw.  $\xi \in (x,0)$ 
\[\log (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2}{(1+\xi)^3} \frac{x^3}{6} \quad\text{bzw.}\quad \abs{\log (1+x) - x + \frac{x^2}{2}} = \abs{\frac{1}{(1+\xi)^3} \frac{x^3}{3}} =\frac{1}{|1+\xi|^3} \frac{|x|^3}{3}.\]
Für $|x|\leq 0.1$ ist nun $|1+\xi|\geq 1-|\xi| > 1-|x| \geq 0.9$ und
\[ \abs{\log (1+x) - x + \frac{x^2}{2}} \leq \frac{1}{0.9^3} \frac{1}{3000} = \frac{1}{2187} < \frac{1}{2000} .\]


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Taylorentwicklung von $\e^{Aufgabe 55: -1/x^2}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei
\[f(x) =\begin{cases} \e^{-\frac{1}{x^2} } & \text{ für } x \neq 0 \\ 0 & \text{ für } x = 0 \end{cases} .\]
Zeigen Sie, dass $f\in C^{\infty } (\mathbb{R} )$, und
$f^{(n)} (0) =0 $ für jedes $n\in \mathbb{N} $.
\\
{\sl Hinweis: } Zeigen Sie durch Induktion, dass für $x\neq 0 $
\[ f^{(n)} (x) = p_n \rkl{\frac{1}{x}} \e^{-\frac{1}{x^2}} \]
gilt, für gewisse Polynome $p_n $, ($n\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} $).

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 55}}\\
Für $x\neq 0$ und $u(x)=1/x$ ist
\bea
f(x) &=& 1\, \e^{-\frac{1}{x^2} }, \text{ also } p_0(u) =1,\\
f'(x) &=& \frac{2}{x^3}\, \e^{-\frac{1}{x^2} }, \text{ also } p_1(u) =2 u^3,\\
f''(x) &=& \rkl{\frac{4}{x^6} - \frac{6}{x^4}}\, \e^{-\frac{1}{x^2} }, \text{ also } p_2(u) =4 u^6 - 6 u^4,\\
\eea
der Induktionsanfang ist also gemacht.\\
Für den Induktionsschritt nehmen wir an, dass  
\[ f^{(n)} (x) = p_n \rkl{\frac{1}{x}} e^{-\frac{1}{x^2}} =  p_n (u(x))\, \e^{-u(x)^2}\]
bereits die geforderte Darstellung besitzt. Dann ist nach Produkt- und Kettenregel\\ und wegen $u'(x)=-u(x)^2$
\bea 
f^{(n+1)} (x) &=&  p_n' (u(x))\, u'(x)\, \e^{-u(x)^2} - p_n(u(x))\, 2\, u(x)\, u'(x) \e^{-u(x)^2} \\
&=&  \rkl{-p_n' (u(x))\, u^2(x)  + p_n(u(x))\, 2\, u^3(x) }\, \e^{-u(x)^2} \\
&=&  \rkl{2\,p_n(u(x))\, u^3(x) - p_n' (u(x))\, u^2(x) }\, \e^{-u(x)^2}  =: p_{n+1}\,\e^{-u(x)^2}.
\eea
Da die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom ist, ist der Ausdruck in der ersten Klammer der letzten Zeile wieder ein (um drei Grade höheres) Polynom in $u$, also ist der Induktionsbeweis erbracht.\\
Wir wissen damit gleichzeitig, dass die Funktion $f$ für alle $x\neq 0$ unendlich oft differenzierbar ist.\\

Wir untersuchen nun die Ableitungen im Nullpunkt mit Hilfe der Definition und der Regel von l'Hospital. Zunächst können wir feststellen, das $f$ und alle seine Ableitungen im Nullpunkt stetig sind, denn es ist
\[\flim{x}{0} f^{(n)}(x)\ \overset{u=1/x}{=}\ \flim{u}{\pm \infty} \frac{p_n(u)}{\e^{u^2}} = 0,\]
da die Exponentialfunktion stärker wächst als jedes Polynom, was man durch mehrmaliges Anwenden der Regel von l'Hospital leicht beweisen kann.\\
Nun ist aber auch
\[f^{(n+1)}(0) = \flim{h}{0} \frac{f^{(n)}(h) - 0}{h}\ \overset{\text{l'Hospital}}{=}\ \flim{h}{0} f^{(n+1)}(h) = 0,\]
womit alles gezeigt ist.



% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ Theorie }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 56: Differentiation von Determinanten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Determinanten werden zeilen- oder spaltenweise differenziert.\\

Es sei $A(x)=\rkl{a_{i,j}(x)}_{1\leq i,j} \leq n$ eine $(n\times n)$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen sind und $D(x)=\det A(x)$. Weiterhin seien für eine $n$-reihige Determinante $D(x)$ und $1\leq k \leq n$ die Determinaten $S_k(x)$ bzw. $Z_k(x)$ diejenigen Determinanten, die aus $D(x)$ dadurch entstehen, dass man die Funktionen in der $k$ten Spalte bzw. Zeile durch Ihre ersten Ableitungen ersetzt. Dann gilt:
\[ D'(x) = \sum_{k=1}^n\, S_k(x) = \sum_{k=1}^n\, Z_k(x). \]  
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 56}}\\



% Ende der Lösung
\newpage
% Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 57: Quotientenregel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die Quotientenregel mit Hilfe der 
Entwicklungsformel
\bdm
f(x+h) = f(x) + f'(x) h + h \varepsilon(h)
\edm
für differenzierbare Funktionen!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 57}}\\
Zu zeigen ist also:\\
Es existiert eine Zerlegung 
\bdm
\frac{u(x+h)}{v(x+h)} = \frac{u(x)}{v(x)} + h\frac{u'(x) v(x) - 
u(x)v'(x)}{v^2(x)} + h \varepsilon(h)
\edm
mit einer Funktion $\varepsilon(h)$ mit der Eigenschaft $\lim_{h
\rightarrow  0} \varepsilon(h) =0$.

Angenommen, es gibt eine solche Zerlegung, dann ist 
\bea
\varepsilon(h) &=& \frac{1}{h}\left (\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}\right ) -
\frac{u'(x) v(x) -  u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\
&=& \frac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x+h)}{hv(x)v(x+h)}-\frac{u'(x) v(x) -  u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\
\eea
Wegen der Differenzierbarkeit von $u(x)$ und $v(x)$ existieren zwei Funktionen 
$\varepsilon_1$ und $\varepsilon_2$ mit\\
$\lim_{h \rightarrow  0} \varepsilon_i(h) =0$ und 
\bea
u(x+h) &=& u(x) + u'(x) h + h \varepsilon_1(h)\\
v(x+h) &=& v(x) + v'(x) h + h \varepsilon_2(h).\\
\eea
Dies setzt man nun in die obige Formel ein:
\bea
\varepsilon(h) &=& \frac{(u(x)+hu'(x)+h\varepsilon_1(h))v(x) - 
u(x)(v(x)+hv'(x)+h\varepsilon_2(h))}{hv(x)(v(x)+hv'(x)+h\varepsilon_2(h))}\\
& & -\frac{u'(x) v(x) -  u(x)v'(x)}{v^2(x)}\\
\eea
Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen kann man im ersten Summanden mit $h$ kürzen, erneut den Hauptnenner bilden und zusammenfassen. Dabei bleibt der Ausdruck 
\bea
\varepsilon(h) &=& \frac{\varepsilon_1(h)v(x)-\varepsilon_2(h)u(x)}{v(x)(v(x)+hv'(x)+h\varepsilon_2(h))}\\
& & -h\frac{u'(x)v'(x)v(x)+u'(x)v(x)\varepsilon_2(h)-u(x)(v'(x))^2-u(x)v'(x)\varepsilon_2(h)}
{v^2(x)(v(x)+hv'(x)+h\varepsilon_2(h))}\\
\eea
stehen, der wegen der Stetigkeit von $u$ und $v$ offensichtlich mit $h$ gegen 0 geht, insgesamt ist also 
$$\lim_{h \rightarrow  0} \varepsilon(h) =0$$ nachgewiesen.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 58: Ableitung mit Hilfe der Definition.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a \geq 0$ und
\[f_a(x) :=\begin{cases} |x|^a\,\sin\rkl{\frac{1}{x}} & \text{wenn } x \neq 0\\
0 & \text{wenn } x = 0\\\end{cases}.\]

Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item  $f_a$ ist stetig in 0 für jedes $a > 0$, aber nicht für $a = 0$.
  \item  $f_a$ ist differenzierbar in 0 für jedes $a > 1$, aber nicht für $a \in (0; 1]$.
  \item  $f'_a$ ist stetig in 0 für $a > 2$, aber nicht für $a \in (1; 2]$
	\item  Für $k \in \N, k>1$ ist $f^{(k-1)}_a$ differenzierbar in 0 für jedes $a > k-1$, aber nicht für $a \in (k-2; k-1]$ und $f^{(k)}_a$ ist stetig in 0 für $a > k$, aber nicht für $a \in (k-1; k]$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 58}}\\
\underline{Vorbemerkungen}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi})}

\begin{enumerate}
	\item Wir betrachten meistens nur den Fall $x\geq 0$. Den Fall $x\leq 0$ kann man wegen der Punktsymmetrie von $f_a$ an $x=0$ ($f_a(-x) = - f_a(x)$) auf diesen Fall zurückführen.
	\item offensichtlich ist
	\begin{equation}
	\flim{x}{0+0} \abs{x}^b =\begin{cases}0 & \text{für } b>0\\ 1 & \text{für } b=0\\ \infty & \text{für } b<0\\ \end{cases}
	\label{eq:1}
	\end{equation}
	\item Betrache die Folgen
	\[x_n=\frac{1}{2n\pi}\quad\text{und}\quad y_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}.\]
	Offensichtlich ist
	\[\nlim x_n=0,\ \nlim \sin\rkl{\frac{1}{x_n}} = \nlim \sin(2n\pi) =0 ,\ \nlim \cos\rkl{\frac{1}{x_n}} = \nlim \cos(2n\pi) =1\]
	und
	\[\nlim y_n=0,\ \nlim \sin\rkl{\frac{1}{y_n}} = \nlim \sin(2n\pi+\frac{\pi}{2}) =1,\ \nlim \cos\rkl{\frac{1}{y_n}} = \nlim \cos(2n\pi+\frac{\pi}{2}) =0.\]
	Damit ist für die Funktionen $\sin\rkl{\frac{1}{x}}$ und $\cos\rkl{\frac{1}{x}}$ das Folgenkriterium verletzt und die Grenzwerte
	\begin{equation}
	 \flim{x}{0+0} \sin\rkl{\frac{1}{x}} \quad\text{und}\quad \flim{x}{0+0} \cos\rkl{\frac{1}{x}} \text{ existieren nicht.}	
	\label{eq:2}
	\end{equation}
	\item Wegen $0\leq \abs{x^b \sin\rkl{\frac{1}{x}}} \leq |x|^b$ folgt nun aus  \eqref{eq:1} und \eqref{eq:2} sofort
	\begin{equation}
	 \flim{x}{0+0} x^b \sin\rkl{\frac{1}{x}} \begin{cases} =0 & \text{für}\quad b>0\\\text{existiert nicht} & \text{für}\quad b\leq 0\\ \end{cases}.
	\label{eq:3}
	\end{equation}
	Eine entsprechende Beziehung gilt für die $\cos$-Funktion.
\end{enumerate}

\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}

\underline{Beweise:}
\begin{enumerate}
	\item Dies folgt mit $b=a$ nun unmittelbar aus \eqref{eq:3}.
	\item Wir berechnen die Ableitung an $x=0$ als Grenzwert des Differenzenquotienten.
	\[\flim{h}{0+0}\frac{f_a(h)-f_a(0)}{h}=\flim{h}{0+0}\frac{h^a\sin\rkl{\frac{1}{h}}}{h}=\flim{h}{0+0}h^{a-1}\sin\rkl{\frac{1}{h}}\ \begin{cases} =0 & \text{für}\quad a>1\\\text{existiert nicht} & \text{für}\quad a\leq 1\\ \end{cases}.\]
Dies folgt aus \eqref{eq:3} mit $b=a-1$ und das ist auch schon die Behauptung.
\item Wir berechnen zunächst die Ableitung von $f_a$ für $x>0$.
\[f'_a(x)=ax^{a-1}\sin\rkl{\frac{1}{x}} + x^a \cos\rkl{\frac{1}{x}}\rkl{\frac{-1}{x^2}}=ax^{a-1}\sin\rkl{\frac{1}{x}} - x^{a-2} \cos\rkl{\frac{1}{x}}.\]
Nun gilt
\[\flim{x}{0+0}f'_a(x)=\flim{x}{0+0} ax^{a-1}\sin\rkl{\frac{1}{x}} - x^{a-2} \cos\rkl{\frac{1}{x}} \ \begin{cases} =0 & \text{für}\quad a>1\\\text{existiert nicht} & \text{für}\quad a\leq 2\\ \end{cases}.\]
Dies folgt wieder aus \eqref{eq:3} mit $b=a-2$. Wegen $f'_a(0)=0$ (siehe b)) ist $f'_a$ in $x=0$ stetig, falls $a>2$ ist.
\item Diese Aussagen gewinnt man nun durch vollständige Induktion. Der Induktionsanfang ist in b) und c) gemacht. Der Induktionsschritt besteht nun einfach darin, dass man die in b) und c) verwndeten Methoden auf die Funktion $g_a=f^{k}_a$ anwendet.
\end{enumerate}

% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Grenzwerte und Stetigkeit }
\subsubsection*{ Gleichmäßige Stetigkeit }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 59: Gleichmäßige Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Wann heißt eine Funktion $f:\R \to \R$ gleichmäßig
stetig? \\
\item Muss jede gleichmäßig stetige Funktion $f:\R \to \R$ auch beschränkt sein, d.h.\ gibt es dann eine 
Konstante $C \in \R$ mit $|f(x)|\leq C$ für alle 
$x\in\R$ (Beweis oder Gegenbeispiel)? \\
\item Sei  $f:\R \to \R$ gleichmäßig stetig. Zeigen Sie,
dass dann eine Konstante $C \in \R$ existiert mit 
\[
|f(x)|\leq C(|x|+1)\quad\text{für alle}\quad x \in \R.
\]
\item Zeigen Sie, dass jedes reelle Polynom von mindestens zweitem Grad
nicht gleichmäßig stetig auf ganz $\R$ ist.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 59}}\\
a) Zu jedem $\varepsilon>0$ gibt es ein $\delta>0$, so dass 
\[
|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon
\]
für alle $x,y \in \R$ mit $|x-y|\leq\delta$ gilt. \\
b) Nein. Z.B.\ ist die lineare Funktion $f=f(x)=x$ gleichmäßig stetig (Wähle etwa $\delta<\varepsilon$.), aber nicht beschränkt. \\
c) Insbesondere existiert zu $\varepsilon=1$ ein $\delta>0$ mit 
$|f(x)-f(y)|\leq 1$ für alle $x,y \in \R$ mit
$|x-y|\leq\delta$. Zu jedem $x>0$ gibt es dann ein 
$k \in \N\cup\{0\}$ und ein $r\in[0,\delta)$ mit $x=k\delta+r$. 
Wir setzen: $x_n=n\delta$, $n=0,\ldots,k$. Dann gilt
\begin{align*}
|f(x)| & \leq |f(0)|+|f(x)-f(x_0)| \\
& \leq |f(0)| +|f(x)-f(x_k)|+\sum_{n=1}^k|f(x_n)-f(x_{n-1})|\\
& \leq |f(0)| + k + 1 \leq   |f(0)| +1 + (x-r)/\delta
\end{align*}
Setzen wir also $C=\max\{|f(0)|+1,1/\delta\}$, so folgt $|f(x)|\leq
C(1+x)$ für alle $x\geq0$. Analog für $x<0$. \\
d) Sei 
\[
f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 \quad\text{mit 
$a_0,\ldots,a_n\in{\mathbb R}$, $a_n\neq0$, $n\geq2$}.
\]
Dann ist 
\[
f(x)/x=x^{n-1}(a_n +a_{n-1}x^{-1}+\ldots+a_0x^{-n})
\]
und
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(a_n +a_{n-1}x^{-1}+\ldots+a_0x^{-n}\right) = a_n.
\]
Daher ist
\[
\lim_{x\to+\infty}|f(x)|/|x|= +\infty
\]
und $f$ kann nach c) nicht gleichmäßig stetig sein. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 60: Stetigkeit der Wurzelfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie die folgende Ungleichung
	\[ a,b\geq 0 \Longrightarrow \abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\qquad \text{(W)}\]
  \item Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ im ihrem Definitionsbereich stetig ist.
	\item Ist $f$ in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 60}}\\
\begin{enumerate}
	\item Offensichtlich gilt für nicht negative $a, b$
	\[\abs{a\pm b } \leq a +b \leq a + 2\sqrt{a b} + b = \rkl{\sqrt{a} + \sqrt{b}}^2 \Longrightarrow \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\]
	Damit ist der rechte Teil der Ungleichung bewiesen. Diesen benutzen wir im Folgenden. Es ist im Falle $a\geq b$
	\[\sqrt{a} = \sqrt{a-b +b} \leq \sqrt{a-b} + \sqrt{b} \Longrightarrow \sqrt{a} -\sqrt{b} \leq \sqrt{a-b},\]
	anderenfalls gilt 
	\[\sqrt{b} = \sqrt{b-a +a} \leq \sqrt{b-a} + \sqrt{b} \Longrightarrow \sqrt{b} -\sqrt{a} \leq \sqrt{b-a}.\]
	Beide Ungleichungen zusammen ergeben zunächst 
	\[\abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a-b}}}\]
und weiter unter Beachtung von $\sqrt{|a-b|} \leq \sqrt{a+b} = \sqrt{|a+b|}$ den linken Teil der Ungleichung (W).
	\item Die Funktion $f$ ist auf $[0,\infty)$ definiert. Sei nun $0<x_0\in (0,\infty)$ und $\ve>0$ vorgegeben. Wähle nun $\delta<\min\set{x_2/2, \ve^2} $, dann gilt nach a) für $|x-x_0|<\delta$
	\[ \abs{\sqrt{x} -\sqrt{x_0}} \leq \sqrt{\abs{x-x_0}} < \sqrt{\delta} \leq \sqrt{\ve^2} = \ve.\]
Ist $x_0=0$, dann kann man nur eine rechtsseitige $\delta$-Umgebung mit $\delta < \ve^2$ wählen, aber ansonsten die gleiche Abschätzung verwenden. $f$ ist in $x_0=0$ also nur rechtsseitig stetig.
	\item Auf jedem abgeschlossenen Intervall $[0,a]$ ist $f$ nach dem Satz über die gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig. Wir wählen $a=1$ und betrachten $f$ auf $[1,\infty)$, dann ist für $x_1, x_2 \in [1,\infty)$
	\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} = \abs{\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}} = \frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} \leq \frac{|x_1-x_2|}{2 \sqrt{1}} =\frac{1}{2} |x_1-x_2|.\]
	Man kann nun zu gegebenen $\ve>0$ eine gemeinsames $\delta=2\ve$ finden, so dass die Stetigkeitsdefinition (für $x_1$ bzw. $x_2$) erfüllt ist, also ist $f$ auf $[0,1]$ und auch auf $[1,\infty)$ jeweils gleichmäßig stetig und damit auf dem gesamten Definitionsbereich.
	
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 61: Gleichmäßige Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ist die Funktion $f(x):= \frac{1}{x} $ gleichmäßig stetig 
\begin{enumerate}
	\item auf dem Intervall $(0,1]$;
	\item auf den Intervallen $(a , 1] $, ($a \in (0,1)$) ?
\end{enumerate}
Begründen Sie Ihre Antworten.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 61}}\\
Die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit einer Funktion $f$ auf eine Menge $M$ lautet:\\

\emph{Zu jedem $\ve>0$ existiert ein $\delta(\ve)$ so dass für alle $x, y \in M $ mit $|x-y|<\delta$ stets $|f(x) - f(y)| < \ve$ folgt. 
}\\

Eine formale - aber unschöne - Negation könnte lauten:\

\emph{Eine Funktion $f$ ist auf $M$ nicht gleichmäßig stetig, wenn es ein $\ve>0$ gibt und wenn es zu jedem $\delta>0$ Elemente $x_\delta,y_\delta \in M$ gibt, so dass zwar $|x_\delta-y_\delta|<\delta$, aber $|f(x_\delta) - f(y_\delta)| > \ve$ ist.}\\

Eine freiere - aber auch schönere, weil praktikablere - Negation ist z.~B.\\

\emph{Eine Funktion $f$ ist auf $M$ nicht gleichmäßig stetig, wenn es ein $\ve>0$ und Folgen $(x_n), (y_n)$ in $M$ gibt mit $x_n\neq y_n$ für alle $n\in\N$ und $\nlim |x_n-y_n|=0$, aber für alle $n\in\N$ stets $|f(x_n) - f(y_n)| > \ve$ ist.}\\
\begin{enumerate}
	\item Wähle $\ve=1/2$, $x_n=1/n$, $y_n=1/(n+1)$, dann ist
	\[ |x_n - y_n| = \abs{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)}\overset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0,\quad\text{aber}\quad \abs{f(x_n)-f(y_n)} = \abs{n - (n+1)} =1 > \ve.\]
	Daher ist $f$ in $(0,1]$ nicht gleichmäßig stetig.
	\item Zu gegebenem $\ve>0$ wähle $\delta(\ve) < a^2\,\ve $, dann gilt für alle $x,y \in M$ mit $|x-y|<\delta$
		\[ \abs{f(x)-f(y)} = \abs{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} = \frac{\abs{x-y}}{xy} < \frac{\delta}{a^2} < \ve,\]
		also ist $f$ auf $(a,1]$ gleichmäßig stetig.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 62: Untersuchungen auf gleichmäßige Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sind die folgenden Funktionen auf den angegebenen Intervallen gleichmäßig stetig?
\begin{enumerate}
	\item  $f_1 (x)= \sqrt{1-x^2 } $, $x\in [0,1] $.
	\item  $f_2 (x)= \sin (1/x) $, $x\in [0,1] $.
	\item  $f_3 (x)= x ^2 $, $x\in [0, +\infty )$.
	\item  $f_4 (x) = (1+x ) ^{-1} $, $x\in [0, +\infty ) $.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 62}}\\

\begin{enumerate}
	\item $f_1 $ is stetig auf dem kompakten Intervall $[0,1]$, und daher dort auch gleichmäßig stetig,
denn stetige Funktionen über kompakten Mengen sind stets gleichmäßig stetig.

	\item  Angenommen, $f_2 $ wäre gleichmäßig stetig auf $(0,1)$. Es sei dann $\delta $ eine 
zu $\varepsilon =(1/2 ) $ gehörige positive Zahl. Es gibt eine Zahl $n\in \mathbb{N} $ mit $n\geq 4$ und  
$|(2\pi n ) ^{-1} - (2\pi n + [\pi /2] ) ^{-1 } | < \delta $. Für $x= (2\pi n) ^{-1} $ und $y= (2\pi n + [\pi /2] ) ^{-1 }$ gilt dann 
$x,y \in (0,1) $, $|x-y| < \delta $, aber $|\sin (1/x) - \sin (1/y)| =1 >\varepsilon $, im Widerspruch zur Annahme.

	\item Angenommen, $f_3 $ wäre gleichmäßig stetig.   Es sei dann $\delta $ eine zu 
$\varepsilon = 1 $ gehörige positive Zahl. Es gibt eine Zahl $n\in \mathbb{N} $ mit $n\delta > 1 $. 
Für $x= n$ und $y = n+(\delta /2 )$ folgt 
$|x-y| < \delta $, aber $|f_3 (x)-f_3 (y) | = n\delta + (\delta ^2 /4) >1= \varepsilon $, im Widerspruch zur Annahme.

	\item Sei $\varepsilon >0$ beliebig vorgegeben. Wir wählen $\delta := \varepsilon $. Sind dann $x,y\in [0, \infty ) $ mit $|x-y| <\delta $, so folgt
\[ |f_4 (x) -f_4 (y) | = |x-y| (1+x)^{-1} (1+y) ^{-1} < \delta = \varepsilon .\]
 Also ist $f_4 $ gleichmäßig stetig auf $[0, +\infty )$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ Singularitäten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 63: wesentliche Singularität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es werde im Intervall $(0,1)$ eine reelle Funktion $f=f(x)$
durch die Vorschrift
\[f(x)=n(n+1)x-n\quad\mbox{für}\quad x\in[1/(n+1),1/n),\;n=1,2,\ldots\]
definiert. Existiert der Grenzwert $\lim_{x\to+0}f(x)$ und welchen
Wert hat er gegebenenfalls?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 63}}\\

Um uns einen Überblick zu verschaffen, lassen wir uns die Funktion von Maple\footnote{Maple ist im Computerkabinett des Mathematischen Institutes installiert.\\
Siehe unter http://www.math.uni-leipzig.de/pool/software.shtml\#maple} für $x \in [\frac16,1)$ zeichnen:\\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(piecewise(x>= 1/6 and x<1/5, 30*x-5, x>= 1/5 and x<1/4,
20*x-4,x>= 1/4 and x<1/3, 12*x-3, x>= 1/3 and x<1/2, 6*x-2,x>= 1/2 and
x<1, 2*x-1), x=0..1, y=0..1);}{%
}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{lImage002}
\end{center}
\end{maplegroup}

Wie man sieht, ist der Graph der Funktion zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stammbrüchen jeweils ein Geradenstück, das links auf der x-Achse beginnt und rechts in der Höhe 1 endet. Aus der Skizze sieht man allerdings nicht, dass der rechte Randpunkt eines solchen Geradenstückes nicht mit dazugehört. Außer den linken Randpunkten betrachten wir also (statt der rechten Randpunkte) die Mittelpunkte der jeweiligen Intervalle, also die Folgen
$$ \left \{x_n = \frac1{n+1}\right\}\qquad \mbox{und} \qquad \left\{y_n = \frac12\left ( \frac1{n+1}+\frac1n \right ) = \frac{2n+1}{2n(n+1)}\right\}.$$
Offensichtlich ist
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} x_n =0 \qquad \mbox{und} \qquad \lim_{n\rightarrow\infty} y_n =0, $$
aber
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) =0 \qquad \mbox{und} \qquad \lim_{n\rightarrow\infty} f(y_n) =\frac12. $$
Existierte nun der Grenzwert
$$\lim_{x\rightarrow +0} f(x),$$
so müssten - nach dem Folgenkriterium - entlang aller von oben gegen $x=0$ konvergierenden Zahlenfolgen $\{x_n\}$ die Grenzwerte der dazugehörigen Funktionswertfolgen $\{f(x_n)\}$ existieren und gleich sein. 

Letzteres ist offensichtlich schon bei den beiden angeführten Beispielen nicht der Fall, so dass der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow +0} f(x)$ nicht existieren kann.

% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ Stetigkeitsuntersuchungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 64: Beschränktes Wachstum
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine reelle Funktion $f=f(x)$ sei für hinreichend große $x\in \R$ definiert und in jedem endlichen Intervall $I\subset \cal{D}(f)$ gleichmäßig beschränkt. Ferner gelte mit einem reellen $q>1$
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(qx) - f(x)}{x} = a \in \R.\]
Zeigen Sie, dass daraus folgt:
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{a}{q-1}.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 64}}\\
Angenommen, wir wüßten bereits, dass $A:= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}$ existiert, dann gilt
$$A=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{f(x)-f(qx)}{x} + \frac{f(qx)}{x}\right ) = -a + q\,\frac{f(qx)}{qx} = -a + q\,A,$$
woraus durch kurze Umformung das Gewünschte folgt.

Man kann die Existenz des Grenzwertes aber direkt zeigen:\\ 
Aus der Grenzbedingung 
$$ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(qx) - f(x)}{x} = a \in \R.$$
folgt für gegebenes $\ve_1>0$ die Existenz eines hinreichend großen $x_0>0 \in \R$, so dass für alle  $x>x_0$
\[\abs{\frac{f(qx)}{qx}-\frac{a}{q-1}}q -\abs{\frac{f(x)}{x}-\frac{a}{q-1}}\leq\abs{\frac{f(qx)}{x}-\frac{a}{q-1}q -\frac{f(x)}{x}+\frac{a}{q-1}}= \abs{\frac{f(qx) -f(x)}{x}-a}  < \ve_1\]
bzw.
\begin{equation}\label{eq_1}
\abs{\frac{f(qx)}{qx}-\frac{a}{q-1}} < \frac{1}{q}\abs{\frac{f(x)}{x}-\frac{a}{q-1}} + \frac{\ve_1}{q}
\end{equation}
gilt.
Wählt man nun ein $x_1>x_0$, dann ist nach Voraussetzung $f$ in  $[x_1,qx_1]$ beschränkt, d.~h. es gibt ein $c>0$, so dass 
\[x\in [x_1,qx_1]    \Rightarrow \abs{\frac{f(x)}{x}-\frac{a}{q-1}}\leq \frac{\abs{f(x)}}{x}+\frac{|a|}{q-1}\leq \frac{c}{x_1}+\frac{|a|}{q-1}=:d.\]
ist. Nun ist aber für $x\in [x_1,qx_1]$ der Wert $qx \in [qx_1,q^2x_1]$ und aus Abschätzung \eqref{eq_1} folgt für $x \in [qx_1,q^2x_1]$
\[\abs{\frac{f(x)}{x}-\frac{a}{q-1}} < \frac{d}{q} + \frac{\ve_1}{q}.\]
Analog ist dann aber wieder $qx \in [q^2x_1,q^3x_1]$ und aus
Abschätzung \eqref{eq_1} folgt nunmehr für $x \in [q^2x_1,q^3x_1]$
\[\abs{\frac{f(x)}{x}-\frac{a}{q-1}} < \frac{1}{q}\rkl{\frac{d}{q} + \frac{\ve_1}{q}}+\frac{\ve_1}{q}=\frac{d}{q^2}+\rkl{\frac{1}{q}+1}\frac{\ve_1}{q}.\]
Führt man diese Prozess analog weiter fort, erhält man schließlich für
$x \in [q^nx_1,q^{n+1}x_1]$
\[\abs{\frac{f(x)}{x}-\frac{a}{q-1}} < \frac{d}{q^n}+\rkl{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{q^k}}\frac{\ve_1}{q} < \frac{d}{q^n}+\rkl{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{q^k}}\frac{\ve_1}{q}=\frac{d}{q^n}+\frac{\ve_1}{q-1}.\]
Wähle nun zu vorgegebenen $\ve>0$ $\ve_1=\frac{q-1}{2}\ve$ und $n$ so groß, dass $\frac{d}{q^n}<\frac{\ve}{2}$ ist (Wegen $q>1$ ist das möglich.), dann ist für $x>q^nx_1$
\[\abs{\frac{f(x)}{x}-\frac{a}{q-1}} < \ve.\]
Dies ist genau die Definition für
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{a}{q-1}.\]




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 65: Untersuche auf Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuche die Funktion
$$f(x)=\left\{ 
\begin{array}{cl}
0 & \text{f\"{u}r}\;x\notin \mathbb{Q} \\ 
\frac{1}{q} & \text{f\"{u}r}\;x=\frac{p}{q}\;\text{mit}\;p,q,\in \mathbb{N}%
\text{, sowie }p,q\;\text{teilerfremd.}%
\end{array}%
\right. $$
auf Stetigkeit
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 65}}\\
Für $x=\frac{p}{q} \in \Q$ ist $f(x)$ sicherlich nicht stetig, denn für $\ve=\frac{1}{2q}$ gibt es in jeder noch so kleinen $\delta$-Umgebung um $x$ irrationale Zahlen, deren Funktionswert 0 außerhalb der $\ve$-Umgebung um $\frac{1}{q}$  liegt.\\

Ist $x$ irrational und sei $\ve>0$ vorgegeben, dann gibt es ein kleinstes $q_0 \in \N$ mit $q_0>\frac{1}{\ve}$ bzw. $\frac{1}{q_0}<\ve$. Wir konstruieren nun eine $\delta$-Umgebung um $x$, in der nur (gekürzte) rationale Zahlen liegen, deren Nenner größer als $q_0$ sind:
\bit
\item Es gibt genau eine ganze Zahl $z$ mit $z<x<z+1$,
\item Im Intervall $[z,z+1]$ liegt genau eine (gekürzte) rationale Zahl mit Nenner 2, genau zwei mit Nenner 3 usw., insgesamt liegen in $[z,z+1]$ also höchsten endlich viele rationale Zahlen mit Nennern, die kleiner oder gleich $q_0$ sind. Diese endlich vielen rationalen Zahlen wollen wir mit $x_1, x_2,\ldots, x_m$ bezeichnen.
\item Wählen wir nun 
$$\delta =\frac12 \min_{i=1,\ldots,m} |x-x_i|>0,$$
so liegen in der $\delta$-Umgebung um $x$ nur noch (gekürzte) rationale Zahlen, deren Nenner größer als $q_0$ sind, d.~h. deren Funktionswerte kleiner als $\frac{1}{q_0}<\ve$ sind und somit in der $\ve$-Umgebung um 0 liegen.
\eit 

Die Funktion $f$ ist also in allen irrationalen Punkten stetig und in allen rationalen Punkten unstetig.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 66: Untersuche auf Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die abzählbare Menge der rationalen Zahlen im Intervall $I = [0, 1]$ werde als
eine unendliche Folge $\{r_n\}_{n\geq 1}$ geschrieben. Mit der Bezeichnung
$$ A(x) = \{n | n \in \N, r_n \leq x\} \quad\mbox{für}\quad x \in I$$
definieren wir die Funktion $f : I \rightarrow \R$ durch
$$f(x) = \sum_{n\in A(x)}\ \frac1{2^n} .$$
Beweisen Sie:
\begin{enumerate}
\item Die Funktion $f$ ist auf $I$ monoton wachsend.
\item Die Funktion $f$ ist an den irrationalen Stellen in $I$ stetig und an den rationalen Stellen in $I$ unstetig.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 66}}\\
\begin{enumerate}
\item Offensichtlich ist für $x <y$ auch $A(x) \subseteq A(y)$, d.~h. es kommen in der $f$ definierenden Summe eventuell positive Summanden dazu, es ist also tatsächlich $f(y)\geq f(x)$.
\item An den rationalen Punkten hat $f$ Sprungstellen, es ist nämlich für $r_m \in \Q \cap I$ 
$$ f(r_m) = \lim_{x\rightarrow r_m -0} f(x) + \frac1{2^m}.$$
Sei nun $r \in I \backslash \Q$. Dann gibt es zu vorgegebenem $\varepsilon >0$ zunächst ein $m\in \N$ mit $\frac1{2^m} < \varepsilon$. Wir zeigen nun die Existenz eines $\delta > 0$, so dass in der $\delta$-Umgebung von $r$ nur rationale Zahlen $r_n$ mit einem Index $n > m$ liegen.\\
Unter den endlich vielen Zahlen $r_1, r_2, \ldots r_m$ gibt es nämlich eine größte - sagen wir $r_{n_1}$, die kleiner als $r$ ist, und eine kleinste, die größer als $r$ ist, die wir mit $r_{n_2}$ bezeichnen. Wir wählen nun 
$$\delta = \frac12 \min\{r-r_{n_1}, r_{n_2}-r\},$$
dann liegen in der $\delta$-Umgebung von $r$ nur rationale Zahlen mit einem Index $n  > m$, d.~h. für ein $x \in (r-\delta, r+\delta)$ unterscheiden sich $f(x)$ und $f(r)$ höchstens um (abzählbar viele) Summanden der Form $\frac1{2^n}$ mit $n > m$. Daher ist
$$ |f(x) -f(r)| \leq \sum_{n=m+1}^\infty \frac1{2^n} = \frac1{2^{m+1}}\sum_{n=0}^\infty \frac1{2^n} = \frac1{2^{m+1}}\frac1{1-\frac12} = \frac1{2^m} <\varepsilon.$$
Das ist aber gerade die Definition der Stetigkeit von $f$ an $r$.
\end{enumerate}

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 67: Stetigkeit der Betragsfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $I$ ein offenes Intervall. Sind $f$ und $g$ auf $I$ definiert, so setzen wir $F(x):= \max \{ f(x);g(x)\} $, ($x\in I$).
\begin{enumerate}
	\item Es sei $f$ stetig auf $I$. Zeigen Sie, dass dann $|f| $ ebenfalls stetig auf $I$ ist.
	\item Seien $f$ und $g$ stetig auf $I$. Zeigen Sie, dass dann auch $F$ stetig auf $I$ ist. 
\\
{\sl Hinweis:} Zeigen Sie zunächst die Formel
$$
F (x) = \frac{1}{2} \left( f(x)+g(x) +| f(x)-g(x)| \right) .
$$ 
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 67}}\\
\begin{enumerate}
	\item Da $f$ stetig sein soll, gibt es zu jedem $x_0 \in I$ und jedem $\ve >0$ ein $\delta(\ve, x_0)$ mit der Eigenschaft, dass aus $|x-x_0|<\delta$ stets $\abs{f(x)-f(x_0)} < \ve$ folgt. Dann folgt aber wegen der Dreiecksungleichung erst recht
	\[ \abs{|f(x)|- |f(x_0)|} \leq \abs{f(x)-f(x_0)} < \ve,\]
	also ist auch die Funktion $|f|$ stetig auf $I$.
	\item Seien $a, b \in \R$. Ist $a\geq b$, dann ist einerseits
	\[ a= \max\{a, b\}\quad \text{und andererseits}\quad \frac{1}{2} \left( a+b +| a-b| \right) = \frac{1}{2} \left( a+b +( a-b) \right) =a.\]
	Im Falle $a<b$ ist einerseits
	\[ b= \max\{a, b\}\quad \text{und andererseits}\quad \frac{1}{2} \left( a+b +| a-b| \right) = \frac{1}{2} \left( a+b -( a-b) \right) =b.\]
	Insgesamt ist also
	\[ \max\{a, b\} = \quad \frac{1}{2} \left( a+b +| a-b| \right) \quad\text{bzw.}\quad F(x):= \max \{ f(x);g(x)\} = \frac{1}{2} \left( f(x)+g(x) +| f(x)-g(x)| \right). \]
	Mit $f$ und $g$ sind auch die Funktionen $f+g$ und $f-g$ und wegen a) auch die Funktion $|f-g|$ stetig und schließlich ist $F$ als Summe zweier stetiger Funktionen selbst stetig.
\end{enumerate}





% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 68: Stetigkeit der Wurzelfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie die folgende Ungleichung
	\[ a,b\geq 0 \Longrightarrow \abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\qquad \text{(W)}\]
  \item Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ im ihrem Definitionsbereich stetig ist.
	\item Ist $f$ in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 68}}\\
\begin{enumerate}
	\item Offensichtlich gilt für nicht negative $a, b$
	\[\abs{a\pm b } \leq a +b \leq a + 2\sqrt{a b} + b = \rkl{\sqrt{a} + \sqrt{b}}^2 \Longrightarrow \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\]
	Damit ist der rechte Teil der Ungleichung bewiesen. Diesen benutzen wir im Folgenden. Es ist im Falle $a\geq b$
	\[\sqrt{a} = \sqrt{a-b +b} \leq \sqrt{a-b} + \sqrt{b} \Longrightarrow \sqrt{a} -\sqrt{b} \leq \sqrt{a-b},\]
	anderenfalls gilt 
	\[\sqrt{b} = \sqrt{b-a +a} \leq \sqrt{b-a} + \sqrt{b} \Longrightarrow \sqrt{b} -\sqrt{a} \leq \sqrt{b-a}.\]
	Beide Ungleichungen zusammen ergeben zunächst 
	\[\abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a-b}}}\]
und weiter unter Beachtung von $\sqrt{|a-b|} \leq \sqrt{a+b} = \sqrt{|a+b|}$ den linken Teil der Ungleichung (W).
	\item Die Funktion $f$ ist auf $[0,\infty)$ definiert. Sei nun $0<x_0\in (0,\infty)$ und $\ve>0$ vorgegeben. Wähle nun $\delta<\min\set{x_2/2, \ve^2} $, dann gilt nach a) für $|x-x_0|<\delta$
	\[ \abs{\sqrt{x} -\sqrt{x_0}} \leq \sqrt{\abs{x-x_0}} < \sqrt{\delta} \leq \sqrt{\ve^2} = \ve.\]
Ist $x_0=0$, dann kann man nur eine rechtsseitige $\delta$-Umgebung mit $\delta < \ve^2$ wählen, aber ansonsten die gleiche Abschätzung verwenden. $f$ ist in $x_0=0$ also nur rechtsseitig stetig.
	\item Auf jedem abgeschlossenen Intervall $[0,a]$ ist $f$ nach dem Satz über die gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig. Wir wählen $a=1$ und betrachten $f$ auf $[1,\infty)$, dann ist für $x_1, x_2 \in [1,\infty)$
	\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} = \abs{\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}} = \frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} \leq \frac{|x_1-x_2|}{2 \sqrt{1}} =\frac{1}{2} |x_1-x_2|.\]
	Man kann nun zu gegebenen $\ve>0$ eine gemeinsames $\delta=2\ve$ finden, so dass die Stetigkeitsdefinition (für $x_1$ bzw. $x_2$) erfüllt ist, also ist $f$ auf $[0,1]$ und auch auf $[1,\infty)$ jeweils gleichmäßig stetig und damit auf dem gesamten Definitionsbereich.
	
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Stetigkeit des Maximus und von $\abs{Aufgabe 69: f(x)}$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $f$ und $g$ auf einem offenen Intervall $I$ definiert, das einen Punkt $x_0$
enthält. Ferner seien $f$ und g stetig in $x_0$, und wir definieren
\[F(x):=\max\set{f(x), g(x)},\quad (x \in I).\]
\begin{enumerate}
	\item Man zeige, dass die Funktion $F$ stetig in $x_0$ ist.
  \item Man benutze a), um zu zeigen, dass $|f|$ stetig in $x_0$ ist.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 69}}\\

\begin{enumerate}
	\item Wir unterscheiden drei Fälle:
	
	\begin{description}
		\item[\boldmath $f(x_0)>g(x_0)$:] Dann ist $f(x_0)-g(x_0)>0$ und wegen der Stetigkeit der Funktion $f-g$ an der Stelle $x_0$ existiert ein $\delta_1>0$, so dass für alle $x\in I$ mit $\abs{x-x_0}<\delta_1$ gilt, dass 
		\[ \abs{f(x)-g(x)-(f(x_0)-g(x_0))}<\frac{f(x_0)-g(x_0)}{2}\]
		ist, woraus durch Anwendung der Dreiecksungleichung nach unten sofort
		\[ f(x)-g(x) > \frac{f(x_0)-g(x_0)}{2} >0 \quad\text{für}\quad \abs{x-x_0}<\delta_1\]
		folgt, d.~h. es ist $f(x)>g(x)$ bzw. $F(x)=f(x)$ für alle $x$ aus der $\delta_1$-Umgebung um $x_0$. Die Stetigkeit von $F$ in $x_0$ folgt damit sofort aus der Stetigkeit von $f$ in $x_0$.
		\item[\boldmath $f(x_0)<g(x_0)$:] Der Beweis verläuft analog mit vertauschten Rollen von $f$ und $g$. 
		\item[\boldmath $f(x_0)=g(x_0)$:] Zu gegebenem $\ve>0$ existieren $\delta_f(\ve)>0$ und  $\delta_g(\ve)>0$, so dass für alle $x\in I$ gilt:
			\bea 
			\abs{x-x_0}<\delta_f &\Rightarrow& \abs{f(x)-f(x_0)}=\abs{f(x)-g(x_0)}<\ve\\
			\abs{x-x_0}<\delta_g &\Rightarrow& \abs{g(x)-g(x_0)}=\abs{g(x)-f(x_0)}<\ve\\
			\eea
			Damit folgt aus $\abs{x-x_0}<\min\set{\delta_f, \delta_g}$ wegen $F(x_0)=f(x_0)=g(x_0)$ und $F(x):=\max\set{f(x), g(x)}$ auch $\abs{F(x)-F(x_0)}<\ve$.
	\end{description}
	
	\item Für $a \in \R$ ist $\abs{a}=\max\set{a, -a}$. Dies kann man durch Fallunterscheidung leicht beweisen.\\
	Da mit $f$ auch $-f$ stetig ist, folgt nun die Behauptung sofort aus a).
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ unbestimmte Ausdrücke }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 70: Binomischer Satz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{\lim _{x\to 0} \frac{(1 + mx)^n - (1 + nx)^m }{x^2 } , \qquad m, n \in \mathbb{N}.}$
	\item $\displaystyle{ \lim_{x\to + \infty } \frac{ (2x +3)^{13} (4x-1)^{7}}{(5x-2014) ^{20} }}$ .
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 70}}\\

\begin{enumerate}
	\item Es ist nach dem Binomischen Satz
	\bea 
	(1 + mx)^n - (1 + nx)^m &=& \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} m^k x^k - \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} n^k x^k\\
	&=& \rkl{1 + n m x + \frac{n(n-1)}{2} m^2 x^2 + \ldots } - \rkl{1 + m n x + \frac{m(m-1)}{2} n^2 x^2 + \ldots }\\
	&=& \rkl{\frac{n(n-1)}{2} m^2 - \frac{m(n-1)}{2} n^2} x^2 + \text{ Terme höherer Ordnung },
	\eea
	wobei für $n=1$ und/oder $m=1$ einige oder alle Terme $=0$ sein können.
	Also ist
	\[\frac{(1 + mx)^n - (1 + nx)^m }{x^2 } = \frac{n(n-1)}{2} m^2 - \frac{m(m-1)}{2} n^2  + \text{ Terme der Ordnung }\geq 1\]
	und
		\[\lim _{x\to 0} \frac{(1 + mx)^n - (1 + nx)^m }{x^2 } =\frac{n(n-1)}{2} m^2 - \frac{m(m-1)}{2} n^2 = \frac{m n (n-m)}{2}.\]
 \item Durch Ausklammern der höchsten Potenzen erhält man
\[\lim_{x\to + \infty } \frac{ (2x +3)^{13} (4x-1)^{7}}{(5x-2014) ^{20} } = \lim_{x\to + \infty } \frac{ \rkl{2 +\frac{3}{x}}^{13} \rkl{4-\frac{1}{x}}^{7}}{\rkl{5-\frac{2014}{x}} ^{20} } = \frac{8}{5}\]
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 71: Unbestimmte Ausdrücke
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie für natürliche Zahlen $p_1, p_2, q_1,q_2$ die Grenzwerte
\ben
\item $$\lim_{x\to 1} \frac{x^{p_1}-1}{x^{p_2}-1},$$
\item $$\lim_{x\to 1} \frac{x^{\frac{1}{q_1}}-1}{x^{\frac{1}{q_2}}-1},$$
\item $$\lim_{x\to 1} \frac{x^{\frac{p_1}{q_1}}-1}{x^{\frac{p_2}{q_2}}-1}.$$
\een

\tip{Verallgemeinerte dritte binomische Formel}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 71}}\\
Die verallgemeinerte dritte binomische Formel lautet
\begin{equation}
	a^n - b^n =(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^k=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k}.
\end{equation}
Beispielsweise ist
\bea
a^2-b^2 &=& (a-b)(a+b)\\
a^3-b^3 &=& (a-b)(a^2+ab+b^2)\\
a^4-b^4 &=& (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)
\eea
usw.\\
\ben
\item Mit $a=x$, $b=1$ und $n=p_1$ bzw. $n=p_2$ ist
$$\lim_{x\to 1} \frac{x^{p_1}-1}{x^{p_2}-1}=\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\sum_{k=0}^{p_1-1} x^k}{(x-1)\sum_{k=0}^{p_2-1} x^k}= \frac{p_1}{p_2}.$$

\item Mit $a=x^{\frac{1}{q_1}}$ bzw $a=x^{\frac{1}{q_2}}$, $b=1$ und $n=q_1$ bzw. $n=q_2$ ist
$$\lim_{x\to 1} \frac{x^{\frac{1}{q_1}}-1}{x^{\frac{1}{q_2}}-1}=\lim_{x\to 1} \frac{x^{\frac{1}{q_1}}-1}{1}\,\frac{1}{x^{\frac{1}{q_2}}-1}=\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sum_{k=0}^{q_1-1} x^\frac{k}{q_1}}\,\frac{\sum_{k=0}^{q_2-1} x^\frac{k}{q_2}}{x-1}= \frac{q_2}{q_1}= \frac{\frac{1}{q_1}}{\frac{1}{q_2}}.$$

\item Mit $a=x^{\frac{1}{q_1}}$ bzw $a=x^{\frac{1}{q_2}}$, $b=1$ und $n=p_1$ bzw. $n=p_2$ ist, unter Benutzung von b)
$$\lim_{x\to 1} \frac{x^{\frac{p_1}{q_1}}-1}{x^{\frac{p_2}{q_2}}-1}=\lim_{x\to 1} \frac{(x^{\frac{1}{q_1}}-1)\sum_{k=0}^{p_1-1} x^{\frac{k}{q_1}}}{(x^{\frac{1}{q_2}}-1)\sum_{k=0}^{p_2-1} x^{\frac{k}{q_2}}}=\frac{q_2}{q_1}\, \frac{p_1}{p_2} = \frac{\frac{p_1}{q_1}}{\frac{p_2}{q_2}}.$$
\een

\underline{Bemerkungen} 
\bit
\item Analoge Resultate erhält man für negative, ganzzahlige $p_1. p_2$ Damit kann c) für alle rationalen Exponenten verschieden Null bewiesen werden. 
\item Mit Hilfe von Stetigkeitsargumenten kann man nun auch noch

$$\lim_{x\to 1} \frac{x^{r_1}-1}{x^{r_2}-1}=\frac{r_1}{r_2}$$

für positive reelle Zahlen $r_1, r_2$ beweisen. Leichter geht dies allerdings später mit der Regel von l'Hospital.

$$\lim_{x\to 1} \frac{x^{r_1}-1}{x^{r_2}-1}=\lim_{x\to 1} \frac{r_1x^{r_1-1}}{r_2x^{r_2-1}}=\frac{r_1}{r_2}.$$
\eit
% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Integralrechnung }
\subsubsection*{ bestimmte Integrale }
\paragraph*{ Anwendungen }\ \\
%Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 72: Eine Aufgabe mitten aus dem fröhlichen (Studenten-)Leben.}}\\

Eine gewisse Menge an Bier wird in einer stehenden kreiszylinderförmigen Tonne vom Radius $r$ bzw.
einem kreiskegelstumpfförmigen Behälter mit dem Radius $r$ am Boden und Radius $R > r$
in der Höhe $H > 0$ gelagert. In die Böden wird jeweils ein Zapfhahn mit dem gleichen
Querschnitt eingeschlagen. Aus welchem Behälter ist die gleiche Menge Bier bei geöffnetem
Zapfhahn schneller vollständig ausgelaufen?
Hinweis: Benutzen Sie Torricelli's Ausflußgesetz (benannt nach dem Mathematiker und
Physiker Evangelista Torricelli, 1608-1647), wonach die Ausflußgeschwindigkeit $v$ einer
idealen Flüssigkeit (Bier?) durch eine nach unten gerichtete Öffnung sich proportional
zur Höhe $h$ der Flüssigkeit verhält, genauer $v = \sqrt{Gh}, G$ Gravitationskonstante. Leiten
Sie daraus eine Differentialgleichung für die Flüssigkeitshöhe $h(t)$ zur Zeit $t$ in beiden
Fällen ab und diskutieren Sie diese.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\underline{\textbf{Lösung 72}}\\
Ist $v$ die Geschwindigkeit eines Tropfens im Strahl am Zapfhahn und $A$ die Querschnittsfläche des Zapfhahnes, so gilt für das in der Zeit $\Delta t$ auslaufende Volumen $\Delta V$
\[ \Delta V = A\,\sqrt{Gh}\, \Delta t = -\pi \rho^2 \Delta h, \]
wobei der Wasserspiegel um die Höhe $-\Delta h$ sinkt. Beim Grenzübergang $\Delta h \rightarrow 0$ erhält man
\[ \frac{dt}{dh} = - \frac{\pi \rho^2(h)}{A\,\sqrt{Gh}}. \]
Hierbei ist $\rho(h)$ die Gleichung der Mantellinie in Abhängigkeit von der Höhe $h$, wenn wir die Gefäße als Rotationskörper um die $h$-Achse  auf\/fassen.\\
Für die Auslaufzeit $T(h)$ von einem anfänglichen Flüssigkeitsspiegel der Höhe $H$ bis zur Höhe $h$
erhält man durch Integration
\[ T(h)= - \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_{H}^h \frac{{\rho(h)}^2}{\sqrt{h}} dh.\]
Bei gefülltem Gefäß beginnt der Ausfluß zum Zeitpunkt $T(H)=0$, und
\[ T(0)= - \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_{H}^0 \frac{{\rho(h)}^2}{\sqrt{h}} dh = \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_0^H \frac{{\rho(h)}^2}{\sqrt{h}} dh\]
ist die Zeit, in der das Gefäß leerläuft.\\

Der Kreiskegelstumpf hat das Volumen $$V_K =\frac{\pi}{3}H(R^2+Rr+r^2),$$ damit in der zylinderischen Tonne dasselbe Volumen enthalten ist, muss der Flüssigkeitsspiegel dort die Höhe $$H_Z=\frac{V_K}{\pi r^2}=\frac{H}{3}(\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1)$$ haben. Für den Zylinder ist außerdem $\rho(h) = r$. Die Leerlaufzeit beträgt daher
$$T_Z(0)= \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_0^{H_Z} \frac{r^2}{\sqrt{h}} dh =\frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} 2r^2\sqrt{\frac{H}{3}(\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1)}=\frac{2\pi\sqrt{H}r^2}{A\,\sqrt{3G}}\,\sqrt{\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1}.$$

Beim Kreiskegelstumpf ist $\rho(h) = r+\frac{h}{H} (R-r)$, also
$$T_K(0)= \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_0^{H} \frac{r^2+2r(R-r)\frac{h}{H}+(R-r)^2\frac{h^2}{H^2}}{\sqrt{h}} dh = \frac{2\pi\sqrt{H}r^2}{A\,\sqrt{3G}}\,\sqrt{3}\,(1+ \frac{2}{3}(\frac{R}{r}-1)+\frac{1}{5}(\frac{R}{r}-1)^2).$$

Um zu entscheiden, welches Gefäß zuerst leerläuft, genügt es, die beiden Zahlen
$$A_Z=\sqrt{\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1}\qquad\mbox{und}\qquad A_K=\sqrt{3}\,(1+ \frac{2}{3}(\frac{R}{r}-1)+\frac{1}{5}(\frac{R}{r}-1)^2)=\frac{\sqrt{3}}{15}(3\frac{R^2}{r^2}+4\frac{R}{r}+8)$$
zu vergleichen, da in beiden Leerlaufzeiten sonst nur noch der Faktor $\frac{2\pi\sqrt{H}r^3}{A\,\sqrt{3G}}$ vorkommt.\\

Dazu betrachten wir für $a=\frac{R}{r}>1$ die Funktion
$$f(a) = A_K - A_Z = \frac{\sqrt{3}}{15}(3a^2+4a+8) - \sqrt{a^2+a+1}.$$
Offenbar ist $f(1) = 0$ und
\bea
f'(a) &=& \frac{1}{5\sqrt{3}}(6a+4) - \frac{2a+1}{2\sqrt{a^2+a+1}}\\
& \geq & \frac{1}{5\sqrt{3}}(6a+4) - \frac{2a+1}{2\sqrt{3}}\\
&=& \frac{12a+8-10a-5}{10\sqrt{3}} > 0,
\eea
d. h. $f$ ist monoton wachsend und stets positiv.\\

Da damit auch $A_K$ stets größer als $A_Z$ ist, läuft die Tonne zuerst leer.
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 73: Welches Gefäß läuft zuerst leer?
}}\\
Eine Übung zur Integration\\

% Aufgabentext eintragen
Wir betrachten eine bis zum Rand mit Wasser gefüllte Halbkugel
vom Radius $r$. Daneben stehen ebenfalls bis zum Rand gefüllte
Gefäße, und zwar
\begin{enumerate}
\item  ein Zylinder vom Radius $r$,
\item  ein auf der Spitze stehender gerader Kreiskegel mit
       Öffnungswinkel $90^{\circ}$   und
\item  ein ebensolcher Kreiskegel, der aber auf seiner Grundfläche
       steht.
\end{enumerate}
{\bf 1. Wie hoch sind die beschriebenen Gefäße, wenn alle die gleiche
         Wassermenge enthalten?}\\

An den Gefäßen werden Öffnungen so angebracht, dass die
Ausfluss\-geschwindig\-keit\footnote{Die Ausflussgeschwindigkeit hängt i.a. von
der Größe und Form der Öffnung, von der Form des Gefäßes, von der Viskosität
der Flüssigkeit und von der Höhe $y$ des Flüssigkeitsspiegels ab. Bis auf die
letzte Abhängigkeit seien alle anderen durch Form und Größe der Ausflussöffnung
so berücksichtigt, dass sie in einer Konstanten $a$ zusammengefasst werden
können.} $v$
des Wassers nur noch von der Höhe $y$ der
Wassersäule abhängt; in allen Gefäßen sei also $v=a\sqrt{y}$
mit ein und derselben Konstanten $a$.

{\bf 2. In welcher Reihenfolge laufen die Gefäße leer?}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 73}}\\
{\bf zu 1.:} Das Volumen $V$ der Halbkugel vom Radius $r$ beträgt $V=2\pi r^3/3$, das des Zylinders vom Radius $r$ und der Höhe $h$ ~ $V=\pi r^2h$. Wegen der Gleichheit der Volumina hat der Zylinder also die Höhe $h=\frac{2}{3}\,r$. Bei einem Kegel mit einem Öffnungswinkel von $90^{\circ}$ sind Radius $R$
und Höhe gleich. Das Volumen eines solchen Kegels berechnet sich somit zu
$V=\pi R^3/3$ und aus der Gleichheit der Volumina folgt $R=\sqrt[3]{2}\,r$.

\unitlength2cm
\begin{picture}(5,1)
  \put(0,0.1){\line(1,0){8}}                        %% Grundlinie

  \multiput(0,0.7)(0.6,0){11}{\line(1,0){0.3}}      %% oberste Höhenlinie
  \multiput(0.6,0.6)(0.6,0){7}{\line(1,0){0.3}}       %% mittlere Höhenlinie
  \multiput(1.2,0.43)(0.6,0){4}{\line(1,0){0.3}}    %% untere Höhenlinie

  \put(0.1,0.1){\vector(0,1){0.6}}                  %% Maápfeil zur
  \put(0.1,0.7){\vector(0,-1){0.6}}                 %% obersten
  \put(0.15,0.35){\footnotesize $\sqrt[3]{2}\,r$}   %% Höhenlinie

  \put(0.75,0.1){\vector(0,1){0.5}}                 %% Maápfeil zur
  \put(0.75,0.6){\vector(0,-1){0.5}}                  %% mittleren
  \put(0.8,0.3){\footnotesize $\,r$}                %% Höhenlinie

  \put(1.3,0.1){\vector(0,1){0.33}}                 %% Maápfeil zur
  \put(1.3,0.43){\vector(0,-1){0.33}}               %% unteren
  \put(1.35,0.2){\footnotesize $\,\frac{2}{3}\,r$}  %% Höhenlinie

  \put(2.5,0.1){\line(0,1){0.33}}                   %% Zylinder
  \put(3.5,0.1){\line(0,1){0.33}}
  \put(2.5,0.43){\line(1,0){1}}

  \put(4.5,0.6){\oval(1,1)[b]}                        %% Halbkugel
  \put(4,0.6){\line(1,0){1}}

  \put(6,0.1){\line(-1,1){0.6}}                     %% Kegel auf Spitze
  \put(6,0.1){\line(1,1){0.6}}
  \put(5.4,0.7){\line(1,0){1.2}}

  \put(6.5,0.1){\line(1,1){0.6}}                    %% Kegel auf Basis
  \put(7.7,0.1){\line(-1,1){0.6}}
\end{picture}

{\bf zu 2.:}   Für das in der Zeit $\Delta t$ auslaufende Volumen $\Delta V$
gilt
\[ \Delta V = a \sqrt{y}\, \Delta t = -\pi x^2 \Delta y, \]
wobei der Wasserspiegel um die Höhe $-\Delta y$ sinkt. Beim Grenzübergang $\Delta y \rightarrow 0$ erhält man
\[ \frac{dt}{dy} = - \frac{\pi x^2(y)}{a \sqrt{y}}. \]
Hierbei ist $x(y)=f^{-1}(y)$ die Gleichung der Mantellinie in Abhängigkeit     von der Höhe $y$, wenn wir die Gefäße als Rotationskörper um die y-Achse     auf\/fassen.\\
Für die Auslaufzeit $T(y)$ bis zu einem Flüssigkeitsspiegel der Höhe $y$
erhält man durch Integration
\[ T(y)= - \frac{\pi}{a} \int_h^y \frac{{f^{-1}(y)}^2}{\sqrt{y}} dy.\]
Bei gefülltem Gefäß beginnt der Ausfluß zum Zeitpunkt $T(h)=0$, und
\[ T(0)= - \frac{\pi}{a} \int_h^0 \frac{{f^{-1}(y)}^2}{\sqrt{y}} dy\]
ist die Zeit, in der das Gefäß leerläuft.

Berechnen wir diese Zeit nun für die einzelnen Gefäße.

\begin{description}
\item[Zylinder]
Die Mantellinie genügt der Gleichung $x=f^{-1}(y) \equiv r$, der Zylinder hat
die Höhe $h=\frac{2}{3}\,r$, also gilt:
\begin{eqnarray*}
 T(0) & = & - \frac{\pi}{a} \int_{\frac{2}{3}\,r}^0 \frac{r^2}{\sqrt{y}}\,dy
        =   \left. - \frac{2\pi r^2}{a} \sqrt{y}\:\right|_{\frac{2}{3}\,r}^0\\
      & = & \frac{2\pi r^2 \sqrt{6r}}{3a}
        =   \underline{\frac{2\pi}{15a}\,r^2\sqrt{r}\,(5 \sqrt{6})}.
\end{eqnarray*}
\item[Auf der Spitze stehender Kegel]
Die Mantellinie genügt der Gleichung $x=f^{-1}(y)=y$, der Kegel hat die
Höhe $h=\sqrt[3]{2}\,r$, also gilt:
\begin{eqnarray*}
 T(0) & = & - \frac{\pi}{a} \int_{\sqrt[3]{2}\,r}^0 \frac{y^2}{\sqrt{y}}\,dy
        =   \left. - \frac{2\pi}{5a}\,y^{5/2}\:\right|_{\sqrt[3]{2}\,r}^0\\
      & = & \frac{2\pi}{5a}\,r^{5/2} \sqrt[6]{2^5}
        =   \underline{\frac{2\pi}{15a}\,r^2\sqrt{r}\: (3 \sqrt[6]{2^5})}.
\end{eqnarray*}

\item[Auf der Basis stehender Kegel]
Die Mantellinie genügt der Gleichung $x=f^{-1}(y)=-y+\sqrt[3]{2}\,r$,
der Kegel hat ebenfalls die Höhe $h=\sqrt[3]{2}\,r$, also gilt:
\begin{eqnarray*}
 T(0) & = & - \frac{\pi}{a} \int_{\sqrt[3]{2}\,r}^0 \frac{y^2-2\sqrt[3]{2}\,ry
            +\sqrt[3]{4}\,r^2}{\sqrt{y}}\,dy\\
      & = & - \frac{\pi}{a} (\frac{2}{5}\,y^{5/2} - \frac{4}{3}\sqrt[3]{2}\,ry^{3/2}
            \left. + 2 \sqrt[3]{4}\,r^2y^{1/2})\:\right|_{\sqrt[3]{2}\,r}^0\\
      & = & \frac{\pi}{a}\, r^{5/2} (\frac{2}{5}\sqrt[6]{2^5}
            -\frac{4}{3}\sqrt[3]{2}\sqrt{2}+2\sqrt[3]{2^2}\sqrt[6]{2})\\
      & = & \frac{\pi}{a}\, r^2\sqrt{r}  \sqrt[6]{2^5} (\frac{2}{5}-\frac{4}{3}+2)\\
      & = & \frac{\pi}{a}\, r^2\sqrt{r}  \sqrt[6]{2^5} \frac{16}{15}
        =   \underline{\frac{2\pi}{15a}\, r^2\sqrt{r} (8\sqrt[6]{2^5})}.
\end{eqnarray*}

\item[Halbkugel]
Die Mantellinie genügt der Gleichung $x^2+(y-r)^2=r^2$ bzw. $x^2=2ry-y^2$,
die Halbkugel hat die Höhe $h=r$, also gilt:
\begin{eqnarray*}
 T(0) & = & - \frac{\pi}{a} \int_r^0 \frac{2ry-y^2}{\sqrt{y}}\,dy
        =   - \left. \frac{\pi}{a} (\frac{4}{3}\,ry^{3/2}-\frac{2}{5}y^{5/2} )
                                   \:\right|_r^0\\
      & = & \frac{2\pi}{a}\,r^{5/2} (\frac{2}{3}-\frac{1}{5})
        =   \frac{2\pi}{a}\,r^2\sqrt{r} \frac{7}{15}\\
      & = & \underline{\frac{2\pi}{15a}\,r^2\sqrt{r} \cdot 7}.
\end{eqnarray*}

\end{description}

Da in allen vier Ergebnissen der Faktor $\frac{2\pi}{15a}\,r^2\sqrt{r}$ vorkommt,
kann man diesen beim Vergleich der Auslaufzeiten vernachlässigen.

Die Auslaufzeiten von auf der Spitze stehendem Kegel, Kugel, Zylinder und
auf der Basis stehendem Kegel verhalten sich wie
\[ 3\sqrt[6]{2^5}\::\:7\::\:5\sqrt{6}\::\:8\sqrt[6]{2^5}, \]
d.h. etwa wie
\[ 5.3454\::\:7\::\:12.2475\::\:14.2544. \]
Zuerst läuft also der auf der Spitze stehende Kegel leer, dann die Halbkugel,
dann der Zylinder und zuletzt der auf der Basis stehende Kegel.
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 74: Integralabschätzungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeige
$$\frac12<\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^{2}+x^{3}}}<\frac\pi6,\quad\mbox{und}\quad \int_{0}%
^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-3x+x^{3}}}<\frac23.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 74}}\\
Man benutze eine einfache Monotonieeigenschaft der bestimmten Integration für stetige Funktionen $f,g$:
$$ f(x) \leq g(x) \ \forall\,x\in[a,b] \Longrightarrow \int_a^b\,f(x)\,dx \leq \int_a^b\,g(x)\,dx.$$
Gilt darüber hinaus in wenigsten einem Punkt $\tilde{x}\in[a,b]$ die Ungleichung $f(\tilde{x}) < g(\tilde{x})$, dann ist auch 
$$\int_a^b\,f(x)\,dx< \int_a^b\,g(x)\,dx.$$
Man gebe ein Beispiel dafür an, dass die Umkehrung nicht gilt.\\

Wegen
$$\frac12\leq\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}+x^{3}}}\leq\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$$
gilt dann auch 
$$\int_{0}^{1}\frac12\,dx\leq\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}+x^{3}}}\,dx\leq\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx.$$
Das linke Integral ist offensichtlich gleich $\frac12$, das rechte kann man mit der Substitution $x=2\sin t,\ dx=2\cos t\,dt$ wie folgt berechnen:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^{2}}}=\int_{0}^{\frac\pi6}\frac{2\cos t}{\sqrt{4-4\sin^{2}t}}\,dt=\int_{0}^{\frac\pi6}\,dt= \frac\pi6.$$
Da die Abschätzung des Integranden für $\tilde{x}=\frac12$ ohne das Gleichheitszeichen gilt, ist die erste Abschätzung bewiesen.\\

Wegen
$$\frac{1}{\sqrt{4-3x+x^{3}}}\leq\frac{1}{\sqrt{4-3x}}$$
gilt auch 
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-3x+x^{3}}}\leq\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-3x}}.$$
Mit der Substitution $t=4-3x,\ dt=-3dx$ gilt weiter:
$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-3x}}=-\frac13\int_4^1 \frac{dt}{\sqrt{t}} = \left .\frac23\,\sqrt{t}\right |_1^4 =\frac23.$$

Auch hier ist die Abschätzung des Integranden z. B. in $\tilde{x}=1$ wenigstens in einem Punkt echt, so dass die Integralabschätzung wieder ohne das Gleichheitszeichen gilt.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 75: Integrand mit Beträgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne 

$$\int_{0}^{3}\sqrt{\left|  x^{2}-3x+2\right|  }dx.$$


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 75}}\\
Es ist 
$$ x^2-3x+2=x^2-3x+\frac94-\frac14 =(x-\frac32)^2-\frac14 = \frac14((2x-3)^2-1).$$
Setzt man $t=2x-3$, dann ist $dt=2dx$ und
\bea
I&:=&\int_{0}^{3}\sqrt{\left|  x^{2}-3x+2\right|  }dx=\frac14\int_{-3}^3\sqrt{|t^2-1|}\,dt = \frac12\int_0^3\sqrt{|t^2-1|}\,dt\\
&=&\frac12\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt +\frac12\int_1^3\sqrt{t^2-1}\,dt =: \frac12\,I_1 + \frac12\,{I_2}.
\eea
Zur Berechnung von $I_1$ benutze man die Substitution $t=\cos z, dt=-\sin z\,dz, \frac\pi2\geq z \geq 0$. Beim Einsetzen der Grenzen muss man etwas aufpassen, danach kann man das Resultat aus Aufgabe 82 benutzen.  
$$I_1=\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=-\int_{\frac\pi2}^0\sqrt{1-\cos^2z}\,\sin z\,dz = \int_0^{\frac\pi2}\sin^2 z\,dz =\frac\pi4.$$
$I_2$ berechnet man mit der Substitution $t=\frac{\e^z+\e^{-z}}2,\ dt=\frac{\e^z-\e^{-z}}2\,dz$ , bei der Transformation der Grenzen muss man eine quadratische Gleichungen für $\e^z$ lösen
\bea
I_2&=&\int_1^3\sqrt{t^2-1}\,dt=\int_0^{\ln(3+2\sqrt{2})}\sqrt{\frac{\e^{2z}+2+\e^{-2z}}4-1}\,\frac{\e^z-\e^{-z}}2\,dz\\
&=&\int_0^{\ln(3+2\sqrt{2})}\frac{\e^{2z}-2+\e^{-2z}}4\,dz=\left . \frac18(\e^{2z}-4z -\e^{-2z})\right |_0^{\ln(3+2\sqrt{2})}\\
&=&\frac18\left ((3+2\sqrt{2})^2-\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^2}\right )-\frac{\ln(3+2\sqrt{2})}2=3\sqrt{2}-\frac{\ln(3+2\sqrt{2})}2.\\
\eea
Setzt man dies in die letzte Zeile oben ein, dann ergibt sich
$$I=\frac\pi8+\frac32\sqrt{2}-\frac{\ln(3+2\sqrt{2})}4.$$
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 76: Rekursionsformel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne 
$$I_{n}=\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^{n}x\,dx.$$

für $n=0,1,2,...\;.$\\ 

Hinweis: Zeige zunächst $I_{n+2}=I_{n}-\frac1{n+1}I_{n+2}.$\\


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 76}}\\
$I_0= \frac\pi2$ und $I_1=-1$ kann man direkt berechnen. Zur Berechnung der Integrale für $n>1$ benutze man partielle Integration und den Winkelpythagoras:
\bea
I_{n+2} &=&\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^{n+2}x\,dx = \int_{0}^{\frac\pi2}\sin x\sin^{n+1}x\,dx\\
&=& \left . \cos x \sin^{n+1}x \right |_0^{\frac\pi2} +(n+1)\int_{0}^{\frac\pi2}\cos^2 x\sin^{n}x\,dx\\
&=&(n+1)\int_{0}^{\frac\pi2}(1-\sin^2 x)\sin^{n}x\,dx\\
&=&(n+1)(I_n - I_{n+2}).
\eea
Da $I_{n+2}$ nun auf beiden Seiten der Gleichung mit unterschiedlichem Koeffizienten auftritt, kann man danach auflösen und man erhält die Rekursionsformel
$$I_{n+2}= \frac{n+1}{n+2}\, I_n\qquad\mbox{bzw.}\qquad I_{n}= \frac{n-1}{n}\, I_{n-2}.$$
Durch sukzessives Einsetzen erhält man 
$$I_{n}= \left \{ 
\begin{array}{cccc} \frac{(n-1)(n-3)\cdot\dots\cdot5\cdot3\cdot1}{n(n-2)\cdot\dots\cdot6\cdot4\cdot2}\frac{\pi}{2} &=&\frac{n!}{2^{n+1}(\frac{n}{2}!)^2}\pi&\qquad n\mbox{ gerade}\\
\\
\frac{(n-1)(n-3)\cdot\dots\cdot6\cdot4\cdot2}{n(n-2)\cdot\dots\cdot5\cdot3}(-1)&=&-\frac{2^{n-1}(\frac{n-1}{2}!)^2}{n!} &\qquad n\mbox{ ungerade,}
\end{array}
\right .$$
wobei die letzen Ausdrücke durch Erweitern mit einem Produkt aus geraden Zahlen und Ausklammern von Zweierpotenzen erhalten werden.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 77: Substitutionstrick
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Berechnen Sie durch die Substitution $x=\pi - y$ das Integral
	\[ I_1 =\int_0^\pi \, \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}\,dx.\]
	\item Versuchen Sie die gleiche Substitution bei dem Integral
	\[ I_2 =\int_0^\pi \, \frac{x \cos x}{1+\sin^2 x}\,dx.\]
	\item Berechnen Sie das Integral in $I_1$ durch partielle Integration.
	\item Berechnen Sie das Integral in $I_2$ anders.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 77}}\\
\begin{enumerate}
	\item Mit der Substitution $x=\pi-y$, $dx= -dy$ erhält man wegen
	\bea
	\sin x =\sin(\pi-y) &=& \sin\pi \cos y - \cos \pi \sin y = \sin y\\
	\cos x =\cos(\pi-y) &=& \cos\pi \cos y + \sin \pi \sin y = -\cos y\\
	\eea
	\[
	I_1 = \int_0^\pi \, \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}\,dx = -\int_\pi^= \, \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos^2 y}\,dy
  = \pi \int_0^\pi \, \frac{\sin y}{1+\cos^2 y}\,dy - I_1,
	\]
	also
	\[I_1 = \frac{\pi}{2} \, \int_0^\pi \, \frac{\sin y}{1+\cos^2 y}\,dy \]
	Durch die Substitution $t= \cos y,\ dt = -\sin y\, dy$ erhält man schließlich
\[ I_1 	= -\frac{\pi}{2} \,\int_1^{-1} \, \frac{dt}{1+t^2} = -\frac{\pi}{2} \,(\arctan(-1)-\arctan 1) = \frac{\pi^2}{4}.\]
\item Dasselbe Verfahren liefert bei $I_2$
	\[
	I_2 = \int_0^\pi \, \frac{x \cos x}{1+\sin^2 x}\,dx = \int_\pi^= \, \frac{(\pi-y) \cos y}{1+\sin^2 y}\,dy
  = -\pi \int_0^\pi \, \frac{\cos y}{1+\sin^2 y}\,dy + I_2.
	\]
In dieser Gleichung kürzt sich das $I_2$ heraus: man gewinnt höchstens die Erkenntnis, dass das letzte Integral gleich Null sein muss. Dies folgt aus der Symmetre des Integranden bzgl. der Achse $x=\pi/2$ und man könnte es auch direkt berechnen.
\item Mit 
\[ u(x)=x,\  u'(x)=1,\ v'(x) =\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}, \ v(x) = - \arctan(\cos x)\] 
erhält man durch partielle Integration
\[ I_1 = \left. -x\, \arctan(\cos x)\right|_0^\pi + \int_0^\pi \arctan(\cos x)\, dx = \frac{\pi^2}{4} + \int_0^{\pi/2} \arctan(\cos x)\, dx + \int_{\pi/2}^\pi \arctan(\cos x)\, dx.\]
Substituiert man im letzten Integral wieder $x=\pi-y,\ dx=-dy, \ \cos x = -\cos y$ erhält man schließlich
\[ I_1 = \frac{\pi^2}{4} + \int_0^{\pi/2} \arctan(\cos x)\, dx + \int_{\pi/2}^0 \arctan(\cos y)\, dy = \frac{\pi^2}{4}.\]
\item Dieselbe Vorgehensweise führt bei $I_2$ mit
\[ u(x)=x,\  u'(x)=1,\ v'(x) =\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}, \ v(x) = \arctan(\sin x)\] 
bei partieller Integration auf
\[ I_2 = \left. x\, \arctan(\sin x)\right|_0^\pi - \int_0^\pi \arctan(\sin x)\, dx = 0 + \int_0^{\pi/2} \arctan(\sin x)\, dx + \int_{\pi/2}^\pi \arctan(\sin x)\, dx.\]
Substituiert man auch hier im letzten Integral wieder $x=\pi-y,\ dx=-dy, \ \sin x = -\sin y$ erhält man diesmal mit
\[ I_2 = \int_0^{\pi/2} \arctan(\sin x)\, dx - \int_{\pi/2}^0 \arctan(\sin y)\, dy = 2\,\int_0^{\pi/2} \arctan(\sin x)\, dx ,\]
ein Integral, dass man nicht so einfach geschlossen lösen kann.

\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ Cauchy-Integral }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 78: Cauchy-Integrierbarkeit monotoner Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f(x)= \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}$ in $\left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]$, $(k \in \N)$, und $f(0)=0$. Zeigen Sie, dass
$f$ auf $[0, 1]$ monoton wachsend ist. Approximieren Sie $f$ durch Treppenfunktionen, um das Integral von $f$ über $[0, 1]$ zu berechnen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 78}}\\

\begin{description}
	\item[Monotonie] Sei $0\leq x_1 < x_2 \leq 1$. Es gibt drei Möglichkeiten.
	\begin{enumerate}
	  \item $x_1=0< x_2$, dann ist $f(x_1)=0<f(x_2)$.
		\item $x_1$ und $x_2$ liegen im selben Intervall $\left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]$, dann ist $f(x_1) = f(x_2)$.
		\item $x_1$ und $x_2$ liegen in verschiedenen Intervallen $\left(\frac{1}{k_1+1},\frac{1}{k_1}\right]$ und $\left(\frac{1}{k_2+1},\frac{1}{k_2}\right]$ mit $k_1>k_2$, dann ist 
		\[f(x_1)= \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_1+1} < \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_2+1} = f(x_2).\]
	\end{enumerate}
	Insgesamt ist also $f(x_1) \leq f(x_2)$ und $f$ ist monoton wachsend.
	
	\item[Treppenfunktion] Sei 
	\[f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls } x \in [0,\frac{1}{n+1}]\\f(x) & \text{falls } x \in (\frac{1}{n+1},1]	\end{cases}.\]
	Offensichtlich sind die Funktionen $f_n$ Treppenfunktionen im Sinne des Cauchyschen Integralbegriffs und es ist
	\[ \norm{f-f_n} = \max_{x\in [0,\frac{1}{n+1}]}\set{|f(x)-f_n(x)|} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\overset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0,\]
	sowie
	\[\int_0^1\,f_n(x) = \sum_{k=1}^n \rkl{\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}}\rkl{\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}} = \sum_{k=1}^n \rkl{\frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}} =1 - \frac{1}{(n+1)^2} \overset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1.\]
Also ist
	\[\int_0^1\,f(x) = 1.\]
	
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ einfache Berechnungen }\ \\
\paragraph*{ Rotationsflächen }\ \\
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 79: Oberfläche von Rotationskörpern
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne den Inhalt der Oberfläche des durch Rotation der Kurve $y(x)=1-x^2,\ |x|\leq 1$ um die $x$-Achse entstehenden Rotationskörpers.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 79}}\\
Die Formel für die Oberfläche lautet
$$ O=2\pi\,\int_{-1}^1\ y \sqrt{1+y'^2}\,dx =2\pi\, \int_{-1}^1\ (1-x^2)\sqrt{1+4x^2}\,dx.$$
Da $y(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse liegt, genügt es, die Oberfläche über dem rechten Halbintervall doppelt zu berechnen
$$ O=4\pi\,\int_0^1\ y \sqrt{1+y'^2}\,dx =4\pi\, \int_0^1\ (1-x^2)\sqrt{1+4x^2}\,dx.$$
Mit der Substitution 
$$ x=\frac{t^2-1}{4t}\quad \mbox{bzw.} \sqrt{1+4x^2}=\frac{t^2+1}{2t}\quad \mbox{für}\quad t \in [1, 2+\sqrt{5}] $$ erhält man
$$ dx = \frac{t^2+1}{4t^2}\,dt$$ sowie $$1-x^2 =1-\frac{(t^2-1)^2}{16t^2} = -\frac{t^4-18t^2+1}{16t^2}$$
Setzt man dies alles in das Integral ein, auch die umgerechneten Grenzen, dann erhält man
\begin{eqnarray*}
	O&=&-\frac{\pi}{4}\int_1^{2+\sqrt{5}}\,\frac{t^4-18t^2+1}{t^2}\frac{t^2+1}{2t}\frac{t^2+1}{4t^2}\,dt\\
	&=&-\frac{\pi}{32}\int_1^{2+\sqrt{5}}\,\frac{t^8-16t^6-34t^4-16t^2+1}{t^5}\,dt\\
	&=&-\frac{\pi}{32}\left . \left (\frac{t^4}{4}-8t^2-34\ln t +\frac{8}{t^2} - \frac{1}{4t^4}\right ) \right |_1^{2+\sqrt{5}}\\
	&=&-\frac{\pi}{32}\left ( \left (\frac{161+72\sqrt{5}}{4}-8(9+4\sqrt{5})-34\ln(2+\sqrt{5}) +\frac{8}{9+4\sqrt{5}} - \frac{1}{4}\frac{1}{161+72\sqrt{5}}\right )-\left (\frac{1}{4}-8 +8 - \frac{1}{4}\right )\right)\\
	&=&-\frac{\pi}{32}\left ( (\frac{161+72\sqrt{5}}{4}-8(9+4\sqrt{5})-34\ln(2+\sqrt{5}) +8(9-4\sqrt{5}) - \frac{161-72\sqrt{5}}{4}\right )\\
	&=&\frac{\pi}{32}\left (28\sqrt{5}+34\ln(2+\sqrt{5})\right ) = \frac{\pi}{16}\left (14\sqrt{5}+17\ln(2+\sqrt{5})\right ) \approx  10,97.\\
\end{eqnarray*}
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 80: Oberfläche der Kugel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne den Inhalt der Oberfläche des durch Rotation der Kurve $(x,\sqrt{R^2-x^2}),\ |x|\leq R$ um die $x$-Achse entstehenden Rotationskörpers.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 80}}\\
Die Formel für die Oberfläche lautet
$$ O=2\pi\,\int_{-R}^R\ y \sqrt{1+y'^2}\,dx =2\pi\, \int_{-R}^R\ \sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}\,dx.$$
Da $y(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse liegt, genügt es, die Oberfläche über dem rechten Halbintervall doppelt zu berechnen
$$ O=4\pi\,\int_0^R\ y \sqrt{1+y'^2}\,dx =4\pi R\, \int_0^R\,dx= 4\pi R^2.$$
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 81: Oberfläche Eines Rotationellipsoides
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne den Inhalt der Oberfläche eines Rotationsellipsoides
$$\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1,$$
d.~h. des durch Rotation der Kurve $(x,\frac{a}{c}\sqrt{c^2-x^2}),\ |x|\leq c$ um die $x$-Achse entstehenden Rotationskörpers.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 81}}\\
Die Formel für die Oberfläche lautet
$$ O=2\pi\,\int_{-c}^c\ y \sqrt{1+y'^2}\,dx ,$$
wobei
$$y=\frac{a}{c}\sqrt{c^2-x^2},\quad y'=-\frac{a}{c}\frac{x}{\sqrt{c^2-x^2}}.$$
Da $y(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse liegt, genügt es, die Oberfläche über dem rechten Halbintervall doppelt zu berechnen
\bea
O&=&4\pi\frac{a}{c}\,\int_0^c\ \sqrt{c^2-x^2}\sqrt{1+\frac{a^2}{c^2}\frac{x^2}{c^2-x^2}}\,dx\\
&=&4\pi\frac{a}{c^2}\,\int_0^c\ \sqrt{c^2-x^2}\sqrt{c^2+\frac{a^2x^2}{c^2-x^2}}\,dx\\
&=&4\pi\frac{a}{c^2}\,\int_0^c\ \sqrt{c^4 -c^2x^2+a^2x^2}\,dx\\
&=&4\pi\frac{a}{c^2}\sqrt{c^2-a^2}\,\int_0^c\ \sqrt{\left (\frac{c^2}{\sqrt{c^2-a^2}}\right )^2-x^2}\,dx\\
& =&2\pi\frac{a}{c^2}\sqrt{c^2-a^2}\,\left . \left ( x\sqrt{\frac{c^4}{c^2-a^2}-x^2}+\frac{c^4}{c^2-a^2}\arcsin \frac{x\sqrt{c^2-a^2}}{c^2} \right ) \right |_0^c\\
& =&2\pi\frac{a}{c^2}\sqrt{c^2-a^2}\,\left ( c^2\frac{a}{\sqrt{c^2-a^2}}+\frac{c^4}{c^2-a^2}\arcsin \frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c} \right )\\
&=&2\pi a \left ( a+ \frac{c^2}{\sqrt{c^2-a^2}}\arcsin \frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c} \right ).\\
\eea

Verwendet wurde $\frac{d}{dx} \left ( x\sqrt{A^2-x^2}+A^2\arcsin\frac{x}{A}\right )=2\sqrt{A^2-x^2}$, vergl. Bronstein.

Wegen 
$$\lim_{c \rightarrow a} \frac{\arcsin \frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}}{\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x} =1$$

erhält man für $c \rightarrow a$ die Oberfläche $O=4\pi a^2$ der Kugel.
\newpage
\paragraph*{ Rotationskörper }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 82: Höhe eines Rotationsellpsoides bei gegebenem Volumen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Das Innere eines Glases soll die Form eines Rotationsparaboloids $z = x^2 + y^2$ haben.
Berechne die Höhe $h$ (des Inneren), die es haben muss, wenn es 0,5 Liter fassen soll,
mittels
\ben
\item Volumenberechnung durch Integration im \Rx{3},
\item Guldinscher Regel.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 82}}\\
Wir rechnen zunächst dimensionslos:

\ben
\item Es ist in Zylinderkoordinaten
\bea
V&=&\int_0^h\,\int_0^{2\pi}\,\int_0^{\sqrt{z}}\,r\, dr\,d\varphi\, dz\\
&=&\int_0^h\,\int_0^{2\pi}\,\frac z2 \,d\varphi\, dz\\
&=&\int_0^h\, \pi\,z\,dz = \frac\pi 2 h^2\\
\eea

\item Man integriere über Kreisscheiben vom Radius $\sqrt{z}$, d~h. von der Fläche $\pi z$:

$$ V=\int_0^h\, \pi\,z\,dz = \frac\pi 2 h^2.$$

\een

In beiden Fällen ist also $h=\sqrt{\frac{2V}{\pi}}$.

Rechnet man mit Dimensionen, so muss man wegen der Gleichung $z=x^2+y^2$ beachten, dass sich beim Vervielfachen der zugrunde gelegten Längeneinheit (LE) um einen Faktor (beispielsweise 10) auch die Flächeneninheiten (FE) nur um diesen Faktor vervielfachen und die Volumeneinheiten (VE) sich also um das Quadrat dieses Faktors (im Beispiel also um 100) vervielfachen. 

Es ist also 
$$1 l = v \ VE = u^3\ LE^3 = 100 v \ \frac{VE}{1000} = 100 u^3 (\frac{LE}{10})^3$$ 
bzw.
$$1 l = v \ VE = u^3\ LE^3 = \frac{v}{100} \ 1000 VE =\frac{u^3}{100} (10 LE)^3.$$

Streng genommen fehlt also neben der Angabe des Volumens in Liter eine Angabe über die zugrunde gelegte Längeneinheit. Ist diese Zentimeter, so erhält man\\ 
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
		LE & Faktor für VE& $v=1 l$ & Faktor für LE & $u$ & $h$\\
		\hline
		bestimmende LE: & cm & 1 & 1000 & 1 & 10 & $\sqrt{\frac{1000}{\pi}}\approx $17,8 cm \\
		& dm & $\frac1{100}$ & 10  & $\frac1{10}$ & 1 & $\sqrt{\frac{10}{\pi}}\approx $1,78 dm\\
		& m & $\frac1{10000}$ & 0,1 & $\frac1{100}$ & 0,1 & $\sqrt{\frac{1}{10\pi}}\approx $0,178 m\\ 
	\end{tabular}
\end{center}
Ist die zugrunde liegende Einheit aber Dezimeter, dann erhält man\\
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
		LE & Faktor für VE& $v=1 l$ & Faktor für LE & $u$ & $h$\\
		\hline
		bestimmende LE: & dm & 1 & 1 & 1 & 1 & $\sqrt{\frac{10}{\pi}}\approx $0,56 dm\\
		& cm & 100 & 100 & 10 & 10 & $\sqrt{\frac{100}{\pi}}\approx $5,64 cm \\
		& m & $\frac1{100}$ &0,01 & 0,1 & 0,1 & $\sqrt{\frac{1}{100\pi}}\approx $0,0564 m\\ 
	\end{tabular}
\end{center}

Wie so oft verrät hier ein Bild mehr als tausend Worte:\\
\includegraphics{lImage003}

Die rote Kurve zeigt die normale quadratische Parabel. Bei ihr ist das Gefäß in einer LE Höhe doppelt so breit wie hoch. Die grüne Kurve zeigt die Parabel für die Längeneinheit, die aus der ersten durch Multiplikation mit dem Faktor $\sqrt{10}$ hervorgeht. Obwohl beide dieselbe x-Ausdehnung haben, ist die zweite Kurve viel flacher, d.h man wird für dasselbe Volumen des Rotationskörpers eine viel geringere Höhe benötigen. Die Längeneinheit für die gelbe Kurve ist das 10-fache der Längeneinheit für die rote Kurve. Die Längeneinheit für die blaue Kurve ist das $\frac1{\sqrt{10}}$-fache der der roten Kurve. Man erkennt leicht, dass man für das gleiche Volumen des Rotationskörpers eine viel größere Höhe benötigt.
% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{240pt}
\underline{\textbf{Aufgabe 83: Ringe als Rotationskörper}}\\
\[ M := \left\{ (x,y) \in \Rx{2}: 1\leq x \leq 5, \right.\]
\[\hspace{20mm} \left. 1\leq y \leq1+\frac12\sqrt{6x-x^2-5} \right\} \]
Man berechne das Volumen des Körpers $K$, der bei Rotation des Gebietes $M$ um die $x$-Achse bzw. um die $y$-Achse entsteht.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{190pt}
  \includegraphics[scale=0.3, angle=-90]{aImage005}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Lösung
\underline{\textbf{Lösung 83}}\\
\underline{{\large 0. Vorüberlegungen:}}

Der Ausdruck unter der Wurzel kann umgeformt werden zu
$$6x-x^2-5=4-(x-3)^2=(5-x)(x-1).$$
Der Radikant hat also Nullstellen bei $x=1$ und $x=5$ und nimmt bei $x=3$ sein Maximum an.
Die Kurve
$$y = f(x)= 1+\frac12\sqrt{6x-x^2-5}$$
lässt sich auch in der Form
$$\frac{(x-3)^2}{4}+(y-1)^2=1$$
darstellen, Das Gebiet $M$ ist somit die obere Hälfte einer Ellipse mit den Halbachsen $a=2$ und $b=1$. Deren Flächeninhalt ist bekanntlich 
$$|M|= \frac12\,\pi\,a\,b = \pi.$$
Da wir es aber später sowieso noch einmal brauchen, rechnen wir das Integral über die Wurzel echt aus, indem wir zunächst $x-3=2t, dx=2dt$ und dann $t=\sin u, dt = \cos u\, du$ substituieren und dann das Additionstheorem $\cos(2u)=2\cos^2u-1$ benutzen:
\bea
\int_1^5\ \sqrt{6x-x^2-5}\,dx &=& \int_1^5\ \sqrt{4-(x-3)^2}\,dx = 4 \int_{-1}^1\ \sqrt{1-t^2}\,dt\\
&=& 4\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \,\cos^2u\,du = 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \,(1+\cos (2u))\,du =2\pi.\\ 
\eea
Damit ist tatsächlich
$$|M|= \int_1^5\ \left( (1+\frac12\sqrt{6x-x^2-5})-1\right )\, dx = \frac12\,\int_1^5\sqrt{6x-x^2-5}\, dx =\pi.$$

\underline{{\large 1. Rotation um die $x$-Achse}}

Man betrachte die wie bei der Flächenberechnung übliche Zerlegung 
des Gebietes in Rechtecke und lasse diese um die $x$-Achse rotieren. Dabei 
entstehen Zylinderringe mit Innenradius $y_{I}=1$, Außenradius 
$y_{A}=f(x_i)$ und Höhe $\Delta x_i$. Dann ist
\bea 
|K_x| & \approx & \pi \sum_{i = 1}^n \left(f(x_i)^2-1\right )\Delta x_i \\ 
|K_x| &=& \pi\int_1^5 \left(f^2(x)-1\right)\,dx = \pi\int_1^5 \left(\sqrt{6x-x^2-5}+\frac14(6x-x^2-5)\right)\,dx\\ 
 &=&\pi \left(2\,\pi +\left. \frac14(3x^2-\frac13x^3-5x)\right|_1^5\right) \\ 
 &=& \pi \left(2\,\pi+\frac83\right) = 
\underline{\frac{2\pi}{3}(3\pi +4)} \\ 
\eea

\underline{{\large 2. Rotation um die $y$-Achse}}

Man betrachte die wie bei der Flächenberechnung übliche Zerlegung 
des Gebietes in Rechtecke und lasse diese um die $y$-Achse rotieren. Dabei 
entstehen Zylinderringe mit Innenradius $x_{i}$, Außenradius 
$x_{i+1}$ und Höhe $f(x_i)-1$. Dann ist
\bea 
|K_y| & \approx & \pi \sum_{i = 1}^n \left(f(x_i)-1\right)\left( x_{i+1}^2-x_i^2\right ) \approx \pi \sum_{i = 1}^n \left(f(x_i)-1\right)2\,x_i\Delta x_i \\ 
|K_y| &=& 2\pi\int_1^5 x(f(x)-1)\,dx = \pi\int_1^5 x\sqrt{6x-x^2-5}\,dx \\ 
 &=& \pi \int_1^5 \left((x-3)\sqrt{4-(x-3)^2} +3\sqrt{6x-x^2-5}\right)\,dx \\ 
 &=& \pi \left(\left. \frac{1}{3}\sqrt{4-(x-3)^2}^3\right|_1^5 + 6\,\pi \right) = 
\underline{6\,\pi^2} \\ 
\eea
Durch die Umformung in der dritten Zeile erhalten wir im ersten Summanden die Ableitung des Radikanten vor der Wurzel und im zweiten Summanden können wir das bereits berechnete Integral benutzen.\\
 
\underline{{\large 3. Schwerpunkt des Gebietes $M$}}

Die Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes $S$ von $M$ sind
$$x_S=\frac1{|M|} \int_1^5 x\,(f(x)-1)\,dx\qquad\mbox{und}\qquad y_S=\frac1{|M|} \int_1^2 y\,f^{(-1)}(y)\,dy.$$
Das Integral für $x_S$ haben wir bis auf den Faktor $2\pi$ bereits unter 2. ausgerechnet. Wegen der Symmetrie des Gebietes ist aber ohnehin klar, dass $x_S=3$ sein muss.\\

Bei dem Integral für $y_S$ tritt die Schwierigkeit auf, dass die Umkehrfunktion $f^{(-1)}$ nicht auf dem gesamten Intervall $[1,5]$ existiert, sondern auf den Teilintervallen $[1,3]$ und $[3,5]$ unterschiedliche Umkehrfunktionen wirken, deren Bilder das Gebiet $M$ von oben und unten begrenzen. (Deswegen tritt hier auch kein Summand -1 mehr auf.) Hier müsste man dann zwei Integrale berechnen. Die bessere Lösung ist aber, mittels der Substitution $y=f(x), x=f^{(-1)}(y), dy=f'(x)dx$ wieder auf ein Integral mit Integrationsvariable $x$ zurückzukehren. Dann erhält man
\bea
y_S &=& \frac1{|M|} \int_1^2 y\,f^{(-1)}(y)\,dy = \frac1{|M|} \int_1^5 x\,f(x)\,f'(x)\,dx\\
&=&  \frac1{2|M|} \int_1^5x\,\left(f(x)^2\right)'\,dx\qquad\mbox{wegen}\qquad\frac{d}{dx}f(x)^2=2f(x)f'(x)\\
&=& \frac1{2|M|} \left(\left. x\,f(x)^2\right|_1^5 -  \int_1^5\,f(x)^2\,dx\right)\qquad\mbox{nach partieller Integration}\\
&=& \frac1{2\pi} \left(4 -  \int_1^5\left(1+ \sqrt{6x-x^2-5}+\frac14(6x-x^2-5)\right)\,dx\right)\\
&=& \frac1{2\pi} \int_1^5\left(\sqrt{6x-x^2-5}+\frac14(6x-x^2-5)\right)\,dx\\
&=& \frac{1}{6\pi}(6\pi +8) = \underline{1+\frac{4}{3\pi}}. \\
\eea
Das letzte Integral haben wir unter 1. schon mal berechnet. Das Ergebnis ist etwas größer als 1 und liegt damit im erwarteten Bereich.\\

\underline{{\large 4. {\em Prinzip des Cavallieri} - Rotation der Fläche auf dem Schwerpunktkreis um die jeweilige Achse}}

Mit diesem auch als {\em Guldinsche Regel} (vgl. Fichtenholz, Bd.~II, S. 236) bekanntem Prinzip kann man das Volumen des Rotationskörpers auch als Produkt von 
Querschnittsfläche und Umfang des Schwerpunktkreises berechnen.

Für die Rotation um die $x$-Achse ergibt sich somit
$$ |K_x| = 2\,\pi\,y_S\,|M| = 2\,\pi\,(1+\frac{4}{3\pi})\,\pi = \underline{\frac{2\pi}{3}(3\pi +4)}.$$
Entsprechend erhält man bei der Rotation um die $y$-Achse
$$ |K_y| = 2\,\pi\,x_S\,|M| = 2\,\pi\,3\,\pi= \underline{6\,\pi^2}.$$
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{290pt}
\underline{\textbf{Aufgabe 84: Eine Aufgabe - 3 Lösungen}}\\

Man berechne das Volumen des Körpers, der bei Rotation der durch die 
Kurve
$$\mathcal{C}=\{(x,y)\in \Rx{2}: 9y^2-x(3-x)^2=0, 0\le x \le 3\}$$
begrenzten Fläche um die y-Achse entsteht.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{140pt}
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage006}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Lösung
\underline{\textbf{Lösung 84}}\\
\underline{{\large 0. Vorüberlegungen:}}

Die Kurve $C$ schneidet die x-Achse in $x=0$ und $x=3$
und ist symmetrisch zu dieser. Die explizite Darstellung der Kurve und deren 
1. Ableitung im ersten Quadranten lauten 
\bea
 y &=& f(x) = \frac{\sqrt x }{3}(3 - x) = \sqrt x - \frac{\sqrt {\mathop 
x\nolimits^3 } }{3} \\ 
 {y}' &=& {f}'(x) = \frac{1}{2\sqrt x } - \frac{1}{2}\sqrt x = 
\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt x } - \sqrt x ) \\ 
\eea
Die Funktion f hat an der Stelle $x=1$ ein lokales Maximum der 
Größe $\frac{2}{3}$. Die Fläche $A$ der Kurve berechnet sich zu
\bea
A &= & 2\smallint_0^3 f(x)dx = 2(\frac{2}{3}x\sqrt x - 
\frac{2}{15}x^2 \sqrt x )|_0^3\\
& = & 4(\sqrt 3 - \frac{3}{5}\sqrt 3 ) = \frac{8}{5}\sqrt 3. \\
\eea
\underline{{\large 1. Rotierende Kreisscheiben in $x$-Richtung}}

Da die Funktion $f$ nicht eineindeutig ist, existieren 
Umkehrfunktionen nur in den Monotonieintervallen $[0,1]$ und 
$[1,3]$. Sei ${g}_{1}(y)=f^{-1}(y)$ in $[0,1]$ und $g_{2}(y)=f^{-1}(y)$ in 
$[1,3]$, dann gilt unter Verwendung der Guldinschen Regel, der 
Symmetrie des Rotationskörpers und der Substitutionsregel
\bea
V_y & = & 2\pi \smallint_0^{\frac{2}{3}} 
(g_2^2 (y) - g_1^2 (y))dy\qquad y = f(x),dy =f'(x)dx \\ 
 &=& 2\pi (\smallint_0^{\frac{2}{3}}g_2^2 
(y)dy - \smallint_0^{\frac{2}{3}} g_1^2 
(y)dy \qquad x = g_1 (y),x = g_2 (y) \\ 
 &=& 2\pi (\smallint_3^1  x^2 {f}'(x)dx - 
 \smallint_0^1  x^2 {f}'(x)dx) \\ 
 &=& 2\pi \smallint _3^0  x^2 {f}'(x)dx = - 
\pi \smallint_0^3 (x\sqrt x -  x^2 \sqrt x 
)dx \\ 
 &=& \pi (\frac{2}{7} x^3 \sqrt x - \frac{2}{5} 
x^2 \sqrt x )|_0^3 \\ 
 &=& 2\pi (\frac{27}{7}\sqrt 3 - \frac{9}{5}\sqrt 3 = 
\underline{\frac{144}{35}\pi \sqrt 3 } \\ 
\eea
Beachten muss man hierbei besonders die bei den beiden Umkehrfunktionen 
unterschiedlichen Ersetzungen der Grenzen im 3. Schritt.

\underline{{\large 2. Lösungsmöglichkeit: Rotierende Säulen in $y$-Richtung}}

Man betrachte die wie bei der Flächenberechnung übliche Zerlegung 
des Gebietes in Rechtecke und lasse diese um die y-Achse rotieren. Dabei 
entstehen Zylinderringe mit Innenradius $x_{i}$, Außenradius 
$x_{i + 1}$ und Höhe $f(\xi_i )$. Dann ist
\bea 
V_y & \approx & 2\pi \sum_{i = 1}^n 
f(\xi_i )(x_{i + 1}^2 - x_i^2 ) = 2\pi \sum_{i = 1}^n f(\xi_i )(x_{i + 1}+x_i )\Delta x_i \\ 
V_y &=& 4\pi\smallint_0^3 xf(x)dx = 4\pi\smallint_0^3 (x\sqrt x - \frac{x^2 \sqrt 
x }{3})dx \\ 
 &=& 4\pi (\frac{2}{5}x^2 \sqrt x - \frac{2}{21}x^3 \sqrt x )|_0^3 \\ 
 &=& 8\pi (\frac{9}{5}\sqrt 3 - \frac{9}{7}\sqrt 3 ) = 
\underline{\frac{144}{35}\pi \sqrt 3 } \\ 
\eea

\underline{{\large 3. Lösungsmöglichkeit: Rotation der Fläche auf dem Schwerpunktkreis um die $y$-Achse}}

Aus Symmetriegründen liegt die y-Koordinate $y_{s}$ des 
geometrischen Schwerpunktes auf der x-Achse, sie wäre aber auch sonst 
für die weiteren Berechnungen uninteressant. Für die x-Koordinate 
$x_{s}$ des geometrischen Schwerpunkte gilt unter Beachtung der 
oben berechneten Fläche $A$:
\bea
 x_s &=& \frac{2}{A}\smallint_0^3 xf(x)dx = 
\frac{5}{4\sqrt 3 }\smallint_0^3 (x\sqrt x - \frac{x^2 }{3}\sqrt x )dx \\ 
 &=& \frac{5}{4\sqrt 3 }(\frac{2}{5}x^2 \sqrt x - 
\frac{2}{21}x^3 \sqrt x )|_0^3 = 
\frac{5}{2\sqrt 3 }(\frac{9}{5}\sqrt 3 - \frac{9}{7}\sqrt 3 ) \\ 
 &=& \frac{9}{2}(1 - \frac{5}{7}) = \underline{\frac{9}{7}} \\ 
\eea
Damit kann man das Volumen des Rotationskörpers nach der {\em Guldinschen Regel} (vgl. Fichtenholz, Bd.~II, S. 236) als Produkt von 
Querschnittsfläche und Umfang des Schwerpunktkreises berechnen.
$$
V_y = 2\pi x_s A = 2\pi \frac{9}{7}\cdot 
\frac{8}{5}\sqrt 3 = \underline{\frac{144}{35}}\pi \sqrt 3 
$$
\newpage
\paragraph*{ Theorie }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 85: ausgezeichnete Zerlegungsfolge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man zeige, daß die Vorschrift 
$$Z_{n}:a=x_{0}^{(n)} < x_{1}^{(n)} < ... < x_{n}^{(n)}=b$$ 
mit
$$x_{\nu}^{(n)}=aq_{n}^{\nu};\quad \nu=0,1,...,n,\quad q_{n}=(b/a)^{\frac 1n}>1$$

eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge des Intervalls $[a,b]$ definiert!\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 85}}\\
Eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{Z_n\}$ ist durch zwei Eigenschaften charakterisiert:
\ben
\item Zu zwei Zerlegungen $Z_n, Z_m$ gibt es eine gemeinsame Verfeinerung, d. h. eine Zerlegung $Z_k, k\geq m, k\geq n$, deren sämtliche Teilungspunkte auch Teilungspunkte der Zerlegungen $Z_n, Z_m$ sind.
\item Die Feinheit der Zerlegung, d. h. das Maximum $l_n$ der Intervalllängen von $Z_n$ geht mit $n$ gegen 0.
\een  
Für unsere konkrete Zerlegungsfolge gilt:
\ben
\item Eine gemeinsame Verfeinerung von $Z_n, Z_m$ ist offensichtlich $Z_{mn}$, da $q_{mn}$ Teiler von $q_n$ und $q_m$ ist.
\item Wegen $\frac{b}{a}>1$ wachsen die Intervalllängen einer Zerlegung $Z_n$ monoton von links nach rechts, d. h. es ist 
$$\lim_{n\rightarrow \infty} l_n =\lim_{n\rightarrow \infty} \left ( x_{n}^{(n)}-x_{n-1}^{(n)}\right ) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left ( b - a\left (\sqrt[n]{\frac{b}{a}} \right )^{n-1} \right ) = b \lim_{n\rightarrow \infty} \left (1-\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\,\right ) =0,$$
\een
d. h. es handelt sich tatsächlich um eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 86: Konvexe Hülle
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bekanntlicherweise nennt man eine Menge $K\subset \C$ ($\C$ komplexe
Ebene) {\it konvex,} wenn sie mit je zwei Punkten $z_1,z_2\in K$ auch die
Verbindungsstrecke $[z_1,z_2]\equiv \{z=\lambda z_1+(1-\lambda )z_2:0\leq
\lambda \leq 1\}$ der beiden Punkte enthält. Ist $E\subset \C$ eine
beliebige Menge, dann heißt 
\[
\text{conv}\,E=\cap \{K:K\,(\subset \C)\text{ konvex, }K\supset E\} 
\]
ihre konvexe Hülle. Offenbar ist conv$\,E$ die kleinste konvexe Menge, die 
$E$ umfaßt. Man zeige: 
\[
\text{conv}\,E=\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda _iz_i:\lambda _i\geq
0,\sum_{i=1}^n\lambda _i=1,z_i\in E,n\in {\mathbb N}\right\} . 
\]
Die in der Klammer beschriebenen Linearkombinationen $\sum \lambda _iz_i$
heißen Konvexkombinationen der Punkte $z_1,...,z_n.$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 86}}\\
Der Einfachheit halber bezeichnen wir die Menge aller Konvexkombinationen zu einer gegebenen Menge $E$ mit 
$$ \hat{E}= \left\{ \sum_{i=1}^n\lambda _iz_i:\lambda _i\geq
0,\sum_{i=1}^n\lambda _i=1,z_i\in E,n\in {\mathbb N}\right\} .$$ 
dann gilt:
\ben
\item $E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \hat{E_1}\subseteq \hat{E_2}$
\item $\hat{E}$ ist konvex.
\item $K$ konvex $ \Longleftrightarrow \hat{K}=K$.
\een
Beweis:
\ben
\item offensichtlich
\item Seien $w_1=\sum_{i=1}^n\lambda _iz_i$ und $w_2=\sum_{j=1}^m\mu _j\tilde{z}_j$ zwei Punkte aus $\hat{E}$, d. h. 
$$z_i, \tilde{z}_i \in \hat{E},\qquad \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1,\qquad \sum_{j=1}^m \mu_j = 1,$$
dann lassen sich die Punkte der Verbindungsstrecke in der Form
$$ z(t) = t\sum_{i=1}^n\lambda _iz_i +(1-t)\sum_{j=1}^m\mu _j\tilde{z}_j= \sum_{i=1}^nt\lambda _iz_i +\sum_{j=1}^m(1-t)\mu _j\tilde{z}_j,\qquad t\in [0,1]$$
darstellen. Dies ist eine Konvexkombination der $n+m$ Punkte $z_1,\dots,z_n,\tilde{z}_1,\dots,\tilde{z}_m$, denn es ist
$$\sum_{i=1}^nt\lambda _i +\sum_{j=1}^m(1-t)\mu _j=t\sum_{i=1}^n\lambda _i +(1-t)\sum_{j=1}^m\mu _j=t+(1-t)=1,$$
d. h. $z(t)\in \hat{E}\ \forall t\in [0,1]$. Da damit die gesamte Verbindungsstrecke von $w_1$ und $w_2$ in $\hat{E}$ ist, ist $\hat{E}$ konvex.

\item Offensichtlich ist stets, d. h. auch wenn $K$ nicht konvex ist, $K \subseteq \hat{K}$. (Konvexkombination mit einem Summanden und Koeffizienten 1.) $K \supseteq \hat{K}$, beweisen wir mit Hilfe vollständiger Induktion über die Anzahl der Summanden in der Konvexkombination.\\ 
$n=2$: Da $K$ konvex ist, sind alle Konvexkombinationen aus zwei Summanden in $K$ enthalten, denn das sind gerade die Punkte der Verbindungsstrecke.\\
$n \mapsto n+1$: Wir betrachten eine Konvexkombination aus $n+1$ Summanden, spalten bei dieser den letzten Summanden ab und erweitern die Faktoren vor den anderen Summanden geschickt:
$$\sum_{i=1}^{n+1}\lambda _iz_i=(1-\lambda_{n+1}) \sum_{i=1}^n\frac{\lambda _i}{1-\lambda_{n+1}}z_i + \lambda_{n+1}z_{n+1}.$$
Die Summe auf der rechten Seite der Gleichung stellt nun ihrerseits eine Konvexkombination aus $n$ Punkten von $K$ dar, die nach Induktionsvoraussetzung in $K$ ist. Die ganze rechte Seite ist damit eine Konvexkombination aus zwei Punkten in $K$ und - da $K$ ja konvex sein sollte - ebenfalls in $K$.
\een
Damit können wir nun zum Beweis der Hauptsache kommen. Da $\hat{E}$ konvex und offensichtlich $E \subseteq \hat{E}$ ist, ist auch der Durchschnitt aller $E$ enthaltenden konvexen Mengen, also $\text{conv}\,E \subseteq \hat{E}$. Andererseits ist für jede konvexe Menge $K$  mit $E\subseteq K$ wegen a) und c) auch $\hat{E}\subseteq \hat{K} = K$, d. h. jede konvexe Menge, die $E$ enthält, enthält auch $\hat{E}$, damit ist $\hat{E}$ auch im Durchschnitt aller konvexen Mengen, die $E$ enthalten, d. h. $ \hat{E}\subseteq \text{conv}\,E$. \endproof



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 87: Nicht Riemann-integrierbare Funktion, die Stammfunktion besitzt.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Zeigen Sie: Die Funktion $F:\left[ 0,1\right] \rightarrow R$ mit

$$F(x):=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\sqrt{x^3}\sin \left( \frac{1}{x}\right) &\text{ für }0<x\leq 1 \\ 
0 &\text{ für }x=0
\end{array}
\right. $$

ist für alle $x\in \left[ 0,1\right] $ differenzierbar.

\item Berechnen Sie die Ableitung $f:=F'$ und zeigen Sie, dass $f$
nicht R-integrierbar ist.
\een
Mit anderen Worten: Die Funktion $f(x)$ hat zwar eine Stammfunktion, ist aber nicht R-integrierbar.\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 87}}\\
\ben
\item Es ist 
$$f(x)=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\frac32\sqrt{x}\sin \left( \frac{1}{x}\right) - \frac1{\sqrt{x}}\cos \left( \frac{1}{x}\right)&\text{ nach Qouotientenregel für }0<x\leq 1 \\ 
&\\
\lim_{h\rightarrow 0} \sqrt{h}\sin \left( \frac{1}{h}\right)=0 & \text{ nach Definition für }x=0\\
\end{array}
\right. $$
Offensichtlich ist $f(x)$ in $x=0$ unstetig, da der Grenzwert des zweiten Summanden für $x \rightarrow 0$ nicht existiert.
\item Für jede Zerlegung $\{x_0=0,x_1,x_2,\ldots,x_n=1\}$ des Intervalls $[0,1]$ und jede noch so große Zahl $C>0$ gibt es Zahlen $x^*=\frac1{2k\pi}<x_1$ und $x^{**}=\frac1{(2k+1)\pi}<x_1$, so dass 
$$\cos\frac1{x^*}=1, \sin\frac1{x^*}=0, \cos\frac1{x^{**}} = -1$$ 
ist. Dann ist 
$$ f(x^{**}) - f(x^*) = \sqrt{(2k+1)\pi}+\sqrt{2k\pi},$$
d.~h. für die Schwankung der Funktion $f$ im Intervall $[0,x_1]$ gilt, wenn man noch $k>\frac{C^2}{8\pi}$ wählt, dass
$$ \text{Schwankung}(f, [0,x_1]) \geq f(x^{**}) - f(x^*) > C$$
ist. Damit ist das Integrabilitätskriterium "\,Obersumme-Untersumme "$<\varepsilon$ offensichtlich verletzt, da bereits der erste Summand $(Cx_1)$ beliebig groß werden kann.
\een

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 88: Vereinfachtes Konvergenzkriterium
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise die folgende
Modifikation der Konvergenzbedingung für Riemannsche Zwischensummen: 
\begin{equation}
\exists \lim \sigma (Z,T)=A\quad \text{gdw.}\quad \forall \varepsilon >0\;\exists
Z_0\;\forall T:\left| \sigma (Z_0,T)-A\right| <\varepsilon ;  \label{f7}
\end{equation}
die Zwischenpunktsysteme $T$ sind natürlich zu $Z_0$ zu bilden.\\ 

Verbal bedeutet die Aussage, dass es für den Nachweis der Existenz des Integrals genügt, nur eine einzige  Zerlegung $Z_0$ zu finden, so dass für jede Wahl von Zwischenpunkten $T$ die Abschätzung in (\ref{f7}) gilt.\\

\tip{Man beweise zunächst folgenden Hilfsatz:}\\

Für $E_1,...,E_N\subset \mathbb C$ folgt aus 
\begin{equation}
\forall z_\nu \in E_\nu :\left| \sum_{\nu =1}^Nz_\nu \right| <\varepsilon .
\label{f6}
\end{equation}
sogar 
$$\forall w_\nu \in \text{conv}\,E_\nu :\left| \sum_{\nu =1}^Nw_\nu \right|<\varepsilon .$$

Dabei ist 
$$
\text{conv}\,E=\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda _iz_i:\lambda _i\geq
0,\sum_{i=1}^n\lambda _i=1,z_i\in E,n\in {\mathbb N}\right\} . 
$$
die Menge aller Konvexkombinationen der Punkte $z_1,...,z_n.$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 88}}\\
\par\bigskip{\bf\noindent Beweis des Hilfssatzes:}\\  
Wir stellen die $w_\nu$ als Konvexkombinationen von Punkten $z_{\nu i} \in E_\nu$ dar:
$$w_\nu =\sum_{i=1}^{n_\nu}\lambda _{\nu i}z_{\nu i}= \sum_{j=1}^M \mu_j \tilde{z}_{\nu j},\quad z_{\nu i}, \tilde{z}_{\nu j} \in E_\nu, \sum_{i=1}^{n_\nu}\lambda_{\nu i} =1, \lambda_{\nu i} \geq 0..$$
Dabei stellen die rechts stehenden Linearkombinationen mit den Koeffizienten $\mu_j$ gewisse ,,Verfeinerungen'' der ursprünglichen Konvexkombinationen dar, die wir auf folgende Weise erhalten:\\
Wir betrachten für jedes $\nu = 1,\dots, N$ die Zerlegung des Intervalls $[0,1]$ in aufeinanderfolgende Intervalle der Längen $\lambda_{\nu i}$. Durch Übereinanderlegen dieser $N$ Zerlegungen erhalten wir eine gemeinsame Verfeinerung mit $M$ Intervallen der Längen $\mu_j$, wobei natürlich $\sum_{j=1}^M \mu_j = 1$ ist und sich außerdem alle Intervalllängen $\lambda_{\nu i}$ als Summe von aufeinanderfolgenden Intervalllängen $\mu_j$ darstellen lassen. Setzt man diese in die ursprünglichen Konvexkombinationen ein, so erhält man die in der zweiten Summe dargestellten Linearkombinationen, die nun wegen $\sum_{j=1}^M \mu_j = 1$ sogar auch Konvexkombinationen sind und außerdem für alle $\nu$ die gleiche Anzahl von Summanden und sogar die gleichen Koeffizienten haben. Dafür können einige der $\tilde{z}_{\nu j}$ in jeweils einer Summe mehrfach vorkommen, was aber nicht verboten ist.
Nunmehr können wir wegen $\mu_j\geq 0$ wie folgt abschätzen: 
$$\left| \sum_{\nu =1}^Nw_\nu \right| = \left| \sum_{\nu =1}^N \sum_{j=1}^M\mu_j\tilde{z}_{\nu j}\right|= \left| \sum_{j=1}^M \sum_{\nu =1}^N \mu_j\tilde{z}_{\nu j}\right| \leq \sum_{j=1}^M \mu_j\left|\sum_{\nu =1}^N \tilde{z}_{\nu j}\right| \leq \sum_{j=1}^M \mu_j\varepsilon = \varepsilon\sum_{j=1}^M \mu_j= \varepsilon.$$
\endproof

\par\bigskip{\bf\noindent Beweis des Kriteriums:}\\  

Die Notwendigkeit ist klar, da im Originalkriterium die Eigenschaft sogar für alle feineren Zerlegungen gefordert wird.\\ 
Zur Hinlänglichkeit:\\ 
Bezeichne $I$ das
Integrationsintervall. $I$ werde durch $Z_0$ in üblicher Weise zerlegt: $%
I=\cup I_j.$ Unter einer Verfeinerung $Z\geq Z_0$ von $Z_0$ zerfallen die
Teilintervalle $I_j$ von $Z_0$ in je endlich viele Subintervalle, die mit $%
I_{j\nu }$ bezeichnet werden sollen: $I_j=\cup _\nu I_{j\nu }.$ Ist $T$ ein
zu $Z$ geh\"origes Zwischenpunktsystem, dann folgt aus $\forall T:\left|
\sigma (Z_0,T)-A\right| <\varepsilon :$%
\begin{eqnarray*}
\left| \sigma (Z,T)-A\right| &=&\left| \sum_j\sum_\nu f(P_{j\nu })\left|
I_{j\nu }\right| -A\right| \\
&=&\left| \sum_j\sum_\nu \frac{\left| I_{j\nu }\right| }{\left| I_j\right| }%
\left( f(P_{j\nu })\left| I_j\right| -\frac{\left| I_j\right| }{\left|
I\right| }A\right) \right| <\varepsilon
\end{eqnarray*}
im Hinblick auf Gleichung \ref{f6}, wenn man die Mengen 
\[
E_j=\left\{ f(P)\left| I_j\right| -\frac{\left| I_j\right| }{\left| I\right| 
}A:P\in I_j\right \} 
\]
einführt.
\endproof


% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ uneigentliche Integrale }\ \\
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 89: Uneigentliches Integral
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Existiert $\int_0^\infty \frac{x \ln x}{(1+x^2)^3}\, dx ?$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 89}}\\
\begin{enumerate}
\item Lösung durch Abschätzung:

Es gibt zwei Stellen an denen das Integral uneigentlich ist bzw. sein könnte, nämlich $x=0$ und $x\rightarrow \infty$. Wegen $\lim_{x\rightarrow +0} x \ln x = 0$ ist der Integrand über dem Intervall $[0, 1]$ stetig, d. h. $$\int_0^1 \frac{x \ln x}{(1+x^2)^3}\, dx < \infty.$$ Andererseits ist für $x>1 \quad 1+x^2 > x^2$ und $\ln x < x$, d. h.
$$ \int_1^\infty \frac{x \ln x}{(1+x^2)^3}\, dx < \int_1^\infty \frac{x^2}{(x^2)^3}\, dx = \int_1^\infty \frac{1}{x^4}\, dx < \infty, $$
d.h. das Integral existiert.

\item Lösung durch Berechnung:

Eine Stammfunktion erhält man durch partielle Integration mit 
$$u=\ln x, \quad u'=\frac{1}{x}, \quad v'=\frac{x}{(1+x^2)^3}, \quad v=-\frac{1}{4}\,\frac{1}{(1+x^2)^2},$$
d. h. es ist
$$\int \frac{x \ln x}{(1+x^2)^3}\, dx= -\frac{1}{4}\,\frac{\ln x}{(1+x^2)^2} +\frac{1}{4}\,\int \frac{1}{x(1+x^2)^2}\, dx.$$
Das letzte Integral läßt sich mit Partialbruchzerlegung lösen, den es ist
$$\frac{1}{x(1+x^2)^2} = \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\,\frac{2x}{1+x^2}-\frac{1}{2}\,\frac{2x}{(1+x^2)^2},$$
also ist
\begin{eqnarray*}
	F(x) =\int \frac{x \ln x}{(1+x^2)^3}\, dx &=& -\frac{1}{4}\,\frac{\ln x}{(1+x^2)^2} +\frac{1}{4}\,\ln x -\frac{1}{8}\,\ln (1+x^2) +\frac{1}{8}\,\frac{1}{1+x^2}\\
	&=& \frac{1}{4}\,\frac{(2x^2+x^4)\ln x}{(1+x^2)^2} -\frac{1}{8}\,\ln (1+x^2) +\frac{1}{8}\,\frac{1}{1+x^2}\\
	&=&-\frac{1}{4}\,\frac{\ln x}{(1+x^2)^2} +\frac{1}{8}\,\ln \frac{x^2}{1+x^2} +\frac{1}{8}\,\frac{1}{1+x^2}\\
\end{eqnarray*}
eine Stammfunktion. Aus der letzten Darstellung sieht man $\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=0$, aus der mittleren Darstellung folgt $\lim_{x\rightarrow +0}F(x)=\frac{1}{8}$, also ist
$$\int_0^\infty \frac{x \ln x}{(1+x^2)^3}\, dx=-\frac{1}{8}$$
\end{enumerate}
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 90: Existenz uneigentlicher Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie, für welche positiven Zahlen $p$ die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren:
\begin{enumerate}
	\item $I_1=\displaystyle{ \int_0^\infty \,\e^{-x}x^p\,dx}$
	\item $I_2=\displaystyle{ \int_1^\infty \,\frac{\sin x}{x^p}\,dx}$
	\item $I_3=\displaystyle{ \int_0^\infty \,(\log x)^{-p}\,dx}$
	\item $I_4=\displaystyle{ \int_0^\infty \,\sin(x^p)\,dx}$
	\item $I_5=\displaystyle{ \int_0^1 \,\frac{1+\e^x}{(\sin x)^p}\,dx}$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 90}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wir betrachten zunächst den Fall $p=k\in \N$. $k$-fache partielle Integration ergibt
	\[\int_0^t\,\underbrace{\e^{-x}}_{u'}\underbrace{x^k}_v\,dx = \left. -\e^{-x}x^k\right|_0^t +k\int_0^t\,\e^{-x}x^{k-1}\,dx = \ldots =\left. -\e^{-x}\sum_{i=0}^k \frac{k!}{i!}x^i \right|_0^t \ .\]
	Da für alle $n\in \N$ stets $\flim{t}{\infty} \e^{-t}t^n =0$, was sich durch $n$-malige Anwendung der Regel von de~l'Hospital auf den unbestimmten Ausdruck $\frac{x^n}{\e^x}$ beweisen lässt, konvergiert auch
	\[I_1=\flim{t}{\infty} \int_0^t\,\e^{-x}\,x^k\,dx = \e^{0}\sum_{i=0}^k \frac{k!}{i!}0^i =k!.\]
	Für $p\in \R\setminus \N$ kann man für $x>1$ den Integranden gegen $\e^{-x}x^{\left\lfloor p+1\right\rfloor}$ abschätzen und das Majorantenkriterium benutzen.
	
	\item Für $t>s> \rkl{2/\ve}^{1/p} $ gilt mit partieller Integration
	\[\int_s^t\,\underbrace{\sin x}_{u'}\,\underbrace{x^{-p}}_v\,dx = \left.-\cos x\, x^{-p}\right|_s^t - \int_s^t\,\underbrace{(-\cos x)}_u\,\underbrace{(-px^{-(p+1)})}_{v'}\,dx =\frac{\cos s}{s^p}-\frac{\cos t}{t^p}-\frac{1}{p}\int_s^t\,\frac{\cos x}{x^{p+1}}\,dx,\]
	also ist
	\bea
	\abs{\int_s^t\,\sin x\,x^{-p}\,dx} &\leq& \frac{|\cos s|}{s^p}+\frac{|\cos t|}{t^p} + \frac{1}{p}\abs{\int_s^t\,\frac{\cos x}{x^{p+1}}\,dx}\leq \frac{2}{s^p} + \frac{1}{p}\int_s^t\,\frac{|\cos x|}{x^{p+1}}\,dx \\
	&\leq& \frac{2}{s^p} + \frac{1}{p}\int_s^t\,\frac{1}{x^{p+1}}\,dx = \frac{2}{s^p} + \frac{1}{t^p} -  \frac{1}{s^p} \leq \frac{2}{s^p} < \ve.\\
	\eea
	Damit konvergiert $I_2$ nach dem Cauchykriterium.\\
	Wegen $\abs{\frac{\sin x}{x^p}}\leq \frac{1}{x^p}$ konvergiert $I_2$ für $p>1$ sogar absolut, aber nicht für $p\leq 1$. Für $p=1$ zeigt man dies, indem man die Teil-Integrale folgendermaßen
	\bea
	\int_{2k\pi}^{2k\pi+2\pi} \frac{|\sin x|}{x}\,dx &=& \int_{2k\pi}^{2k\pi+\pi} \frac{\sin x}{x}\,dx - \int_{2k\pi+\pi}^{2k\pi+2\pi} \frac{\sin x}{x}\,dx = \int_{2k\pi}^{2k\pi+\pi} \rkl{\frac{\sin x}{x}-\frac{\sin (x+\pi)}{x+\pi}}\,dx  \\
	&=& \int_{2k\pi}^{2k\pi+\pi} \rkl{\frac{\sin x}{x}+\frac{\sin x}{x+\pi}}\,dx \geq \frac{2}{2k\pi+\pi}  \int_{2k\pi}^{2k\pi+\pi} \sin x\,dx = \frac{4}{2k\pi+\pi} >\frac{4}{3\pi}\frac{1}{k}
	\eea
	gegen ein Vielfaches der Summanden der harmonischen Reihe abschätzt. Für $p<1$ kann man dann wieder das Vergleichskriterium verwenden.
	
	\item Wir zerlegen $I_3$ in die Integrale 
	\[I_3= \int_0^1 \,(\log x)^{-p}\,dx + \int_1^2 \,(\log x)^{-p}\,dx + \int_2^\infty \,(\log x)^{-p}\,dx =:I_{31}+I_{32}+I_{33}.\]
	Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist mit einem $\xi$ zwischen 1 und $x$
	\[\frac{\log x - \log 1}{x-1}= \frac{1}{\xi} \qquad (\#)\]
	Für $1<\xi<x$ folgt daraus $\log x \leq x-1$ bzw. $\frac{1}{(\log x)^p}\geq \frac{1}{(x-1)^p}$, Damit divergiert für $0 \leq p\leq 1$ der Anteil  $I_{33}$ nach Majorantenkriterium und damit auch $I_3$.\\
	Für $0<x<\xi<1$ folgt aus (\#) ebenfalls $\log x \leq x-1$, denn $x-1$ ist negativ, und damit  auch  $\frac{1}{(\log x)^p}\geq \frac{1}{(x-1)^p}$. Ebenfalls nach Majorantenkriterium folgt nun, diesmal aber für $p\geq 1$, dass $I_{31}$ divergiert, also auch $I_3$. Somit konvergiert $I_3$ für kein $p>0$. 
	
	
	\item Sei zunächst $p>1 $, und es sei $\varepsilon >0$ beliebig gegeben. Sind dann 
$d>c > (\varepsilon /2 )^{1/(p-1)} $, 
so folgt mit Hilfe der Substitutionsregel und partieller Integration:
\begin{eqnarray*}
 & & \left|
 \int_c ^d \sin (x^p)\, dx \right|
 \
   = \
\left| \frac{1}{p} \int_{c^p} ^{d^p} y^{(1/p)-1 } \sin y \, dy \right|
\\
 & = & \frac{1}{p} \left| -y ^{(1/p)-1} \cos y |_{c^p} ^{d^p} + 
 \left( \frac{1}{p}-1 \right) \int_{c^p} ^{d^p} y ^{(1/p)-2}\cos y  \, dy \right|
 \\
 & \leq &  \frac{1}{p} \left( c^{1-p} + d ^{1-p} +  \left( 1- \frac{1}{p} \right) \int_{c^p} ^{d^p} y ^{(1/p)-2} \, 
 dy \right)
\\
 & = & \frac{1}{p} \left( c^{1-p} + d ^{1-p} +  [ -d^{1-p} + c ^{1-p} ]  \right) = \frac{2}{p } c ^{1-p}
 \\
 & \leq & 2 c^{1-p} < \varepsilon .
 \end{eqnarray*} 
 Im Hinblick auf das  Cauchy-Kriterium folgt daraus die Konvergenz von $I(p)$ für $p>1$. 
 \\
 Jetzt sei $0< p\leq 1 $, und $n\in \mathbb{N}$.  Dann ist 
 \begin{eqnarray*} 
 & &  \int_{(2n\pi )^{1/p} } ^{(2n\pi + \pi )^{1/p} } \sin (x ^p) \, dx  
\
   = \ \int_{2n\pi } ^{(2n+1) \pi } y^{(1/p)-1 } \sin y \, dy \\
  & \geq & \int_{2n\pi } ^{(2n+1) \pi }  \sin y \, dy =2 .
\end{eqnarray*}
Für $n\to +\infty $ folgt daraus wegen des Cauchy-Kriteriums die Divergenz von $I(p)$ im Falle $0<p \leq 1 $.
\\
{\sl Bemerkung :} Das obige Beispiel für $p>1 $ überrascht: Zeigt es doch, 
dass die Bedingung $\lim _{x\to +\infty }f(x) =0 $ {\bf nicht} notwendig ist für die Konvergenz
eines uneigentlichen Integrals $\int _a ^{+\infty } f(x)\, dx $.
	\item Weil 
$
(2/\pi ) x \leq \sin x \leq x  
$ 
ist für $x\in [0,1]$, gilt 
$$
x^{-p } \leq (1+e^x ) / (\sin x) ^p \leq 4(\pi /2 ) ^p x^{-p}\qquad \qquad (***)  
$$ 
für diese $x$. 
Weil das uneigentliche Integral $\int _0 ^1 x^{-p} \, dx $ konvergiert für $p\in (0, 1) $, 
folgt dann die Konvergenz von $J(p)$ aus der rechten Ungleichung in $(***)$. 
Andererseits divergiert das uneigentliche Integral $\int _0 ^1 x^{-p} \, dx $ f\"ur $p\geq 1 $, so dass die 
Divergenz von $J(p)$ für diese $p$ folgt mit Hilfe der linken Ungleichung in $(***)$. 
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 91: Uneigentliche Integrale und Regel von de l'Hospital
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f$ integrierbar auf $[0,b]$ für alle $b> 0, \flim{x}{\infty} f(x)= A, (A \in \R)$, 
und $a> -1$. Berechnen Sie
\[ \flim{x}{\infty} x^{-a-1}\,\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 91}}\\
\begin{description}
	\item[Fall 1:] $\displaystyle{\int_0^\infty\,f(t)\,t^a\,dt} =: I <\infty$ existiert.\\
	Dann ist 
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}}=0.\]
	
	\item[Fall 2:] $\displaystyle{\int_0^\infty\,f(t)\,t^a\,dt} =\infty$ existiert nicht.\\ 
	Dann ist 
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}}\]
ein unbestimmter Ausdruck vom Typ "`$\infty/\infty$"', auf den man die Regel von de l'Hospital anwenden kann. Aus dieser und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt dann
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}} = \flim{x}{\infty} \frac{f(x)\,x^a}{(a+1)x^{a}} = \frac{A}{a+1}.\]
\end{description}

\underline{Bemerkung:} Fall 1 kann nur für $A=0$ auftreten. Ist z.~B. $A>0$, dann existiert wegen $\flim{x}{\infty} f(x)= A$ ein $\chi>0$, so dass $f(t)>\frac{A}{2}$ für $x>\chi$ ist. Dann kann das unbestimmte Integral  
\[\int_\chi^\infty\,f(t)\,t^a\,dt > \frac{A}{2}\,\int_\chi^\infty\,t^a\,dt\] 
wegen $a>-1$ aber nicht existieren. Für $A<0$ kann man zu $-f$ übergehen.\\

Da für $A=0$ aber auch im zweiten Falle der Grenzwert gleich 0 ist, kann man beide Ergebnisse zusammenfassen zu
\[ \flim{x}{\infty} \frac{\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt}{x^{a+1}} = \frac{A}{a+1}.\]




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 92: Vergleichskriterien für uneigentliche Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $f$ und $g$ integrierbar auf $[a,b]$ für jedes $b$ mit $b>a$.\\
Beweisen Sie
\begin{enumerate}
	\item Wenn $\abs{f(x)}\leq g(x)$ für alle $x\geq a$ und $\displaystyle{\int_a^\infty\,g(x)\,dx <+\infty}$ gilt, so konvergiert $\displaystyle{\int_a^\infty\,f(x)\,dx}$ absolut.
	\item Wenn $0\leq f(x)\leq g(x)$ für alle $x\geq a$ und $\displaystyle{\int_a^\infty\,f(x)\,dx =+\infty}$ gilt, so ist auch $\displaystyle{\int_a^\infty\,g(x)\,dx =+\infty}$.  
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 92}}\\
\begin{enumerate}
	\item {\sl Beweis: } Die Funktion $U(x):= \int _a ^x |f(t)| \, dt $, ($x\geq a $), ist monoton wachsend, und es gilt 
$U(x) \leq \int_a ^x g(t)\, dt \leq \int _a ^{+\infty } g(x)\, dx $ für $x\geq a $.
Folglich existiert der Grenzwert $\lim_{x\to +\infty } U(x)$ und ist gleich $\int _a ^{+\infty } |f(x)|\, dx $.
\item Wegen $f(x)>0$ für $x\geq a$ ist dort $f(x)=\abs{f(x)}$. Wäre nun $\displaystyle{\int_a^\infty\,g(x)\,dx <+\infty}$, so wäre nach a) auch $\displaystyle{\int_a^\infty\,f(x)\,dx <+\infty}$, dies widerspricht aber der Voraussetzung.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 93: Vergleichskriterien für uneigentliche Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $b > 0$ und $f$ integrierbar auf $[\ve,b]$ für alle $\ve \in (0; b)$. Beweisen Sie
die folgenden Aussagen:
\begin{enumerate}
	\item Ist $|f (x)| \leq Mx^{-p}$ für $x \in (0; b]$, mit Zahlen $p \in (0; 1)$ und $M > 0$, so
konvergiert $\displaystyle{\int_0^b\,f(x) dx}$ absolut.
 \item Ist $f (x) \geq Mx^{-p}$ für $x \in (0; b]$, mit Zahlen $p \geq 1$ und $M > 0$, so ist
$\displaystyle{\int_0^b\,f(x) dx}= +infty.$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 93}}\\
\begin{enumerate}
	\item Für alle $\ve \in (0; b)$ ist
	\[\int_\ve^b\,|f(x)| dx \leq \int_\ve^b\,Mx^{-p} dx = \left. \frac{M}{1-p}x^{1-p}\right|_\ve^b = \frac{M}{1-p} \rkl{b^{1-p}-\ve^{1-p}}.\]
	Wegen $p\in (0,1)$ ist $1-p>0$ und deshalb
	\[\int_0^b\,|f(x)| dx = \flim{\ve}{0} \int_\ve^b\,|f(x)| dx \leq \flim{\ve}{0} \frac{M}{1-p} \rkl{b^{1-p}-\ve^{1-p}} = \frac{M}{1-p} b^{1-p}<\infty.\]
	\item Für alle $\ve \in (0; b)$ ist
	\[\int_\ve^b\,f(x) dx \geq \int_\ve^b\,Mx^{-p} dx = \begin{cases} \left. \frac{M}{1-p}x^{1-p}\right|_\ve^b = \frac{M}{1-p} \rkl{b^{1-p}-\ve^{1-p}}& \text{für } p>1\\ \left. M\ln x \right|_\ve^b =M\ln b- M\ln\ve & \text{für } p=1\end{cases}.\]
	Für $p > 1$ ist $1-p<0$ und deshalb
	\[\int_0^b\,f(x) dx = \flim{\ve}{0} \int_\ve^b\,f(x) dx \geq \flim{\ve}{0} \begin{cases}\frac{M}{1-p} \rkl{b^{1-p}-\ve^{1-p}}  = \infty & \text{für } p>1\\M\ln x -M\ln \ve = \infty& \text{für } p=1\end{cases}\]
	
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ Riemann-Stieltjes-Integral }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 94: Existent des Riemann-Stieltes-Integrals bei Sprüngen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $\alpha, f_1, f_2: [0,2]\mapsto \R$ und 
$$\alpha(x)=\begin{cases}1 & \text{für } x\leq 1\\2 & \text{für } x>1\end{cases}, \ f_1(x)=\begin{cases}3 & \text{für } x\leq 1\\4 & \text{für } x>1\end{cases}, \ f_2(x)=\begin{cases}3 & \text{für } x< 1\\4 & \text{für } x\geq 1\end{cases}.$$
Existieren die Riemann-Stieltjes-Integrale
$$\int_0^2\,f_i(x)\,d\alpha\quad\text{für}\quad i=1,2\ ?$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 94}}\\
\begin{figure}[htbp]
	\centering
		\includegraphics{lImage004}
	\caption{$\alpha, f_1$ und $f_2$}
	\label{fig:functions}
\end{figure}

Wir betrachten zu einer gegebenen Zerlegung $0=x_0,x_1,\dots,x_{n-1},x_n=2$ mit $x_m\leq 1<x_{m+1}$ zu 
$$\int_0^2\,f_i(x)\,d\alpha$$
die Ober- und Untersummen für $f_1$
\bea 
S_1 &=& \sum_{l=1}^n\,\sup_{x\in[x_{l-1},x_l]}f_1(x)\cdot(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1}))\\
&=& \sum_{l=1}^{m}\,3(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1}))\\
&+&\sup_{x\in[x_{m},x_{m+1}]}f_1(x)\cdot(\alpha(x_{m+1})-\alpha(x_m))+\sum_{l=m+2}^n\,4(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1}))\\
&=&\sup_{x\in[x_{m},x_{m+1}]}f_1(x)\cdot(\alpha(x_{m+1})-\alpha(x_m))\\
&=&4\\
&&\\
s_1&=&\sum_{l=1}^n\,\inf_{x\in[x_{l-1},x_l]}f_1(x)(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1})\\
&=& \sum_{l=1}^{m}\,3(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1}))\\
&+&\inf_{x\in[x_{m},x_{m+1}]}f_1(x)\cdot(\alpha(x_{m+1})-\alpha(x_m))+\sum_{l=m+2}^n\,4(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1}))\\
&=&\inf_{x\in[x_{m},x_{m+1}]}f_1(x)\cdot(\alpha(x_{m+1})-\alpha(x_m))\\
&=&3\\
\eea

und analog für $f_2$
\bea
S_2 &=& \sum_{l=1}^n\,\sup_{x\in[x_{l-1},x_l]}f_2(x)\cdot(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1}))\\
&=&\sup_{x\in[x_{m},x_{m+1}]}f_1(x)\cdot(\alpha(x_{m+1})-\alpha(x_m))\\
&=&4\\
&&\\
s_2 &=& \sum_{l=1}^n\,\inf_{x\in[x_{l-1},x_l]}f_2(x)\cdot(\alpha(x_l)-\alpha(x_{l-1}))\\
&=&\inf_{x\in[x_{m},x_{m+1}]}f_1(x)\cdot(\alpha(x_{m+1})-\alpha(x_m))\\
&=&\begin{cases}
	3 &\text{für}\quad x_m<1\\
	4 &\text{für}\quad x_m=1\\
\end{cases}\eea

Wegen $S_1-s_1=1$ ist das Integrabilitätskriterium (Rudin, Satz 6.6) verletzt, $f_1$ also nicht Riemann-Stieltjes-integrabel.\\

Dagegen kann man mit $x_m=1$ eine Zerlegung finden, für die   
$S_2-s_2=0 < \ve\ \forall\ \ve>0$
ist, d.~h. $f_2$ ist R-S-integrabel.
% Ende der Lösung
\newpage
\subsubsection*{ unbestimmte Integrale }
\paragraph*{ Partialbruchzerlegung }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 95: einfache Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme  

$$\int\ \frac{x}{x^2-x-6}\,dx.$$\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 95}}\\
Die Nullstellen des Nenners sind $x_1=3$ und $x_2=-2$ und der Ansatz
$$\frac{x}{x^2-x-6}=\frac{x}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$$
führt - jeweils nach Multiplikation mit dem entsprechenden Nenner und Grenzübergang - auf $A=\frac35$ und $B=\frac25$.

Damit ist 

$$\int\ \frac{x}{x^2-x-6}\,dx = \frac35\ln|x-3|+\frac25\ln|x+2| +C=\ln\sqrt[5]{|x-3|^3|x+2|^2}+C.$$ 


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 96: Mehrfache komplexe Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Zeigen Sie, dass im Falle mehrfacher komplexer Nullstellen der Ansatz

$$
\int \frac{dx}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k}}=\frac{Ax+B}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k-1}}%
+C\int \frac{dx}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k-1}} 
$$

mit 
\[
A=\frac{1}{2\beta ^{2}(k-1)},B=0,C=\frac{2k-3}{2\beta ^{2}(k-1)} 
\]

zum Erfolg führt ($k=2,3...$).\\

Hinweis: Differenzieren, Multiplikation
mit $(x^{2}+\beta ^{2})^{k}$, Koeffizientenvergleich.\\
\item Berechnen Sie mit dieser Methode
$$\int \frac{dx}{(x^{2}+2x+5)^{2}}.$$
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 96}}\\
\ben
\item Differenziert man den Ansatz, so erhält man
\bea
\frac{1}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k}}&=&\frac{A(x^{2}+\beta ^{2})^{k-1}-(Ax+B)(k-1)(x^{2}+\beta ^{2})^{k-2}(2x)}{(x^{2}+\beta ^{2})^{2k-2}}%
+C\frac{1}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k-1}}\\
&=&\frac{A(x^{2}+\beta ^{2})-(Ax+B)(k-1)(2x)}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k}}%
+C\frac{x^{2}+\beta ^{2}}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k}}\\ 
&=&\frac{A(x^{2}+\beta ^{2})-(Ax+B)(k-1)(2x)+C(x^{2}+\beta ^{2})}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k}}\\ 
\eea
Multiplikation mit dem Nenner und Ausmultiplizieren im Zähler der rechten Seite ergibt folgenden Koeffizientenvergleich:
\bea
(3-2k)A+C &=& 0\\
2(k-1)B&=&0\\
(A+C)\beta^2 &=& 1,\\
\eea
also erhält man $B=0$ und aus der Differenz von dritter und erster Gleichung  $2(k-1)A=\frac1{\beta^2}$, woraus die Behauptung folgt.
\item Wegen $(x^{2}+2x+5)=(x+1)^2 +4$ erhält man mit Hilfe der Substitution $y=x+1; dy=dx$ zunächst das Integral
$$\int \frac{dy}{(y^{2}+2^2)^{2}}$$
in der unter a) betrachteten Form mit $k=2, \beta=2$ und $A=C=\frac18$.
Damit ist dann
\bea
\int \frac{dy}{(y^{2}+2^2)^{2}}&=&\frac18\left ( \frac{y}{y^2+4} + \int\ \frac{dy}{y^2+2^2}\right )\\
&=&\frac18\left ( \frac{y}{y^2+4} + \frac12\arctan\frac{y}{2}\right )+C.\\
\eea
Das letzte Integral ist ein Grundintegral.\\

Rücktransformation ergibt
$$\int \frac{dx}{(x^{2}+2x+5)^{2}}=\frac18\left ( \frac{x+1}{x^2+2x+5} + \frac12\arctan\frac{x+1}{2}\right )+C.$$
\een


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 97: Mehrfache Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme

$$\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x-1)^2}\,dx.$$\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 97}}\\
Der Nenner hat die zweifache reellen Nullstelle $x_1=1$ und die komplexen Nullstellen $x_2=i$ und $x_3=-i$.

\underline{1. Lösung - komplexe Nullstellen:}\\

Der Ansatz

$$\frac{2x}{(x^2+1)(x-1)^2}=\frac{2x}{(x-i)(x+i)(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{x+i}$$

führt mit Hilfe der Grenzwertmethode zunächst auf $B=1, C=\frac1{(i-1)^2}=\frac{i}2$ und $D=\frac1{(-i-1)^2}=-\frac{i}2$. $A$ bestimmt man dann - unter Beachtung von $\frac{i}{x-i}-\frac{i}{x+i}=-\frac2{x^2+1}$ - aus dem Koefizientenvergleich
$$2x=A(x^2+1)(x-1)+(x^2+1)-(x-1)^2 =Ax^3-Ax^2+Ax-A-x^2 +2x,$$
also ist $A=0$.


Dann ist
\bea
\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x-1)^2}\,dx &=& -\frac1{x-1} +\frac{i}2\left (\ln|x-i| + i\arg(x-i) -\ln|x+i| - i\arg(x+i)\right ) +C\\
&=& -\frac1{x-1}-\frac12\left (\arg(x-i)-\arg(x+i)\right ) +C\\
&=& -\frac1{x-1}+\arg(x+i) +C\\
&=&  -\frac1{x-1} + \arccot x +C\\
&=&  -\frac1{x-1} - \arctan x +C_1,\\
\eea
denn die Logarithmusterme entfallen, weil für ein reelles $x$ die komplexen Zahlen $x+i$ und $x-i$ spiegelsymmetrisch zur reellen Achse liegen und somit denselben Abstand zum Ursprung haben und außerdem $\cot(\arg(x+i))=\frac{x}{1}$, also 
$$\arg(x+i)=\arccot x = \frac\pi2 -\arctan x.$$

\newpage
\underline{2. Lösung - ganz im Reellen:}\\

Der Ansatz

$$\frac{2x}{(x^2+1)(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$

führt zunächst mit Hilfe der Grenzwertmethode auf $B=1$. $A, C$ und $D$ kann man anschließend durch Koeffizientenvergleich bestimmen:\\
Aus
\bea
2x &=& A (x^2+1)(x-1) + (x^2+1) +(Cx+D)(x-1)^2\\
&=& Ax^3-Ax^2+Ax-A +x^2+1+(Cx+D)(x^2-2x+1)\\
&=&Ax^3-Ax^2+Ax-A +x^2+1+Cx^3+Dx^2-2Cx^2-2Dx+Cx+D\\
&=&(A+C)x^3+(D-2C-A+1)x^2+(A-2D+C)x+1-A+D\\
\eea
folgt $A=-C, D+A+1=0, -2D=2$ und $1-A+D=0$, d.~h. $A=C=0$ und $D=-1$, also
\bea
\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x^2-1)}\,dx &=& \int\ \left (\frac1{(x-1)^2} - \frac{1}{x^2+1}\,dx\right )\,dx\\
&=& -\frac1{x-1} - \arctan x +C.\\
\eea



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 98: Quadratisch irreduzibler Nenner
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme

$$\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x^2-1)}\,dx.$$\\
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 98}}\\
Der Nenner hat die beiden einfachen reellen Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=-1$ und die komplexen Nullstellen $x_3=i$ und $x_4=-i$.

\underline{1. Lösung - komplexe Nullstellen:}\\

Der Ansatz

$$\frac{2x}{(x^2+1)(x^2-1)}=\frac{2x}{(x-i)(x+i)(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{x+i}$$

führt mit Hilfe der Grenzwertmethode auf $A=\frac12, B=\frac12, C=-\frac12$ und $D=-\frac12$, also ist

\bea
\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x^2-1)}\,dx &=& \frac12\left ( \ln|x-1| + \ln|x+1| - \ln|x-i| - i\arg(x-i) -\ln|x+i| -i\arg(x+i)\right ) +C\\
&=& \ln\sqrt{\frac{|x^2-1|}{x^2+1}} +C,
\eea
da für ein reelles $x$ die komplexen Zahlen $x-i$ und $x+i$ spiegelsymmetrisch zur reellen Achse liegen, also entgegengesetzte Argumente haben.\\              


\underline{2. Lösung - ganz im Reellen:}\\

Der Ansatz

$$\frac{2x}{(x^2+1)(x^2-1)}=\frac{2x}{(x^2+1)(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$

führt zunächst mit Hilfe der Grenzwertmethode auf $A=\frac12$ und $B=\frac12$. $C$ und $D$ kann man anschließend durch Koeffizientenvergleich bestimmen:\\
Aus
$$2x = \frac12 (x^2+1)(x+1) + \frac12 (x^2+1)(x-1) +(Cx+D)(x^2-1) = x^3+x +Cx^3+Dx^2-Cx-D$$
folgt $C=-1$ und $D=0$, also
\bea
\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x^2-1)}\,dx &=& \frac12\left ( \ln|x-1| + \ln|x+1| - \int\ \frac{2x}{x^2+1}\,dx\right )\\
&=&\frac12\left ( \ln|x^2-1|  - \ln(x^2+1)\right )+C\\
&=& \ln\sqrt{\frac{|x^2-1|}{x^2+1}} +C.
\eea




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 99: Partialbruchzerlegungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
  \item $I_1=\displaystyle{\int\, \frac{3x^3+5x^2-25x-1}{(x+2)(x-1)^2}\,dx}$
  \item $I_2=\displaystyle{\int\, \frac{3x^3-x^2-4x+13}{x^4-4x^3+13x^2}\,dx}$
  \item $I_3=\displaystyle{\int\, \frac{1}{\e^x+1}\,dx}$
  \item $I_4=\displaystyle{\int\, \frac{\sin x + \cos x}{3+\sin 2x}\,dx}$
  \item $I_5=\displaystyle{\int\, \frac{x^2-x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\,dx}$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 99}}\\
\begin{enumerate}
	\item Polynomdivision ergibt
	\[(3x^3+5x^2-25x-1):(x^3-3x) = 3+\frac{5x^2-16x-7}{(x+2)(x-1)^2},\]
	der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet daher
	\[\frac{5x^2-16x-7}{(x+2)(x-1)^2},=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}.\]
	Durch die Grenzwertmethode erhält man
	\[A=\frac{20+32-7}{9}=5 \quad\text{und}\quad C=\frac{5-16-7}{3}=-6.\]
	Multiplikation mit dem Hauptnenner und Koeffizientenvergleich ergibt dann noch $B=0$. Also ist
 \[I_1= \int\,3\,dx+5\int\,\frac{dx}{x+2}-6\int\,\frac{dx}{(x-1)^2}=3x+5\ln|x+2|+\frac{6}{x-1}+c.\]

\item Es gilt $ x ^4 -4x ^3 +13 x ^2 = x ^2 (x^2 -4x + 13)$, 
wobei der letzte Faktor positiv ist für alle $x\in \R$.
Daher gibt es nach dem Satz über die Partialbruchzerlegung Zahlen 
$A_1 , A_2 , B$ und $C$, so dass
$$
\frac{3x^3 -x ^2 -4x +13 }{x ^4 -4x ^3 +13 x ^2 } = 
\frac{A_1 }{x } +
\frac{A_2 }{x^2 } + 
\frac{Bx+C}{x^2 -4x + 13} \qquad \qquad (*)
$$
ist. Multipliziert man diese Identität mit $x^2 $, so erhält man
$$
\frac{3x^3 -x ^2 -4x +13 }{x ^2 -4x  +13  } = 
A_2  +A_1 x   + x^2 
\frac{Bx +C}{x^2 -4x + 13} .
$$
Setzt man hier $x=0$, so ergibt sich $A_2 = 1$. 
Zieht man sodann $x^{-2} $ auf beiden Seiten von $(*)$ ab, so erhält man
$$
\frac{3x -2 }{x ^2 -4x +13 } = \frac{A_1 }{x } + 
\frac{Bx +C}{x^2 -4x + 13} ,
$$
woraus $A_1 =0$, $B=3 $ und $C=-2 $ folgen.
Deshalb ist  
\begin{eqnarray*}
I_2  & = &  \int \frac{dx }{x^2 } +
\int \frac{3x-2}{x^2 -4x + 13} \, dx 
\\
 & = & 
\int \frac{dx }{x^2 } +
\frac{3}{2}
\int \frac{2x-4}{x^2 -4x+13} \, dx + 
4\int 
\frac{dx}{x^2 -4x +13} 
=: I_{21} + I_{22}+ I_{23} .
\end{eqnarray*}
Es gilt $I_{21} + I_{22} = -(1/x) +(3/2) \ln (x^2 -4x +13) + C$, mit einer Konstanten $C$. 
\\
Ferner, sind $a>0, b,c\in \mathbb{R}$, so dass $4c>b^2 $, so folgt mit Hilfe der 
Substitution $2at +b = u\sqrt{ 4ca -b^2 }  $, 
dass
\begin{eqnarray*}
\int \frac{dt }{at^2 +bt +c} 
 & = & 
\frac{2}{\sqrt{ 4ca-b^2 } } 
\int \frac{du}{u^2 +1} 
 = \frac{2}{\sqrt{ 4ca-b^2 } } 
 \arctan u + d
\\
 & = &  \frac{2}{\sqrt{ 4ca-b^2 } } 
 \arctan 
 \frac{2at +b}{\sqrt{ 4ca-b^2 } } + d \qquad \qquad (**)
\end{eqnarray*}
ist,
mit einer Konstanten $d$. 
Also ist $I_{23} = \frac{4}{3} \arctan \frac{x-2}{3} +d $.

\item Mit der Substitution $t= e ^x $ erhält man $dt = e ^x dx$, und
\[I_3 = \int \frac{dt}{t(t+1)} = \int \frac{dt}{t} -  \int \frac{dt}{t+1} 
 =  \ln t - \ln (t+1 ) +c = x - \ln (e^x +1 ) +c,
\]
 mit einer Konstanten $c$. 

\item Die Substitution $t= \tan (x/2)$ führt auf 
\begin{eqnarray*}
 \sin x 
  & = &  
 \frac{ 2\sin (x/2) \cos (x/2) }{ \sin ^2 (x/2) + \cos ^2 (x/2)} = 
 \frac{2 t}{1+t^2 } ,\\
 \cos x
  & = & 
\frac{ \cos ^2 (x/2) - \sin ^2 (x/2)}{\sin ^2 (x/2) + 
\cos ^2 (x/2)} = \frac{1-t^2 }{1+t^2 } ,\\
 dt
  & = & \frac{1}{2} (1+ \tan ^2 (x/2)) dx =  \frac{1}{2}(1+t^2 ) dx .
\end{eqnarray*}
Aufgrund der Substitutionsregel ist also
$$
I_4  = 2\int 
\frac{1+2t-t^2 }{3(1+t^2 ) ^2 + 4t (1-t ^2 ) } \, dt = 
2\int 
\frac{1+2t-t^2 }{3 t^4 -4t ^3 + 6t ^2 + 4t +3  } \, dt.
$$
Sodann führt der Ansatz $(at^2 + bt + c)(dt^2 + et + f) =3 t^4 -4t ^3 + 6t ^2 + 4t +3 $ nach kurzer Rechnung auf
$a=f=3 $, $b=2$, $c= d= 1$, und $e=-2$, so dass
$$
I_4 =  2\int \frac{1+2t-t^2 }{(3t^2 +2t +1) (t ^2 -2t +3 ) } \, dt.
$$ 
Nach dem Satz über die Partialbruchzerlegung gibt es Zahlen $A,B,C,D$, so dass 
$$
\frac{1+2t-t^2 }{(3t^2 +2t +1) (t^2 -2t +3) } = 
\frac{At+b}{3t^2 +2t +1} + \frac{Ct+D}{t^2 -2t +3} .
$$
Koeffizientenvergleich ergibt $A= 9/16 $, $B= -1/16 $, $C= -3/16$ und $D= 3/16 $. 
Also gilt 
$$
I_4 = 
\frac{1}{8} \int \frac{9t-1}{3t^2 + 2t+1}\, dt - \frac{3}{8} 
\int \frac{ t-1}{t ^2 -2t +3} \, dt =: I_{41} + I_{42} .
$$
Folglich gilt, im Hinblick auf $(**)$,
\begin{eqnarray*}
I_{41} & = &  \frac{3}{16} \int \frac{6t+2}{3t^2 + 2t+1}\, dt - 
\frac{1}{2} \int \frac{dt}{3t^2 + 2t+1}\, dt
\\
 & = & \frac{3}{16} \ln \left( 3t^2 +2t +1 \right) -
 \frac{1}{2\sqrt{2}} 
 \arctan \frac{3t+1}{\sqrt{2}} + d_1 
 \\
 & = & \frac{3}{16} \ln \left( 3\tan ^2 (x/2) +2\tan (x/2) +1 \right) -\frac{1}{2\sqrt{2}} 
 \arctan \frac{3\tan (x/2) +1}{\sqrt{2}} + d_1,
 \end{eqnarray*}
und   
\begin{eqnarray*}
I_{42} & = & - \frac{3}{8} \int \frac{ t-1}{t ^2 -2t +3} \, dt = 
- \frac{3}{16} \ln \left( t^2 -2t +3 \right) +d_2 
 \\
 & = & - \frac{3}{16} \ln \left( \tan ^2 (x/2) -2\tan (x/2) +3 \right) + d_2,
 \end{eqnarray*}  
mit Konstanten $d_1 , d_2 \in \R$. 

\item Die Substitution $x= \sinh u$ ergibt $x^2 +1 = \cosh ^2 u$, $dx = \cosh u \, du $, und
\begin{eqnarray*} 
I_5  & = &  \int  \frac{\cosh^2u-\sinh u}{\cosh^2 u}\,du \\
 & = & \int \,du -\int \frac{\sinh u}{\cosh^2 u}\,du \\
 & = & u +\frac{1}{\cosh u}\\
  & = &  \arsinh x + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+c = \ln (x + \sqrt{x^2 +1}) + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} +c,
\end{eqnarray*}    
mit einer Konstanten $c$.\\

oder:\\

Die Sustitution $t=\sqrt{x^2+1}, dt = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx, t^2=x^2+1, x=\sqrt{t^2-1}$ führt auf
\begin{eqnarray*} 
I_5  & = &  \int  \frac{t^2-\sqrt{t^2-1}}{t^2 \sqrt{t^2-1}}\,dt \\
 & = & \int \frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\,dt -\int \frac{1}{t^2}\,dt \\
 & = & \ln |t + \sqrt{t^2-1}| + \frac{1}{t} +c\\
  & = &  \ln (x + \sqrt{x^2 +1}) + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} +c = \arsinh x + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+c ,
\end{eqnarray*}    
mit einer Konstanten $c$.\\
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ Partielle Integration }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 100: Rekursion für $\int\, x^n\,\sin x\,dx$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die Beziehung
\[S(n):=\int\, x^n\,\sin x\,dx = -\sum_{k=0}^n\,k!\binom{n}{k}x^{n-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c,\]
und stellen Sie eine analoge Formel für $C(n)=\int\, x^n\,\cos x\,dx$ auf!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 100}}\\
Wir beweisen die Beziehung durch vollständige Induktion mit einem Induktionsschritt von $n$ auf $n+2$ in Verbindung mit partieller Integration.\\
Bevor wir beginnen, stellen wir einige Formeln bereit:
\begin{align}
	\cos\rkl{x+\frac{\pi}{2}} &= \cos x \,\cos\frac{\pi}{2}-\sin x \,\sin\frac{\pi}{2}=-\sin x\\
	\cos\rkl{x+(k+2)\frac{\pi}{2}} &= \cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}\, \cos\pi-\sin\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}\,\sin\pi=-\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}\\
	k!\binom{n}{k}&=n(n-1)\ldots (n-k+1)\notag\\
	(n+2)(n+1)k!\binom{n}{k}&=(n+2)(n+1)n(n-1)\ldots (n-k+1)\notag\\
	&=(n+2)(n+1)n(n-1)\ldots (n+2-(k+2)+1)=(k+2)!\binom{n+2}{k+2}
\end{align}
\begin{description}
	\item[Induktionsanfang] Da wir in Zweierschritten vorgehen, brauchen wir zunächst Formeln für $S(0)$ und $S(1)$.
	
\begin{description}
	\item[$n=0:$]
	\begin{tabular}{ll}
		linke Seite: & $S(0)=\int\,\sin x\,dx = -\cos x +c$\\
		rechte Seite: & $ - 0! \binom{0}{0} x^0 \cos x+c=-\cos x +c$\\
	\end{tabular}
	\item[$n=1:$]
	\begin{tabular}{ll}
		linke Seite: & $\bma{ccc} 
		               S(1)=\int\,x\,\sin x\,dx &=& -x\cos x +\int\,\cos x\,dx\\
		               &=&-x\cos x +\sin x \overset{(1)}{=} -x\cos x - \cos\rkl{x+\frac{\pi}{2}}
		               \ema $\\
		rechte Seite: &$ - 0! \binom{1}{0} x^1 \cos x-1! \binom{1}{1} x^0 \rkl{x+\frac{\pi}{2}}+c=-x\cos x -\cos\rkl{x+\frac{\pi}{2}}+c$\\
	\end{tabular} 
\end{description}
 \item[Induktionsschritt]
 \bea
 S(n+2)=\int\,x^{n+2}\,\sin x\,dx &=& -x^{n+2}\cos x + (n+2)\int\,x^{n+1}\,\sin x\,dx\\
 &=& -x^{n+2}\cos x + (n+2)\rkl{x^{n+1}\sin x - (n+1)\int\,x^n\,\sin x\,dx}\\
 &\overset{\text{IV}}{=}& -x^{n+2}\cos x + (n+2)x^{n+1}\sin x \\
 &&+ (n+2)(n+1)\sum_{k=0}^n\,k!\binom{n}{k}x^{n-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c\\
 &\overset{(1)(2)(3)}{=}& -x^{n+2}\cos x - (n+2)x^{n+1}\cos\rkl{x+\frac{\pi}{2}}\\
 && - \sum_{k=0}^n\,(k+2)!\binom{n+2}{k+2}x^{n+2-(k+2)}\cos\rkl{x+(k+2)\frac{\pi}{2}}+c\\
 &\overset{k:=k+2}{=}& -0!\binom{n+2}{0}x^{n+2-0}\cos x - 1!\binom{n+2}{1} x^{n+2-1}\cos\rkl{x+\frac{\pi}{2}}\\
 && - \sum_{k=2}^{n+2}\,k!\binom{n+2}{k}x^{n+2-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c\\
 &=&-\sum_{k=0}^{n+2}\,k!\binom{n+2}{k}x^{n+2-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c\\
 \eea
\end{description}
Um eine analoge Formel für $C(n)$ auzustellen, integrieren wir $S(n+1)$ einmal partiell:
\bea
S(n+1)&=& \int\,x^{n+1}\,\sin x\,dx \\
&=&-x^{n+1}\,\cos x + (n+1)\int\,x^n\,\cos x\,dx=-x^{n+1}\,\cos x + (n+1)C(n)
\eea
Unter Verwendung der oben bewiesenen Formel erhält man
\bea
(n+1)C(n) &=& x^{n+1}\,\cos x -\sum_{k=0}^{n+1}\,k!\binom{n+1}{k}x^{n+1-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c\\
&=&-\sum_{k=1}^{n+1}\,k!\binom{n+1}{k}x^{n+1-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c\\
\eea
bzw.
\[C(n)=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\,k!\binom{n+1}{k}x^{n+1-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c.\]
% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ Stammfunktionen }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 101: Bestimmung von Stammfunktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne die Stammfunktionen zu 

\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{\int\,x^2\,\ln x\, dx}$,
	\item $\displaystyle{\int\,x\,\ln(x^2)\, dx}$,
	\item $\displaystyle{\int\,\e^x\,\sin x\, dx}$,	
	\item $\displaystyle{\int\,x(ax^2 + b)^k\, dx,\ (a> 0, b> 0, k \in \R)}$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 101}}\\
\begin{enumerate}
  \item Partielle Integration mit $u'=x^2$, $v=\ln x$ ergibt
	\[ \int\,x^2\,\ln x\, dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int\,x^2\, dx = \frac{x^3}{3}\rkl{\ln x-\frac{1}{3}}.\]

  \item Partielle Integration mit $u'=x$, $v=\ln(x^2) = 2\ln x$ ergibt
	\[ \int\,x\,\ln(x^2)\, dx = x^2\ln x - \int\,x\, dx = x^2\rkl{\ln x-\frac{1}{2}}.\]

	\item Partielle Integration mit $u'=\e^x$, $v=\sin x$ ergibt zunächt
	\[\int\,\e^x\,\sin x\, dx = \e^x\,\sin x - \int\,\e^x\,\cos x\, dx.\]
	Nochmalige partielle Integration mit $u'=\e^x$, $v=\cos x$ ergibt dann
	\[\int\,\e^x\,\sin x\, dx = \e^x\,\sin x - \rkl{\e^x\,\cos x +\int\,\e^x\,\sin x\, dx} = \e^x\rkl{\sin x - \cos x} - 	\int\,\e^x\,\sin x\, dx.\]
Durch Umstellung erhält man schließlich
\[\int\,\e^x\,\sin x\, dx = \frac{\e^x}{2} \rkl{\sin x - \cos x}.\]

	\item Man substituiere $u=ax^2 + b$, dann ist $du=2ax\,dx$, also ist
\[\int\,x(ax^2 + b)^k\, dx= \frac{1}{2a} \int\,(ax^2 + b)^k\, 2ax dx = \frac{1}{2a} \int\,u^k\,du = \frac{1}{2a} \cdot \begin{cases}\frac{1}{k+1}(ax^2 + b)^{k+1} & \text{falls } k\neq -1\\ \ln (ax^2 + b) & \text{falls } k= -1\\\end{cases}.\]

\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ Substitution }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 102: Integration rationaler Ausdrücke in $\sin x$ und $\cos x$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es bezeichne $R = R(u,v)$ eine beliebige rationale Funktion
von zwei Variablen $u,v$.\\
Zeigen Sie, dass sich Integrale vom Typ
\[\int\ R(\sin x, \cos x)\, dx\] 
durch die Substitution $t=\tan(x/2)$ auf die Berechnung von unbestimmten Integralen über rationale Funktionen zurückführen lassen.
\item Berechnen Sie mit dieser Methode die Integrale
	\[\text{i)}\quad \int \frac{dx}{\sin x + \cos x} \qquad \text{ii)}\quad
	\int \frac{1+\sin x}{1 - \cos x}\,dx\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 102}}\\
\begin{enumerate}
	\item Mit der Substitution $t=\tan(x/2)$ erhält man
\bea
dt &=& \frac{1}{2}\rkl{1+\tan^2\rkl{\frac{x}{2}}}\,dx\quad\text{bzw.}\quad dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt\\
\sin x &=& \frac{2\sin\rkl{\frac{x}{2}}\cos\rkl{\frac{x}{2}}}{\cos^2\rkl{\frac{x}{2}}+\sin^2\rkl{\frac{x}{2}}}=\frac{2\tan\rkl{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2\rkl{\frac{x}{2}}}=\frac{2t}{1+t^2}\\
\cos x &=& \frac{\cos^2\rkl{\frac{x}{2}}-\sin^2\rkl{\frac{x}{2}}}{\cos^2\rkl{\frac{x}{2}}+\sin^2\rkl{\frac{x}{2}}}=\frac{1-\tan^2\rkl{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2\rkl{\frac{x}{2}}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}.\\
\eea
Somit ist 
\[\int\ R(\sin x, \cos x)\, dx = \int\,R\rkl{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}\,\frac{2}{1+t^2}\,dt\]
und der Integrand des letzten Integrals ist rational. 
\item
\begin{enumerate}
	\item 
	\bea
	\int\,\frac{dx}{\sin x + \cos x}&=&\int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}\,dt}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\\
	&=&\int\,\frac{2}{1+2t-t^2}\,dt\\
	&=&\int\,\frac{-2}{(t-1-\sqrt{2})(t-1+\sqrt{2})}\,dt\\ 
	&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\int\,\frac{dt}{t-1+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\,\frac{dt}{t-1-\sqrt{2}}\\
	&=& \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\rkl{\frac{t-1+\sqrt{2}}{t-1-\sqrt{2}}} 
	\eea
	\item 
	\bea
	\int\,\frac{1+\sin x}{1 - \cos x}\,dx&=&\int\,\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1 - \frac{1-t^2}{1+t^2}}\,\frac{2}{1+t^2}\,dt\\
	&=& \int\,\frac{1+2t+t^2}{t^2(1+t^2)}\,dt\\
	\eea
	Mit dem Ansatz
	\[\frac{1+2t+t^2}{t^2(1+t^2)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{Ct+D}{1+t^2}\]
	erhält man nach Multiplikation mit dem Hauptnenner
	\[1+2t+t^2=At+At^3+B+Bt^2+Ct^3+Dt^2,\]
	woraus man leicht $A=2, B=1, C=-2$ und $D=0$ ablesen kann. Daraus folgt
	\bea
	\int\,\frac{1+\sin x}{1 - \cos x}\,dx&=& \int\,\frac{2}{t}\,dt+\int\,\frac{1}{t^2}\,dt+\int\,\frac{-2t}{1+t^2}\,dt\\
	&=& 2\ln|t|-\frac{1}{t}-\ln\rkl{1+t^2}.\\
	&=& \ln\rkl{\frac{t^2}{1+t^2}}-\frac{1}{t}.\\
	\eea
\end{enumerate}
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Spezielle Funktionen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 103: Identitäten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die folgenden Gleichungen :
\begin{enumerate}
	\item $ \arcosh\, x = \ln (x +\sqrt{x^2 -1} )  $, ($ x\in [1, +\infty )$).
  \item $\sin ( \arccos x) = \sqrt{1-x^2 } $, ($x \in  [-1, +1]$).
  \item $ \log _a x + \log _a y = \log _a (xy)$, ($a\in \mathbb{R}  $, $a\not= 1$, $x,y >0$).
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 103}}\\

\begin{enumerate}
	\item Mit $y=\arcosh x$ ist
	\[ x= \cosh y = \frac{\e^y + \e^{-y}}{2} \quad\text{bzw. mit } w= \e^y>0 \quad 2 x w = w^2 + 1 \quad\text{bzw.}\quad w^2 -2 x w + 1 =0.\]
		Dies ist eine quadratische Gleichung für $w$ mit den Lösungen $w_{1/2} = x \pm \sqrt{x^2-1}$, von denen wir aber nur die positive Lösung benötigen. Nun ist also
		\[ \e^y = w = x + \sqrt{x^2-1}, \quad\text{also}\quad \arcosh x = y= \ln(x + \sqrt{x^2-1}).\]
		\item Setze $y=\arccos x$, dann ist $x=\cos y,\  y\in [0,\pi]$ und
		\[ \sin^2 y = 1-\cos^2 y = 1-x^2, \quad\text{also}\quad |\sin y| = \sqrt{1-x^2}.\]
		Da $\sin y$ für $y\in [0,\pi]$ nicht negativ ist, kann man die Betragsstriche in der letzten Gleichung auch weglassen, es ist also 
		\[\sin ( \arccos x) = \sqrt{1-x^2 }.\]
		\item Setze $u= \log _a x$ und  $v= \log _a y$, dann ist $x=a^u$ und $y=a^v$ und es gilt
		\[\log _a (xy) = \log _a \rkl{a^u a^v} = \log _a \rkl{a^{u+v}} = u + v = \log _a x + \log _a y .\]
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ mehrerer Variabler }
\subsection{ Differentialrechnung }
\subsubsection*{ partielle Ableitungen }
\paragraph*{ Anwendungen }\ \\
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 104: Parameterintegrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne die Ableitung der Funktion
$$g(t)=\int_{\sqrt{t}}^{t^2}\,\ln(tx)\, dx $$
direkt und mit der Formel für Parameterintegrale.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 104}}\\
\ben
\item direkt\\
Eine Stammfunktion zu $\int\,\ln(tx)\, dx $ erhält man durch partielle Integration mit $u(x)=\ln(tx), u'(x)=\frac{1}{x}, v'(x)=1, v(x)=x$ , d. h. es ist
$$g(t)=\left . x\ln(tx) - x \right |_{\sqrt{t}}^{t^2} = t^2\ln t^3 - t^2 - \sqrt{t}\ln t^{3/2}+\sqrt{t} = 3t^2\ln t -\frac{3}{2}\sqrt{t}\ln t - t^2 +\sqrt{t},$$
also
$$ g'(x)=6t\ln t +3t - \frac{3}{4\sqrt{t}}\ln t - \frac{3}{2\sqrt{t}} -2t +\frac{1}{2\sqrt{t}}=\underline{(6t- \frac{3}{4\sqrt{t}}) \ln t +t -\frac{1}{\sqrt{t}}}$$\\
\item Formel für Parameterintegrale\\
Sei $$ F(u,o,t):=\int_u^o\,f(t,x)\, dx = - \int_o^u\,f(t,x)\, dx,$$ dann ist
\bea
F_o(u,o,t) & = & f(t,o) \qquad\mbox{Ableitung nach der oberen Grenze}\\ 
F_u(u,o,t) & = & -f(t,u) \qquad\mbox{Ableitung nach der unteren Grenze}\\ 
F_t(u,o,t) & = & \int_u^o\,f_t(t,x)\,dx \qquad\mbox{Ableitung unter dem Integral}\\ 
\eea
Sind nun auch $u=u(t)$ und $o=o(t)$ Funktionen von $t$, dann ist nach der Formel für die vollständige Ableitung
$$ \frac{d}{dt} \int_{u(t)}^{o(t)}\,f(t,x)\, dx = f(t,o(t))\,o'(t) - f(t, u(t))\,u'(t) + \int_{u(t)}^{o(t)}\,f_t(t,x)\,dx\,\frac{d}{dt}t .$$

Mit $u(t)=\sqrt{t}, o(t)=t^2, f(t,x)=\ln(tx)$  erhält man
$$ g'(t) = \ln(t^3)\,2t - \ln(t^{3/2})\frac{1}{2\sqrt{t}} + \int_{\sqrt{t}}^{t^2}\, \frac{1}{t}\, dx\cdot 1 = 6t\ln t - \frac{3}{4\sqrt{t}}\ln t + \frac{1}{t}(t^2-\sqrt{t}) =\underline{(6t- \frac{3}{4\sqrt{t}}) \ln t +t -\frac{1}{\sqrt{t}}}$$
\een

{\em Bemerkung:} Manchmal, wenn man das ursprüngliche Integral nicht explizit auswerten kann, ist der zweite Weg der einzig mögliche.
\newpage
\paragraph*{ Existenz und Berechnung }\ \\
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 105: Partielle Ableitungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}$ der 
	Funktion $f=f(x,y)$ mit den Funktions\-werten
$$	  f(x,y)=\e^{\sin x}+\e^{\cos(x+y)}\mbox{ für }(x,y)\in\mathbb{R}^2.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 105}}\\
\begin{eqnarray*}
		\frac{\partial f}{\partial x}&=&\e^{\sin x}\cos x-\e^{\cos(x+y)}\sin(x+y)\\
		\frac{\partial f}{\partial y}&=&0-\e^{\cos(x+y)}\sin(x+y)=-\e^{\cos
			(x+y)}\sin(x+y)
\end{eqnarray*}

\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 106: Totale Ableitung I
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[ f(x,y) = \begin{cases}
	\sqrt[3]{x^2+y^2} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 106}}\\
\begin{description}
	\item[Stetigkeit] Wähle zu vorgegebenem $\ve>0$ $\delta(\ve)<\sqrt[3]{\ve}$, dann gilt für alle $(x,y)$ mit $\norm{(x,y)}<\delta$
	\[\abs{f(x,y)-f(0,0)}=\norm{(x,y)}_2^3<\ve,\]
	also ist $f$ in $(0,0)$ stetig. In allen anderen Punkten ist $f$ ebenfalls stetig, da es aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist.
	\item[Partielle Ableitungen] Wir berechnen die partiellen Ableitungen von f. Es ist
\bea
f_x(x,y)&=&\begin{cases}
	\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow \pm 0}\dfrac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow \pm 0}h^{-1/3}=\pm\infty &\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{x^2+y^2}^2}&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}\\
f_y(x,y)&=&\begin{cases}
	\lim\limits_{k\rightarrow 0}\dfrac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim\limits_{k\rightarrow\pm 0}\dfrac{\sqrt[3]{k^2}}{k}=\lim\limits_{k\rightarrow \pm 0}k^{-1/3}=\pm\infty&\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
\dfrac{2y}{3\sqrt[3]{x^2+y^2}^2}&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}
\eea
Also existieren die Partiellen Ableitungen nur in Punkten $(x,y)\neq(0,0)$ und $f$ ist im Koordinatenursprung nicht partiell und damit auch nicht total differenzierbar.
\end{description}
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 107: Totale Ableitung II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[f(x,y) = \begin{cases}
	\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 107}}\\
\begin{description}
	\item[Stetigkeit] Wähle zu vorgegebenem $\ve>0$ $\delta(\ve)<2\ve$, dann gilt für alle $(x,y)$ mit $\norm{(x,y)}<\delta$
	\[\abs{f(x,y)-f(0,0)}=\frac{\abs{xy}}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\norm{(x,y)}<\ve,\]
	also ist $f$ in $(0,0)$ stetig. In allen anderen Punkten ist $f$ ebenfalls stetig, da es aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist.
	\item[Partielle Ableitungen] Wir berechnen die partiellen Ableitungen von $f$. Es ist
\bea
f_x(x,y)&=&\begin{cases}
\flim{h}{0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0&\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
\dfrac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}\\
f_y(x,y)&=&\begin{cases}
\flim{k}{0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0&\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}
\eea
\item[Totale Differenzierbarkeit] Wäre $f$ in (0,0) total differenzierbar, dann gäbe es eine Zerlegung der Form
\[ f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+r(x,y)\sqrt{x^2+y^2}\]
mit 
\begin{equation}\tag{\#}
	\flim{(x,y)}{(0,0)}\,r(x,y)=0.
\end{equation}
Dann wäre aber wegen $f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ 
\[r(x,y) =\frac{xy}{x^2+y^2},\]
wobei für $x=y$
\[\flim{(x,x)}{(0,0)}\,r(x,x)=\flim{x}{0}\,\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}\]
ist, was im Widerspruch zur Bedingung (\#) steht.
\item[Stetigkeit der partiellen Ableitungen] Es genügt, die Grenzwerte entlang zweier Wege zu betrachten. Entlang der $x$-Achse $(y=0)$ ist
\[\flim{x}{0} f_x(x,0)=0\]
und entlang der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten ist
\[\flim{x}{0} f_x(x,x)=\frac{1}{\sqrt{8}}\neq 0,\]
also existiert der Grenzwert $\flim{(x,y)}{(0,0)} f_x(x,y)$ gar nicht und $f$ ist in $(0,0)$ nicht stetig differenzierbar. Analog ist es mit $f_y$.\\
In allen anderen Punkten sind die partiellen Ableitungen von $f$ aber Kombinationen stetiger Funktionen.

\end{description}
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 108: Totale Ableitung III
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[f(x,y) = \begin{cases}
	\frac{y(x^2+y^2)^{3/2}}{(x^2+y^2)^2+y^2} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 108}}\\
\begin{description}
	\item[Stetigkeit] Wähle zu vorgegebenem $\ve>0$ $\delta(\ve)<2\ve$, dann gilt für alle $(x,y)$ mit $\norm{(x,y)}<\delta$
	\[\abs{f(x,y)-f(0,0)}=\sqrt{x^2+y^2}\frac{|y|(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2+y^2}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\frac{x^2+y^2}{|y|}+\frac{|y|}{x^2+y^2}}\leq\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\norm{(x,y)}<\ve,\]
	da die Summe aus einer positiven Zahl und derem Kehrwert stets größer als 2 ist. Also ist $f$ in $(0,0)$ stetig. In allen anderen Punkten ist $f$ ebenfalls stetig, da es aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist.
	\item[Partielle Ableitungen] Wir berechnen die partiellen Ableitungen von $f$. Es ist
\bea
f_x(x,y)&=&\begin{cases}
\flim{h}{0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\flim{h}{0}\frac{0}{h^5}=0&\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
\dfrac{3xy^3(x^2+y^2)^{1/2}-xy(x^2+y^2)^{5/2}}{((x^2+y^2)^2+y^2)^2}&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}\\
f_y(x,y)&=&\begin{cases}
\flim{k}{0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\flim{k}{0}\frac{k^4}{k^5+k^3}=0&\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
\dfrac{(x^2+y^2)^(3/2)}{(x^2+y^2)^2+y^2}+\dfrac{3*y^2*(x^2+y^2)^(1/2)}{(x^2+y^2)^2+y^2}-\dfrac{y*(x^2+y^2)^(3/2)*(4*(x^2+y^2)*y+2*y)}{((x^2+y^2)^2+y^2)^2}&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}
\eea
\item[Totale Differenzierbarkeit] Wäre $f$ in (0,0) total differenzierbar, dann gäbe es eine Zerlegung der Form
\[ f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+r(x,y)\sqrt{x^2+y^2}\]
mit 
\begin{equation}\tag{\#}
	\flim{(x,y)}{(0,0)}\,r(x,y)=0.
\end{equation}
Dann wäre aber wegen $f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ 
\[r(x,y) =\frac{|y|(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2+y^2},\]
wobei für $x^2+y^2=y>0$
\[\flim{y}{0}\,r(x,x)=\flim{y}{0}\,\frac{y^2}{2y^2}=\frac{1}{2}\neq 0\]
ist, was im Widerspruch zur Bedingung (\#) steht.
\item[Stetigkeit der partiellen Ableitungen] Es genügt, die Grenzwerte entlang des Weges $x^2+y^2=y>0$ zu betrachten, die gegen $\infty$ streben.\\
In allen anderen Punkten sind die partiellen Ableitungen von $f$ aber Kombinationen stetiger Funktionen.

\end{description}
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 109: Totale Ableitung IV
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[ f(x,y) = \begin{cases}
	\rkl{x^2+y^2}\sin\rkl{\frac{1}{x^2+y^2}} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 109}}\\
\begin{description}
	\item[Stetigkeit] Wähle zu vorgegebenem $\ve>0$ $\delta(\ve)<\sqrt{\ve}$, dann gilt für alle $(x,y)$ mit $\norm{(x,y)}<\delta$
	\[\abs{f(x,y)-f(0,0)}\leq\abs{x^2+y^2}=\norm{(x,y)}_2^2<\ve,\]
	also ist $f$ in $(0,0)$ stetig. In allen anderen Punkten ist $f$ ebenfalls stetig, da es aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist.
	\item[Partielle Ableitungen] Wir berechnen die partiellen Ableitungenvon f. Es ist
\bea
f_x(x,y)&=&\begin{cases}
	\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}h\sin\rkl{\dfrac{1}{h^2}}=0&\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
	2x\sin\rkl{\dfrac{1}{x^2+y^2}}-\dfrac{2x}{x^2+y^2}\cos\rkl{\dfrac{1}{x^2+y^2}}&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}\\
f_y(x,y)&=&\begin{cases}
	\lim\limits_{k\rightarrow 0}\dfrac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim\limits_{k\rightarrow 0}k\sin\rkl{\dfrac{1}{k^2}}=0&\text{für}\quad (x,y)=((0,0)\\
2y\sin\rkl{\dfrac{1}{x^2+y^2}}-\dfrac{2y}{x^2+y^2}\cos\rkl{\dfrac{1}{x^2+y^2}}	&\text{für}\quad (x,y)\neq((0,0)
\end{cases}
\eea
\item[Stetigkeit der Partiellen Ableitungen] Da bereits die iterierten Grenzwerte
\[\flim{x}{0}\,\flim{y}{0} f_x(x,y)=\flim{x}{0}\rkl{2x\sin\rkl{\dfrac{1}{x^2}}-\dfrac{2}{x}\cos\rkl{\dfrac{1}{x^2}}}\]
und
\[\flim{y}{0}\,\flim{x}{0} f_y(x,y)=\flim{y}{0}\rkl{2y\sin\rkl{\dfrac{1}{y^2}}-\dfrac{2}{y}\cos\rkl{\dfrac{1}{y^2}}}\]
nicht existieren, existieren die eigentlichen Grenzwerte 
\[\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_x(x,y)\quad\text{und}\quad \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_y(x,y)\]
auch nicht. Deshalb sind die partiellen Ableitungen im Koordinatenursprung nicht stetig.\\
In allen anderen Punkten sind diese aber aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und deshalb stetig.\\
\item[Totale Differenzierbarkeit]
Anderseits ist mit 
\[r(x,y)=\dfrac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}\sin\rkl{\dfrac{1}{x^2+y^2}}\]
auch
\[\abs{r(x,y)}\leq \sqrt{x^2+y^2},\]
d.~h.
\[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)} r(x,y) =0.\]
Dies ist aber gerade die Definition für totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$.\\
Außerhalb von $(0,0)$ sind die partiellen Ableitungen stetig, woraus immer die totale Differenzierbarkeit folgt.
\end{description}
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 110: Totale Ableitung und Richtungsableitung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $f(0,0)=0$ und 
$$
f(x,y) = \frac{x^3 }{x^2 +y ^2 } \quad \mbox{für $ (x,y)\not= (0,0) $.}
$$
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass $f_x $ und $f_y$ überall existieren und beschränkt auf $\mathbb{R} ^2 $ sind. 
	\item Zeigen Sie, dass die Richtungsableitungen 
$
\frac{\partial f}{\partial u} (0,0) $, ($u=(u_1 ,u_2 )\in \mathbb{R} ^2 $, $\Vert u\Vert =1$),
existieren, und dass ihr Absolutwert nicht größer als $1$ ist. 
\item* Zeigen Sie, dass andererseits $f$ nicht differenzierbar in $(0,0)$ ist.  
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 110}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist 
	\[ f_x(0,0) = \flim{h}{0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} =  \flim{h}{0} \frac{h}{h} = 1\]
	und 
	\[f_x(x,y) =\frac{3x^2 (x^2+y^2)-x^3 2 x}{(x^2+y^2)^2} =\frac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} \quad\text{für}\quad (x,y)\neq (0,0), \]
	wobei 
	\[\abs{f_x(x,y)} = \frac{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}\leq \frac{3x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{3x^2}{x^2+y^2} <3 \]
	ist.
Weiterhin ist 
	\[ f_y(0,0) = \flim{k}{0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} =  \flim{k}{0} \frac{0}{k} = 0\]
	und 
	\[f_y(x,y) =\frac{-x^3 2 y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{-2x^3y}{(x^2+y^2)^2} \quad\text{für}\quad (x,y)\neq (0,0), \]
	wobei 
	\[\abs{f_y(x,y)} = \abs{\frac{-2x^3y}{(x^2+y^2)^2}} = \frac{2x^2 |xy|}{(x^2+y^2)^2} \leq \frac{2(x^2 +y^2)|xy|}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2|xy|}{x^2+y^2} <1  \]
	ist.
	\item Es ist mit $\norm{u}_2^2=u_1^2+u_2^2 =1$
	\[\frac{\partial f}{\partial u} (0,0) = \flim{t}{0}  \frac{f(t u_1,t u_2) - f(0,0)}{t}  =  \flim{t}{0} \frac{\frac{t^3u_1^3}{t^2(u_1^2+u_2^2)}}{t}=\frac{u_1^3}{u_1^2+u_2^2}=u_1^3,\]
	wobei wegen $\norm{u}=1$ \ $|u_1|\leq 1$ ist, also
	\[\abs{\frac{\partial f}{\partial u} (0,0)} = |u_1|^3 \leq 1.\]
	
	\underline{Bemerkung:} Wüsste man bereits, dass $f$ in $(0,0)$ total differenzierbar wäre, dann ginge es mit der Formel für die Richtungsableitung und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung leichter, denn dann wäre 
	\[\abs{\frac{\partial f}{\partial u} (0,0)} = \abs{ \grad f(0,0) \cdot u} \leq \norm{(1 , 0)} \norm{u} = 1.\]	
	Allerdings ist 
	\[ \grad f(0,0) \cdot u = u_1 \neq u_1^3 = \frac{\partial f}{\partial u} (0,0),\]
	was nur für $u_1=\pm 1, u_2=0$ dasselbe ist, und diese Formel ist offensichtlich falsch. (Also wird wohl $f$ in $(0,0)$ auch nicht total differenzierbar sein.)
	\item Es ist
	\[ f(h,k) - f(0,0) - h f_x(0,0) - k f_y(0,0) = \frac{h^3}{h^2+k^2} - h = -\frac{hk^2}{h^2+k^2}  \]
	und entlang der Richtung $h=k>0$ ist 
		\bea 
		\flim {h}{0} \frac{f(h,h) - f(0,0) - h f_x(0,0) - h f_y(0,0)}{\norm{(h,h)}}
		&=& \frac{\frac{h^3 }{h^2 +h^2}-h}{\sqrt{h^2+h^2}}\\
		&=& -\frac{h}{2\sqrt{2h^2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}^3}  \neq 0,
		\eea
		also kann $f$ in $(0,0)$ nicht total differenzierbar sein.
		

\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\paragraph*{ Taylorentwicklung }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 111: Taylorentwicklung von $f(x,y,z) = \sin(x+y)\, \cos(xy)\, \cosh z$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Berechne das Taylorpolynom $T_2(x,y,z)$ zweiter Ordnung für $f(x,y,z)= \sin(x+y)\, \cos(xy)\, \cosh z$ im Punkt $(x_0,y_0, z_0)=(0,0,0).$
	\item Bestimme ein $r>0$ so, dass $\abs{f(x,y,z)-T_2(x,y,z)} < 10^{-5}$ für $\norm{(x,y,z)}_\infty<10^{-r}$ ist.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 111}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist
\bea
f(x,y,z) &=& \sin(x+y)\, \cos(x-y)\, \e^z \\ 
f(0,0,0) &=& 0\\
f_x(x,y,z) &=& \rkl{\cos(x+y)\, \cos(x-y)\,  - \sin(x+y)\, \sin(x-y)}\, \e^z\\
f_x(0,0,0) &=& 1\\
f_y(x,y,z) &=& \rkl{\cos(x+y)\, \cos(x-y)\,  + \sin(x+y)\, \sin(x-y)}\, \e^z\\
f_y(0,0,0) &=& 1\\
f_z(x,y,z) &=& \sin(x+y)\, \cos(x-y)\, \e^z\\
f_z(0,0,0) &=& 0\\
f_{xx}(x,y,z) &=& \rkl{-\sin(x+y)\, \cos(x-y) - 2\cos(x+y)\, \sin(x-y) -\sin(x+y)\, \cos(x-y)}\, \e^z\\
f_{xx}(0,0,0) &=& 0\\
f_{xy}(x,y,z) &=& \rkl{-\sin(x+y)\, \cos(x-y) + 2\cos(x+y)\, \sin(x-y) + \sin(x+y)\, \cos(x-y)}\, \e^z\\
f_{xy}(0,0,0) &=& 0\\
f_{xz}(x,y,z) &=& \rkl{\cos(x+y)\, \cos(x-y)\,  - \sin(x+y)\, \sin(x-y)}\, \e^z\\
f_{xz}(0,0,0) &=& 1\\
f_{yy}(x,y,z) &=& \rkl{-\sin(x+y)\, \cos(xy) +2\cos(x+y)\, \sin(x-y)\ - \sin(x+y)\, \cos(x-y)}\, \e^z\\
f_{yy}(0,0,0) &=& 0\\
f_{yz}(x,y,z) &=& \rkl{\cos(x+y)\, \cos(x-y)\,  + \sin(x+y)\, \sin(x-y)}\, \e^z\\
f_{yz}(0,0,0) &=& 1\\
f_{zz}(x,y,z) &=& \sin(x+y)\, \cos(x-y)\, \e^z\\
f_{zz}(0,0,0) &=& 0\\
\eea
Damit ist 
\[T_2(x,y,z) = x+y+xz +yz.\]

\item Setze $f(x,y,z) = g(x,y) \,\e^z$ mit
\bea
g &=& \sin(x+y)\, \cos(x-y)\\
g_x &=& \cos(x+y)\, \cos(x-y)\,  - \sin(x+y)\, \sin(x-y)\\
g_y &=& \cos(x+y)\, \cos(x-y)\,  + \sin(x+y)\, \sin(x-y)\\
g_{xx} &=& -\sin(x+y)\, \cos(x-y) - 2\cos(x+y)\, \sin(x-y) -\sin(x+y)\, \cos(x-y)\\
g_{xy} &=& -\sin(x+y)\, \cos(x-y) + 2\cos(x+y)\, \sin(x-y) +\sin(x+y)\, \cos(x-y)\\
g_{yy} &=& -\sin(x+y)\, \cos(x-y) +2\cos(x+y)\, \sin(x-y)\ - \sin(x+y)\, \cos(x-y)\\
g_{xxx} &=& -\cos(x+y)\, \cos(x-y) +3\sin(x+y)\, \sin(x-y) - 3\cos(x+y)\, \sin(x-y)\\
&& -\sin(x+y)\, \cos(x-y)\\
%g_{xxy} &=& -\cos(x+y)\, \cos(x-y) +3x\sin(x+y)\, \sin(x-y) - 3y^2\cos(x+y)\, \sin(x-y) -y^3\sin(x+y)\, \cos(x-y)\\
%g_{xyy} &=&\\
%g_{yyy} &=&\\
\text{usw.,}
\eea 
wobei noch $\abs{g}\leq 1$, $\abs{g_x}, \abs{g_y} \leq 2$, $\abs{g_{xx}}, \abs{g_{xy}}, \abs{g_{yy}} \leq 4$ und $\abs{g_{xxx}}, \abs{g_{xxy}}, \abs{g_{xyy}}, \abs{g_{yyy}} \leq 8$ ist.  Nun sind die dritten partiellen Ableitungen von $f$ alle von der Form "`partielle Ableitung von $g$ mal $\e^z\ $"' und nach der Restgliedformel ist wegen
$|x|,|y|, |z| \leq \norm{(x,y,z)}_\infty < 10^{-r}$
\bea
\abs{f(x,y,z) - T_2(x,y,z)} &=& \frac{1}{3!} \rkl{x\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y} + z\frac{\partial}{\partial z}}^3 f(\vt_1x, \vt_2 y, \vt_3 z)\\
&\leq& \frac{1}{6}\rkl{4\cdot 8 + 3\cdot 4 + 2\cdot 2 +1} \e^{\vt_3 z} \norm{(x,y,z)}_\infty^3\\
&\leq&\frac{49}{6} \e^{10^{-r}}\,10^{-3r} =: d(r).
\eea
Es ist $d(1) >8 \cdot 10^{-3}$ und $d(2)<9 \e^{\frac{1}{100}} 10^{-6} \approx 9.1\cdot 10^{-6} < 10^{-5}$, also ist $r=2$ zu wählen.
\end{enumerate}

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 112: Taylorentwicklung von $x^y$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne das Taylorpolynom für $f(x,y)=x^y$ im Punkt $(x_0,y_0)=(1,1)$
einschließlich der quadratischen Glieder. 

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 112}}\\
Es ist
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|}
	  $f(x,y)=x^y=\e^{y\ln x}$ & $f(1,1)=1$\\
	  $f_x(x,y)=yx^{y-1}$ & $f_x(1,1)=1$\\
	  $f_y(x,y)=\e^{y\ln x}\ln x=x^y\ln x$ & $f_y(1,1)=0$\\
	  $f_{xx}(x,y)=y(y-1)x^{y-2}$ & $f_{xx}(1,1)=0$\\
	  $f_{yy}(x,y)=\e^{y\ln x}\ln^2 x=x^y\ln^2 x$ & $f_{yy}(1,1)=0$\\
	  $f_{xy}(x,y)=x^{y-1}(y\ln x+1)$ & $f_{xy}(1,1)=1$,\\		
	\end{tabular}
\end{center}
d. h. 
\bea
x^y &=& 1 + 1\,(x-1) +0\,(y-1)+\frac12\left ( 0\,(x-1)^2 + 2\,(x-1)(y-1) +0\,(y-1)^2\right )\\
& &\quad + R(x,y)\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3\quad\mbox{mit}\quad R(1,1)=0\\
&=&1-y+xy+R(x,y)\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3\quad \mbox{mit}\quad R(1,1)=0.\\
\eea
Nicht wesentlich einfacher geht es, wenn man die Logaritmusreihe
$$\ln x= \ln(1+(x-1)) = (x-1)-\frac{(x-1)^2}2 + \frac{(x-1)^3}6 +\dots$$
in die $\e$-Reihe
$$\e^{y\ln x} = 1+y\ln x + \frac{(y\ln x)^2}2 + \dots$$
einsetzt:
$$\e^{y\ln x} = 1+y(x-1) + \mbox{ Terme höherer Ordnung}.$$

Umseitig noch ein Plot der Funktion:\\
\includegraphics[scale=0.65, angle=270]{lImage005}

\includegraphics[scale=0.65, angle=270]{lImage006}



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Induktion }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 113: Abschätzungen von $n!$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie für $n \in \N$, $n>2$
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{3\,\rkl{\frac{n}{3}}^n < n! < 2\,\rkl{\frac{n}{2}}^n}$
  \item $\displaystyle{\e\,\rkl{\frac{n}{\e}}^n < n!}$
	\item $\displaystyle{n! <\rkl{\frac{n+1}{2}}^n}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 113}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wir wissen, dass die Folge $\displaystyle{ \rkl{1+\frac{1}{n}}^n}$ mononton wachsend gegen $\e$ konvergiert. Insbesondere gilt für $n>1$
\begin{equation}
	 2 < \rkl{1+\frac{1}{n}}^n <3.
\end{equation}
	\begin{description}
		\item[Induktionsanfang $n=3$:] $\displaystyle{3\,\rkl{\frac{3}{3}}^3 = 3 < 3! < \frac{27}{4} = 2\,\rkl{\frac{3}{2}}^3}.$ 
		\item[Induktiosschritt:] Wir schreiben die Induktionsvoraussetzung in der Form
		\[ \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{n!}{n^n} < \frac{1}{2^{n-1}} \quad\text{bzw.}\quad 2^{n-1} < \frac{n^n}{n!} < 3^{n-1}.\]
		Multipliziert man die letzte Ungleichung noch mit der etwas umgeformten Gleichung (1), so ergibt sich
		\[2^{n} < \frac{n^n}{n!}\frac{(n+1)^n}{n^n} < 3^{n} \quad\text{bzw.}\quad 2^{n} < \frac{(n+1)^n}{n!} < 3^{n}.\]
		Nach Erweiterung des Mittelteils der letzten Ungleichung mit $n+1$ kann mann durch einfache Umformung wieder die Induktionsbehauptung 
		\[3\,\rkl{\frac{n+1}{3}}^{n+1} < (n+1)! < 2\,\rkl{\frac{n+1}{2}}^{n+1}.\]
		erhalten.
		
	\end{description}
	\item 
	\begin{description}
		\item[Induktionsanfang $n=3$:]  Wegen $5/2 <\e$ erhält man
		\[\e\,\rkl{\frac{3}{e}}^3 = \frac{27}{\e^2} < \frac{27\cdot 4}{25} =4,32 < 6 = 3!.\]
		\item[Induktionsschritt:] Wir schreiben die Induktionsvoraussetzung in der Form
		\[ \frac{1}{\e^{n-1}} < \frac{n!}{n^n}  \quad\text{bzw.}\quad \frac{n^n}{n!} < \e^{n-1}\]
		und multiplizieren die letzte Ungleichung mit der Ungleichung 
		\[\rkl{1+\frac{1}{n}}^n = \frac{(1+n)^n}{n^n} < \e,\]
		erhalten also
		\[\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^n}{n!} < \e^{n}.\]
		Dies entspricht der Induktionsbehauptung.
	\end{description}
	\item 
	\begin{description}
		\item[Induktionsanfang $n=3$:]  
		\[3! = 6 < 8 = 2^3 = \rkl{\frac{3+1}{2}}^3 .\]
		\item[Induktionsschritt:] Wir schreiben die Induktionsvoraussetzung in der Form
		\[ 2^n < \frac{(n+1)^n}{n!}  \]
		und multiplizieren diese Ungleichung mit der Ungleichung 
		\[2 < \rkl{1+\frac{1}{n+1}}^{n+1} = \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} ,\]
		erhalten also
		\[2^{n+1} < \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)!} .\]
		Dies entspricht der Induktionsbehauptung.
	\end{description}
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 114: Abzählbarkeit von Teilmengen von $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $M$ eine Menge und $f:M\mapsto \N,\ g: M\mapsto \N$ gegeben, so dass $f$ surjektiv und $g$ injektiv ist. Man konstruiere (mit vollständiger Induktion) eine bijektive Abbildung $h:M\mapsto \N$.\\
\tip Zeige
\begin{enumerate}
	\item $g(M)$ ist unbeschränkt
	\item für eine unbeschränkte Menge $A\subseteq \N$ gibt es eine Bijektion $b:A\mapsto \N$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 114}}\\
\textbf{(A): Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ besitzt ein kleinstes Element.}

\begin{proof} Sei $ \varnothing \neq M \subseteq \mathbb{N}$ eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen, die \underline{kein} kleinstes Element besitzt. Dann ist insbesondere $0\notin \N$, denn sonst wäre $=$ kleinstes Element.\\ Betrachte die Menge $S$ der unteren Schranken, die nicht zu $M$ gehören, d.~h. die Menge
$$ S=\{ s \in \mathbb{N} \setminus M : s < m\ \forall\, m \in M\}.$$
Offenbar ist $0 \in S$.
Sei nun $n \in S$. Wäre $n+1 \in M$, dann wäre es dort kleinstes Element, d.~h. es ist $n+1 \notin M$, d.~h. $n+1 \in S. $

Nach dem Induktionsaxiom folgt dann $S=\mathbb{N}$ bzw. $M=\varnothing$  im Widerspruch zur Annahme. 
\end{proof}\\

\textbf{(B): Jede beschränkte, nichtleere Teilmenge $A$ von $\N$ ist endlich. }

\begin{proof} Angenommen $A$ sei nicht endlich und es existiert eine obere Schranke $m\in \N$ mit $a\leq m$ für alle $a\in A$. Nach (A) hat $A$ ein kleinstes Element $a_0,\ 0\leq a_0\in A$. Betrachte nun $A_0=A\setminus\{a_0\}$. Da $A$ unendlich viele Elemente enthält, ist auch $A_0\neq\emptyset$ und besitzt ein kleinstes Element $a_1,\ 1\leq a_1\in A_0$. Da $A$ unendlich, kann man diesen Prozess beliebig fortsetzen und erhält nach $m+1$ Schritten ein Element $a_{m+1},\  m+1\leq a_{m+1}\in A$ im Widerspruch zur Beschränktheit von $A$ durch $m$.
\end{proof}\\

\textbf{(C) Zu jeder unendlichen Teilmenge $X\subset \N$ gibt es eine bijektive Abbildung $b:X\mapsto \N.$}

\begin{proof}
Da $X$ unendlich, ist insbesondere $X\neq\emptyset$ und nach (A) existiert ein kleinstes Element $x_0\in X$. Setze $b(x_0) = 0$. Wie in (B) hat dann auch $X_0=X\setminus \{x_0\}$ ein kleinstes Element $x_1$. Setze $b(x_1)=1$. Dieser Prozess lässt sich induktiv fortsetzen und $b$ ist offensichtlich bijektiv.
\end{proof}

\textbf{(D) $g(M)$ ist unbeschränkt.}

\begin{proof}
Wäre die Bildmenge $g(M)$ beschränkt, so wäre sie nach (B) endlich. Wegen der Injektivität von $g$ wäre dann auch die Urbildmenge $M$ und deren Bild unter $f$ endlich. Letzteres kann aber nicht sein, da $f(M)=\N$ eine unendliche Menge ist.
\end{proof}

\textbf{(E) Definition von $h: M\mapsto \N$}

Mit $X=g(M)$ lässt sich wie in (C) eine Bijektion $b: g(M) \mapsto \N$ definieren. Die Abbildung $h=b\circ g: M \mapsto \N, h(m)=b(g(m))\ \forall_{m\in M}$ ist wegen der Injektivität von $g$ selbst injektiv und wegen der Surjektivität von $b$ surjektiv, also bijektiv.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 115: allgemeine Binomialkoeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für dien gewöhnlichen Binomialkoeffizienten $\binom{m}{n}$ erhält man für $m, n \in \N$ durch Kürzen mit $(m-n)!$ auch
$$\binom{m}{n}=\frac{m!}{n!\,(m-n)!} = \frac{m\,(m-1)\,\ldots (m-n+1)}{n!}.$$
In dieser Form muss nun $m$ nicht mehr notwendig eine natürliche Zahl sein. 

Dementsprechend kann man für $\alpha \in \R, n \in \N$ einen "`verallgemeinerten"' Binomialkoeffizienten definieren durch
$$ \binom{\alpha}{n} = \left \{ \begin{array}{ll} 1 &\mbox{falls } n=0\\ \frac{\alpha\,(\alpha-1)\,\ldots (\alpha-n+1)}{n!} &\mbox{falls } n>0\\\end{array}\right . $$

Man zeige:

Für alle $n \in \N$ und beliebige $\alpha, \beta \in \R$ gilt
\[\sum_{k=0}^n\,\binom{\alpha}{n-k}\,\binom{\beta}{k} = \binom{\alpha+\beta}{n}.\] 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 115}}\\
Als sofortige Folgerung aus der Definition erhält man für $n \geq 0$ folgende oft benutzte Eigenschaft der Binomialkoeffizienten:
$$\binom{\gamma}{m+1}= \binom{\gamma}{m}\frac{\gamma-m}{m+1}. \qquad\qquad\qquad\qquad (E)$$  

Der Beweis der eigentlichen Behauptung erfolgt nun durch vollständige Induktion:\\

\underline{Induktionsanfang:}

$n=0:\quad \binom{\alpha}{0}\,\binom{\beta}{0} = 1\cdot 1= 1=\binom{\alpha+\beta}{0}$ - Übereinstimmung

$n=1:\quad \binom{\alpha}{1}\,\binom{\beta}{0}+\binom{\alpha}{0}\,\binom{\beta}{1}=\alpha+\beta=\binom{\alpha+\beta}{1}$ - Übereinstimmung\\


\underline{Induktionsschritt:}

Als Induktionsvoraussetzung (IV) benutzen wir, dass die Behauptung für ein $n \in \N$ bereits bewiesen sei. 

Unter Benutzung von (E) erhalten wir zunächst
\begin{equation}
	\binom{\alpha+\beta}{n+1} = \frac{\alpha+\beta-n}{n+1}\, \binom{\alpha+\beta}{n}
\end{equation}
und wegen $ \alpha+\beta-n = (\alpha-n+k)+(\beta-k)$ auch
\begin{equation}
\frac{\alpha+\beta-n}{n+1}\, \binom{\alpha}{n-k}\, \binom{\beta}{k}	= \frac{n-k+1}{n+1}\,\binom{\alpha}{n+1-k}\,\binom{\beta}{k} + \frac{k+1}{n+1}\, \binom{\alpha}{n-k}\, \binom{\beta}{k+1}	
\end{equation}
Nun ist also
\begin{align*}
\binom{\alpha+\beta}{n+1} &\overset{(1)}{=} \frac{\alpha+\beta-n}{n+1}\, \binom{\alpha+\beta}{n}\\
&\overset{(IV)}{=} \frac{\alpha+\beta-n}{n+1}\,\sum_{k=0}^{n}\,\binom{\alpha}{n-k}\,\binom{\beta}{k}\\
&\overset{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n}\,\rkl{\frac{n-k+1}{n+1}\,\binom{\alpha}{n+1-k}\,\binom{\beta}{k} + \frac{k+1}{n+1}\, \binom{\alpha}{n-k}\, \binom{\beta}{k+1}}\\
&= \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\,(n-k+1)\,\binom{\alpha}{n+1-k}\,\binom{\beta}{k} + \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\,(k+1)\, \binom{\alpha}{n-k}\, \binom{\beta}{k+1}\\
&\overset{l=k+1}{=} \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(n-k+1)\,\binom{\alpha}{n+1-k}\,\binom{\beta}{k} + \frac{1}{n+1}\sum_{l=1}^{n+1}\,l\, \binom{\alpha}{n+1-l}\, \binom{\beta}{l}\\
&= \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}(n-k+1)\,\binom{\alpha}{n+1-k}\,\binom{\beta}{k} + \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}\,k\, \binom{\alpha}{n+1-k}\, \binom{\beta}{k}\\
&= \sum_{k=0}^{n+1}\binom{\alpha}{n+1-k}\,\binom{\beta}{k}. \\
\end{align*}
\endproof

Um die letzten beiden Gleichungen zu verstehen, beachte man zunächst, dass die beiden Summanden für $k=n+1$ und $l=0$ gleich Null sind und daher ungestraft dazugenommen werden können. Dann kann man den Summationsindex $l$ in der zweiten Summe wieder in $k$ umtaufen, Nun ergänzen sich die Vorfaktoren zu $n+1$ und können mit dem Bruch vor dem Summenzeichen gekürzt werden. 

Damit ist die Behauptung gezeigt.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 116: Summe über Cosinusfunktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise für $n \in \N$ die folgende Formel:
$$\sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 116}}\\
Aus den Additionstheoremen für die Sinusfunktion
\bea
\sin\frac{2m+1}{2}x &=& \sin\left(mx+\frac{x}{2}\right) = \sin mx\cos\frac{x}{2} + \cos mx\sin\frac{x}{2}\\ 
\sin\frac{2m-1}{2}x &=& \sin\left(mx-\frac{x}{2}\right) = \sin mx\cos\frac{x}{2} - \cos mx\sin\frac{x}{2}\\ 
\eea
gewinnt man durch Subtraktion die unten mehrfach benötigte Formel
$$\sin\frac{2m+1}{2}x-\sin\frac{2m-1}{2}x=2\cos mx\sin\frac{x}{2}.\qquad\qquad(*)$$\\

Für $n=1$ folgt - ausgehend von der rechten Seite der Behauptung 
\bea
\frac{\sin\frac{3}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12&=&\frac{\sin\frac{3}{2}x-\sin\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}\\
&\stackrel{*}{=}&\frac{2\cos x\sin\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}=\cos x,
\eea
das ist der Induktionsanfang.\\

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Behauptung für ein $n \in \N$ bereits gezeigt sei (IV) und berechnen daraus die Gültigkeit der Formel für den Nachfolger $n+1$.\\

\bea
\sum_{k=1}^{n+1} \cos kx &=& \sum_{k=1}^n \cos kx + \cos (n+1)x\\
& \stackrel{IV}{=}& \frac{\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12  + \cos (n+1)x\\
&=&\frac{\sin\frac{2n+1}{2}x+2\cos (n+1)x\sin\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12\\
& \stackrel{*}{=}&\frac{\sin\frac{2n+1}{2}x+\sin \frac{2n+3}{2}x-\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12\\
&=&\frac{\sin\frac{2n+3}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12.
\eea
Damit ist die Behauptung bewiesen.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 117: Existenz und Berechnung der n-ten Wurzel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $x, y \in \R,\ 0<x, 0<y<1,\ y<x$ und $p\in \N \backslash \{0\}$.\\ 
Die Abbildungen $f_+, f_-:\N \mapsto \R$ seien wie folgt definiert
$$f_-(0)=y,\quad f_-(n+1)=f_-(n)+h(f_-(n)), \quad f_+(n)=f_-(n)+g(f_-(n)),$$
wobei für $z>0$
$$h(z)=\min\left\{1,\frac{x-z^p}{p(z+1)^{p-1}}\right\},\quad g(z)=\frac{x-z^p}{pz^{p-1}}.$$
Zeige
$$f_-(n)\leq f_-(n+1)\leq f_+(m), \quad \forall_{n,m}$$
und beweise damit
$$\sup f_-(\N) = \inf\{\sup\{f_+(m)\,|\,m>k\}\,|\,k\in \N\} = \sqrt[p]{x}$$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
%\renewcommand{\theenumi}{\Alph{enumi})}
%\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\underline{\textbf{Lösung 117}}\\
\begin{description}
	\item[Vorbemerkung:] Aus der bekannten verallgemeinerten dritten binomischen Formel
	
\begin{equation}\label{eq:3bfa}
	u^p-v^p =(u-v)\,\sum_{i=0}^{p-1}\,u^iv^{p-i-1}=(u-v)\,\sum_{i=0}^{p-1}\,u^{p-i-1}v^i \tag{3.BFa}
\end{equation}
erhält man für $u>v>0$ leicht die Abschätzung\footnote{vgl. ÜA 10a mit $u=a+1$ und $v=b+1$}
\begin{equation}\label{eq:3bfb}
	(u-v)\,p\,u^{p-1} \geq u^p -v^p \geq (u-v)\,p\,v^{p-1} \tag{3.BFb}.
\end{equation}
Diese Abschätzung wird in beiden Richtungen im Folgenden mehrfach verwendet.
	\item[Monotonie und Beschränktheit von $f_-(n)$:] 
\begin{equation}\label{eq:ind1}
	\forall_{n\in\N}: 0< f_-(n)\leq f_-(n+1),\quad f^p_-(n)\leq x
\end{equation}
	Beweis durch vollständige Induktion:
\begin{enumerate}
	\item Die Aussage gilt für $n=0$, denn es ist
	$$0<y=f_-(0),\quad f^p_-(0)=y^p<y<x\quad\text{und}\quad h(f_-(0))=h(y)>0,\ \text{d.~h.}\ f_-(1)>f_-(0).$$
	\item Induktionsschritt:\\
	Sei also $f^p_-(n)\leq x$ und $0< f_-(n)$. Aus der Definition von $h$ folgt dann sofort
	$$f_-(n)\leq f_-(n+1)\leq f_-(n)+1\ \text{und}\ f_-(n+1)-f_-(n)\leq \frac{x-f^p_-(n)}{p(f_-(n)+1)^{p-1}}$$
	und schließlich wegen \eqref{eq:3bfb} 
	\bea
	f^p_-(n+1)-f^p_-(n) &=& \left(f_-(n+1)-f_-(n)\right)\,\sum_{i=0}^{p-1}f^i_-(n+1)\,f^{p-i-1}_-(n)\\
	&\leq& \left(f_-(n+1)-f_-(n)\right)\,p\,[1+f_-(n)]^{p-1}\leq x-f^p_-(n),\\
	\eea
	d.~h. $f^p_-(n+1)\leq x$. Damit ist Aussage \eqref{eq:ind1} bewiesen.
\end{enumerate}
\item[Abschätzung von $f_+(n)$ nach unten] 
Aus der Definition von $g$ und \eqref{eq:3bfb} folgt weiter
\bea
f_+(n) &=& f_-(n)+\frac{x-f^p_-(n)}{p\,f^{p-1}_-(n)} \geq f_-(n)\\
f^p_+(n)- f^p_-(n) &=& \left(f_+(n)- f_-(n)\right)\,\sum_{i=0}^{p-1}f^i_-(n)\,f^{p-i-1}_+(n)\\
&\geq& \left(f_+(n)- f_-(n)\right)\,p\,f^{p-1}_-(n) = x-f^p_-(n),\\
\eea
also $f^p_+(n)\geq x$ und insbesondere $f_+(n)\geq f_-(m)\ \forall_{n,m \in \N}$.

\item[Existenz der p-ten Wurzel] Setze $s=\sup\{f_-(n)| n \in \N\}$, dann ist 
$$f_+(m)\geq s \geq f_-(n)\ \forall_{n,m \in \N},\quad\text{also}\quad h(f_-(n))\geq \min\{1, \frac{x-s^p}{p(s+1)^p}\}=:\delta.$$
Wäre nun $s^p<x$, also $\delta>0$, so wäre auch $f_-(n+1)\geq f_-(n)+\delta$ und deshalb $f_-(n)\geq y+n\delta$ und $f_+(0)\geq y+n\delta\ \forall_{n\in\N}$ im Widerspruch zum Archimedischen Prinzip.

Wäre dagegen $s^p>x$, dann wäre für alle $\ve$ mit $s>\ve>0$ (wieder nach \eqref{eq:3bfb})
$$s^p-(s-\ve)^p = \ve\,\sum_{i=0}^{p-1} s^{p-i-1}(s-\ve)^i < \ve\,p\,s^{p-1},$$
also für 
$$\ve=\min\{\frac{s^p-x}{p\,s^{p-1}}, s\},\ (s-\ve)^p \geq x \geq f^p_-(n),\ s-\ve \geq f_-(n)\ \forall_{n\in \N}$$ 
im Widerspruch zur Supremumseigenschaft von $s$.\\
Damit ist $s=\sqrt[p]{x}$ bewiesen.\footnote{Gleichzeitig liefert der Beweis durch die rekursive Definition von $f_-(n)$ auch eine Methode, $\sqrt[p]{x}$ beliebig genau (von unten) zu approximieren.}

\item[Beweis von $ {\sqrt[p]{x}}= \inf\{\sup\{f_+(m)\,|\,m>k\}\,|\,k\in \N\}$ ] Aus der Supremumseigenschaft von $s$ folgt weiter
$$\forall_{s_0<s}\ \exists_{m\in\N}\ s_0<f_-(m)<s.$$
Für $k<m$ ist dann
$$f_-(m)\geq f_-(k),\ f_+(m)\leq f_-(m)+\frac{x-f^p_-(k)}{p\,f^{p-1}-(k)}$$
und deshalb
$$\forall_{s_0<s}\ \exists_{k\in\N}\ \forall_{m>k}\ s_0<f_+(m)\leq s+\frac{x-s_0^p}{p\,s_0^{p-1}}.$$
Setze
$$\hat{s}=\inf\{\sup\{f_+(m)|m>k\}|k\in \N\}.$$ 
Es gilt
$$\sup\{f_+(m)|m>k\} \geq s=\sup\{f_-(n)|n\in\N\} \Rightarrow \hat{s}\geq s.$$
Andererseits ist nach dem eben bewiesenen $\hat{s}\leq s+\frac{x-s_0^p}{p\,s_0^{p-1}}$. Setze $s_0=s-\ve_0, 0 <\ve_0<\frac{s}{2}$, dann gilt nach \eqref{eq:3bfb}
$$s_0^p=s^p - \ve_0\,\sum_{i=0}^{p-1}s_0^{p-i-1}s^i > s^p-\ve_0\,p\,s^{p-1}=x-\ve_0\,p\,s^{p-1}.$$
Also ist $\hat{s}\leq s+\ve_0\,2^{p-1}$. Da dies für alle $\ve_0>0$ gilt, muss schließlich auch $\hat{s}\leq s$ sein.\\
Damit ist auch $\hat{s}= s$ bewiesen.\footnote{Gleichzeitig hat man damit nun auch noch eine Methode, $\sqrt[p]{x}$ beliebig genau (von oben) zu approximieren.}

\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 118: Indexverschiebung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie durch vollständige Induktion
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n !$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 118}}\\
\underline{Induktionsanfang}
\bea
\binom{0}{0} &=& 1 = 2^0\\
\binom{1}{0} + \binom{1}{1} &=& 1 + 1 = 2 = 2^1\\
\eea

\underline{Induktionsschritt}
\bea
\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} &=& \binom{n+1}{0} +\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} +\binom{n+1}{n+1}\\
&=&  \binom{n}{n} +\sum_{k=1}^n \left[ \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}\right] +\binom{n}{0}\\
&=&\binom{n}{n} +\sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} +\binom{n}{0}\\
&\underbrace{=}_{l=k-1}&\binom{n}{n} +\sum_{l=0}^{n-1} \binom{n}{l} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \\
&=&\sum_{l=0}^n \binom{n}{l}+\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\\
&=& 2^n + 2^n = 2*2^n = 2^{n+1}.
\eea
\endproof
% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 119: Zeige:}}\\

Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ besitzt ein kleinstes Element.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Loesung
\underline{\textbf{Lösung 119}}\\
Sei $ \varnothing \neq M \subseteq \mathbb{N}$ eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen, die \underline{kein} kleinstes Element besitzt. Betrachte die Menge $S$ der unteren Schranken, d. h. die Menge
$$ S=\{ s \in \mathbb{N} : s \leq m\ \forall\, m \in M\} . $$

Offenbar ist $1 \in S$.

Sei nun $n \in S$. Wäre auch $n \in M$, dann wäre es dort kleinstes Element, d. h. es ist $n \notin M$, d. h. 
$$  n < m\ \forall\, m \in M ,\quad \mbox{d. h.}\quad n+1 \leq m\ \forall\, m \in M, \quad \mbox{d. h.}\quad n+1 \in S. $$

Nach dem Induktionsaxiom folgt dann $S=\mathbb{N}$ bzw. $M=\varnothing$  im Widerspruch zur Annahme. 
\begin{flushright}
$\blacksquare$
\end{flushright}
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 120: Summe über Sinusfunktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise für $n \in \N$ die folgende Formel:
$$\sum_{k=1}^n \sin kx = \frac{\sin\frac{n+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{nx}{2}$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 120}}\\
Offensichtlich ist die Behauptung für $n=1$ richtig.\\

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Behauptung für ein $n \in \N$ bereits gezeigt sei (IV) und berechnen daraus die Gültigkeit der Formel für den Nachfolger $n+1$.\\

\bea
\sum_{k=1}^{n+1} \sin kx &=& \sum_{k=1}^n \sin kx + \sin (n+1)x\\
& \stackrel{IV}{=}& \frac{\sin\frac{n+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{nx}{2}  + \sin (n+1)x\\
&=& \frac{\sin\frac{n+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{nx}{2} +2\sin\frac{n+1}{2}x\cos\frac{n+1}{2}x\\
&=&\sin\frac{n+1}{2}x\ \frac{\sin\frac{nx}{2}+2\cos\frac{n+1}{2}x\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\\
\eea

Aus
\bea
\sin\frac{n+2}{2}x &=& \sin\left(\frac{n+1}{2}x+\frac{x}{2}\right) = \sin\frac{n+1}{2}x\cos\frac{x}{2} + \cos\frac{n+1}{2}x\sin\frac{x}{2}\\ 
\sin\frac{n}{2}x &=& \sin\left(\frac{n+1}{2}x-\frac{x}{2}\right) = \sin\frac{n+1}{2}x\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{n+1}{2}x\sin\frac{x}{2}\\ 
\eea
gewinnt man durch Subtraktion
$$2\cos\frac{n+1}{2}x\sin\frac{x}{2}=\sin\frac{n+2}{2}x-\sin\frac{n}{2}x.$$

Setzt man dies nun oben im Zähler ein, so erhält man das gewünschte Ergebnis
\bea
\sum_{k=1}^{n+1} \sin kx &=& \sin\frac{n+1}{2}x\  \frac{\sin\frac{nx}{2}+\sin\frac{n+2}{2}x-\sin\frac{n}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\\
&=&\frac{\sin\frac{n+2}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{n+1}{2}x\\
\eea


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 121: Summenformel für Binomialkoeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise für $a\in\R$ mit vollständiger Induktion:
\[\sum_{k=0}^n\,\binom{a+k}{k} = \binom{a+n+1}{n}.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 121}}\\

\begin{description}
	\item[Induktionsanfang $n=0$:] 
	\[\sum_{k=0}^0\,\binom{a+k}{k} =\binom{a}{0} = 1  \binom{a+0+1}{0}.\]
	\item[Induktinsschritt:] 
\bea
\sum_{k=0}^{n+1}\,\binom{a+k}{k} &=& \sum_{k=0}^n\,\binom{a+k}{k} +\binom{a+n+1}{n+1}\\
&\overset{\text{IVor}}{=}&  \binom{a+n+1}{n} +\binom{a+n+1}{n+1}\\
&=& \binom{a+n+2}{n+1}.\\
\eea
Die letzte Gleichheit beruht auf dem bekannten Additiontheorem für Binomialkoeffizienten.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 122: Verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende Ungleichung
\[ \prod_{i=1}^n\,(1 + a_i) \geq 1 + \sum_{i=1}^n\,a_i\]
für beliebige reelle Zahlen $a_1, \ldots, a_n$ mit $a_i \geq -1$ und $a_i a_j \geq 0$ für $i, j = 1, \ldots, n$. 

Welchen Ungleichungstyp erhält man im Spezialfall $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 122}}\\
\begin{description}
	\item[Induktionsanfang $n=1$:] \\
	linke Seite: $\displaystyle{\prod_{i=1}^1\,(1 + a_i)=1+a_1}$\\
	rechte Seite: $\displaystyle{1+\sum_{i=1}^1\,a_i=1+a_1}$\\
	Die Ungleichung ist mit "`$=$"' erfüllt.
	\item[Induktionsschritt $n \to n+1$:] Es ist wegen $1+a_{n+1} \geq 0$ und $a_i a_{n+1} \geq 0$ für $i=1,\ldots, n$
	\begin{align*} 
	\prod_{i=1}^{n+1}\,(1 + a_i) &= (1+a_{n+1})\,\prod_{i=1}^n\,(1 + a_i)\\
	&\overset{IV}{\geq} (1+a_{n+1})\, \rkl{1 + \sum_{i=1}^n\,a_i}\\
	&= 1+a_{n+1} + \sum_{i=1}^n\,a_i + \sum_{i=1}^n\,a_i a_{n+1}\\
	&\geq 1+ \sum_{i=1}^{n+1}\,a_i .
	\end{align*}
\end{description}
\endproof

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 123: Schritt von $n$ auf $n+2$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die Gleichung
\begin{equation}
	 x^2 + y^2 = z^n
\end{equation}
für jede fest gewählte natürliche Zahl $n$ unendlich viele Lösungen $(x, y, z) \in \N^3$ besitzt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 123}}\\
\begin{description}
	\item[Induktionsanfang:] \ \\
	
	\begin{tabular}{cp{10cm}}
	$n=1$: &Für jedes Paar $(x,y)\in \N^2$ ist $(x,y,x^2+y^2)\in \N^3$ und offensichtlich eine Lösung von (1).\\
	$n=2$: &Für jedes Paar $k\in \N$ ist $(3 k , 4 k, 5 k)\in \N^3$ und wegen 
	
	\[ (3 k)^2 + (4 k)^2 = 9 k^2 + 16 k^2 = 25 k^2 = (5 k)^2\]
	eine Lösung von (1).	
	\end{tabular}
	\item[Induktionsschritt $n \to n+2$ :] Für jede Lösung $(x,y,z)$ von (1) ist wegen
	\begin{align*}
	x^2 + y^2 &= z^n  &| \cdot z^2\\
	(x^2 + y^2) z^2 &= z^{n+2}  \\
	x^2 z^2  + y^2 z^2 &= z^{n+2}  \\
	(xz)^2 + (yz)^2 &= z^{n+2}  \\
	\end{align*}
	$(xz,yz, z) \in \N^3$ eine Lösung von $u^2 +v^2 = w^{n+2}$.
\end{description}

Mit dem Induktionsanfang für $n=1$ erhält man die Behauptung für alle ungeraden $n$, mit dem für $n=2$ für alle geraden $n$.



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ reelle Zahlen }
\section{ p-adische Zahlen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 124: a-Brüche
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Einem gegebenen $a$-Bruch $(z_1z_2 \ldots z_h, z_{h+1} \ldots)_a$ wird die
Intervallschachtelung $I_n = [a_n, b_n],\ n = 1, 2, \ldots$ mit
\begin{equation}\tag{*}
	a_n := \sum^n_{i=1}\,z_i a^{h-i},\quad b_n := a_n + a^{h-n}
\end{equation}
zugeordnet.
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie für den Dualbruch $(1010,101010 \ldots)_2$ diese Intervallschachtelung und
die eindeutig bestimmte reelle Zahl, die allen diesen Intervallen angehört.
	\item Zu jeder reellen Zahl x > 0 existiert ein a-Bruch,
so dass $x \in [a_n, b_n),\ n \in \N$ mit $a_n, b_n$ entsprechend (*) gilt. Zeigen Sie, dass für die Ziffern 
$z_n$ dann auch die folgende Beziehung gilt:
\[ z_n = \left\lfloor x a^{n-h}\right\rfloor - a \left\lfloor x a^{n-h-1}\right\rfloor.\]
(Hierbei bezeichnet $\left\lfloor y\right\rfloor$ den ganzen Anteil einer reellen Zahl $y$.)
	\item Bestimmen Sie die (periodischen) $a$-Bruchentwicklungen der Zahlen $z=1/(a - 1)^2$ für
$a = 3, 4, 5, 6, 7$. Welche Vermutung ergibt sich für den Fall eines beliebigen $a \in \N,\ a \geq 2$?
Versuchen Sie, Ihre Vermutung zu beweisen.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 124}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist $a=2$, $h=4$ und somit wegen $z_{2k+1}=1$ für $k=0, 1, \ldots $ und $z_{2k}=0$ für $k= 1, 2, \ldots$ und der Summenformel für die endliche geometrische Reihe
	\begin{align*} 
	a_n &= \sum^n_{i=1}\,z_i 2^{4-i} \overset{2k=i-1}{=} 8 \sum^{\left\lfloor\frac{n-1}{2} \right\rfloor}_{k=0}\, 2^{-2l} = 8\,\frac{1-\frac{1}{4^{\left\lfloor\frac{n-1}{2} \right\rfloor}}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{32}{3} \rkl{1-\frac{1}{4^{\left\lfloor\frac{n-1}{2} \right\rfloor}}}.\\
	b_n &= a_n + a^{h-n} = \frac{32}{3} \rkl{1-\frac{1}{4^{\left\lfloor\frac{n-1}{2} \right\rfloor}}} +\frac{16}{2^n}.\\
	\end{align*}
	Da die beiden letzten Summanden für $n \to \infty$ verschwinden, ist $32/3$ die durch diese Intervallschachtelung bestimmte Zahl.
	\item Die Multiplikation von $x$ mit einer Potenz $a^k$ bedeutet eine Verschiebung des Kommas um $k$ Stellen nach rechts bzw. links, je nach dem, ob $k$ positiv bzw. negativ ist. Dementsprechend verschiebt sich auch das Komma in den Intervallgrenzen $a_n$ und $b_n$ der zugehörigen Intervallschachtelung nach (*). Der ganze Teil einer solchen Summe besteht nun aus allen Summanden, in denen der Exponent von $a$ nicht negativ ist. 
	\begin{align*}
	 \sum^n_{i=1}\,z_i a^{h-i} =a_n  &\leq x < b_n = \sum^n_{i=1}\,z_i a^{h-i} + a^{h-n}\quad |\ \cdot a^{n-h}\\
	\sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i} + z_n = a_n a^{n-h} &\leq x  a^{n-h} < b_n  a^{n-h} = \sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i}+ z_n +1,
\end{align*}
also ist
\[\left\lfloor x  a^{n-h}\right\rfloor = \sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i} + z_n . \tag{\#}\] 
Andererseits ist	
	\begin{align*}
	 \sum^n_{i=1}\,z_i a^{h-i} =a_n  &\leq x < b_n = \sum^n_{i=1}\,z_i a^{h-i} + a^{h-n}\qquad |\ \cdot a^{n-h-1}\\
	\sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i-1} + \frac{z_n}{a} = a_n a^{n-h-1} &\leq x  a^{n-h-1} < b_n  a^{n-h-1} = \sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i}+ \frac{z_n +1}{a}\\
	\sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i-1}   &\leq \left\lfloor x  a^{n-h-1}\right\rfloor <   \sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i-1}+ 1, \qquad \text{also}\\
	\sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i-1}   &= \left\lfloor x  a^{n-h-1}\right\rfloor  \qquad |\ \cdot (-a)\\
	-\sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i}   &= -a\left\lfloor x  a^{n-h-1}\right\rfloor 
\end{align*}
Nun ist aber auch 
	\[\left\lfloor x  a^{n-h} \right\rfloor -a\left\lfloor x  a^{n-h-1}\right\rfloor =\sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i} + z_n -\sum^{n-1}_{i=1}\,z_i a^{n-i} = z_n.\]
\ \\	
\underline{Alternativer Beweis:} Die Summe in (\#) sind durch $a$ teilbar, d.~h. es ist
\[\left\lfloor x  a^{n-h} \right\rfloor \equiv z_n \mod a \Longrightarrow z_n=\left\lfloor x  a^{n-h} \right\rfloor - a \left\lfloor \frac{\left\lfloor x  a^{n-h} \right\rfloor}{a}\right\rfloor = \left\lfloor x  a^{n-h} \right\rfloor -a\left\lfloor x  a^{n-h-1}\right\rfloor.\]
Dabei benutzen wir die für Kongruenzen allgemein gültigen Formeln
\[ 0\leq b < a, b \equiv c \mod a \Rightarrow b=c-a\left\lfloor \frac{c}{a}\right\rfloor \quad \text{und}\quad \left\lfloor \frac{\left\lfloor x\right\rfloor}{m}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{m}\right\rfloor \quad\text{für}\quad x\in \R,\ m\in \N.\]
Beweisen Sie diese!

\item 
\begin{description}
	\item[$a=3$:] Es ist $z= 1/4$ und
	\begin{align*}
	\frac{1}{4} \cdot 3 &= 0 + \frac{3}{4},\\
	\frac{3}{4} \cdot 3 &= 2 + \frac{1}{4}, \text{ usw., also } z=(0.\overline{02})_3.
	\end{align*}
	
	\item[$a=4$:] Es ist $z= 1/9$ und
	\begin{align*}
	\frac{1}{9} \cdot 4 &= 0 + \frac{4}{9},\\
	\frac{4}{9} \cdot 4 &= 1 + \frac{7}{9},\\
	\frac{7}{9} \cdot 4 &= 3 + \frac{1}{9}, \text{ usw., also } z=(0.\overline{013})_4.
	\end{align*}
	
	\item[$a=5$:] Es ist $z= 1/16$ und
	\begin{align*}
	\frac{1}{16} \cdot 5 &= 0 + \frac{5}{16},\\
	\frac{5}{16} \cdot 5 &= 1 + \frac{9}{16},\\
	\frac{9}{16} \cdot 5 &= 2 + \frac{13}{16},\\
	\frac{13}{16} \cdot 5 &= 4 + \frac{1}{16}, \text{ usw., also } z=(0.\overline{0124})_5.
	\end{align*}
	
	\item[$a=6$:] Es ist $z= 1/25$ und
	\begin{align*}
	\frac{1}{25} \cdot 6 &= 0 + \frac{6}{25},\\
	\frac{6}{25} \cdot 6 &= 1 + \frac{11}{25},\\
	\frac{11}{25} \cdot 6 &= 2 + \frac{16}{25},\\
	\frac{16}{25} \cdot 6 &= 3 + \frac{21}{25},\\
	\frac{21}{25} \cdot 6 &= 5 + \frac{1}{25}, \text{ usw., also } z=(0.\overline{01235})_6.
	\end{align*}
	
	\item[$a=7$:] Es ist $z= 1/36$ und
	\begin{align*}
	\frac{1}{36} \cdot 7 &= 0 + \frac{7}{36},\\
	\frac{7}{36} \cdot 7 &= 1 + \frac{13}{36},\\
	\frac{13}{36} \cdot 7 &= 2 + \frac{19}{36},\\
	\frac{19}{36} \cdot 7 &= 3 + \frac{25}{36},\\
	\frac{25}{36} \cdot 7 &= 5 + \frac{31}{36},\\
	\frac{31}{36} \cdot 7 &= 5 + \frac{1}{36}, \text{ usw., also } z=(0.\overline{012346})_7.
	\end{align*}
	
\end{description}
Wir vermuten also: Für $2<a\in \N$ ist
\[ z = \frac{1}{(a-1)^2} = (0.\overline{01\ldots (a-3)(a-1)})_a\]
mit der Periodenlänge $a-1$. Multipliziert man die letzte Gleichung mit $a^{a-1}$ und zieht davon die Ausgangsgleichung ab, dann kürzt sich der gebrochene Anteil weg und man erhält eine ganze Zahl, die man als Summe wie folgt schreiben kann:
\[ a^{a-1}\,z -z = \sum_{k=0}^{a-3} \,k\,a^{a-2-k} + (a-1)\]
Wir klammern links $z$ aus, teilen durch den entstehenden Faktor und multiplizieren die gesamte Gleichung mit $(a-1)^2$ und benutzen, dass der erste Summand in der Summe verschwindet. Das ergibt
\begin{align*}
(a-1)^2 z &= \frac{(a-1)^2}{a^{a-1}-1}\,\rkl{\sum_{k=1}^{a-3} \,k\,a^{a-2-k} + (a-1)}\\
 &= \frac{1}{a^{a-1}-1}\,(a^2-2a+1)\,\rkl{\sum_{k=1}^{a-3} \,k\,a^{a-2-k} + a-1}\\
 &= \frac{1}{a^{a-1}-1}\, \rkl{\sum_{k=1}^{a-3}\,k\,a^{a-k} + a^3-a^2 - \sum_{k=1}^{a-3} \,2k\,a^{a-1-k} -2 a^2 +2a + \sum_{k=1}^{a-3} \,k\,a^{a-2-k} + a-1}\\
 &= \frac{1}{a^{a-1}-1}\, \rkl{\sum_{k=1}^{a-3}\,k\,a^{a-k}  - \sum_{k=1}^{a-3} \,2k\,a^{a-1-k} + \sum_{k=1}^{a-3} \,k\,a^{a-2-k} + a^3-3a^2 +3a-1}\\
\end{align*} 
Indexverschiebung $k+1=l$ in der zweiten und $k+2=n$ in der dritten Summe ergibt nach anschließendem UmTaufen von $l$ und $n$ zu $k$ 
\begin{align*}
(a-1)^2 z &=  \frac{1}{a^{a-1}-1}\, \rkl{\sum_{k=1}^{a-3}\,k\,a^{a-k}  - \sum_{l=2}^{a-2} \,2(l-1)\,a^{a-l} + \sum_{n=3}^{a-1} \,(n-2)\,a^{a-n} + a^3-3a^2 +3a-1}\\
&=  \frac{1}{a^{a-1}-1}\\
&\cdot \left\{a^{a-1} + 2 a^{a-2} + \sum_{k=3}^{a-3}\,k\,a^{a-k} - 2a^{a-2} - \sum_{k=3}^{a-3} \,2(k-1)\,a^{a-k} -2(a-3)a^2\right .\\
& +\left. \sum_{k=3}^{a-3} \,(k-2)\,a^{a-k} +(a-4)a^2 + (a-3) a + a^3-3a^2 +3a-1\right\}\\
&=  \frac{1}{a^{a-1}-1}\cdot \rkl{a^{a-1}  -2a^3+3a^2 +a^3-4a^2 + a^2-3a + a^3-3a^2 +3a-1} = 1\\
\end{align*} 
Wir erhalten also $z=1/(a-1)^2$, was unser Ausgangspunkt war. Da alle Umformungen äquivalent sind, ist die Vermutung bewiesen.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 125: Abzählbarkeit von Teilmengen von $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Die Menger aller endlichen Teilmengen von $\N$ ist abzählbar.
Gilt das auch für die Menge aller Teilmengen von $\N$?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 125}}\\
Wir betrachten die folgende Abbildung $\vp:2^{\N} \to [0,1]$ aus der Potenzmenge $2^{\N}$ auf das Intervall $[0,1]$, die folgendermaßen definiert ist:\\

Für $M \subset \N$ ist $\vp(M)$ derjenige Dualbruch $z=0.z_1z_2z_3\ldots \in [0,1]$, für den 
\[ z_n = \begin{cases} 0 & \text{falls } n \notin M\\ 1 & \text{falls } n \in M \end{cases} .\]

Beispielsweise ist also $\vp(\emptyset) =0$, $\vp(\N) =1$ und $\vp\rkl{\set{ 2k | k \in \N}} = 0.\overline{01}$, aber auch
 \[\vp\rkl{\set{1}} = 0.1 =0.0\overline{1} = \vp\rkl{\N \setminus \set{1}}.\]

Offensichtlich ist $\vp$ surjektiv, aber nicht injektiv, d.~h. es gibt mehr Teilmengen von $\N$ als reelle Zahlen in $[0,1]$. Somit ist die Menge $2^{\N}$ aller Teilmengen von $\N$  überabzählbar. \\

Andererseits ist die Einschränkung von $\vp$ auf die endlichen Teilmengen von $\N$, die auf endliche Dualbrüche, also in die Menge der rationale Zahlen\footnote{Dazu gehören die endlichen und die periodischen unendlichen Dualbrüche.} abgebildet werden, injektiv, aber nicht surjektiv, d.~h. es gibt weniger endliche Teilmengen von $\N$ als rationale Zahlen. Da diese aber abzählbar sind, sind die endlichen Teilmengen von $\N$ erst recht abzählbar.




% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Unendliche Reihen }
\section{ Fourierreihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 126: Entwicklung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Entwickle
$$
u(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0   & \mbox{in} & (0,{\pi \over 3}) \cup ({2 \pi \over 3},2\pi)  \\
                                \pi & \mbox{in} & ({\pi \over 3} , {2 \pi \over 3})               \\
              \end{array} \right. 
$$
in eine Fourierreihe nach den Funktionen $\cos\,nx, \sin\,nx $. 
Skiziere den Verlauf der ersten Partialsummen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 126}}\\
Mit dem Ansatz
$$u(x) = {a_0 \over 2} + \sum_{k01}^\infty (a_k\,\sin\,kx + b_k\,\cos\,kx)$$
erhält man durch Skalarmultiplikation mit den Basisfunktionen, d.h. Multiplikation und 
Integration über das Intervall $(0,2\pi)$
\bea
a_0 &=& \frac{\pi}{3}\\
a_k &=& \int_{\pi \over 3}^{2\pi \over 3} \cos\,kx\,dx = \frac1k\sin\,kx\, |_\frac{\pi}{3}^\frac{2\pi}{3}=\frac1k\left(\sin\,\frac{2k\pi}{3}-\sin\,\frac{k\pi}{3}\right) \\
b_k &=& \int_\frac{\pi}{3}^\frac{2\pi}{3} \sin\,kx\,dx = -\frac1k\cos\,kx\, |_\frac{\pi}{3}^\frac{2\pi}{3}= \frac1k\left(\cos\,\frac{k\pi}{3} - \cos\,\frac{2k\pi}{3}\right) \\
\eea

Die Werte der Koeffizienten werden aus folgender Tabelle gut ersichtlich:\\

\begin{tabular}[b]{|c|*{8}{c|}}
k & 1 & 2 &  3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
$sin\,{k\pi \over 3}$ & ${1 \over 2} \sqrt{3}$ & ${1 \over 2} \sqrt{3}$ & $0$ & $-{1 \over 2} \sqrt{3} $
& $-{1 \over 2} \sqrt{3}$ & $0$ & ${1 \over 2} \sqrt{3}$ & ${1 \over 2} \sqrt{3}$ \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
\hline
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
$cos\,{k\pi \over 3}$ & ${1 \over 2}$ & $-{1 \over 2}$ & $-1$ & $-{1 \over 2}$ & ${1 \over 2}$ &
$1$ & ${1 \over 2}$ & $-{1 \over 2}$ \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
\hline
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
$k\,a_k$ & $0$ & $-\sqrt{3}$ & $0$ & $\sqrt{3}$ & $0$ & $-\sqrt{3}$ & $0$ & $\sqrt{3}$ \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
 \hline
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
$k\,b_k$ & $1$ & $0$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-2$ & $0$ \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
\hline
\end{tabular}\\

Die entsprechenden Definitionen für die Koeffizienten und die Partialsummen  sehen in Maple wie folgt aus:\\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{a:=proc(k)}{%
}
\end{mapleinput}

\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{RETURN(int(cos(k*x),x=Pi/3..2*Pi/3)) end:;}{%
}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup} 
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{b:=proc(k)}{%
}
\end{mapleinput}

\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{RETURN(int(sin(k*x),x=Pi/3..2*Pi/3)) end:;}{%
}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup} 

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{s:=proc(n)}{%
}
\end{mapleinput}

\begin{mapleinput}
 
\mapleinline{active}{1d}{RETURN(value(a(0)/2+Sum(a(k)*cos(k*x)+b(k)*sin(k*x),
k=1..n))) end:;}{%
}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\vspace{1 cm}

{\em Für die zehnte Partiualsumme liefert Maple:}\\
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{s(10);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{{\displaystyle \frac {1}{6}} \,\pi  + \mathrm{sin}(x) - 
{\displaystyle \frac {1}{2}} \,\sqrt{3}\,\mathrm{cos}(2\,x) - 
{\displaystyle \frac {2}{3}} \,\mathrm{sin}(3\,x) + 
{\displaystyle \frac {1}{4}} \,\sqrt{3}\,\mathrm{cos}(4\,x) + 
{\displaystyle \frac {1}{5}} \,\mathrm{sin}(5\,x) + 
{\displaystyle \frac {1}{7}} \,\mathrm{sin}(7\,x)} \\
 & & \mbox{} - {\displaystyle \frac {1}{8}} \,\sqrt{3}\,\mathrm{
cos}(8\,x) - {\displaystyle \frac {2}{9}} \,\mathrm{sin}(9\,x) + 
{\displaystyle \frac {1}{10}} \,\sqrt{3}\,\mathrm{cos}(10\,x)
\mbox{\hspace{123pt}}
\end{eqnarray*}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}

\vspace{1 cm}

{\em Es folgen noch einige von Maple erzeugte Bilder, die die Konvergenz verdeutlichen:}\\

plot([s(0), s(1)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage007}
\end{center}
\newpage
plot([s(2), s(3)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage008}
\end{center}\ \\

plot([s(4), s(5)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage009}
\end{center}
\newpage
plot([s(6), s(7)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage010}
\end{center}\ \\

plot([s(8), s(9)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage011}
\end{center}
\newpage
plot([s(10), s(20)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage012}
\end{center}\ \\

plot([s(30), s(40)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage013}
\end{center}
\newpage
plot([s(50), s(60)],  x=-Pi..Pi);
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage014}
\end{center}\ \\

plot([s(70), s(80)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage015}
\end{center}
\newpage
plot([s(90), s(100)],  x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage016}
\end{center}\ \\

plot([s(200), s(500)], x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage017}
\end{center}
\newpage
plot([s(750), s(1000)], x=-Pi..Pi);\\
\begin{center}
\includegraphics[angle=270, scale=0.4]{lImage018}
\end{center}

% Ende der Lösung
\newpage
\section{ geometrische Reihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 127: Fibonacci-Koeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Entwickeln Sie die Funktion $f = f(z)$ mit
\[f(z)= \frac{1}{1-z-z^2}\]
an der Stelle $z_0 =0$ in eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty\,a_nz^n$. Zeigen Sie die rekursive Bildungsvorschrift
\[a_0 = a_1 =1,\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \text{ für } n \geq 2\]
(Fibonacci-Zahlen) und geben Sie die Koeffzienten $a_n$ explizit an. Welchen Konvergenzradius hat diese Potenzreihe?\\
\tip{Bestimmen Sie die Nullstellen $z_1, z_2$ des Nenners von $f$, schreiben Sie $f$ in der Form
\[f(z)= \frac{a}{z-z_1} + \frac{b}{z-z_2}\]
mit geeigneten Zahlen $a, b$ und benutzen Sie die Summenformel für die geometrische Reihe.}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 127}}\\
Aus
\[0=z^2+z-1=\rkl{z+\frac{1}{2}}^2-\frac{5}{4}\]
gewinnt man die Nullstellen 
\[z_{1/2}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \text{ mit } z_1z_2=-1=z_1+z_2, z_1-z_2=\sqrt{5}\text{ und }1-z_i=z_i^2, i=1,2,\]
also ist $z^2+z-1=\rkl{z-z_1}\rkl{z-z_2}$ und aus
\bea
\frac{1}{1-z-z^2}=f(z)&=& \frac{a}{z-z_2} + \frac{b}{z-z_1}=\frac{a\rkl{z-z_2}+b\rkl{z-z_1}}{\rkl{z-z_1}\rkl{z-z_2}}=\frac{\rkl{a+b}\,z-az_2-bz_1}{z^2+z-1}\\
&=&\frac{-\rkl{a+b}\,z+az_2+bz_1}{1-z-z^2}\\
\eea
folgt durch Koeffizientenvergleich $a+b=0$, also $b=-a$ und 
$1=a\rkl{z_2-z_1}=-a\sqrt{5}.$
Damit ist wegen $z_1z_2=-1$ und unter Verwendung der Summenformel für die geometrische Reihe
\bea
f(z)&=&\frac{1}{\sqrt{5}\,z_1}\frac{1}{1-\frac{z}{z_1}}-\frac{1}{\sqrt{5}\,z_2}\frac{1}{1-\frac{z}{z_2}}=
-\frac{z_2}{\sqrt{5}}\frac{1}{1+z_2z}+\frac{z_1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1+z_1z}\\
&=&
\frac{z_1}{\sqrt{5}}\sum_{n=0}^\infty\,\rkl{-z_1z}^n-\frac{z_2}{\sqrt{5}}\sum_{n=0}^\infty\,\rkl{-z_2z}^n=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n=0}^\infty\,\rkl{z_1^{n+1}-z_2^{n+1}}(-z)^n,\\
\eea
also ist
\[ a_n=(-1)^n\frac{z_1^{n+1}-z_2^{n+1}}{\sqrt{5}}.\]
Die Rekursionsformel kann man nun einfach nachrechnen:
\[a_0=\frac{z_1-z_2}{\sqrt{5}}=1,\ a_1=-\frac{z_1^2-z_2^2}{\sqrt{5}}=\frac{(z_2-z_1)(z_2+z_1)}{\sqrt{5}}=\frac{(-\sqrt{5})(-1)}{\sqrt{5}}=1\]
und unter Beachtung von $1-z_i=z_i^2, i=1,2$ ist auch
\bea
a_{n-1}+a_{n-2}&=&\frac{(-1)^{n-2}}{\sqrt{5}}\rkl{-z_1^{n}+z_2^{n}+z_1^{n-1}-z_2^{n-1}}=\frac{(-1)^{n-2}}{\sqrt{5}}\rkl{z_1^{n-1}(1-z_1)-z_2^{n-1}(1-z_2)}\\
&=&\frac{(-1)^n}{\sqrt{5}}\rkl{z_1^{n+1}-z_2^{n+1}}=a_n.
\eea
Die Reihe konvergiert, wenn $\abs{\frac{z}{z_i}}<1, i=1,2$ bzw. $|z|<\min\set{|z_1|,|z_2|}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ist.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 128: komplexe geometrische Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $z \in \C$ mit $\re z^2 > -\frac{1}{2}$. Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^{2n}}{(1 + z^2)^{n-1}} \]
und bestimmen Sie deren Summe.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 128}}\\
Es ist 
\[ S:= \sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^{2n}}{(1 + z^2)^{n-1}} = z^2\, \sum_{n=1}^\infty\,\rkl{\frac{z^2}{1 + z^2}}^{n-1} = z^2\, \sum_{n=0}^\infty\,\rkl{\frac{z^2}{1 + z^2}}^n. \]
Die letzte Reihe ist eine geometrische, die genau dann konvergiert, wenn
\[\abs{\frac{z^2}{1 + z^2}} <1 \Leftrightarrow \abs{z^2} < \abs{1+z^2} \Leftrightarrow z^2\,\bar{z}^2 < (1+z^2)(1+\bar{z}^2)  \Leftrightarrow 0 < 1+ z^2 + \bar{z}^2 \Leftrightarrow -1 < 2 \re z^2 \Leftrightarrow \re z^2 > -\frac{1}{2}.\]
Dann ist aber auch
\[S=z^2\, \frac{1}{1-\frac{z^2}{1+z^2}} = z^2\,(1+z^2).\]
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 129: Potenzen der geometrischen Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise unter Verwendung der Cauchyschen Produktreihe mit vollständiger Induktion über $l$:
\[\abs{z}<1 \Longrightarrow \frac{1}{(1-z)^l} =\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{l-1}\,z^n=\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{n}\,z^n.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 129}}\\

\begin{description}
	\item[Induktionsanfang $l=1$:]
\[\frac{1}{(1-z)} =\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n}{0}\,z^n=\sum_{n=0}^\infty\,z^n,\]
	das ist gewöhnliche geometrische Reihe.
	\item[Induktionsschritt:]
	\bea
	\frac{1}{(1-z)^{l+1}} &=&\frac{1}{(1-z)^l} \frac{1}{(1-z)}\\
	&\overset{\text{Induktionsvoraussetzung}}{=}&\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{n}\,z^n\,\sum_{n=0}^\infty\,z^n\\
	&\overset{\text{Cauchysche Produktformel}}{=}&\sum_{n=0}^\infty\,\sum_{k=0}^n\,\binom{k+l-1}{k}\,z^k\,z^{n-k}\\
	&=&\sum_{n=0}^\infty\,z^n\,\sum_{k=0}^n\,\binom{k+l-1}{k}\\
&=&\sum_{n=0}^\infty\,z^n\,\binom{n+l}{n}.\\
\eea
Die letzte Beziehung ist eine bekannte Summenformel für Binomialkoeffizienten, die man leicht mit vollständiger Induktion beweisen kann.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 130: Volumen und Umfang der Koch-Schneeflocke
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ersetzt man in einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge $1$ die Kanten rekursiv gemäß der Vorschrift\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{aImage007}
\end{center}
enstehen nacheinander die folgenden Figuren:\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{aImage008}
\end{center}
Berechnen Sie Umfang und Flächeninhalt aller dieser Figuren. Was passiert, wenn dieser Prozess unendlich oft fortgeführt wird?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 130}}\\
Die Grundfigur, das gleichseitige Dreieck, bezeichnen wir mit $S_0$, die daraus entstehende Figur mit $S_1$ usw. Analog bezeichnen wir mit $U_n$ den Umfang und mit $A_n$ die Fläche von $S_n$\\
Wir zählen zuerst die Anzahl der Kanten. Die Grundfigur hat 3. In jedem Schritt wird eine lange Kante durch vier kürzere Kanten ersetzt, also die Anzahl der Kanten mit 4 multipliziert. Somit gilt:
\begin{center}
Die Anzahl der Kanten von $S_n\ =\ 3\cdot 4^n$.
\end{center}
\begin{description}
	\item[Umfang] Die Seitenlänge von $S_0$ ist 1. In jedem Schritt wird die Seitenlänge gedrittelt, also haben die Seiten von $S_n$ die Länge $\frac{1}{3^n}$, somit gilt
\begin{center}
	Der Umfang von $S_n\ =\ U_n\ =\ 3\cdot \rkl{\frac{4}{3}}^n$,
\end{center}
und es ist $\nlim U_n =\infty.$
\item[Fläche] Ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt \[A=\frac{1}{2}\,a^2\sin\rkl{\frac{\pi}{3}}=\frac{a^2}{4}\sqrt{3}.\]
$S_0$ hat also den Flächeninhalt $\frac{1}{4}\sqrt{3}$. In jedem Schritt kommt auf jeder der $3\cdot 4^{n-1}$ Kanten von $S_{n-1}$ ein gleichseitiges Dreick der Seitenlänge $\frac{1}{3^n}$ von $S_n$ dazu, der Zuwachs beträgt also 
\[3\cdot 4^{n-1}\cdot \frac{1}{4}\frac{1}{3^{2n}}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot\rkl{\frac{4}{9}}^{n-1}\]
Damit ist der Flächeninhalt von $S_n$
\bea
 A_n &=& \frac{1}{4}\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{12}\sum_{k=0}^{n-1}\,\rkl{\frac{4}{9}}^k
=\frac{1}{4}\sqrt{3}\rkl{1+ \frac{1}{3}\cdot\frac{1-\rkl{\frac{4}{9}}^n}{1-\frac{4}{9}}}\\
&=&\frac{1}{4}\sqrt{3}\rkl{1+ \frac{3}{5}\cdot\rkl{1-\rkl{\frac{4}{9}}^n}}=\frac{1}{4}\sqrt{3}\rkl{ \frac{8}{5}-\frac{3}{5}\rkl{\frac{4}{9}}^n}.\\
\eea
Jetzt ist
\[\nlim A_n=\frac{1}{4}\sqrt{3}\,\frac{8}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{3}\]
\end{description}
Bei der Schneeflocke $S_\infty$ handelt es sich also um eine endliche Fläche mit unendlich langem Umfang.

% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Großer Umordnungssatz }
\subsection{ Cauchysche Produktreihe }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 131: Potenzen der geometrischen Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise unter Verwendung der Cauchyschen Produktreihe mit vollständiger Induktion über $l$:
\[\abs{z}<1 \Longrightarrow \frac{1}{(1-z)^l} =\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{l-1}\,z^n=\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{n}\,z^n.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 131}}\\

\begin{description}
	\item[Induktionsanfang $l=1$:]
\[\frac{1}{(1-z)} =\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n}{0}\,z^n=\sum_{n=0}^\infty\,z^n,\]
	das ist gewöhnliche geometrische Reihe.
	\item[Induktionsschritt:]
	\bea
	\frac{1}{(1-z)^{l+1}} &=&\frac{1}{(1-z)^l} \frac{1}{(1-z)}\\
	&\overset{\text{Induktionsvoraussetzung}}{=}&\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{n}\,z^n\,\sum_{n=0}^\infty\,z^n\\
	&\overset{\text{Cauchysche Produktformel}}{=}&\sum_{n=0}^\infty\,\sum_{k=0}^n\,\binom{k+l-1}{k}\,z^k\,z^{n-k}\\
	&=&\sum_{n=0}^\infty\,z^n\,\sum_{k=0}^n\,\binom{k+l-1}{k}\\
&=&\sum_{n=0}^\infty\,z^n\,\binom{n+l}{n}.\\
\eea
Die letzte Beziehung ist eine bekannte Summenformel für Binomialkoeffizienten, die man leicht mit vollständiger Induktion beweisen kann.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 132: Übungen zur Quadratwurzel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie unter Verwendung der Cauchyschen Produktreihe für $z\in \C, \abs{z}<1$ die Beziehung
	\[\frac{1}{1+z}=\rkl{\sum_{n=0}^\infty\,\binom{-\frac{1}{2}}{n}\,z^n}^2.\]
	\item Unter Verwendung von a) zeige man
	\[\sqrt{2}=\frac{7}{5}\sum_{n=0}^\infty\,(-1)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n}\,50^{-n}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 132}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wegen
	\[\nlim\abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\nlim\abs{\frac{\binom{-\frac{1}{2}}{n+1}}{\binom{-\frac{1}{2}}{n}}z}=\nlim\abs{\frac{-\frac{1}{2}-n}{n+1}z}= \abs{z}\]
	konvergiert die zu quadrierende Reihe für $\abs{z}<1$ absolut und die Cauchysche Produktformel darf angewendet werden.
	\bea
\rkl{\sum_{n=0}^\infty\,\binom{-\frac{1}{2}}{n}\,z^n}^2&=&\sum_{n=0}^\infty\,\sum_{k=0}^n\,\binom{-\frac{1}{2}}{k}\,z^k\,\binom{-\frac{1}{2}}{n-k}\,z^{n-k}\\
	&=&\sum_{n=0}^\infty\,z^n\sum_{k=0}^n\,\binom{-\frac{1}{2}}{k}\,\binom{-\frac{1}{2}}{n-k}\\
	&\overset{(*)}{=}&\sum_{n=0}^\infty\,z^n\binom{-1}{n}\\
	&=&\sum_{n=0}^\infty\,z^n\,\frac{(-1)(-1-1)(-1-2)\ldots(-1-n+1)}{n!}\\
	&=&\sum_{n=0}^\infty\,(-z)^n=\frac{1}{1-(-z)}=\frac{1}{1+z}
	\eea
	Die Gleichheit bei $(*)$ folgt aus der früher mit vollständiger Induktion bewiesenen, für beliebige $\alpha, \beta \in \R$ gültigen Formel
	\[\sum_{k=0}^n\,\binom{\alpha}{n-k}\,\binom{\beta}{k} = \binom{\alpha+\beta}{n},\] 
in der man $\alpha= \beta=-\frac{1}{2}$ setzt.
\item Mit $z=-\frac{1}{50}$ folgt aus a) zunächst
\[\rkl{\sum_{n=0}^\infty\,\binom{-\frac{1}{2}}{n}\,\rkl{-\frac{1}{50}}^n}^2=\frac{1}{1-\frac{1}{50}}=\frac{50}{49}\]
und weiter durch Wurzelziehen und Anwendung von Potenzgesetzen
\[\abs{\sum_{n=0}^\infty\,(-1)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n}\,50^{-n}}=\frac{5}{7}\sqrt{2}.\]
Da - wie man sich leicht überlegt - alle Summanden positiv sind, muss auch die Summe positiv sein und man kann die Betragsstriche weglassen. Anschließende Multiplikation mit $\frac{7}{5}$ ergibt die Behauptung.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 133: Endliche Zeilenreihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die Reihe $\sum_{n=0}^\infty\, a_n$ sei absolut konvergent und für $n = 0, 1, \ldots$ werde gesetzt:
\[ b_n = \frac{1}{2n+1} \rkl{ a_0 + 2 a_1 + \ldots + 2^n a_n}.\]
Zeigen Sie, dass auch $\sum_{n=0}^\infty\,b_n$ absolut konvergiert und
\[ \sum_{n=1}^\infty\,a_n =\sum_{n=1}^\infty\,b_n \]
gilt. Hinweis: Wenden Sie den Großen Umordnungssatz an!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 133}}\\
Es ist
\[ b_n = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^n\,2^k a_k = \sum_{k=0}^n\,\frac{a_k}{2^{n+1-k}}.\]
Wir betrachten das folgende dreieckige Schema:
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \ldots \\
\hline
b_0 & \frac{a_0}{2} & 0 & \ldots \\
b_1 & \frac{a_0}{4} & \frac{2 a_1}{4} & 0 &  \ldots \\
b_2 & \frac{a_0}{8} & \frac{2 a_1}{8} & \frac{4 a_2}{8} & 0 & \ldots \\
b_2 & \frac{a_0}{16} & \frac{2 a_1}{16} & \frac{4 a_2}{16} & \frac{8 a_3}{16} & 0 & \ldots \\
b_2 & \frac{a_0}{2^5} & \frac{2 a_1}{2^5} & \frac{4 a_2}{2^5} & \frac{8 a_3}{2^5} & \frac{2^4 a_5}{2^5} &  0 &\ldots \\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \vdots & 
\end{array}\]
Die $n$-te Zeilensumme konvergiert als endliche Summen natürlich absolut gegen $b_n$. Die $n$-te Spaltensumme 
\[\sum_{k=n}^\infty \, \frac{a_n}{2^{n+1-k}} = a_n \sum_{m=1}^\infty \,\frac{1}{2^m} = a_n\rkl{\frac{1}{1-\frac{1}{2}} -1} =a_n\]
konvergiert als geometrische Reihe ebenfalls absolut gegen $a_n$.\\

Damit sind die Voraussetzungen des \emph{Großen Umordungssatzes} erfüllt und die Summe der Zeilenreihen $\sum_{n=1}^\infty\,b_n$ konvergiert ebenfalls absolut und zwar gegen denselben Wert wie die Summe der Spaltenreihen $\sum_{n=1}^\infty\,a_n$.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 134: Die Lambert-Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie: Die Lambert\footnote{Johann Heinrich Lambert (* 26. August 1728 in Mülhausen (Elsass); \dag\  25. September 1777 in Berlin) war ein schweizerisch-elsässischer Mathematiker, Logiker, Physiker und Philosoph der Aufklärung, der u. a. die Irrationalität der Zahl $\pi$ bewies.}-Reihe
	\[\mathfrak{L}(z)=\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n},\quad z\in \C\]
	konvergiert für $\abs{z}<1$ und divergiert für $\abs{z}>1$.
	\item Zeigen Sie die Identität
	\[\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^\infty\,d(n)\,z^n,\]
	wobei $d(n)$ die Anzahl der (echten und unechten) Teiler von $n$ bezeichnet.
	\item Für welche $z  \in \C$ konvergiert die rechte Reihe.
	\item Beweisen Sie die Identität
	\[\rkl{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\,\frac{d(n)}{n^2}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 134}}\\
\begin{enumerate}
	\item Für $\abs{z}<1$ existiert ein $n_0\in \N$, so dass für $n>n_0$ $\abs{z}^n<\frac{1}{2}$ ist. Dann ist aber auch
	\[\abs{\frac{z^n}{1-z^n}}\leq\frac{\abs{z}^n}{1-\abs{z}^n}\leq 2\abs{z}^n,\]
	die Lambert-Reihe lässt sich also für $n>n_0$ gliedweise gegen die (doppelte) geometrische Reihe abschätzen, die bekanntlich für $\abs{z}<1$ konvergiert.\\
	Für  $\abs{z}>1$ ist
	\[\nlim\,\abs{\frac{z^n}{1-z^n}}\geq\nlim\,\frac{\abs{z}^n}{1+\abs{z}^n}=\nlim\,\frac{1}{1+\frac{1}{|z|^n}}=1\]
	also das notwendige Kriterium verletzt, somit divergiert die Reihe.
	\item Nach der Summenformel der geometrischen Reihe ist
	\[\frac{z^n}{1-z^n}=z^n\sum_{k=0}^\infty\,\rkl{z^n}^k=\sum_{k=0}^\infty\,\rkl{z^n}^{k+1}=\sum_{k=1}^\infty\,\rkl{z^n}^k=\sum_{k=1}^\infty\,z^{nk}.\]
	Also kann man die Lambert-Reihe auch als Doppelreihe in der Form
	\[\mathfrak{L}(z) = \sum_{n=1}^\infty\,\sum_{k=1}^\infty\,z^{nk}\]
	schreiben. Wir stellen nun nur die Exponenten von $z$ in dem gewohnten quadratischen Schema in Abhängigkeit von $n$ und $k$ dar:
	
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|*{9}c}
	$k \backslash n$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \ldots\\
	\hline
	1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \ldots\\
	2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & \ldots\\
	3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & \ldots\\
	4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & \ldots\\
	5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & \ldots\\
	6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & \ldots\\
	7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & \ldots\\		
	$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$\\		
	\end{tabular}
\end{center}
Da die Zeilenreihen absolut und auch die Reihe der Zeilenreihen absolut konvergieren, dürfen wir in dem quadratischen Schema in jeder beliebigen Reihenfolge aufsummieren.\\
Wir zählen nun, wie oft jedes Produkt vorkommt. Offensichtlich kommt ein Produkt $nk$ genau dann vor, wenn in der Kopfzeile oder der linken Spalte ein Teiler von $nk$ steht. Also kommt das Produkt $nk$ genau $d(nk)$ mal vor. Man kann also schließlich die Lambert-Reihe auch in der Form
\[\mathfrak{L}(z) = \sum_{i=1}^\infty\,d(n)\,z^n\]
schreiben.
\item Es ist für $n>1$ offensichtlich $2 \leq d(n) \leq n$, woraus sofort $\nlim \sqrt[n]{d(n)}=1$ folgt. Damit ist auch
\[\nlim \sqrt[n]{\abs{d(n)\,z^n}}=\abs{z}\]
und die rechte Reihe konvergiert genau dann, wenn $\abs{z}<1$ ist.
\item Wir stellen nun die Doppelreihe
\[\rkl{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2}}\rkl{\sum_{k=1}^\infty\,\frac{1}{k^2}}\] 
in dem gewohnten quadratischen Schema in Abhängigkeit von $n$ und $k$ dar:
	
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|*{7}c}
	$k \backslash n$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots\\
	\hline
	\\
	1 & 1 & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{9}$ & $\frac{1}{16}$ & $\frac{1}{25}$  & \ldots\\ \\
	2 & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{16}$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{1}{64}$ & $\frac{1}{100}$  & \ldots\\ \\
	3 & $\frac{1}{9}$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{1}{81}$ & $\frac{1}{144}$ & $\frac{1}{225}$  & \ldots\\ \\
	4 & $\frac{1}{16}$ & $\frac{1}{64}$ & $\frac{1}{144}$ & $\frac{1}{256}$ & $\frac{1}{400}$  & \ldots\\ \\
	5 & $\frac{1}{25}$ & $\frac{1}{100}$ & $\frac{1}{225}$ & $\frac{1}{400}$ & $\frac{1}{625}$  & \ldots\\ \\
	$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$  & $\ddots$\\
	\end{tabular}
\end{center}
Da die im Quadrat stehende Reihe auf der linken Seite absolut konvergiert, dürfen wir im quadratischen Schema in einer beliebigen Reihenfolge aufsummieren. Wir entscheiden uns für eine Ordnung nach Brüchen mit gleichem Nenner in aufsteigender Reihenfolge. Offensichtlich kommt jeder Nenner genau dann vor, wenn in der Kopfzeile (bzw. in der linken Spalte) ein Teiler der Quadratwurzel des Nenners steht, also kommt der Nenner $(nk)^2$ genau $d(nk)$ mal vor. Dies beweist -- wie unter b) -- die angegebene Beziehung.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ konkrete Reihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 135: Binomische Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\alpha \in \R$. Die Binomial-Koeffzienten sind durch
\[\binom{\alpha}{0}:= 1 \quad\text{und}\quad \binom{\alpha}{n}:=\frac{\alpha\,(\alpha-1)\,\cdots \,(\alpha-n+1)}{n!},\quad (n \in \N),\]
und die binomische Reihe als
\[S_\alpha (z) := \sum_{n=0}^\infty \,\binom{\alpha}{n}\,z^n,\quad (z \in \C),\]
definiert. Zeigen Sie,
\begin{enumerate}
	\item dass die Reihe für $|z| < 1$ konvergiert.
	\item dass im Falle von $\alpha=m\in \N$ die Reihe nur endlich viele Glieder
hat und
\[S_m (z) = (1 + z )^m\]
gilt.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 135}}\\

\begin{enumerate}
	\item Setze 
	\[c_n=\binom{\alpha}{n}\]
	dann ist
	\[\nlim \abs{\frac{c_n}{c_{n+1}}} = \nlim\abs{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\,\cdots \,(\alpha-n+1)}{n!} \frac{(n+1)!}{\alpha\,(\alpha-1)\,\cdots \,(\alpha-n+1)(\alpha-n)}} = \nlim \abs{\frac{n+1}{\alpha-n}} =1,\]
	also ist auch der Konvergenzradius gleich 1 und die Reihe konvergiert für $|z|<1$ absolut.
	\item Für $\alpha=m\in \N$ und $m<n$ ist offensichtlich 
	\[ \binom{m}{n} =0,\]
	denn im Zähler kommt der Faktor Null vor. Damit ist nach dem Binomischen Satz
\[S_m (z) = \sum_{n=0}^m \,\binom{m}{n}\,z^n=(1 + z )^m .\]
	
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 136: Definition und Berechnung von $\e$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Betrachte die rellen Folgen $\{a_n\}$ und $\{s_n\}$ mit
$$a_n = (1 + \frac1n)^n \qquad\mbox{ und }\qquad s_n = \sum^n_{k=0} \frac1{k!}$$
Definiere $\e := \lim_{n\rightarrow \infty} s_n$. Warum ist dies wohldefiniert?
\ben
\item[a)] Zeige: $a_n = \sum^n_{k=0} \bma{c}n\\k\\\ema \frac 1{n^k}$ und $a_n \leq s_n$ f.a. $n \in \N$.
\item[b)] Folgere: $\{a_n\}$ konvergiert und $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \leq \e$.
\item[c)] Zeige: Für alle $m > n$ gilt 
$$a_m \geq 1 + 1 + (1 - \frac1m)\frac1{2!}+ \dots + (1 -\frac1m)(1 -\frac2m) \dots (1 -\frac{n-1}m)\frac1{n!} .$$
\item[d)] Folgere $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \geq s_n$ f.a. $n \in \N$ und $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \geq \e$. Also $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \e$.
\een
Diese Aufgabe zeigt $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim_{n\rightarrow \infty} s_n = \e$, die sogenannte Eulersche Zahl.\\

Versuche die Zahl $\e$ jeweils mit $a_n$ und $s_n$ zu approximieren. Wie groß muß jeweils $n \in \N$ sein, um $\e$ mit fünf Dezimalen genau zu berechnen?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 136}}\\
\underline{1. Lösung (gemäß der Anleitung in der Aufgabenstellung):}\\

Wegen 
$$ \lim_{k\rightarrow \infty} \left |\frac{\frac1{(k+1)!}}{\frac1{k!}}\right | = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac1{k+1}=0$$
konvergiert die unendliche Reihe
$$\sum^\infty_{k=0} \frac1{k!} = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^n_{k=0} \frac1{k!} = \lim_{n\rightarrow \infty} s_n $$
nach Quotientenkriterium, deswegen ist es erlaubt, deren Grenzwert mit $\e := \lim_{n\rightarrow \infty} s_n$ zu bezeichnen.
\ben
\item[a)] Nach dem Binomischen Satz ist für alle $n\in \N$
\bea
a_n=(1 + \frac1n)^n=\sum^n_{k=0} \bma{c}n\\k\\\ema \frac 1{n^k} &=& \sum^n_{k=0} \frac {n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\ \frac1{n^k}\\
&=& \sum^n_{k=0} \frac nn\frac {n-1}n\dots\frac{n-k+1}n\ \frac1{k!}\leq \sum^n_{k=0} \frac1{k!} = s_n,
\eea
da die Faktoren $\frac{n-i}n, i=0,1,\dots,k-1$ sämtlich kleiner als Eins sind, also ist $a_n \leq s_n$ f.a. $n \in \N$.

Daraus folgt aber noch nicht die Konvergenz der Folge $\{a_n\}$, wie das Beispiel $a_n=(-1)^n, s_n=2+\frac1n$ anschaulich zeigt. 

\item[b)] Zum Beweis der Konvergenz von $\{a_n\}$ zeigen wir, dass die Folge monton wachsend und nach oben beschränkt ist.
\begin{description}
	\item[Monotonie] Es ist unter Beachtung der Bernoullischen Ungleichung
	\bea
	\frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\frac{(1 + \frac1{n+1})^{n+1}}{(1 + \frac1n)^n}=\frac{( \frac{n+2}{n+1})^{n+1}}{(\frac{n+1}n)^n}= \frac{n+1}{n}\;\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\\ &=& \frac{n+1}{n}\;\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq \frac{n+1}{n}\;\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1,
	\eea 
	also ist $\{a_n\}$ monton wachsend.
	\item[Beschänktheit] Wegen der Konvergenz von $\{s_n\}$ gibt es zu $\varepsilon=1$ ein $n_0(\varepsilon) \in \N$, so dass $|s_n-\e|<1$ f. a. $n\geq n_0$, insbesondere ist auch 
	$$ a_n \leq s_n < 1+\e \qquad \forall\ n\geq n_0.$$
	Damit ist aber $a_n \leq \max\{1+\e, a_1, a_2, \dots a_{n_0}\}$ f. a. $n \in \N$. 
\end{description}
Es existiert also $a := \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \sup \{a_n\ |\ n \in \N\}$ und wegen der Monotie der Grenzwertbildung ist auch $a \leq \e$.
\item[c)] Es ist für $m>n>2$
\bea
a_m&=&\sum^m_{k=0} \bma{c}m\\k\\\ema \frac 1{m^k} = \sum^m_{k=0} \frac {m(m-1)\dots(m-k+1)}{k!}\ \frac1{m^k}\\
&\geq& \sum^n_{k=0} \frac mm\frac {m-1}m\dots\frac{m-k+1}m\ \frac1{k!}= \sum^n_{k=0} \left(1-\frac1m\right)\dots\left(1-\frac{k-1}m\right)\ \frac1{k!},\\
\eea
\item[d)] Für festgehaltenes $n$ lassen wir nun in dieser Ungleichung $m$ gegen Unendlich gehen, dabei geht die rechte Seite offensichtlich gegen $s_n$, und - wie wir bereits aus b) wissen -  existiert der Grenzwert auf der linken Seite, d. h. es ist
$$ a= \lim_{m\rightarrow \infty} a_m \geq s_n\qquad \forall\ n \in \N.$$ 
Abschließend lassen wir nun noch in dieser Ungleichung $n$ gegen Unendlich gehen und erhalten $a \geq \e$, zusammen mit b) also 
$$ \lim_{n\rightarrow \infty}(1 + \frac1n)^n =\e =\sum^\infty_{k=0} \frac1{k!}.$$
\een

\underline{2. Lösung (ohne expliziten Beweis der Konvergenz von $\{a_n\}$):}\\

%Hier Lösungstext eintragen
Wegen 
$$ \lim_{k\rightarrow \infty} \left |\frac{\frac1{(k+1)!}}{\frac1{k!}}\right | = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac1{k+1}=0$$
konvergiert die unendliche Reihe
$$\sum^\infty_{k=0} \frac1{k!} = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^n_{k=0} \frac1{k!} = \lim_{n\rightarrow \infty} s_n $$
nach Quotientenkriterium, deswegen ist es erlaubt, deren Grenzwert mit $\e := \lim_{n\rightarrow \infty} s_n$ zu bezeichnen.
\ben
\item[a)] Nach dem Binomischen Satz ist für alle $n\in \N$
\bea
a_n=\sum^n_{k=0} \bma{c}n\\k\\\ema \frac 1{n^k} &=& \sum^n_{k=0} \frac {n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\ \frac1{n^k}\\
&=& \sum^n_{k=0} \frac nn\frac {n-1}n\dots\frac{n-k+1}n\ \frac1{k!}\leq \sum^n_{k=0} \frac1{k!} = s_n,
\eea
da die Faktoren $\frac{n-i}n, i=0,1,\dots,k-1$ sämtlich kleiner als Eins sind, also ist $a_n \leq s_n$ f.a. $n \in \N$.

Daraus folgt aber noch nicht die Konvergenz der Folge $\{a_n\}$, wie das Beispiel $a_n=(-1)^n, s_n=2+\frac1n$ anschaulich zeigt. 

\item[b)] Wegen der Konvergenz von $\{s_n\}$ gibt es zu gegebenem $\varepsilon>0$ ein $n_0(\varepsilon) \in \N$, so dass $|s_n-\e|<\varepsilon$ f. a. $n\geq n_0$, insbesondere ist auch 
	$$ a_n \leq s_n < \e+\varepsilon \qquad \forall\ n\geq n_0.$$
\item[c)] Es ist für $m>n>2$
\bea
a_m&=&\sum^m_{k=0} \bma{c}m\\k\\\ema \frac 1{m^k} = \sum^m_{k=0} \frac {m(m-1)\dots(m-k+1)}{k!}\ \frac1{m^k}\\
&\geq& \sum^n_{k=0} \frac mm\frac {m-1}m\dots\frac{m-k+1}m\ \frac1{k!}= \sum^n_{k=0} \left(1-\frac1m\right)\dots\left(1-\frac{k-1}m\right)\ \frac1{k!}=: r(n)_m,\\
\eea
\item[d)] Lassen wir festgehaltenes $n$ in dieser Ungleichung $m$ gegen Unendlich gehen, dann gilt für die rechte Seite offensichtlich 
$$\lim_{m\rightarrow \infty} r(n)_m = s_n.$$ 
Über die Konvergenz der linken Seite ist leider nichts bekannt.

Wir wählen nun zuerst zu gegebenem $\varepsilon>0$ ein $n_1(\varepsilon)$, so dass $n_1 \geq n_0$ für das $n_0$ aus b) ist und außerdem $|s_n-\e|<\frac\varepsilon 2$ für all $n \geq n_1$ gilt; dies ist wegen der Konvergenz der Folge $\{s_n \}$ immer möglich. Insbesondere ist dann
$$s_n > \e - \frac\varepsilon 2.$$
Weiterhin finden wir immer ein $m_0(\varepsilon,n) \geq n_1$, so dass $|r(n)_m-s_n|<\frac\varepsilon 2$ für alle $m\geq m_0$ ist, insbesondere ist also auch
$$r(n)_m > s_n - \frac\varepsilon 2.$$
Insgesamt ist also
$$ a_m \geq  r(n)_m > s_n - \frac\varepsilon 2 > \e - \varepsilon\qquad \forall\  m\geq m_0.$$ 
Zusammen mit der Abschätzung in b) erhalten wir also
$$\e - \varepsilon < a_n < \e + \varepsilon \qquad\mbox{bzw.}\qquad |a_n-\e|<\varepsilon \qquad \forall\ n\geq m_0.$$
Dies ist aber gerade die Definition für  
$$ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \lim_{n\rightarrow \infty}(1 + \frac1n)^n =\e =\sum^\infty_{k=0} \frac1{k!}.$$
\een
Versucht man nun, $\e$ durch diese Folgen - etwa mit Hilfe des folgenden Turbo-Pascal-Programmes - zu approximieren, dann stellt man riesige Unterschiede fest.
\begin{verbatim}
program e;
var k,l : LongInt;
    out : Text;
    e1, e2, f, g: Extended;
begin
  Assign(out,'e.txt'); rewrite(out);
  e1:=1; f:=1;
  for k:=1 to 200000 do
  begin
    f:=f/k; e1:=e1+f;  	                        { Berechnung von s_n }	   			
    g:=1+1/k; e2:=1; for l:=1 to k do e2:=e2*g; { Berechnung von a_n } 
    WriteLn(out, k:6,' & ',e1:9:6, ' & ', e2:9:6,'\\');
  end;
  close(out);
end.
\end{verbatim}
Bereits bei der Berechnung ist die Summenformel günstiger, da sich ein Summand aus dem vorhergehenden durch eine einfache Division ergibt. Bei der Berechnung der Folgenglieder $a_n$ hat man dagegen immer eine $n$-te Potenz von vorn zu berechnen. Macht man das mit einer {\tt for}-Schleife, dann wird es sehr rechenzeitintensiv. Dies fällt besonders auf, wenn man für jede Methode ein eigenes Programm schreibt.
Benutzt man den Logarithmus ($x^n=\e^{n\,\ln x}$), dann geht es zwar schneller, aber die Rechengenauigkeit sinkt und - was das eigentlich Verwerfliche daran ist - man benötigt dafür bereits die $\e$-Funktion bzw. die Zahl $\e$, die man ja gerade erst definiert hat und zum ersten Mal berechnen möchte.

Auch bei der Konvergenzgeschwindigkeit gibt es enorme Unterschiede, wie die folgende Tabelle zeigt:
\begin{center}
	\begin{tabular}{r|r|r}
		$n$ & $s_n$ & $a_n$ \\
		\hline
     1 &  2.000000 &  2.000000\\
     2 &  2.500000 &  2.250000\\
     3 &  2.666667 &  2.370370\\
     4 &  2.708333 &  2.441406\\
     5 &  2.716667 &  2.488320\\
     6 &  2.718056 &  2.521626\\
     7 &  2.718254 &  2.546500\\
     8 &  2.718279 &  2.565785\\
     9 &  2.718282 &  2.581175\\
    10 &  2.718282 &  2.593742\\
   100 &  2.718282 &  2.704814\\
  1000 &  2.718282 &  2.716924\\
 10000 &  2.718282 &  2.718146\\
 20000 &  2.718282 &  2.718214\\
 30000 &  2.718282 &  2.718237\\
 40000 &  2.718282 &  2.718248\\
	\end{tabular}
	\qquad\qquad
	\begin{tabular}{r|r|r}
		$n$ & $s_n$ & $a_n$ \\
		\hline
 50000 &  2.718282 &  2.718255\\
 60000 &  2.718282 &  2.718259\\
 70000 &  2.718282 &  2.718262\\
 80000 &  2.718282 &  2.718265\\
 90000 &  2.718282 &  2.718267\\
100000 &  2.718282 &  2.718268\\
110000 &  2.718282 &  2.718269\\
120000 &  2.718282 &  2.718271\\
130000 &  2.718282 &  2.718271\\
140000 &  2.718282 &  2.718272\\
150000 &  2.718282 &  2.718273\\
160000 &  2.718282 &  2.718273\\
170000 &  2.718282 &  2.718274\\
180000 &  2.718282 &  2.718274\\
190000 &  2.718282 &  2.718275\\
200000 &  2.718282 &  2.718275\\		
	\end{tabular}
\end{center}
Während man bei $\{s_n\}$ bereits mit 9 Iterationen auskommt, hat man die Zahl $\e$ bei der monoton wachsenden Folge $\{a_n\}$ auch bei 200.000 Iterationen noch nicht auf 5 Stellen genau berechnet. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 137: Die Lambert-Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie: Die Lambert\footnote{Johann Heinrich Lambert (* 26. August 1728 in Mülhausen (Elsass); \dag\  25. September 1777 in Berlin) war ein schweizerisch-elsässischer Mathematiker, Logiker, Physiker und Philosoph der Aufklärung, der u. a. die Irrationalität der Zahl $\pi$ bewies.}-Reihe
	\[\mathfrak{L}(z)=\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n},\quad z\in \C\]
	konvergiert für $\abs{z}<1$ und divergiert für $\abs{z}>1$.
	\item Zeigen Sie die Identität
	\[\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^\infty\,d(n)\,z^n,\]
	wobei $d(n)$ die Anzahl der (echten und unechten) Teiler von $n$ bezeichnet.
	\item Für welche $z  \in \C$ konvergiert die rechte Reihe.
	\item Beweisen Sie die Identität
	\[\rkl{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\,\frac{d(n)}{n^2}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 137}}\\
\begin{enumerate}
	\item Für $\abs{z}<1$ existiert ein $n_0\in \N$, so dass für $n>n_0$ $\abs{z}^n<\frac{1}{2}$ ist. Dann ist aber auch
	\[\abs{\frac{z^n}{1-z^n}}\leq\frac{\abs{z}^n}{1-\abs{z}^n}\leq 2\abs{z}^n,\]
	die Lambert-Reihe lässt sich also für $n>n_0$ gliedweise gegen die (doppelte) geometrische Reihe abschätzen, die bekanntlich für $\abs{z}<1$ konvergiert.\\
	Für  $\abs{z}>1$ ist
	\[\nlim\,\abs{\frac{z^n}{1-z^n}}\geq\nlim\,\frac{\abs{z}^n}{1+\abs{z}^n}=\nlim\,\frac{1}{1+\frac{1}{|z|^n}}=1\]
	also das notwendige Kriterium verletzt, somit divergiert die Reihe.
	\item Nach der Summenformel der geometrischen Reihe ist
	\[\frac{z^n}{1-z^n}=z^n\sum_{k=0}^\infty\,\rkl{z^n}^k=\sum_{k=0}^\infty\,\rkl{z^n}^{k+1}=\sum_{k=1}^\infty\,\rkl{z^n}^k=\sum_{k=1}^\infty\,z^{nk}.\]
	Also kann man die Lambert-Reihe auch als Doppelreihe in der Form
	\[\mathfrak{L}(z) = \sum_{n=1}^\infty\,\sum_{k=1}^\infty\,z^{nk}\]
	schreiben. Wir stellen nun nur die Exponenten von $z$ in dem gewohnten quadratischen Schema in Abhängigkeit von $n$ und $k$ dar:
	
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|*{9}c}
	$k \backslash n$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \ldots\\
	\hline
	1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \ldots\\
	2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & \ldots\\
	3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & \ldots\\
	4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & \ldots\\
	5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & \ldots\\
	6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & \ldots\\
	7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & \ldots\\		
	$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$\\		
	\end{tabular}
\end{center}
Da die Zeilenreihen absolut und auch die Reihe der Zeilenreihen absolut konvergieren, dürfen wir in dem quadratischen Schema in jeder beliebigen Reihenfolge aufsummieren.\\
Wir zählen nun, wie oft jedes Produkt vorkommt. Offensichtlich kommt ein Produkt $nk$ genau dann vor, wenn in der Kopfzeile oder der linken Spalte ein Teiler von $nk$ steht. Also kommt das Produkt $nk$ genau $d(nk)$ mal vor. Man kann also schließlich die Lambert-Reihe auch in der Form
\[\mathfrak{L}(z) = \sum_{i=1}^\infty\,d(n)\,z^n\]
schreiben.
\item Es ist für $n>1$ offensichtlich $2 \leq d(n) \leq n$, woraus sofort $\nlim \sqrt[n]{d(n)}=1$ folgt. Damit ist auch
\[\nlim \sqrt[n]{\abs{d(n)\,z^n}}=\abs{z}\]
und die rechte Reihe konvergiert genau dann, wenn $\abs{z}<1$ ist.
\item Wir stellen nun die Doppelreihe
\[\rkl{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2}}\rkl{\sum_{k=1}^\infty\,\frac{1}{k^2}}\] 
in dem gewohnten quadratischen Schema in Abhängigkeit von $n$ und $k$ dar:
	
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|*{7}c}
	$k \backslash n$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots\\
	\hline
	\\
	1 & 1 & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{9}$ & $\frac{1}{16}$ & $\frac{1}{25}$  & \ldots\\ \\
	2 & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{16}$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{1}{64}$ & $\frac{1}{100}$  & \ldots\\ \\
	3 & $\frac{1}{9}$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{1}{81}$ & $\frac{1}{144}$ & $\frac{1}{225}$  & \ldots\\ \\
	4 & $\frac{1}{16}$ & $\frac{1}{64}$ & $\frac{1}{144}$ & $\frac{1}{256}$ & $\frac{1}{400}$  & \ldots\\ \\
	5 & $\frac{1}{25}$ & $\frac{1}{100}$ & $\frac{1}{225}$ & $\frac{1}{400}$ & $\frac{1}{625}$  & \ldots\\ \\
	$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$  & $\ddots$\\
	\end{tabular}
\end{center}
Da die im Quadrat stehende Reihe auf der linken Seite absolut konvergiert, dürfen wir im quadratischen Schema in einer beliebigen Reihenfolge aufsummieren. Wir entscheiden uns für eine Ordnung nach Brüchen mit gleichem Nenner in aufsteigender Reihenfolge. Offensichtlich kommt jeder Nenner genau dann vor, wenn in der Kopfzeile (bzw. in der linken Spalte) ein Teiler der Quadratwurzel des Nenners steht, also kommt der Nenner $(nk)^2$ genau $d(nk)$ mal vor. Dies beweist -- wie unter b) -- die angegebene Beziehung.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 138: Teleskopreihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Entscheiden Sie über Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Summen der Reihen
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle{S_1 := \sum_{n=1}^{\infty}\,\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}}$,
		\item $\displaystyle{S_2 := \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots}$,
		\item $\displaystyle{S_3 :=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n^{2}+3n+1}{n^{3}(n+1)^{3}}}$.
	\end{enumerate}
	\item Zeigen Sie
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(a+n)(a+b+n)} = \frac{1}{b}\rkl{\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}+\ldots+\frac{1}{a+b-1}}.\]
Welche Werte von $a, b$ können dabei zugelassen werden?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 138}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wir betrachten die Partialsummen der zu untersuchenden Reihen:
	\begin{enumerate}
		\item Wegen
		\[
\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\cdot(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-(n-1)}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}
\]
ist
\[S_{1k} = \sum_{n=1}^{k}\,\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = \sum_{n=1}^{k}\,\rkl{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}} = \sqrt{k}-\sqrt{0} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} \infty.\]
\item Aus dem Ansatz
\[ \frac{1}{n \cdot (n+2)} = \frac{A}{n} - \frac{B}{n+2} = \frac{(A-B) n + 2A}{n \cdot (n+2)} \quad\text{folgt}\quad A=B=\frac{1}{2},\]
also
\[S_{2k} = \sum_{n=1}^{k}\,\frac{1}{n \cdot (n+2)} = \frac{1}{2}\,\sum_{n=1}^{k}\,\rkl{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{2}\,\rkl{1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{3}{4}.\]
\item Aus dem Ansatz
\[ \frac{3n^2+3n+1}{n^3\,(n+1)^3} = \frac{A}{n^3} - \frac{B}{(n+1)^3} = \frac{(A-B) n^3 + 3An^2 + 3 A n +1}{n^3 \, (n+1)^3} \quad\text{folgt}\quad A=B=1,\]
also
\[S_{3k} = \sum_{n=1}^{k}\,\frac{1}{n^3 \, (n+1)^3} = \sum_{n=1}^{k}\,\rkl{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{(n+1)^3}} = 1 - \frac{1}{(k+1)^3}  \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 1.\]
	\end{enumerate}
	\item Aus dem Ansatz
\[ \frac{1}{(a+n)(a+b+n)} = \frac{A}{a+n} - \frac{B}{a+b+n} = \frac{(A-B) n + (A-B) a + A b}{(a+n)(a+b+n)} \quad\text{folgt}\quad A=B=\frac{1}{b},\]
also gilt für die Partialsumme
\bea
s_k &:=& \sum_{n=1}^{k}\,\frac{1}{(a+n)(a+b+n)} = \frac{1}{b}\,\sum_{n=1}^{k}\,\rkl{\frac{1}{a+n}-\frac{1}{a+b+n}} \\
&=& \frac{1}{b}\rkl{\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}+\ldots+\frac{1}{a+b-1} -\rkl{\frac{1}{a+k}+\frac{1}{a+1+k}+\ldots+\frac{1}{a+b-1+k}} }\\
&\overset{k \to \infty}{\longrightarrow}& \frac{1}{b}\rkl{\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}+\ldots+\frac{1}{a+b-1}}.
\eea
(Für $a=1, b=2$ ist das gerade die Summe in a) ii).)\\
Es sind alle Werte $a, b \in \C$ zugelassen, für die weder $a$ noch $a+b$ negativ und ganz sind. In diesem Falle würden in der Summe undefinierte Summanden stehen.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Leibniz-Reihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 139: Binomialkoeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie mit Hilfe des Kriteriums von Leibniz, dass die Reihe
\[ \sum_{n=1}^\infty\,\binom{a}{n}\]
für jedes reelle $a \in (-1, 0)$ konvergiert.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 139}}\\
Wegen $a \in (-1, 0)$ und
\[ a_{n+1} := \binom{a}{n} = \prod_{k=1}^{n+1}\, \frac{a-k+1}{k} = a_n\cdot \frac{a-n}{n+1}\]
gilt für die Faktoren
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a-n}{n+1} <0 \quad\text{und}\quad \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \frac{n-a}{n+1}\leq \frac{n+1}{n+1} =1,\]
also ist die Summandenfolge $\ser{a_n}$ alternierend und die Folge $\ser{\abs{a_n}}$ der absoluten Beträge monoton fallend.

Andererseits ist $a_n=0$ für $a=0$ und für $a\neq 0$ gilt
\[\abs{a_n} = |a| \cdot \rkl{\prod_{k=1}^{n-1}\,\abs{\frac{a-k}{k}}}\cdot \frac{1}{n} = |a| \cdot \rkl{\prod_{k=1}^{n-1}\,\rkl{1-\frac{a}{k}}}\cdot \frac{1}{n} \leq |a| \cdot \rkl{1-\frac{a}{n-1}}^{n-1}\cdot \frac{1}{n} \overset{n\to \infty}{\longrightarrow} \abs{a}\cdot \e^{-a} \cdot 0 =0,\]
also $\abs{a_n}$ auch Nullfolge.

Damit sind alle Voraussetzungen des Leibnizschen Konvergenzkriteriums erfüllt.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 140: Leibniz-Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie auf Konvergenz bzw. Divergenz%
\[
\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\frac{\ln k}{k}\bigskip 
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 140}}\\
Wir zeigen das die Reihe eine Leibniz-Reihe ist.\\
\begin{description}
	\item[alternierend] offensichtlich
	\item[Beträge monoton fallend]
	\bea
	   \frac{\ln k}{k} > \frac{\ln (k+1)}{k+1} &\Leftrightarrow & (k+1)\,\ln k > k\,\ln (k+1)\\
	   &\Leftrightarrow & \ln k^{k+1} > \ln (k+1)^k\qquad\mbox{Potenzgesetze}\\ 
	   &\Leftrightarrow & k^{k+1} > (k+1)^k\qquad\mbox{Monotonie des Logarithmus}\\ 
	   	   &\Leftrightarrow & k > (1+\frac1{k})^k\qquad\mbox{Potenzgesetze}
	\eea 
	Da $(1+\frac1{k})^k$ monoton wachsend gegen $\e < 3$ konvergiert, ist die letzte Ungleichung für k>2 immer erfüllt.
	\item[Nullfolge] 
	\bea
	\lim_{k\rightarrow\infty}\ \frac1k \ln k &=& \lim_{k\rightarrow\infty}\ \ln \sqrt[k]{k}\\
	&=& \ln \left(\lim_{k\rightarrow\infty}\ \sqrt[k]{k}\right)\\
	&=& \ln 1 = 0.
	\eea
\end{description}

Damit ist gezeigt, dass es sich um eine Leibniz-Reihe handelt, die nach dem gleichnamigen Kriterium konvergiert.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 141: Monotonie erfoderlich
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz / Divergenz !
\[ \sum_{n=1}^\infty \,(-1)^{n-1}\,\frac{2}{(3+(-1)^n)\,n}.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 141}}\\

Mit 
\[ a_n = (-1)^{n-1}\,\frac{2}{(3+(-1)^n)\,n}\]
ist
\[a_n = \begin{cases} \frac{1}{n} & \text{ falls } n \text{ ungerade,} \\ -\frac{1}{2n} & \text{ falls } n \text{ gerade.}	
\end{cases}\]
Offensichtlich ist die Folge $\ser{a_n}$ alternierend und eine Nullfolge. Trotzdem kann man das Leibniz-Kriterium nicht anwenden, da dieses nur anwendbar ist, wenn die Folge der absoluten Beträge $\ser{\abs{a_n}}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

Wir fassen in der gegebenen Reihe jeweils zwei benachbarte Glieder zusammen. Dies ist immer erlaubt. Es bedeutet für die zugehörige Partialsummenfolge, dass man nur die Teilfolge mit geraden Indizes betrachtet. Konvergiert die ursprüngliche Reihe bzw. Partialsummenfolge, dann konvergiert die Teilfolge auch und zwar gegen denselben Grenzwert.

Divergiert aber bereits diese Teil-Patialsummenfolge, dann kann auch die ursprüngliche Partialsummenfolge nicht konvergieren.

Es ist
\bea
\sum_{n=1}^\infty \,(-1)^{n-1}\,\frac{2}{(3+(-1)^n)\,n} &=& \rkl{1-\frac{1}{4}} + \rkl{\frac{1}{3}-\frac{1}{8}} + \rkl{\frac{1}{5}-\frac{1}{12}} + \ldots\\
&=& \sum_{k=0}^\infty \,\rkl{\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4k}}\\
&=& \sum_{k=0}^\infty \,\frac{4k-2k-1}{4k(2k+1)} = \sum_{k=0}^\infty \,\frac{2k-1}{4k(2k+1)}\\
\eea
Nun ist für $k>1$ 
\[\frac{2k-1}{4k(2k+1)} > \frac{k}{4k(2k+1)} > \frac{k}{4k(3k)} = \frac{1}{12 k} >0\]
und deshalb divergiert die letzte Reihe nach Majorantenkriterium.

Damit divergiert aber auch die ursprüngliche Reihe.


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Potenzreihen }
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 142: Fast harmonische Reihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\{a_n\}_{n\geq 0}$ eine monoton fallende Nullfolge. Man zeige:\\

Die Summe
$$S=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$$ 
konvergiert für alle $z$ mit $|z|\leq 1$, mit Ausnahme von vielleicht $z=1$! 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 142}}\\
Wegen $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ ist sicher $a:=\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}\leq 1$, d.~h. der Konvergenzradius $r=\frac 1 a$ ist mindestens 1, also konvergiert $S$ wenigstens für $|z|<1$.\\

Sei nun $|z|=1$, dann ist für $k<m \in \N$
\bea
S_m &=& a_0 + a_1z + a_2 z^2 + \ldots + a_m z^m\\
z\,S_m &=&\qquad a_0 z + a_1 z^2 + \ldots a_{m-1} z^m + a_m z^{m+1}\\
(1-z)S_m &=& a_0 + (a_1-a_0)z + (a_2-a_1)z^2 + \ldots (a_m-a_{m-1})z^m - a_m z^{m+1}\\
(1-z)S_k &=& a_0 + (a_1-a_0)z + (a_2-a_1)z^2 + \ldots (a_k-a_{k-1})z^k - a_k z^{k+1}\\
(1-z)(S_m-S_k) &=& a_{k+1}z^{k+1} + (a_{k+2}-a_{k+1})z^{k+2} +  \ldots (a_m-a_{m-1})z^m - a_m z^{m+1},\\
\eea
also wegen der Monotonie von $\{a_n\}$
\bea
|1-z||S_m-S_k| &\leq& a_{k+1} + a_{k+1}-a_{k+2} +  \ldots a_{m-1}-a_m + a_m \quad\mbox{und, falls}\quad z\neq 1,\\
|S_m-S_k| &\leq&\frac2{|1-z|}\,a_{k+1}\\
\eea
Die Partialsummenfolge $\{S_n\}$ ist wegen $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ eine Cauchyfolge und damit auch konvergent.

\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 143: Identitätssatz  für Potenzreihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Die Potenzreihe $\displaystyle{P(z) :=\sum_{n=0}^\infty\, a_n z^n}$ habe einen positiven Konvergenzradius $\rho$. In
jedem Punkt des Konvergenzkreises gelte $P(z) = P(-z)$. Zeigen Sie, dass dann $a_n = 0$ für
alle ungeraden $n$ gilt.
\item Gibt es Potenzreihen $\displaystyle{P(z)=\sum_{k=1}^\infty\, a_k z^k}$ mit Konvergenzradius $\rho > 1$, die in den Punkten
$z = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ der Reihe nach die Werte
\[ \text{i) } \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots\quad\text{bzw.}\quad\text{ii) }   \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \ldots\]
annehmen?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 143}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wir verwenden den Identitätssatz für Potenzreihen in der folgenden Form:
	\begin{satz}Stimmen zwei Potenzreihen
	\[A(z)=\sum_{n=0}^\infty\, a_n z^n \quad\text{und}\quad B(z)=\sum_{n=0}^\infty\, b_n z^n\]
	in einer Umgebung von $z=0$ überein, dann gilt $a_n=b_n$ für alle $n \in \N_0$.
	\end{satz}
	
	Wegen 
	\[\sum_{n=0}^\infty\, a_n z^n = P(z) = P(-z) = \sum_{n=0}^\infty\, (-1)^n a_n z^n\]
	für alle $z$ mit $|z| <\rho$ folgt $a_n = (-1)^n a_n $ für alle $n \in \N_0$, insbesondere gilt für ungerade $n$ stets $a_n = -a_n$ bzw. $a_n=0$.
	\item Wir verwenden den Identitätssatz für Potenzreihen in der folgenden Form:
	\begin{satz}Stimmen zwei Potenzreihen
	\[A(z)=\sum_{k=0}^\infty\, a_k z^k \quad\text{und}\quad B(z)=\sum_{k=0}^\infty\, b_k z^k\]
	auf einer Nullfolge $\ser{z_n}, z_n\neq 0$ überein, dann gilt $a_k=b_k$ für alle $k \in \N_0$.
	\end{satz}
	\begin{enumerate}
		\item Es ist mit $z_n=\frac{1}{n}, n>1$ und der Summenformel der geometrischen Reihe
		\[\sum_{k=1}^\infty\, a_k z_n^k = P\rkl{\frac{1}{n}} = \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1-\frac{-1}{n}} = \sum_{k=1}^\infty\, (-z_n)^k = \sum_{k=1}^\infty\, (-1)^k z_n^k,\]
		also $P(z) = \frac{1}{1+z}$. Diese Potenzreihe hat aber bekanntlich den Konvergenzradius $\rho=1$ und man kann bereits $z_1=1$ dort nicht einsetzen. Es gibt also keine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius $>1$.
		\item Es ist für $z_n=\frac{1}{2n}$ stets $P(z_n) = z_n = \frac{1}{2n}$. Durch diese Festlegung ist die (triviale) Potenzreihe $P(z)=z$ nach dem angeführten Satz bereits eindeutig bestimmt. Die Vorgabe auf den ungeraden Stammbrüchen widerspricht dem, deshalb kann es keine solche Potenzreihe geben.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Konvergenzradius }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 144: fehlende Exponenten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der
Potenzreihe 
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{4^n}(z-5)^{2n+1}.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 144}}\\
1. Weg:\\

Schreibe die Potenzreihen als $\sum^\infty_{n=0}a_n(z-5)^n$ mit
\[
a_n =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{f"ur $n$ gerade} \\
2^{1-n} & \text{f"ur $n$ ungerade} 
\end{array}
\right.
\]
und benutze:
\[
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^{1-n}} =\frac1 2,
\]
also Konvergenzradius $2$. \\

2. Weg:\\

Benutze gleich das Quotientenkriterium mit $a_n = \frac{1}{4^n}(z-5)^{2n+1}$

$$\limsup_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\limsup_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{4^{n+1}}|z-5|^{2(n+1)+1}}{\frac{1}{4^n}|z-5|^{2n+1}} =\frac{|z-5|^2}{4}<1 \Leftrightarrow |z-5|<2,$$
d.~h. der Konvergenzradius ist $2$.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 145: Formel von Hadamar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe: 
$$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ 
mit den Koeffizienten $a_n = 3^n$  ($n$ gerade) und $a_n = 5^n$  ($n$ ungerade) in Abhängigkeit von der reellen Zahl $x$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 145}}\\
Es ist
$$ \sqrt[n]{a_n} = \left \{ \begin{array}{ccl} 3 & \mbox{falls} & n \mbox{ gerade}\\ 5 & \mbox{falls} & n \mbox{ ungerade}\\\end{array} \right .$$

Damit ist 

$$a= \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = 5$$

und der Konvergenzradius ist 

$$r = \frac1a = \frac15.$$




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 146: Formel von Hadamar II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe: 
$$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ 
mit den Koeffizienten $a_{2n} = 3^n$  und $a_{2n+1} = 5^n$  in Abhängigkeit von der reellen Zahl $x$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 146}}\\
Es ist
\bea
\sqrt[2n]{a_{2n}} =  \sqrt{3} &\quad \mbox{ falls }& n \mbox{ gerade}\\ 
\sqrt[2n+1]{a_{2n+1}} =(\sqrt{5})^{\frac{n}{n+1/2}} & \quad\mbox{falls} & n \mbox{ ungerade}\\
\eea

Damit ist 

$$a= \limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = \sqrt{5}$$

und der Konvergenzradius ist 

$$r = \frac1a = \frac1{\sqrt{5}}.$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 147: Konvergenzradiusbestimmung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen in Potenzen
von z:
\[\text{a) } \sum_{n=1}^\infty \, \frac{n^n}{n!}\, z^n,\ \text{b) } \sum_{n=1}^\infty \, \frac{(n!)^2}{(2n)!}\, z^n,\ \text{c) } \sum_{n=1}^\infty \, \frac{z^n}{\sqrt{n}^n},\ \text{d) } \sum_{n=0}^\infty \, \binom{n+a}{n}\, z^n,\ (a \in \C)\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 147}}\\
\begin{enumerate}
	\item Nach Quotientenkriterium ist 
	\[\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}  =  \abs{\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\,z^{n+1}}{\frac{n^{n}}{n!}\,z^n}}\ = \frac{(n+1)^{n+1}\cdot n!}{(n+1)!\cdot n^{n}}\,\abs{z} =  \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}\,\abs{z} = (1+\frac{1}{n})^{n}\,\abs{z} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} \e\,\abs{z} <1, \]
	genau dann, wenn $|z| < \frac{1}{\e}$, also ist der Konvergenzradius $\rho =\frac{1}{\e}$.
	\item Nach Quotientenkriterium ist 
	\[\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}  =  \abs{\frac{\frac{((n+1)!)^{2}}{(2(n+1))!}\,z^{n+1}}{\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,z^n}}
  =  \frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)\cdot(2n+2)}\,\abs{z} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} \frac{\abs{z}}{4} <1,\]
		genau dann, wenn $|z| < 4$, also ist der Konvergenzradius $\rho =4$.
\item Nach dem Wurzelkriterium ist 
\[
\sqrt[n]{|a_{n}|}=\sqrt[n]{\frac{|z|^n}{(\sqrt{n})^{n}}}=\frac{|z|}{\sqrt{n}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0,
\]
also ist der Konvergenzradius $\rho = \infty.$
\item Nach Quotientenkriterium ist 
	\[\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}  =  \abs{\frac{\binom{n+1+a}{n+1}\,z^{n+1}}{\binom{n+a}{n}\,z^n}} = \abs{\frac{n+1+a}{n+1}}\,\abs{z} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} \abs{z} <1,\]
	also ist der Konvergenzradius $\rho = 1.$

\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 148: Potenzfunktion vesus Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
\[\sum _{n=1 } ^{\infty } ( n^{2012} +  3^n )  z^n \]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 148}}\\
Setze $c_n := n^{2012} +  3^n $. 
Es gilt 
$$ 3\leq \sqrt[n]{|c_n|} = 3 \sqrt[n]{1+ 3^{-n} n^{2012} } \leq 3( 1+ 3^{-n} n^{2012}) .$$
Weil $\lim_{n\to \infty } 3^{-n} n^{2012} =0$ gilt, ist 
nach dem Dreifolgensatz (Polizistenregel) $\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{|c_n|} =3$. 
Also ist der Konvergenzradius 
der Reihe $1/3$.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 149: Quotientenkriterium versus Wurzelkriterium
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der
Potenzreihe 
$$\sum^\infty_{n=0}\ \left(1+(-1)^n+\frac1n\right)\,(z-z_0)^n.$$

Untersuchen Sie die Reihe
\ben
\item zunächst mit dem Quotientkriterium, 
\item dann mit dem Wurzelkriterium und 
\item benutzen Sie zuletzt die Formel für den Konvergenzradius.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 149}}\\
\begin{description}
	\item[Quotientenkriterium] Die Reihe $$\sum^\infty_{n=0}\ a_n\,(z-z_0)^n$$ konvergiert absolut, wenn 
	   $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\,|z-z_0| < 1$$
	   ist. Im konkreten Falle ist
	   $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{1+(-1)^{n+1}\frac1{n+1}}{1+(-1)^n+\frac1n}\right|=\left\{
	   \begin{array}{c} \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{(n+1)(2n+1)} = 0 \qquad\mbox{falls n gerade}\\ \\
	   \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{n(2n+3)}{n+1} = \infty \qquad\mbox{falls n ungerade}\\\end{array}\right. ,$$
	   d. h. mit dem Quotientenkriterium kann man das nicht entscheiden.
	\item[Wurzelkriterium] Die Reihe $$\sum^\infty_{n=0}\ a_n\,(z-z_0)^n$$ konvergiert absolut, wenn 
	   $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\,|z-z_0| < 1$$
	   ist. Im konkreten Falle ist
	   $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{1+(-1)^n+\frac1n}=\left\{
	   \begin{array}{c} \limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{2+\frac1n} = 1 \qquad\mbox{falls n gerade}\\
	   \limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\frac1n} = 1  \qquad\mbox{falls n ungerade}\\\end{array}\right.,$$
	   d. h. die Reihe konvergiert für $|z-z_0| < 1$. Der Konvergenzradius ist also 1.
	\item[Konvergenzradius] Aus der Formel
	   $$ r= \frac1{\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 
	   gewinnt man im konkreten Fall ähnlich wie beim Wurzelkriterium $r=1$.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 150: Satz von Cauchy-Hadamar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\rho$ > 0 der Konvergenzradius der Potenzreihe
\[S:=\sum_{n=0}^\infty a_n\,z^n.\]
Welchen Konvergenzradius haben dann die Potenzreihen
\[
S_1:=\sum_{n=0}^\infty a_n\,n!\,z^n,\ 
S_2:=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}\,z^n,\ 
S_3:=\sum_{n=0}^\infty a_n\,n^m\,z^n,\ 
S_4:=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n^m}\,z^n\ (m \in \N)?
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 150}}\\

\underline{Vorbemerkung:}
Es gilt die Ungleichung
\begin{equation}
	\liminf_{n\rightarrow\infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right | \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq \limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq
	\limsup_{n\rightarrow\infty}  \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right | .
\end{equation}
Zum Beweis siehe z. B. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, S. 181f.\\

Mit $a_n = \frac1{n!}$ folgt daraus leicht $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac1{\sqrt[n]{n!}}=0$ bzw. $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n!} = \infty$.\\

\underline{Sei $0 < \rho < \infty$:}
Dann ist
\bea
\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} &=& \frac1\rho,\\
\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n\,n!|} = \limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\,\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n!}  &=& \infty,\\
\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\frac{|a_n|}{n!}} =\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\, \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} &=& 0,\\
\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|n^m}=\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\ (\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n})^m&=&\frac1\rho\qquad\mbox{und}\\
\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\frac{|a_n|}{n^m}}=\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\ (\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n})^m} &=&\frac1\rho\\
\eea
Nach dem Satz von Cauchy-Hadamar ist der Konvergenzradius von $S_1$ also Null, der von $S_2$ ist Unendlich  und der von $S_3$ und $S_4$ ist ebenfalls $\rho$.\\

\underline{Sei nun $\rho = \infty$:}
Dann ist $\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} =0$ und ähnlich
wie oben folgt, dass die Konvergenzradien von $S_2,\ S_3$ und $S_4$ ebenfalls Unendlich sind. Der Konvergenzradius von $S_1$ kann allerdings nicht bestimmt werden, wie die Beispiele für Potenzreihen mit den Koeffizienten
$$a_n = \frac1{\sqrt{n!}}, \quad a_n = \frac1{n!}, \quad\mbox{und}\quad a_n = \frac1{(n!)^2}$$
zeigen. Alle drei Reihen haben den Konvergenzradius Unendlich. Die Reihen mit den Koeffizienten $a_n\,n!$ haben in dieser Reihenfolge die Konvergenzradien $0, 1$ und Unendlich.\\
Ähnliche Resultate würde man für $\rho=0$ erhalten, wobei die Unbestimmtheit bei $S_2$ auftritt.\\

\underline{Wichtige Bemerkung:}
Die Tatsache, dass die Reihe $S$ den Konvergenzradius $\rho$ hat, sagt gar nichts über die Konvergenz oder die Häufungswerte der Quotientenfolge $\left |\frac{a_{n+1}}{a_n}\right |$ aus. Die Folge muss weder konvergieren, noch muss deren oberer Limes etwas mit dem Konvergenzradius zu tun haben, wie folgendes Beispiel zeigt:\\

Welchen Konvergenzradius hat die Reihe 
$$\sum_{n=0}^\infty \left ( 2+(-1)^n) \right )^{-n+(-1)^n}\,z^n \quad?$$
$$\mbox{Mit}\quad a_n =\left ( 2+(-1)^n) \right )^{-n+(-1)^n}\quad\mbox{ist}\quad 
a_n = \left \{\begin{array}{ll} \frac1{3^{n-1}}&\quad\mbox{falls }n\mbox{ gerade}\\ \\ 1^{-n-1} = 1  &\quad\mbox{falls }n\mbox{ ungerade}\\\end{array} \right . $$
Daraus folgt
$$ \sqrt[n]{|a_n|} = \left \{\begin{array}{ll} \frac13\,\sqrt[n]{3}&\quad\mbox{falls }n\mbox{ gerade}\\\\1&\quad\mbox{falls }n\mbox{ ungerade}\\\end{array}\right . \quad\mbox{bzw.}\quad \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right |=\left \{\begin{array}{ll}3^{n-1}&\quad\mbox{falls }n\mbox{ gerade}\\ \\ \frac1{3^n}  &\quad\mbox{falls }n\mbox{ ungerade}\\\end{array} \right . $$
Es ist also
$$\liminf_{n\rightarrow\infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right | = 0 < \liminf_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac13 < \limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1 <
\limsup_{n\rightarrow\infty}  \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right | =\infty.$$

Nach dem Satz von Cauchy-Hadamar ist der Konvergenzradius 
$$\rho=\frac1{\limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}=1,$$
die anderen Werte haben mit dem Konvergenzradius nichts zu tun.\\

Umgekehrt könnte man natürlich aus der \underline{Existenz} des Grenzwertes 
$$\lim_{n\rightarrow\infty}  \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right |$$
den Konvergenzradius bestimmen, da dann alle vier Werte in Gleichung (1) gleich groß wären. Dies wird in der Literatur häufig als Satz von Euler bezeichnet. Zu Existenz dieses Grenzwertes ist aber in der Aufgabenstellung nichts gesagt.


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Quotientenkriterium }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 151: Konvergenzuntersuchung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die folgenden drei Reihen auf Konvergenz oder Divergenz
\[ \text{a) } \sum_{n=1}^\infty\,\frac{(n!)^2}{(2n)!},\quad\text{b) } \sum_{n=1}^\infty\,\frac{2^n\,n!}{n^n},\quad\text{c) } \sum_{n=1}^\infty\,\frac{3^n\,n!}{n^n} .\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 151}}\\
\begin{description}
	\item[a)] Nach Quotientenkriterium ist
	\[\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}  =  \frac{\frac{((n+1)!)^{2}}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}} = 
	\frac{(n+1)^{2}}{(2n+1)\cdot(2n+2)} \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4},\]
also konvergiert die Reihe.
\item[b), c)] Wir betrachten die etwas allgemeinere Aufgabenstellung:\\
Für welche $x \in \R$ konvergiert die Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty\,\frac{x^n\,n!}{n^n} ?\]
Nach Quotientkriterium ist
\[\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}  =  \frac{\frac{|x|^{n+1}\cdot(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{|x|^{n}\cdot n!}{n^{n}}}= \abs{x}\cdot\rkl{\frac{n}{n+1}}^{n} = \frac{|x|}{\rkl{1+\frac{1}{n}}^n} \overset{n \to \infty}{\longrightarrow }\frac{|x|}{e}\]
und die Reihe konvergiert für $|x|<\e$ und sie divergiert für $|x|>\e$. Für $|x|=\e$ ist mit der Grenzwertform des Quotienten-Kriterium keine Aussage möglich. Allerdings wissen wir, dass die Folge
\[ \ser{\rkl{1+\frac{1}{n}}^n}\]
von unten monoton wachsend gegen $\e$ konvergiert. Damit sind die Quotienten
\[\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}  =  = \frac{\e}{\rkl{1+\frac{1}{n}}^n} > 1\]
und nach dem eigentlichen Quotientenkriterium divergiert die Reihe für $|x|=\e$.
Somit haben wir gezeigt, dass die Reihe in b) konvergiert und die in c) divergiert. 
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Vergleichskriterium }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 152: Reihen mit der Eulerschen Zahl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Konvergenz der folegnden Reihen
\[\text{a)}\quad\sum_{n=1}^\infty\,\rkl{\e-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n}\quad\text{b)}\quad\sum_{n=1}^\infty\,\rkl{\e-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n}^2\]
\tip{Vergleichskriterium}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 152}}\\
\begin{enumerate}
	\item \underline{Wir wissen:} Die Folge $a_n=\rkl{1+\frac{1}{n}}^n$ konvergieret monoton wachsend gegen $\e$. Daher ist für alle $n\in \N$
	\[\e > \rkl{1+\frac{1}{2n}}^{2n} > \rkl{1+\frac{1}{n}}^n,\]
	woraus
	\bea
	\e-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n &>& \rkl{1+\frac{1}{2n}}^{2n}-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n\\
	&=&\rkl{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}}^n\rkl{1+\frac{1}{n}}^n\\
	&=&\rkl{1+\frac{1}{n}}^n\,\rkl{\rkl{1+\frac{n}{(n+1)4n^2}}^n-1}\\
	&\overset{\text{Bernoulli-Ungleichung}}{\geq}&\rkl{1+\frac{1}{n}}^n\,\rkl{1+\frac{1}{4(n+1)}-1}\\
	&=&\rkl{1+\frac{1}{n}}^n\,\frac{1}{4(n+1)}>\frac{1}{2(n+1)}
	\eea
	folgt, also ist $\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n+1}}$ eine divergente Minorante zu der gegebenen Reihe.
	\item \underline{Wir wissen:} Die Folge $b_n=\rkl{1+\frac{1}{n}}^{n+1}$ konvergiert 
	monoton fallend gegen $\e$. Daher ist
	\bea
	\rkl{\e-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n}^2 &\leq& \rkl{\rkl{1+\frac{1}{n}}^{n+1}-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n}^2\\
	&=&\rkl{\rkl{1+\frac{1}{n}}^n\rkl{1+\frac{1}{n}-1}}^2\leq \frac{\e^2}{n^2},
	\eea
	also ist $\displaystyle{\e^2\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2}}$ eine konvergente Majorante zu der gegebenen Reihe.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 153: gebrochen rationale Summanden
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a, b$ beliebige positive (reelle) Zahlen. Für welche (rationalen) Werte von $s, t$ konvergiert die unendliche Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{a + n^s}{b + n^t}\ ?\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 153}}\\
Für $t\leq 0$ wäre wegen
\[\frac{a + n^s}{b + n^t} > \frac{a}{b + n^t} \geq \frac{a}{b+1}>0  \]
das notwendige Kriterium verletzt, also muss $t>0$ sein.
\begin{description}
	\item[Fall $s\leq 0$:] Dann ist für $n>b^{-t}$
	\[\frac{a}{2 n^t} < \frac{a }{b + n^t} < \frac{a + n^s}{b + n^t} <\frac{a + 1}{b + n^t} < \frac{a + 1}{n^t}\]
	Da die Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{a}{2 n^t} = \frac{a}{2}\,\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n^t}\]
für $t\leq 1$ divergiert und die Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{a + 1}{n^t} = (a+1)\,\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n^t}\]
für $t>1$ konvergiert, konvergiert die Ausgangsreihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{a + n^s}{b + n^t}\]
nach Minoranten- bzw. Majorantenkriterium genau dann, wenn $t>1$ ist.
	\item[Fall $s> 0$:] Dann ist für $n>\max\set{b^{-t},a^{-s}}$
	\[\frac{1}{2 n^{t-s}} =\frac{n^s}{2 n^t} <\frac{n^s }{b + n^t} < \frac{a + n^s}{b + n^t} <\frac{2 n^s}{b + n^t} < \frac{2 n^s}{n^t} =  \frac{2}{n^{t-s}}\]
	Da die Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{2 n^{t-s}} = \frac{1}{2}\,\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n^{t-s}}\]
für $t-s\leq 1$ divergiert und die Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{2}{n^{t-s}} = 2\,\sum_{n=1}^\infty \, \frac{1}{n^{t-s}}\]
für $t-s>1$ konvergiert, konvergiert die Ausgangsreihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{a + n^s}{b + n^t}\]
nach Minoranten- bzw. Majorantenkriterium genau dann, wenn $t>1+s$ ist.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ weitere Summationsverfahren }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 154: Partielle Summation
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Manchmal kann man die sogenannte partielle Summation für Konvergenzuntersuchungen von unendlichen Reihen benutzen: Sind $a_1, \ldots, a_n,\  b_1, \dots, b_n \in \C$ und ist
$\displaystyle{A_m := \sum_{k=1}^m\, a_k,\ m = 1,\ldots. n}$, dann gilt
\[\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\,A_{k}(b_{k}-b_{k+1}).\]
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie diese Formel.
	\item Zeigen Sie damit: Hat die reelle, unendliche Reihe $\sum_{n=1}^\infty\, a_n$ beschränkte Partialsummen und ist die reelle Folge $\ser{b_n}$ eine monotone Nullfolge, dann konvergiert die Reihe
$\sum_{n=1}^\infty\, a_n b_n$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 154}}\\
\begin{enumerate}
	\item Vertauschung der Summationsreihenfolge gemäß des folgenden Schemas
	\[
	\begin{array}{c|ccccc}
	_k\ ^l & 1 & 2 & 3 &\ldots & n-1\\ 
	\hline
	1 & \bullet & &&&\\
	2 & \bullet & \bullet &&&\\
	3 & \bullet & \bullet & \bullet &&\\
	\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \ddots &\\
	n-1 & \bullet & \bullet & \ldots &\bullet & \bullet \\
	\end{array}
	\]
	ergibt auf der rechten Seite der Behauptung
	\bea
	A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\,A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) &=& \sum_{l=1}^n\, a_l\,b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\,\sum_{l=1}^k\, a_l\,(b_{k}-b_{k+1})\\	
	&=& \sum_{l=1}^n\, a_l\,b_{n}+\sum_{l=1}^{n-1}\,\sum_{k=l}^{n-1}\, a_l\,(b_{k}-b_{k+1})\\	
	&=& \sum_{l=1}^n\, a_l\,b_{n}+\sum_{l=1}^{n-1}\,a_l\,\sum_{k=l}^{n-1}\,(b_{k}-b_{k+1}) \ | \text{Teleskopsumme}\\	
	&=& \sum_{l=1}^n\, a_l\,b_{n}+\sum_{l=1}^{n-1}\,a_l\,(b_{l}-b_{n}) \\	
	&=& \sum_{l=1}^n\, a_l\,b_{n}-\sum_{l=1}^{n-1}\,a_l\,b_{n} + \sum_{l=1}^{n-1}\,a_l\,b_{l}\\	
	&=& \sum_{l=1}^{n}\,a_l\,b_{l}.
	\eea
	Das ist -- bis auf den Namen des Summationsindexes -- die linke Seite der Behauptung.
	
	\item Sei $\displaystyle{s_n=\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}b_{k}}$ die Partialsummenfolge der zu untersuchenden Reihe und ist $\abs{A_m} \leq C$ für alle $m \in \N$, dann folgt wieder unter Benutzung der Teleskopsummeneigenschaft für eine monoton fallende -- also positive -- Nullfolge $\ser{b_n}$ für $n>m$
	\[\abs{s_n-s_m} = \abs{\sum_{k=m+1}^{n}\,a_{k}b_{k}}\leq C\,(b_m-b_{n})+\sum_{k=m}^{n-1}\,C\,(b_{k}-b_{k+1}) = 2\,C\,(b_m-b_n).\]
	Aus der Cauchy-Folgen-Eigenschaft von $\ser{b_n}$ folgt also dann die von $\ser{s_n}$, d.~h. die Reihe konvergiert. \\
	
	Für eine monoton steigende -- also negative -- Nullfolge $\ser{b_n}$ ist der Beweis analog.\\

\underline{Bemerkung:} Mit $a_n= (-1)^n$, $\ser{b_n}$ monoton fallende Nullfolge, erhalten wir einen weiteren Beweis des Leibniz-Kriteriums.
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Ungleichungen }
\section{ Bernoulli-Ungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 155: Bernoulli-Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a\in \mathbb{R} $, $a\not= 0$, $a\not=1 $, und $x\geq -1 $. 
Benutzen Sie den Mittelwertsatz um die folgenden Ungleichungen zu zeigen: 
\begin{eqnarray*}
 & & (1 + x)^a \leq 1+ax \quad \mbox{wenn }\ 0<a<1\\   
 & & (1 + x)^a \geq 1+ax \quad \mbox{wenn  }\ a<0 \ \mbox{ oder } \ a>1.
\end{eqnarray*}  

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 155}}\\

Für $x=0$ tritt in beiden Ungleichungen offensichtlich Gleichheit ein.\\
sei nun $x\neq 0$. Wir wenden auf die Funktion $f(x)= (1+x)^a$ im Intervall $[0,x]$ den Mittelwertsatz an, dann gilt zunächst
\[ \frac{(1+x)^a - 1}{x -0} = a (1+\xi)^{a-1} , \quad \xi \in (0,x),\qquad \text{(M)}\]
\begin{description}
	\item[Fall 1 $0<a<1$:] Dann ist $1-a>0$ und aus (M) folgt 
\[ \frac{(1+x)^a - 1}{x} =  \begin{cases} \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \leq a & \text{ falls } x>0 \\ \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \geq a & \text{ falls } x<0 
\end{cases} , \quad \text{also}\quad (1 + x)^a \leq 1+ax \]
	\item[Fall 2 $a>1$:] Dann ist $a-1>0$ und aus (M) folgt 
\[  \begin{cases} \frac{(1+x)^a - 1}{x} \geq a & \text{ falls } x>0 \\ \frac{(1+x)^a - 1}{x} \leq a & \text{ falls } x<0 
\end{cases} , \quad \text{also}\quad (1 + x)^a \geq 1+ax \]
	\item[Fall 3 $a<0$:] Dann ist (wie im Fall~1)\  $1-a>0$, aber wegen $a< 0$ führen die Abschätzungen aus Fall~1 gerade auf die entgegengesetzten Ordnungsrelationen, also 
\[ \frac{(1+x)^a - 1}{x} =  \begin{cases} \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \geq a & \text{ falls } x>0 \\ \frac{a}{(1+\xi)^{1-a}} \leq a & \text{ falls } x<0 
\end{cases} , \quad \text{also}\quad (1 + x)^a \geq 1+ax \]
\end{description}

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 156: Bernoulli-Ungleichung für rationale Exponenten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die folgenden beiden Varianten der Bernoullischen Ungleichung.
Dazu sei $x > -1$ eine reelle Zahl und $a$ eine rationale Zahl.
\begin{enumerate}
	\item Es gilt $(1 + x)^a \geq 1 + a x$ für $a \geq 1$.
	\item Es gilt $(1 + x)^a \leq 1 + a x$ für $0 < a < 1$.
\end{enumerate}

Hinweis: Benutzen Sie den Satz über das geometrische und das arithmetische Mittel.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 156}}\\
\begin{enumerate}
	\item[b)] Es sei $a = \frac{m}{n}$ mit $m,n \in \N$, $1\leq m <m \geq n$. Dann ist wegen $x> -1$ auch $1+x>0$ und wir dürfen den Satz über das geometrische und arithmetische Mittel wie folgt anwenden.
	\[ (1+x)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(1+x)^m \cdot 1^{n-m}} \leq \frac{1}{n}\rkl{m(1+x) +n-m} = 1+ \frac{m}{n}x.\]
	Dabei stehen unter der $n$-ten Wurzel $m$ Mal der Faktor $(1+x)$ und $n-m$ mal der Faktor 1, also insgesamt $n$ positive Faktoren, so dass wir den Satz anwenden können. Damit ist die Aussage b) bewiesen.
	\item[a)] Es sei nun $a = \frac{m}{n}$ mit $m,n \in \N$, $m \geq n$. Dann gilt wegen $x> -1$ und der bereits bewiesenen Aussage b) (Beachte $m \geq n$!)
	\[ \rkl{1+\frac{m}{n} x}^{\frac{n}{m}} \leq 1+ \frac{n}{m} \rkl{\frac{m}{n} x} = 1+x,\]
	woraus die zu beweisende Aussage durch Potenzieren folgt.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Cauchy-Schwarzsche Ungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 157: Disjunkte Kreise
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x, y$ reelle Zahlen, für die
\[ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 4\]
gilt. Zeigen Sie:
\[x^2 + y^2 > 36. \]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 157}}\\
\begin{description}
	\item[analytische Lösung:] Aus
	\[ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = x^2 - 10 x +25 + y^2 -14 y +49 =4\]
	erhält man unter Benutzung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
	\[
	0 < x^2+ y^2 + 70 &= 10 x + 14 y = |10 x + 14 y| \leq \sqrt{x^2+y^2} \sqrt{100 + 196} = 2\sqrt{74} \sqrt{x^2+y^2}.
	\] 
	Die Ersetzung $z=\sqrt{x^2+y^2}$ führt auf die quadratische Ungleichung
	\[ z^2 - 2\sqrt{74}z +74 = \rkl{z - \sqrt{74}}^2 \leq 4 \]
	bzw.
	\[ \abs{z - \sqrt{74}} \leq 2 \quad\text{oder}\quad 0<\sqrt{74}}-2 \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt{74}}+2.\]
	Quadriert man den linken Teil der letzten Ungleichung, so erhält man
	\[x^2+y^2 \geq 78-4\sqrt{74} > 78 - 4 \sqrt{81} = 42 > 36.\]
	\endproof
\item[geometrische Lösung:] Die erste Gleichung stellt die Kreislinie vom Radius 2 um den Mittelpunkt $(5,7)$, der sich $\sqrt{74} > 8$ Einheiten vom Koordinatenursprung entfernt befindet, dar. Damit befinden sich alle Punkte der Kreislinie außerhalb eines Kreises vom Radius 6 um den Koordinatenursprungs. Nichts anderes behauptet die zu zeigende Ungleichung.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 158: Gegebene Summe und Quadratsumme
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei
\bea
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=&10\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2&=&25\\
\eea
Zeigen Sie, dass dann $0\leq x_i\leq 4,\ i=1,\ldots,5$ gilt.

In welchen Fällen können dabei Gleichheitszeichen auftreten?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 158}}\\
\begin{description}
	\item[1. Lösung:] Nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist
\begin{equation}
	10-x_5 = \sum_{i=1}^4 x_i\leq \abs{\sum_{i=1}^4 x_i \cdot 1} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^4 x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^4 1^2} = 2\,\sqrt{25-x_5^2},
\end{equation}
wobei das erste (linke) $\leq$-Zeichen genau dann zum Gleichheitszeichen wird, wenn die Summe links davon nichtnegativ ist. Das zweite (rechte), auf der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beruhende $\leq$-Zeichen wird genau dann zum Gleichheitszeichen, wenn alle Summanden gleich, d.~h. wenn die Vektoren $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ und $(1, 1, 1, 1)$ im $\R^4$ linear abhängig sind.
Aus den beiden Enden der Ungleichheitskette erhält man nun 
\[10 - x_5 \leq} 2\,\sqrt{25-x_5^2} \quad\text{bzw.}\quad 100-20\,x_5+x_5^2 \leq 4\rkl{25-x_5^2},\]
also
\[  5\,x_5\,(x_5-4) = 5\,x_5^2-20\,x_5 \leq 0,\]
was nur für $x_5 - 4 \leq 0 \leq x_5$ möglich ist. Aus der letzten Ungleichung folgt das Gewünschte für $x_5$. Da aber alle Variablen gleichberechtigt sind, kann man diese Rechnung ebensogut für $x_1,\ldots,x_4$ nachvollziehen. Damit ist dann auch klar, dass das linke Ungleichheitszeichen in (1) ein Gleichheitszeichen ist. Tritt auch beim rechten Ungleichheitszeichen Gleichheit auf, dann ist also z.~B. $x_5=0$ oder $x_5=4$ und $x_1=x_2=x_3=x_4$, d.~h. man erhält die Gleichungen
\begin{align*}
10 &=4\,x_1+x_5 &\\ 
25 &= 4\,x_1^2+x_5^2 ,\\
\end{align*} 
die im Falle $x_5=0$ auf $x_1=5/2$ und im Falle $x_5=4$ auf $x_1=3/2$ führen.\\

Da alle Variablen gleichberechtigt sind, tritt Gleichheit genau dann auf, wenn einer der Werte die Grenze 0 oder 4 annimmt und die anderen vier Werte jeweils gleich $5/2$ bzw. gleich $3/2$ sind.

\item[2. Lösung] Wir schreiben die Aufgabe etwas um, indem wir $a_i=x_i-2,\, i=1,2,3,4,5$ setzen. Wegen
\bea
a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 &= (x_1-2)^2+(x_2-2)^2+(x_3-2)^2+(x_4-2)^2+(x_5-2)^2 \\
&= x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2 -4 (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) +20\\
 &= 25-40+20 = 5
\eea
 lautet die Aufgabe:
"`Aus $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ und $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=5$ folgt $|a_i|\leq 2, i=1,2,3,4,5$"'.

Sei nun o. B. d. A. $|a_5|>2$. Da mit jedem Lösungstupel $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ auch das Tupel $(-a_1,-a_2,-a_3,-a_4,-a_5)$ Löung ist, dürfen wir $a_5<-2$ annehmen, also ist
\[ a_1+a_2+a_3+a_4 > 2 \quad\text{und}\quad a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2<5-4=1.\]
Das ist aber ein Widerspruch zur Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, nach der
\[4<(a_1+a_2+a_3+a_4)^2 = (a_1\cdot 1+a_2\cdot 1+a_3\cdot 1+a_4\cdot 1)^2 \leq  (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(1^2+1^2+1^2+1^2) <4\]
sein müsste.\\

Bezüglich der Gleichheitszeichen kann man ähnlich argumentieren wie in Lösung 1. Aus $a_1=a_2=a_3=a_4$ folgt $\abs{a_1}=\frac{1}{2}$ und $a_5=2$, was wieder zu den oben berechneten Lösungen führt.
\end{description}
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 159: Lagrangesche Identität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $n \in \N$ und $z_k, w_k \in \C, k = 1, \ldots, n$. Beweisen Sie die sogenannte
\textsc{Lagrange}sche Identität
\[ \abs{\sum_{k=1}^n \, z_k w_k }^2 = \sum_{k=1}^n \abs{z_k}^2 \, \sum_{k=1}^n \abs{w_k}^2 - \sum_{1\leq l<k \leq n}\,\abs{z_l \bar{w}_k  - z_k \bar{w}_l}^2\]
und daraus folgend die \textsc{Cauchy-Schwarz}sche Ungleichung für komplexe Zahlen 
\[ \abs{\sum_{k=1}^n \, z_k w_k }^2 \leq  \sum_{k=1}^n \abs{z_k}^2 \, \sum_{k=1}^n \abs{w_k}^2 .\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 159}}\\
Es ist
\bea
\sum_{k=1}^n\, \abs{z_k}^2 \, \sum_{k=1}^n\, \abs{w_k}^2- \abs{\sum_{k=1}^n\, z_k w_k }^2  &=& \rkl{\sum_{l=1}^n z_l \bar{z}_l} \, \rkl{\sum_{k=1}^n w_k \bar{w}_k - \rkl{\sum_{l=1}^n\, z_l w_l } \rkl{\sum_{k=1}^n\, \bar{z}_k \bar{w}_k }} \\ 
 &=& \sum_{l=1}^n\, \sum_{k=1}^n\, z_l \bar{z}_l \,  w_k \bar{w}_k - \sum_{l=1}^n\,\sum_{k=1}^n\, z_l w_l  \bar{z}_k \bar{w}_k \\
 &=& \sum_{l=1}^n\, \sum_{k=1}^n\,\rkl{ z_l \bar{z}_l \,  w_k \bar{w}_k - z_l w_l  \bar{z}_k \bar{w}_k }.
\eea
Andererseits ist aber 
\bea
\sum_{1\leq l<k \leq n}\,\abs{z_l \bar{w}_k  - z_k \bar{w}_l}^2 &=& \sum_{1\leq l<k \leq n}\,\rkl{z_l \bar{w}_k  - z_k \bar{w}_l}\,\rkl{\bar{z}_l w_k  - \bar{z}_k w_l}\\
&=& \sum_{1\leq l<k \leq n}\,\rkl{z_l \bar{z}_l w_k \bar{w}_k  - z_k \bar{z}_l w_k \bar{w}_l - z_l \bar{z}_k w_l \bar{w}_k  + z_k \bar{z}_k w_l \bar{w}_l}\\
&=& \sum_{\overset{l,k=1}{l \neq k}}^n\,\rkl{z_l w_k \bar{z}_l \bar{w}_k  - z_k \bar{z}_l w_k \bar{w}_l}\\
&=& \sum_{l=1}^n\,\sum_{k=1}^n\,\rkl{z_l w_k \bar{z}_l \bar{w}_k  - z_k \bar{z}_l w_k \bar{w}_l}\\
\eea
Im ersten Summanden in der Klammer der drittletzten Zeile sind die Indizes bei den $z$-Variablen kleiner als bei den $w$-Variablen. Im vierten Summanden ist es umgekehrt. Entsprechendes gilt für den zweiten und dritten Summanden, Deshalb kann man die Ordnungsbedingung zunächst durch die Bedingung $l \neq k$ ersetzen. Für $l=k$ ergeben die vier Summanden in den Klammern aber ohnehin Null, deshalb darf man diese Summanden ungestraft hinzufügen. Damit erhalten wir für beide Ausdrücke dasselbe Ergebnis, d.~h. es gilt
\[\sum_{k=1}^n\, \abs{z_k}^2 \, \sum_{k=1}^n\, \abs{w_k}^2- \abs{\sum_{k=1}^n\, z_k w_k }^2 = \sum_{1\leq l<k \leq n}\,\abs{z_l \bar{w}_k  - z_k \bar{w}_l}^2  ,\]
woraus die zu zeigende Identität durch Umstellung folgt. 

Lässt man nun auf der rechten Seite den nicht negativen Subtrahenden weg, so vergrößert man den Ausdruck höchstens und man erhält unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.                                 
% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Dreiecksungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 160: Abschätzung zusammengesetzter Größen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a,b\in \R$, so dass $|a+1| \leq 10^{-2} $ und  $|b-5|\leq 3\cdot 10^{-2} $.\\

Schätze die Größen $|a+b -4|$,\  $|ab^2 +25|$,\ $ |(b/a ) +5| $ und $|a\sqrt{b} +\sqrt{5} |$ ab. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 160}}\\
Es ist nützlich, $\Delta a:= a+1$ und $\Delta b := b-5$ zu setzen. 
Dann folgt mittels der Dreiecksungleichung sowie der Dreiecksungleichung von unten:
\begin{eqnarray*} 
 |a+b-4| & = & |a+1+b-5| = |\Delta a + \Delta b |
\\
 & \leq & |\Delta a| + | \Delta b | 
\\
 & \leq & 10^{-2} + 3\cdot 10 ^{-2} = 0,04.
\\
|ab^2 +25 | & = & | (\Delta a -1) (\Delta b + 5) ^2  + 25 | 
\\
 & = & | 25 \Delta a -10 \Delta b +  10 \Delta a \Delta b - (\Delta b) ^2 + \Delta a (\Delta b)^2 | \\
 & \leq & 25 |\Delta a| +10 |\Delta b| + 10 |\Delta a| | \Delta b | + (\Delta b) ^2 + |\Delta a|  (\Delta b)^2 
\\
 & \leq & 25 \cdot 10 ^{-2} + 30 \cdot 10 ^{-2} + 30 \cdot 10 ^{-4 } + 9 \cdot 10 ^{-4} + 9 \cdot 10 ^{-6} = 0, 553909.
\\
\left| \frac{b}{a}  +5 \right| & = & \left| \frac{5+\Delta b}{-1+\Delta a } + 5\right| =     
\left| \frac{\Delta b - 5\Delta a  }{-1+\Delta a } \right|
\\
 & \leq & \frac{ | \Delta b| + 5 |\Delta a | }{|1-|\Delta a || } 
\\
 & \leq & \frac{3 \cdot 10 ^{-2} + 5 \cdot 10 ^{-2} }{ 0, 99} = \frac{8}{99} = 0, \overline{08} .
\end{eqnarray*}
Weil 
$$
\sqrt{5} -\sqrt{ 5+\Delta b} = \frac{-\Delta b}{ \sqrt{5} + \sqrt{5 + \Delta b } } $$
gilt, folgt weiterhin:
\begin{eqnarray*}
|a\sqrt{b} + \sqrt{5} | & = & | (-1 + \Delta a ) \sqrt{5 +\Delta b } + \sqrt{5} | 
\\
 & \leq & |\Delta a | \sqrt{5+\Delta b } + |\sqrt{5} - \sqrt{5+\Delta b } | 
\\
 & = &  |\Delta a | \sqrt{5+\Delta b } + 
\left| \frac{-\Delta b}{ \sqrt{5} + \sqrt{5+ \Delta b }} 
\right|
\\
 &  \leq & |\Delta a | \sqrt{5+ |\Delta b|  } + 
 \frac{|\Delta b |}{ \sqrt{5} + \sqrt{5-|\Delta b | }} 
\\
 & \leq & 10^{-2} \sqrt{5 + 3 \cdot 10^{-2} } + \frac{3 \cdot 10 ^{-2}}{ \sqrt{5 } + \sqrt{5 -3 \cdot 10 ^{-2}}}  
\\
 & \leq & 0.091 .
\end{eqnarray*}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 161: Abschätzung nach der Dreiecksungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a, b \in \R$ gegeben mit
$\abs{a - 3} \leq 3 \cdot 10^{-3},\ \abs{b + 2} \leq 2 \cdot 10^{-3}$.\\
Schätzen Sie die folgenden Ausdrücke ab:
\[ a) \abs{a + b - 1},\ b) \abs{ab + 6},\ c) \abs{a^2b + 18},\ d) \abs{\frac{a}{b} +
\frac{3}{2}},\ e) \abs{\sqrt{a} - \sqrt{3}}.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 161}}\\

Es ist nützlich die Größen $\Delta a = a-3$ und $\Delta b = b+2$ einzuführen, dann ist $a=\Delta a +3$ und $b=\Delta b - 2$. 
\begin{enumerate}
	\item $\abs{a + b - 1} = \abs{\Delta a + 3 + \Delta b - 2 - 1} = \abs{\Delta a + \Delta b} \leq = \abs{\Delta a} + \abs{\Delta b} \leq 5\cdot 10^{-3}.$
	\item $\abs{ab + 6} = \abs{(\Delta a +3)(\Delta b -2) + 6} =  \abs{\Delta a \Delta b + 3\Delta b -2\Delta a} \leq \abs{\Delta a}\abs{\Delta b} + 3\abs{\Delta b} + 2\abs{\Delta a} \leq 12\cdot 10^{-3} +6\cdot 10^{-6}.$
	\item $\abs{a^2b + 18} = \abs{(\Delta a + 3)^2(\Delta b - 2) + 18} = \abs{(\Delta a)^2\Delta b + 6 \Delta a \Delta b - 2 (\Delta a)^2 - 12 \Delta a \Delta b+ 9 \Delta b} \leq (\Delta a)^2\abs{\Delta b} + 6 \abs{\Delta a} \abs{\Delta b} + 2 (\Delta a)^2 + 12 \abs{\Delta a} \abs{\Delta b}+ 9 \abs{\Delta b}
	\leq 18\cdot 10^{-3} + 126 \cdot 10^{-6} + 18 \cdot 10^{-9}$
	\item $\displaystyle{\abs{\frac{a}{b} +
\frac{3}{2}} = \abs{\frac{2(\Delta a +3) +3(\Delta b -2)}{2(\Delta b -2)}} = \abs{\frac{2\Delta a + 3\Delta b}{4-2\Delta b}} \leq \frac{2\abs{\Delta a}+3\abs{\Delta b}}{4-2\,\abs{\Delta b}}} \leq \frac{12\cdot 10^{-3}}{4-4\cdot 10^{-3}}$.
\item $\displaystyle{\abs{\sqrt{a} - \sqrt{3}} = \abs{\sqrt{3+\Delta a} - \sqrt{3}} = \abs{\frac{\Delta a}{\sqrt{\Delta a +3} + \sqrt{3}}} \leq \frac{\abs{\Delta a}}{\sqrt{3} + \sqrt{3-\abs{\Delta a}}} \leq \frac{ 3 \cdot 10^{-3}}{\sqrt{3} + \sqrt{3-3 \cdot 10^{-3}}}} = \displaystyle{\frac{ \sqrt{3} \cdot 10^{-3}}{1 + \sqrt{1- 10^{-3}}}}$.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 162: Stetigkeit der Wurzelfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie die folgende Ungleichung
	\[ a,b\geq 0 \Longrightarrow \abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\qquad \text{(W)}\]
  \item Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ im ihrem Definitionsbereich stetig ist.
	\item Ist $f$ in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 162}}\\
\begin{enumerate}
	\item Offensichtlich gilt für nicht negative $a, b$
	\[\abs{a\pm b } \leq a +b \leq a + 2\sqrt{a b} + b = \rkl{\sqrt{a} + \sqrt{b}}^2 \Longrightarrow \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\]
	Damit ist der rechte Teil der Ungleichung bewiesen. Diesen benutzen wir im Folgenden. Es ist im Falle $a\geq b$
	\[\sqrt{a} = \sqrt{a-b +b} \leq \sqrt{a-b} + \sqrt{b} \Longrightarrow \sqrt{a} -\sqrt{b} \leq \sqrt{a-b},\]
	anderenfalls gilt 
	\[\sqrt{b} = \sqrt{b-a +a} \leq \sqrt{b-a} + \sqrt{b} \Longrightarrow \sqrt{b} -\sqrt{a} \leq \sqrt{b-a}.\]
	Beide Ungleichungen zusammen ergeben zunächst 
	\[\abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a-b}}}\]
und weiter unter Beachtung von $\sqrt{|a-b|} \leq \sqrt{a+b} = \sqrt{|a+b|}$ den linken Teil der Ungleichung (W).
	\item Die Funktion $f$ ist auf $[0,\infty)$ definiert. Sei nun $0<x_0\in (0,\infty)$ und $\ve>0$ vorgegeben. Wähle nun $\delta<\min\set{x_2/2, \ve^2} $, dann gilt nach a) für $|x-x_0|<\delta$
	\[ \abs{\sqrt{x} -\sqrt{x_0}} \leq \sqrt{\abs{x-x_0}} < \sqrt{\delta} \leq \sqrt{\ve^2} = \ve.\]
Ist $x_0=0$, dann kann man nur eine rechtsseitige $\delta$-Umgebung mit $\delta < \ve^2$ wählen, aber ansonsten die gleiche Abschätzung verwenden. $f$ ist in $x_0=0$ also nur rechtsseitig stetig.
	\item Auf jedem abgeschlossenen Intervall $[0,a]$ ist $f$ nach dem Satz über die gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig. Wir wählen $a=1$ und betrachten $f$ auf $[1,\infty)$, dann ist für $x_1, x_2 \in [1,\infty)$
	\[\abs{f(x_1)-f(x_2)} = \abs{\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}} = \frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} \leq \frac{|x_1-x_2|}{2 \sqrt{1}} =\frac{1}{2} |x_1-x_2|.\]
	Man kann nun zu gegebenen $\ve>0$ eine gemeinsames $\delta=2\ve$ finden, so dass die Stetigkeitsdefinition (für $x_1$ bzw. $x_2$) erfüllt ist, also ist $f$ auf $[0,1]$ und auch auf $[1,\infty)$ jeweils gleichmäßig stetig und damit auf dem gesamten Definitionsbereich.
	
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Mittelungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 163: Zyklisches Produkt
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben seinen $n$ positive reelle Zahlen $x_1,\ldots,x_n$.
\begin{enumerate}
	\item Sei $y_1,\ldots,y_n$ eine beliebige Umordnung der Zahlen $x_1,\ldots,x_n$. Man beweise
	\[\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{y_k}\geq n.\]
	\item Sei $x_{k+1}:=x_1$ gesetzt. Man beweise
	\[\sum_{k=1}^n \frac{x_{k+1}}{x_k}\leq \sum_{k=1}^n \rkl{\frac{x_k}{x_{k+1}}}^n.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 163}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist nach der Ungleichung über das geometrische und arithmetische Mittel
	\[1=\sqrt{\prod_{k=1}^n\frac{x_k}{y_k}}\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{y_k},\]
	woraus sofort die Behauptung folgt.
	\item Es ist
\[ 
1= 
\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^n\left(\frac{x_3}{x_2}\right)^n\cdots
\left(\frac{x_n}{x_{n-1}}\right)^n\left(\frac{x_1}{x_n}\right)^n
\]
und deshalb wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel:
\[
1\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{x_k}{x_{k+1}}\right)^n.
\]
Ferner gilt ähnlich für $i=1,\ldots,n$
\[
\frac{x_{i+1}}{x_i} =\sqrt[n]{\prod_{\overset{k=1}{k\neq i}}^n
\left(\frac{x_k}{x_{k+1}}\right)^n\cdot 1 } 
\leq \frac{1}{n}\rkl{\sum_{\overset{k=1}{k\neq i}}^n
\left(\frac{x_k}{x_{k+1}}\right)^n
 + 1}=\frac{1}{n}\sum_{\overset{k=1}{k\neq i}}^n
\left(\frac{x_k}{x_{k+1}}\right)^n
 + \frac{1}{n}.
\]
Addieren dieser Ungleichungen für $i=1,\ldots,n$ liefert dann
unter Beachtung der ersten Ungleichung die Behauptung:
\[
\sum_{i=1}^n \frac{x_{i+1}}{x_{i}}
\leq \frac{n-1}{n}\sum_{k=1}^n
\left(\frac{x_k}{x_{k+1}}\right)^n +1 \leq \sum_{k=1}^n
\left(\frac{x_k}{x_{k+1}}\right)^n .
\]

\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Rechnen mit Ungleichungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 164: Lösen von Ungleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie alle reellen Zahlen $x \neq 1$, für die gilt: 
    \[ \abs{\frac{x}{x + 1}} > \frac{x}{x + 1} .\]
  \item Bestimmen Sie alle reellen Zahlen $x$, für die gilt
   \[ \abs{\abs{x + 1} - \abs{x + 3}} < 1 .\]
	\item Es sei $p > 0$ eine gegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $p$ alle reellen
Zahlen $x \neq 0$ mit
\[ \frac{x}{p} - \frac{2p}{x} < 2 .\]
\item Es sei $p$ eine gegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $p$ alle reellen
Zahlen $x$ mit
\[ p\, x\ (3 - x) > 7\,p - 5.\]
\item Bestimmen Sie alle reellen Zahlen $x$ mit
\[ x^2 - 4x + 3 > \frac{1}{2}\,x + 1 .\]
\end{enumerate}
\emph{Hinweis:} Es ist lehrreich, sich mit Hilfe eines Zeichenprogramms (z.B. dem freien Gnuplot)
eine Vorstellung vom Verlauf der Graphen der jeweiligen Funktionen zu verschaffen!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 164}}\\
\begin{enumerate}
	\item Die Ungleichung kann höchstens gelten wenn
	\[ \frac{x}{x + 1} <0\]
	ist. Dies ist wegen $x<x+1$ nur möglich, wenn $x<0<x+1$, also $-1<x<0$ ist.
	\item 
	\begin{description}
		\item[Fall $x<-3$:] Dann sind beide Zahlen in den inneren Beträgen negativ und die Ungleichung wird zu
		\[1 > \abs{-(x+1) +(x+3)} = 2,\]
		was offensichtlich falsch ist.
		\item[Fall $-3\leq x <-1$:] Dann ist $x+1<0$ und $x+3\geq 0$, die Ungleichung wird also zu
		\[1 > \abs{-(x+1) -(x+3)} = \abs{-2x-4} \quad\text{bzw.}\quad \abs{x+2}<\frac{1}{2} \quad\text{bzw.}\quad -\frac{5}{2} <x < -\frac{3}{2}}.\]
		Dies liegt vollständig in dem den Fall einschränkenden Bereich.
		\item[Fall $x\geq 1$:]  Dann sind beide Zahlen in den inneren Beträgen nicht negativ und die Ungleichung wird zu
		\[1 > \abs{(x+1) - (x+3)} = 2,\]
		was offensichtlich falsch ist.
	\end{description}
	\item Wir multiplizieren die Ungleichung mit $p\,x$. Dabei sind zwei Fälle zu betrachten.
	\begin{description}
		\item[Fall $x>0$:] Die Ungleichung wird zu 
		\[x^2 -2\,p\,x +p^2 < 3\,p^2 \quad\text{bzw.}\quad \abs{x-p} < \sqrt{3}\,p.\]
		Unter Beachtung der Einschränkung $x>0$ erhält man also $0<x<p+\sqrt{3}\,p$.
		\item[Fall $x<0$:] Die Ungleichung wird zu 
		\[x^2 -2\,p\,x +p^2 > 3\,p^2 \quad\text{bzw.}\quad \abs{x-p} > \sqrt{3}\,p.\]
		Unter Beachtung der Einschränkung $x<0$ erhält man also $x<p-\sqrt{3}\,p<0$.
	\end{description}
	\item Die Ungleichung kann man auch in der Form
	\[ -p \,\rkl{x^2-3x+\frac{9}{4} + \frac{19}{4}} = -p \,\rkl{\rkl{x-\frac{3}{2}}^2 + \frac{19}{4}} > -5\]
	schreiben.\\
	
	Im Falle $p \leq 0$ ist deren rechte Seite nichtnegativ; die Ungleichung ist dann also offensichtlich für alle $x\in \R$ richtig.\\
	
	Ist $p> 0$, dann kann man durch $-p$ dividieren. Die Ungleichung wird zu
		\[\rkl{x-\frac{3}{2}}^2 < \frac{5}{p}-\frac{19}{4}.\]
		Diese ist nur lösbar, wenn die rechte Seite positiv, also $p<\frac{20}{19}$ ist. Dann erhalten wir wegen		
		\[\abs{x-\frac{3}{2}} < \sqrt{\frac{5}{p}-\frac{19}{4}}\]
		die Lösung 
		\[\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{5}{p}-\frac{19}{4}} < x < \frac{3}{2} + \sqrt{\frac{5}{p}-\frac{19}{4}}.\]
		Für $p\geq \frac{20}{19}$ gibt es kein $x\in \R$, das die Ungleichung erfüllt.
		\item Die Ungleichung kann man auch in der Form
		\[ x^2 -\frac{9}{2}\, + \frac{81}{16} > \frac{49}{16} \quad\text{bzw.}\quad \abs{x-\frac{9}{4}}>\frac{7}{4}\]
		schreiben. Dies ist das Äußere der abgeschlossenen $\frac{7}{4}$-Umgebung um $\frac{9}{4}$, die Lösungsmenge kann also durch
		\[x<\frac{1}{2} \quad\text{oder}\quad x>4\]
		beschrieben werden.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Tschebyscheffsche Ungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 165: Tschebyscheffsche Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie die folgende Identit\"{a}t: F\"{u}r $a_{1},a_{2},...,a_{n}%
\in \mathbb{R}$ und $b_{1},b_{2},...,b_{n}\in \mathbb{R}$ gilt%
\begin{equation*}
\sum\limits_{i,k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k})=2\left\{
n\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}-\left( \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\right)
\left( \sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}\right) \right\}
\end{equation*}
\item Leiten Sie aus a) die Tschebyscheffsche Ungleichung her: Ist $a_{1}\geq
a_{2}\geq ...\geq a_{n}$ und $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{n}$, so gilt%
\begin{equation*}
\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\cdot \frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}\leq 
\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}}{n}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 165}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wir schreiben die linke Seite besser als Doppelsumme
	\bea
	\sum\limits_{i,k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k}) &=& \sum_{i=1}^{n}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,(a_i b_i - a_k b_i - a_i b_k + a_k b_k)}\\
	&=& \sum_{i=1}^{n}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,a_i b_i} - \sum_{i=1}^{n}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,a_k b_i} - \sum_{i=1}^{n}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,a_i b_k} + \sum_{i=1}^{n}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,a_k b_k}\\
	&=& n \sum_{i=1}^{n}\,a_i b_i - \rkl{\sum_{i=1}^{n}\,b_i}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,a_k} - \rkl{\sum_{i=1}^{n}\,a_i}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,b_k}  + n \sum_{k=1}^{n}\,a_k b_k\\
	&=& 2\set{ n \sum_{k=1}^{n}\,a_k b_k - \rkl{\sum_{k=1}^{n}\,a_k}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,b_k}} \\
	\eea
	\item Unter der Voraussetzung $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{n}$ und $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{n}$ ist die linke Seite der gerade bewiesenen Gleichung nichtnegativ, da jeder Summand aus zwei positiven bzw. zwei negativen Faktoren besteht; es gilt also
	\[ 0 \leq  n \sum_{k=1}^{n}\,a_k b_k - \rkl{\sum_{k=1}^{n}\,a_k}\rkl{\sum_{k=1}^{n}\,b_k}\]
	Addition des letzten Summanden auf beiden Seiten und Division durch $n^2$ liefert die Behauptung.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ weitere Abschätzungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Abschätzung von $1/\sqrt{Aufgabe 166: n}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie für jede natürliche Zahl $n$
	\[2 \rkl{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \rkl{\sqrt{n} -\sqrt{n-1}} .\]
	\item Bestimmen Sie den größten ganzen Anteil $\left\lfloor x\right\rfloor$ der Zahl
	\[ x= \sum_{k=1}^{1000000} \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{3}} +\frac{1}{\sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{1000000}} .\]
	Hinweis: Für eine reelle Zahl $x$ ist der größte ganze Anteil die eindeutig bestimmte ganze
Zahl $\left\lfloor x\right\rfloor =:m$ mit $m \leq x < m + 1$. Benutzen Sie die Ungleichung aus a).
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 166}}\\

\begin{enumerate}
	\item Da alle Ausdrücke positiv sind, dürfen wir die Ungleichung mit $\sqrt{n}/2$ durchmultiplizieren und erhalten die äquivalente Ungleichung
	\[\sqrt{n(n+1)} -n < \frac{1}{2} < n -\sqrt{n(n-1)} .\]
Diese ist äquivalent zu den beiden Ungleichungen
\[ \sqrt{n^2+n}  < n+\frac{1}{2} \quad\text{und}\quad \sqrt{n^2-n} < n -\frac{1}{2} .\]
Da auch hier alle Ausdrücke positiv sind, ist Quadrieren eine äquivalente Umformung. Wir erhalten die äquivalenten Ungleichungen
\[ n^2+n  < n^2+n+\frac{1}{4} \quad\text{und}\quad n^2-n < n^2-n +\frac{1}{4} ,\]
die beide offensichtlich richtig sind.

\item Für ein festes $k \in \N$ ist nun also
	\[2 \rkl{\sqrt{k+1} -\sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2 \rkl{\sqrt{k} -\sqrt{k-1}} .\]
	Für 
	\[x -1= \sum_{k=2}^{1000000} \frac{1}{\sqrt{k}} \]
	erhalten wir nun die folgende Abschätzung
	\[2\sum_{k=2}^{1000000} \rkl{\sqrt{k+1} -\sqrt{k}} < x-1 < 2\sum_{k=2}^{1000000} \rkl{\sqrt{k} -\sqrt{k-1}}.\]
Rechts und links stehen nun sogenannte Teleskop-Summen, bei denen sich wesentliche Teile benachbarter Summanden aufheben. Schließlich bleibt nur
	\[2 \rkl{\sqrt{1000001} -\sqrt{2}} < x-1 < 2\rkl{\sqrt{1000000} -1}\]
stehen, wobei man die rechte Seite ausrechnen und die linke Seite weiter nach unten abschätzen kann. Es ist
	\[1997 =2 \rkl{\sqrt{1000000} -1.5} <2 \rkl{\sqrt{1000001} -\sqrt{2}} < x-1 < 2\rkl{\sqrt{1000000} -1}=1998,\]
	also
	\[ 1998 < x <1999.\]
	Daraus folgt nun unmittelbar $\left\lfloor x\right\rfloor = 1998$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Analytische Geometrie }
\chapter{ Ebene Probleme }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 167: Disjunkte Kreise
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x, y$ reelle Zahlen, für die
\[ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 4\]
gilt. Zeigen Sie:
\[x^2 + y^2 > 36. \]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 167}}\\
\begin{description}
	\item[analytische Lösung:] Aus
	\[ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = x^2 - 10 x +25 + y^2 -14 y +49 =4\]
	erhält man unter Benutzung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
	\[
	0 < x^2+ y^2 + 70 &= 10 x + 14 y = |10 x + 14 y| \leq \sqrt{x^2+y^2} \sqrt{100 + 196} = 2\sqrt{74} \sqrt{x^2+y^2}.
	\] 
	Die Ersetzung $z=\sqrt{x^2+y^2}$ führt auf die quadratische Ungleichung
	\[ z^2 - 2\sqrt{74}z +74 = \rkl{z - \sqrt{74}}^2 \leq 4 \]
	bzw.
	\[ \abs{z - \sqrt{74}} \leq 2 \quad\text{oder}\quad 0<\sqrt{74}}-2 \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt{74}}+2.\]
	Quadriert man den linken Teil der letzten Ungleichung, so erhält man
	\[x^2+y^2 \geq 78-4\sqrt{74} > 78 - 4 \sqrt{81} = 42 > 36.\]
	\endproof
\item[geometrische Lösung:] Die erste Gleichung stellt die Kreislinie vom Radius 2 um den Mittelpunkt $(5,7)$, der sich $\sqrt{74} > 8$ Einheiten vom Koordinatenursprung entfernt befindet, dar. Damit befinden sich alle Punkte der Kreislinie außerhalb eines Kreises vom Radius 6 um den Koordinatenursprungs. Nichts anderes behauptet die zu zeigende Ungleichung.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Kegelschnitte }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{200pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 168: Kegelhalbierung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein gerader Kreiskegel mit Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ wird durch einen ebenen Schnitt im Winkel $\alpha$ zur Grundfläche in zwei volumengleiche Teile geteilt. ($\alpha$ sei dabei natürlich echt kleiner als der Mantelwinkel des Kegels, so dass als Schnittfläche eine Ellipse entsteht, deren Rand ganz auf dem Kegelmantel liegt.)\\

Wie groß ist die Schnittfläche und in welcher Höhe schneidet die Schnittebene die Kegelachse?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{230pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.4]{aImage009}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 168}}\\
\mbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{200pt}
Der Kegel stehe in einem $(x,y,z)$-Koordinatensystem mit der Spitze im Ursprung senkrecht auf der $(x,y)$-Ebene. Die verwendeten Bezeichnungen entnehmen wir dem nebenstehenden Querschnitten durch die Kegelachse, also in der $(x.z)$-Ebene bzw. parallel zur Grundfläche ($(x,y)$-Ebene) in Höhe $h_m$.
\bit
\item Die Schnittebene schneide die Kegelachse in der Höhe $h_1$, d.h. die Gleichung der Schnittebene wie auch deren Spur in der $(x.z)$-Ebene ist
\begin{equation}\label{eq:1}
	z=x\,\tan\alpha +h_1.
\end{equation}
\item Die Bedingungen an den Schnitt lassen sich durch folgende Gleichungen beschreiben.
\begin{equation}\label{eq:2}
	h\geq r\,\tan\alpha +h_1, \quad \tan\alpha<\frac{h}{r}.
\end{equation}
Da $h_1>0$ sein muss, folgt die zweite Bedingung aus der ersten.
\eit
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{230pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.4]{lImage019}

  \includegraphics[scale=0.4]{lImage020}
\end{minipage}
\end{tabular}
}
\begin{description}
	\item[Klassische Lösung] 
\bit
\item Die schräg abgeschnittene Kegelspitze interpretieren wir als einen auf der Schnittebene stehenden schiefen Kegel mit elliptischer Grundfläche und Höhe $h_2=h_1\cos\alpha$.
\item Die elliptische Grundfläche ist eine Ellipse mit Halbachsen $a$ und $b$ mit $a<b$. Wir suchen $a, b$ und $h_2$ so, dass die Volumenbedingung
\begin{equation}\label{eq:3}
	\frac{\pi}{3}\,r^2\,h = 2\,\frac{\pi}{3}\,a\,b\,h_2 \qquad\mbox{bzw.}\qquad r^2\,h = 2\,a\,b\,h_2
\end{equation}
erfüllt ist.
\item Die große Ellipsenachse liegt senkrecht über der $x$-Achse, für ihre Länge $2b$ gilt 
\begin{equation}\label{eq:4}
	2b\cos\alpha=x_1-x_0, 
\end{equation}
wobei $x_0$ und $x_1$ die Abszissen der Punkte sind, in denen im gezeigten Querschnitt die Spur der Schnittebene die Mantellinien des Kegels schneidet.
\item Der Schnittpunkt der Halbachsen liegt in der Höhe $h_m$ senkrecht über dem Mittelpunkt 
\begin{equation}\label{eq:5}
	x_m=\frac{x_0+x_1}{2}
\end{equation}
der Strecke von $x_0$ nach $x_1$ und die kleinere Ellipsenachse ist sowohl zur $(x,y)$-Ebene als auch zur $(y,z)$-Ebene parallel.
\item Die Länge der kleinen Halbachse ist nach Pythagoras 
\begin{equation}\label{eq:6}
	a=\sqrt{r_m^2-x_m^2}, 
\end{equation}
wobei $r_m$ der Radius des Kegels in der Höhe $h_m$ ist. Nach Strahlensatz ist noch
\begin{equation}\label{eq:7}
	r_m=\frac{r\,h_m}{h}.
\end{equation}
\eit

Indem man nun die Werte $x_0, x_1$ und  $x_m$ in die Geradengleichung \eqref{eq:1} bzw. in die Gleichungen für die Mantellinien des Kegels einsetzt, erhält man die Gleichungen
\begin{equation}\label{eq:8}
	x_1\,\tan\alpha + h_1 = \frac{h}{r}x_1\qquad\mbox{bzw.}\qquad x_1=\frac{r\,h_1}{h-r\tan\alpha},
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:9}
	x_0\,\tan\alpha + h_1 = -\frac{h}{r}x_0\qquad\mbox{bzw.}\qquad x_0=-\frac{r\,h_1}{h+r\tan\alpha}.
\end{equation}
und
\begin{equation}\label{eq:10}
	x_m\,\tan\alpha + h_1 = h_m.
\end{equation}

Man beachte, dass $x_0$ negativ ist. 

In \eqref{eq:8} und \eqref{eq:9} werden $x_0$ und $x_1$ bereits durch $h_1$ und bekannte Größen ausgedrückt. Aus \eqref{eq:5} erhält man auch
\begin{equation}\label{eq:11}
	x_m = \frac{x_0+x_1}{2} = \frac12\left( \frac{r\,h_1}{h-r\tan\alpha}-\frac{r\,h_1}{h+r\tan\alpha}\right) =\frac{r^2\,h_1\tan\alpha}{h^2-r^2\tan^2\alpha}.
\end{equation}
Aus \eqref{eq:10} folgt dann
\begin{equation}\label{eq:12}
	h_m=\frac{r^2\,h_1\tan^2\alpha}{h^2-r^2\tan^2\alpha}+h_1=\frac{h^2\,h_1}{h^2-r^2\tan^2\alpha}
\end{equation}
und aus \eqref{eq:6} und \eqref{eq:7} erhält man zunächst
\[r_m=\frac{r\,h_m}{h}=\frac{r\,h\,h_1}{h^2-r^2\tan^2\alpha}\]
und schließlich
\begin{equation}\label{eq:13}	a=\sqrt{\frac{r^2\,h^2\,h_1^2}{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^2}-\frac{r^4\,h_1^2\tan^2\alpha}{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^2}}\ =\ \frac{r\,h_1}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}.
\end{equation}
Aus \eqref{eq:4}, \eqref{eq:8} und \eqref{eq:9} folgt nun noch
\begin{equation}\label{eq:14}
	b=\frac{x_1-x_0}{2\cos\alpha} = \frac{r\,h\,h_1}{(h^2-r^2\tan^2\alpha)\,\cos\alpha}.
\end{equation}
\eqref{eq:13}, \eqref{eq:14} und die Gleichung $h_2=h_1\,\cos\alpha$ kann man nun in die Volumenbedingung \eqref{eq:3} einsetzen und erhält
\[r^2\,h = 2\,a\,b\,h_2 = 2\,\frac{r^2\,h\,h_1^3}{\sqrt{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^3}},\]
woraus
\begin{equation}\label{eq:15}
	h_1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}
\end{equation}
folgt. Die Schnittfläche ergibt sich dann zu 

\[F = \pi\,a\,b = \pi\,\frac{r^2\,h\,h_1^2}{\sqrt{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^3}\cos\alpha}=\frac{\pi}{2}\frac{\sqrt[3]{2}\,r^2\,h}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}\cos\alpha}.\]
\vspace{5mm}
\item[Lösung mit Integralrechnung] Wir benutzen Zylinderkoordinaten für die Volumenberechnug der unteren Kegelspitze mit
\[x=\rho\,\cos\vp,\quad y=\rho\,\sin\vp,\quad z\]
und
\[0\leq \vp\leq 2\pi,\quad 0\leq\rho\leq \rho_{max}, \quad \frac{\rho}{r}h \leq z\leq h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha,\]
wobei $\rho_{max}$ aus der Gleichung
\[\frac{\rho_{max}}{r}h = h_1+\rho_{max}\,\cos\vp\,\tan\alpha\]
bestimmt wird, d.~h. es ist 
\[\rho_{max}=\frac{h_1r}{h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp}.\]
Für das Volumen der abgeschnittenen Kegelspitze erhält man nun
\bea
V&=& \int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,\int_{\frac{\rho}{r}h}^{h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha}\,\rho\,dz\,d\rho\,d\vp\\
&=&\int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,\rkl{h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha-\frac{\rho}{r}h}\,\rho\,d\rho\,d\vp\\
\eea
\bea
&=&\int_0^{2\pi}\,\rkl{\frac{1}{2}\rho_{max}^2h_1+\frac{1}{3}\rho_{max}^3\,\cos\vp\,\tan\alpha-\frac{1}{3r}{\rho_{max}}^3h}\,d\vp\\
&=&\int_0^{2\pi}\,\rkl{\frac{1}{2}\frac{r^2h_1^3}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}+\frac{1}{3}\frac{r^3\,h_1^3\,\cos\vp\,\tan\alpha}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^3}-\frac{1}{3r}\frac{r^3h\,h_1^3}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^3}}\,d\vp\\
&=&\frac{r^2h_1^3}{6}\int_0^{2\pi}\,\frac{3(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)+2(r\,\cos\vp\,\tan\alpha)-2h}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^3}\,d\vp\\
&=&\frac{r^2h_1^3}{6}\int_0^{2\pi}\,\frac{1}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\overset{\text{Symmetrie}}{=}\frac{r^2h_1^3}{3}\int_0^{\pi}\,\frac{1}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\\
&\overset{\text{Bronstein Nr. 350}}{=}&\frac{r^2h_1^3}{3}\left(\frac{-r\tan\alpha\,\sin\vp}{(r^2\tan^2\alpha-h^2)(h-r\tan\alpha\,\cos\vp)}\right|_0^\pi\\
&&\left.-\frac{h}{r^2\tan^2\alpha-h^2}\int_0^{\pi}\,\frac{1}{h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp}\,d\vp\right)\\
&\overset{\text{Bronstein Nr. 347}}{=}&\left.\frac{r^2h_1^3}{3}\frac{h}{h^2-r^2\tan^2\alpha}\frac{2}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}\arctan\rkl{\frac{(h+r\tan\alpha)\tan\frac{\vp}{2}}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}}\right|_0^\pi\\
&=&\frac{\pi \,r^2\,h_1^3\,h}{3\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}^3}=\frac{1}{2}\frac{\pi}{3}r^2\,h\qquad\text{(halbes Kegelvolumen)}
\eea
Aus der letzten Gleichung erhält man nun
\[h_1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}.\]
Die Schnittfläche erhält man nun aus
\[F=\int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,dF,\]
wobei $dF=\sqrt{\rho^2(1+z_\rho^2)+z_{\vp}^2}\,d\rho\,d\vp$ das Flächenelement für Zylinderkoordinaten darstellt. Auf der Schnittfläche ist $z=h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha$, also
\[dF=\sqrt{\rho^2(1+\cos^2\vp\,\tan^2\alpha)+\rho^2\,\sin^2\vp\,\tan^2\alpha}\,d\rho\,d\vp=\rho\,\sqrt{1+\tan^2\alpha}\,d\rho\,d\vp=\frac{\rho}{\cos\alpha}\,d\rho\,d\vp\]
und
\bea
F&=&\int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,\frac{\rho}{\cos\alpha}\,d\rho\,d\vp=\frac{1}{2\cos\alpha}\int_0^{2\pi}\,\rho_{max}^2\,d\vp\\
&=&\frac{1}{2\cos\alpha}\int_0^{2\pi}\,\frac{h_1^2r^2}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\\
&=&\frac{1}{\sqrt[3]{4}\cos\alpha}\,r^2\,(h^2-r^2\tan^2\alpha)\,\int_0^{\pi}\,\frac{1}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\\
&\overset{\text{wie oben}}{=}&\left.\frac{\sqrt[3]{2}}{2\cos\alpha}\,\frac{2\,r^2\,h}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}\arctan\rkl{\frac{(h+r\tan\alpha)\tan\frac{\vp}{2}}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}}\right|_0^\pi\\
&=&\frac{\pi}{2}\frac{\sqrt[3]{2}\,r^2\,h}{\cos\alpha\,\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}\\
\eea

\item[Sonderfall:] Im Falle einer zur Grundfläche parallelen Schnittebene, also für $\alpha=0$, erhält man einfach
\[ h_1=\frac{h}{\sqrt[3]{2}}\quad\text{und}\quad F=\frac{\pi}2\,\sqrt[3]{2}\,r^2.\]

\end{description}


\vspace{1cm}
\underline{Nichttriviales Beispiel:}\\

"`Geocaching"' ist ein Spiel, bei dem man "`Schätze"' in der freien Natur versteckt und die Koordinaten dieses Versteckes in gewisser Weise verschlüsselt an andere weitergibt, damit diese den Schatz heben können. Eine dieser Aufgaben lautete so:\\

14:30 Uhr. Dieter, ein junger Doktorand, kommt mit seiner Arbeit nicht voran. Er seufzt und schlendert in die Cafeteria seiner Fakultät. Dort angekommen zieht er sich sein Lieblingseis, das letzte vorhandene "`Inuit's kiss"'. Er ist noch mit dem Auspacken beschäftigt, da sieht er eine junge Studentin hereinkommen. Dieter hatte sie schon mal gesehen, letzte Woche, als er bei seinem Doktorvater war. Sie gefiel Dieter, er wollte sie auch ansprechen, nur leider hatte sich bisher noch keine Gelegenheit ergeben.
Zielstrebig wirft Claudia das Kleingeld in den Automaten und drückt die Taste für "`Inuit's kiss"', allein der Automat verweigert seinen Dienst: "`Verdammt, heute klappt aber auch gar nichts. Erst lässt sich dieses Differentialgleichungssystem nicht lösen und jetzt ist das Eis alle!"' Dieter, der das Ganze mitbekommen hat, sieht seine Chance gekommen und spricht sie an: "`Hallo! Kann ich helfen?"'. "`Wenn Du hier noch ein Eis rauskriegst..."' lautet die Antwort. "`Das wird wohl nichts werden, aber wir können ja meins teilen."'
Claudia will schon dankend ablehnen, doch dann mustert sie ihn kurz. "`So übel sieht der gar nicht aus"' denkt sie und willigt lächelnd ein. Flugs schnappt Dieter sich ein Messer und teilt das Eis in zwei Stücke, in dem er die Eistüte einmal schräg durchschneidet. Beide nehmen sich ein Stück und genießen das Eis. Nach einer Weile durchbricht sie die Stille: "`Hast Du gesehen, dass die beiden Stücke exakt gleich groß waren?"' Dieter sieht sie erstaunt an. Er hatte zwar schon von ihren außergewöhnlichen numerischen Fähigkeiten gehört, nur das konnte er jetzt nicht glauben. "`Wie kommst Du denn darauf?"' "`Nun, das Eis hat die Form eines Kegels, der 15,5 cm hoch ist und dessen Grundfläche einen Radius von 3,0 cm hat. Der Schnittwinkel betrug etwa 32,656973°. Die Schnittfläche war exakt $xx.ABCDEF cm^2$ groß, damit müssen die beiden Teile gleich groß sein."' Dieter war ganz perplex, wie hatte sie das jetzt so schnell berechnet?\\

"`Danke fürs Eis! Wenn Du Lust hast, ich bin abends immer bei N51 04.ABC E13 45.DEF, vielleicht kommst Du ja mal vorbei?"' hörte er noch, da war sie schon verschwunden. Irritiert schaute sich Dieter um. Hatte sie ihn eben eingeladen? Hatte sie!!! Also was saß er hier noch rum? Eilig schnappte er sich seine Sachen und rannte zu seinem Computer. Es galt ein Problem zu lösen, das jetzt wichtiger als seine Doktorarbeit war... \\

Hinweis: Schnittwinkel 0° ist parallel zur Grundfläche! \\

Für $h=15,5$ cm, $r=3$ cm und $\alpha=32,656973°$ lassen wir uns bei der Berechnung von Maple helfen:\\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{r:=3.0; h:=15.5; alpha:=Pi*32.656973/180;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{r := 3.0;}{%
\[
r := 3.0
\]
%
}
\end{maplelatex}

\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{h := 15.5;}{%
\[
h := 15.5
\]
%
}
\end{maplelatex}

\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{alpha := .1814276278*Pi;}{%
\[
\alpha  := 0.1814276278\,\pi 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{f:=simplify(Pi*r^2*h/(root(4,3)*sqrt(h^2-r^2*(tan(alpha))^2)*cos(alpha)));}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{f := 21.32084407;}{%
\[
f := 21.32084407
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}

Der Treffpunkt befindet sich also bei N51 04.320 E13 45.844.

% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Kugelberechnungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 169: Kugel mit Loch
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In eine Kugel vom Radius $r$ wird ein zylindrisches Loch vom Radius $a$ so gebohrt, dass die Zylinderachse durch den Kugekmittelpunkt geht. Die Höhe des Loches beträgt 1~m.\\

Wie groß ist das Volumen des Restkörpers?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage010}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 169}}\\
\begin{description}
	\item[Klassische Lösung]
Es ist
$$V_{Rest}=V_{Kugel}-V_{Zylinder}-2*V_{Kugelkappe},$$
wobei
$$V_{Kugel}=\frac43\,\pi\,r^3,\quad V_{Zylinder}=\pi\,a^2,\quad V_{Kugelkappe}=\frac13\,\pi\,h^2\,(3r-h)$$
und 
$$r-h=\frac12\qquad\mbox{sowie}\qquad r^2-a^2=\frac14.$$

Damit ist

\bea
V_{Rest}&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(r-\frac12)^2\,(2r+\frac12) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(r^2-r+\frac14)\,(2r+\frac12) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(2r^3-2r^2+\frac12r+\frac12r^2-\frac12r+\frac18) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(2r^3-\frac32r^2+\frac18) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac43\,r^3+r^2-\frac1{12} \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac14-\frac1{12} \right)=\frac{\pi}{6}\approx 0,5235987755982988\\	
\eea
\item[Lösung mit Integralrechnung] Wie oben ist $r^2-a^2=\frac{1}{4}$. Benutze Zylinderkoordinaten:
\[a\leq\rho\leq r, \quad 0\leq\vp\leq 2\pi,\quad -\sqrt{r^2-\rho^2}\leq z\leq \sqrt{r^2-\rho^2},\]
dann ist
\bea
V_{Rest}&=&\int_0^{2\pi}\,\int_a^r\,\int_{-\sqrt{r^2-\rho^2}}^{\sqrt{r^2-\rho^2}}\,\rho\,dz\,d\rho\,d\vp\\ 
&=&4\pi\,\int_a^r\,\sqrt{r^2-\rho^2}\,\rho\,d\rho\qquad |\ u^2=r^2-\rho^2, u\,du=-\rho\,d\rho\\ 
&=&4\pi\,\int_0^{\sqrt{r^2-a^2}}\,u^2\,du \qquad|\  \sqrt{r^2-a^2}=\frac{1}{2}\\
 &=&4\pi\,\frac{1}{3}\frac{1}{2^3}=\frac{\pi}{6}.
\eea
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Polyeder }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 170: Ortsvektorsumme im regulären Polyeder
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $M$ der Mittelpunkt und $P_i, i=1,\ldots,n$ die Eckpunkte eines regulären Polyeders.\\
Man zeige für alle $n \in \N$
$$\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=\vec{0}.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 170}}\\

\underline{1. Lösung (mit analytischer Geometrie):}\\

Man lege ein Koordinatensystem fest, so dass $M$ mit dem Ursprung zusammenfällt und $P_n$ in Richtung der positiven $x$-Achse zeigt. Das das Polyeder gleichmäßig sein soll, haben alle Ortsvektoren die gleiche Länge $l$ und die Darstellung

$$ \overrightarrow{MP_k} = l\bma{c}\cos k\vp\\\sin k\vp\\\ema,\ k=1,\dots,n,\ \vp=\frac{2\pi}{n}.$$

Aus den mittels vollständiger Induktion leicht zu beweisenden Formeln
\bea
\sum_{k=1}^n \cos kx &=& \frac{\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12\\
\sum_{k=1}^n \sin kx &=& \frac{\sin\frac{n+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{nx}{2}\\
\eea
erhält man für $x=\vp$ zunächst
\bea
\sum_{k=1}^n \cos k\vp &=& \frac{\sin\frac{2n+1}{2}\vp}{2\sin\frac{\vp}{2}}-\frac12
=\frac{\sin\frac{2n+1}{n}\pi}{2\sin\frac{\pi}{n}}-\frac12=\frac{\sin(2\pi+\frac{\pi}{n})}{2\sin\frac{\pi}{n}}-\frac12=\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{2\sin\frac{\pi}{n}}-\frac12=0\\
\sum_{k=1}^n \sin k\vp &=& \frac{\sin\frac{n+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{nx}{2}= \frac{\sin(\pi+\frac{\pi}{n})}{\sin\frac{\pi}{n}}\sin \pi=-\sin \pi=0,\\
\eea

und damit auch 
\[\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=l\bma{c}\sum_{k=1}^n \cos k\vp\\\sum_{k=1}^n \sin k\vp\\\ema\ = l\bma{c}0\\0\\\ema = \vec{0}.\]

\underline{2. Lösung (mit Vektorrechnung):}\\

Sei $g_1$ die durch $M$ und $P_1$ bestimmte Gerade. Dann liegen die Punkte $P_2$ und $P_n$, $P_3$ und $P_{n-1}$, \ldots, $P_i$ und $P_{n-i+1},\ i=2,\ldots,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ \footnote{Für $x \in \R$ ist $\left\lfloor x\right\rfloor$ ist diejenige ganze Zahl $z$, für die $z\leq x < z+1$ ist.} symmetrisch zu $g_1$ und die Summen der dazugehörigen Vektoren $\overrightarrow{MP_i}+\overrightarrow{MP_{n-i+1}},\ i=2,\ldots,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ liegen jeweils auf $g_1$. Ist $n$ gerade, dann liegt auch $P_{\frac{n}{2}}$ auf $g_1$.

Insgesamt ist also
$$\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=\alpha\ \overrightarrow{MP_1}$$
ein Vektor, der ebenfalls auf $g_1$ liegt.

Sei nun $g_2$ die durch $M$ und $P_2$ bestimmte Gerade. Dann liegen die Punkte $P_3$ und $P_1$, $P_4$ und $P_{n}$ usw. symmetrisch zu $g_2$ und mit denselben Argumenten wie oben folgt insgesamt, dass 
$$\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=\beta\ \overrightarrow{MP_2}$$
ein Vektor ist, der ebenfalls auf $g_2$ liegt, d.~h. es muss
$$\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=\alpha\ \overrightarrow{MP_1}=\beta\ \overrightarrow{MP_2}$$
sein.

Da die Vektoren $\overrightarrow{MP_1}$ und $\overrightarrow{MP_2}$ in verschiedene Richtungen zeigen (linear unabhängig sind), ist dies nur für $\alpha=\beta=0$ möglich, wodurch die Behauptung gezeigt ist.\\

\underline{3. Lösung (mit Vektorrechnung):}\\

\includegraphics[scale=0.5]{lImage021}
Die Punkte $P_1, P_2, \ldots, P_n$ liegen auf einem Kreis mit Mittelpunkt $M$. 
Angenommen, es wäre $\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=\vec{v}_0 \neq \vec{0}$ ein vom Nullvektor verschiedener Vektor. Dann würde jede Drehung des Systems um $M$ um einen Winkel $\vp$ die Punkte $P_k$ in entsprechende Punkte $P_k', k=1, \ldots, n$ und den Vektor $\vec{v}_0$ in einen Vektor $\vec{v}_{\vp}$ überführen.

Wählt man nun $\vp=\frac{2\pi}{n}$, dann wäre  $\overrightarrow{MP_k'}=\overrightarrow{MP_{k+1}}$ für $k=1,\ldots, n-1$ und $\overrightarrow{MP_n'}=\overrightarrow{MP_1}$, also
$$\vec{v}_{\frac{2\pi}{n}}=\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k'}=\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=\vec{v}_0.$$
Da aber $\vec{v}_0$ und $\vec{v}_{\frac{2\pi}{n}}$ nicht kollinear sind, ist dies nur möglich, wenn beide die Länge Null haben.
% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Funktionalanalysis }
\chapter{ Metrik und Norm }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 171: Beschränkte Metrik
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es sei$(M,d)$ einmetrischer Raum mit dem Abstand $d : M \times M \to \R$\\.
Zeigen Sie, dass dann auch $d_1 : M \times M \to \R$ mit
\[ d_1(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+ d(x,y)}\]
eine Metrik auf $M$ ist.\\
(Man beachte, dasd stets $d_1(x,y)< 1$ ist.)
\item Erzeugt die Metrik $d_1$ die gleiche Topologie (d.~h. das gleiche System der offenen und abgeschlossenen Mengen) auf $M$ wie $d$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 171}}\\
\begin{enumerate}
	\item Definitheit und Symmetrie sind offensichtlich. Wir zeigen die Dreiecksungleichung:
	\bea
	d_1(x,y)+d_1(y,z)&=&\frac{d(x,y)}{1+ d(x,y)}+\frac{d(y,z)}{1+ d(y,z)}\\
	&\geq&\frac{d(x,y)}{1+ d(x,y)+d(y,z)}+\frac{d(y,z)}{1+ d(x,y)+d(y,z)}\\
	&=&\frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+ d(x,y)+d(y,z)}\\
	&=&\frac{(d(x,y)+d(y,z))(1+d(x,z))}{(1+ d(x,y)+d(y,z))\,d(x,z)}\,\,\frac{d(x,z)}{1+ d(x,z)}\\
	&=&\frac{d(x,y)+d(y,z)+d(x,y)\,d(x,z)+d(y,z)\,d(x,z)}{d(x,z)+ d(x,y)\,d(x,z)+d(y,z)\,d(x,z)}\,\,\frac{d(x,z)}{1+ d(x,z)}\\
	&\overset{\Delta-\text{Ungl. für }d}{\geq}&\frac{d(x,z)+d(x,y)\,d(x,z)+d(y,z)\,d(x,z)}{d(x,z)+ d(x,y)\,d(x,z)+d(y,z)\,d(x,z)}\,\,\frac{d(x,z)}{1+ d(x,z)}\\
	&=&\frac{d(x,z)}{1+ d(x,z)}.
	\eea
	\item Offensichtlich ist für alle $x,y\in M$ stets $d_1(x,y)\leq d(x,y)$, d.~h. $\ve$-Umgebungen von $x$ bezüglich $d$ sind in der entsprechenden $\ve$-Umgebung bezüglich $d_1$ enthalten. Deshalb ist jede $d_1$-offene Menge auch $d$-offen.\\
	
	Andererseits erhält man durch Umstellung der definierenden Gleichung für $d_1$ (Man beachte $d_1(x,y)<1$.)
	\[ d(x,y)= \frac{d_1(x,y)}{1- d_1(x,y)}\leq 2\,d_1(x,y)\quad\text{falls}\quad d_1(x,y)<\frac{1}{2},\]
d.~h. hinreichend kleine $(\ve<1/2)$ $\ve$-Umgebungen von $x$ bezüglich $d_1$ sind in $2\ve$-Umgebungen von $x$ bezüglich $d$ enthalten. Deshalb ist jede $d$-offene Menge auch $d_1$-offen.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 172: Französische Eisenbahn-Metrik (Alle Züge fahren über Paris.)
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $d:\R^2\times\R^2 \to \R_+$ eine Metrik auf dem Raum $\R^2$.\\
Für $z_i=(x_i,y_i)\in \R^2,\ i=1,2$ sei
\[\tilde{d}(z_1,z_2)=\begin{cases}
	d(z_1,z_2) &\text{falls}\quad x_1\,y_2=x_2\,y_1\\
	d(z_1,0)+d(0,z_2) &\text{sonst}
\end{cases}. \]
Man gebe eine geometrische Deutung der Bedingung $x_1\,y_2=x_2\,y_1$ an und untersuche, ob $\tilde{d}$ ebenfalls eine Metrik auf dem Raum $\R^2$ ist.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 172}}\\
Die Bedingung $x_1\,y_2=x_2\,y_1$ bedeutet, dass die Punkte $z_1,\,z_2$ auf einer Geraden durch den Koordinatenursprung (Paris) liegen oder einer oder beide Punkte selbst der Koordinatenursprung sind, denn: 
\begin{enumerate}
	\item Für $y_1\neq0\neq y_2$ ist die Bedingung äquivalent zu $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$, d.~h. die Anstiege der Geraden durch $0$ und $z_1$ bzw. durch $0$ und $z_2$ sind gleich.
	\item Ist genau eines der $y_i=0$, dann muss auch das zugehörige $x_i=0$ sein und einer der beiden Punkte fäält mit dem Usrsprung zusammen.
	\item Für $y_1=0=y_2$ liegen beide Punkte auf der $x$-Achse. Dabei können auch einer oder beide Punkte im Usrprung liegen.
\end{enumerate}
. 
\begin{description}
	\item[Definitheit] Offensichtlich ist $\tilde{d}(z_1,z_2)\geq 0$ und $\tilde{d}(z_1,z_1)=0$.\\
	Ist $\tilde{d}(z_1,z_2)=0$, dann folgt im Falle $x_1\,y_2=x_2\,y_1$ aus der Definitheit von $d$, dass $z_1=z_2$ ist. Anderenfalls folgt sogar $z_1=z_2=0$.
	\item[Symmetrie] Aus der Symmetrie von $d$ und der Kommutativität der Addition folgt
	\[\tilde{d}(z_1,z_2)=\set{\begin{array}{c@{=}c}
	d(z_1,z_2) & d(z_2,z_1)\\
	d(z_1,0)+d(0,z_2)\ &\ d(0,z_1)+d(z_2,0)
\end{array}} = \tilde{d}(z_2,z_1). \]
  \item[Dreiecksungleichung] Sei $z_i=(x_i,y_i)\in \R^2,\ i=1,2,3$, dann folgt zunächst aus der Definition von $\tilde{d}$ stets $d(z_1,z_2)\leq \tilde{d}(z_1,z_2)$.\\
  Nun unterscheiden wir folgende Fälle:
  
\begin{description}
	\item[Fall $x_1\,y_3=x_3\,y_1$] Dann ist 
\[\tilde{d}(z_1,z_3)=	d(z_1,z_3) \leq d(z_1,z_2)+d(z_2,z_3)\leq \tilde{d}(z_1,z_2)+\tilde{d}(z_2,z_3). \]
	\item[Fall $x_1\,y_3 \neq x_3\,y_1$] Dann liegen $z_1$ und $z_3$ nicht auf einer Geraden durch den Koordinatenursprung. \\
Weiterhin kann $z_2$ auf höchsten einer der Geraden durch $z_1$ bzw. $z_3$ und den Koordinatenursprung liegen. O.~B.~d.~A. sei dies nicht $z_3$, dann ist   
\[\tilde{d}(z_2,z_3)=	d(z_2,0)+d(0,z_3). \]
	Nun ist aber 
\[\tilde{d}(z_1,z_3)=	d(z_1,0)+d(0,z_3)\leq d(z_1,z_2)+d(z_2,0)+d(0,z_3)\leq \tilde{d}(z_1,z_2)+\tilde{d}(z_2,z_3). \]
\end{description}
\end{description}
Damit wurden die Eigenschaften einer Metrik bei $\tilde{d}$ nachgewiesen.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 173: Matrixnorm
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Im Vektorraum $V$ der reellen $(n\times n)$-Matrizen $A=(a_{ij})$ werde
gesetzt:
\[\norm{A}:= \max_{i,j=1,\ldots,n}|a_{ij}|.\]
\begin{enumerate}
	\item Prüfen Sie die Normeigenschaften von $\norm{\cdot}$ nach!
\item Ist $\norm{\cdot}$ eine multiplikative Matrixnorm auf $V$, d.h. gilt
\[
\norm{AB}\leq\norm{A}\cdot\norm{B}
\]
für beliebige Matrizen $A,B$ aus $V$? (Beweis oder Gegenbeispiel!) \\
\item Es sei $M$ die Menge der invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen
aus $V$. Ist $M$ eine offene Menge im normierten Raum $V,\|\cdot\|$?
Bestimmen Sie alle Randpunkte von $M$!
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 173}}\\
\begin{enumerate}
	\item Offensichtlich ist $\norm{\cdot}$ eine Abbildung in die nichtnegativen Zahlen. Weiterhin gilt:
\begin{itemize}
	\item $\norm{A}=0 \Rightarrow \abs{a_{i,j}}=0\ \forall\ i,j \rightarrow A=0$.
	\item $\norm{\lambda A}=\max_{1\leq i,j\leq n}\abs{\lambda\,a_{i,j}}=\abs{\lambda}\,\max_{1\leq i,j\leq n}\abs{a_{i,j}}=\abs{\lambda}\,\norm{A}$.
	\item $\norm{A+B}=\max_{1\leq i,j\leq n}\abs{a_{i,j}+b_{i,j}}
	\leq \max_{1\leq i,j\leq n}\abs{a_{i,j}}+\max_{1\leq i,j\leq n}\abs{b_{i,j}}=\norm{A}+\norm{B}.$
\end{itemize}
\item $\|\cdot\|$ ist keine multiplikative Matrixnorm auf $V$, wie folgendes Beispiel zeigt:
$$A=B=\bma{cc}1&1\\1&1\\\ema \Rightarrow A\cdot B=\bma{cc}2&2\\2&2\\\ema. $$
Es ist 
$$2 =\|A\cdot B\| > \|A\|\cdot \|B\| =1.$$
\item Eine untere Dreicksmatrix $A$ ist invertierbar, d. h. $A\in M$, wenn alle ihre Hauptdiagonalelemente $a_{ii},\ 1\leq i \leq n$ von Null verschieden sind, d.~h. $A\in M \Rightarrow \norm{A}>0$.

$E_{1,n}$ sei diejenge $(n\times n)$-Matrix, deren rechter oberer Eintrag eine 1 ist und bei der alle anderen Einträge gleich 0 sind.
 
Sei nun $A\in M$ und $\ve>0$ gegeben, dann ist $A'=A+\frac{\ve}{2}E_{1,n}\notin M$ und $\norm{A'-A}=\frac{\ve}{2}$, d.~h. in jeder $\ve$-Umgebung von $A$ befindet sich eine Matrix $A'\in V\setminus M$, also ist $M$ nicht offen.

Andererseits ist $A\in M$ selbst in seiner $\ve$-Umgebung, d.~h. jedes $A\in M$ ist Randpunkt. 

Gibt es weitere Randpunkte? Die Menge $V\setminus M$ ist die disjunkte Vereinigung der Menge $M'$ der Matrizen, die keine unteren Dreiecksmatrizen sind, mit der Menge $M''$ der unteren Dreiecksmatizen, bei denen Nullen in der Hauptdiagonale vorkommen.

Sei $A'\in M'$ mit $a_{i,j}\neq 0,\ j>i$, Dann ist $\norm{A-A'}\geq\abs{a_{i,j}}$ für alle $A\in M$, d.~h für $\ve=\frac{\abs{a_{i,j}}}{2}$ liegt in der $\ve$-Umgebung von $A'$ kein Element von $M$ und $A'$ kann kein Randpunkt sein.

Sei nun $A''\in M''$ eine untere Dreiecksmatrix mit Nullen in der Hauptdiagonale und $ve>0$ vorgegeben. $A$ sei diejenige Matrix aus $M$, die aus $A''$ dadurch ensteht, dass die Nullen in der Hauptdiagonale durch $\frac{\ve}{2}$ ersetzt werden. Dann ist $\norm{A-A''}=\frac{\ve}{2}$, d.~h. in jeder $\ve$-Umgebung von $A''$ gibt es ein Element $A\in M$ und ein Element $A''\notin M$, also ist $A''$ Randpunkt von $M$.

Randpunkte von $M$ sind also alle unteren Dreiecksmatrizen.    
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Normen im $\Rx{Aufgabe 174: 2}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Untersuchen Sie, ob folgende Ausdrücke Normen im $\Rx{2}$ sind und beschreiben Sie gegebenenfalls das Aussehen des Einheitskreises.
\ben
\item $\|(x_1,x_2)\|=|x_1-x_2|+|x_1|$
\item $\|(x_1,x_2)\|=2|x_1|+3|x_2|$
\item $\|(x_1,x_2)\|=|x_1-x_2|$
\een
\item Bestimmen Sie auch die zugehörigen Matrixnormen.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 174}}\\
\ben
\item
\ben
\item $\|(x_1,x_2)\|=|x_1-x_2|+|x_1|$\\

Positivität und Linearität sind offensichtlich. Wir rechnen die Definitheit und die Dreiecksungleichung nach:\\
$|x_1-x_2|+|x_1|=0 \Rightarrow x_1=0 \Rightarrow x_2=0$,\\
$\|(x_1+y_1,x_2+y_2)\|=|x_1+y_1-x_2-y_2|+|x_1+y_1|\leq |x_1-x_2|+|y_1-y_2|+|x_1| +|y_1|=\|(x_1,x_2)\|+\|(y_1,y_2)\|$\\
Zur Lösung der Gleichung $\|(x_1,x_2)\|=1$ betrachten wir die vier Fälle
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|c|c|c}
		$0\leq x_1 \leq 1$ & $x_1 \geq x_2$ & $1-x_1=x_1-x_2$ & $x_2=2x_1-1$\\ 
		$0\leq x_1 \leq 1$ & $x_1 \leq x_2$ & $1-x_1=x_2-x_1$ & $x_2=1$\\ 
		$-1\leq x_1 \leq 0$ & $x_1 \geq x_2$ & $1+x_1=x_1-x_2$ & $x_2=-1$\\ 
		$-1\leq x_1 \leq 0$ & $x_1 \leq x_2$ & $1+x_1=x_1-x_2$ & $x_2=2x_1+1$\\ 
	\end{tabular}
\end{center}

Dies führt zu folgendem Einheitskreis:\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5, angle=270]{lImage022}
\end{center}

\item $\|(x_1,x_2)\|=2|x_1|+3|x_2|$\\

Positivität, Linearität und Definitheit sind offensichtlich. Die Dreiecksungleichung folgt aus der für Beträge.\\
Der Einheitskreis wird gebildet aus den Geraden
\bea
2x_1+3x_2y&=&1,\\
2x_1-3x_2&=&1,\\
2x_1-3x_2&=&-1\text{ und}\\
2x_1+3x_2&=&-1\\
\eea
Dies führt zu folgendem Einheitskreis:\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5, angle=270]{lImage023}
\end{center}

\item $\|(x_1,x_2)\|=|x_1-x_2|$\\

Wegen $\|(1,1)\|=|1-1|=0$ ist hier wenigstens die Definitheitsbedingung verletzt, es kann sich also um keine Norm handeln.
\een
\item Sei
$$A=\bma{cc} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\\\ema \quad\mbox{und}\quad x=\bma{c}x_1\\ x_2\\\ema,\quad\mbox{dann ist}\quad Ax=\bma{c} a_{11}x + a_{12}y\\a_{21}x + a_{22}y\\\ema.$$
Wir schätzen die Norm $\|Ax\|$ auf dem jeweiligen Einheitskreis ab. Dabei sind Fallunterscheidungen nötig
\ben
\item
\item Auf $\{(x_1,x_2): 2x_1+3x_2=1, 0\leq x_1 \leq 0.5\}$ ist 
\een
\een

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 175: reziproke Metrik in $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Auf der Menge der natürlichen Zahlen werde gesetzt:
\[d(n,m)= \frac{\abs{n-m}}{nm} \quad\text{für}\quad n,m \in \N.\]
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass $d$ eine Abstandsfunktion auf $(\N,d)$ ist.
	\item Beschreiben Sie alle offenen, alle abgeschlossenen und alle kompakten Teilmengen von $(\N,d)$.
	\item Ist der metrische Raum $(\N,d)$ vollständig?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 175}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist 
	\[d(n,m)=\frac{\abs{n-m}}{nm}=\abs{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}.\]
	Nun ist offensichtlich
	
\begin{enumerate}
	\item $d(n,m)=0\quad\Leftrightarrow \quad n=m$
	\item $d(n,m)=d(m,n)$
	\item $d(n,k)+d(k,m)=\abs{\frac{1}{k}-\frac{1}{n}}+\abs{\frac{1}{m}-\frac{1}{k}}\geq \abs{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}=d(n,m).$
\end{enumerate}
\item Auch in dieser Metrik besteht $\N$ nur aus isolierten Punkten, denn zu $n\in \N$ und $\ve_n:=\frac{1}{4}\abs{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$ gibt es in der $\ve_n$-Umgebung von $n$ keine weiteren Punkte von $\N$.\\
Damit sind alle Einermengen abgeschlossen und kompakt, aber gleichzeitig auch offen, denn mit $n\in \set{n}$ ist auch $U_{\ve_n}(n)\subseteq \set{n}$; unsere Welt besteht eben nur aus Punkten von $\N$.\\
Nach einem allgemeinem Satz sind beliebige Vereinigungen offener Mengen selbst offen, also ist jede Teilmenge von $\N$ offen in $(\N,d)$.\\
Da dann aber deren Komplement ebenfalls offen ist, sind alle Teilmengen offen und abgeschlossen zugleich.\\
Aus der Überdeckung 
\[\N \subset \bigcup_{n\in\N}\,U_{\ve_n}(n)\] 
lässt sich offensichtlich keine endliche Teilüberdeckung auswählen, die $\N$ immer noch überdeckt, also ist $\N$ selbst in dieser Metrik nicht kompakt. Dasselbe gilt dann aber auch für alle abzählbaren Teilmengen. Alle endlichen Teilmengen sind selbstverständlich kompakt. 
\item Die Menge $\N$ selbst ist eine Cauchy-Folge, denn zu gegebenen $\ve>0$ exixtiert ein $n_0$ mit 
\[d(n,m)=\abs{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}<\ve\quad\text{für}\quad n,m>n_0.\]
Die Folge $\ser{\frac{1}{n}}$ hat bekanntlich den Grenzwert $0$. Da es aber kein $k\in \N$ mit $\frac{1}{k}=0$ gibt, kann diese Folge keinen Grenzwert in $\N$ haben. $(\N,d)$ ist also nicht vollständig.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Funktionentheorie }
\chapter{ Gaußsche Integralformel }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 176: Konjugierte Formel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
  Man berechne das Integral
  \bdm
      I= \oint \limits_{|z|=1} \frac{dz}{\bar{z}-z_0}   
  \edm
  über dem Einheitskreis!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 176}}\\
\underline{\em Lösung 1:}

  Auf dem Einheitskreis ist    
  \bdm
     \bar{z} = {1 \over z}
  \edm
    und
  \bdm
       \frac{1}{\bar{z}-z_0} = \frac{1}{ {\frac{1}{z}} -z_0} = -{1 \over z_0} 
\cdot \frac{z}{z - {1 \over z_0}}. 
  \edm

  Liegt $ { 1 \over z_0 } $ außerhalb des Einheitskreises, also $ z_0 $ 
innerhalb des Einheitskreises, dann ist nach dem Gaußschen Integralsatz 
das Integral $I=0$. 

  Liegt $ { 1 \over z_0 } $ innerhalb des Einheitskreises, also $ z_0 $
außerhalb  des Einheitskreises, dann ist nach der Gaußschen Integralformel 
\bdm
	\oint \frac{f(z)dz}{z-z_0} = 2 \pi i f(z_0)
\edm
das Integral $I=- \frac{2 \pi i}{ z_0}{1 \over z_0} = - \frac{2 \pi i}{ 
z_0^2}$,

bzw.
\bdm
    I= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & falls |z_0|<1 \\ - \frac{2 \pi i}{ 
z_0^2} & falls |z_0|>1 \end{array} \right. \ 
\edm\\

\underline{\em Lösung 2:}

Durch die Parametrisierung des Einheitskreises $ z=cos\phi+i sin\phi $ und 
anschließende Trennung von Real- und Imaginärteil erhält man mit $ z_0=x+i
 y $

   \bdm
        I = \int \limits_{\phi=0}^{2\pi}\frac{-sin\phi+i cos \phi}{(cos \phi
-x) - i (y+sin \phi)} d \phi     \edm
bzw.
    \bdm
        I = \int \limits_{\phi=0}^{2\pi}\frac{2 cos \phi sin \phi -x cos \phi +
y sin \phi}{2 x sin
 \phi - 2 y cos \phi -1 -x^2 - y^2}d\phi + i \int 
\limits_{\phi=0}^{2\pi}\frac{2 cos^2 \phi +x sin phi + y
cos  \phi - 1}{2 x sin \phi - 2 y cos \phi -1 -x^2 - y^2} d\phi
     \edm

Das Programm Mathematica (, installiert unter Linux im Computerkabinett des
Mathematischen
 Institutes, ) liefert mit dem Befehl 
 FullSimplify[Integrate[...,\{$\phi,0,2 \pi$\}]] 

\bdm
   I= \frac{-2\ \pi \ x\ y\ (-1+x^2+y^2)-2\ \pi \ x\ (x^2+{(-1+y)}^2)\ y\ 
\sqrt{\frac{{\big(-1+x^2+y^2\big)}^2}{{\big(x^2+{(-1+y)}^2\big)}^2}}}
{(-1+x^2+y^2)\ {(x^2+y^2)}^2} 
\edm
\bdm
+ i \ \frac{\pi \ \bigg(x^2-x^4-y^2+y^4-(x^2+{(-1+y)}^2)\ (x-y)\ (x+y)\ 
\sqrt{\frac{{\big(-1+x^2+y^2\big)}^2}{{\big(x^2+{(-1+y)}^2\big)}^2}}\ \bigg)}
{(-1+x^2+y^2)\ {(x^2+y^2)}^2}
\edm  

Wegen
\bdm
   \sqrt{\frac{{\big(-1+x^2+y^2\big)}^2}{{\big(x^2+{(-1+y)}^2\big)}^2}} = 
\frac{\big|-1+x^2+y^2\big|}{\big(x^2+{(-1+y)}^2\big)}
\edm
und
\bdm
   x^2-x^4-y^2+y^4 = -(x^2 - y^2)\ (-1 + x^2 + y^2)
\edm
vereinfachen sich diese Ausdrücke zu
\bdm
  I = \frac{-2\ \pi\ x\ y\ \big( (x^2 + y^2 - 1) + |x^2 + y^2 - 1| \big)}{(x^2 +
 y^2 - 1){(x^2+y^2)}^2} + i \ \frac{-\pi\ (x^2 - y^2)\ \big( (x^2 + y^2 - 1) +
|x^2 + y^2 - 1| \big)}{(x^2 + y^2 - 1){(x^2+y^2)}^2} 
\edm
Insgesamt erhält man nun
\bdm
    I= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & falls \ \ x^2+y^2 < 1  \\ 
	-2 \pi \ \frac{2\ x\ y +i\ (x^2-y^2)}{{(x^2+y^2)}^2} & falls \ \ 
x^2+y^2 >  1 \end{array} \right. \ 
\edm\\


\underline{\em Vergleich beider Lösungen:}

Mit $ z_0=x+i\ y $ ist 
\bdm
  {1 \over z_0^2} = \frac{\bar{z_0}^2}{{|z_0|}^2} = 
\frac{{(x-iy)}^2}{{(x^2+y^2)}^2} = \frac{x^2 -y^2 - 2\ i\ x\ y}{{(x^2+y^2)}^2}
\edm
und 
\bdm
  -\frac{2 \pi i}{z_0^2} = -2 \pi \ \frac{2\ x\ y +i\ (x^2-y^2)}{{(x^2+y^2)}^2},\edm
d. h. beide Ergebnisse stimmen überein.



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Gaußscher Integralsatz }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 177: Fresnelschen Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie unter Verwendung des reellen Integrals
\[\int_0^\infty\,\e^{-t^2}\,dt =\frac{1}{1}\int_0^\infty\,\e^{-u}u^{-1/2}\,du  =  \frac{\Gamma(1/2)}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
die sogenannten Fresnelschen Integrale
\[I_c := \int_0^\infty\,\cos(t^2)\, dt \quad\text{und}\quad I_s := \int_0^\infty\,\sin(t^2)\, dt,\]
indem Sie die in ganz $\C$ holomorphe Funktion $f (z) = \e^{-z^2}$ über den Rand des Kreissektors
\[ S=\set{z \in \C\ |\  |z| < R;  0 < arg (z ) < \frac{\pi}{4}}\]
integrieren, den Cauchyschen Integralsatz anwenden und schließlich den Grenzübergang $R \to \infty$ vollziehen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 177}}\\
Nach dem Gaußschen Integralsatz ist
\bea
0 &=& \int_{\delta S}\,\e^{-z^2}\,dz\\
&=& \int_0^R\,\e^{-t^2}\,dt + \int_0^{\frac{\pi}{4}}\,R\,i\,\vp\,\e^{i\vp}\e^{-R^2\e^{2i\vp}}\,d\vp +\int_R^0\,e^{i\frac{\pi}{4}}e^{-t^2\e^{i\frac{\pi}{2}}}\,dt\\
&=& \int_0^R\,\e^{-t^2}\,dt + \int_0^{\frac{\pi}{4}}\,R\,i\,\vp\,\e^{i\vp}\e^{-R^2(\cos(2\vp)+i\sin(2\vp))}\,d\vp -\rkl{\cos\rkl{\frac{\pi}{4}}+i\sin\rkl{\frac{\pi}{4}}}\int_0^R\,e^{-t^2\,i}\,dt\\
&=& \int_0^R\,\e^{-t^2}\,dt + \int_0^{\frac{\pi}{4}}\,R\,i\,\vp\,\e^{i\rkl{\vp-R^2\sin(2\vp)}}\e^{-R^2\cos(2\vp)}\,d\vp -\frac{\sqrt{2}}{2}\rkl{1+i}\int_0^R\,\rkl{\cos(t^2)-i\sin(t^2)}\,dt\\
\eea
Dabei haben wir folgende Parametisierungen verwendet:

\begin{description}
	\item[beim ersten Integral] $z=t,\ dz=dt$
	\item[beim zweiten Integral] $z=R\e^{i\vp},\ dz=R\,i\,\vp\e^{i\vp}\,dt$
	\item[beim dritten Integral] $z=\e^{i\frac{\pi}{4}}\,t,\ dz=\e^{i\frac{\pi}{4}}\, dt$
\end{description}

Sehen wir uns den Betrag des Integranden des zweiten Integrals an:
\[\abs{R\,i\,\vp\,\e^{i\rkl{\vp-R^2\sin(2\vp)}}\e^{-R^2\cos(2\vp)}}=R\,\vp\e^{-R^2\cos(2\vp)}.\]
Im betrachteten Intervall $0\le \vp\le \frac{\pi}{4}$ ist der Exponent der $\e$-Funktion positiv und der Integrand geht mit $R\to\infty$ gegen Null, was man z.~B. mit der regel von l'Hosspital beweisen kann. Insgesamt erhält man damit aus der obigen Beziehung durch Grenzübergan $R\o\infty$
\[0=\frac{\sqrt{\pi}}{2}+0-\frac{\sqrt{2}}{2}\rkl{1+i}\rkl{I_c-i\,I_s}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\rkl{I_c+I_s}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,i\,\rkl{I_c-I_s},\]
woraus das lineare Gleichungssystem
\[I_c-I_s=0,\quad I_c+I_s = \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \quad\text{also}\quad I_c = I_s = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}.\]

% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ komplexe Zahlen }
\section{ Rechnen mit komplexen Zahlen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 178: Betrag und Argument
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie von den folgenden komplexen Zahlen jeweils den Betrag und (ein) Argument:
\[ a)\ i^{2016}, \quad b)\ \frac{3 + 4i}{1 - 2i}, \quad c)\ (1 + i)^{17} - (1 - i)^{17}, \quad\  (1 - i)^n,\ n \in \Z.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 178}}\\
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{z := i^{2016} = i^{4\cdot 504} = \rkl{i^4}^{504} = 1^{504} = 1 \Longrightarrow |z|=1,\ \arg(z)=0}$,
	\item $\displaystyle{z :=\frac{3 + 4i}{1 - 2i} = \frac{11-2i}{5} \Longrightarrow |z|=\frac{\sqrt{125}}{5}=\sqrt{5},\ \arg(z)=-\arctan\frac{2}{11}}$,
	\item Es ist 
	\[ (1 \pm i)^{17} = (1 \pm i)\cdot \rkl{(1 \pm i)^2}^{8} = (1 \pm i)\cdot \rkl{(\pm 2i)^2}^{4} = (1 \pm i)\cdot \rkl{(-4)^2}^{2} = 256,\]
	und damit
	\[ z:=(1 + i)^{17} - (1 - i)^{17} = 256 \cdot \rkl{(1 + i) - (1 - i)} = 512 i, \text{ also } |z|=256, \arg(z)=\frac{\pi}{2}.\]
	\item Wegen $z=1-i = \sqrt{2}\cdot \e^{i \frac{7\pi}{4}}$ is 
	\[ z^n = \sqrt{2^n}\cdot \e^{i \frac{7\pi}{4}n}, \text{ also } |z^n|= \sqrt{2^n},\ \arg(z^n) = \frac{7\pi}{4}\,n.\] 
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 179: Beträge u. ä.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mit komplexen Zahlen:
\begin{enumerate}
	\item $\abs{2z_2 - 3z_1}^2$,
	\item $\abs{ z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_1}$,
	\item $\displaystyle{\im \rkl{\frac{z_1 z_2}{z_3}}}$,
\end{enumerate}
wobei $z_1 = 1 - i,\ z_2 = -2+4i$ und $z_3 = \sqrt{3} - 2i$ ist. (Mit $\bar{z}$ wird die zu $z$ konjugiert komplexe
Zahl bezeichnet, mit $i$ die imaginäre Einheit.)
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 179}}\\
\begin{enumerate}
	\item $\abs{2z_2 - 3z_1}^2 = \abs{-7 + 11 i}^2 = 49 + 121 = 170$,
	\item $\abs{ z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_1} = \abs{ z_1 \bar{z}_2 + \overline{z_1 \bar{z}_2}} = \abs{2\re\rkl{z_1 \bar{z}_2}} = \abs{-12} =12$,
	\item $\displaystyle{\im \rkl{\frac{z_1 z_2}{z_3}} = \im \rkl{\frac{z_1 z_2 \bar{z}_3}{\abs{z_3}^2}} = \frac{1}{7}\, \im\rkl{(1-i)(-2+4i)(\sqrt{3}+2i)}}$\\
	$\displaystyle{= \frac{1}{7} \rkl{-4 + 4\sqrt{3} +2\sqrt{3}+8} = \frac{4+6\sqrt{3}}{7}}$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 180: Geradengleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die folgenden drei Teilmengen $G_0, G_+, G_- \subset \C$ veranschauliche man sich
in der Gaußschen Zahlenebene, d.~h. man überlege sich, welche geometrischen Objekte 
dadurch beschrieben werden. Dazu seien $a, b \in \C,\ b \neq 0$ und
\bea
	G_0 &:=&\set{z \in \C\ |\ \im \rkl{\frac{z - a}{b}} = 0},\\
	G_+ &:=&\set{z \in \C\ |\ \im \rkl{\frac{z - a}{b}} > 0},\\
	G_- &:=&\set{z \in \C\ |\ \im \rkl{\frac{z - a}{b}} < 0}.
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 180}}\\

Die Bedingung für $G_0$ bedeutet auch
\[ \frac{z - a}{b} = t \in \R, \text{ also } z=a+ t\,b,\ t \in \R,\]
d.~h. $G:0$ ist eine Gerade durch den Punkt $a$ in Richtung $b$. Dementsprechend sind $G_+$ und $G_-$ die durch diese Gerade getrennten Halbebenen.\\

\underline{Ausführlichere Lösung:} Die Abbildung $f: \C \to \C$, definiert durch
\[ w = f(z) = \frac{z - a}{b}\]
stellt eine Verschiebung der komplexen Ebenen um $-a$ mit anschließender Drehstreckung um den Winkel $-\arg(b)$ und den Streckungsfaktor $1/|b|$ dar. Dabei wird der Punkt $z=a$ in den neuen Ursprung $w=0$ geschoben und anschließend um diesen Punkt gedreht.\\

$G_0$ ist nun das Urbild der reellen Achse und deshalb wieder eine Gerade mit $a \in G_0$. Wie oben erhält man noch den Richtungsvektor $b$. $G_+$ bzw. $G_-$ sind nun die Urbilder der oberen bzw. unteren Halbebene, wobei es auf die Richtung von $b$ ankommt, welche davon $G_+$ ist. Man kann dies untersuchen, indem man das Urbild von $w=i$ bestimmt, d.~h. ist für
\[\frac{z - a}{b} = i, \text{ auch } z=a + i\,b \in G_+ ,\]
dann ist $G_+$ das Urbild der oberen Halbebene und $G_-$ das der unteren Halbebene. Ansonsten ist es umgekehrt. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 181: Gleichungen und Ungleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie alle Zahlen $z\in \C$, die den folgenden Bedingungen genügen

\begin{enumerate}
	\item $\re z^3 = 27$,
	\item $z^2+(2+i)z +1+i =0$,
	\item $|z-i|+|z+2|<3$.
	\item Untersuchen Sie, für welche reellen Zahlen $a \geq 1$ die Gleichung
\[ z + a\,\abs{z + 1} + i = 0\]
komplexe Lösungen besitzt und bestimmen Sie diese.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 181}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wir benutzen kartesische Koordinaten $z=x+iy$, dann ist
	\[z^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3=x^3-3xy^2 + i(3x^2y-y^3)\]
	und 
	\[\re z^3 =x^3-3xy^2 =27\quad\text{bzw.}\quad y^2=\frac{1}{3}x^2-\frac{9}{x}.\]
	Offensichtlich ist $x=0$ keine Lösung der Ausgangsgleichung, deshalb darf man durch $x$ dividieren. Außerdem muss, da $y$ reell ist, die rechte Seite nichtnegativ sein, d.~h, es muss 
	\[\frac{1}{3}x^2-\frac{9}{x}\geq 0 \] 
	sein. Die ist offensichtlich für $x<0$ und für $x\geq 3$ richtig. Die Lösungsmenge ist dann also
	\[\set{z=x+i\sqrt{\frac{1}{3}x^2-\frac{9}{x}}\in\C\ |\ x\in \R \setminus (0,3]} \cup  \set{z=x-i\sqrt{\frac{1}{3}x^2-\frac{9}{x}}\in\C\ |\ x\in \R \setminus (0,3]} .\]
	Man kann diese sich z.~B. von Maple zeichnen lassen:\\
	\includegraphics[scale=0.4]{lImage024}
	\item Hier kann man einfach die Lösungsformel für quadratische Gleichungen benutzen, die im Komplexen wie im Reellen gilt:
	\[z_{1/2} = -\frac{2+i}{2}\pm\sqrt{\frac{(2+i)^2}{4} - (1+i)}=-1-\frac{i}{2} \pm \sqrt{\frac{3+4i-4-4i}{4}} =-1-\frac{i}{2} \pm \frac{i}{2}=\begin{cases}-1\\-1-i\end{cases}\]
	\item Wegen $|i-(-2)|=\sqrt{5}<3$ ist dies nach der bekannten Gärtnerkonstruktion\footnote{Schlage zwei Pflöcke in die Erde und befestige an Ihnen die Enden eines Seiles, das länger ist, als der Abstand dieser Pflöcke. Nun spanne das Seil durch einen dritten Stab und und zeichne mit diesen bei stets straff gespanntem Seil eine Linie auf den Erdboden und zwar auf beiden Seiten der Pflöcke. Du erhält eine Ellipse.} das Innere einer Ellipse, deren längere Symmetrieachse durch die Punkte $i$ und $2$ verläuft.
	
	Analytisch kann man sich das mit Hilfe kartesischer Koordinaten $z=x+iy$ folgendermaßen überlegen. Man kann die Ungleichung folgendermaßen umformen
	\bea
	3&>&|z-i|+|z+2|=|x+iy-i|+|x+iy+2|\\
	&=&\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+y^2}\\
	3-\sqrt{x^2+(y-1)^2}&>&\sqrt{(x+2)^2+y^2}\\
	9 -6\sqrt{x^2+(y-1)^2} +x^2+y^2-2y+1 &>& x^2+4x+4+y^2\\
	6 -2y -4x &>& 6\sqrt{x^2+(y-1)^2}\\
	3 -y -2x &>& 3\sqrt{x^2+(y-1)^2}\\
	9+y^2+4x^2-6y-12x+4xy &>& 9x^2+9y^2-18y+9\\
	0&>& 5x^2-4xy+8y^2+12x-12y\\
\eea

Die dazugehörige Gleichung repräsentiert eine Kurve zweiter Ordnung, die man sich auch von Maple zeichnen lassen kann:\\

	\includegraphics[scale=0.5]{lImage025}
	
Das es sich dabei um eine Ellipse handelt erkennt man daran, dass	die quadratische Form
\[5x^2-4xy+8y^2=5(x^2-\frac{4}{5}xy+\frac{8}{5}y^2)=5((x-\frac{2}{5}y)^2+\frac{36}{25}y^2>0\]
für $(x,y)\neq (0,0)$ ist. Um eine Ellipsengleichung der Form $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ zu erhalten, müsste man eine Hauptachsentransformation durchführen; diese sind später Gegenstand der Vorlesung.\\
Eine analytische  Beschreibung der Lösungsmenge erhält man über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, denn aus 
\[5x^2-4xy+8y^2+12x-12y =8(y^2-\frac{x+3}{2}y+\frac{5x^2+12x}{8})=0\]
erhält man die beiden Nullstellen
\[y_{1/2}=\frac{x+3}{4}\pm \sqrt{\frac{x^2+6x+36}{16}-\frac{10x^2+24x}{16}}=\frac{x+3}{4}\pm \frac{3}{4}\sqrt{-x^2-2x+4}=\frac{x+3}{4}\pm \frac{3}{4}\sqrt{5-(x+1)^2}.\]
Für eine nichtnegative Diskriminamte, also für $|x+1|\leq\sqrt{5}$ liegen für festes $x$ die zulässigen $y$-Werte zwischen diesen beiden Nullstellen, d.~h. die Lösungsmenge $L$ kann folgendermaßen beschrieben werden:
\bea
L= \left\{ z=x+iy\in\C\ \right. &|&\ -1-\sqrt{5}<x<-1+\sqrt{5},\\
&&\left .\frac{x+3-3\sqrt{5-(x+1)^2}}{4}<y<\frac{x+3+3\sqrt{5-(x+1)^2}}{4}\right\}.\\
\eea
\item Wegen $a\,\abs{z + 1} \in \R$ muss $\im z = -i$ sein und dann ist
\[ x := \re z = -a\,\sqrt{(x+1)^2 + 1}<0 \quad\text{bzw.}\quad (a^2-1)\, x^2 + 2\,a^2\,x +2\,a^2=0.\] 
Für $a^2=1$ erhalten wir $x=-1$ und $a=1$, für $a^2\neq 1$ ergibt sich nach der Lösungsformel
\[x^2 + \frac{2\,a^2}{a^2-1}\,x + \frac{2\,a^2}{a^2-1} =0 \quad\text{bzw.}\quad x_{1,2} = -\frac{a^2}{a^2-1} \pm \frac{a}{a^2-1}\sqrt{2\,a-a^2}.\]
Damit $x$ reell ist, muss $2\,a-a^2 \geq 0$, also $a\leq 2$ sein. Wegen $a>1$ ist $2\,a^2 > 2\,a$ bzw $a^2 > 2\a -a^2$, somit $a > \sqrt{2\,a-a^2}$ und somit sind beide Lösungen $x_{1,2}$ negativ, wie oben gefordert.\\

Insgesamt hat die Gleichung komplexe Lösungen für $a \in [1,2]$ und zwar
\[ \begin{cases} x= -1 & \text{für } a= 1 \text{ und} \\  x_{1,2} = -\frac{a^2}{a^2-1} \pm \frac{a}{a^2-1}\sqrt{2\,a-a^2} & \text{für } a \in (1,2]. 	
\end{cases}
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 182: Identitäten mit Beträgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die folgenden drei Behauptungen:
\begin{enumerate}
	\item Für $z \in \C$ gilt $|z + 1| > |z - 1|$ genau dann, wenn $\re z > 0$ ist.
	\item Für $z \in \C,\  z \neq 0$ gilt $\re \rkl{z + \frac{1}{z}} = 0$ genau dann, wenn $\re z = 0$ ist.
	\item Für $z \in \C,\  z \neq 0$ gilt $\im \rkl{z + \frac{1}{z}} = 0$ genau dann, wenn $\im z = 0$ oder $|z|=1$ ist.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 182}}\\
\begin{enumerate}
	\item $|z + 1| = |z - 1|$ beschreibt die Mittelsenkrechte auf der Strecke zwischen $z=-1$ und $z=1$, also die imaginäre Achse. Daher beschreibt $|z + 1| > |z - 1|$ die rechte Halbebene $\re z > 0$.\\
	
	\underline{anderer Weg:} 
	\[|z + 1| > |z - 1| \Leftrightarrow (z + 1)(\bar{z} +1) > (z - 1)(\bar{z} -1) \Longleftrightarrow 2 \re z = z + \bar{z} >0 \Leftrightarrow \re z >0.\]
	\item
	\[ \re \rkl{z + \frac{1}{z}} = \re \rkl{z + \frac{\bar{z}}{|z|^2}} = (\re z) \rkl{1+\frac{1}{|z|^2}} = 0 \Longleftrightarrow \re z = 0.\]
	\item
	\[ \im \rkl{z + \frac{1}{z}} = \im \rkl{z + \frac{\bar{z}}{|z|^2}} = (\im z) \rkl{1-\frac{1}{|z|^2}} = 0 \Longleftrightarrow \im z = 0 \text{ oder } |z|=1.\]
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 183: komplexe Wurzeln
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die Quadratwurzeln aus $5 + 7i$  und $\sqrt{2}\,(1 + i)$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 183}}\\

Es ist
\[z^2 = 5+7i = \sqrt{74} \,\e^{i\, \rkl{\arctan \frac{7}{5} +2k\pi}}\]
und deshalb
\[z_{1,2} = \pm \sqrt[4]{74} \,\e^{i\, \frac{1}{2}\,\arctan \frac{7}{5}}.\]
\ \\

Es ist 
\[z^2 = \sqrt{2}\, (1+i) = 2 \,\e^{i\, \rkl{\frac{\pi}{4} +2k\pi}}\]
und deshalb
\[z_{1,2} = \pm \sqrt{2} \,\e^{i\, \frac{\pi}{8}}.\]


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 184: Polynome
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der folgenden Gleichungen:
\[ (z - 3i)^6 + 64 = 0,\qquad  z^2 - z + i z - i = 0.\]
	\item Es sei $P = P (z)$ das folgende Polynom fünften Grades:
\[ P(z) = z^5 + z^4 - 2 z^3 + 2 z^2 + 4z.\]
Berechnen Sie $P (1 + i)$, $P (2 + i)$ und zerlegen Sie $P$ in Linearfaktoren!
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 184}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist 
	\[(z - 3i)^6 = -64 = 2^6 \, \e^{i\,(\pi + 2 k \pi)},\]
	also 
	\[ z_k -3i = 2 \, \e^{i\,(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} k)},\quad k=0,1,2,3,4,5,\]
	bzw.
	\bea
	  z_0 = \cos \frac{\pi}{6} + i \rkl{3 + \sin \frac{\pi}{6}} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{7}{2} i,\\
	  z_1 = \cos \frac{\pi}{2} + i \rkl{3 + \sin \frac{\pi}{2}} &=& 4 i,\\
	  z_2 = \cos \frac{5 \pi}{6} + i \rkl{3 + \sin \frac{5 \pi}{6}} &=& -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{7}{2} i,\\
	  z_3 = \cos \frac{7\pi}{6} + i \rkl{3 + \sin \frac{7\pi}{6}} &=& -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i,\\
	  z_4 = \cos \frac{3\pi}{2} + i \rkl{3 + \sin \frac{3\pi}{2}} &=& 2 i,\\
	  z_5 = \cos \frac{11\pi}{6} + i \rkl{3 + \sin \frac{11\pi}{6}} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i.\\
	\eea
	 
	Nach der Lösungsformel ist
	\[ z_{1,2} = \frac{1-i}{2} \pm \sqrt{-\frac{i}{2} +i} = \frac{1-i}{2} \pm \sqrt{\frac{i}{2}} = \frac{1-i}{2} \pm \frac{1+i}{2} =\begin{cases}
1\\ -i \end{cases} .\]
\item Es ist
\bea
  P(z) &=& z \, \rkl{z^4 + z^3 - 2 z^2 - 2 z + 4 z + 4} = z\, (z+1)\, (z^3 -2 z +4)\\
	&=&  z\, (z+1) \, (z^3 +2 z^2 -2 z^2 -4 z + 2 z +4) = z\, (z+1) \, (z+2) \,(z^2 -2 z + 2) 
\eea
und wegen 
\[z^2 -2 z + 2 = 0 \Longleftrightarrow (z-1)^2 = -1 \Longleftrightarrow z = 1 \pm i\]
ist
\[P(z) = z\, (z+1) \, (z+2) \,(z - 1- i)\,(z-1+i)\]
die Linearfaktorzerlegung von $P$.

Außerdem folgt unmittelbar
\[P (1 + i) = 0,\ P (2 + i) = (2 + i)\, (3 + i) \, (4 + i) \,(1+2 i) = (5 +5i)\,(2 + 9 i) = -35 +55 i.\]




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 185: Unimodularität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a,b$ komplexe Zahlen mit $|a|\neq|b|$ und $z$ eine
unimodulare komplexe Zahl. Beweisen Sie, dass dann $\bar{b}z+a\neq 0$ 
ist und die komplexe Zahl 
$$w:=\bigl(\bar{a}z+b\bigr)/\bigl(\bar{b}z+a\bigr)$$
wieder unimodular ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 185}}\\
1. Weg:\\
Es gilt wegen der Dreiecksungleichung:
$$|\bar{b}z+a|\geq\bigl||\bar{b}z|-|a|\bigr|=\bigl||b|-|a|\bigr|>0.$$
Ferner ist dann
$$|w|^2=w\cdot\bar{w} = \frac{\bar{a}z+b}{\bar{b}z+a}\cdot
\frac{a\bar{z}+\bar{b}}{b\bar{z}+\bar{a}}
= \frac{|a|^2|z|^2+\bar{a}\bar{b}z+ab\bar{z}+|b|^2}{
|b|^2|z|^2+\bar{a}\bar{b}z+ab\bar{z}+|a|^2}=1.$$
2. Weg:\\
Wäre $\bar{b}z+a=0$, so folgte $\bar{b}z=-a$ bzw. $|\bar{b}z|=|-a|=|a|$, d.~h. $|\bar{b}||z|=|a|$ und wegen $|z|=1$ w"are dann auch  $|b|=|a|$. Da Letzteres ausgeschlossen ist, kann auch Ersteres nicht gelten.\\
Nun folgt aus $z\,\bar{z} = |z|^2 =1$ auch $ \frac1z = \bar{z}$ und weiter 
$$\bar{b}z+a = z\,(\bar{b} + a\bar{z}) = z\,\overline{(\bar{a}z+b)},\quad\mbox{also}\quad |\bar{b}z+a| = |z|\,|\bar{a}z+b| = |\bar{a}z+b|.$$
Damit ist auch
$$|w|= \frac{|\bar{a}z+b|}{|\bar{b}z+a|}=1.$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 186: Vereinfachung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen
Zahl:
$$\frac{(1+i)^4}{(1-i)^3}+\frac{(1-i)^4}{(1+i)^3}.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 186}}\\
1. Weg:\\
a) Wegen $1 \pm i = \sqrt{2}\,e^{\pm i\frac\pi4}$ ist $(1+i)^4=(1-i)^4= -4$, also
$$\frac{(1+i)^4}{(1-i)^3}+\frac{(1-i)^4}{(1+i)^3}= (1-i)+(1+i)=2.$$
2. Weg (direkt):\\
$$\frac{(1+i)^4}{(1-i)^3}+\frac{(1-i)^4}{(1+i)^3}= \frac{(\sqrt{2}\,e^{i\frac\pi4})^4}{(\sqrt{2}\,e^{-i\frac\pi4})^3}+\frac{(\sqrt{2}\,e^{-i\frac\pi4})^4}{(\sqrt{2}\,e^{i\frac\pi4})^3}=\sqrt{2}\,e^{i\frac\pi4} + \sqrt{2}\,e^{-i\frac\pi4} = 2\sqrt{2}\cos\frac\pi4 = 2.$$



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Möbiustransformationen }
\section{ Spiegelung am Kreis }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 187: Transformation auf Kreisringe
}}\\

% Aufgabentext eintragen

Wie sieht das Bild vom 
$$M:=\{z \in \raum{C} | 1<|z+i|<2\}$$
unter der Abbildung $f(z)=\frac{1}{z}$ aus?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}



% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 187}}\\

$M$ ist ein offener Kreisring um $z=-i$ mit den Radien 1 und 2.\\

Für alle $z \in M$ gilt: 
$$z=-i+r\e^{i\varphi} = r\cos\varphi +i\,(r\sin\varphi -1),\quad 1<r<2, 0 \leq \varphi < 2\,\pi.$$
Dann ist 
\bea
\frac1z &=& \frac{1}{r\cos\varphi +i\,(r\sin\varphi -1)}=\frac{r\cos\varphi -i\,(r\sin\varphi -1)}{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi -2r\sin\varphi +1}\\
&=&\frac{r\cos\varphi}{r^2-2r\sin\varphi +1}+i\,\frac{1-r\sin\varphi }{r^2-2r\sin\varphi +1}, \quad 1<r<2, 0 \leq \varphi < 2\,\pi.\\
\eea
Transformation des inneren Randes ($r=1$):
$$\frac{\cos\varphi}{2-2\sin\varphi}+i\,\frac{1-\sin\varphi}{2-2\sin\varphi}=\frac{\cos\varphi}{2-2\sin\varphi}+i\,\frac{1}{2}, \quad 0 \leq \varphi < 2\,\pi.$$ 
Das ist eine Parallele zur reellen Achse durch $z=\frac{i}{2}$.

Wegen $\frac{1}{-i}=i$ wird das Innere des Kreises $|z+i|=1$ auf die  Halbebene oberhalb dieser Geraden abgebildet, der Kreisring und das Äußere des Kreises $|z+i|=2$ auf die unterhalb dieser Geraden liegende Halbebene.

Transformation des äußeren Randes ($r=2$):
$$\frac{2\cos\varphi}{5-4\sin\varphi}+i\,\frac{1-2\sin\varphi}{5-4\sin\varphi}, \quad 0 \leq \varphi < 2\,\pi.$$
Wie man leicht sieht, liegen die Bilder symmetrisch zur imaginären Achse, für $\varphi=\frac{\pi}2$ ergibt sich $\frac1z=-i$, für $\varphi=\frac{3\pi}2$ ergibt sich $\frac1z=\frac{i}3.$ Es könnte sich also um einen Kreis mit Radius $r=\frac{2i}3$ um den Mittelpunkt $z=-\frac{i}3$ handeln, in der Tat ist
\bea
\left |\frac1z+\frac{i}3\right |&=&\sqrt{\left (\frac{2\cos\varphi}{5-4\sin\varphi} \right )^2 +\left (\frac{1-2\sin\varphi}{5-4\sin\varphi}+\frac13 \right )^2} \\
&=&\sqrt{\frac{36\cos^2\varphi}{9(5-4\sin\varphi)^2}+\frac{(8-10\sin\varphi)^2}{9(5-4\sin\varphi)^2}}\\
&=&\frac13\frac1{5-4\sin\varphi}\sqrt{36\cos^2\varphi+64-160\sin\varphi+100\sin^2\varphi}\\
&=&\frac13\frac1{5-4\sin\varphi}\sqrt{100-160\sin\varphi+64\sin^2\varphi}\\
&=&\frac13\frac1{5-4\sin\varphi}\sqrt{(10-8\sin\varphi)^2}\\
&=&\frac13\frac{10-8\sin\varphi}{5-4\sin\varphi}=\frac23\\
\eea
Der Punkt $z=2i$ liegt außerhalb des Kreisringes $M$, sein Bild wegen
$$\left |\frac1{2i}+\frac{i}3\right |=\left |-\frac{i}2+\frac{i}3\right |=\left |-\frac{i}6\right | = \frac16 < \frac23$$
aber innerhalb des Kreises $\left |\frac1z+\frac{i}3\right |=\frac23$, also wird der Außenbereich des Ringes in diesen kleinen Kreis abgebildet. Das Bild des Kreisringes ist also die Halbebene $\Im z < \frac12$ ohne diesen Kreis, d. h. 
$$f(M) = \left\{z \in \raum{C} \quad\mbox{mit}\quad \Im z < \frac12 \quad\mbox{ und}\quad \left |\frac1z+\frac{i}3\right |\geq\frac23\right\}$$

Wir lassen nun zur Kontrolle noch maple die Bilder der Kreise mit den Radien $r=1, 1.5, 2$ um den Punkt $z=-i$ zeichnen:

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot([[cos(t)/(2-2*sin(t)),(1-sin(t))/(2-2*sin(t)),t=0..2*Pi],[2*cos(
t)/(5-4*sin(t)),(1-2*sin(t))/(5-4*sin(t)),t=0..2*Pi],[3/2*cos(t)/(13/4
-3*sin(t)),(1-3/2*sin(t))/(13/4-3*sin(t)),t=0..2*Pi]],-3..3,-3..3,
color=[red,blue,green]);}{%
}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{lImage026}
\end{center}
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 188: Transformation auf Kreisringe
}}\\

% Aufgabentext eintragen

\begin{enumerate}
	\item  Wie kann man durch eine Möbiustransformation das Gebiet zwischen zwei
nichtkonzentrischen und durchschnittsleeren Kreislinien in der Gaußschen Zahlenebene
auf ein Gebiet zwischen zwei konzentrischen Kreislinien abbilden?
  \item Existiert eine Möbiustransformation, die das Gebiet\\ 
$G:=\set{z \in \C\, |\, \abs{z -1} > 1, \abs{z} < 8}$  auf
den Kreisring $R=\set{z \in \C\,|\, 1 < \abs{z} < 2}$\\ 
abbildet?
  \item Geben Sie alle Möbiustransformationen an, bei denen der innere Randkreis des Bildes von $G$ der Einheitskreis ist.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 188}}\\

\begin{enumerate}
	\item Es seien $K_1=\set{z\in\C\,|\,\abs{z-a_1}=r_1}, K_2=\set{z\in\C\,|\,\abs{z-a_2}=r_2}$ die gegebenen Randkreise. Dann sind entweder die Kreisscheiben durchschnittsfremd, d.~h. $r_1+r_2<\abs{a_1-a_2}$ oder $K_1$ ist (o.~B.~d.~A.) vollständig in $K_2$ enthalten, d.~h. $\abs{a_1-a_2}+r_1<r_2$, 
	Sei nun $M$ eine Transformation, die die gesuchte Eigenschaft besitzt und seien $L_1=\set{w\in\C\,|\,\abs{w}=s_1},  L_2=\set{w\in\C\,|\,\abs{w}=s_2}$ mit $s_1<s_2$ die Randkreise des Kreisrings. Dann sind die Punkte $w_1=0, w_2=\infty$ gemeinsame konjugierte Punkte von $L_1, L_2$ und ihre Urbilder $z_1=M^{-1}(w_1), z_2=M^{-1}(w_2)$ müssen gemeinsame konjugierte Punkte zu $K_1$ und $K_2$ sein.
	
	Die Bedingungen dafür lauten
	\[(z_1-a_1)\overline{(z_2-a_1)}=r_1^2\qquad\text{und}\qquad (z_1-a_2)\overline{(z_2-a_2)}=r_2^2.\]
	Sie führen auf eine quadratische Gleichung $z^2-pz+q=0$ für $z_1$ oder $z_2$ mit
	\[p=\frac{r_2^2-r_1^2-(a_1\overline{a_2}+\overline{a_1}a_2)+2\abs{a_1}^2}{\overline{a_2-a_1}},\qquad q=\frac{r_1^2a_2-a_1r_2^2-(a_2-a_1)\abs{a_1}^2}{\overline{a_2-a_1}}\]
	und
	\[D=p^2-q=?.\]
	Da sich die Kreise nicht schneiden, kann $D$ niemals gleich Null sein, man erhält also immer zwei derartige Zahlen $z_1, z_2$. Die Möbiustransformationen
	\[M_1(z):=\alpha\,\e^{i\psi}\frac{z-z_1}{z-z_2}\qquad\text{und}\qquad M_2(z):=\beta\,\e^{i\vt}\frac{z-z_2}{z-z_1}\]
	erfüllen nun die angegebenen Bedingungen. Dabei ist $M_1(z_1)=0$, $M_1(z_2)=\infty$, $M_2(z_1)=\infty$ und $M_2(z_2)=0$,.
	
	$M_1$ und $M_2$ sind bis auf Drehungen um die Winkel $\psi$ bzw. $\vt$ und bis auf Streckungen mit positiven, reellen Faktoren $\alpha$ bzw. $\beta$ eindeutig bestimmt. Daraus folgt insbesondere, dass das Verhältnis der Radien der Bildkreise $L_1, L_2$ bereits bestimmt ist. Man kann also im allgemeinen die Radien der Bildkreise nicht willkürlich vorgeben.
	\item Die Gleichungen zur Bestimmung der gemeinsamen konjugierten Punkte lauten in diesem Falle
	\[(z_1-1)\overline{(z_2-1)}=1\qquad\text{und}\qquad (z_1)\overline{(z_2)}=64.\]
	Diese führen auf die quadratische Gleichung $z^2-64z+64=0$ mit den reellen Lösungen $z_{1/2}=32\pm 8\sqrt{15}$. Wir bestimmen die Radien der Bildkreise unter der Abbildung $M_1$:
	
	Für $z\in K_1$ ist $z=1+\e^{i\vp}=1+\cos\vp+i\sin\vp$, also
	\bea
	s_1^2 &=& \abs{M_1(1+\cos\vp+i\sin\vp)}^2 =\alpha^2\frac{(1+\cos\vp-z_1)^2+\sin^2\vp}{(1+\cos\vp-z_2)^2+\sin^2\vp}\\
	&=&\alpha^2\frac{1+\cos^2\vp+z_1^2+2\cos\vp-2z_1(1+\cos\vp)+\sin^2\vp}{1+\cos^2\vp+z_2^2+2\cos\vp-2z_2(1+\cos\vp)+\sin^2\vp}\\
	&=&\alpha^2\frac{2+2\cos\vp-2z_1(1+\cos\vp)+64z_1-64}{2+2\cos\vp-2z_2(1+\cos\vp)+64z_2-64}\\
	&=&\alpha^2\frac{(1-z_1)(2\cos\vp-31)}{(1-z_2)(2\cos\vp)-31)}=\alpha^2\frac{1-z_1}{1-z_2}
	\eea
	
	Für $z\in K_2$ ist $z=8\e^{i\vp}=8\cos\vp+8i\sin\vp$, also
	\bea
	s_2^2 &=& \abs{M_1(8\cos\vp+8i\sin\vp)}^2 =\alpha^2\frac{(8\cos\vp-z_1)^2+8\sin^2\vp}{(8\cos\vp-z_2)^2+8\sin^2\vp}\\
	&=&\alpha^2\frac{64\cos^2\vp+z_1^2-16z_1\cos\vp+64\sin^2\vp}{64\cos^2\vp+z_2^2-16z_2\cos\vp+64\sin^2\vp}\\
	&=&\alpha^2\frac{64+64z_1-64-16z_1\cos\vp}{64+64z_2-64-16z_2\cos\vp}=\alpha^2\frac{z_1}{z_2}
	\eea
Das Verhältnis der Quadrate der Radien 
\[\frac{s_2^2}{s_1^2}	=\frac{z_1-z_1z_2}{z_2-z_1z_2}=\frac{32+8\sqrt{15}-32^2+64\cdot 15}{32-8\sqrt{15}-32^2+64\cdot 15}=\frac{4-\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}=\frac{31-8\sqrt{15}}{31}\]
ist irrational, deshalb kann $M_1$ nicht auf Kreise vom Radienverhältnis 2 abbilden.
Eine analoge Rechnung für $M_2$ führt auf dasselbe Radienverhältnis.
\item Die Abbildung $M_1$ bildet den außerhalb beider Kreise liegenden Punkt $z_1$ auf den Nullpunkt ab. Dementsprechend wird der Kreis $K_2=\set{z\in\C\,|\,\abs{z}=8}$ auf den inneren Rand des Kreisringes abgebildet, d.~h es muss 
\[1=s_2^2=\alpha^2\frac{z_1}{z_2}\qquad\text{bzw.}\qquad \alpha^2=\frac{z_2}{z_1}=\frac{32-8\sqrt{15}}{32+8\sqrt{15}}=\frac{31-8\sqrt{15}}{31}\]
sein. Damit erfüllt
\[M_1(z)=\e^{i\psi}\frac{31-8\sqrt{15}}{31}\frac{z-32+8\sqrt{15}}{z-32-8\sqrt{15}}\]
die genannten Bedingungen.
Analog erhält man für die Abbildung $M_2$ ...
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Residuensatz }
\section{ Berechnung reeller Integrale }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 189: Residuensatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berchnen Sie das Integral 
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx$$
mit Hilfe eines komplexen Integrals.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 189}}\\
{\bf 1. Variante: Integration über den unteren Halbkreis:}\\
Wir betrachten das komplexe Integral
$$I=\oint_\Gamma  \frac{\e^{-iz}}{1+z^2}dz, $$
hierbei ist die Kurve $\Gamma $ der untere Halbkreis des Kreises mit Radius $R$ um den Koordinatenursprung in mathematischer negativer Richtung, d. h. im Uhrzeigersinn. Innerhalb der Integrationskurve hat der Integrand 
$$f(z)= \frac{\e^{-iz}}{1+z^2}$$
eine einzige isolierte Sigularität bei $z=-i$ mit dem Residuum 
$$  (z+i)\frac{\e^{-iz}}{1+z^2}|_{z=-i} = -{1\over 2i\e}, \mbox{ d. h.  }I=-2\pi i Res(f,-i) = {\pi \over \e}.$$
(Das negative Vorzeichen resultiert aus dem Umlaufsinn.)
Wir betrachten das Integral über den unteren Bogen mit Hilfe der Parametisierung $z=R\e^{-i\varphi }, \varphi \in [0,\pi]$, dann ist wegen $dz=-iR \e^{-i\varphi} d\varphi$, 
$$\int_{-R}^R \frac{\e^{-ix}}{1+x^2}\,dx = {\pi \over \e} 
+ iR \int_0^\pi \frac{\e^{-iR(\cos \varphi - i \sin \varphi)}\e^{-i\varphi}}
{1+R^2\e^{-2i\varphi}}\,d\varphi  = {\pi \over \e} 
+ iR \int_0^\pi \frac{\e^{-iR\cos \varphi}\e^{-R\sin \varphi}\e^{-i\varphi}}
{1+R^2\e^{-2i\varphi}}\,d\varphi.  $$
Da $\sin\varphi$ für $\varphi \in [0,\pi]$ nichtnegativ ist, kann man den Betrag des Integranten des letzten Integrals (einschließlich des davor stehenden Faktors $iR$ gegen ${C\over R}$ abschätzen. Der Grenzübergang $R\longrightarrow \infty$ führt also zu
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx - i\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{1+x^2}\,dx = {\pi \over \e} $$
bzw.
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx = {\pi \over \e} \mbox{  und  } \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{1+x^2}\,dx=0. $$\\

\noindent{\bf 2. Variante: Integration über den oberen Halbkreis:}\\
Wir betrachten jetzt das komplexe Integral
$$I=\oint_\Gamma  \frac{\e^{iz}}{1+z^2}dz, $$
hierbei ist die Kurve $\Gamma $ der obere Halbkreis des Kreises mit Radius $R$ um den Koordinatenursprung in mathematischer positiver Richtung, d. h. gegen den Uhrzeigersinn. Innerhalb der Integrationskurve hat der Integrand 
$$f(z)= \frac{\e^{iz}}{1+z^2}$$
eine einzige isolierte Sigularität bei $z=i$ mit dem Residuum 
$$  (z-i)\frac{\e^{iz}}{1+z^2}|_{z=i} = {1\over 2i\e}, \mbox{ d. h.  }I=2\pi i Res(f,i) = {\pi \over \e}.$$
Wir betrachten das Integral über den oberen Bogen mit Hilfe der Parametisierung $z=R\e^{i\varphi }, \varphi \in [0,\pi]$, dann ist wegen $dz=iR \e^{i\varphi} d\varphi$, 
$$\int_{-R}^R \frac{\e^{ix}}{1+x^2}\,dx = {\pi \over \e} 
- iR \int_0^\pi \frac{\e^{iR(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\e^{i\varphi}}
{1+R^2\e^{2i\varphi}}\,d\varphi  = {\pi \over \e} 
+ iR \int_0^\pi \frac{\e^{iR\cos \varphi}\e^{-R\sin \varphi}\e^{i\varphi}}
{1+R^2\e^{2i\varphi}}\,d\varphi.  $$
Da $\sin\varphi$ für $\varphi \in [0,\pi]$ nichtnegativ ist, kann man den Betrag des Integranten des letzten Integrals (einschließlich des davor stehenden Faktors $iR$ gegen ${C\over R}$ abschätzen. Der Grenzübergang $R\longrightarrow \infty$ führt also zu
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx + i\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{1+x^2}\,dx = {\pi \over \e} $$
bzw.
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx = {\pi \over \e} \mbox{  und  } \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{1+x^2}\,dx=0. $$\\

% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Gewöhnliche Differentialgleichungen }
\chapter{ Einführende Übungen }
\section{ DGls zu Kurvenscharen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 190: DGl zu zweiparametriger Parabelschar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei folgende 2-parametrige Schar von Parabeln im $\R^2$ gegeben:
\[ \set{(x, y) \in \R^2 \ |\  y = a\,(x - b)^2,\ a, b \in \R}.\]
Bestimmen Sie eine Differentialgleichung 2. Ordnung, welche diese Parabeln als Lösungskurven besitzen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 190}}\\
zweimaliges Differenzieren der Schargleichung ergibt
\bea
y(x) &=& a\,(x-b)^2,\\
y'(x) &=& 2\,a\,(x-b) \quad\text{bzw.}\quad x-b=\frac{y'}{2a},\\
y''(x) &=& 2\,a \quad\text{bzw.}\quad a=\frac{y''}{2},\\
\eea
Setzt man nun das $a$ aus der dritten Zeile in die erste und zweite Zeile und anschließend noch das $x-b$ aus der zweiten Zeile in die erste Zeile ein, so erhält man
\[y=\frac{y''}{2} \, \rkl{\frac{y'}{2\frac{y''}{2}}}^2 = \frac{y'^2}{2 y''} \quad\text{bzw.}\quad 2\,y\,y''=y'^2.\]
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 191: Einparametrige Geradenschar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei folgende 1-parametrige Geradenschar im $\R^2$ gegeben:
\[ \set{ (x, y) \in \R^2 \ |\  y = 2c\,(x - c) + c^2,\  c \in \R}.\]
\begin{itemize}
	\item Wie viele Kurven der Schar gehen durch einen gegebenen Punkt $(x_0, y_0) \in \R^2$ ?
	\item Geben Sie eine Differentialgleichung 1. Ordnung an, welche diese Geraden als Lösungskurven besitzen.
\end{itemize}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 191}}\\
Wir vereinfachen zunächst die Schargleichung wie folgt und bilden die erste Ableitung:
\[y = 2c\,(x - c) + c^2 \Longleftrightarrow 0=y-2c\,x + c^2\]
\[ y'=2c \quad\text{bzw.}\quad c=\frac{y'}{2}.\]
\begin{itemize}
	\item Die erste Gleichung ist eine quadratische Gleichung in $c$. Für eine Gerade durch den Punkt $(x_0, y_0) \in \R^2$ hat diese die Lösungen
	\[c_{1/2} = x \pm \sqrt{x_0^2-y_0},\]
	d.~h. die Anzahl $A$ der durch $(x_0, y_0) \in \R^2$ gehenden Geraden ist
	\[ A= \begin{cases} 0 & \text{falls } y_0> x_0^2\\ 1 & \text{falls } y_0 =  x_0^2\\2 & \text{falls } y_0 < x_0^2	\end{cases}.\]
	\item Setzt man das $c$ aus der zweiten Gleichung in die erste ein, so erhält man die \dgl\ 
	\[ y=x y' - \frac{y'^2}{4}.\]
	\emph{Bemerkung:} Dies ist eine Clairautsche \dgl, die die Geradenschar und deren Einhüllende, die Parabel $y=x^2$, als Lösungen hat.
\end{itemize}


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Einfache Anfangswertprobleme }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 192: Anfangs- und Randwertprobleme
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{itemize}
	\item Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems:
	\[y^{(3)}(x) = \sin 2x,\ (x \in [0, 1]),\ y\rkl{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi^2}{32},\ y'\rkl{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4},\ y''\rkl{\frac{\pi}{4}} = 1.\]
	\item Bestimmen Sie die Lösung des Randwertproblems:
	\[ y''(x) = x^3\ (x \in [0, 1]),\ y (0) = y(1) = 0\]
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 192}}\\
\begin{itemize}
	\item Fortlaufendes Integrieren und Einsetzten der Anfangswerte ergibt
	\bea
	y''(x) &=& -\frac{\cos 2x}{2} +c_2,\quad 1=c_2,\quad\text{also}\quad y''(x)=1-\frac{\cos 2x}{2}\\
	y'(x) &=& x-\frac{\sin 2x}{4} +c_1,\quad \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}+c_1,\quad\text{also}\quad y'(x)=x-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{1}{4}\\
	y(x) &=& \frac{x^2}{2}+\frac{\cos 2x}{8} +\frac{1}{4}x+c_0,\quad \frac{\pi^2}{32}=\frac{\pi^2}{32}+\frac{\pi}{16}+c_0,\quad\text{also}\quad y(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{\cos 2x}{8} +\frac{1}{4}x-\frac{\pi}{16}.\\
	\eea
	\item Zweimaliges Integrieren ergibt 
	\[y(x) = \frac{x^5}{20} +ax +b.\]
	Einsetzen der Randwerte ergibt $0=b$ und $0=\frac{1}{20} +a +b$, also $y(x)= \frac{1}{20}(x^5-x)$.
\end{itemize}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 193: \awp\ zu einer \dgl\ $n$-ter Ordnung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $n \in \N, x_0 \in \R$ und $y_0, y_1,\ldots, y_{n-1} \in \R$ gegeben. Bestimmen Sie die
Lösung des Anfangswertproblems:
\[ y^{(n)}(x) = \e^x,\ (x \in \R), y (x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, \ldots, y^{(n - 1)}(x_0) = y_{n - 1}.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 193}}\\
\begin{description}
	\item[1. Möglichkeit:] Wir betrachten zunächst die homogene \dgl\ $y^{(n)} =0$. Deren allgemeine Lösung ist ein Polynom $(n-1)$-ter Ordnung, das man günstigsterweise in Potenzen von $(x-x_0)$ schreibet, also
\[ y_h(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k (x-x_0)^k.\]
 Offensichtlich ist $y_s(x) = \e^x$ eine spezielle Lösung der inhomogenen \dgl. Die allgemeine Lösung der inhomogenen \dgl\ ist dann also
\[y(x)= \e^x +  \sum_{k=0}^{n-1} a_k (x-x_0)^k.\]
$(n-1)$-maliges Differenzieren und Einsetzen der Anfangswerte führt auf ein Lineares Gleichungssystem für die noch unbekannten $a_0, a_1,\ldots, a_{n-1}$, denn es ist
\[ y^{(m)}(x) = \e^x + \sum_{k=m}^{n-1} a_k\,k\,(k-1)\ldots (k-m+1) (x-x_0)^{k-m},\quad y^{(m)}(x_0) =\e^{x_0} + a_m m!,\]
woraus 
\[a_m = \frac{y_m-\e^{x_0}}{m!},\ m=0,\ldots,n-1\]
folgt.
\item[2. Möglichkeit:] Fortwährendes Integrieren der \dgl\ und Einsetzen der Anfangswerte führt nacheinader zu
\begin{align*}
y^{(n-1)}(x) &= \e^x + c_{n-1},& c_{n-1}&=y_{n-1}-\e^{x_0}\\
y^{(n-2)}(x) &= \e^x + (y_{n-1}-\e^{x_0}) x +c_{n-2},& c_{n-2}&=y_{n-2}-\e^{x_0}-(y_{n-1}-\e^{x_0}) x_0\\
y^{(n-3)}(x) &= \e^x + \frac{y_{n-1}-\e^{x_0}}{2} (x-x_0)^2 +(y_{n-2}-\e^{x_0})x + c_{n-3},& c_{n-3}&=y_{n-3}-\e^{x_0}-\frac{y_{n-1}-\e^{x_0}}{2} (x-x_0)^2\\
&&&\ -(y_{n-2}-\e^{x_0}) x_0\\
&\vdots & & \vdots
\end{align*}
Fortsetzung dieses Verfahrens führt auf dieselben Werte wie oben.
\end{description}
% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ erster Ordnung }
\section{ Analytische Lösungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 194: Potenzreihenansatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für die Lösung des Anfangswertproblems
$$y'=x^3+y^3,\quad y(0)=1$$
bestimme man die ersten vier Glieder der Potenzreihenentwicklung. Man gebe außerdem eine Abschätzung für den Konvergenzradius an.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 194}}\\
Wir betrachten die Schar der \awpe 
$$y'=t\,x^3+y^3,\quad y(t,0)=1.$$
Für $t=1$ ist dies unser zu lösendes Problem, für $t=0$ kann man die explizite Lösung 
$$y(0,x)=\pm(1-2x)^{-\frac{1}{2}}=\pm\sum_{n=0}^\infty\ \bma{c}-\frac{1}{2}\\n\ema\,(-2x)^n=\pm\sum_{n=0}^\infty\ \frac{1}{2^n}\bma{c}2n\\n\ema\,x^n$$ des Problems angeben; die zugehörige Potenzreihenentwicklung hat den Konvergenzradius $R=\frac{1}{2}$.\\

\underline{{\bf\large 1. Lösung (durch Differenzieren):}}\\

Es ist
\begin{center}
	\begin{tabular}{lll}
		& $y(t,0) = 1$\\
		$y'(x)=t\,x^3+y^3$ & $ y'(t,0)=1$\\
		$y''(x)=3t\,x^2+3\,y^2\,y'(x)$ & $ y''(t,0)=3$\\
		$y'''(x)=6t\,x+6\,y\,(y')^2+3\,y^2\,y''$ & $ y'''(t,0)=15$\\
		$y^{(4)}(x)=6t+6\,(y')^3+18yy'y''+3y^2y'''$ & $ y^{(4)}(t,0)=105+6t$&$ y^{(4)}(1,0)=111$\\
	\end{tabular}
\end{center}
Die ersten vier Summanden der gesuchten Taylorentwicklung lauten daher
$$y(x) = 1 + x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{2}x^3 + \frac{37}{8}x^4 + \dots $$ 
\vskip 10pt
\underline{{\bf\large 2. Lösung (durch Reihenansatz:)}}\\

Mit dem Ansatz $$ y(x) = \sum_{n=0}^\infty\ a_n\,x^n\qquad\mbox{d. h.}\qquad y'(x) = \sum_{n=1}^\infty\ n\,a_n\,x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty\ (n+1)\,a_{n+1}\,x^n$$
erhält man aus der Produktformel von Cauchy zunächst
$$y^2(x) = \sum_{n=0}^\infty\,\sum_{k=0}^n\ a_k\,x^k\,a_{n-k}\,x^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty\,x^n\,\sum_{k=0}^n\ a_k\,a_{n-k}$$
und dann
$$y^3(x) = \sum_{n=0}^\infty\,\sum_{k=0}^n\ x^k\,\sum_{l=0}^k a_l\,a_{k-l}\,x^{n-k}\,a_{n-k} = \sum_{n=0}^\infty\,x^n\left (\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,a_{k_1}a_{k_2} a_{k_3}\right ).$$
Koeffizientenvergleich ergibt
\bea
a_1 &=& a_0^3\\
2\,a_2 &=& 3\,a_0^2\,a_1\\
3\,a_3 &=& 3\,(a_0^2a_2+a_1^2a_0)\\
4\,a_4 &=& 3\,a_0^3a_3+6\,a_0a_1a_2 + a_1^3 +t\\
(n+1)\,a_{n+1} &=& \sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,a_{k_1}a_{k_2} a_{k_3}\qquad\mbox{für}\ n>3
\eea
Aus der Anfangsbedingung und durch fortwährendes Einsetzen erhält man
\bea
a_0&=&1\\
a_1 &=& 1\\
2\,a_2 &=& 3\qquad\mbox{d. h.}\ a_2=\frac{3}{2}\\
3\,a_3 &=& 3\,(\frac{3}{2}+1)\qquad\mbox{d. h.}\ a_3=\frac{5}{2}\\
4\,a_4 &=& 3\,\frac{5}{2}+6\,\frac{3}{2} + 1 +t\qquad\mbox{d. h.}\ a_4=\frac{35}{8}+\frac{t}{4}\\
\eea

Man erhält also dieselben Koeffizienten wie oben.

Die Summe in der allgemeinen Gleichung für 
$$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,a_{k_1}a_{k_2} a_{k_3}\qquad\qquad (R)$$
hat 
$$\bma{c} n+2 \\ 2 \ema = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$$
Summanden (Permutation von $n$ Einsen und zwei Zwischenwänden).\\

Für $t=0$ sind die Koeffizienten bekannt, setzt man diese in die Rekursionsformel (R) ein, so gilt
\bea
\frac{1}{2^{n+1}}\bma{c}2n+2\\n+1\ema\ &=& a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,a_{k_1}a_{k_2} a_{k_3}\\
&=&\frac{1}{n+1}\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,\frac{1}{2^{k_1}}\bma{c}2k_1\\k_1\ema\frac{1}{2^{k_2}}\bma{c}2k_2\\k_2\ema\frac{1}{2^{k_3}}\bma{c}2k_3\\k_3\ema\\
&=&\frac{1}{n+1}\,\frac{1}{2^{n}}\,\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,\bma{c}2k_1\\k_1\ema\bma{c}2k_2\\k_2\ema\bma{c}2k_3\\k_3\ema
\eea
woraus die Rekursionsformel
$$\frac{1}{n+1}\,\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,\bma{c}2k_1\\k_1\ema\bma{c}2k_2\\k_2\ema\bma{c}2k_3\\k_3\ema=\frac{1}{2}\,\bma{c}2n+2\\n+1\ema\qquad\qquad (R1)
$$
folgt.
Die Koeffizienten für $t>0$ hängen stetig von t ab und stimmen bis $n=3$ mit denen für $t=0$ überein. Bei $n=4$ gibt es einen Unterschied, aber für $n>4$ gilt wieder dieselbe Rekursionsformel (R). Hat man nun für ein $C>0$ Abschätzungen der Art
$$0 < a_k \leq \frac{(1+c)^k}{2^k}\bma{c}2k\\k\ema\qquad\forall k\leq n,$$
dann erhält man aus (R) und (R1)
\bea
0< a_{n+1}&=&\frac{1}{n+1}\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,a_{k_1}a_{k_2} a_{k_3}\\
&\leq&\frac{1}{n+1}\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,\frac{(1+c)^{k_1}}{2^{k_1}}\bma{c}2k_1\\k_1\ema\frac{(1+c)^{k_2}}{2^{k_2}}\bma{c}2k_2\\k_2\ema\frac{(1+c)^{k_3}}{2^{k_3}}\bma{c}2k_3\\k_3\ema\\
&=&\frac{1}{n+1}\,\frac{(1+c)^n}{2^{n}}\,\sum_{k_1+k_2+k_3=n}\,\bma{c}2k_1\\k_1\ema\bma{c}2k_2\\k_2\ema\bma{c}2k_3\\k_3\ema\\
&=&\frac{(1+c)^n}{2^{n}}\,\frac{1}{2}\,\bma{c}2n+2\\n+1\ema\\
&=& \frac{1}{1+c}\,\frac{(1+c)^{n+1}}{2^{n+1}}\,\bma{c}2n+2\\n+1\ema\\
&\leq& \frac{(1+c)^{n+1}}{2^{n+1}}\,\bma{c}2n+2\\n+1\ema,
\eea
d. h. man hat auch für $a_{n+1}$ strukturell dieselbe Abschätzung.

Nun kann man das $c$ aus $a_4$ berechnen. (Für $a_0$ bis $a_3$ ist ja $c=0$.) 
$$a_4 = \frac{35}{8}+\frac{t}{4} \leq \frac{(1+c)^4}{2^4}\bma{c}8\\4\ema=\frac{(1+c)^4}{2^4}\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 4}= (1+c)^4\frac{35}{8},$$
d. h.
$$\frac{35+2t}{35}\leq (1+c)^4.$$
Wegen $1+4c \leq (1+c)^4$ kann man $c>\frac{t}{70}$ wählen, um die Ungleichung zu erfüllen, d. h. man erhält für $t=1$ die Abschätzung
$$a_n \leq (1+\frac{1}{70})^n\, \frac{1}{2^n}\bma{c}2n\\n\ema$$
und 
$$\limsup_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} \leq (1+\frac{1}{70})\cdot 2.$$
Der Konvergenzradius ist also mindestens $\frac{70}{142}$.



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ direkt lösbare Typen }
\subsection{ Ähnlichkeitsdifferentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{220pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 195: Bahn einer Ente
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein Fluss strömt im 
Streifen $\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\::\:0\leq x\leq 1\}$ mit der 
Wassergeschwindigkeit $v=(0,v(x))$. Zur Zeit $t=0$ startet eine Ente im
Punkt $(1,0)$ und schwimmt mit der konstanten Relativgeschwindigkeit
$w$ immer in Richtung auf ihren Zielpunkt $(0,0)$.\\ 
Stellen Sie
eine Differentialgleichung für die Bahnkurve der Ente auf und 
diskutieren Sie die Lösung für für konstante $v$ und für den Fall $v(x)=2x(x-1)$.\\

Erreicht die Ente immer ihr Ziel?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{210pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.35]{aImage011}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 195}}\\
Die Geschwindigkeit der Ente ist die Resultierende aus der Eigengeschwindigkeit $\vec{w}$ und der Strömungsgeschwindigkeit $\vec{v}$, d. h. es gilt:
$$
\bma{c}dx\\dy\ema = -\frac{w}{\sqrt{x^2+y^2}}\bma{c}x\\y\ema + \bma{c}0\\v(x)\ema
$$
Teilt man die zweite dieser Gleichunge durch die erste, dann erhält man die Differentialgleichung für die Bahnkurve der Ente, nämlich
$$
y'(x) = \frac{y}{x}-\frac{v(x)}{wx}\sqrt{x^2+y^2}\qquad\mbox{bzw.}\qquad
y'(x) = \frac{y}{x}-\frac{v(x)}{w}\sqrt{1+\left (\frac{y}{x}\right )^2}.
$$
Dies ist eine Euler-homogene \dgl, die sich durch die Substitution $y(x)=xu(x)$ in die \dgl
$$
u'(x) = -\frac{v(x)}{wx}\sqrt{1+u^2}
$$
umformen lässt, die man durch Trennung der Variablen folgendermaßen lösen kann.
\bea
\int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} & = & -\int \frac{v(x)}{wx} dx\\
\ln (u+ \sqrt{1+u^2}) & = & -\int \frac{v(x)}{wx} dx + C\\
u+ \sqrt{1+u^2} & = & K\e^{-\int \frac{v(x)}{wx} dx}\\
y + \sqrt{x^2+y^2} & = & Kx\e^{-\int \frac{v(x)}{wx} dx}.
\eea
Für konstantes $v(x)\equiv v$ erhält man daraus einfach
$$
y + \sqrt{x^2+y^2} = Kx\e^{-\ln(x)\frac{v}{w}} = Kx^{1-\frac{v}{w}}
$$
bzw., da aus $y(1)=0$ noch $K=1$ folgt,
$$
x^2+y^2 = x^{2-2\frac{v}{w}} -2 y x^{1-\frac{v}{w}} + y^2\qquad\mbox{oder}\qquad
y(x) = \frac{1}{2}\left ( x^{1-\frac{v}{w}} - x^{1+\frac{v}{w}} \right ).
$$
\ben
\item Für $v > w$ ist der erste Exponent negativ, d. h. $\lim_{x\rightarrow 0} y(x) = \infty$, d. h. die Ente erreicht das linke Ufer nie. Sei z. B. $v=2, w=1$

\includegraphics[scale=0.6, angle=270]{lImage027}
%\newpage
\item Ist $v = w$, dann ist $y(x) =-\frac{1}{2}(1- x^2)$, d. h. die Ente erreicht das andere Ufer zwar nicht in $y=0$ aber wenigstens in $y=\frac{1}{2} $.

\includegraphics[scale=0.6, angle=270]{lImage028}
%\newpage
\item Für $v < w$ sind beide Exponenten positiv, d. h. $\lim_{x\rightarrow 0} y(x) = 0$, d. h. die Ente erreicht das linke Ufer tatsächlich im Punkt $(0,0)$. 
Sei z. B. $v=1, w=2$

\includegraphics[scale=0.6, angle=270]{lImage029}
%\newpage
\item Ist $v(x)=2x(x-1)$ und etwa $w=1$, dann ist $y+\sqrt{x^2+y^2} = x\,\e^{x^2-\frac{x}2-\frac12}$, woraus ebenfalls $y(0)=0$ folgt, d.~h. die Ente erreicht das andere Ufer im Punkt $(0,0)$.

\includegraphics[scale=0.6, angle=270]{lImage030}
\een




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{290pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 196: Orthogonale Trajektorien
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme die orthogonalen Trajektorien zu der Kurvenschar $x^2+y^2=2cx$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{140pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage012}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 196}}\\
Die Gleichung $x^2+y^2=2cx$ ist äquivalent zur Gleichung
$(x-c)^2+y^2=c^2$, d. h. es handelt sich um eine Kreisschar, deren
Mittelpunkte auf der x-Achse liegen, die Kreise gehen
durch den Ursprung und tangieren dort die y-Achse. Für $c \rightarrow \infty$
erhält man die y-Achse ($x\equiv 0$), dies wird besonders deulich, wenn man
vor dem Grenzübergang die Ausgangsgleichung durch $c$ dividiert.
 
\underline{Herleitung der \dgls}

Sei y(x) eine zum Parameter c gehörige Kurve dieser Schar, dann ist für alle $x$ die
Funktion
$$F(x)=x^2-2cx+y^2(x)\equiv 0.$$
Differenziert man diese Identität nach $x$, dann erhält man die Gleichung
$$ F'(x) = 2x-2c+2y(x)y'(x) \equiv 0.$$
Aus beiden Gleichungen kann man $c$ eliminieren, z. B. indem man die zweite
Gleichung mit $x$ multipliziert und von der ersten subtrahiert. Man erhält auf
diese Weise
die Euler-homogene \dgl bzw. Ähnlichkeits-\dgl
\begin{equation}
y'=\frac{y^2-x^2}{2xy}=\frac{({y\over x})^2-1}{2{y\over x}}.
\end{equation}
Die Schar der orthogonalen Trajektorien genügt dann der ebenfalls
Euler-homogenen \dgl
\begin{equation}
y'=\frac{2xy}{x^2-y^2}=\frac{2{y\over x}}{1-({y\over x})^2}.
\end{equation}


\underline{Lösung der \dgl (1) für die ursprüngliche Kurvenschar}

Die Substitution $y(x)=xu(x)$ führt auf die \dgl 
$$ u'=\frac{\frac{u^2-1}{2u}-u}{x}=-\frac{u^2+1}{2ux},$$
die sich durch Trennung der Variablen lösen läßt.
Man erhält durch Trennung 
$$
-\int \frac{2udu}{1+u^2} = \int {dx\over x}.
$$
und durch Integration die Gleichung
$$-\ln(1+u^2)=\ln|x|+K $$ bzw. $$1+({y\over x})^2={2c\over x},$$ wobei
$2c={1\over K}$ gesetzt wurde, d. h.
$$x^2+y^2=2cx.$$
Das ist tatsächlich die Ausgangsschar. 

\underline{Lösung der \dgl (2) für die Trajektorienschar}


Die Substitution $y(x)=xu(x)$ führt auf die \dgl 
$$ u'=\frac{\frac{2u}{u^2-1}-u}{x}=\frac{u+u^3}{x(1-u^2)},$$
die sich durch Trennung der Variablen lösen läßt.
Man erhält durch Trennung 
$$
\int \frac{1-u^2}{u+u^3}du = \int {dx\over x}.
$$
und die Integration der Gleichung mittels Partialbruchzerlegung $
\frac{1-u^2}{u+u^3}={1\over u}-\frac{2u}{1+u^2}$ liefert
$$\ln|u|-\ln(1+u^2)=\ln|x|+K $$ bzw. $$\frac{u}{1+u^2}=Kx$$ bzw. 
$$\frac{xy}{x^2+y^2}=Kx$$ bzw. $$x^2+y^2=2cy,$$ wobei
$2c={1\over K}$ gesetzt wurde, d. h. 
$$x^2+(y-c)^2=c^2.$$
Die Trajektorienschar ist also die Kreisschar, deren Mittelpunkte auf der
y-Achse liegen und die die x-Achse im Ursprung tangieren.

Der Fall $y \equiv 0$ bzw. $u \equiv 0$ muss gesondert
behandelt werden. Wie man sieht, ist die Gerade $y=0$, also die x-Achse,
ebenfalls eine Lösung der Trajektoriengleichung. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{160pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 197: Parabolspiegel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Welche Form hat ein Spiegel, der von einem Punkt ausgehende Strahlen parallelisiert?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{270pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage013}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 197}}\\
\underline{Herleitung der \dgl}
Die Stahlungsquelle befinde sich im Koordinatenursprung, die Strahlen sollen in Richtung der positven x-Achse parallelisiert werden.

Wegen des Brechungsgesetzes ist das Dreieck $\Delta MOP$
gleichschenklig, d. h. es gilt $$\overline{MO}=\overline{PO}= \sqrt{x^2+y^2}.$$ 

In einem Punkt $P(x,y)$ des Spiegels gilt unter Beachtung von $x<0$ für den Anstiegswinkel $\alpha$ der Tangente $\vec{MP}$
$$ y'=\tan \alpha = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}-|x|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}=\frac{{y\over x}}{\sqrt{1+({y\over
x})^2}+1}.$$
Dies ist eine Euler-homogene \dgl bzw. Ähnlichkeits-\dgl.

\underline{Lösung der \dgl}

Die Substitution $y(x)=xu(x)$ führt auf die \dgl 
$$ u' = \frac{\frac{u}{\sqrt{1+u^2}+1}-u}{x} = - \frac{u\sqrt{1+u^2}}{x(1+ \sqrt{1+u^2})},$$
die sich durch Trennung der Variablen lösen läßt.

Die entsprechende Integralgleichung lautet
$$-\int \frac{1+\sqrt{1+u^2}}{u\sqrt{1+u^2}}du = \int {dx\over x}.$$
Substituiert man den Zähler der rechten Seite, $z=1+\sqrt{1+u^2}$, wobei $dz =\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}du$ und $u^2=z(z-2)$ ist, dann vereinfacht sich die Gleichung zu
$$-\int \frac{dz}{z-2}= \int {dx\over x},$$
aus der man durch Integrieren 
$$z={k\over x}+2$$
mit einer Konstanten k erhält. Die Rücksubstitution führt über
$$u^2=\frac{k^2}{x^2}+\frac{2k}{x}$$ zu $$y^2=k^2+2kx,$$ 
d. h. der Spiegel ist die um die x-Achse rotierende quadratische Parabel $x(y)=\frac{y^2}{2k}-{k\over 2}$.

Die Konstante k kann man durch Vorgabe des Abstandes a zur Strahlenquelle, also aus der Gleichung $x(0)=-a$ bzw. $-a=-{k\over 2}$ bestimmen.\\


\tip Die Herleitung wird einfacher, wenn man die y-Achse als Richtung der parallelen Strahlen wählt.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 198: Rechte Seite ist Funktion eines Quotienten aus Linearausdrücken
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass sich \dgls\  der Form
	\[y'=f\rkl{\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}}\qquad\text{mit}\qquad D=\det\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\\\end{pmatrix}\]
	im Falle $D=0$ auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen und im Falle $D\neq 0$ auf eine Ähnlichkeits-\dgl\ bzw. eine Euler-homogene \dgl\ zurückführen lassen.
	\item Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der \dgl
	\[y'=\frac{x+y+1}{x+2}-\exp\rkl{\frac{x+y+1}{x+2}}\ .\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 198}}\\
\begin{enumerate}
	\item Man betrachte das lineare Gleichungssystem
\bea
a_1x+b_1y & = & -c_1\\
a_2x+b_2y & = & -c_2\\
\eea
Wenn die Koeffizientendeterminante $D$ verschwindet, dann lässt sich der
Zähler in der Form $\lambda (a_2x+b_2y+c_3) + \beta$ schreiben, d. h.
\[
f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}) = f(\lambda +\frac{\beta}{a_2x+b_2y+c_2}) = g(a_2x+b_2y+c_2).
\]
Durch die Ersetzung $z(x)=a_2x+b_2y(x)+c_2$ lässt sich diese \dgl\ in die autonome \dgl
\[z'=a_2+b_2g(z)\] 
umwandeln.

Andernfalls ($D \neq 0$) gibt es eine eindeutige Lösung
$(x_0,y_0)$ des linearen Gleichungssystems. Man substituiere nun
\bea
u & = & x - x_0\\
v & = & y - y_0\\ 
\eea
und rechne die Differentialgleichung auf die neuen Variablen um:
\bea
a_1x+b_1y+c_1 & = & a_1(x-x_0) + b_1(y-y_0) = a_1u + b_1v\\
a_2x+b_2y+c_2 & = & a_2(x-x_0) + b_2(y-y_0) = a_2u + b_2v\\
y'=\frac{dy}{dx} &=& \frac{d(v+y_0)}{du}\frac{du}{dx}=\frac{dv}{du}=v',\quad\text{also}\\  
v' = y' & = & f(\frac{a_1u + b_1v}{a_2u + b_2v})=f(\frac{a_1+b_1{v \over u}}{a_2 +b_2{v\over u}})\\
\eea
Dies ist eine Euler-homogene \dgl. Durch die Substitution
$v(u)  =  u w(u)$ kann man daraus nun noch eine \dgl\ mit getrennten Variablen gewinnen:
\bea
w(u) + x w'(u) & = & f(\frac{a_1+b_2w}{a_2+a_2w})\\
w' & = & \frac{f(\frac{a_1+b_1w}{a_2+b_2w}) - w}{u}\\
\int \frac{dw}{f(\frac{a_1+b_1w}{a_2+b_2w}) - w} & = & \int \frac{du}{u} = \ln |u| +
C\\
\eea

	\item Das Gleichungssystem 
	\[x+y+1=0,\qquad x+2=0\]
	hat die eindeutige Lösung $x_0=-2, y_0=1$ und $D=1\neq 0$, d.~h mit der Ersetzung $u=x+2, v=y-1$ lässt sich die \dgl\  auf die Euler-homogene \dgl
	\[v'(u)=\frac{u+v}{u}-\exp\rkl{\frac{u+v}{u}}=1+\frac{v}{u}-\exp\rkl{1+\frac{v}{u}}\]
	zurückführen. Durch die Ersetzung $z=v/u$ bzw. $v(u)=z(u)\,u$ mit $v'=z'u+z$ erhält man daraus die \dgl
	\[z'u=1-\exp\rkl{1+z},\]
	die sich durch Trennung der Variablen lösen lässt:
	\bea
	\int\,\frac{dz}{1-\e^{1+z}}&=&\int\,\frac{du}{u}\\
	z-\ln\abs{1-\e^{1+z}}&=&\ln|u|+\ln C\\
	\e^z&=&Cu\rkl{1-\e^{1+z}}\\
	\exp\rkl{\frac{v}{u}}&=&Cu\rkl{1-\exp\rkl{1+\frac{v}{u}}}\\
	\exp\rkl{\frac{y-1}{x+2}}&=&C(x+2)\rkl{1-\exp\rkl{\frac{x+y+1}{x+2}}}\\
	\eea  
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Bernoullische Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 199: Anfangswertprobleme für Bernoullische Differentialgleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{itemize}
	\item Bestimme die allgemeine Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung
	\[ y' = -2 y + y^2 \e^x .\]
	\item Löse zur Differentialgleichung aus a) die Anfangswertprobleme mit:
\[ y(0) = 0 \quad \text{bzw.}\quad y(0) = 1 \quad \text{bzw.}\quad  y(0) = -1\]
und bestimme jeweils das maximale Existenzintervall der Lösung.
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 199}}\\
\begin{itemize}
	\item Durch die Substitution $y(x) = 1/z(x),\ y'(x)= -z'(x)/z^2(x)$ erhält man aus der ursprünglichen \dgl\  die lineare \dgl
\[ -\frac{z'}{z^2} = -\frac{2}{z} + \frac{\e^x}{z^2} \quad \text{bzw.}\quad z'= 2z -\e^x.\]
Die allgemeine Lösung der homogenen \dgl\  ist $z_h(x) = c\, \e^{2x}$. Eine spezielle Lösung der inhomogenen \dgl\ erhält man aus dem Ansatz $z_s(x) = a \e^x$, dann muss gelten
\[ a \e^x = 2 a \e^x -\e^x, \quad \text{also}\quad a=1.\]
Die allgemeine Lösung lautet also 
\[z(x) = c\, \e^{2x} + \e^x \quad\text{bzw.}\quad y(x) = \frac{1}{c\, \e^{2x} + \e^x} =\frac{1}{\e^x}\,\frac{1}{c\,\e^x+1}.\]
Dazu kommt die Lösung $y(x)\equiv 0$, die man bei der Substitution $z(x)= 1/y(x)$ verliert.
\item Es ist in der allgemeinen Lösung
\[y(0) = \frac{1}{c+1},\]
also kann man mit der das  \awp\ $y(0)=0$ gar nicht lösen. Die spezielle Lösung $y(x)\equiv 0$ erfüllt allerdings das \awp.\\

Für das \awp\ $y(0)=1$ folgt $c=0$, also $y(x)=\e^{-x}$. Diese Lösung existiert für alle $x\in\R$.\\

Für das \awp\ $y(0)=-1$ folgt $c=-2$, also $y(x)=\e^{-x}\,\frac{1}{-2\,\e^x+1}$. Diese Lösung existiert für alle $x\in (-\ln 2, \infty)$.\\

\end{itemize}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 200: Bernoullische Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine Differentialgleichung der Form $y'=f_0(x)y^\alpha+f_1(x)y$
mit gegebenen Funktionen $f_0,f_1:(a,b)\to{\mathbb R}$ und $\alpha\in
{\mathbb R\setminus \set{0,1}}$\footnote{Für $\alpha=0$ bzw. $\alpha=1$ ist die Gleichung bereits eine lineare inhomogene bzw. homogene \dgl.} heißt eine {\em Bernoullische Differentialgleichung}.\\
Durch die Transformation $y(x)=z^\beta(x)$ lässt sich eine solche Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung der Form
\[z'=a(x)\,z+s(x)\]
für $z$ zurückführen.
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie $\beta, a(x)$ und $s(x)$ aus $\alpha, f_0(x)$ und $f_1(x)$.
	\item Lösen Sie das Anfangswertproblem
\[y'=-y^2+\frac{1}{x}y,\quad y(1)=\frac{2}{3}.\]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 200}}\\
\begin{enumerate}
	\item Mit $y=z^\beta$ ist 
\[y'(x)=\beta\,z^{\beta-1}\,z'(x)=f_0(x)z^{\alpha \beta}+f_1(x)z^\beta.\]
Division durch $\beta\,z^{\beta-1}$ führt zu
\[ z'(x)=\frac{1}{\beta} f_0(x)\,z^{\alpha-\beta+1}+\frac{1}{\beta}f_1(x)z.\]
Für
\[\alpha\beta-\beta+1=0\qquad\text{bzw.}\qquad \beta=\frac{1}{1-\alpha}\]
 ist das eine lineare inhomogene \dgl 1. Ordnung für $z$ mit $a(x)=(1-\alpha)f_1(x)$ und $s(x) = (1-\alpha)f_0(x)$.
\item In unserem Falle ist $\alpha = 2, f_0(x)\equiv -1, f_1(x)={1\over x}$ und $y={1 \over z}$, die zugehörige lineare \dgl lautet also
$$ z' = 1 - {z\over x}.$$
Die homogene \dgl hat die allgemeine Lösung $z_h(x)={c\over x}$, eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung, $z_s(x)={x\over 2}$ kann man erraten.
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung für $z$ ist dann 
\[z(x)={x\over 2} + {c\over x}=\frac{x^2+2c}{2x}, \mbox{ woraus } y(x)=\frac{2x}{x^2+2c} \mbox{ folgt.} \]
Aus dem Anfangswertproblem erhält man noch $c=1$.

\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 201: Bernoullische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $f_0, f_1$ stetige reelle Funktionen in einem Intervall $(a, b)$ und $\alpha \in \R$.
Dann heißt die Differentialgleichung
\[ y' = f_0(x)y^\alpha + f_1(x)y\]
eine Bernoullische Differentialgleichung. Für $\alpha = 0$ entsteht eine inhomogene lineare und
für $\alpha = 1$ eine homogene lineare Differentialgleichung, die nach Rezept gelöst werden
können.
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass im Fall $\alpha \neq 1$ und $y > 0$ durch die Substitution $z = y^{1-\alpha}$ 
eine lineare Differentialgleichung für $z$ entsteht.
\item Beweisen Sie folgenden Satz: Sind $f_0,  f_1$ in $(a, b)$ stetig und $\alpha \in \R \setminus \set{1}$, dann besitzt
das Anfangswertproblem
\[ y' = f_0(x)y^\alpha + f_1(x)y, \quad y(x_0)= y_0,\quad x_0 \in (a, b),\quad y_0>0\]
eine eindeutig bestimmte Lösung in einer Umgebung von $x_0$. Ist $\alpha \in \Z \setminus \set{1}$, dann gilt
das auch für $y_0 < 0$.
\item Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\[ 4y'\, \sin x =  -y\,\rkl{1 + y^4} + y^5\,\cos x.\]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 201}}\\
\begin{enumerate}
	\item Mit $z(x) = y(x)^{1-\alpha}$ ist nach Kettenregel $z'(x) = (1-\alpha)y(x)^{-\alpha} y'(x)$. Multipliziert man nun die gegebene \dgl\ mit dem Faktor $(1-\alpha)y(x)^{-\alpha}$ durch, erhält man
	\[ z'= (1-\alpha)y^{-\alpha} y' = (1-\alpha)\,f_0 + (1-\alpha)\,f_1 \,y^{1-\alpha} = (1-\alpha)\,f_0 + (1-\alpha)\,f_1\,z.\]
	Das ist eine lineare inhomogene \dgl\ für $z$.
	\item Die rechte Seite der \dgl\,
	\[y' = g(x,y) := f_0(x)y^\alpha + f_1(x)y\]
	erfüllt in einem Quader 
	\[Q:=\set{(x,y)\in \R^2 \ |\ |x-x_0| \leq a, |y-y_0|\leq b}\quad\text{mit} \quad y_0>b>0\]
	die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf. Offensicht ist $g$ stetig und stetig nach $y$ differenzierbar, weswegen $g$ im kompakten Gebiet $Q$ auch eine Lipschitz-Bedingung erfüllt, Wegen $y>00$ sind auch die in $g$ und $g_y$ auftretenden Ausdrücke $y^\alpha$ und $y^{\alpha-1}$ wohldefiniert; für $\alpha\in \Z$ ist dies sogar auch für $y<0$ der Fall. Alles weitere folgt aus dem Satz von Picard-Lindelöf.\\
	\emph{Hinweis:} Der Beweis kann auch mit dem Satz über die eindeutige Lösbarkeit des \awp s einer linearen \dgl\  erster Ordnung mit stetigen Koeffizienten geführt werden. Damit ist das entsprechende \awp\ für $z$ eindeutig lösbar und die Lösung kann unter den gegeben Voraussetzungen an $y$ (Positivität) bzw. $\alpha (\in \Z)$ eineindeutig in eine Lösung $y$ umgerechnet werden.
	\item Wir schreiben die gegeben \dgl\ zunächst in der Form
	\[y' = -\frac{1}{4\,\sin x} \,y+ \frac{\cos x - 1}{4\,\sin x}\,y^5\]
	d.~h. es ist 
	\[ \alpha=5,\quad f_0(x)= \frac{\cos x - 1}{4\,\sin x}, \ f_1(x)=-\frac{1}{4\,\sin x}\]
	und die nach a) entstehende lineare \dgl\  lautet
	\[ z' = \frac{1 -\cos x}{\sin x}  +  \frac{1}{\sin x}\,z .\]
	Die allgemeine Lösung $z_h$ der zugehörigen homogenen \dgl\ erhält man aus
	\[ \ln |z| =\int\, \frac{dz}{z} = \int \,\frac{dx}{\sin x}  .\]
Das rechte Integral kann man z. B. durch die Standardersetzung $u=\tan\frac{x}{2}$ lösen, hierbei ist
\[ du = \frac{1}{2}\rkl{1+ \tan^2\frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2}\rkl{1+ u^2} dx, \quad \sin x = \frac{2\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}} = \frac{2 u}{1+u^2},\]
insgesamt also 
\[ \int \,\frac{dx}{\sin x} = \int\,\frac{du}{u} = \ln |u| +c = \ln\abs{\tan\frac{x}{2}} +c.\]
Zusammengefasst ist also
	\[z_h(x) = k\,\tan\frac{x}{2}.\]
	Variation der Konstanten ergibt
	\[k'(x) = \frac{1 -\cos x}{\sin x \tan\frac{x}{2}} = \frac{1-\rkl{1-2\sin^2\frac{x}{2}}}{2 \sin\frac{x}{2}\,\cos\frac{x}{2}\,\tan\frac{x}{2}} = 1, \quad\text{also}\quad k(x)=x, \]
	d.~h.
	\[z(x)= (k+x) \,\tan\frac{x}{2}\]
	ist die allgemeine Lösung der linearen \dgl\  für $z$ und 
	\[y(x) =\frac{1}{\sqrt[4]{(k+x)\,\tan\frac{x}{2}}}\]
	ist die allgemeine Lösung der Bernoullischen \dgl. Diese hat aber auch noch die Lösung $y(x)\equiv 0$, die bei der Transformation auf $z$ "`verloren geht"'.
	\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Exakte Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 202: Anfangswertproblem 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{itemize}
	\item Teste die folgende Differentialgleichung auf Exaktheit
\[ y^2 - x - y\, \sin x + (2\,x\,y + \cos x)\,y'= 0.\]
\item Löse das Anfangswertproblem zu a) mit $y(\pi) = 0$ .
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 202}}\\
\begin{itemize}
	\item Wir schreiben die \dgl\ in der Form 
	\[P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0 \quad\text{mit}\quad P(x,y)=  y^2 - x - y\, \sin x \quad\text{und}\quad Q(x,y) = 2\,x\,y + \cos x.\]
	Wegen
	\[ P_y(x,y) = 2\,y - \sin x = Q_x(x,y)\]
	ist die \dgl\ exakt.
	\item Wir suchen eine Potentialfunktion $F(x,y)$ mit $F_x(x,y)=P(x,y)$, $F_y(x,y)=Q(x,y)$ und $F(\pi,0)=0$. Dann ist
	\bea 
	F(x,y) &=&  x\,y^2-\frac{x^2}{2} +y\,\cos x +g(y)\\
	F_y(x,y) &=&  2\,x\,y+ \cos x +g'(y) = 2\,x\,y + \cos x, \quad\text{also}\quad g(y)=c
	\eea
	Insgesamt ist also 
	\[F(x,y)=x\,y^2-\frac{x^2}{2} +y\,\cos x + c \quad\text{ und aus }\quad 0= F(\pi,0)= -\frac{\pi^2}{2}+c\]
	folgt die implizite Lösung 
	\[0=x\,y^2-\frac{x^2}{2} +y\,\cos x + \frac{\pi^2}{2}.\]
	In der Umgebung des Anfangswertes kann man durch $x$ dividieren und die quadratische Gleichung in $y$ lösen. Dann ist
	\[y_{1/2}(x) = -\frac{\cos x}{2x} \pm \sqrt{\frac{\cos^2 x}{4x^2} + \frac{x}{2} -  \frac{\pi^2}{2x}}.\]
	Wegen des Anfangswertproblems entfällt die zweite Lösung, d.~h. die Lösung ist
	\[y(x) = -\frac{\cos x}{2x} + \sqrt{\frac{\cos^2 x}{4x^2} + \frac{x}{2} -  \frac{\pi^2}{2x}}.\]
	Sie existiert nur für positive $x$.
\end{itemize}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 203: Eulerscher Multiplikator m(x)
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für die Differentialgleichung
\[y' = -\frac{y^3+ 3x^2y + 6xy}{3(x^2+ y^2)}\]
einen nur von $x$ abhängigen Eulerschen Multiplikator. Bestimmen Sie dann die Funktion $F = F (x, y)$, deren Niveaulinien mit den Lösungskurven der Differentialgleichung
übereinstimmen. Für welche Werte $(x_0, y_0) \in \R^2$ ist das Anfangswertproblem mit den
Anfangswerten $y(x_0) = y_0$ in einer Umgebung von $x_0$ eindeutig lösbar?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 203}}\\

Mit
\[ P(x,y) = y^3+ 3x^2y + 6xy, \ P_y(x,y) = 3y^2+3x^2+6x,  \ Q(x,y) = 3(x^2+ y^2),\ Q_x(x,y)= 6x\]
sieht man zunächst, dass die \dgl\ selbst nicht exakt ist. Für einen Eulerschen Multiplikator der Form $m(x)$ muss dann gelten
\[ m(x)\, P_y(x,y) = (m(x)\,P(x,y))_y = (m(x)\,Q(x,y))_x = m'(x)\,Q(x,y) + m(x)\, Q_x(x,y),\]
also
\[\frac{m'(x)}{m(x)} = \frac{P_y(x,y)-Q_x(x,y)}{Q(x,y)} = \frac{3y^2+3x^2}{3(x^2+ y^2)} =1.\]
Integriert man die letzte Gleichung nach $x$, so folgt
\[\ln |m(x)| = x, \quad\text{also}\quad m(x)=\e^x.\]
Für die gesuchte Funktion $F(x,y)$ muss also gelten
\[F_x(x,y) = \rkl{y^3+ 3x^2y + 6xy} \e^x, \ F_y(x,y) = 3(x^2+ y^2)\e^x,\]
also z.~B. durch Integration der $y$-Ableitung nach $y$
\[ F(x,y) &=& 3x^2y\e^x +y^3\,\e^x  + g(x) \]
Differenziert man den letzten Ausdruck nach $x$ und vergleicht ihn mit der Zeile darüber, dann folgt noch $g'(x)=0$, also $g(x)= const$. Diese Konstante dürfen wir Null wählen. Schließlich ist also
\[F(x,y) = 3x^2y\e^x +y^3\,\e^x = 3x_0^2y_0\e^{x_0} +y_0^3\,\e^{x_0}\]
eine implizite Lösung des \awp s, die man auch in der Form
\[y^3+ay+b=0\quad\text{mit}\quad a = 3x^2,\ b=-e^{-x}\rkl{3x_0^2y_0\e^{x_0} +y_0^3\,\e^{x_0}}\]
schreiben kann.

Eine solche (reduzierte) kubische Gleichung hat genau eine reelle Lösung $y(x)$, wenn der Ausdruck
\[ D=\rkl{\frac{a}{3}}^3 + \rkl{\frac{b}{2}}^2 = x^6 + \rkl{\frac{-e^{-x}\rkl{3x_0^2y_0\e^{x_0} +y_0^3\,\e^{x_0}}}{2}}^2 >0 \]
ist\footnote{vergleiche Bronstein Nr. 2.4.2.3}, das ist hier in einer Umgebung von $x_0$ - abgesehen vom Koordinatenursprung - immer der Fall.\\

Im Koordinatenursprung ist aber die rechte Seite der ursprünglichen \dgl\ ohnehin nicht definiert und auch der Satz von Picard-Lindelöf wäre dort nicht anwendbar. Außerhalb des Koordinatenursprungs ist die rechte Seite stetig differenzierbar und der Satz von Picard-Lindelöf wäre anwendbar.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 204: Eulerscher Multiplikator
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für die folgende \dgl einen Eulerschen Multiplikator der Form $\lambda=\lambda(x^2+y^2)$ und bestimmen Sie damit die allgemeine Lösung von $$(y^2+x^2+x)\,y'=y.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 204}}\\

In Form eines vollständigen Differentials lautet die \dgl
$$-y\,\lambda(x^2+y^2)\,dx+(y^2+x^2+x)\,\lambda(x^2+y^2)\,dy=0.$$
Die notwendige Integrabilitätsbedingung ist dann
$$-\lambda-2y^2\lambda'=(2x+1)\lambda+(2xy^2+2x^3+2x^2)\lambda',$$
d. h. $$\lambda'=-\frac{x+1}{(x+1)(x^2+y^2)}\lambda=-\frac{\lambda}{x^2+y^2}.$$
Diese \dgl hat die Lösung $\lambda=\frac{1}{x^2+y^2}$, d.h. das vollständige Differential lautet
$$-\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+(1+\frac{x}{x^2+y^2})\,dy=0.$$
Die Stammfunktion erhält man aus
$$F(x,y)=-\int \frac{y}{x^2+y^2}\,dx = -\arctan(\frac{x}{y}) + c(y)$$
und 
$$F_y(x,y)= \frac{x}{x^2+y^2} + c'(y)=1+\frac{x}{x^2+y^2},\qquad\mbox{d. h.}\qquad c(y)=y,$$
d. h. 
$$F(x,y)=y -\arctan(\frac{x}{y}) = C=const$$
ist die allgemeine Lösung der \dgl in impliziter Form. Durch Auflösen nach dem $\arctan$ erhält man $x(y)=y\tan(y-C)$.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 205: Eulerscher Multiplikator $m(x^\alpha y^\beta)$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für die Differentialgleichung
\[ y' = -\frac{y^2 - xy}{2xy^3 + xy + x^2}\]
einen Eulerschen Multiplikator $m$ durch einen Ansatz in der Form
\[ m(x, y) = x^\alpha y^\beta\]
mit geeigneten $\alpha,\ \beta$. Lösen Sie damit die Differentialgleichung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 205}}\\
Mit
\[ P(x,y) = y^2 - xy, \ P_y(x,y) = 2y-x,  \ Q(x,y) = 2xy^3 + xy + x^2, \ Q_x(x,y)= 2y^3+y+2x\]
sieht man zunächst, dass die \dgl\ selbst nicht exakt ist. Für einen Eulerschen Multiplikator der Form $m(u)$ mit $u=x^\alpha\,y^\beta$ muss dann gelten
\bea \beta\,m'(u)\,x^\alpha\,y^{\beta-1}\,P(x,y)+ m(x)\, P_y(x,y) &=& (m(u)\,P(x,y))_y\\
 &=& (m(u)\,Q(x,y))_x = \alpha\,m'(u)\,x^{\alpha-1}\,y^\beta\,Q(x,y) + m(x)\, Q_x(x,y),
\eea
also
\bea 
\frac{m'(u)}{m(u)} &=& \frac{P_y(x,y)-Q_x(x,y)}{\alpha\,x^{\alpha-1}\,y^\beta\,Q(x,y) - \beta\,x^\alpha\,y^{\beta-1}\,P(x,y)} \\
&=& \frac{y-2y^3-3x}{2\alpha x^\alpha y^{\beta+3}+\alpha x^\alpha y^{\beta+1} +\alpha x^{\alpha+1}y^\beta -\beta x^\alpha y^{\beta+1} + \beta x^{\alpha+1} y^\beta} \\
&=& \frac{y-2y^3-3x}{2\alpha x^\alpha y^{\beta+3}+(\alpha-\beta) x^\alpha y^{\beta+1} +(\alpha +\beta) x^{\alpha+1}y^\beta } \\
&=& \frac{y-2y^3-3x}{x^\alpha y^\beta\rkl{2\alpha  y^3+(\alpha-\beta) y +(\alpha +\beta) x} } \overset{\alpha=-1, \beta=-2}{=} \frac{1}{x^\alpha y^\beta} =\frac{1}{u}.\\
\eea
Integriert man die letzte Gleichung nach $u$, so erhält man 
\[m(u)= u = \frac{1}{xy^2}\]
und für die gesuchte Potentialfunktion $F(x,y)$ muss gelten
\[F_x(x,y)= \frac{1}{x} - \frac{1}{y},\ F_y(x,y)= 2y+\frac{1}{y} +\frac{x}{y^2}.\]
Integriert man die $x$-Ableitung nach $x$, so folgt nacheinander
\[F(x,y) = \ln |x| - \frac{x}{y} +g(y), \ F_y(x,y)= \frac{x}{y^2} +g'(y), \ g'(y) =2y+\frac{1}{y} , g(y) = y^2 +\ln|y|,  \]
also ist 
\[F(x,y)=\ln |xy| - \frac{x}{y} + y^2=C\]
die implizite Lösung der \dgl.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 206: lieare \dgl\ als exakte \dgl\ lösen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie einen Eulerschen Multiplikator für eine lineare
Differentialgleichung
\[y'+f(x)y=g(x)\]
und lösen Sie die zugehörige exakte Differentialgleichung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 206}}\\
Man schreibe die Aufgabe um in $$(f(x)y-g(x))dx + dy = 0.$$
Wegen
$$ \frac{\frac{\partial}{\partial y}(f(x)y-g(x))-\frac{\partial}{\partial x}(1)}{1}=f(x)$$
findet man einen nur von $x$ abhängigen Euler-Multiplikator m(x), der der \dgl  
$$ m'(x)=f(x)m(x)$$ genügt, also $$m(x) = \e^{\int f(x) dx}.$$
Jetzt muss man nur noch eine Stammfunktion $F(x,y)$ zum vollständigen Differential
$$dF(x,y)=(f(x)y-g(x))\,\e^{\int f(x) dx}dx + \e^{\int f(x) dx}dy = 0$$
bestimmen. Aus $F_y(x,y)=\e^{\int f(x) dx}$ erh"alt man zun"achst  
$$F(x,y)=y\,\e^{\int f(x) dx} +c(x),$$ und dann durch Differentiation nach $x$ noch
$$y\,\e^{\int f(x) dx}f(x)+c'(x)= (f(x)y-g(x))\,\e^{\int f(x) dx}.$$
Insgesamt wird daraus also
$$F(x,y)=y\,\e^{\int f(x) dx} - \int {g(x)\,\e^{\int f(x) dx}dx} = C$$ bzw.
$$y(x) =\e^{-\int f(x) dx}\left(C + \int {g(x)\,\e^{\int f(x) dx}dx}\right).$$



% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Riccatische Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 207: Riccatische Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Sind $y=y_i(x)$, $i=1,\ldots,4$ vier verschiedene
Lösungen einer Riccatischen Differentialgleichung 
\[ y'=f_0(x)y^2+2f_1(x)y+f_2(x),\]
im Intervall
$(a,b)$, dann ist ihr Doppelverhältnis konstant, d.~h.\ es gilt
für alle $x\in(a,b)$:
\[
\frac{y_1(x)-y_3(x)}{y_2(x)-y_3(x)}
:\frac{y_1(x)-y_4(x)}{y_2(x)-y_4(x)}=const.
\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 207}}\\
Nach Aufgabe zur Transformation auf Normalform gibt es Funktionen $g(x)$ und $f(x)$, so dass
die Funktionen $z_i(x)=f_0(x)y_i(x)+g(x),\ i=1..4$ Lösungen der Riccatischen
\dgl\ in dieser Normalform
$$z'(x)=z^2(x)-f(x)$$
sind. Weiterhin sind $z_2, z_3$ und $z_4$ in der Form
$z_i(x)=z_1(x)+\frac{1}{u_i(x)},\ i=2,3,4$ darstellbar, wobei $u_i(x)$
Lösungen der linearen inhomogenen \dgl
$$u'(x)+2z_1(x)u(x)+1=0$$
sind.\\
Nun ist
\bea
\frac{y_1(x)-y_3(x)}{y_2(x)-y_3(x)}:\frac{y_1(x)-y_4(x)}{y_2(x)-y_4(x)}
&=&\frac{z_1(x)-z_3(x)}{z_2(x)-z_3(x)}\cdot\frac{z_2(x)-z_4(x)}{z_1(x)-z_4(x)}\\
=\frac{-\frac{1}{u_3(x)}}{\frac{1}{u_2(x)}-\frac{1}{u_3(x)}}\cdot\frac{\frac{1}{u_2(x)}-\frac{1}{u_4(x)}}{-\frac{1}{u_4(x)}}
&=&\frac{\frac{u_2(x)-u_4(x)}{u_2(x)u_3(x)u_4(x)}}{\frac{u_2(x)-u_3(x)}{u_2(x)u_3(x)u_4(x)}}
=\frac{u_2(x)-u_4(x)}{u_2(x)-u_3(x)},
\eea
wobei $w_3(x):=u_2(x)-u_3(x)$ und $w_4(x):=u_2(x)-u_4(x)$ Lösungen der homogenen linearen
\dgl 
$$w'(x)+2z_1(x)w(x)=0$$
sind, d. h. es ist $w_i(x)=k_i \e^{-2\int z_1(x) dx}$ mit Konstanten $k_i,\ i=3,4$. Damit ist dann
$$\frac{u_2(x)-u_4(x)}{u_2(x)-u_3(x)}=\frac{w_4(x)}{w_3(x)}=\frac{k_4 \e^{-2\int z_1(x) dx}}{k_3 \e^{-2\int z_1(x) dx}}
={k_4\over k_3}=const.$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 208: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie: Ist $f:(a,b)\to{\mathbb R}$ stetig und $z=z(x)$ eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung in Normalform $z'=z^2-f(x)$, so ist $y=y(x)$ genau dann eine von $z$ verschiedene Lösung dieser 
Differentialgleichung, wenn $u=1/(y-z)$ der linearen Differentialgleichung 
$u'+2zu+1=0$ genügt. Also: Kennt man von einer Riccatischen
Differentialgleichung eine spezielle Lösung, dann kann man alle weiteren
Lösungen durch elementare Integrationen bestimmen.
\item Bestimmen Sie auf dem in a) beschriebenen Wege die allgemeine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung
\[z'=z^2-\frac14.\]

\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 208}}\\
\begin{enumerate}
	\item Seien $z=z(x)\neq y(x)=y$ Lösungen der \dgl\ $z'=z^2-f(x)$.\\
Die Ersetzung $u=1/(y-z)$ ist äquivalent zu $z=y-{1\over u}$. Setzt man nun $z$ in die \dgl
ein, so erhält man 
\[y'+\frac{u'}{u^2}=y^2-2\,{y\over u}+{1\over u^2}-f \mbox{ bzw. } y'-y^2+f=-2\,{y\over u}+{1\over u^2}-\frac{u'}{u^2}=-\frac{u'+2uy-1}{u^2}.\]
$y$ ist offenbar genau dann eine von $z$ verschiedene Lösung der \dgl, wenn 
\[u'+2\,yu-1=u'+2\;(z+{1\over u})u-1=u'+2\,zu+1=0\quad\text{ist.}\]  
\item Offenbar ist $z=-{1\over 2}$ eine Lösung der \dgl. Die dazugehörige lineare \dgl\ lautet also
$u'-u+1=0$ und hat die allgemeine Lösung $u(x)=K\e^x+1$. Durch Rücktransformation erhält man die 
allgemeine Lösung der Riccatischen \dgl 
\[y(x) = \frac{1}{K\e^x+1}-{1\over 2} \ .\]
\remark{Setzt man $K=-C$, so kann man die allgemeine Lösung auch in der Form 
\[y(x) = -{1\over 2} - \frac{1}{C\e^x-1} \]
schreiben.}
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 209: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die Riccatische \dgl 
\[y'=-(x+1)\,y^2-y+\frac{3-x}{4x^2}.\]
\tip{Versuchen Sie zunächst mit dem Ansatz $y_s(x)=a\,x^\alpha$ eine spezielle Lösung der \dgl\ zu finden}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 209}}\\
Der Ansatz $y_s(x)=a\,x^\alpha$ führt auf die Gleichung
\[a\alpha\,x^{\alpha-1}=-a^2\,x^{2\alpha+1}-a^2\,x^{2\alpha}-a\,x^\alpha+\frac{3}{4}x^{-2}-\frac{1}{4}x^{-1}.\]
Für $\alpha=-1$ sind in dieser Gleichung nur Potenzen $x^{-1}$ und $x^{-2}$ enthalten. Koeffizientenvergleich ergibt
\[a-a^2+\frac{3}{4}=0\qquad\text{und}\qquad -a^2-a-\frac{1}{4}=0.\]
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, dann erhält man $2a+1=0$. In der Tat ist $a=-1/2$ eine Lösung beider Gleichungen und damit ist 
\[y_s(x)=-\frac{1}{2x}\]
eine spezielle Lösung der \dgl. Mit dem Ansatz $y(x)=z(x)+y_s(x)$ erhält man
\[z'+\frac{1}{2x^2}=-(x+1)\rkl{z^2-\frac{z}{x}+\frac{1}{4x^2}}-z+\frac{1}{2x}+\frac{3-x}{4x^2}\]
bzw. die Bernoullische \dgl
\[z'=\frac{1}{x}\,z-(x+1)\,z^2.\]
Durch die Substitution $z=-1/u$ erhält man weiter
\[\frac{u'}{u^2}=-\frac{1}{x}\,\frac{1}{u}-(x+1)\,\frac{1}{u^2}\]
bzw. die lineare inhomogene \dgl
\[u'=-\frac{u}{x} - (x+1).\]
Die allgemeine Lösung der homogenen linearen \dgl, $u_h(x)=C/x$, erhält man leicht durch Trennung der Variablen. Um eine spezielle Lösung zu bekommen, kann man den Ansatz $u_s(x)=ax^2+bx$ versuchen. Aus
\[2ax+b=-ax-b-x-1\]
erhält man durch Koeffizentenvergleich $a=-1/3$ und $b=-1/2$, also ist 
\[u(x)=\frac{C}{x}-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{2}x\]
die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen \dgl,
\[z(x)=\frac{1}{\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{C}{x}}=\frac{6x}{2x^3+3x^2-C}\]
die allgemeine Lösung der Bernoullischen \dgl\ und
\[y(x)=\frac{6x}{2x^3+3x^2-C}-\frac{1}{2x}=\frac{C+9x^2-2x^3}{4x^4+6x^3-2Cx}\]
die allgemeine Lösung der ursprünglichen Riccatischen \dgl.
Außerdem ist auch $z\equiv 0$ eine Lösung der Bernoullischen \dgl\ und damit - wie bereits bekannt - auch $y_s$ eine Lösung der ursprünglichen Riccatischen \dgl.  
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 210: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine \dgl\ der Form
\[y'=a(x)y+b(x)y^2+s(x),\]
von der eine spezielle Lösung $y_s(x)$ bekannt ist, lässt sich durch die Transformation $y(x)=z(x)+y_s(x)$ auf eine Bernouliische \dgl\ der Form
\[z'=p(x)z+q(x)z^2\]
zurückführen. 
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie $p(x)$ und $q(x)$ in Abhägingkeit von $a/x), b(x), s(x)$ und $y_s(x)$.
	\item Bestimmen Sie eine spezielle Lösung der Riccatischen \dgl
	\[y'=-\rkl{2x\sqrt{x}+\frac{1}{x}}y+xy^2+\frac{3}{2\sqrt{x}}+x^2\] mit dem Ansatz $y_s(x)=a\,x^\alpha$.
	\item Transformieren Sie die Riccatische in ein Bernoullische \dgl.
	\item Geben Sie die allgemeine Lösung der Riccatischen \dgl\ an. 
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 210}}\\
\begin{enumerate}
	\item Durch Subtraktion der Riccatischen \dgl, in die $y_s$ eingesetzt wurde, von der allgemeinen \dgl, erhält man	\[(y-y_s)'=a(x)(y-y_s)+b(x)(y^2-y_s^2)=a(x)(y-y_s)+b(x)(y-y_s)(y-y_s+2y_s)\] 
	bzw. mit $z=y-y_s$
	\[z'=\rkl{a+2by_s}z+bz^2,\]
	d.~h. es ist $p(x)=a(x)+2b(x)y_s(x)$ und $q(x)=b(x)$.
	\item Mit dem Ansatz $y_s(x)=a\,x^\alpha$ erhält man
	\[\alpha\,a\,x^{\alpha-1}=-2a\,x^{\alpha+\frac{3}{2}}-a\,x^{\alpha-1}+a^2\,x^{2\alpha+1}+\frac{3}{2}x^{-\frac12}+x^2.\]
	Wählt man $\alpha=1/2$, dann ist $\alpha-1=-1/2$ und $2\alpha+1=\alpha+\frac{3}{2}=2$ und Koeffizientenvergleich ergibt
	\[ a/2=-a+3/2 \qquad\text{und}\qquad 0=-2a+a^2+1=(a-1)^2.\]
	Tatsächlich ist $a=1$ gemeinsame Lösung beider Gleichungen und damit $y_s(x)=\sqrt{x}$ eine spezielle Lösung der Riccatischen \dgl.
	\item Aus den Ergebnissen von a) erhält man 
	\[p(x)=-\rkl{2x\sqrt{x}+\frac{1}{x}}+2x\sqrt{x}=-\frac{1}{x} \qquad\text{und}\qquad q(x)=b(x)=x,\]
	die Bernoullische \dgl\ lautet also
	\[z'=-\frac{z}{x}+xz^2.\]
	Durch die Transformation $z=-1/u$ erhält man
	\[\frac{u'}{u^2}=\frac{1}{xu}+\frac{x}{u^2}\]
	und schließlich die lineare \dgl
	\[u'=\frac{u}{x}+x.\]
	Diese hat die allgemeine Lösung $u(x)=Cx+x^2$, was man durch Erraten der speziellen Lösung und Trennung der Variablen zur Bestimmung der allgemeinen Lösung der homogenen linearen \dgl\ schnell ermittelt.
	Die allgemeine Lösung der Bernoullischen \dgl\ ist dann
	\[z(x)=-\frac{1}{Cx+x^2},\]
	dazu kommt die triviale Lösung $z\equiv 0$. Die allgemeine Lösung der Riccatischen \dgl\ ist dann
	\[y(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{Cx+x^2},\]
	dazu kommt die bereits ermittelt spezielle Lösung $y_s(x)=\sqrt{x}$.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 211: Riccatische Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Ist die Funktion $y=y(x)$ im Intervall $(a,b)$
eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung 
\[ y'=f_0(x)y^2+2f_1(x)y+f_2(x),\]
so ist die Funktion $u=u(x)$ mit
\[
u(x)=\mbox{exp}\,\rkl{-\int^x_{x_0} f_0(t)y(t)\,dt},\quad
x,x_0\in(a,b)
\]
eine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung
\[
f_0(x)u''-\rkl{f_0'(x)+2f_0(x)f_1(x)}u'+f_0^2(x)f_2(x)u=0.\]
Ist umgekehrt $u=u(x)$ eine nicht verschwindende
Lösung dieser Differentialgleichung, dann ist $z=-u'/(f_0(x)u)$ 
eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung.
($f_0$ sei in $(a,b)$ stetig differenzierbar mit $f_0(x)\neq0$,
$x\in(a,b)$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 211}}\\
Sei $y(x)$ eine Lösung der Riccatischen \dgl, dann ist
\bea
u(x) &= &\mbox{exp}\,\rkl{-\int^x_{x_0} f_0(t)y(t)\,dt}\\
u'(x) &= &\mbox{exp}\,\left\{-\int^x_{x_0} f_0(t)y(t)\,dt\right\}\cdot(-f_0(x)y(x))= -u(x)f_0(x)y(x)\\
u''(x) &= &-u'(x)f_0(x)y(x)-u(x)f_0'(x)y(x)-u(x)f_0(x)y'(x)\\
&=&u(x) \cdot (f_0^2(x)y^2(x)-f_0'(x)y(x)-f_0(x)y'(x)):\\
\eea
Setzt man dies in die \dgl\ zweiter Ordnung ein und klammert $u$ und $f_0$ aus, so ergibt sich
\bea
& &u(x)f_0(x) \cdot \rkl{f_0^2(x)y^2(x)-f_0'(x)y(x)-f_0(x)y'(x)+f_0'(x)y(x)+2f_0(x)f_1(x)y'(x)+f_0(x)f_2(x)}\\
&=&u(x)f_0(x) \cdot \rkl{f_0^2(x)y^2(x)-f_0(x)y'(x)+2f_0(x)f_1(x)y'(x)+f_0(x)f_2(x)}\\
&=&u(x)f_0^2(x) \cdot \rkl{f_0(x)y^2(x)-y'(x)+2f_1(x)y'(x)+f_2(x)}=0,
\eea
da der Klammerausdruck verschwindet.\\
Ist umgekehrt $u(x)$ eine Lösung der \dgl\ 2. Ordnung und ist 
$$z(x)=-\frac{u'(x)}{f_0(x)u(x)}, \mbox{  dann ist  } z'(x)=-\frac{u''(x)f_0(x)u(x)-f_0(x)u'\;^2(x)-f_0'(x)u'(x)u(x)}{f_0^2(x)u^2(x)}.$$ 
Setzt man nun dies in die Riccatische \dgl\ ein, so erhält man
$$-\frac{u''(x)f_0(x)u(x)-f_0(x)u'\;^2(x)-f_0'(x)u'(x)u(x)}{f_0^2(x)u^2(x)}=f_0(x)\frac{u'\;^2(x)}{f_0^2(x)u^2(x)}
-2f_1(x)\frac{u'(x)}{f_0(x)u(x)}+f_2(x).$$
Multiplikation mit $f_0^2(x)u(x)$ ergibt schließlich
$$-u''(x)f_0(x)=-(f_0'(x)+2f_0(x)f_1(x))u'(x)+f_0^2(x)f_2(x)u(x).$$
Diese \dgl\ ist aber nach Voraussetzung erfüllt.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 212: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine Differentialgleichung der Form 
\[y'=f_0(x)y^2+f_1(x)y+f_2(x)\] 
mit gegebenen Funktionen $f_0,f_1,f_2:(a,b)\to{\mathbb R}$, 
$f_0(x)\neq0$ heißt eine {\em Riccatische Differentialgleichung}.
\begin{enumerate}
	\item Es seien $f_0$ zweimal stetig differenzierbar, $f_1$ einmal
stetig differenzierbar und $f_2$ stetig. Bestimmen Sie Funktionen
$g=g(x)$ und $f=f(x)$, so dass die Transformation $z=f_0y+g$ die Riccatische Differentialgleichung in die {\em Normalform}
$z'=z^2-f(x)$ überführt.\\
\item Berechnen Sie die Normalform der Riccatischen Differentialgleichung
\[y'=y^2-(2x+1)y+(1+x+x^2).\]
\item Geben Sie die allgemeine Lösung der ursprüglichen Riccatischen \dgl\ an.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 212}}\\
\begin{enumerate}
	\item Die Transformation $z=f_0y+g$ liefert 
\[y=\frac{z-g}{f_0} \mbox{  d. h.  } y'=\frac{(z'-g')f_0 -(z-g)f_0'}{f_0^2}.\]
Setzt man dies in die \dgl ein, so erhält man
\[\frac{(z'-g')f_0 -(z-g)f_0'}{f_0^2}=f_0\frac{z^2-2zg+g^2}{f_0^2}+f_1\frac{z-g}{f_0}+f_2\]
und nach Multiplikation mit $f_0$ und einigen Umordnungen wird daraus
\[z'=z^2+z(\frac{f_0'}{f_0}-2g+f_1)-g\frac{f_0'}{f_0}+g^2-f_1g+f_0f_2+g'.\]
Mit $g={1\over 2}(\frac{f_0'}{f_0}+f_1)$ fallen die in $z$ linearen Terme weg und der Rest 
wird zu
\[z'=z^2+f_0f_2-g^2+g', \mbox{ d. h. } f=g^2-f_0f_2-g'.\]
\item Es ist $f_0=1$, $f_1=-2x-1$ und $f_2=1+x+x^2$, also $g=-x-{1\over 2}$, d. h. $g'=-1$
und $f=(x+{1\over 2})^2-(1+x+x^2)+1={1\over 4}$, die Normalform lautet also 
\[z'=z^2-{1\over 4}.\]
\item Die Riccatische \dgl\ in Normalform kann man (zufälligerweise) durch Trennung der Variablen lösen:
\[x+K =\int\,dx=\int\,\frac{dz}{z^2-{1\over 4}} =\int\,\rkl{\frac{1}{z-{1\over 2}}-\frac{1}{z+{1\over 2}}}\,dz = \ln\abs{\frac{z-\frac12}{z+\frac12}}= \ln\abs{\frac{2z-1}{2z+1}},\]
also ist für $z\neq -1/2$
\bea
\frac{2z-1}{2z+1}&=&C\e^{x}\\
2z-1&=&C\e^{x}(2z+1)\\
2z\rkl{1-C\e^{x}}&=&C\e^{x}+1\\
2z&=&-\frac{C\e^{x}-1+2}{C\e^{x}-1}\\
z&=&-\frac12 - \frac{1}{C\e^{x}-1}
\eea
Dazu kommt noch die konstante Lösung $z\equiv -1/2$. Mit $f_0=1$ und $g(x)=-x-{1\over 2}$ erhält man also als allgemeine Lösung der ursprünglichen \dgl
\[y(x)=-\frac12 - \frac{1}{C\e^{x}-1}+x+\frac12=x-\frac{1}{C\e^{x}-1}\]
sowie die zusätzliche Lösung $y_s(x)=x$.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Trennung der Variablen }
%Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 213: Eine Aufgabe mitten aus dem fröhlichen (Studenten-)Leben.}}\\

Eine gewisse Menge an Bier wird in einer stehenden kreiszylinderförmigen Tonne vom Radius $r$ bzw.
einem kreiskegelstumpfförmigen Behälter mit dem Radius $r$ am Boden und Radius $R > r$
in der Höhe $H > 0$ gelagert. In die Böden wird jeweils ein Zapfhahn mit dem gleichen
Querschnitt eingeschlagen. Aus welchem Behälter ist die gleiche Menge Bier bei geöffnetem
Zapfhahn schneller vollständig ausgelaufen?
Hinweis: Benutzen Sie Torricelli's Ausflußgesetz (benannt nach dem Mathematiker und
Physiker Evangelista Torricelli, 1608-1647), wonach die Ausflußgeschwindigkeit $v$ einer
idealen Flüssigkeit (Bier?) durch eine nach unten gerichtete Öffnung sich proportional
zur Höhe $h$ der Flüssigkeit verhält, genauer $v = \sqrt{Gh}, G$ Gravitationskonstante. Leiten
Sie daraus eine Differentialgleichung für die Flüssigkeitshöhe $h(t)$ zur Zeit $t$ in beiden
Fällen ab und diskutieren Sie diese.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\underline{\textbf{Lösung 213}}\\
Ist $v$ die Geschwindigkeit eines Tropfens im Strahl am Zapfhahn und $A$ die Querschnittsfläche des Zapfhahnes, so gilt für das in der Zeit $\Delta t$ auslaufende Volumen $\Delta V$
\[ \Delta V = A\,\sqrt{Gh}\, \Delta t = -\pi \rho^2 \Delta h, \]
wobei der Wasserspiegel um die Höhe $-\Delta h$ sinkt. Beim Grenzübergang $\Delta h \rightarrow 0$ erhält man
\[ \frac{dt}{dh} = - \frac{\pi \rho^2(h)}{A\,\sqrt{Gh}}. \]
Hierbei ist $\rho(h)$ die Gleichung der Mantellinie in Abhängigkeit von der Höhe $h$, wenn wir die Gefäße als Rotationskörper um die $h$-Achse  auf\/fassen.\\
Für die Auslaufzeit $T(h)$ von einem anfänglichen Flüssigkeitsspiegel der Höhe $H$ bis zur Höhe $h$
erhält man durch Integration
\[ T(h)= - \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_{H}^h \frac{{\rho(h)}^2}{\sqrt{h}} dh.\]
Bei gefülltem Gefäß beginnt der Ausfluß zum Zeitpunkt $T(H)=0$, und
\[ T(0)= - \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_{H}^0 \frac{{\rho(h)}^2}{\sqrt{h}} dh = \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_0^H \frac{{\rho(h)}^2}{\sqrt{h}} dh\]
ist die Zeit, in der das Gefäß leerläuft.\\

Der Kreiskegelstumpf hat das Volumen $$V_K =\frac{\pi}{3}H(R^2+Rr+r^2),$$ damit in der zylinderischen Tonne dasselbe Volumen enthalten ist, muss der Flüssigkeitsspiegel dort die Höhe $$H_Z=\frac{V_K}{\pi r^2}=\frac{H}{3}(\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1)$$ haben. Für den Zylinder ist außerdem $\rho(h) = r$. Die Leerlaufzeit beträgt daher
$$T_Z(0)= \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_0^{H_Z} \frac{r^2}{\sqrt{h}} dh =\frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} 2r^2\sqrt{\frac{H}{3}(\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1)}=\frac{2\pi\sqrt{H}r^2}{A\,\sqrt{3G}}\,\sqrt{\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1}.$$

Beim Kreiskegelstumpf ist $\rho(h) = r+\frac{h}{H} (R-r)$, also
$$T_K(0)= \frac{\pi}{A\,\sqrt{G}} \int_0^{H} \frac{r^2+2r(R-r)\frac{h}{H}+(R-r)^2\frac{h^2}{H^2}}{\sqrt{h}} dh = \frac{2\pi\sqrt{H}r^2}{A\,\sqrt{3G}}\,\sqrt{3}\,(1+ \frac{2}{3}(\frac{R}{r}-1)+\frac{1}{5}(\frac{R}{r}-1)^2).$$

Um zu entscheiden, welches Gefäß zuerst leerläuft, genügt es, die beiden Zahlen
$$A_Z=\sqrt{\frac{R^2}{r^2}+\frac{R}{r}+1}\qquad\mbox{und}\qquad A_K=\sqrt{3}\,(1+ \frac{2}{3}(\frac{R}{r}-1)+\frac{1}{5}(\frac{R}{r}-1)^2)=\frac{\sqrt{3}}{15}(3\frac{R^2}{r^2}+4\frac{R}{r}+8)$$
zu vergleichen, da in beiden Leerlaufzeiten sonst nur noch der Faktor $\frac{2\pi\sqrt{H}r^3}{A\,\sqrt{3G}}$ vorkommt.\\

Dazu betrachten wir für $a=\frac{R}{r}>1$ die Funktion
$$f(a) = A_K - A_Z = \frac{\sqrt{3}}{15}(3a^2+4a+8) - \sqrt{a^2+a+1}.$$
Offenbar ist $f(1) = 0$ und
\bea
f'(a) &=& \frac{1}{5\sqrt{3}}(6a+4) - \frac{2a+1}{2\sqrt{a^2+a+1}}\\
& \geq & \frac{1}{5\sqrt{3}}(6a+4) - \frac{2a+1}{2\sqrt{3}}\\
&=& \frac{12a+8-10a-5}{10\sqrt{3}} > 0,
\eea
d. h. $f$ ist monoton wachsend und stets positiv.\\

Da damit auch $A_K$ stets größer als $A_Z$ ist, läuft die Tonne zuerst leer.
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{180pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 214: Die Kettenlinie
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Leiten Sie die Differentialgleichung der
Kettenlinie her, bestimmen Sie deren Lösungen und diskutieren Sie dabei die
verschiedenen Fälle!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{250pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7, angle=270]{aImage014}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 214}}\\
Ein in zwei Punkten $A(x_0,y_0)$ und $B(x_1,y_1)$ aufgehängtes, ideales und homogenes Seil hängt wegen
seines Eigengewichtes ($ \gamma = $ Seilgewicht pro Längeneinheit) durch.\\
Das mechanische Gleichgewicht erfordert, dass die Seilspannkräfte tangential wirken und die Summe aller Kräfte auf das Seilelement verschwindet.

Also haben wir:
$$ H=H+dh,\quad V+\gamma ds = V + dV  \Rightarrow  H=const.,\quad {dV \over ds} = \gamma $$
Ferner ist 
$$ {V \over H} = {dy \over dx} \Rightarrow V=H\frac{dy}{dx} \Rightarrow\gamma = {dV \over ds}= H {d \over ds} {dy \over dx} = H y'' {dx \over ds}$$

Aufgelöst nach $y''$ ergibt sich unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen das\\
{\em Randwertproblem}
\bea
y'' & = & {\gamma \over H}\sqrt{1+y'^2}\\
y(x_0) & = & y_0\\
y(x_1) & = & y_1\\
\eea
\begin{itemize}
\item Allgemeine Lösung der Differentialgleichung\\
Ersetze $z(x)=y'(x) \Rightarrow z'=C\sqrt{1+z^2}, C={\gamma \over H}$ und gehe über zur Umkehrfunktion:
$$x(z)= \int {dz \over C \sqrt{1+z^2}} \Rightarrow x(z)={\arsinh z +c_1 \over C} \Rightarrow z(x)=\sinh (Cx-c_1),$$
d. h. 
$$ y(x) = \int \sinh (Cx-c_1) dx = {1 \over C}\cosh (Cx-c_1) +c_2$$
\item Randwerte
\bea
y_0 & = & {1 \over C}\cosh(Cx_0-c_1) + c_2\\
y_1 & = & {1 \over C}\cosh(Cx_1-c_1) + c_2\\
\eea
$$ \Rightarrow y_1 - y_0 ={1 \over C}(\cosh(Cx_1-c_1) - \cosh(Cx_0-c_1))
={2 \over C}\sinh({C(x_1-x_0) \over 2}) \sinh({C(x_1+x_0) \over 2} - c_1)$$
Aus der letzten Gleichung kann man $c_1$ bestimmen, aus einer der beiden ersten Gleichungen bestimmt man dann noch $c_2$,
die vertikale Verschiebung der Kurve.
\end{itemize}

Zum sonstigen Aussehen der Kurve studieren wir die Nullstellen der ersten Ableitung $y'(x)=\sinh (Cx-c_1)$. Die Kurve hat genau dann
ein relatives Minimum im Intervall $[x_0, x_1]$, wenn $c_1$ im Intervall $[Cx_0, Cx_1]$ liegt. Nun ist aber
\bea
\sinh({C(x_1+x_0) \over 2} - c_1) & = & \frac{C(y_1 - y_0)}{2\sinh({C(x_1-x_0) \over 2})} =: R, \mbox{ d. h.}\\
c_1 & = & {C(x_1+x_0) \over 2} - \arsinh R
\eea
liegt genau dann im Intervall $[Cx_0, Cx_1]$, wenn $|\arsinh R| < {C(x_1 -x_0) \over 2}$ ist. In diesem Fall hängt die Kurve 
also teilweise unter beiden Aufhängungspunkten, anderenfalls ist ein Aufhängungspunkt absolutes Minimum der Kurve.
Die Bedingung läßt sich wie folgt vereinfachen:
\bea
|\arsinh R| = \arsinh |R| & < & {C(x_1 -x_0) \over 2}\\
\frac{C(y_1 - y_0)}{2\sinh({C(x_1-x_0) \over 2})} = R = |R| & < & \sinh {C(x_1 -x_0) \over 2}\\
C(y_1 - y_0) & < & 2\sinh^2({C(x_1-x_0) \over 2}) = \cosh C(x_1 -x_0)\\
\eea



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 215: Nicht eindeutige Lösung des AWP
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Das Anfangswertproblem
\[y'=\sqrt{y}\quad\text{in}\quad [0,\infty),\quad  y'(0) = 0\]
besitzt  die  triviale  Lösung $y \equiv 0$.  Existiert  zu  jedem $\lambda > 0$  auch  eine  Lösung  dieses Anfangswertproblems mit
\[y(x) = 0 \quad\text{für}\quad x \in [0,\lambda] \quad\text{und}\quad y(x)>0 \quad\text{für}\quad x \in (\lambda,\infty) ?\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 215}}\\
Trennung der Variablen führt zu 
\[2 \sqrt{y} = 2\,\int\,\frac{dy}{2\sqrt{y}} = \int\,dx = x-\lambda\]
bzw.
\[y= \frac{(x-\lambda)^2}{4}.\]
Dies sind gestauchte quadratische Parabeln, die bei $x=\lambda$ die $x$-Achse tangieren. Die Funktionen
\[ y_\lambda(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls } x\leq \lambda \\ \frac{(x-\lambda)^2}{4} & \text{falls } x>\lambda \end{cases} \]
haben alle gewünschten Eigenschaften.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 216: Rechte Seite ist Funktion eines lienaren Ausdrucks
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass sich \dgls\ der Form
	\[y'=f(ax+by+c)\]
	durch die Ersetzung $z(x)=ax+by(x)+c$ auf eine \dgl\ mit getrennten Variablen zurückführen lässt.
	\item Berechnen Sie die allgemeine Lösung der \dgl
	\[y'=1-\frac{2}{x-2y+5}.\] 
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 216}}\\
\begin{enumerate}
	\item Mit $z(x)=ax+by(x)+c$ ist $z'(x)=a+by'(x)$ bzw. $y'=(z'-a)/b$, also erhält man die autonome \dgl\
	\[z'=a+bf(z)\]mit der allgemeinen Lösung
	\[x+C=\int\,\frac{dz}{a+bf(z)}\ .\]
	\item In diesem Falle ist $a=1, b=-2$ und $f(z)=1-2/z$, also
	\bea
x+C&=&\int\,\frac{dz}{-1+4/z}\\
&=&\int\,\frac{z}{4-z}\,dz\\
&\overset{u=4-z}{=}&-\int\,\frac{4-u}{u}\,du\\
&=&u-4\ln|u|=4-z-4\ln|4-z|\\
&=&2y-x-1-4\ln|2y-x-1|\ ,\text{bzw.}\\
4\ln|2y-x-1| &=& 2y-2x+K,\ K=-1-C\\
	|2y-x-1|&=&\e^{\frac{2y-2x+K}{4}}=A \e^{\frac{2y-2x}{4}},\ A=\e^{K/4}>0\\
	2y-x-1&=&A \e^{\frac{2y-2x}{4}},\ A\in \R.\\
	\eea
	Leider kann man nicht weiter nach $y$ oder $x$ auflösen.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 217: \dgl\ der Traktrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die differenzierbaren Kurven $y=y(x)$, $y(x)>0$, deren Tangenten zwischen dem Berührungspunkt mit der Kurve und dem Schnittpunkt mit der $x$-Achse eine konstante Länge $a>0$ haben. Eine solche Kurve heißt auch {\em Ziehkurve} oder {\em Traktrix} und entsteht, wenn man bei geradliniger Bewegung auf der $x$-Achse einen Gegenstand hinter sich herzieht, der zu Beginn der Bewegung nicht auf der Ziehgeraden lag.\\

Diese Aufgabe soll von G.W. Leibniz (1646 - 1716) stammen, der die Bewegung seiner im Punkte $(0,a)$ liegenden silbernen Taschenuhr verfolgte, als er das am andere, im Koordinatenursprung befindliche Ende der Uhrkette entlang der $x$-Achse verschob.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 217}}\\
Sei $\alpha$ der Anstiegswinkel der Tangente, dann gilt
\[y'=\tan \alpha = - \tan(\pi-\alpha) = -\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}.\]
Diese (autonome) \dgl\ lässt sich durch Trennung der Variablen lösen:
\bea
x+c&=& \int\, dx = -\int\,\frac{\sqrt{a^2-y^2}}{y}\,dy\\
& \overset{\text{Bronstein Nr. 161}}{=}& -\rkl{\sqrt{a^2-y^2} - a \ln\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y}}
\eea 
Aus dem \awp\ $x(a)=0$ folgt noch $c=0$, also 
\[x(y) = a\ln\rkl{\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y}} -\sqrt{a^2-y^2},\]
was man leider nicht nach $y$ auflösen kann.
% Ende der Lösung
\newpage
\section{ implizite Dgl }
\subsection{ Auflösung nach x möglich }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 218: Auflösung nach x möglich
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie für die implizite Differentialgleichung
\[(y')^3+y'-x=0\]
das Anfangswertproblem $y(1)=1$ und skizieren Sie die Lösung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 218}}\\
Mit $p=y'$ erh"alt man zunächst für $x$ die Parameterdarstellung $x(p)=p^3+p$ und mit 
$$\frac{dy}{dp} = \frac{dy}{dx}\,\frac{dx}{dp} = p\,(3p^2 +1) =3p^3 + p$$
auch für $y(p)={3\over 4}p^4 +{1\over 2}p^2 +c$.\\
Aus dem Anfangswertproblem
\begin{align}
1&=p^3+p\\
1&={3\over 4}p^4 +{1\over 2}p^2 +c
\end{align}
 erhält man ein eindeutig bestimmtes $p_0$ mit $p_0^3=1-p_0$ aus der  Gleichung (1) und kann $c=1-\frac{1}{6}p_0+\frac{4}{3}p_0^2$ dann aus der Gleichung (2) bestimmen. Dabei und bei der grafischen Darstellung lassen wir uns von Maple helfen:
\begin{mapleinput}
\textbf{L:=[seq([t\symbol{94}3+t, 3*t\symbol{94}4/4+t\symbol{94}2/2+c, t=-5..5], c=-5..5)];}
\end{mapleinput}
\bea
L &:=& [[t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2-5, t = -5 .. 5], [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2-4, t = -5 .. 5],\\
&& [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2-3, t = -5 .. 5], [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2-2, t = -5 .. 5],\\
&&  [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2-1, t = -5 .. 5], [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2, t = -5 .. 5],\\
&& [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2+1, t = -5 .. 5], [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2+2, t = -5 .. 5],\\
&& [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2+3, t = -5 .. 5], [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2+4, t = -5 .. 5],\\
&& [t^3+t, 3/4*t^4+1/2*t^2+5, t = -5 .. 5]]
\eea

\begin{mapleinput}
\textbf{plot(L, -10..10, -10..10);}
\end{mapleinput}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.35]{lImage031}
\end{center}
\begin{mapleinput}
\textbf{s:=solve(p\symbol{94}3+p=1);}
\end{mapleinput}
\bea
s\, &:=& \,1/6\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}-2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}},\\
&&\,-1/12\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}+{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}}+1/2\,i\sqrt {3} \left( 1/6\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}+2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}} \right) ,\\
&&\,-1/12\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}+{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}}-1/2\,i\sqrt {3} \left( 1/6\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}+2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}} \right) 
\eea

\begin{mapleinput}
\textbf{p:=s[1];}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\QTR{Maple 2D Output}{\mapleinline{inert}{2d}{p := (108+12*93^(1/2))^(1/3)/6-2/(108+12*93^(1/2))^(1/3)}{%
\[
p\, := \,1/6\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}-2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}}
\]
}
}

\end{maplelatex}
\begin{mapleinput}
\textbf{c:=1-3/4*p\symbol{94}4 -1/2*p\symbol{94}2;}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\QTR{Maple 2D Output}{\mapleinline{inert}{2d}{c := 1-3*((108+12*93^(1/2))^(1/3)/6-2/(108+12*93^(1/2))^(1/3))^4/4-((108+12*93^(1/2))^(1/3)/6-2/(108+12*93^(1/2))^(1/3))^2/2}{%
\[
c\, := \,1-3/4\, \left( 1/6\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}-2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}} \right) ^{4}-1/2\, \left( 1/6\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}-2\,{\frac {1}{\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}}} \right) ^{2}
\]
}
}

\end{maplelatex}
\begin{mapleinput}
\textbf{simplify(c);}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\QTR{Maple 2D Output}{\mapleinline{inert}{2d}{5/6-25*(108+12*93^(1/2))^(2/3)/288+(108+12*93^(1/2))^(2/3)*93^(1/2)/96-3*(108+12*93^(1/2))^(1/3)/16+(108+12*93^(1/2))^(1/3)*93^(1/2)/144}{%
$5/6-{\frac {25}{288}}\, \left( 108+12\,\sqrt {93} \right) ^{2/3}+{\frac {1}{96}}\, \left( 108+12\,\sqrt {93} \right) ^{2/3}\sqrt {93}\\
\mbox{}-3/16\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}+{\frac {1}{144}}\,\sqrt [3]{108+12\,\sqrt {93}}\sqrt {93}$}
}

\end{maplelatex}
\begin{mapleinput}
\textbf{evalf(c);}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\QTR{Maple 2D Output}{\mapleinline{inert}{2d}{.6046469548}{%
\[
 0.6046469548
\]
}
}

\end{maplelatex}
\begin{mapleinput}
\textbf{plot([t\symbol{94}3+t, 3*t\symbol{94}4/4+t\symbol{94}2/2+c, t=-5..5], 0..2, 0..2);}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{lImage032}
\end{center}


Alternativ kann man erst die in $p$ biquadratische Gleichung (2) lösen, die Lösung in Gleichung (1) einsetzen und erhält dann nach Umformung eine kubische Gleichung in $c$.
% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Auflösung nach y möglich }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 219: Auflösung nach $y$ möglich
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie für die implizite Differentialgleichung
\[y=x^2\e^{y'}+x\,y'\]
das Anfangswertproblem $y(1)=1$ und skizieren Sie die Lösung.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 219}}\\
Mit $p=y'$ erhält man zunächst $y=x^2\e^p+xp$, woraus durch Differentiation nach $x$
$$ p = {dy\over dx} =2x\e^p +x^2\e^p{dp\over dx} + p + x{dp\over dx}$$
bzw.
$${dx\over dp} = -\frac{x^2\e^p+x}{2x\e^p} = -{1\over 2}\,x -{\e^{-p}\over 2}.$$
Das ist eine lineare inhomogene \dgl 1. Ordnung für $x(p)$, bei der man eine spezielle Lösung,
nämlich $x_s(p)=\e^{-p}$, erraten kann.\\
Als allgemeine Lösung der homogenen Gleichung erhält man $x_h(p)=c\,\e^{-\frac{p}{2}}$, insgesamt ist also
\begin{align}
x(p) & =  c\,\e^{-\frac{p}{2}}+\e^{-p}\\
y(p) & =  c^2 + 2c\,\e^{-\frac{p}{2}} + \e^{-p} +c\,p\,\e^{-\frac{p}{2}}+p\,\e^{-p} 
= c^2 + c\,(2+p)\,\e^{-\frac{p}{2}} +(1+p)\,\e^{-p} 
\end{align}
Aus dem Anfangswertproblem $y(1)=1$ bzw. $1=\e^p+p$ \ errät man zunächst $p=0$ und erhält weiter
$$ 1 = c +1, \ 1 = c^2 +2c +1, \mbox{ also } c=0.$$
Nun ist $x(p)=\e^{-p}$, $p=-\ln x$ und $y(x)=x - x\,\ln x$.


Aus Gleichung (1) sieht man noch, dass für positives $c$ auch $x$ stets positiv ist. Durch eine einfache Bestimmung des lokalen Minimums kann man zeigen, dass für negatives $c$ der Definitinsbereich bei $x=c/4$ endet.\\
Wir stellen die Funktionen für verschiedene $c$ daher nur in der rechten Halbebene grafisch dar und benutzen dafür Maple:\\
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{L:=[seq([c*exp(-t/2)+exp(-t), c^2 + c*(2+t)*exp(-t/2) +(1+t)*exp(-t),
t=-5..5], c=-5..5),[exp(-t), (1+t)*exp(-t), t=-5..5]];}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{L := [[-5*exp(-1/2*t)+exp(-t), 25-5*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t),
t = -5 .. 5], [-4*exp(-1/2*t)+exp(-t),
16-4*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t = -5 .. 5],
[-3*exp(-1/2*t)+exp(-t), 9-3*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t = -5
.. 5], [-2*exp(-1/2*t)+exp(-t), 4-2*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t
= -5 .. 5], [-exp(-1/2*t)+exp(-t), 1-(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t),
t = -5 .. 5], [exp(-t), (1+t)*exp(-t), t = -5 .. 5],
[exp(-1/2*t)+exp(-t), 1+(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t = -5 .. 5],
[2*exp(-1/2*t)+exp(-t), 4+2*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t = -5 ..
5], [3*exp(-1/2*t)+exp(-t), 9+3*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t =
-5 .. 5], [4*exp(-1/2*t)+exp(-t),
16+4*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t = -5 .. 5],
[5*exp(-1/2*t)+exp(-t), 25+5*(2+t)*exp(-1/2*t)+(1+t)*exp(-t), t = -5
.. 5], [exp(-t), (1+t)*exp(-t), t = -5 .. 5]];}{%
\maplemultiline{
L := [[ - 5\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,25 - 5\,(2 + t
)\,e^{( - \frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5], 
 \\
[ - 4\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,16 - 4\,(2 + t)\,e^{
( - \frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[ - 3\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,9 - 3\,(2 + t)\,e^{(
 - \frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[ - 2\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,4 - 2\,(2 + t)\,e^{(
 - \frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[ - e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,1 - (2 + t)\,e^{( - 
\frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5], \,[e^{( - t)}
, \,(1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,1 + (2 + t)\,e^{( - 
\frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[2\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,4 + 2\,(2 + t)\,e^{( - 
\frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[3\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,9 + 3\,(2 + t)\,e^{( - 
\frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[4\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,16 + 4\,(2 + t)\,e^{(
 - \frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[5\,e^{( - \frac {t}{2})} + e^{( - t)}, \,25 + 5\,(2 + t)\,e^{(
 - \frac {t}{2})} + (1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5],  \\
[e^{( - t)}, \,(1 + t)\,e^{( - t)}, \,t=-5 .. 5]] }
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{interface(plotoptions=`color,portrait,noborder`); }{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{`color,portrait,noborder`;}{%
\[
\mathit{color,portrait,noborder}
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(L, 0..20, -10..10);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\mapleplot{lImage033}
\end{center}

\end{maplegroup}


% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Clairautsche DGL }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 220: Theorie der Clairautschen \dgls.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine reelle Funktion $g = g(t)$ sei für $t \in [a, b]$ zweimal stetig differenzierbar
mit $g''(t) \neq 0$. Durch $y = xt + g(t), t \in [a, b]$ wird eine Schar von Geraden im $\R^2$
gegeben.
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie: Es gibt eine ebene Kurve, deren Tangenten Geraden aus dieser Schar sind;
man nennt die Kurve deshalb auch Einhüllende der Geradenschar.
\item Die Differentialgleichung $y = xy'+ g(y')$ heißt eine Clairautsche Differentialgleichung.\\

Zeigen Sie: Die Geradenschar und die Kurve von a) sind Lösungen dieser Differentialgleichung.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 220}}\\
\begin{enumerate}
	\item An der Berührungspunkten der Geradenschar mit einer potenziellen Einhüllenden könnte man nicht eindeutig nach dem Parameter $t$ auflösen, da man in jedem Punkt entweder entlang der Tangente oder entlang dieser Einhüllenden fortsetzen könnte. Es muss deshalb die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen verletzt sein, d.~h. die partielle Ableitung der Funktion 
	\[ F(x,y,t):=y-xt-g(t)\equiv 0\] 
	nach $t$ muss verschwinden, d. h. es ist $0=x+g'(t)$ bzw. $x(t)=-g'(t)$. Setzt man dies in die Ausgangsgleichung ein, dann erhält man noch $y(t)= - t g'(t)+g(t)$, insgesamt also eine Parameterdarstellung der Einhüllenden.
	\item Sucht man nach Lösungen $y'=t=const$, so erhält man die gegebene Geradenschar. 
	
	Um zu zeigen, dass auch die Einhüllende eine Lösung der \dgl\ ist, bildet man
	\[y'(x) = \frac{dy}{dx} =  \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-g'(t) - tg''(t) +g'(t)}{-g''(t)} =t,\]
	also kann man in der Gleichung der Geradenschar $t$ durch $y'$ ersetzen;  die gegebene \dgl\ ist also erfüllt. 
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 221: Ein Beispiel zur Clairautschen Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man löse die Clairautsche Differentialgleichung
\begin{eqnarray}
y=x\,y' - \sqrt{1+(y')^2}\ !
\end{eqnarray}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 221}}\\
\section{Reguläre Integrale}
Mit $y'=C$ (Kurven konstanten Anstiegs) erhält man die Geradenschar
\begin{eqnarray}
y=Cx+\sqrt{1+C^2}\ .
\end{eqnarray}

\section{Singuläre Integrale}
\underline{erster Weg - generelles Vorgehen bei impliziten \dgls }\\

Setze
\begin{equation}
p=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dp}}{\frac{dx}{dp}}=\frac{\dot{y}(p)}{\dot{x}(p)}\qquad\mbox{d.~h.}\qquad \dot{y}=p\dot{x}.
\end{equation}
Aus (1) wird nun
\begin{eqnarray}
y(p)=x(p)\,p - \sqrt{1+p^2}\ 
\end{eqnarray}

Differenziert man nun (4) nach $p$, so ergibt sich wegen (3) und nach Wiedereinsetzen von (5) in (4)
\begin{eqnarray}
  x(p) &=& \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\\
  y(p) &=& -\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}
\end{eqnarray}
Wegen $x^2(p)+y^2(p)=1$ und $y \leq 0$ ist dies der untere Bogen vom Einheitskreis.\\

\underline{zweiter Weg - Einhüllende - Satz über implizite Funktionen }\\

Das singuläre Integral setzt sich aus Integralelementen zusammen, in deren Umgebung man gerade nicht eindeutig nach dem Parameter $p$, also nach der ersten Ableitung, auflösen kann. Nach dem Satz über implizite Funktionen muss deshalb außer der impliziten \dgl 
\begin{equation}
	F(x,y,p)=0 \qquad \mbox{bzw. wie im Beispiel}\qquad y=xp-\sqrt{1+p^2}
\end{equation}
auch noch die partielle Ableitung nach $p$ verschwinden, also
\begin{equation}
	F_p(x,y,p)=0 \qquad \mbox{bzw. wie im Beispiel}\qquad 0=x-\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}
\end{equation}
sein.

Gleichung (8) führt aber wieder auf (5) und aus (7) gewinnt man dann durch Einsetzen auch die Gleichung (6), so dass die Einhüllende mit der oben ermittelten Lösung zusammenfällt. 

{\em Die Tatsache, dass die Einhüllende auch Lösung der Differentialgleichung ist, ist eine spezielle Eigenschaft der Clairautschen Differentialgleichung.}

\section{Grafische Darstellung}
Zeichnet man die Geradenschar für $C=0,{1 \over 10},{2 \over 10},...,{100
\over 10}$ gemeinsam mit der Einhüllenden in ein Koordinatensystem, so kann
man die Rechnungen sehr gut veranschaulichen:\

\includegraphics[angle=270,width=110mm]{lImage034}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 222: Clairautsche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Geben Sie alle Lösungen der Clairautschen \dgl
\[y=x\,y'+\rkl{y'}^2\]
an. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 222}}\\
Mit $p(x)=y'(x)$ erhält man
\[y=x\,p+p^2.\]
Differentiation nach $x$ ergibt
\[p=y'=p+x\,\frac{dp}{dx}+2p\,\frac{dp}{dx}\]
bzw.
\[\rkl{x+2p}\,\frac{dp}{dx}=0,\]
woraus $p=$const. (Geradenschar) oder $x=-2p$ bzw
\[p=-\frac{x}{2}\quad\text{und damit}\quad y=-\frac{x^2}{4}\]
folgt.
\section*{Grafische Darstellung}
Zeichnet man die Geradenschar für $p\in\set{-5, -4.9,\ldots, 4.9, 5}$ gemeinsam mit der Einhüllenden (singulären Lösung) in ein Koordinatensystem, so kann
man die Rechnungen sehr gut veranschaulichen:\

\includegraphics[angle=270,width=350pt]{lImage035}

% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Lagrangesche DGL }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 223: Lagrangesche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie alle Lösungen der \dgl
\begin{equation}
y = 2\,x\,y' - \sqrt{1+(y')^2}
\end{equation}
\ 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 223}}\\
\begin{description}
\item[Lösungen konstanten Anstiegs:]
mit $y'=c$ erhält man die Geradenschar
\[y = 2\,c\,x - \sqrt{1+c^2}\]

	\item[allgemeine Lösung] 
Setze
\begin{equation}
p=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dp}}{\frac{dx}{dp}}=\frac{\dot{y}(p)}{\dot{x}(p)}\qquad\mbox{d.~h.}\qquad \dot{y}=p\dot{x}.
\end{equation}
Aus (1) wird nun
\begin{eqnarray}
y(p)=2\,x(p)\,p - \sqrt{1+p^2}\ 
\end{eqnarray}

Differenziert man nun (3) nach $p$, so ergibt sich wegen (2) zunächst
\[\dot{x}p = \dot{y} = 2x+2\dot{x}p-\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}.\]
Löst man nun noch nach $\dot{x}$ auf, so erhält man die lineare, inhomogene \dgl
\[  \dot{x}(p) = -2\frac{x}{p} + \frac1{\sqrt{1+p^2}}.\]
Die allgemeine Lösung der homogenen \dgl\ lautet $x(p) = k/p^2$, Variation der Konstanten führt auf
\[k(p) = \int\,\frac{p^2}{\sqrt{1+p^2}}\,dp =  \int\,\sinh^2t\dt .\] 
Dabei haben wir zuletzt $p=\sinh t, dp = \cosh t\, dt $ substituiert. Partielle Integration liefert
\[\int\,\sinh^2t\dt  = \sinh t\, \cosh t - \int\,\cosh^2 t\,dt = \sinh t\, \cosh t - \int\,(1+\sinh^2 t\,dt,\]
also
\[2 \int\,\sinh^2t\dt  = \sinh t\, \cosh t  \quad\text{bzw.}\quad k(p) = \frac{1}{2} p\,\sqrt{1+p^2}\]
und schließlich
\begin{equation}
x(p) = \frac{k+p\,\sqrt{1+p^2}}{2\,p^2}
\end{equation}
Mit der allgemeinen Lösung gewinnt man durch Wiedereinsetzen von (4) in (3) die Parameterdarstellung
\begin{equation}
  y(p) = \frac{k+p\,\sqrt{1+p^2}}{p}-\sqrt{1+p^2},\quad 0<p<\infty
\end{equation}
der Lösung.\\

\item[Gibt es eine Einhüllende der Geradenschar?]

Singuläre Integralelemente sind solche, in deren Umgebung man gerade nicht eindeutig nach dem Parameter $c$ auflösen kann. Nach dem Satz über implizite Funktionen müsste deshalb außer der impliziten Gleichung für die Lösungsschar 
\[F(x,y,c)=0\]
bzw. wie im Beispiel
\begin{equation}
	F(x,y,c)=y - 2\,c\,x + \sqrt{1+c^2}=0
\end{equation}
auch noch die partielle Ableitung nach $c$ verschwinden, also
\[F_c(x,y,c)=0\]
bzw. wie im Beispiel
\[	F_c(x,y,c) =- 2\,x + \frac{c}{\sqrt{1+c^2}}=0 \quad\text{bzw.}\quad x(c)= \frac{c}{2\,\sqrt{1+c^2}},\ y(c)=\frac{c^2}{\sqrt{1+c^2}}-\sqrt{1+c^2} = -\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}.\]

\item[Ist die Einhüllende auch Lösung?]
Es ist
\[\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dc}}{\frac{dx}{dc}} = \frac{\frac{c}{\sqrt{1+c^2}^3}}{\frac{1}{2\,\sqrt{1+c^2}}-\frac{c^2}{2\,\sqrt{1+c^2}^3}} = 2c,\]
also
\[ 2\,x\,y'- \sqrt{1+(y')^2} = \frac{c^2}{\sqrt{1+c^2}} -\sqrt{1+4\,c^2} \neq -\frac{1}{\sqrt{1+c^2}} =y,\]
also ist die Einhüllende keine Lösung.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 224: Ein Beispiel zur Lagrangeschen Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man löse die Lagrangesche Differentialgleichung
\begin{eqnarray}
y=2x\,y' - \ln{y'}\ !
\end{eqnarray}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 224}}\\

\begin{description}
	\item[allgemeine Lösung] 
Setze
\begin{equation}
p=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dp}}{\frac{dx}{dp}}=\frac{\dot{y}(p)}{\dot{x}(p)}\qquad\mbox{d.~h.}\qquad \dot{y}=p\dot{x}.
\end{equation}
Aus (1) wird nun
\begin{eqnarray}
y(p)=2\,x(p)\,p - \ln{p}\ 
\end{eqnarray}

Differenziert man nun (3) nach $p$, so ergibt sich wegen (2) zunächst
\[\dot{x}p = \dot{y} = 2x+2\dot{x}p-\frac{1}{p}.\]
Löst man nun noch nach $\dot{x}$ auf, so erhält man die lineare, inhomogene \dgl
\[  \dot{x}(p) = -2\frac{x}{p} + \frac1{p^2}.\]
Mit der allgemeinen Lösung gewinnt man durch Wiedereinsetzen von (4) in (3) die Parameterdarstellung
\begin{eqnarray}
	x(p) &=& \frac{k+p}{p^2},\\
  y(p) &=& 2\frac{k+p}{p}-\ln{p},\quad 0<p<\infty
\end{eqnarray}
der Lösung.\\
Um eine explizite Lösung zu erhalten, kann man noch $p$ aus (4) und (5) bzw. (3)
eliminieren. Aus (4) folgt - wenigstens für $x\neq 0$ -
\[p^2-\frac{p}{x}-\frac{k}{x}=0 \quad\text{bzw}\quad p_{1/2}=\frac{1}{2x}\pm\sqrt{\frac{1}{4x^2}+\frac{k}{x}} = \frac{1\pm\sqrt{1+4kx}}{2x}.\]
Setzt man das in (3) ein, so erhält man die allgemeinen Lösungen
\begin{equation}
y_{1/2}(x)=1\pm\sqrt{1+4kx}- \ln\rkl{\frac{1\pm\sqrt{1+4kx}}{2x}},
\end{equation}
die natürlich immer nur dort existieren, wo 
\[1+4kx \geq 0 \quad\text{und}\quad p_{1/2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4kx}}{2x}>0\]
sind. Für $x=0$ ist $p=-k$ und $y(0)=-\ln(-k)$. Dieser Fall ist nur für $k<0$ möglich.

\item[Gibt es eine Einhüllende?]

Singuläre Integralelemente sind solche, in deren Umgebung man gerade nicht eindeutig nach dem Parameter $k$ auflösen kann. Nach dem Satz über implizite Funktionen müsste deshalb außer der impliziten Gleichung für die Lösungsschar 
\[F(x,y,k)=0\]
bzw. wie im Beispiel
\begin{equation}
	F(x,y_{1/2},k)=1\pm\sqrt{1+4kx}- \ln\rkl{\frac{1\pm\sqrt{1+4kx}}{2x}} - y_{1/2}(x) =0
\end{equation}
auch noch die partielle Ableitung nach $k$ verschwinden, also
\[F_k(x,y,k)=0\]
bzw. wie im Beispiel
\begin{align}
		F_k(x,y_{1/2},k) &=\pm\frac{2x}{\sqrt{1+4kx}}\mp \frac{1}{1\pm\sqrt{1+4kx}}\frac{2x}{\sqrt{1+4kx}}\\
		&=\pm\frac{2x}{\sqrt{1+4kx}}\rkl{1- \frac{1}{1\pm\sqrt{1+4kx}}}\\
		&=\frac{2x}{1\pm\sqrt{1+4kx}} = 0
\end{align}
sein.

Dies ist aber höchstens in $x=0$, also der $y$-Achse, der Fall; dies ist aber keine Funktion im gesuchten Sinne. Schreibt man die \dgl\ um auf die Funktion $x(y)$ mit $x'=1/y'$, dann erhält man die implizite \dgl
\[x=\frac{y}{2}x'-x'\ln x'.\]
Diese hat tatsächlich die Lösung $x\equiv 0$.

\item[Grafische Darstellung]
Wir lassen uns von Maple die Parameterdarstellungen und auch die expliziten Darstellungen der Lösungsfunktionen für verschiedenen $k \in \Z$ zeichnen. Abbildung 1 zeigt die Parameterdarstellung für $k=0,\ldots,10$, Abbildung 2 die für $k=-10,\ldots, -1$.
Die Abbildungen 3 bzw. 4 zeigen die expliziten Funktionen für $k=0,\ldots,10$ bzw. $k=-10,\ldots, -1$, wobei in Abildung 3 die Funktionen mit "`+"' und in Abbildung 4 die mit "`$-$"' vor der Wurzel genommen werden müssen.\\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot([[(k+p)/p/p, 2*(k+p)/p-ln(p),p=0.005..100] $
k=0..10],x=-10..10,y=-10..10);}{%
}
\end{mapleinput}

\begin{center}
\includegraphics{lImage036}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot([[(k+p)/p/p, 2*(k+p)/p-ln(p),p=0.005..100] $
k=-10..-1],x=-10..10,y=-10..10);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\includegraphics{lImage037}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot([1+sqrt(1+4*x*k)-ln((1+sqrt(1+4*x*k))/2/x) $ k=0..10],x=-10..10,
y=-10..10);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\includegraphics{lImage038}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot([1-sqrt(1+4*x*k)-ln((1-sqrt(1+4*x*k))/2/x) $
k=-10..-1],x=-10..10,y=-10..10);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{center}
\includegraphics{lImage039}
\end{center}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\emptyline
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\emptyline
\end{maplegroup}
%
\end{description}

% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Lineare Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 225: Ein \awp
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das folgende \awp\ für eine lineare \dgl:
\[ y'=\frac{y}{1+x^2} + 2x -1;\quad y(0)=1.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 225}}\\
Als allgemeine Lösung $y_h$ der zugehörigen homogenen \dgl
\[ y'=\frac{y}{1+x^2} \]
erhält man durch Trennung der Variablen
\[y_h(x) = c\,\e^{\arctan x}.\]
Eine spezielle Lösung $y_s$ der inhomogenen \dgl\ kann man versuchen durch Variation der Konstanten, also mit dem Ansatz
\[y_s(x) = c(x)\,\e^{\arctan x}\]
gewinnen. Setzt man diesen Ansatz in die \dgl\ ein, so erhält man
\[ c'(x)\,\e^{\arctan x} = 2x-1\quad\text{bzw.}\quad c(x)=\int_0^x \, (2\xi-1)\,\e^{-\arctan \xi} \,d\xi. \]
Das letzte Integral lässt sich nur schwierig lösen. "`Wolfram alpha"' findet als Lösung die Funktion  $(1+x^2)\,\,\e^{-\arctan x}$, woraus
\[y_s(x) = 1+x^2\]
folgt.\\
Besser ist der Polynomansatz
\[y_s(x)=ax^2+bx+c,\]
der durch Einsetzen in die \dgl\ zu 
\[(2ax+b)(1+x^2)  = x^2+bx+c +(2x-1)(1+x^2)\]
bzw.
\[2ax^3+bx^2+2ax+b =  2x^3+(2+b)x +c-1\] führt, woraus ebenfalls
\[y_s = 1+x^2\]
folgt.\\
Die allgemeine Lösung der inhomogenen \dgl\  ist dann also
\[y(x)=c\,\e^{-\arctan x} +1+x^2.\]
Aus den Anfangsdaten folgt noch $c=0$, also ist
\[y(x)=1+x^2\]
die Lösung des \awp s.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 226: Die \dgl\ des Stromkreises
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die lineare Differentialgleichung für die Stromstärke
$I = I(t)$ in einem Stromkreis bestehend aus einem Ohmschen Widerstand $R$ und einer
Induktivität $L$ lautet:
\[ \frac{dI}{dt} (t) + \frac{R}{L} I(t) = \frac{U(t)}{L}.\]
Dabei ist $U = U(t)$ die angelegte Spannung. 
\begin{enumerate}
	\item Lösen Sie das Anfangswertproblem mit der
Wechselspannung $U(t) = A \sin(\omega t)$ und $I(0) = 0$. 
\item Zeigen Sie, dass die Stromstärke für $ t \to +\infty$ wieder eine Sinusschwingung gleicher Frequenz, aber mit einer Phasenverschiebung
ist und berechnen Sie diese Phasenverschiebung!
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 226}}\\
\begin{enumerate}
	\item Die allgemeine Lösung der homogenen \dgl\ ist
	\[ I(t) = c\, \e^{-\frac{R}{L} t}.\]
	Variation der Konstanten ergibt
	\[c'(t)\, \e^{-\frac{R}{L} t} = \frac{U(t)}{L} \quad\text{bzw.}\quad c(t) = \frac{1}{L}\int\,U(t)\, \e^{\frac{R}{L} t} \,dt .\]
	Mit der
Wechselspannung $U(t) = A \sin(\omega t)$ erhält man durch partielle Integration mit 
\[u(t) = \sin(\omega t),\ u'(t)=\omega \cos(\omega t), \ v'(t) = \e^{\frac{R}{L} t}, \  v(t) = \frac{L}{R}\e^{\frac{R}{L} t} \]
zunächst
\[c(t) = \frac{A}{R}\,\sin(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t}- \frac{A\, \omega}{R}\int\,\cos(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t} \,dt\]
und nochmalige partielle Integration mit 
\[u(t) = \cos(\omega t),\ u'(t)=-\omega \sin(\omega t), \v'(t) = \e^{\frac{R}{L} t}, \  v(t) = \frac{L}{R}\e^{\frac{R}{L} t} \]
ergibt schließlich 
\begin{align*}
c(t) &= \frac{A}{R}\,\sin(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t} - \frac{A\, L\, \omega}{R^2}\,\cos(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t}  - \frac{A\, L\, \omega^2}{R^2}\int\,\sin(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t} \,dt \\
&= \frac{A}{R}\,\sin(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t} - \frac{A\, L\, \omega}{R^2}\,\cos(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t}  - \frac{ L^2\, \omega^2}{R^2}\, c(t), 
\end{align*}
also
\[\rkl{1+\frac{ L^2\, \omega^2}{R^2}}\,c(t) = \frac{A}{R}\,\sin(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t} - \frac{A\, L\, \omega}{R^2}\,\cos(\omega t)\, \e^{\frac{R}{L} t}\] 
bzw.
\[c(t) = A\,\rkl{\frac{R}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\sin(\omega t) - \frac{L\, \omega}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\cos(\omega t)}\, \e^{\frac{R}{L} t}.\]
Schließlich ist dann
\[I(t) = c\, \e^{-\frac{R}{L} t} + A\,\rkl{\frac{R}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\sin(\omega t) - \frac{L\, \omega}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\cos(\omega t)}\]
und aus der Anfangsbedingung $I(0)=0$ folgt weiterhin
\[ c = \frac{A\,L\, \omega}{R^2+L^2\,\omega^2}, \]
also
\[I(t) = \frac{A\,L\, \omega}{R^2+L^2\,\omega^2}\, \e^{-\frac{R}{L} t} + A\,\rkl{\frac{R}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\sin(\omega t) - \frac{L\, \omega}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\cos(\omega t)}\]
	\item Für $t \to +\infty$ verschwindet der erste Summand. Mit dem Ansatz
	\begin{align*}I(t) &= A \sin(\omega\,(t-t_0)) \\
	&= A \rkl{\sin(\omega\,t)\,\cos(\omega\,t_0) - \cos(\omega\,t)\,\sin(\omega\,t_0)}\\
	&= A \,\rkl{\frac{R}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\sin(\omega t) - \frac{L\, \omega}{R^2+L^2\,\omega^2}\,\cos(\omega t)}
	\end{align*}
	erhält man 
	\[\sin(\omega t_0) = \frac{L\,\omega}{R^2+L^2\,\omega^2}  \quad\text{und}\quad \cos(\omega t_0) = \frac{R}{R^2+L^2\,\omega^2} \quad\text{bzw.}\quad \tan(\omega t_0) = \frac{L\,\omega}{R},\]
	also
	\[ t_0 = \frac{1}{\omega}\,\arctan\rkl{\frac{L\,\omega}{R}}.\]
\end{enumerate}

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Leben eines {Aufgabe 227: \em Käfers auf dem Gummiband}
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die folgende Aufgabe aus dem Leben eines {\em Käfers auf
dem Gummiband}. Gegeben sei ein beliebig dehnbares Gummiband auf der 
$x$-Achse. Ein Ende des Gummibandes werde bei $x=0$ festgehalten. Das 
freie Ende entfernt sich mit der konstanten Geschwindigkeit $v_1$
vom festen Ende. Zur Zeit $t=0$ habe das Band die Länge $L>0$ und 
zu dieser Zeit beginnt ein Käfer bei $x=0$ mit der konstanten 
Geschwindigkeit $v_2$ relativ zum Band auf diesem entlang zu kriechen.
Errreicht er immer das andere Ende und wenn ja, nach welcher Zeit?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 227}}\\
Die Geschwindigkeit des Käfers zum Zeitpunkt $t$ setzt sich zusammen aus der Relativgeschwindigkeit $v_2$ und der Geschwindigkeit $v(x)$ des Punktes $x$, für die gilt:
$$\frac{x(t)}{L(t)}=\frac{x(0)}{L}, \mbox{ bzw. } \frac{\dot x(t)}{\dot L(t)}=\frac{x(0)}{L}, \mbox{ also } \frac{x(t)}{L+v_1t}=\frac{v(x)}{v_1}, $$
wobei $L(t)=L+v_1t$ die Geschwindigkeit des freien Endes bezeichnet.\\
F"ur die Geschwindigkeit des Käfers gilt also
$$\dot x = \frac{v_1}{L+v_1t}x(t) +v_2,$$
das ist eine lineare inhomogene \dgl 1. Ordnung.\\
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist $x_h(t)=C\,(L+v_1t)$, Variation der Konstanten führt auf
$$C'(t)\,(L+v_1t)=v_2, $$
woraus man die allgemeine Lösung 
$$x(t)=(C+{v_2\over v_1}\ln(L+v_1t))\,(L+v_1t)$$
gewinnt.\\
Wegen der Anfangsbedingung $x(0)=0$ ist noch $C=-{v_2\over v_1}\ln(L)$, insgesamt also 
$$x(t)={v_2\over v_1}\ln(\frac{L+v_1t}{L})\,(L+v_1t).$$
Der Käfer erreicht das Ende des Bandes, wenn $x(t)=L+v_1t$ ist, d. h. wenn
$$\ln(\frac{L+v_1t}{L})={v_1\over v_2}, \mbox{ d. h. } \frac{L+v_1t}{L} = \e^{v_1\over v_2} \mbox{ bzw. }
t = {L\over v_1}\left(\e^{v_1\over v_2}-1\right)$$
ist. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 228: Leitkurve
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die Gleichung 
\[y'+f(x)y=g(x)\]
 ist eine lineare Differentialgleichung 1.\ Ordnung.
Dabei seien die Funktionen $f,g$ stetig für $x\in(a,b)$ und $f(x)\neq 0$.\\
Zeigen Sie: Die Geraden mit den Richtungen, welche das Richtungsfeld 
dieser Differentialgleichung den Punkten einer Geraden $x=x_0,x_0\in(a,b)$
zuordnet, verlaufen durch einen Punkt $P(x_0)\in{\Bbb R}^2$! Die Punkte
$P(x_0), x_0\in(a,b)$ liegen auf der sogenannten {\em Leitkurve}.
Bestimmen Sie die Gleichung der Leitkurve für das folgende Beispiel
\[
y'=\frac{x}{x^2-1}y-\frac{5}{x^2-1}\quad\mbox{für}\quad 1<x<4.
\]
Fertigen Sie eine Zeichnung für das Richtungsfeld und die Leitkurve an, die
die obige Behauptung illustriert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 228}}\\
Sei $x=x_0,x_0\in(a,b)$, dann lautet die Gleichung der Geraden durch die Punkte $(x_0,y_0)$ und $(x_0,y_1)$, deren Anstiege durch das Richtungsfeld vorgegeben wird
$$\eta(\xi) = y_0+\left (g(x_0)-f(x_0)\,y_0\right)(\xi-x_0)\qquad\mbox{bzw.}\qquad\eta(\xi) = y_1+\left (g(x_0)-f(x_0)\,y_1\right)(\xi-x_0).$$
Zur Bestimmung des Schnittpunktes subtrahiere man die zweite Gleichung von der ersten, man erhält
$$\xi(x_0)=x_0+\frac{1}{f(x_0)},\quad \eta(x_0)=\frac{g(x_0)}{f(x_0)}.$$
Da $y_0,y_1$ beliebig gewählt waren, $\xi$ und $\eta$ aber nicht von $y_0,y_1$ abhängen, schneiden sich alle diese Geraden in diesem Punkt, gleichzeitig sind die Darstelluneg für $\xi$ und $\eta$ eine Parameterdarstellung für die Leitkurve.\\

Im Beispiel ist 
$$f(x)=-\frac{x}{x^2-1}\qquad\mbox{und}\qquad g(x)=-\frac{5}{x^2-1},$$
also
$$\xi(x_0)=x_0-\frac{x_0^2-1}{x_0}=\frac{1}{x_0}\qquad\mbox{bzw.}\qquad x_0=\frac1{\xi}\qquad\mbox{und}\qquad \eta(x_0)=\frac5{x_0}\qquad\mbox{d. h.}\qquad \eta(\xi)=5\xi,$$
die Leitkurve ist also eine Gerade durch den Ursprung mit dem Anstieg 5.\\
\includegraphics{lImage040}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 229: lieare \dgl\ als exakte \dgl\ lösen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie einen Eulerschen Multiplikator für eine lineare
Differentialgleichung
\[y'+f(x)y=g(x)\]
und lösen Sie die zugehörige exakte Differentialgleichung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 229}}\\
Man schreibe die Aufgabe um in $$(f(x)y-g(x))dx + dy = 0.$$
Wegen
$$ \frac{\frac{\partial}{\partial y}(f(x)y-g(x))-\frac{\partial}{\partial x}(1)}{1}=f(x)$$
findet man einen nur von $x$ abhängigen Euler-Multiplikator m(x), der der \dgl  
$$ m'(x)=f(x)m(x)$$ genügt, also $$m(x) = \e^{\int f(x) dx}.$$
Jetzt muss man nur noch eine Stammfunktion $F(x,y)$ zum vollständigen Differential
$$dF(x,y)=(f(x)y-g(x))\,\e^{\int f(x) dx}dx + \e^{\int f(x) dx}dy = 0$$
bestimmen. Aus $F_y(x,y)=\e^{\int f(x) dx}$ erh"alt man zun"achst  
$$F(x,y)=y\,\e^{\int f(x) dx} +c(x),$$ und dann durch Differentiation nach $x$ noch
$$y\,\e^{\int f(x) dx}f(x)+c'(x)= (f(x)y-g(x))\,\e^{\int f(x) dx}.$$
Insgesamt wird daraus also
$$F(x,y)=y\,\e^{\int f(x) dx} - \int {g(x)\,\e^{\int f(x) dx}dx} = C$$ bzw.
$$y(x) =\e^{-\int f(x) dx}\left(C + \int {g(x)\,\e^{\int f(x) dx}dx}\right).$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 230: Verhalten im Unendlichen 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In der linearen Differentialgleichung
\[ y' + f (x)y = g(x)\]
seien die Funktionen $f, g$ für $x \geq 0$ definiert und stetig mit
\[ f (x) \geq \alpha > 0,\quad |g(x)| \leq M\]
mit festen Zahlen $\alpha, M$ . Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item Für jede Lösung der homogenen Differentialgleichung gilt $\lim_{x\to\infty} y(x) = 0$.
	\item Jede Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist für $x \geq 0$ beschränkt.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 230}}\\


\begin{enumerate}
	\item Für die allgemeine Lösung $y_h$ der zugehörigen homogenen \dgl\ ist wegen $\alpha>0$ 
	\[ 0\leq \abs{y_h(x)} = \abs{c \, \e^{-\int f(x) dx}} = \frac{|c|}{\e^{\int f(x) dx} } \leq \frac{|c|}{\e^{\int \alpha dx} } = \frac{|c|}{\e^{\alpha(x+k)}} \overset{x \to \infty}{\longrightarrow} 0.\]
	\item Aus der Lösungsformel
\[y(x) =\e^{-\int f(x) dx}\left(C + \int {g(x)\,\e^{\int f(x) dx}dx}\right) = \frac{C + \int {g(x)\,\e^{\int f(x) dx}dx}}{\e^{\int f(x) dx}}\]
folgt zunächst
\[0\leq \abs{y(x)}  \leq \frac{\abs{C + \int {g(x)\,\e^{\int f(x) dx}dx}}}{\e^{\int f(x) dx}} \leq \frac{\abs{C} + \int {M\,\e^{\int f(x) dx}dx}}{\e^{\int f(x) dx}}.\]
Der letzte Ausdruck besitzt keine Nullstellen des Nenners, d.   +h. er ist auf endlichen und damit kompakten Mengen beschränkt. Wegen der strengen Positivität von $f$ ist er außerdem von der Form  $\frac{\infty}{\infty$}, d.~h. es gilt
\[\lim_{x\to\infty} \abs{y(x)} \leq \lim_{x\to\infty} \frac{\abs{C} + \int {M\,\e^{\int f(x) dx}dx}}{\e^{\int f(x) dx}} = \lim_{x\to\infty} \frac{M\,\e^{\int f(x) dx}}{f(x)\,\e^{\int f(x) dx}} \leq \frac{M}{\alpha}.\]


\end{enumerate}
% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Theorie }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 231: Autonome Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine \dgl, 
$$y'=f(y)$$
bei der die rechte Seite nicht explizit von der unabhängigen Variablen $x$ abhängt, heißt autonom.\\

Zeigen Sie:\\
\ben
\item Zu jeder Lösung $y(x)$ einer autonomen \dgl und jedem $a \in \R$ ist die in Richtung der $x$-Achse verschobene Funktion $y_a(x):=y(x+a)$ Lösung dieser \dgl.
\item Existiert
$$ \int\frac{dy}{f(y)},$$
so kann man die Umkehrfunktion der Lösung bestimmen. Geben Sie diese an!
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 231}}\\
\ben
\item Es ist
$$f(y_a(x)) = f(y(x+a))=y'(x+a) = \frac{d}{dx}y(x+a)=\frac{d}{dx}y_a(x) = y'_a(x).$$
\item Durch Trennung der Variablen erhält man 
$$  dx = \frac{dy}{f(y)}$$
bzw.
$$x(y) = \int\frac{dy}{f(y)} + C .$$
\een
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 232: Eindeutigkeitssatz von Nagumo
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f : U \to \R$ in einer offenen Umgebung $U$ von $(x_0, y_0) \in \R^2$ stetig und
es gelte:
\[ \abs{f (x, y)  - f (x, \bar{y})} \cdot  \abs{x - x_0} \leq \abs{y  - \bar{y}}\quad \text{für alle } (x, y), (x, \bar{y}) \in U .\]
Zeigen Sie (Eindeutigkeitssatz von Nagumo): Es existiert höchstens eine Lösung des \awp s
\[ y'= f (x, y),\  y (x_0) = y_0\]
in einer Umgebung von $x_0$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 232}}\\

\begin{itemize}
	\item Wir wählen $0 <a, b \in \R$, so dass das Rechteck $Q:=\set{(x,y)\in \R^2\ |\ |x-x_0|\leq a,\ |y-y_0| \leq b}$ vollständig in $U$ enthalten ist. In $Q$ die Voraussetzungen des Satzes von Peano erfüllt; das \awp\ hat also wenigstens eine in $|x-x_0|\leq h=\min\set{a,b/M}, M=\max_Q |f|$ definierte Lösung.
	\item Angenommen, das \awp\ hätte auf dem Intervall $I := [x_0 - r, x_0 + r]$ mit $0 < r < h$ zwei verschiedene Lösungen $u(x)$ und $v(x)$. Wir betrachten dann die Funktion
	\[w(x)=\frac{u(x)-v(x)}{x-x_0}\]
	welche zunächst in $I\setminus \set{x_0}$ stetig ist. Da $u$ und $v$ Lösungen der \dgl\  und damit differenzerbar sind, berechnen wir mit der Regel von l'Hospital
	\[\flim{x}{x_0} w(x) = \flim{x}{x_0}\rkl{u'(x)-v'(x)} =  \flim{x}{x_0}\rkl{f(x,u(x)) -f(x,v(x)} = \rkl{f(x_0,y_0) -f(x_0,y_0} =0,\]
	denn $u$ und $v$ sind ja auch Lösungen des \awp s.
	\item Somit ist $w$ auf ganz $I$ stetig und $|w|$ nimmt dort sein Maximum $M_w:=\max_I |w(x)|$ in einem Punkt $x_1 \in I$ an.
	\item Angenommen, es ist $M_w$>0, dann ist wegen
	\[ u(x_1) = \int_{x_0}^x\,u'(t)\,dt + u(x_0),\quad v(x_1) = \int_{x_0}^x\,v'(t)\,dt + v(x_0)\]
	
	\bea 
	M_w &=& |w(x_1)| = \frac{|u(x_1)-v(x_1)|}{|x_1-x_0| } = \frac{\abs{\int_{x_0}^{x_1}(u'(t)-v'(t))\,dt}}{|x_1-x_0|} \leq \frac{\int_{x_0}^{x_1}\abs{u'(t)-v'(t)}\,dt}{|x_1-x_0|}\\ 
	&=& \frac{\int_{x_0}^{x_1}\abs{f(t,u(t))-f(t,v(t))}\,dt}{|x_1-x_0|} \leq \frac{\int_{x_0}^{x_1}\frac{u(t)-v(t)}{|t-x_0|}\,dt}{|x_1-x_0|} \overset{(\text{da } w(0)=0)}{<} \frac{\int_{x_0}^{x_1}M_w\,dt}{|x_1-x_0|} = M_w.
\eea
Dies ist ein Widerspuch, es muss also $M_w=0$ und damit $u=v$ auf $I$ sein.
\end{itemize}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 233: Lipschitzbedingung auf Vertikalstreifen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ist die Funktion $f : \R \times \R \to \R$ stetig und erfüllt sie auf jedem Vertikalstreifen
$[ -a, a] \times \R, a > 0$ eine Lipschitzbedingung bezüglich y, wobei die Lipschitzkonstante von $a$
abhängen kann, so besitzt das Anfangswertproblem
\[ y'= f (x, y),\ y (x_0) = y_0\quad (x_0, y_0 \in \R)\]
genau eine auf ganz $\R$ definierte Lösung.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 233}}\\
Wir wählen $a > |x_0|$ und betrachten - analog zum Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf - die Iterationsfolge 
\[ y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \, f(t, y_n(t))\,dt,\ y_0(x) \equiv y_0.\]
Dann ist $F(x):= f(x,y_0)$ auf $[-a,a]$ stetig und nimmt dort ihr Maximum $M$ an. Weiter gilt
\bea
 \norm{y_1 -y_0} &=& \norm{\int_{x_0}^x \, f(t, y_0)\,dt} \leq M |x-x_0|,\\
 \norm{y_2 -y_1} &=& \norm{\int_{x_0}^x \, f(t, y_1(t))\,dt - \int_{x_0}^x \, f(t, y_0)\,dt} \leq \abs{ \int_{x_0}^x \, L \norm{y_1 - y_0}\,dt } \leq  M L \frac{|x-x_0|^2}{2},\\
&\vdots&\\
 \norm{y_n -y_{n-1}} &=& \norm{\int_{x_0}^x \, f(t, y_{n-1}(t))\,dt - \int_{x_0}^x \, f(t, y_{n-1}(t))\,dt} \leq \abs{ \int_{x_0}^x \, L \norm{y_{n-1} - y_{n-2}}\,dt } \leq  M L^{n-1} \frac{|x-x_0|^k}{k!},\\
 \eea
Daraus folgt nun die gleichmäßige Konvergenz der Reihe
\[ \sum_{k=1}^\infty ((y_k(x)-y_{k-1}(x)) \text{ bzw. der dazughörigen Partialsummenfolge } \sum_{k=1}^n ((y_k(x)-y_{k-1}(x)) = y_n(x) -y_0\]
gegen eine Grenzfunktion $y(x)-y_0$. Wegen der Stetigkeit von $f$ und der Integration ist dann $y$ eine Lösung des Anfangswertproblems in $[-a,a]$. Aus $a \to \infty$ folgt nun die Behauptung.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 234: Monotonieprinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien die Funktionen $w = w(x), z = z (x)$ für $x \in [a, b]$ stetig differenzierbar und $w(a) = z (a)$. Ferner sei $f = f (x, y)$ für $x \in [a, b], y \in \R$ definiert. $w$ genüge der
Differentialgleichung
\[ w'(x) = f\rkl{x, w(x)},\quad x \in [a, b],\]
während $z$ der Differentialungleichung
\[ z'(x) > f\rkl{x, z(x)},\quad x \in [a, b],\]
genüge. Zeigen Sie:
\[z (x) > w(x) \quad\text{für}\quad x \in (a, b].\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 234}}\\
Wir betrachten die Funktion $v(x) := z(x) - w(x)$. Wegen $z(a)= w(a)$ ist $v(a)=0$ und 
\[ v'(a) = z'(a) - w'(a) > f\rkl{a, z(a)} - f\rkl{a, w(a)} = 0,\]
$v$ in $x=a$ also streng monoton wachsend. Deshalb gibt es ein $\ve>0$ mit $v(x)>0$ für $x \in [a,a+\ve)$. Gezeigt werden muss, dass dies auch für $x \in [a+\ve,b]$ gilt. Dazu nehmen wir an, dass die Menge
\[ M:=\set{x \in [a+\ve,b]\ |\ v(x)\leq 0 } \neq \emptyset\]
ist. Da $a+\ve/2$ offensichtlich eine untere Schranke von $M$ ist, existiert $c:=\inf M$. Aus der Stetigkeit von $v$ folgt aus $v(x) >0$ für $x \in (a,c)$, dass $v(c)=0$ ist. Offensichtlich sind dann auch die linksseitigen Differenzenquotienten
\[ \frac{v(x)-v(c)}{x-c}<0\quad \text{da} \quad x<c.\]
Da nach Voraussetzung $v$ in $c$ differenzierbar ist, müsste also $v'(c)\leq 0$ sein. Dies ist aber unmöglich, denn wir haben in $c$ dieselbe Situation wie in $a$ und mit derselben Begründung folgt $v'(c)>0$. Also muss $M=\emptyset$ sein. d.~h. $v(x)> 0$ für alle $x \in (a,b]$. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 235: Polygonzugmethode
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es werde das Anfangswertproblem $y'=f(x,y)$, $y(0)=0$ mit der durch
\[
f(x,y)=y|y|^{-3/4} +x\sin\frac{\pi}{x}
\]
gegebenen stetigen Funktion $f:{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}$ betrachtet
(für $y=0$ werde $y|y|^{-3/4}=0$ und für \ $x=0$ werde $x\sin\frac{\pi}{x}=0$ gesetzt). Sei
$\delta=(n+\frac{1}{2})^{-1}$, $n\in{\mathbb N}$ und
$y_n$ der zugehörige Eulersche Polygonzug mit den Stützstellen
$x_k=k\delta$. Beweisen Sie, daß die Folge $\{y_n\}_{n\geq1}$ dieser
Polygonzüge in keinem Intervall der Form $[0,a]$, $a>0$ gleichmäßig
konvergiert. \\
Hinweis: Zeigen Sie durch Fallunterscheidung $n$ gerade/ungerade
und untere bzw.\ obere Abschätzung, daß die Folge
$\{y_n(x)\}_{n\geq1}$ für kein
$x\in(0,a_0)$, $a_0>0$ hinreichend klein, konvergiert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 235}}\\
Die rechte Seite der Differentialgleichung ist in ganz 
${\mathbb R}^2$ stetig, das AWP also zumindest lösbar. Für den 
Eulerschen Polygonzug $y_n$ mit den Stützstellen $x_k=k\delta$,
$k=0,1,2,\ldots$  gilt 
\[
y_n(x)=y_n(x_k)+(x_{k+1}-x_k)f\bigl(x_k,y_n(x_k)\bigr),
\quad x\in[x_k,x_{k+1}].
\]
Speziell ist $y_n(x)=0$ für $x\in[x_0,x_1]$ für alle $n$ und
$y_n(x_2)=\pm\delta^2$ je nachdem ob $n$ gerade oder ungerade ist.
Sei nun $n$ gerade. Dann gilt für $x\in[x_2,x_3]=[2\delta,3\delta]$.
\[
y_n(x) =\delta^2+(x-2\delta)f(2\delta,\delta^2)
\geq \delta^2+(x-2\delta)(\delta^{1/2}-2\delta)
\]
Für hinreichend kleines $\delta$ ($n$ hinreichend groß) ist daher
insbesondere
\[
y_n(x_3)=y_n(3\delta)\geq\delta^{3/2}\bigl(1-2\sqrt{\delta}\bigr)
\geq \frac{(3\delta)^{3/2}}{6} = \frac{x_3^{3/2}}{6}.
\]
Ist nun bereits  $y_n(x_k)\geq \frac{x_k^{3/2}}{6}$ für ein $k\geq3$ 
gezeigt, dann folgt weiter für alle $x\in[x_k,x_{k+1}]$, $x<a_0$ und 
$a_0$ unabhängig von $k$ und $n$ hinreichend klein
\[
y'_n(x)  = f\bigl(x_k,y_n(x_k)\bigr)
\geq \frac{x_k^{3/8}}{6^{1/4}} - x_k 
\geq \frac{(2x_k)^{1/2}}{4} \geq \frac{x^{1/2}}{4}
= \left(\frac{x^{3/2}}{6}\right)',
\]
und damit $y_n(x)\geq\frac{x^{3/2}}{6}$. Zusammenfassend: Ist $a_0$ 
hinreichend klein und $n_0$ hinreichend groß, dann gilt:
\[
\Ovalbox{$y_n(x)\geq \frac{x^{3/2}}{6}$ für $\frac{6}{2n+1}\leq x\leq a_0$ 
und $n\geq n_0$, $n$ gerade.}
\]
Analog wird gezeigt
\[
\Ovalbox{$y_n(x)\leq-\frac{x^{3/2}}{6}$ für $\frac{6}{2n+1}\leq x\leq a_0$ 
und $n\geq n_0$, $n$ ungerade.}
\]
Also kann die Folge $\{y_n(x)\}_{n\geq1}$ für kein $x\in(0,a_0)$ 
konvergieren.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 236: Sukzessive Approximation
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie nach der Methode der sukzessiven Approximation die
ersten vier Näherungen für die Lösung des Anfangswertproblems:
\[
y'=y^2+3y-4,\qquad y(0)=-\frac{3}{2}.
\]
 \item Sind alle sukzessiven Approximationen Polynome und wenn ja, von welchem Grad?
 \item Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall um $0$, in dem der Satz von Picard-Lindelöf
die gleichmäßige Konvergenz der sukzessiven Approximationen garantiert.
 \item In welchem Intervall existiert die exakte Lösung? Lässt sich die exakte Lösung in eine
Potenzreihe um $0$ entwickeln? Wenn ja, dann vergleichen Sie die Näherungen mit der
Potenzreihenentwicklung der exakten Lösung.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 236}}\\
\begin{enumerate}
	\item Das zum Anfangswertproblem gehörige Iterationsverfahren lautet
$$\varphi_{n+1}(x) = -{3\over 2} + \int_0^x (\varphi_n^2(\xi)+3\varphi_n(\xi)-4)\,d\xi .$$
Mit der Anfangsnäherung $\varphi_0(x)=-{3\over 2}$ erhält man nacheinander
\bea
\varphi_1(x)&=&-{3\over 2}-{27\over 4}x\\ 
\varphi_2(x)&=&-{3\over 2}-{25\over 4}x+ {243\over 16}x^3\\
\varphi_3(x)&=&-{3\over 2}-{25\over 4}x+{625\over 48}x^3-{1215\over 32}x^5+ {59049\over 1792}x^7\\
\varphi_4(x)&=&-{3\over 2}-{25\over 4}x+{625\over 48}x^3-{3125\over 96}x^5-{1215\over 64}x^6+ O(x^7).\\
\eea
\item Ja, denn ist $\vp_n$ ein Polynom $k$-ten Grades, dann ist $\varphi_n^2(\xi)+3\varphi_n(\xi)-4$ ein Polynom $2k$-ten Grades und  $\varphi_{n+1}$ ein Polynom $(2k+1)$-ten Grades. Bezeichne $G_n$ den Grad von $\varphi_n$, dann ist also
\[ G_0=0,\ G_1=1,\ G_2=3,\ G_3=7,\ G_4=15,\ G_5=31,\ \text{usw, also } G_n=2^n-1.\]
\item Die rechte Seite 
\[f(x,y):= y^2+3y-4 = \rkl{y+\frac{3}{2}}^2-\frac{25}{4}\]
ist ein Polynom. Daher ist $f$ und alle seine Ableitungen stetig, insbesondere sin auf jedem kompakten Rechteck
\[ Q:=\set{ (x,y)\in \R^2\ |\ |x|\leq a,\ |y+\frac{3}{2}| \leq b}\]
für alle $0< a,b \in \R$ beschränkt, deshalb ist auch eine Lipschitz-Bedingung erfüllt. $f$ genügt also den Voraussetzungen des Satzes von Picard Lindelöf, waoraus folgt, dass die Lösung $y(x)$ wenistens für
\[       |x| < \gamma :=\min\set{a,\frac{b}{M}} \quad\text{mit}\quad M:= \max_{(x,y)\in Q} |f(x,y)|\]
existiert.

Nun kann man $a$ beliebig groß wählen, so dass man nur noch untersuchen muss, für welches $b>0$ die Funktion 
\[ \gamma(b) = \frac{b}{M}\] 
maximal wird. Dabei ist offensichtlich
\[ |f(x,y)| = \abs{\rkl{y+\frac{3}{2}}^2-\frac{25}{4}} = \begin{cases} \rkl{y+\frac{3}{2}}^2-\frac{25}{4},\text{ d. h. } M=b^2-\frac{25}{4} & \text{falls } \abs{y+\frac{3}{2}} \geq \frac{5}{2}\\ \frac{25}{4} - \rkl{y+\frac{3}{2}}^2 & \text{falls } \abs{y+\frac{3}{2}} < \frac{5}{2}\end{cases},\]
d.~h. es ist
\[M=\begin{cases} \frac{25}{4} & \text{falls } b\leq \frac{5}{2} \\ \max\set{\frac{25}{4}, b^2-\frac{25}{4}} & \text{falls } b>\frac{5}{2}\end{cases}.\]
Aus $ b^2-\frac{25}{4} > \frac{25}{4}$ folgt $b>b_0:=\frac{5}{2}\sqrt{2}$, so dass es genügt, die Funktion $\gamma(b)$ für $b>b_0$ auf lokale Maxima zu untersuchen, denn offensichtlich folgt aus $b \to \infty$, dass $\gamma \to 0$. Es ist
\[\gamma'(b) = -\frac{b^2+\frac{25}{4}}{\rkl{b^2-\frac{25}{4}}} <0,\]
d. h. $\gamma$ ist monoton fallend und nimmt deshal sein Maximaum in $b_0$ an, d. h. der Satz von Picard-Lindelöf liefert die Existenz einer eindeutigen Lösung nur für 
\[ |x|< \frac{\frac{5}{2}\sqrt{2}}{\rkl{\frac{5}{2}\sqrt{2}}^2-\frac{25}{4}} = \frac{2}{5}\sqrt{2}. \]

\item Die exakte Lösung erhält man duch Trennung der Variablen
$$x = \int_0^x d\xi  = \int_{-\frac{3}{2}}^y \frac{d\eta }{(\eta +4)(\eta -1)} =
{1\over 5}\int_{-\frac{3}{2}}^y \rkl{\frac{1}{\eta -1}-\frac{1}{\eta +4}}d\eta  =
{1\over 5}\ln \abs{\frac{y-1}{y+4}}$$
bzw. 
$$\e^{5x} = \abs{\frac{y-1}{y+4}} = \frac{1-y}{y+4},$$
da wir uns in der Umgebung von $y=-3/2$ befinden, d. h. es ist 
$$y(x)=\frac{1-4\e^{5x}}{1+\e^{5x}}.$$
Diese Lösung existiert für alle $x\in \R$, denn der Nenner hat keine Nullstellen und Zähler und Nenner lassen sich in auf ganz $\R$ konvergente Potenzreihen entwickeln.\\
Die rechte Seite ist ein Polynom in $y$, also analytisch, deshalb lässt sich nach dem Satz von Cauchy auch die Lösung in eine Potenzreihe entwickeln. Die ersten Summanden dieser entwicklung erhält man z. B. durch fortlaufendes Differenzieren der \dgl. Dazu schreiben wir die rechte Seite in der Form $(y+3/2)^2-25/4$.
\begin{align*}
& &  y(0)&=-\frac{3}{2}\\
y'(x) &= \rkl{y(x) +\frac{3}{2}}^2 - \frac{25}{4} & y'(0)&= - \frac{25}{4}\\
y''(x) &= 2  \rkl{y(x) +\frac{3}{2}} y'(x)  &y''(0)&= 0\\
y'''(x)&= 2y'(x)^2+2   \rkl{y(x) +\frac{3}{2}} y''(x&  y''(0) &= \frac{625}{8}\\
&\vdots & &\vdots\\ 
\end{align*}
Man kann nun die ersten Summanden der Taylorentwicklung von $y$ aufschreiben:
\[ y(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n = -\frac{3}{2} - \frac{25}{4} x +0 x^2 + \frac{625}{48} x^3 + \ldots \] 
Die Taylorentwicklung der exakten Lösung ist (Maple)
$$-{3\over 2}-{25\over 4}x+{625\over 48}x^3-{3125\over 96}x^5+O(x^6).$$
Beide durch Näherungsverfahren gewonnenen Lösungen stimmen in den ersten 4 bzw. 5 Summanden mit dieser Lösung überein.
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ n-ter Ordnung }
\section{ Analytische Lösungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 237: Potenzreihenansatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Suchen Sie für die Differentialgleichung $y''+xy=0$ ein
Fundamentalsystem von Lösungen in Gestalt von Potenzreihen und
berechnen Sie dessen Wronskideterminate. Was lässt sich über
die Konvergenz der Reihen aussagen?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 237}}\\
Mit dem Ansatz $y(x):=\sum_{i=0}^\infty\,a_ix^i$ erhält man aus der \dgl
$$y''+xy=\sum_{i=2}^\infty\,i(i-1)\,a_ix^{i-2}+\sum_{i=0}^\infty\,a_ix^{i+1} =
a_2+\sum_{i=0}^\infty\,((i+3)(i+2)a_{i+3}+a_i)\,x^{i+1}=0,$$
also 
$$a_2=0, a_1, a_0\mbox{ beliebig und } a_{i+3}=\frac{-1}{(i+3)(i+2)}\,a_i.$$
Aus diesen Rekusionsformeln kann man die expliziten Formeln
$$a_{3n}=\frac{(-1)^n}{\prod_{i=1}^n\,(3i-1)3i}\,a_0,\ a_{3n+1}=\frac{(-1)^n}{\prod_{i=1}^n\,3i(3i+1)}\,a_1\mbox{ und }a_{3i+2}=0$$
gewinnen, es ist also 
$$ \left \{ y_1(x) = \sum_{n=0}^\infty\,\frac{(-1)^n}{\prod_{i=1}^n\,(3i-1)3i}\,x^{3n}=1-{x^3\over 6}+...,\,
y_2(x) = \sum_{n=0}^\infty\,\frac{(-1)^n}{\prod_{i=1}^n\,3i(3i+1)}\,x^{3n+1}=x-{x^4\over 12}+...\right \}$$
ein Fundamentalsystem. Hierbei wird wie üblich $\prod_{i=1}^0\,...=1$ gesetzt.\\
Wie man leicht sieht (Quotientenkriterium), konvergieren diese Potenzreihen für alle $x\in \raum{R}$.\\
Für die Wronski-Determinante
$$W(x)=\det\bma{cc} y_1(x)&y_2(x)\\y_1'(x)&y_2'(x)\ema$$
gilt nach einem Satz aus der Vorlesung
$$W(x)=W(0)\e^{-\int_0^x\,{b_1(t)\over b_0(t)}dt},$$
wobei $b_0(x)$ und $b_1(x)$ die Koeffizienten vor der zweiten bzw. ersten Ableitung in der \dgl darstellen,
d. h. in unserem Fall ist $b_0(x)=1$ und $b_1(x)=0$, woraus
$$W(x)=\det\bma{cc}1&0\\0&1\ema\e^0=1$$
folgt. 



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ konstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 238: konjugiert komplexe Eigenwerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\[
y^{(4)}-6y^{(3)} + 17 y'' - 28 y' +20 y =0.
\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 238}}\\
Die charakteristische Gleichung $\lambda^4 -6\,\lambda^3+17\,\lambda^2-28\,\lambda+20=0$ hat die Doppellösung $\lambda_{1/2}=2$ und die konjungiert komplexen Lösungen $\lambda_{3/4}=1\pm 2i$.\\
Die allgemeine Lösung ist daher
$$y(x)=c_1\,\e^{2x}+c_2\,x\,\e^{2x}+c_3\,\e^x\sin{2x}+c_4\,\e^x\cos{2x}.$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 239: allgemeine Lösung und Anfangswertproblem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\[
y''+2y'+y=1-x.
\]
Lösen Sie das zugehörige Anfangswertproblem mit $y(0)=4$,
$y'(0)=1$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 239}}\\
Die charakteristische Gleichung $\lambda^2+2\,\lambda+1=0$ hat die Doppellösung $\lambda=-1$, die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet
$$y_h(x)=c_1\,\e^{-x}+c_2\,x\,\e^{-x}.$$
Aus dem Ansatz $y(x)=-x+c$ errät man eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung, die allgemeine Lösung lautet daher
$$y(x)=c_1\,\e^{-x}+c_2\,x\,\e^{-x}-x+3$$
mit
$$y'(x)=(c_2-c_1)\,\e^{-x}-c_2\,x\,\e^{-x}-1.$$
Aus den Anfangsbedingungen folgt schließlich $c_1=1$ und $c_2=3$, also
$$y(x)=\e^{-x}+3\,x\,\e^{-x}-x+3.$$



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ nichtkonstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 240: Eulersche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die folgenden Eulerschen Differentialgleichungen:\\
a) \qquad $x^3y'''+xy'-y=3x^4$;\\
b) \qquad $x^2y''-7xy'+15y=x$ mit Anfangswerten
$y(1)=y'(1)=0$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 240}}\\
zu a):\\
Mit der Ersetzung $x=\e^t,\ z(t)=y(\e^t)$ erhält man
\bea
y&=&z(t)\\
xy'&=&\dot{z}(t)\\
x^2y''&=&\ddot{z}(t)-\dot{z}(t)\\
x^3y'''&=&\dot{\ddot{z}}(t)-3\ddot{z}(t)+2\dot{z}(t)
\eea
also wird daraus die \dgl
$$\dot{\ddot{z}}-3\ddot{z}+3\dot{z}-z=3\,\e^{4t}.$$
Deren charakteristisches Polynom, hat die Nullstellen $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1$, die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist also
$$z_h(t)=c_1\,\e^t+c_2\,t\,\e^t+c_3\,t^2\,\e^t.$$
Mit dem Ansatz $z_s(t)=c\,\e^{4t}$ gewinnt man eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Setzt man diesen in die \dgl ein, dann erhält man
$$64c\,\e^{4t}-48c\,\e^{4t}+12c\,\e^{4t}- c\,\e^{4t}=3\,\e^{4t}, \qquad\mbox{d. h.}\qquad c=\frac{1}{9}.$$
Die allgemeine Lösung der transformierten Gleichung ist also
$$z(t)=c_1\,\e^t+c_2\,t\,\e^t+c_3\,t^2\,\e^t+\frac{1}{9}\,\e^{4t}.$$
Rücktransformation ergibt 
$$y(x)=c_1\,x+c_2\,x\ln x+c_3\,x\ln^2\,x+\frac{1}{9}\,x^4.$$
zu b):\\
Mit der Ersetzung $x=\e^t,\ z(t)=y(\e^t)$ erhält man
\bea
y&=&z\\
xy'&=&\dot{z}\\
x^2y'' &=& \ddot{z} -\dot{z}\\
\eea 
also wird bei der Transformation die \dgl
$$\ddot{z}-8\,\dot{z}+15\,z=3\,\e^t$$
daraus. 
Deren charakteristisches Polynom, hat die Nullstellen $\lambda_1=3$ und $\lambda_2=5$, die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist also
$$z_h(t)=c_1\,\e^{3t}+c_2\,\e^{5t}.$$
Mit dem Ansatz $z_s(t)=c\,\e^t$ gewinnt man eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Setzt man diesen in die \dgl ein, dann erhält man
$$c\,\e^t-8\,c\,\e^t+15 c\,\e^t=\e^t, \qquad\mbox{d. h.}\qquad c=\frac{1}{8}.$$
Die allgemeine Lösung der transformierten Gleichung ist also
$$z(t)=c_1\,\e^{3t}+c_2\,\e^{5t}+\frac{1}{8}\,\e^t.$$
Rücktransformation ergibt 
$$y(x)=c_1\,x^3+c_2\, x^5+\frac{1}{8}\,x,\quad y'(x) = 3\,c_1\,x^2 + 5\,c_2\,x^4 \frac{1}{8}$$

Aus dem \awp gewinnt man noch $c_1= -\frac14$ und $c_2 = \frac18$, also

$$y(x)=\frac{1}{8}\,(-2\,x^3+ x^5+x).$$

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 241: Eulersche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, dass sich eine sogenannte {\em Eulersche Differentialgleichung}
\[
a_n x^n y^{(n)}+a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 x y'+a_0y=0
\]
mit konstanten Koeffizienten $a_0,\ldots,a_n$
im Intervall $(0,\infty)$ durch die Substitution
$x=e^t$ in eine lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten für die Funktion $z=z(t):=y(x(t)$
überführen läßt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
%\underline{1. Lösung:}\\
\underline{\textbf{Lösung 241}}\\

Es ist
\bea
\dot{z}(t)&=&y'\,\dot{x} = y'\,\e^t=xy'\\
\ddot{z}(t) &=& y'\,\e^t + y''\,\e^{2t}=xy'+x^2y''\\
\dot{\ddot{z}}(t) &=& y'\,\e^t + 3\,y''\,\e^{2t}+y'''\,\e^{3t}=xy'+3x^2y''+x^3y'''
\eea
 usw.
Dies wird ein lineares Gleichungssystem für die Funktionen $xy', x^2y'', x^3y''', \dots$ mit einer dreieckigen Koeffizientenmatrix, in deren Hauptdiagonale nur Einsen stehen:
$$\bma{ccccc}
1 & 0 & 0 &\dots\\
1 & 1 & 0 & \dots\\
1 & 3 & 1 & 0 &\dots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \dots\\
\ema \cdot \bma{c} xy'\\ x^2y'' \\ x^3y''' \\ \vdots \ema= \bma{c} \dot{z}\\ \ddot{z} \\ \dot{\ddot{z}} \\ \vdots \ema $$
Solche Gleichungssysteme sind (von oben nach unten) eindeutig auflösbar, d. h. man kann in der Ausgangsdifferentialgleichung die Summanden durch Ableitungen von $z$ ersetzen. Insbesondere ist
\bea
xy'&=&\dot{z}(t)\\
x^2y''&=&\ddot{z}(t)-\dot{z}(t)\\
x^3y'''&=&\dot{\ddot{z}}(t)-3(\ddot{z}(t)-\dot{z}(t))-\dot{z}=\dot{\ddot{z}}(t)-3\ddot{z}(t)+2\dot{z}(t)
\eea
Damit kommen in der \dgl für $z(t)$ nur noch konstante Koeffizienten vor.

%\end{document}

\underline{2. Lösung (Übergang zu einem System):}\\

O. B. d. A. sei $a_n=1$. $a_n=0$ würde die Ordnung verändern und in allen anderen Fällen kann man durch $a_n$ teilen und die Koeffizienten umbenennen.

Setze nun $y_1(x):=y(x), y_2(x):=y'(x),\ldots, y_n(x):=y^{(n-1)}(x)$ sowie $z_i(t)=y_i(\e^t), 1=1,\ldots,n$, dann erhält man aus der \dgl $n$-ter Ordnung das \dglsys
$$\bma{c}\dot{z}_1\\ \dot{z}_2\\\vdots\\ \dot{z}_{n-1}\\\dot{z}_n\\\ema = \e^t \bma{c}\dot{y}_1\\ \dot{y}_2\\ \vdots\\ \dot{y}_{n-1}\\\dot{y}_n\\\ema =\e^t \bma{ccccc} 0 & 1 & 0 &\dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 &\dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots &\ddots & \vdots \\0 &0& \dots & 0 & 1 \\ -a_0\e^{-nt} & -a_1\e^{-(n-1)t} & -a_2\e^{-(n-2)t} &\dots & -a_{n-1}\e^{-t} \\\ema\ \bma{c}z_1\\ z_2\\\vdots\\ z_{n-1}\\z_n\\\ema,$$
bzw.
$$\dot{\vec{z}} = A\vec{z}\quad\mbox{mit}\quad A=\e^t \bma{ccccc} 0 & 1 & 0 &\dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 &\dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots &\ddots & \vdots \\0 &0& \dots & 0 & 1 \\ -a_0\e^{-nt} & -a_1\e^{-(n-1)t} & -a_2\e^{-(n-2)t} &\dots & -a_{n-1}\e^{-t} \\\ema.$$
Dieses Gleichungssystem lösen wir nun mit Hilfe der Cramerschen Regel, d.~h. es ist
$$ z_i(t) =\frac{\det A_i}{\det A},$$
wobei $A_i$ diejenige Matrix ist, die aus $A$ durch Ersetzen der $i$-ten Spalte durch den Vektor der Ableitungen $\dot{\vec{z}}$, d. h. der rechten Seite, entsteht. Dabei entwickeln wir $\det A$ und $\det A_i, i=2,\ldots, n$, nach der 1. Spalte, die nur das Element $-a_0\e^{-nt}$ enthält. Übrig bleibt entweder die $(n-1)$-dimensionale Einheitsmatrix oder eine Matrix, die von dieser nur in einer Spalte abweicht. Genauer gilt:
\bea
\det A &=& \e^{nt}(-1)^n(-a_0\e^{-nt})=(-1)^{n+1}a_0, \\
\det A_i &=& \e^{(n-1)t}(-1)^n(-a_0\e^{-nt})\,\dot{z}_{i-1}=(-1)^{n+1}\e^{-t}a_0\,\dot{z}_{i-1},\ i=2,\ldots, n.\\
\eea
Man beachte, dass skalare Faktoren vor der Matrix bei der Determinante in der Potenz der Matrixordnung auftreten und dass der Faktor $\e^t$ in der Spalte der rechten Seiten gerade nicht vorkommt.

Es ist also $z_i = \e^{-t}\,\dot{z}_{i-1}$ für $i=2,\ldots, n$; das haben wir, wenn wir ehrlich sind, auch schon vorher gewußt. Einzig interessant, aber leider auch komplizierter, ist die Berechnung von $z=z_1$ mit
$$ z_1(t) = \frac{\det A_1}{\det A}= (-1)^{n+1}\frac{\e^{nt}}{a_0} \det\bma{ccccc} \dot{z}_1 & 1 & 0 &\dots & 0 \\ \dot{z}_2 & 0 & 1 &\dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots &\ddots & \vdots \\\dot{z}_{n-1} &0& \dots & 0 & 1 \\ \dot{z}_n & -a_1\e^{-(n-1)t} & -a_2\e^{-(n-2)t} &\dots & -a_{n-1}\e^{-t}. \\\ema$$
Die letzte Determinante kann man einfach berechnen, wenn man sie durch Subtraktion des $\dot{z}_i$-fachen der $i$-ten Spalte von der ersten Spalte für $i=2,\ldots, n$ auf die Form von $\det A$ zurückführt. Man erhält schließlich 
\bea
z_1(t) &=&(-1)^{n+1}\frac{\e^{nt}}{a_0}(-1)^n\,(\dot{z}_n +a_1\dot{z}_1\e^{(-n+1)t}+a_2\dot{z}_2\e^{(-n+2)t}+\ldots+a_{n-1}\dot{z}_{n-1}\e^{-t})\\
&=& -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n\ a_i\,\dot{z}_i\e^{it}\quad\mbox{wobei}\quad a_n=1.\\
\eea
Setzt man nun sukzessive die Beziehungen $z_i = \e^{-t}\,\dot{z}_{i-1}$ für $i=2,\ldots, n$ in die letzte Gleichung ein, so kürzen sich alle Terme mit Potenzen von $\e^t$ und man erhält eine lineare \dgl\ $n$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für $z(t)=z_1(t)$. 
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 242: Fundamentalsystem bei nichtkonstanten Koeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für die
Differentialgleichung
\[
(2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0.
\]
Hinweis: Suchen Sie zunächst Lösungen in der Gestalt $y=x^a$!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 242}}\\
Mit dem Ansatz $y(x)=x^\alpha, y'(x)=\alpha x^{\alpha -1}, y''(x)=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2}$ wird aus der 
\dgl die Gleichung
$$2\,\alpha (\alpha -1)\,x^{\alpha -1}-3\,\alpha (\alpha -1)\,x^{\alpha +1} + 4\,\alpha\,x^{\alpha -1}+6\,x^{\alpha+1}=(6-3\,\alpha (\alpha -1))\,x^{\alpha +1}+2\,\alpha (\alpha +1)\,x^{\alpha -1}=0, $$
bzw.
$$\alpha (\alpha +1) =0, \quad\mbox{ und }\quad \alpha (\alpha -1)=2,$$
woraus $\alpha =-1$ folgt.\\
Eine Lösung der \dgl ist also $y_1(x)={1\over x}$.\\
Mit dem Ansatz $y(x)=u(x)\,y_1(x)$ erhält man -- da $y_1$ Lösung ist -- aus der \dgl
\bea
(2x-3x^3)(u''y_1+2u'y_1'+uy_1'')+4(u'y_1+uy_1')+6uy_1 &=&\\
(2x-3x^3)(u''y_1+2u'y_1')+4u'y_1 &=&\\
(2x-3x^3)({v'\over x}-2{v\over x^2})+4{v\over x} &=& \quad\mbox{ wobei }\quad v=u'\\
(2-3x^2)v'+6xv&=&0.
\eea
Durch Trennung der Variablen erhält man $u'=v=c_1(3x^2-2)$, d. h. $u=c_1(x^3-2x)+c_2$ und 
$y(x)=c_1(x^2-2)+c_2{1\over x}$.\\
Ein Fundamentalsystem ist also z. B. $\{x^2-2, {1\over x}\}$.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 243: Fourierentwicklung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die $2\pi$-periodische Lösung der Differentialgleichung
$y''+4y=g(x)$ mit
\[
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle
\frac{x}{\pi} & \mbox{für}\quad 0\leq x\leq\pi,\\
\displaystyle
2-\frac{x}{\pi} & \mbox{für}\quad \pi\leq x\leq 2\pi.
\end{array}\right.
\]
Geben Sie Fourierreihenentwicklung der Lüsung an und zeigen
Sie deren gleichmäßige und absolute Konvergenz.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 243}}\\
Die allgemeine Lösung der homogenen \dgl lautet
$$ y_h(x) = c_1\sin 2x + c_2\cos 2x. $$
Für die Fourierkoeffizienten der Funktion $g$ gelten die Formeln
\bea
a_0 & = & {1\over \pi }\int_0^{2\pi} g(x)\,dx = 1\\
a_n & = & {1\over \pi }\int_0^{2\pi} g(x)\cos x\,dx = \left \{ 
\begin{array}{l} 0, \quad n\in \raum{N}, n= 2k\\ \frac{4}{\pi ^2(2k+1)^2}, \quad n\in \raum{N}, n= 2k+1 \end{array} \right . \\
b_n & = & {1\over \pi }\int_0^{2\pi} g(x)\sin x\,dx = 0, \quad n\in \raum{N},\\
\eea
es ist also
$$g(x) = {1\over 2} + \frac{4}{\pi ^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}.$$
Diese Reihe konvergiert nach dem Satz von Weierstraß für alle $x \in \R$ absolut und gleichmäßig, da die Summanden gegen ${K\over n^2}$ abgeschätzt werden können.

Als Ansatz für eine spezielle Lösung der inhomogenen \dgl wählen wir nun
$$y_s(x) = \alpha_0 +  \sum_{k=0}^\infty \alpha_k\cos(2k+1)x,$$
denn da nur gerade Ableitungen vorkommen, benötigt man auch keine $\sin$-Terme und da nur $\cos$-Terme mit ungeradem $n$ vorkommen, liegt auch keine Resonanz vor.

Die zweite Ableitung ist
$$y_s''(x) = -\sum_{k=0}^\infty (2k+1)^2\alpha_k\cos(2k+1)x .$$
Einsetzen in die \dgl und Koeffizientenvergleich ergibt
$$\alpha_0={1\over 8},\quad \alpha_k=\frac{4}{\pi ^2} \frac{1}{(2k+1)^2(4-(2k+1)^2)}, $$
d. h. die allgemeine Lösung der \dgl lautet
$$ y(x) = c_1\sin 2x + c_2\cos 2x + {1\over 8} + \frac{4}{\pi ^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2((2k+1)^2-4)}. $$
Diese Fourierreihe ist ebenfalls nach Satz von Weierstraß gleichmäßig und absolut konvergent für alle $x \in \R$. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 244: Reduktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für die
Differentialgleichung
\[
(2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0.
\]
Hinweis: Suchen Sie zunächst Lösungen in der Gestalt $y=x^\alpha$!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 244}}\\
Mit dem Ansatz $y(x)=x^\alpha, y'(x)=\alpha x^{\alpha -1}, y''(x)=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2}$ wird aus der 
\dgl die Gleichung
$$2\,\alpha (\alpha -1)\,x^{\alpha -1}-3\,\alpha (\alpha -1)\,x^{\alpha +1} + 4\,\alpha\,x^{\alpha -1}+6\,x^\alpha=0, $$
woraus
$$\alpha (\alpha +1) =0, \quad\mbox{ und }\quad \alpha (\alpha -1)=2,$$
bzw.  $\alpha =-1$ folgt.\\
Eine Lösung der \dgl ist also $y_1(x)={1\over x}$.\\
Mit dem Ansatz $y(x)=u(x)\,y_1(x)$ erhält man -- da $y_1$ Lösung ist -- aus der \dgl
\bea
(2x-3x^3)(u''y_1+2u'y_1'+uy_1'')+4(u'y_1+uy_1')+6uy_1 &=&\\
(2x-3x^3)(u''y_1+2u'y_1')+4u'y_1 &=&\\
(2x-3x^3)({v'\over x}-2{v\over x^2})+4{v\over x} &=& \quad\mbox{ wobei }\quad v=u'\\
(2-3x^2)v'+6xv&=&0.
\eea
Durch Trennung der Variablen erhält man $u'=v=c_1(3x^2-2)$, d. h. $u=c_1(x^3-2x)+c_2$ und 
$$y(x)=u(x)\,y_1(x)=c_1(x^2-2)+c_2{1\over x}.$$\\
Ein Fundamentalsystem ist also z. B. $$\left\{x^2-2, {1\over x}\right\}.$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 245: Reduktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für die
Differentialgleichung
\[
xy''+2y'-xy=0.
\]
Hinweis: Suchen Sie zunächst Lösungen in der Gestalt $y(x)=x^\alpha\e^x$!


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 245}}\\
Mit dem Ansatz $y(x)=x^\alpha\e^x, y'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\e^x+x^\alpha\e^x, y''(x)=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2}\e^x+2\alpha x^{\alpha -1}\e^x+x^\alpha\e^x$ wird aus der 
\dgl die Gleichung
$$\alpha\, (\alpha +1)\,x^{\alpha -1}+2\,(\alpha+1)\,x^\alpha=0, $$
bzw.
$$\alpha (\alpha +1) =0, \quad\mbox{ und }\quad \alpha +1=0,$$
woraus $\alpha =-1$ folgt.\\
Eine Lösung der \dgl ist also $y_1(x)=\frac{\e^x}{x}$.\\
Mit dem Ansatz $y_2(x)=u(x)\,y_1(x)$ erhält man -- da $y_1$ Lösung ist -- aus der \dgl
\bea
x\,(u''y_1+2u'y_1'+uy_1'')+2\,(u'y_1+uy_1')-x\,uy_1 &=&\\
x\,(u''y_1+2u'y_1')+2\,u'y_1 &=&\\
x\,(v'\frac{\e^x}{x}+2\,v\,\e^x\frac{x-1}{x^2})+2\,v\frac{\e^x}{x} &=& \quad\mbox{ wobei }\quad v=u'\\
\left ( v'+2\,v\right ) \, \e^x&=&0.
\eea
Durch $\e^x$ kann man sofort dividieren und mittels Trennung der Variablen erhält man $u'=v=k\,\e^{-2x}$, d. h. $u=c_1\,\e^{-2x}+c_2$ und 
$$y_2(x)=c_1\frac{\e^{-x}}{x}+c_2\frac{\e^x}{x}.$$\\
Ein Fundamentalsystem ist also z. B. $$\left \{\frac{\e^{-x}}{x}, \frac{\e^x}{x}\right\}.$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 246: Partielle Integration
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das Anfangswertproblem:
\[
xy''+(y-1)y'=0,\qquad y(1)=0,\;y'(1)=-2.
\]

Hinweis: Integrieren Sie die linke Seite über das Intervall $[1,x]$ und formen Sie durchpartielle Integration um; man erhält eine Differentialgleichung 1. Ordnung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 246}}\\
\underline{1. Lösung (unter Benutzung des Hinweises):}\\

Wir integrieren die \dgl und formen um:
\bea
c&=&\int_1^x\ \xi\,y''(\xi)\, d\xi + \int_1^x\ (y(\xi)-1)\,y'(\xi)\, d\xi =
\left . \xi\,y'(\xi) \right |_1^x + \int_1^x\ (y(\xi)-2)\,y'(\xi)\, d\xi \\
&=& x\,y'(x) +2 + \frac 12 \int_1^x\ \left((y(\xi)-2)^2\right)'\, d\xi =
2\,x\,y'(x) +4 +  (y(x)-2)^2\\
\eea

Aus dem \awp erhält man $c=4$ und durch Trennung der Variablen die Gleichung
$$-2\,\int_0^y\ \frac{d\eta}{(\eta-2)^2} = \int_1^x\ \frac{d\xi}{\xi}$$
bzw.
$$2\,\frac1{y(x)-2} +1= \ln|x| $$
bzw.
$$y(x)=2+\frac2{\ln |x|-1}.$$

\underline{2. Lösung (mit einem Additionstrick):}\\

Fügt man einen Summanden $y'$ ein so kann man die \dgl folgendermaßen umformen:
$$xy'' + y' + (y-2)y' = (x(y-2)')'+{1\over 2}((y-2)^2)' =0.$$
Mit der Ersetzung $z=y-2$ erhält man nach einmaliger Integration
$$xz'+{1\over 2}z^2=c_1.$$ 
Aus dem Anfangswertproblem $z'(1)=y'(1)=-2$ und $z(1)=y(1)-2=-2$ folgt $c_1=0$, also 
$$z'=-\frac{z^2}{2x}.$$
Durch Trennung der Variablen erhält man ${1\over z}={1\over 2}\ln|x| +c_2$ und wegen der 
Anfangsbedingung $z(1)=-2$ ist $c_2=-{1\over 2}$, d. h.
$$z(x)=\frac{2}{\ln|x|-1}\quad\mbox{ bzw. }\quad y(x)=2+\frac{2}{\ln|x|-1}.$$

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 247: Multiplikationstrick
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das \awp
$$ y''=\e^y,\qquad y(0)=0,\ y'(0)=\sqrt{2}. $$

Hinweis: $y'y''=\frac12\left ( {y'}^2\right )', \e^yy'=\left(\e^y\right)'$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 247}}\\
Multipliziert man die \dgl gemäß Hinweis mit $y'$, so erhält man
$$\frac12\left ( y'^2\right )' = \left(\e^y\right)'$$
bzw. nach einmaliger Integration über das Intervall $[0,x]$
$$\frac12\left ( y'(x)^2\right ) - \frac12\left ( y'(0)^2\right ) = \e^{y(x)}- \e^{y(0)}$$
bzw. nach Einsetzen der Anfangswerte und Auflösen nach $y'$
$$y'=\sqrt{2\e^y}$$
sowie nach Trennung der Variablen
$$\int_0^y \e^{-\frac y2}\, dy = \int_0^x \sqrt{2}\,dx$$
bzw.
$$-2\,\e^{-\frac{y(x)}2}+2\,\e^{-\frac{y(0)}2}=\sqrt{2}\,x,$$
d. h.
$$\e^{-\frac{y(x)}2}=1-\frac{x}{\sqrt{2}}$$
oder 
$$y(x)=-2\ln(1-\frac{x}{\sqrt{2}}) = \ln\left(\frac2{(\sqrt{2}-x)^2}\right).$$

Da die linke Seite in der vorletzen Gleichung stets positiv ist, kann die Lösung nur für $1-\frac{x}{\sqrt{2}}>0$ bzw. für $x<\sqrt{2}$ existieren.
% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Theorie }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 248: \dgl zu gegebenem Fundamentalsystem bestimmen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
a) Unter welchen Voraussetzungen kann man zu gegebenen Funktionen
$y_i=y_i(x)$, $i=1,\ldots,n$ eine lineare homogene
Differentialgleichung $n$-ter Ordnung bestimmen, für die
$y_1,\ldots,y_n$ ein Fundamentalsystem bilden? \\
b) Diskutieren Sie die Frage von a) für das Beispiel
\[
y_1(x)=\frac{1}{x},\quad y_2(x)=x,\quad y_3(x)=x^2,\quad x>0
\]
und geben Sie gegebenenfalls eine Differentialgleichung an.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 248}}\\
	zu a): \\
	Sollen $y_i=y_i(x)$, $i=1,\ldots,n$ ein Fundamentalsystem bilden, dann müssen die Funktionen linear unabhängig sein. Außerdem muss es Koeffizientenfunktionen $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_{n-1}(x)$ geben, so dass die \dgls\ 
	\[ a_0 y_i + a_1 y_i' + a_2 y_i'' + \ldots + a_{n-1} y_i^{(n-1)} = -y_i^{(n)}\quad\text{für}\quad i=1,\ldots, n\]
	erfüllt sind. Man kann die Gleichungen in Form des linearen Gleichungssystems
	\[ \begin{pmatrix}
		y_1(x) & y_1'(x) &\ldots & y_1^{(n-1)}(x)\\
		y_2(x) & y_2'(x) & \ldots & y_2^{(n-1)}(x)\\
		\vdots & \vdots &  \ldots & \vdots\\
		y_n(x) & y_n'(x) &  \ldots & y_n^{(n-1)}(x)\\
	\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0(x)\\ a_1(x)\\ \vdots\\ a_{n-1}(x) \end{pmatrix} = 
	- \begin{pmatrix} y_1^{(n)}(x) \\y_1^{(n)}(x) \\\vdots\\y_1^{(n)}(x) 	\end{pmatrix}
	\]
	schreiben. Dessen Koeffizientenmatrix ist die Transponierte der Funktionalmatrix der Funktionen $y_i=y_i(x)$, $i=1,\ldots,n$ und wegen derer linearer Unabhängigkeit für alle $x$ regulär. Somit lassen sich die Koeffizientenfunktionen $a_j=a_j(x)$, $j=0,\ldots,n-1$ eindeutig bestimmen.\\
	
	zu b):\\
	Das Gleichungssystem hat die Gestalt
	\[ 
	\begin{pmatrix}
		y_1(x) & y_1'(x) &y_1''(x)\\
		y_2(x) & y_2'(x) &  y_2''(x)\\
		y_3(x) & y_3'(x) &  y_3''(x)\\
	\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0(x)\\ a_1(x)\\ a_2(x) \end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
		\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & \frac{2}{x^3}\\
		x & 1 &  0\\
		x^2 & 2 x &  2\\
	\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0(x)\\ a_1(x)\\ a_2(x) \end{pmatrix} = 
- \begin{pmatrix} -\frac{6}{x^4} \\0\\0 	\end{pmatrix}
	\]
	Ein Gauß-Algorithmus nach geeigneter Zeilenvertauschung führt zu
\[\begin{array}{ccc|c|l}
a_0 & a_1 & a_2 & &\\
&&&&\\
\hline
&&&&\\
x & 1 &  0&0 & *\\
&&&&\\
x^2 & 2 x &  2 & 0& - x \text{ mal 1. Zeile}\\
&&&&\\
\frac{1}{x} & -\frac{1}{x^2} & \frac{2}{x^3}& \frac{6}{x^4} &-\frac{1}{x^2} \text{ mal 1. Zeile}\\
&&&&\\
\hline
&&&&\\
x & 1 &  0 & 0 & \\
&&&&\\
0 &  x &  2 & 0& *\\
&&&&\\
0 & -\frac{2}{x^2} & \frac{2}{x^3}& \frac{6}{x^4} &\frac{2}{x^3} \text{ mal 2. Zeile}\\
&&&&\\
\hline
&&&&\\
x & 1 &  0 & 0 & \Rightarrow a_0(x) = -\frac{a_1(x)}{x}= \frac{2}{x^3}\\
&&&&\\
0 &  x &  2 & 0& \Rightarrow a_1(x) = -\frac{2 a_2(x)}{x}= -\frac{2}{x^2}\\
&&&&\\
0 & 0 & \frac{6}{x^3}& \frac{6}{x^4} &\Rightarrow a_2(x) = \frac{1}{x}\\
&&&&\\
\end{array}\]
	Somit erhalten wir also die \dgl
	\[ y''' + \frac{1}{x} y'' - \frac{2}{x^2} y' + \frac{2}{x^3} = 0.\]



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 249: Fortsetzbarkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es werde die \dgl $y''=g(y)$ betrachtet. Dabei genüge $g:\R\rightarrow \R$ einer Lipschitzbedingung und es gelte $sg(s)<0$ für $s\neq 0$.\\ 

Zeigen Sie:
\ben
\item Jede Lösung der \dgl ist auf ganz $\R$ fortsetzbar.
\item Gilt $\int_0^s\  g(t)\,dt \rightarrow -\infty$ für $s \rightarrow \pm \infty$, so ist jede Lösung periodisch.
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 249}}\\
Zunächst sei bemerkt, dass $g$ wegen der >Lipschitzstetigkeit auch auf ganz $\R$ stetig ist. Außerdem ist $g(s)<0$ für $s>0$ und $g(s)>0$ für $s<0$, wegen der Stetigkeit muss also $g(0)=0$ sein.\\
 
Multipliziert man nun die \dgl mit $y'$ und betrachtet man gleichzeitig noch das \awp $y(0)=y_0, y'(0)=v_0$, so kann man folgendermaßen umformen:
\bea
\frac{1}{2}\frac{d}{dx} (y')^2 = y'\,y'' &=& g(y)\,y' =  \frac{d}{dx} \int_0^x\,g(y)\,y'\,dx = \frac{d}{dx} \int_{y_0}^y\,g(s)\,ds\\
(y')^2 - v_0^2 &=& 2\int_{y_0}^y\,g(s)\,ds\\
y'(x) &=& \sqrt{v_0^2 + 2\int_{y_0}^y\,g(s)\,ds} =: F(y)=\sqrt{f(y)}\\
dx &=& \frac{dy}{F(y)}\\
x(y) &=& \int_{y_0}^y  \frac{ds}{F(s)}
\eea
Wie man aus der zweiten Gleichung ersieht, ist das \awp für $v_0=0$ nur dann korrekt gestellt, wenn $y_0 = 0$ ist, da anderenfalls die rechte Seite für $y>y_0>0$ oder für $y<y_0<0$ negativ ist. In diesem Fall ist die Lösung identisch Null; diese existiert natürlich über ganz $\R$. \\

Sei im folgenden $v_0\neq 0$.\\
Eine Lösung der \dgl existiert genau dann über ganz $\R$, wenn sich die rechte Seite für positive $y$ dem Wert $+\infty$ und für negative $y$ dem Wert $-\infty$ annähert.\\

{\em Fall 1: $F(y) > 0\ \forall y>y_0$:}\\
Die rechte Seite wird genau dann unendlich, wenn das Integral $\int_{y_0}^{\infty}  \frac{ds}{F(s)}$ divergiert, d. h. gerade nicht als uneigentliches Integral existiert. Es ist aber wegen der Lipschitz-Bedingung für $g$
\bea
2\int_{y_0}^y\,|g(s)|\,ds &\leq& 2\int_{y_0}^y\,(|g(s)-g(y_0)|+|g(y_0)|)\,ds\\
&\leq& 2L\int_{y_0}^y\,(s-y_0)\,ds+2\int_{y_0}^y\,|g(y_0)|\,ds=L(y-y_0)^2+2\,|g(y_0)|(y-y_0)
\eea
und für hinreichend großes $y>y_0$ auch 
$$F(y) = \sqrt{v_0^2 + 2\int_{y_0}^y\,g(s)\,ds} \leq \sqrt{v_0^2 +L(y-y_0)^2+2\,|g(y_0)|(y-y_0)} \leq C\,(y-y_0),$$
also
$$\lim_{y \rightarrow \infty}x(y) = \int_{y_0}^{\infty}  \frac{ds}{F(s)} \geq \frac{1}{C}\int_{y_0}^{\infty}  \frac{ds}{s-y_0} = \infty . $$ 

{\em Fall 2: $F(y) > 0\ \forall y<y_0$:}\\
Dieser Fall wird analog behandelt.\\

{\em Fall 3: $\exists y_1>y_0: f(y_1) = 0$ und $f(y)>0\ \forall y \in (y_0,y_1)$:}\\
Dieser Fall wird insbesondere unter der in Aufgabe b) geforderten Bedingung $\int_0^s\  g(t)\,dt \rightarrow -\infty$ für $s \rightarrow \infty$ eintreten. Wegen $s\,g(s)<0$ muss $y_1$ auch bei negativem $y_0$ positiv sein.
Dann ist außerdem 
$$f'(y_1)=g(y_1)<0, \mbox{ d. h. } f(y) = f'(y_1)(y-y_1) + o(y-y_1) \geq C_1(y-y_1) \mbox{ mit } C_1<0,$$
also konvergiert für $y \rightarrow y_1$ das Integral
$$x(y) \leq \frac{1}{\sqrt{-C_1}} \int_{y_0}^y \frac{dt}{\sqrt{y_1-t}}$$
und auch die linke Seite muss gegen gegen ein $x_1>0$ konvergieren, d. h. 
$$\lim_{x\rightarrow x_1-0}y(x) = y_1.$$
Was passiert nun nach $x_1$?. Mit $y(x)$ ist - wie man leicht nachrechnet - auch $\tilde{y}(x) := y(2x_1-x)$ eine Lösung von $y''=g(y)$ für $0 \leq 2x_1-x \leq x_1$, d. h. $x_1 \leq x \leq 2x_1$, für die außerdem noch $y(x_1-h)=\tilde{y}(x_1+h)$ und $y'(x_1-h)=-\tilde{y}'(x_1+h)$ gilt, d. h. $\tilde{y}(x)$ ist eine, symmetrisch zur Achse $x=x_1$ gelegene Fortsetzung von $y(x)$ im Intervall $[x_1, 2x_1]$ und eventuell darüber hinaus. Die fortgesetzte Funktion nennen wir nun einfach wieder $y$. Für $h=0$ erhält man nun noch $y'(x_1)=-y'(x_1)$, d. h. $y(x_1)=0$. Stellt man nun das Anfangswertproblem in $2x_1$, so ist dort $y(2x_1)=y(0)=y_0$ und $y'(2x_1)=-y'(0)=-v_0$, d. h. unter dem Integral steht wieder dieselbe Funktion $f(y)$ wie oben. Damit wiederholt sich der Vorgang, d. h. $f(y)$ hat bei $y_2=y(x_2)$ mit $x_2=2x_1+x_1=3x_1$ wieder eine Nullstelle und die Funktion lässt sich über $x_2$ hinaus ,,spiegelbildlich'' mindestens bis zum Punkt $2x_2=6x_1$ fortsetzen, wobei noch $y(3x_1-h)=y(3x_1+h)$ und $y'(3x_1-h)=-y'(3x_1+h)$ gilt.

Insbesondere ist $y(5x_1)=y(x_1)$ und $y'(5x_1)=-y'(x_1)=0$. Stellt man also in $x=5x_1$ das \awp mit den Daten von $x=x_1$, dann wird man im Intervall $[5x_1, 9x_1]$ dieselbe Funktion wie im Intervall $[x_1, 5x_1]$ erhalten usw.
In der Tat ist die \dgl ja autonom, d. h. mit jeder Lösung $y(x)$ ist auch $\hat{y}(x):=y(x+4kx_1), k\in \raum{Z}$ eine Lösung. Also ist $y(x)$ mit der Periode $4x_1$ über ganz $\R$ fortsetzbar.

{\em Fall 4: $\exists y_1<y_0: f(y_1) = 0$ und $f(y)>0 \forall y \in (y_1,y_0)$:}\\
Auch dieser Fall wird insbesondere unter der in Aufgabe b) geforderten Bedingung $\int_0^s\  g(t)\,dt \rightarrow -\infty$ für $s \rightarrow -\infty$ eintreten. Wegen $s\,g(s)<0$ muss $y_1$ auch bei positivem $y_0$ negativ sein.
Dann ist weiterhin 
$$f'(y_1)=g(y_1)>0, \mbox{ d. h. } f(y) = f'(y_1)(y-y_1) + o(y-y_1) \leq C_1(y-y_1) \mbox{ mit } C_1>0,$$
also konvergiert für $y \rightarrow y_1$ das Integral
$$x(y) \geq \frac{1}{\sqrt{C_1}} \int_{y_0}^y \frac{dt}{\sqrt{t-y_1}}= -\frac{1}{\sqrt{C_1}} \int_y^{y_0} \frac{dt}{\sqrt{t-y_1}}$$
gegen ein $x_1<0$, d. h. 
$$\lim_{x\rightarrow x_1+0}y(x) = y_1.$$
Alle weiteren Betrachtungen sind nun analog zum Fall 3, nur eben spiegelbildlich zur y-Achse.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 250: Höchstens eine Nullstelle
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $y(x)$ eine nichttriviale Lösung der Differentialgleichung $y''+q(x)\,y=0$ im Intervall $[a,b]\subset \R$. Die Funktion $q$ sei stetig und negativ auf $[a,b]$. Zeigen Sie, dass $y$ im Intervall $[a,b]$ höchstens eine Nullstelle hat.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 250}}\\

\begin{description}
	\item[elegante Lösung:] Seien $x_1, x_2$ zwei Nullstellen von $y$ mit $a\leq x_1<x_2\leq b$. Dann ist einerseits - bei Verwendung der partiellen Integration
	\[\int_{x_1}^{x_2}\,y''(x)y(x)\,dx = y(x_2)y'(x_2)-y(x_1)y'(x_1) - \int_{x_1}^{x_2}\,(y'(x))^2\,dx  = - \int_{x_1}^{x_2}\,(y'(x))^2\,dx <0\]
	und andererseits - weil $y$ Lösung der \dgl\ und $q$ negativ ist -
	\[\int_{x_1}^{x_2}\,y''(x)y(x)\,dx =  - \int_{x_1}^{x_2}\,q(x)(y(x))^2\,dx >0.\]
	Da beides nicht gleichzeitig wahr sein kann, kann $y$ nicht mehr als eine Nullstelle haben.
	\item[normale Lösung:] Seien $x_1, x_2$ zwei benachbarte Nullstellen von $y$ mit $a\leq x_1<x_2\leq b$. O.~B.~d.~A. sei $y(x)>0$ für $x_1<x<x_2$. Anderenfalls gehe man zur Funktion $-y$ über, die ebenfalls eine Lösung der \dgl\ ist. Wegen der \dgl\ ist dann aber auch $y''(x)$ in $(x_1,x_2)$ positiv, also $y$ konvex.\\
	Nach einem Satz über stetige Funktionen nimmt $y$ in $(x_1,x_2)$ sein (positives) Maximum an, sagen wir in $x_3$. Notwendig dafür ist $y(x_3)=0$. Da aber gleichzeitig $y''(x_3)>0$ ist, hätte $y$ in $x_3$ ein lokales Minimum.\\
	Da beides nicht gleichzeitig wahr sein kann, kann $y$ nicht mehr als eine Nullstelle haben.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 251: Polynomringeigenschaft von Differentialoperatoren
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Jedem Polynom
$$P(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots a_0$$
wird ein Differentialoperator $P(D)$, $D=d/dx$ mit konstanten
Koeffizienten zugeordnet, der auf Funktionen $u=u(x)$ nach der Vorschrift
$$P(D)u=a_n D^n u+a_{n-1}D^{n-1}u+\ldots a_0 u$$
wirkt. Zeigen Sie die Rechenregel aus der Vorlesung:
$$P_1(D)[P_2(D)u]=P_2(D)[P_1(D)u]=(P_1P_2)(D)u.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 251}}\\
Seien 
$$ P_1(\lambda) = \sum_{i=0}^n\,a_i\lambda^i,\quad P_2(\lambda) = \sum_{j=0}^m\,b_j\lambda^j$$
Polynome vom Grade $n$ bzw. $m$. Das Produktpolynom läßt sich dann darstellen in der Form
$$ (P_1P_2)(\lambda) = \left (\sum_{i=0}^n\,a_i\lambda^i\right) \left ( \sum_{j=0}^m\,b_j\lambda^j\right ) = \sum_{i=0}^n\,\sum_{j=0}^m\,a_ib_j\lambda^{i+j} = \sum_{k=0}^{n+m}\,\sum_{l=\max\{0,k-m\}}^{\min\{k,n\}}\,a_lb_{k-l}\  \lambda^l .$$

Das letzte Gleichheitszeichen versteht man, wenn man sich das Produkt $P_1(\lambda)*P_2(\lambda)$ in einem rechteckigen Schema darstellt:\\

\noindent
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}
&$a_0\lambda^0$&$a_1\lambda^1$&\dots&$a_{n-1}\lambda^{n-1}$&$a_n\lambda^n$\\
\hline\hline
$b_0\lambda^0$&$a_0b_0\lambda^0$&$a_1b_0\lambda^1$&\dots&$a_{n-1}b_0\lambda^{n-1}$&$a_nb_0\lambda^n$\\
$b_1\lambda^1$&$a_0b_1\lambda^1$&$a_1b_1\lambda^2$&\dots&$a_{n-1}b_1\lambda^n$&$a_nb_1\lambda^{n+1}$\\
$b_2\lambda^2$&$a_0b_2\lambda^2$&$a_1b_2\lambda^3$&\dots&$a_{n-2}b_1\lambda^{n+1}$&$a_nb_2\lambda^{n+2}$\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots&\vdots\\
$b_{m-1}\lambda^{m-1}$&$a_0b_{m-1}\lambda^{m-1}$&$a_1b_{m-1}\lambda^{m}$&\dots&$a_{n-1}b_{m-1}\lambda^{n+m-2}$&$a_nb_{m-1}\lambda^{n+m-1}$\\
$b_m\lambda^m$&$a_0b_m\lambda^m$&$a_1b_m\lambda^{m+1}$&\dots&$a_{n-1}b_m\lambda^{n+m-1}$&$a_nb_m\lambda^{n+m}$\\

\end{tabular}\\

\noindent Es fällt auf, dass die entlang einer Geraden, die im 45°-Winkel vom linken bzw. unteren zum oberen bzw. rechten Rand verläuft, stehenden Produkte vom gleichen Grade sind. Addiert man nun diese Produkte und ordnet nach steigenden Potenzen von $\lambda$, so erhält man die obige Formel unter Beachtung von:

\bit
\item $l=0$,   falls die Diagonale am linken  Rand beginnt, d.h. für $k <  m$;
\item $l=k-m$, falls die Diagonale am unteren Rand beginnt, d.h. für $k \geq  m$;
\eit
     also $l=\max\{0,k-m\}$ beim unteren Summenindex, sowie
\bit
\item $l=n$,   falls Diagonale am rechten  Rand endet, d.h. für $k \geq n$;
\item $l=k$,   falls Diagonale am oberen Rand endet, d.h. für $k < n$;
\eit
     also $l=\min\{k, n\}$ beim oberen Summenindex.\\
     
Zum Beweis der ensprechenden Beziehungen für die Differentialoperatoren genügt es, die Formel

$$P_2(D)[P_1(D)u]=(P_1P_2)(D)u$$

zu beweisen. Durch formales Vertauschen von $a$ mit $b$ sowie $n$ mit $m$ kann man dann denselben Beweis für die andere Hintereinanderausführung benutzen.

Sei also $v=P_1(D)u=  \sum_{i=0}^n\,a_iD^iu $, dann ist

\bea
P_2(D)v &=& \sum_{j=0}^m\,b_jD^jv = \sum_{j=0}^m\,b_j\,D^j\left ( \sum_{i=0}^n\,a_iD^i u \right ) \\
&=& \sum_{j=0}^m\,b_j\,\left ( \sum_{i=0}^n\,a_iD^{i+j} u \right ) \\
&=& \sum_{j=0}^m\,\sum_{i=0}^n\,a_ib_j\,D^{i+j} u \\
&=&\sum_{k=0}^{n+m}\,\sum_{l=\max\{0,k-m\}}^{\min\{k,n\}}\,a_lb_{k-l}\  D^l u,
\eea   

denn genau wie oben kann man nun mit Hilfe eines ähnlichen rechteckigen Schemas die Summanden nach der Ableitungsordnung umordnen; das ist der Beweis der Formel.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 252: Spezielle Lösung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben sei die inhomogene lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
$$y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + . . . + a_0y = f(x)\,\e^{\alpha x}$$
mit konstanten Koeffizienten $a_k \in \R, \alpha \in \R$ und stetiger Funktion $f : (a, b) \rightarrow \R$. Das zugehörige
charakteristische Polynom sei $P(\lambda) = (\lambda - \alpha)^n$, d. h. $\alpha$ ist $n$-fache Nullstelle von $P$.\\
Zeigen Sie: $y_s(x) := u(x)\,\e^{\alpha x}$ ist genau dann eine spezielle Lösung der inhomogen Gleichung, wenn $u^{(n)}(x) = f(x)$ ist.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 252}}\\
\underline{1. Variante:}\\
Da das charakteristische Polynom $P(\lambda) = (\lambda - \alpha)^n$ ist, läßt sich die linke Seite der \dgl in der Form  $(D - \alpha)^n y$ schreiben. Für $y(x)=u(x)\,\e^{\alpha x}$ ist aber
\bea
(D-\alpha)(u\,\e^{\alpha\,x}) &=& u'\,\,\e^{\alpha\,x}+\alpha\,u\,\e^{\alpha\,x}-+\alpha\,u\,\e^{\alpha\,x}=u'\,\,\e^{\alpha\,x}\\
(D-\alpha)^2(u\,\e^{\alpha\,x})=(D-\alpha)(u'\,\e^{\alpha\,x}) &=& u''\,\,\e^{\alpha\,x}+\alpha\,u'\,\e^{\alpha\,x}-+\alpha\,u'\,\e^{\alpha\,x}=u''\,\,\e^{\alpha\,x}\\
\eea
usw., also schließlich auch
$$(D-\alpha)^n(u\,\e^{\alpha\,x})=u^{(n)}\,\e^{\alpha\,x} =f\,\e^{\alpha\,x},$$
woraus die Behauptung folgt.\\

\underline{2. Variante:}\\
Mit $a_n=1$ und $y(x)=u(x)\,\e^{\alpha\,x}$ ergibt sich für die linke Seite der \dgl 
\bea
\sum_{k=0}^n\, a_k\, (u\,\e^{\alpha x})^{(k)}&=&\\
\sum_{k=0}^n\,a_k\,\sum_{l=0}^k\,\binom{k}{l}\, u^{(l)}\,\alpha^{k-l}\,\e^{\alpha x}&=&| \qquad\mbox{Summation vertauschen (s.u.)}\\
\e^{\alpha\, x}\,\sum_{l=0}^n\,\frac{u^{(l)}}{l!}\,\sum_{k=l}^n\,a_k\,k(k-1)\dots 1\,\alpha^{k-l}&=&\\
\e^{\alpha\, x}\,\sum_{l=0}^n\,\frac{u^{(l)}}{l!}\,P^{(l)}(\alpha)&=&\e^{\alpha\, x}\,u^{(n)}\\
\eea
In der letzten Summe verschwinden alle Summanden bis auf den mit $l=n$, da $\alpha$ als $n$-fache Nullstelle des Polynoms $P(\lambda)$ auch Nullstelle der 1. bis $(n-1)$-ten Ableitung von $P(\lambda)$ ist. Ein Vergleich mit der rechten Seite ergibt die Behauptung.\\
\newpage
\underline{3. Variante:}\\
Da das charakteristische Polynom $P(\lambda) = (\lambda - \alpha)^n$ ist, läßt sich die linke Seite der \dgl in der Form  $(D - \alpha)^n y$ schreiben. Für $y(x)=u(x)\,\e^{\alpha x}$ ist dann
\bea
(D - \alpha)^n y &=& \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\, (-\alpha)^{n-k}\,D^k\, (u\,\e^{\alpha x})\\
&=& \sum_{k=0}^n\,\binom{n}{k}\, (-\alpha)^{n-k}\,\sum_{l=0}^k\,\binom{k}{l}\, u^{(l)}\,\alpha^{k-l}\,\e^{\alpha x}\ | \quad\mbox{Summation vertauschen (s.u.)}\\
&=&\e^{\alpha x}\,\sum_{l=0}^n\,\alpha^{n-l}\,u^{(l)}\,\sum_{k=l}^n\,\frac{n!}{k!(n-k)!}\,\frac{k!}{l!(k-l)!}\,(-1)^{n-k}\quad | j:=k-l, \mbox{ mit } \frac{k!}{(n-l)!}\mbox{ kürzen}\\
&=&\e^{\alpha x}\,\sum_{l=0}^n\,\binom{n}{l}\,\alpha^{n-l}\,u^{(l)}\,\sum_{j=0}^{n-l}\,\binom{n-l}{j}\,(-1)^{n-l-j}\\
&=&\e^{\alpha x}\,\sum_{l=0}^n\,\binom{n}{l}\,\alpha^{n-l}\,u^{(l)}\,(1-1)^{n-l}\\
&=&\e^{\alpha x}\,\sum_{l=0}^n\,\binom{n}{l}\,\alpha^{n-l}\,u^{(l)}\,0^{n-l}=\e^{\alpha x}\,u^{(n)}.\\
\eea
In der letzten Summe verschwinden alle Summanden bis auf den mit $l=n$, ein Vergleich mit der rechten Seite ergibt die Behauptung.\\

\begin{center}
	\begin{tabular}{c|ccccc}
		&$k=0$&$k=1$&$k=2$&$k=3$&\ldots\\
		\hline
		$l=0$ &$\odot$&&&&\ldots\\
		$l=1$ &$\odot$&$\odot$&&&\ldots\\
		$l=2$ &$\odot$&$\odot$&$\odot$&&\ldots\\
		$l=3$ &$\odot$&$\odot$&$\odot$&$\odot$&\\
		$\vdots$ &$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\ddots$\\
	\end{tabular}
\end{center}
$$\sum_{k=0}^n\,\sum_{l=0}^k\qquad\mbox{ -\quad Summe über die Zeilensummen}$$
$$\sum_{l=0}^n\,\sum_{k=l}^n\qquad\mbox{ -\quad Summe über die Spaltensummen}$$

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 253: Taylorscher Lehrsatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien eine stetige Funktion $g=g(x)$ im Intervall $(a,b), x_0 \in (a,b)$ und $y_0, \dots, y_{n-1} \in \R$ gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
$$ y^{(n)}=g(x),\quad y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1,\dots, y{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 253}}\\
\underline{$n=1$:} Integriere Dgl.:
\bea
\int_{x_0}^x y'(t)dt &=& \int_{x_0}^x g(t)dt\\
y(x)-y(x_0) &=& \int_{x_0}^x g(t)dt\\
y(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^x g(t)dt.
\eea

\underline{$n=2$:} Integriere Dgl. zweimal:
\bea
\int_{x_0}^x \int_{x_0}^s y''(t)dt ds &=& \int_{x_0}^x \int_{x_0}^s g(t)dt ds\\
\int_{x_0}^x (y'(s)-y'(x_0))ds &=& \int_{x_0}^x \int_t^x g(t)ds dt\qquad\mbox{Integrationsreihenfolge ändern}\\
y(x) - y(x_0) -y_1(x-x_0) &=& \int_{x_0}^x (x-t)g(t)dt\\
y(x) &=& y_0 + y_1(x-x_0) + \int_{x_0}^x (x-t) g(t)dt\\
\eea

\underline{$n=3$:} Wende zunächst Formel für $n=2$ an:
\bea
\int_{x_0}^x \int_{x_0}^s y'''(t)dt ds &=& \int_{x_0}^x \int_{x_0}^s g(t)dt ds\\
\int_{x_0}^x (y''(s)-y''(x_0))ds &=& \int_{x_0}^x \int_t^x g(t)ds dt\qquad\mbox{Integrationsreihenfolge ändern}\\
y'(x) - y'(x_0) -y_2(x-x_0) &=& \int_{x_0}^x (x-t)g(t)dt\\
y'(x) &=& y_1 + y_2(x-x_0) + \int_{x_0}^x (x-t) g(t)dt\\
\eea
Integriere diese Gleichung nochmal nach $x$:
\bea
\int_{x_0}^x  y'(s) ds &=& \int_{x_0}^x (y_1 + y_2(x-x_0) + \int_{x_0}^s (s-t) g(t)dt) ds\\
y(x) - y(x_0) &=& y_1(x-x_0) + y_2 \frac{(x-x_0)^2}{2}+\int_{x_0}^x (\int_{x_0}^s (s-t) g(t)dt) ds\\
y(x) &=& y_0 + y_1(x-x_0) + y_2 \frac{(x-x_0)^2}{2}+\int_{x_0}^x (\int_t^x (s-t) g(t)ds) dt\\
y(x) &=& y_0 + y_1(x-x_0) + y_2 \frac{(x-x_0)^2}{2}+\int_{x_0}^x \frac{(x-t)^2}{2} g(t) dt\\
\eea

Für größeres $n$ wird dieser Vorgang wiederholt, dabei treten für die Funktion $g(x)$ immer wieder Integrale auf, die durch Änderung der Integrationsreihenfolge teilweise berechnet werden können.

Exakt müsste man das mit vollständiger Induktion beweisen.

Schließlich erhält man im allgemeinen Fall
$$ y(x) = \sum_{k=0}^{n-1} y_k\frac{(x-x_0)^k}{k!} + \int_{x_0}^x \frac{(x-t)^k}{k!}g(t) dt.$$

Mit $g(t) = y^{(n)}(t)$ ist dies gerade die Taylor-Entwicklung von $y$ an der Stelle $x_0$ mit dem Restglied in Integralform. (vgl. Fichtenholz Bd. 2 S. 150)



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 254: Unendlich viele Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie: Hat eine Lösung $y = y(x), x \in [a, b]$ einer linearen homogenen
Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit stetigen Koeffizienten im Intervall $[a, b]$ unendlich
viele Nullstellen, so ist $y(x) = 0$ für alle $x \in [a, b]$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 254}}\\

Unendlich viele Nullstellen in $[a,b]$ müssen sich nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass in wenigstens einem Punkt $x_0 \in [a,b]$ häufen. Da zwischen je zwei Nullstellen nach dem Satz von Rolle wenigsten ein $x$ liegt, für das $y'(x)=0$ ist, gibt es auch unendlich viele Nullstellen der 1. Ableitung, die sich ebenfalls in $x_0$ häufen. Dieses Argument kann man nun sinngemäß auf alle weiteren Ableitungen von $y(x)$ anwenden und wegen deren Stetigkeit ist
$$ y(x_0) = y'(x_0) = \ldots y^{(n)}(x_0) =0.$$

Andererseits läßt sich $y(x)$ als Lineakombination aus $n$ linear unabhängigen Fundamentallösungen darstellen, d.~h.
$$y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + \ldots + c_n y_n(x).$$
Schreibt man unter diese Gleichung die 1. bis (n-1)-te Ableitung dieser Gleichung und betrachtet alles an der Stelle $x=x_0$, so erhält man das lineare Gleichungssystem

$$ \bma{c} y(x_0) \\  y'(x_0)\\  \vdots \\ y^{(n-1)}(x_0) \ema = \bma{cccc} y_1(x_0) & y_2(x_0) & \ldots & y_n(x_0) \\ y'_1(x_0) & y'_2(x_0) & \ldots & y'_n(x_0) \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\ y^{(n-1)}_1(x_0) & y^{(n-1)}_2(x_0) & \ldots & y^{(n-1)}_n(x_0) \\ \ema \bma{c} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n\\ \ema$$

für die Koeffizienten $c_1, c_2, \ldots, c_n$. Dabei ist die linke Seite identisch Null und die Matrix auf der rechten Seite regulär, da deren Determinante wegen der linearen Unabhängigkeit der Fundamentallösungen nicht verschwindet (Wronski-Determinante). Deswegen ist 
$$ c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0$$
die einzige Lösung dieses Gleichungssystems, d.~h. $y(x) \equiv 0$.

% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Systeme }
\section{ konstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 255: allgemeine Lösung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden inhomogenen 
linearen Differentialgleichungssystems für drei gesuchte Funktionen
$y_1=y_1(x)$, $y_2=y_2(x)$, $y_3=y_3(x)$:
\begin{eqnarray*}
y_1' & = & y_1 -2 y_2 + \cos x, \\
y_2' & = & 2 y_1 - y_3 + \sin x, \\
y_3' & = & 4 y_1 -2 y_2 -y_3.
\end{eqnarray*}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 255}}\\
Die charakteristische Gleichung der Koeffizientenmatrix $A=\bma{ccc}1&-2&0\\2&0&-1\\4&-2&-1\ema$
lautet $\lambda^3+\lambda-2=0$ und hat die Wurzeln $\lambda_1=1, \lambda_{2/3}=-{1\over 2}\pm \frac{\sqrt{7}}{2}i$.
Die dazugehörigen Eigenvektoren sind $\vec{v}_1=\bma{c}1\\0\\2\ema,
\vec{v}_{2/3}=\bma{c}3\\4\\8\ema\pm i\bma{c}\sqrt{7}\\0\\0\ema$. Ein reelles Fundamentalsystem ist also z. B.
$$\left \{\bma{c}1\\0\\2\ema\,\e^x,\,\bma{c} 3\,\cos(\frac{\sqrt{7}}{2} x) - \sqrt{7}\,\sin(\frac {\sqrt{7}}{2} x)\\
4\,\cos(\frac {\sqrt{7}}{2}x)\\8\,\cos(\frac{\sqrt{7}}{2}x)\ema\,\e^{-{x\over 2}},\,
\bma{c} \sqrt{7}\,\cos(\frac{\sqrt{7}}{2}x) + 3\,\sin(\frac {\sqrt{7}}{2}x)\\
4\,\sin(\frac {\sqrt{7}}{2}x)\\8\,\sin(\frac{\sqrt{7}}{2}x)\ema\,\e^{-{x\over 2}}  \right \}. $$
Eine spezielle Lösung des inhomogenen \dglsyss erhält man aus dem Ansatz
$$\vec{y}(x)=\bma{c} a_1\,\sin x + a_2\,\cos x\\a_3\,\sin x + a_4\,\cos x\\a_5\,\sin x + a_6\,\cos x \ema.$$
Setzt man diesen in das \dglsys ein, so erhält man das lineare Gleichungssystem
$$\bma{cccccc}
1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0\\
2 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\
0 & 2 & -1 & 0 & 0 & -1\\
4 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 4 & 0 & -2 & -1 & -1 
\ema \cdot \bma{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \ema = \bma{c} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ema, $$
mit der Lösung $a_1={3\over 2}, a_2={5\over 2}, a_3=2, a_4=1, a_5=5, a_6=3$. Eine spezielle Lösung des inhomogenen
\dglsyss ist somit
$$\vec{y}(x)=\bma{c} {3\over 2}\,\sin x + {5\over 2}\,\cos x\\2\,\sin x + \cos x\\5\,\sin x + 3\,\cos x \ema.$$
Aus dieser und dem Fundamentalsystem kann man die allgemeine Lösung aufschreiben.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 256: allgemeine Lösung bestimmen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden \dglsyss erster Ordnung für drei gesuchte Funktionen $y_1=y_1(x), y_2=y_2(x), y_3=y_3(x)$
$$\bma{c}y_1'\\y_2'\\y_3'\ema = \bma{ccc}0&0&1\\1&0&1\\8&-3&-1\ema\bma{c}y_1\\y_2\\y_3\ema+\bma{c}0\\-2x\\2x\ema.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 256}}\\
Die charakteristische Gleichung für die Koeefizientenmatrix lautet $\lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3=0$ und hat die Nullstellen $\lambda_1=\lambda_2=1$ und $\lambda_3=-3$. Der Eigenwert 1 der algebraischen Vielfachheit 2 hat nur die geometrische Vielfachheit 1, ein Eigenvektor ist z. B. $\vec{e}_1=(1,2,1)^T$, der dazugehörige Hauptvektor ist $\vec{e}_2=(-1,-3,0)^T$. Ein Eigenvektor zu $\lambda_3=-3$ ist z. B. $\vec{e}_3=(3,2,-9)^T$. Die allgemeine Lösung der homogenen \dgl ist deshalb
$$\bma{c}y_1(x)\\y_2(x)\\y_3(x)\ema=c_1\bma{c}1\\2\\1\ema\e^x +c_2\left (\bma{c}-1\\-3\\0\ema+x\bma{c}1\\2\\1\ema\right ) \e^x + c_3\bma{c}3\\2\\-9\ema \e^{-3x}.$$
Eine spezielle Lösung der inhomogenen Aufgabe erhält man aus dem Ansatz $y_1(x)=a_1x+b_1, y_2(x)=a_2x+b_2, y_3(x)=a_3x+b_3$. Einsetzen in das \dglsys führt zu 
\bea
a_1 &=& a_3x + b_3\\
a_2 &=& a_1x + b_1 + a_3x + b_3 -2 x\\
a_3 &=& 8a_1x + 8b_1 -3a_2x -3b_2 - a_3x - b_3 +2 x\\ 
\eea
und durch Koeffizientenvergleich auf das lineare Gleichungssystem
\bea
a_1 -b_3 &=& 0\\
a_3 &=& 0\\
a_2 -b_1 -b_3 &=& 0\\
a_1 + a_3 &=& 2\\
a_3 -8b_1 +3b_2 +b_3&=& 0\\
8a_1-3a_2 - a_3 &=& -2\\ 
\eea
mit der Lösung $a_1=2, b_1=4, a_2=6, b_2=10, a_3=0, b_3=2$, die allgemeine Lösung der \dgl lautet also 
$$\bma{c}y_1(x)\\y_2(x)\\y_3(x)\ema=c_1\bma{c}1\\2\\1\ema\e^x +c_2\left (\bma{c}-1\\-3\\0\ema+x\bma{c}1\\2\\1\ema\right ) \e^x + c_3\bma{c}3\\2\\-9\ema \e^{-3x}+\bma{c}2x+4\\6x+10\\2\ema.$$


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 257: einfache und doppelte konjugiert komplexe Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man gebe reelle Fundmentalsysteme für die folgenden beiden \dglsyse\ an.
\[
a) \quad \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
	x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \qquad
b) \quad \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{x}_4 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}	x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \qquad
\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 257}}\\
\begin{enumerate}
	\item Das charakteristische Polynom zur gegebenen Matrix ist $P(\lambda)=\lambda^2-2\lambda +10$, die Eigenwerte sind somit $\lambda_{1/2} = 1\pm 3i$, die dazugehörigen Eigenvektoren erhält man aus den Gleichungen
	\[ \begin{pmatrix} \mp3i & -3 \\ 3 & \mp3i \end{pmatrix}\cdot v=0, \text{ sie sind } v_{1/2}=\begin{pmatrix} \pm i \\ 1	\end{pmatrix} .\]
	Ein komplexes Fundamantalsystem ist daher
	\[ \tilde{x}_1(t)=\begin{pmatrix}  i \\ 1	\end{pmatrix}\,\e^{(1+3i)t},\quad \tilde{x}_2(t)=\begin{pmatrix}  -i \\ 1	\end{pmatrix}\,\e^{(1-3i)t}.\]
 Ein reelles Fundamentalsystem gewinnt man nun aus Real- und Imaginärteilen des komplexen Fundamentalsystems, also
	\bea
	\tilde{x}_1(t) &=& \rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1	\end{pmatrix} + i\begin{pmatrix}  1 \\ 0	\end{pmatrix}}\,\e^t\rkl{\cos 3t + i \sin 3t}\\
	&=& \e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1	\end{pmatrix}\cos 3t - \begin{pmatrix}  1 \\ 0	\end{pmatrix}\sin 3t} + i \e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1	\end{pmatrix}\sin 3t + \begin{pmatrix}  1 \\ 0	\end{pmatrix}\cos 3t},
\eea
also ist
\[ x_1(t)=\e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1	\end{pmatrix}\cos 3t - \begin{pmatrix}  1 \\ 0	\end{pmatrix}\sin 3t}, \quad x_2(t)=\e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1	\end{pmatrix}\sin 3t + \begin{pmatrix}  1 \\ 0	\end{pmatrix}\cos 3t} \]
ein reelles Fundamentalsystem.
	\item Wegen der Blockstuktur der gegebenen Matrix ist deren charakteristisches Polynom gerade $P(\lambda)=\rkl{\lambda^2-2\lambda +10}^2$. wir erhalten somit die gleichen Eigenwerte wie oben, allerdings mit der algebraischen Vielfachheit 2, also $\lambda_{1/2} = \lambda_{3/24} = 1\pm 3i$. Die dazugehörigen Eigenvektoren erhält man nun aus den Gleichungen
	\[ \begin{pmatrix} \mp 3i & -3 & 0 & 0\\ 3 & \mp 3i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mp 3i & -3\\ 0 & 0 & 3 & \mp 3i \end{pmatrix}\cdot v=0, \text{ sie sind } v_{1/2}=\begin{pmatrix} \pm i \\ 1	\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}  \text{ und } v_{3/4}=\begin{pmatrix}  0 \\ 0 \\ \pm i \\ 1	\end{pmatrix} ,\]
	wobei $v_1$ und $v_3$ zu $\lambda_1=\lambda_3$ und $v_2$ und $v_4$ zu $\lambda_2=\lambda_4$ gehören. Beide Eigenwerte haben also auch die geometrische Vielfachheit 2.
	Ein komplexes Fundamantalsystem ist daher
	\[ \tilde{x}_1(t)=\begin{pmatrix}  i \\ 1 \\ 0 \\ 0	\end{pmatrix}\,\e^{(1+3i)t},\quad \tilde{x}_2(t)=\begin{pmatrix}  -i \\ 1 \\ 0 \\ 0	\end{pmatrix}\,\e^{(1-3i)t},\quad
	\tilde{x}_3(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ i \\ 1	\end{pmatrix}\,\e^{(1+3i)t},\quad \tilde{x}_4(t)=\begin{pmatrix}  0 \\ 0 \\ -i \\ 1	\end{pmatrix}\,\e^{(1-3i)t}.\]
 Ein reelles Fundamentalsystem gewinnt man nun aus Real- und Imaginärteilen des komplexen Fundamentalsystems, also
	\bea
	\tilde{x}_1(t) &=& \rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1 \\ 0 \\ 0	\end{pmatrix} + i\begin{pmatrix}  1 \\ 0 \\ 0 \\ 0	\end{pmatrix}}\,\e^t\rkl{\cos 3t + i \sin 3t}\\
	&=& \e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\cos 3t - \begin{pmatrix}  1 \\ 0\\ 0 \\ 0	\end{pmatrix}\sin 3t} + i \e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1	\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\sin 3t + \begin{pmatrix}  1 \\ 0	\end{pmatrix}\cos 3t},
\eea
und
	\bea
	\tilde{x}_3(t) &=& \rkl{\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \\ 1	\end{pmatrix} + i\begin{pmatrix}  0\\ 0\\ 1 \\ 0	\end{pmatrix}}\,\e^t\rkl{\cos 3t + i \sin 3t}\\
	&=& \e^t\rkl{\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \\ 1	\end{pmatrix}\cos 3t - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \\ 0	\end{pmatrix}\sin 3t} + i \e^t\rkl{\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \\ 1	\end{pmatrix}\sin 3t + \begin{pmatrix}  0\\ 0\\1 \\ 0	\end{pmatrix}\cos 3t},
\eea
also ist
\[ x_1(t)=\e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1 \\ 0	\\ 0 \end{pmatrix}\cos 3t - \begin{pmatrix}  1 \\ 0\\ 0	\\ 0	\end{pmatrix}\sin 3t}, \quad x_2(t)=\e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0 \\ 1\\ 0	\\ 0	\end{pmatrix}\sin 3t + \begin{pmatrix}  1 \\ 0	\\ 0	\\ 0\end{pmatrix}\cos 3t}, \]
\[ x_3(t)=\e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0	\\ 0 \\ 0 \\ 1	\end{pmatrix}\cos 3t - \begin{pmatrix} 0	\\ 0 \\ 1 \\ 0	\end{pmatrix}\sin 3t}, \quad x_4(t)=\e^t\rkl{\begin{pmatrix}  0	\\ 0 \\0 \\ 1	\end{pmatrix}\sin 3t + \begin{pmatrix}  0	\\ 0 \\1 \\ 0	\end{pmatrix}\cos 3t} \]
ein reelles Fundamentalsystem.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 258: Fundmentalsystem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für das
homogene Differentialgleichungssystem $y'=Ay$ mit der
$(3\times 3)$-Matrix
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
    -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\
    -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\
    -1 & -1 & 3
    \end{array} \right).
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 258}}\\
Die charakteristische Gleichung zur Matrix $A$ lautet $\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1=0$, d. h. $\lambda =1$ ist 
Eigenwert der algebraischen Vielfachheit 3. Andererseits hat das Gleichungssystem
$$ (A-\lambda I)\vec{x}=\bma{ccc} 
    -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\
    -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
    -1 & -1 & 2
	\ema = 0 $$
nur eine linear unabhängige Lösung, z. B. $\vec{x}_1=(3,1,2)^T , \lambda$ hat 
also die geometrische Vielfachheit 1. Aus
$$ (A-\lambda I)\vec{x}=\bma{ccc} 
    -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\
    -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
    -1 & -1 & 2
	\ema = \bma{c}3\\1\\2\ema $$
bestimmt man einen Hauptvektor erster Stufe, z. B. $\vec{x}_2=(1,1,2)^T$, und aus
$$ (A-\lambda I)\vec{x}=\bma{ccc} 
    -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\
    -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
    -1 & -1 & 2
	\ema = \bma{c}1\\1\\2\ema $$
bestimmt man einen Hauptvektor zweiter Stufe, z. B. $\vec{x}_3=(2,0,2)^T$.
Aus alle dem erhält man nun das Fundamentalsystem
$$\left \{ \bma{c}3\\1\\2\ema \e^x, \left [ \bma{c}1\\1\\2\ema +x\bma{c}3\\1\\2\ema\right ]\e^x,
\left [ \bma{c}2\\0\\2\ema +x\bma{c}1\\1\\2\ema +x^2\bma{c}3\\1\\2\ema\right ]\e^x \right \}. $$

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 259: gemeinsame Lösungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
a) Zeigen Sie: Zwei lineare homogene Differentialgleichungen haben genau 
dann eine nichttriviale gemeinsame Lösung, wenn der Grad des größten 
gemeinsamen Teilers ihrer charakteristischen Polynome $\geq 1$ ist.\\
b) Bestimmen Sie die gemeinsamen Lösungen der Differentialgleichungen
\begin{eqnarray*}
y^{(6)} - y^{(4)} + 2 y^{(2)} -2y & = & 0,\\
y^{(5)}-3y^{(3)}+2y' & = & 0.
\end{eqnarray*}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 259}}\\
zu a):\\
Hat der größte gemeinsame Teiler der beiden charakteristischen Polynome einen Grad $\geq 1$, dann haben die beiden Polynome wenigstens eine gemeinsame Nullstelle $\lambda_0$, d.~h. die beiden \dgls haben die gemeinsame (Fundamental-)Lösung $\e^{\lambda_0 x}$.\\

Haben andererseits die beiden \dgls eine gemeinsame nichttriviale Lösung $y_0(x)$, so lässt sich diese sowohl als Linearkombination der Fundamentallösungen sowohl der einen als auch der anderen \dgl darstellen, d. h. es ist
$$y_0(x) = \sum_{i=0}^n c_i \e^{\lambda_i x} = \sum_{j=0}^m k_j \e^{\mu_j x}.$$
Da aber $\e^{\lambda_i x}$ und $\e^{\mu_j x}$ für $\lambda_i \neq \mu_j$ linear unabhängig sind, ist dies nur dann möglich, wenn wenigstens eines der $\lambda_i$ mit einem der $\mu_j$ übereinstimmt.
Damit haben aber die charakteristischen Polynome wenigstens eine gemeinsame Nullstelle, d.~h. man kann wenigstens einen gemeinsamen Linearfaktor abspalten. Der größte gemeinsame Teiler der beiden charakteristischen Polynome hat dann wenigstens den Grad 1.\\

zu b):\\
Die charakteristischen Gleichungen zu den \dgls lauten
\bea
\lambda^6 - \lambda^4 + 2\lambda^2 - 2 &=& (\lambda^4 + 2)(\lambda^2 -1) =0 \mbox{  und}\\
\lambda^5 - 3\lambda^3 + 2\lambda &=& \lambda (\lambda^2 - 2)(\lambda^2-1) =0,
\eea
deren größter gemeinsamer Teiler ist das Polynom $\lambda^2 -1 = (\lambda -1)(\lambda +1)$.

Die gemeinsamen Lösungen sind also $y_1(x)=\e^{-x}$ und $y_2(x)=\e^x$ .



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 260: geomerische VFH < algebraische VFH
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die linear unabhängigen Lösungen des folgenden
Differentialgleichungssystems!
\bdm
\bma{c}\dot{x}(t)\\ \dot{y}(t) \\ \dot{z}(t) \ema = \bma{ccc}
3&1&2\\-1&5&2\\0&0&4 \ema \cdot
\bma{c} x(t) \\ y(t)\\z(t)\ema  
\edm
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 260}}\\
\begin{enumerate}
\item Eigenwerte und Eigenvektoren\\
Die charakteristische Gleichung ist $(\lambda - 4)^3=0$, d. h.
$\lambda=4$ ist dreifacher Eigenwert.\\
Die Eigenvektoren bestimmen sich aus der Gleichung
$$
\bma{ccc}
-1&1&2\\-1&1&2\\0&0&0 \ema \cdot
\bma{c} x \\ y\\z\ema =  \bma{c} 0\\0\\0\ema.
$$
Wie man leicht nachprüft sind $\bma{c} 0\\2\\-1\ema$ und $\bma{c} 1\\
-1\\1\ema$ linear unabhängige Eigenvektoren.\\
Mehr kann es nicht geben, denn
die Koeffizientenmatrix des letzten Gleichungssystems hat den Rang 1. 

\item Fundamentalsystem\\
Um ein Fundmentalsystem bestimmen zu können, muss ein Hauptvektor berechnet
werden, dazu betrachtet man die Gleichung
$$
\bma{ccc}
-1&1&2\\-1&1&2\\0&0&0 \ema \cdot
\bma{c} x \\ y\\z\ema =  a \cdot\bma{c} 0\\2\\-1\ema + b \cdot \bma{c}
1\\-1\\1\ema = \bma{c} b\\2a-b\\-a+b\ema, $$
d. h. auf der rechten Seite steht ein noch näher zu bestimmender Eigenvektor.\
Das Gauss\-verfahren führt auf
$$
\bma{ccc}
-1&1&2\\0&0&0\\0&0&0 \ema \cdot
\bma{c} x \\ y\\z\ema = \bma{c} b\\2a-2b\\-a+b\ema, $$
d. h. $-a+b$ muss verschwinden.\\
Für $a=b=1$ hat das Gleichungssystem z. B. die Lösung $\bma{c}
0\\1\\0\ema$, d. h. man erhält das Fundmentalsystem
$$
\vec{y}_1(t)=e^{4t}\bma{c}0\\2\\-1 \ema;\ \ \vec{y}_2(t)=e^{4t}\bma{c}1\\-1\\1
\ema;\ \ \vec{y}_3(t)=e^{4t}\left ( \bma{c} 0\\1\\0\ema +t\bma{c} 1\\1\\0\ema
\right ). $$

\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 261: Kompartement-Modell 1
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein Tank $K_1$ enthalte 100 Liter Wasser, in dem 5 kg Salz aufgelöst sind, ein
Tank $K_2$ enthalte 300 Liter Wasser, in dem 5 kg Salz aufgelöst sind. Beginnend mit der
Zeit $t_0 = 0$ werden pro Minute ständig 10 Liter Salzlösung von $K_1$ nach $K_2$
und 10 Liter von $K_2$ nach $K_1$ gepumpt und sofort verrührt. Wie groß ist der Salzgehalt $m_i(t)$ in $K_i, i = 1, 2$ zur Zeit 
$t > 0$ ? Auf welchem Niveau stabilisiert sich schließlich der Salzgehalt in $K_i$ ?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 261}}\\

Seien $m_1(t)$ bzw. $m_2(t)$ die Salzmengen in $K_1$ bzw. $K_2$. In einer Zeiteinheit wird $1/10$ der Menge $m_1$ nach $K_2$ und $1/30$ der Menge $m_2$ nach $K_1$ gespült. Daher genügen $m_1, m_2$ dem \dglsys
\[ \begin{pmatrix} m_1' \\ m_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{10} m_1 + \frac{1}{30} m_2 \\ \frac{1}{10 } m_1 - \frac{1}{30} m_2\end{pmatrix} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} m_1(0) \\ m_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5\end{pmatrix}.\]Das charakteristische Polynom zur Koeffizientenmatrix ist $\lambda^2 + 4 \lambda =0$, also sind die Eigenwerte $\lambda_1 = 0$ und $\lambda_2 = -4$ mit den zugehörigen Eigenvektoren 
$v_1 =(1 3)^T, v_2 = (1 -1)^T$, also ist die allgemeine Lösung
\[  \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \e^{-4 t}.\]
Aus der Anfangsbedingung erhält man noch $c_1 = c_2 = 5/2$, also
\[  \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end{pmatrix} = \frac{5}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{5}{2}  \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \e^{-4 t}.\]
Für $t \to \infty$ erhält man den Gleichgewichtszustand
\[  \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2,5 \\ 7,5 \end{pmatrix} .\]
Letzteren kann man auch elementar ausrechnen: Wenn insgesamt 10 kg Salz auf insgesamt 400 Liter Wasser gleichvereilt werden, dann kommen 2,5 kg auf je 100 Liter, also sind 2,5 kg in $K_1$ und 7,5 kg in $k_2$.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 262: nilpotente Koeffizientenmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $A$ eine nilpotente reelle $(n\times n)$-Matrix, 
d.h.\ es gilt $A^l=0$ für ein $l\in{\Bbb N}$.\\

Zeigen Sie: \\
Jede Funktion $y_i$ einer Lösung $y=(y_1,\ldots,y_n)$ des 
Differentialgleichungssystem $y'=Ay$ ist
ein Polynom vom Grad $\leq l-1$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 262}}\\
Durch fortlaufende Differentiation der \dgl und Einsetzen erhält man 
\bea
y''&=&Ay' = A^2y\\
y'''&=&Ay'' = A^3y\\
&...&\\
y^{(l)}&=&A^ly\equiv 0,
\eea
d. h. die $l$-te Ableitung der Lösung verschwindet. Deshalb müssen die Komponenten des 
Lösungsvektors Polynome vom Grade $\leq l-1$ sein.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 263: Rang-1-Koeffizientenmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem 
\[
y_i'=\sum_{j=1}^n a_j y_j,\qquad i=1,\ldots,n,\quad a_j=const.
\]
Berechnen Sie die Determinante der zugehörigen Fundamentalmatrix.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 263}}\\
Die Koeffizientenmatrix zu diesem linearen, homogenen \dglsys hat den Rang 1, d. h. $\lambda_1=...=\lambda_{n-1}=0$ 
ist $n-1$-facher Eigenwert. Da die Summe der Eigenwerte gleich der Spur der Matrix ist, ist 
$\lambda_n=\sum_{j=1}^n a_j$ der restliche Eigenwert mit dazugehörigem Eigenvektor $\vec e_n=(1,1,...,1)^\top$.
$n-1$ linear unabhängige Eigenvektoren zu $\lambda_1=...=\lambda_{n-1}=0$ sind z. B.
$$\bma{c}a_2\\-a_1\\0\\0\\...\\0\\0\ema, \bma{c}0\\a_3\\-a_2\\0\\...\\0\\0\ema, \bma{c}0\\0\\a_4\\-a_3\\...\\0\\0\ema, ..., \bma{c}0\\0\\0\\0\\...\\a_n\\-a_{n-1}\ema $$
Für die Determinante $D$ der zugehörigen Fundamentalmatrix gilt daher
$$D=\e^{\sum_{j=1}^n a_j}\det \bma{cccccc}a_2&0&0&...&0&1\\-a_1&a_3&0&...&0&1\\0&-a_2&a_4&...&0&1\\0&0&-a_3&...&0&1\\
...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&a_n&1\\0&0&0&...&-a_{n-1}&1\ema =: \e^{\sum_{j=1}^n a_j}D_n. $$
Entwicklung von $D_n$ nach der letzten Zeile ergibt $D_n=\prod_{k=2}^n\,a_k + a_{n-1}D_{n-1}$.\\
Die sukzessive Anwendung dieser Rekursionsformel führt zu
$$D=\e^{\sum_{j=1}^n a_j}\prod_{k=2}^{n-1}\,a_k\,\sum_{j=1}^n a_j.$$ 
Beweis der expliziten Formel $D_n=\prod_{k=2}^{n-1}\,\sum_{j=1}^{n} a_j$ durch vollständige Induktion:\\
Induktionsanfang: $n=3$%
$$D_3=\det \bma{ccc}a_2 & 0 & 1\\ -a_1 & a_3 & 1\\0 & -a_2 &1\ema = a_2a_3 + a_1a_2 +a_2^2 = a_2(a_1+a_2+a_3).$$
Induktionsschritt: 
$$D_n=\prod_{k=2}^n\,a_k + a_{n-1}D_{n-1}=\prod_{k=2}^n\,a_k + a_{n-1}\prod_{k=2}^{n-2}\,a_k\,\sum_{j=1}^{n-1} a_j
= \prod_{k=2}^{n-1}\,a_k\left ( a_n + \sum_{j=1}^{n-1} a_j\right )=\prod_{k=2}^{n-1}\,a_k\,\sum_{j=1}^{n} a_j.$$



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 264: Schiefsymmetrische Koeffizientenmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, daß eine reelle $(n × n)$-Matrix $A$ genau dann schiefsymmetrisch
ist (d.h. es gilt $A = -A^\top$), wenn alle Lösungen $y = y(x)$ des homogenen Differentialgleichungssystems
$y' = Ay$ einen konstanten (euklidischen) Betrag haben: $y(x)^\top y(x) = const$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 264}}\\
Es ist für eine Lösung $y$ der \dgl $y(x)^\top y(x) = const$ genau dann, wenn
\bea
0 = \frac{d}{dx} y(x)^\top y(x) &=& y'(x)^\top y(x) + y(x)^\top y'(x)\\
&=& (Ay)^\top y + y^\top Ay\\
&=& y^\top A^\top y + y^\top Ay\\
&=& y^\top (A^\top +A) y
\eea

Ist $A$ schiefsymmetrisch, dann ist der letzte Ausdruck gleich Null, also sind alle Lösungen konstant.\\

Sind alle Lösungen konstant, dann natürlich auch alle Fundamentallösungen. Da diese eine Basis des $\Rx{n}$ bilden, kann der letzte Ausdruck nur dann Null sein, wenn $A^\top + A$ die Nullmatrix, also $A$ schiefsymmetrisch ist.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 265: Verhalten im Unendlichen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems
\begin{eqnarray*}
y_1' & = & y_2+y_3,\\
y_2' & = & y_1+y_3,\\
y_3' & = & y_1+y_2.
\end{eqnarray*}
Wie verhalten sich die Lösungen für $x\to\pm\infty$?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 265}}\\

Die Koeffizientenmatrix $\bma{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \ema$ hat die Eigenwerte
$\lambda_1=2, \lambda_2= \lambda_3=-1$ mit den dazugehörigen Eigenvektoren
$$\vec{e}_1=\bma{c} 1\\ 1\\ 1\ema, \vec{e}_2=\bma{c} 1\\ -1\\ 0\ema, \vec{e}_3=\bma{c} 1\\ 0\\ -1\ema.$$
Die allgemeine Lösung lautet also
$$\vec{y}(x)=c_1\bma{c} 1\\ 1\\ 1\ema\e^{2x}+c_2\bma{c} 1\\ -1\\ 0\ema\e^{-x}
+c_3\bma{c} 1\\ 0\\ -1\ema\e^{-x}.$$
Außer für die triviale Lösung $c_1=c_2=c_3=0$
 konvergiert wenigstens eine Komponente der Lösung für $x\rightarrow \pm \infty$ gegen $\pm\infty$.


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Matrixexponentialfunktion }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 266: Anwendung der Rechenregeln
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie
$$\exp \bma{ccc}a & 1 & 1 \\0 & a & 1\\0 & 0 & a\\\ema, a \in \R.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 266}}\\
\underline{1. Variante mit vollständiger Induktion:}\\

Für die ersten vier Potenzen der Matrix im Exponenten gilt, wie man leicht nachrechnet,
$$A=\bma{ccc}a & 1 & 1 \\0 & a & 1\\0 & 0 & a\\\ema, A^2=\bma{ccc}a^2 & 2a & 2a+1 \\0 & a^2 & 2a\\0 & 0 & a^2\\\ema,$$
$$A^3=\bma{ccc}a^3 & 3a^2 & 3a^2+3a \\0 & a^3 & 3a^2\\0 & 0 & a^3\\\ema, A^4=\bma{ccc}a^4 & 4a^3 & 4a^3+6a \\0 & a^4 & 4a^3\\0 & 0 & a^4\\\ema.$$
Dies legt die Vermutung
$$A^n = \bma{ccc}a^n & n\,a^{n-1} & n\,a^{n-1}+\binom{n}{2}\,a^{n-2} \\0 & a^n & n\,a^{n-1}\\0 & 0 & a^n\\\ema$$
nahe, die man durch einen Induktionsschritt leicht bestätigen kann.\\
Damit ist
\bea 
\e^A &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\,\bma{ccc}a^n & n\,a^{n-1} & n\,a^{n-1}+\binom{n}{2}\,a^{n-2} \\0 & a^n & n\,a^{n-1}\\0 & 0 & a^n\\\ema \\
&=& \bma{ccc}\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{n\,a^{n-1}}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{n\,a^{n-1}}{n!}+\sum_{n=0}^\infty \binom{n}{2}\,\frac{a^{n-2}}{n!} \\0 & \sum_{n=0}^\infty a^n & \sum_{n=0}^\infty \frac{n\,a^{n-1}}{n!}\\0 & 0 & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\\\ema\\
&=& \bma{ccc}\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}+\frac12 \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} \\0 & \sum_{n=0}^\infty a^n & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\\0 & 0 & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\\\ema\\
&=& \bma{ccc}\e^a & \e^a & \frac32 \e^a \\0 & \e^a & \e^a\\0 & 0 & \e^a\\\ema= \e^a\,\bma{ccc}1 & 1 & \frac32 \\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\\\ema.\\
\eea
\newpage
\underline{2. Variante mit nilpotenter Matrix:}\\

Zerlege
$$A=A=\bma{ccc}a & 1 & 1 \\0 & a & 1\\0 & 0 & a\\\ema = \bma{ccc}a & 0 & 0 \\0 & a & 0\\0 & 0 & a\\\ema+ \bma{ccc}0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\\ema = a\,E + B.$$
Die Matrix $a\,E$ kommutiert als Vielfache der Einheitsmatrix mit $B$, deshalb gilt die Formel
$$\e^A = \e^{aE+B} = \e^{aE}\,\e^B = \e^a\,E\,\e^B= \e^a\,\e^B.$$
Außerdem ist $B$ nilpotent mit 
$$ B^2 = \bma{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\\ema, B^k = 0 \quad\mbox{für}\quad k>2,$$
also
$$\e^A =\e^a\,(E+B+\frac12 B^2) = \e^a\,\bma{ccc}1 & 1 & \frac32 \\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\\\ema.$$

\underline{3. Variante über die Jordansche Normalform:}\\

Für die Matrix  
$$A=\bma{ccc}a & 1 & 1 \\0 & a & 1\\0 & 0 & a\\\ema$$
ist $a$ Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 3 und den Vektoren
$$\vec{e} = \bma{c}1\\0\\0\\\ema,\ \vec{h}_1 = \bma{c}0\\1\\0\\\ema,\ \vec{h}_2 = \bma{c}0\\-1\\1\\\ema $$
als Eigen- bzw. Hauptvektoren. Mit Hilfe der Matrix $C$ und deren Inverser $C^{-1}$, wobei
$$C=\bma{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\\\ema, C^{-1}=\bma{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\\\ema$$ 
erzeugt man daraus die Jordansche Normalform
$$J = C^{-1}AC = \bma{ccc}a & 1 & 0 \\0 & a & 1\\0 & 0 & a\\\ema.$$
Wie man leicht nachrechnet und durch einen Induktionsschritt beweist bzw. aus der Vorlesung wissen kann ist
$$J^n = \bma{ccc}a^n & n\,a^{n-1} & \binom{n}{2}\,a^{n-2} \\0 & a^n & n\,a^{n-1}\\0 & 0 & a^n\\\ema$$
und somit\bea 
\e^J &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{J^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\,\bma{ccc}a^n & n\,a^{n-1} & \binom{n}{2}\,a^{n-2} \\0 & a^n & n\,a^{n-1}\\0 & 0 & a^n\\\ema \\
&=& \bma{ccc}\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{n\,a^{n-1}}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \binom{n}{2}\,\frac{a^{n-2}}{n!} \\0 & \sum_{n=0}^\infty a^n & \sum_{n=0}^\infty \frac{n\,a^{n-1}}{n!}\\0 & 0 & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\\\ema\\
&=& \bma{ccc}\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} & \frac12 \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} \\0 & \sum_{n=0}^\infty a^n & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\\0 & 0 & \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\\\ema\\
&=& \bma{ccc}\e^a & \e^a & \frac12 \e^a \\0 & \e^a & \e^a\\0 & 0 & \e^a\\\ema= \e^a\,\bma{ccc}1 & 1 & \frac12 \\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\\\ema.\\
\eea
Schließlich ist 
$$\e^A=\e^{CJC^{-1}}=C\e^JC^{-1}=\e^a\,\bma{ccc}1 & 1 & \frac32 \\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\\\ema.$$
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 267: Beispiele für die Matrixexponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die folgenden Werte der Matrizen-Exponentialfunktion:
\[
\mbox{exp}\,\left(\begin{array}{cc}
    3 & 2 \\
    -1 & 1 
    \end{array} \right),\qquad
\mbox{exp}\,\left(\begin{array}{cc}
    x & -y \\
    y &  x 
    \end{array} \right)\quad(x,y\in{\Bbb R}).
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 267}}\\
zu a:)\\
Die Matrix $A=\bma{cc} 3&2\\-1&1\ema$ hat die Eigenwerte $\lambda_{1/2}=2\pm i$ mit den dazugehörigen Eigenvektoren
$\vec{x}_{1/2}=\bma{c} 2\\ -1 \pm i\ema.$ Die Matrizen zur Transformation auf Diagonalgestalt lauten
$$B =\bma{cc}2 & 2 \\ -1 + i &  -1 - i\ema \quad \mbox{ und }\quad B^{-1}={1\over 4}\bma{cc}1-i&-2i\\1+i&2i\ema, $$
d. h. es ist
$$B^{-1}AB=\bma{cc} 2+i&0\\0&2-i\ema$$
und
$$\e^A = B\,\bma{cc} \e^{2+i}&0\\0&\e^{2-i}\ema\,B^{-1} = 
\bma{cc}
\e^2\,(\cos\,1 + \sin\,1)&2\,\e^2\,\sin\,1 \\
-\e^2\,\sin\,1& \e^2\,(\cos\,1 -\sin\,1)
\ema$$\\
\noindent zu b:)\\
Die Matrix $A=\bma{cc} x&-y\\y&x\ema$ hat die Eigenwerte $\lambda_{1/2}=x\pm iy$ mit den dazugehörigen Eigenvektoren
$\vec{x}_{1/2}=\bma{c} 1\\\mp i\ema.$ Die Matrizen zur Transformation auf Diagonalgestalt lauten
$$B =\bma{cc}1&1\\-i&i\ema \quad \mbox{ und }\quad B^{-1}= \frac12\,\bma{cc}1&i\\1&-i\ema, $$
d. h. es ist
$$B^{-1}AB=\bma{cc} x+iy&0\\0&x-iy\ema$$
und
\bea
\e^A &=& B\,\bma{cc} \e^{x+iy}&0\\0&\e^{x-iy}\ema\,B^{-1}\\
& = & \frac12\,\bma{cc}1&1\\-i&i\ema\,\bma{cc} \e^x (\cos y+i\sin y) & 0\\0&\e^x (\cos y-i\sin y)  \ema\,\bma{cc}1&i\\1&-i\ema\\
& = & \frac12\,\bma{cc}1&1\\-i&i\ema\,\bma{cc} \e^x (\cos y+i\sin y) & \e^x (-\sin y+i\cos y) \\\e^x (\cos y-i\sin y) &\e^x (-\sin y-i\cos y)  \ema\\\
&=&\bma{cc}\e^x\,\cos\,y &-\e^x\,\sin\,y \\ \e^x\,\sin\,y& \e^x\,\cos\,y \ema
\eea



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 268: Matrix-Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne die folgenden Matrizen:
\begin{enumerate}
	\item 
	\[ \e^{xA} \quad\text{für}\quad x \in \R \quad\text{und}\quad A =\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}\]
mit beliebigen Parametern $a, b \in \R$.
\item $ \e^A, \e^B, \e^Ae^B, \e^Be^A$ und $\e^{A+B}$ für 
\[A =\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
\quad\text{und}\quad  B =\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 268}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es ist
	\[xA = xaI + B \quad\text{mit}\quad B =\begin{pmatrix}0&xb\\0&0\end{pmatrix}.\]
	Hierbei ist $B$ nilpotent mit $B^2=0$, also $\e^B=I+B$. Da außerdem $xaI$ als Diagonalmatrix mit $B$ kommutiert, gilt
	\[\e^{xA}=\e^{xaI+B}=\e^{xaI}\e^B=\e^{xa}I(I+B)=\e^{xa}\begin{pmatrix}1&xb\\0&1\end{pmatrix}.\]

\item Wie man leicht nachrechnet, ist
\[A^k=\begin{cases}I & \text{für}\quad k=0\\A & \text{für}\quad k>0
\end{cases},\ (A+B)^k=\begin{cases}I & \text{für}\quad k=0\\A+B & \text{für}\quad k>0\end{cases}\quad\text{sowie}\quad B^k=\begin{cases}I & \text{für}\quad k=0\\B & \text{für}\quad k=1\\0 & \text{für}\quad k>1
\end{cases}.\]
Damit ist 
\bea
\e^A&=&\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}=I+A(\e-1)=\begin{pmatrix}\e&0\\0&1\end{pmatrix}\\
\e^B&=&\sum_{k=0}^\infty\frac{B^k}{k!}=I+B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\\
\e^{A+B}&=&\sum_{k=0}^\infty\frac{(A+B)^k}{k!}=I+(A+B)(\e-1)=\begin{pmatrix}\e&\e-1\\0&1\end{pmatrix}\\
\e^A\e^B&=&\begin{pmatrix}\e&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\e&\e\\0&1\end{pmatrix}\\
\e^B\e^A&=&\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\e&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\e&1\\0&1\end{pmatrix}\\
\eea
\end{enumerate}
Wie man sieht, sind die letzten drei Matrizen paarweise verschieden. Das ist auch kein Wunder, denn $A$ und $B$ kommutieren nicht:
\[AB=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=B\neq 0= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=BA.\]

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 269: Nilpotenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie: Ist $A$ eine nilpotente, komplexe $(n\times n)$-Matrix
mit $A^{l+1}=0$, $l\in{\mathbb N}$, so gilt:
\[
E-A=\mbox{exp}\,\left(-A-\frac{A^2}{2}-\frac{A^3}{3}-\ldots
-\frac{A^l}{l}\right).
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 269}}\\
Wir beweisen zunächst, dass die aus der reellen Analysis bekannte Ableitungsregel auch für die Matrix-Exponentialfunktion gilt. Sei dazu $f(t), t\in \R$ eine matrixwertige, differentierbare Funktion. Dann ist
\bea
\Delta(h)&:=&\e^{f(t+h)}-\e^{f(t)}=\left ( \e^{f(t+h)-f(t)} -1) \right )\,\e^{f(t)}\\
& =&\left ( \sum_{n=1}^\infty \frac{(f(t+h)-f(t))^n}{n!}) \right )\,\e^{f(t)} \quad\mbox{bzw}\\  
\frac{\Delta(h)}{h} &=& \left ( \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\,\sum_{n=0}^\infty \frac{(f(t+h)-f(t))^n}{n!}) \right )\,\e^{f(t)}.\\
\eea
Wegen der vorausgesetzten Differnzierbarkeit und damit auch Stetigkeit von $f$ erhält man beim Grenzübergang $h\rightarrow 0$
$$\frac{d}{dt}\e^{f(t)} = f'(t)\,\e^{f(t)}.$$

Nun können wir die obige Aussage leicht beweisen.\\

\proof
Man betrachte die matrixwertigen Funktionen 
$$f(t):=\sum_{k=1}^l\,\frac{(tA)^k}{k}\qquad\mbox{und}\qquad F(t):=(E-tA)\,\e^{f(t)}.$$
Dann ist, da alle Matrizen permutieren, 
\bea
f'(t)&=&A\,\sum_{k=1}^l\,(tA)^{k-1}\\
F'(t)&=&-A\,\e^{f(t)}+(E-tA)\,f'(t)\,\e^{f(t)}\\
&=&\left (-A + f'(t) - tA\,f'(t)\right )\,\e^{f(t)}\\
&=&\left (-A + A\,\sum_{k=1}^l\,(tA)^{k-1} - A\,\sum_{k=1}^l\,(tA)^{k}\right )\,\e^{f(t)}\\
&=&(tA)^{l+1}\,\e^{f(t)}=0,\\
\eea
d. h. $F(t)$ ist konstant, d. h.
$$(E-A)\,\e^{\sum_{k=0}^l\,\frac{A^k}{k}}=F(1)=F(0)=E.$$
Multipliziert man die letzte Gleichung mit $\e^{-f(1)}$, dann erhält man die Behauptung.\endproof



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 270: Positive Matrizen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Genau dann sind die Elemente von $\e^{xA}$ ($A = (a_{ij})$ reelle $(n \times n)$-Matrix) für alle $x \geq 0 $ nichtnegativ, wenn für die Elemente $a_{ij}$ von $A$ gilt: $a_{ij} \geq 0$ für $i \neq j$ .\\
Hinweis: Für hinreichend großes $\alpha \in \R$ sind die Elemente von $A + \alpha E$ alle $\geq 0$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 270}}\\
Da $E$ mit $A$ kommutiert, gilt für alle $\alpha \in \R$
	\[\e^{x(A+\alpha E)} = \e^{xA} \e^{x\alpha E} = \e^{xA} \e^{x\alpha} E = \e^{x\alpha} \e^{xA} .\]
	Wegen $\e^{x\alpha} > 0 $ hat $\e^{x(A+\alpha E)}$ genau dann nur nichtnegative Einträge, wenn dies bei $\e^{xA}$ so ist.
		
$(\Rightarrow)$: 		Sei nun $A$ eine Matrix, die höchstens auf der Hauptdiagonalen nichtnegative Einträge hat. Dann gibt es ein hinreichend großes $\alpha \in \R$, so dass $A+\alpha E$ nur nichtnegative Einträge hat. Damit haben auch alle Potenzen von $A+\alpha E$ und $\e^{x(A+\alpha E)}$ nichtnegative Einträge. Nach der obigen Rechnung hat dann aber auch $\e^{xA}$ nur nichtnegative Einträge.
		
$(\Leftarrow)$: 		Habe andererseits $\e^{xA}$ nur nichtnegative Einträge ...


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 271: Rechenregeln für die Matrixexponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $A$, $B$ komplexe $(n\times n)$-Matrizen mit $AB=BA$
(d.h.\ die Matrizen sind vertauschbar). Zeige Sie die folgenden
Rechenregeln für die Matrizen-Exponentialfunk\-tion:\\
a)\quad $\e^A\,\e^B=\e^B\,\e^A$, \\
b)\quad $\e^{A+B}=\e^A\,\e^B$.\\
Zusatzaufgabe: Geben Sie Gegenbeispiele zu a), b) an, falls die 
Bedingung der Vertauschbarkeit verletzt ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 271}}\\
zu b):\\
Nach Cauchyscher Produktformel ist 
\bea
\e^A\e^B&=&\sum_{k=0}^\infty {1\over k!}A^k \sum_{k=0}^\infty {1\over k!}B^k =\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}A^k B^{n-k}\\ &=&\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\sum_{k=0}^n \bma{c}n\\k\ema A^k B^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty {1\over n!}(A+B)^n = \e^{A+B}.\eea
Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt nur, weil $A$ und $B$ kommutieren.

zu a):\\
Wegen der Kommutativität der Matrizenaddition folgt a) sofort aus b).

Gegenbeispiel: 

Sei $A=\bma{cc}1&1\\0&1\ema$ und $B\bma{cc}2&0\\0&1\ema$. Dann ist
$$ AB=\bma{cc}2&1\\0&1\ema \neq BA=\bma{cc}2&2\\0&1\ema.$$
Weiterhin ist 
$$ A^n=\bma{cc}1&n\\0&1\ema\qquad\mbox{und}\qquad \e^A=\bma{cc}e&e\\0&e\ema \qquad\mbox{sowie}\qquad 
\e^B=\bma{cc}\e^2&0\\0&\e\ema,$$
wobei noch
$$ \e^A\e^B=\bma{cc}\e^3&\e^2\\0&\e^2\ema \neq \e^B\e^A=\bma{cc}\e^3&\e^3\\0&\e^2\ema.$$
d. h. die Aussage ist i. a. nicht richtig.


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 272: Umkehrfunktion zur Matrix-Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie eine komplexe $(2\times 2)$-Matrix $C$ mit
\[
\left(\begin{array}{cc}
    1 & 4 \\
    1 & 1 
 \end{array} \right)
=\e^C.
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 272}}\\
Die Matrix $A=\bma{cc}
    1 & 4 \\
    1 & 1 \ema$ hat die Eigenwerte $\lambda_1=3$ und $\lambda_2=-1$ mit den zugehörigen Eigenvektoren 
$\vec{x}_1=(2, 1)^T$ und $\vec{x}_1=(2, -1)^T$, d. h. mit 
$$B=\bma{cc} 2 & 2 \\ 1 & -1 \ema\quad\mbox{ ist }\quad B^{-1}={1\over 4}\bma{cc} 1 & 2 \\ 1 & -2 \ema$$
und
$$\bma{cc}3&0\\0&-1\ema=B^{-1}AB=B^{-1}\e^C B=\e^{B^{-1}C B},$$
d. h. 
$$\bma{cc}\ln 3&0\\0&\ln(-1)\ema=\bma{cc}\ln 3&0\\0&i\pi\ema={B^{-1}C B},$$
bzw. 
$$C =B\,\bma{cc}\ln 3&0\\0&i\pi\ema\,B^{-1}=\frac{\ln 3}{4}\,\bma{cc}2&4\\1&2\ema+i\,\frac{\pi}{4}\,\bma{cc}2&-4\\-1&2\ema.$$



% Ende der Lösung
\newpage
\section{ nichtkonstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 273: Zurückführung auf Gleichung 2. Ordnung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei das lineare Differentialgleichungssystem 
\[
Y'=A(x)Y+b(x)\quad\mbox{mit}\quad
A(x)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\ -\frac{2}{x^2} & \frac{2}{x}
\end{array}\right),\;
b(x)=\left(\begin{array}{c} x^4\\x^3
\end{array}\right)\qquad(x>0)
\]
für zwei gesuchte Funktionen $Y=(y_1,y_2)^\top$ gegeben. Bestimmen Sie 
die Lösung mit den Anfangswerten $Y(2)=(1,4)^\top$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 273}}\\
Differenziert man die erste Gleichung nochmal nach $x$ und setzt die erste Gleichung und deren Ableitung in die zweite 
ein, dann erhält man die inhomogenen \dgl zweiter Ordnung
$$y_1'' -4x^3= -\frac{2}{x^2}y_1 + \frac{2}{x}(y_1' - x^4) + x^3$$
bzw.
$$y_1'' - \frac{2}{x}y_1' + \frac{2}{x^2}y_1 = 3x^3 .$$
Mit dem Ansatz $y_1(x) = ax^5 + bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ wird daraus
$$20ax^3+12bx^2+6cx+2d -\frac{2}{x}(5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e)+\frac{2}{x^2}(ax^5 + bx^4+cx^3+dx^2+ex+f) =3x^3 .$$
Koeffizientenvergleich ergibt:
\bea
20a-10a+2a=3 &\Longrightarrow & a={1\over 4}\\
12b-8b+2b=0 &\Longrightarrow & b=0\\
6c-6c+2c=0 &\Longrightarrow & c=0\\
2d-4d+2d=0 &\Longrightarrow & d \mbox{ beliebig}\\
-2e+2e=0 &\Longrightarrow & e \mbox{ beliebig}\\
2f=0 &\Longrightarrow & f=0,
\eea
also $y_1(x) = {1\over 4}x^5 +dx^2+ex$.\\ 
Aus der ersten Gleichung folgt dann 
$y_2(x)={5\over 4}x^4 +2dx+e-x^4$\\
bzw. $y_2(x)={1\over 4}x^4 +2dx+e$.\\
Das Anfangswertproblem ergibt schließlich
$8+4d+2e=1$ und $4+4d+e=4$, woraus $d=\frac74$ und $e=-7$ folgt.\\
Das \dglsys hat die Lösung $\bma{ccc} y_1(x) &=& {1\over 4}x^5 + \frac74 x^2-7x\\
y_2(x)&=& -{1\over 4}x^4 +\frac72 x-7\ema$.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 274: konstante Differenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei das Differentialgleichungssystem
\[
y_1'=\frac{y_1}{x}-2\frac{y_2}{x}+1,\qquad
y_2'=\frac{y_1}{x}-2\frac{y_2}{x}+x
\qquad (x>0)
\]
gegeben. Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für das 
homogene System. Lösen Sie das Anfangswertproblem für das inhomogene
System mit den Anfangswerten $y_1(1)=1$, $y_2(1)=1$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 274}}\\
Aus der Differenz beider \dgls des homogenen Systems gewinnt man $y_1' - y_2' =0$,
d. h. $y_1 = y_2 +c$. Setzt man dies wieder in das \dglsys ein, so erhält man aus der
zweiten Gleichung $y_2'=-\frac{y_2}{x}+{c\over x}$. Dies ist eine lineare, inhomogene \dgl
für $y_2$ mit der Lösung $y_2(x)={k\over x}+c$. (Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann
man erraten. Aus $y_1 = y_2 +c$ folgt
$y_1(x)={k\over x}+2c$. Als Lösung des homogenen \dglsys
erhält man also 
$$\bma{c} y_1(x)\\y_2(x)\ema=\bma{c}{k\over x}+2c\\ {k\over x}+c\ema
=k \bma{c} {1\over x}\\{1\over x}\ema + c\bma{c} 2\\1 \ema.$$
Ein Fundamentalsystem des homogenen \dglsys ist also 
$$\left \{ \bma{c} {1\over x}\\{1\over x}\ema 
\bma{c} 2\\1\ema \right \}.$$

Wendet man das gleiche Verfahren auf das inhomogene \dglsys an, so ergibt sich analog
$y_1 = y_2 +x -{x^2\over 2}+c$ sowie $y_2'=-\frac{y_2}{x}+1+{1\over 2}x+{c\over x}$, diese
hat die Lösung $y_2(x)= {k\over x}+{x\over 2}+{x^2\over 6}+c$. Aus der obigen Gleichung folgt
noch 
$y_1(x)={k\over x}+{3x\over 2}-{x^2\over 3}+2c$.
Als allgemeine Lösung des inhomogenen \dglsys
erhält man nun
$$\bma{c} y_1(x)\\y_2(x)\ema=\bma{c}{k\over x}+{3x\over 2}-{x^2\over 3}+2c\\
{k\over x}+{x\over 2}+{x^2\over 6}+c\ema
=k \bma{c} {1\over x}\\{1\over x}\ema + c\bma{c} 2\\1 \ema+
\bma{c} {3x\over 2}-{x^2\over 3}\\{x\over 2}+{x^2\over 6}\ema.$$
Es wäre auch möglich, die spezielle Lösung des inhomogenen Systems durch Erraten oder durch Variation der
Konstanten $k$ und $c$ zu gewinnen.\\
Aus dem \awp\ gewinnt man noch $k=\frac56$ und $c=-\frac12$.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 275: Lineares DGL-System  und Matrix-Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die Funktionen $f = f(x), g = g(x)$ seien in einem Intervall $[a, b]$ stetig.
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für das folgende Differentialgleichungssystem:
\bea
y'_1 &=& f(x)y_1 - g(x)y_2,\\
y'_2 &=& g(x)y_1 + f(x)y_2.\\
\eea

Hinweis: Benutze die bereits an anderer Stelle bewiesene Beziehung
$$A=\bma{cc} u&-v\\v&u\ema \Longrightarrow\e^A =  
\bma{cc}
\e^u\,\cos\,v &-\e^u\,\sin\,v \\
\e^u\,\sin\,v& \e^u\,\cos\,v 
\ema$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 275}}\\

Analog zu der Lösung $y(x) = y_0\e^{\int_{x_0}^x\,a(t)\,dt}$ der einfachen linearen homogenen \dgl $y'=a(x)y$ versuchen wir den Ansatz
$$\vec{y} = \e^{\int_{x_0}^x\,A(t)\,dt}\vec{y}_0\ \quad\mbox{mit}\quad A(x)=\bma{cc} f(x) & -g(x)\\ g(x) & f(x)\\\ema. $$
Dazu seien $x_0, x \in [a,b]$ sowie
$$ F(x) = \int_{x_0}^x\,f(t)\,dt, \ G(x) = \int_{x_0}^x\,g(t)\,dt \quad\mbox{mit}\quad B(x)=\bma{cc} F(x) & -G(x)\\ G(x) & F(x)\\\ema. $$ 
Setzt man nun in der angegebenen Formel $u=F(x)$ und $v=G(x)$, so führt der Ansatz auf
$$\vec{y} = \bma{cc}
\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)} &-\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)} \\
\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)}& \e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)} \\
\ema \,\vec{y}_0$$
d.~h. auf die Fundamentallösungen
$$\vec{y}_1=\bma{c}y_{11}\\y_{12}\\\ema = \bma{c}\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\\
\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)}\\\ema
 \quad\mbox{und}\quad
\vec{y}_2=\bma{c}y_{21}\\y_{22}\\\ema =\bma{c}-\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)} \\
\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\\\ema.$$
In der Tat ist nämlich
$$\vec{y'}_1 = \bma{c}\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\,f(x) -\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)}\,g(x)\\
\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)}\,f(x)+\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\,g(x)\\\ema = \bma{cc} f(x) & -g(x)\\ g(x) & f(x)\\\ema \bma{c}\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\\
\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)}\\\ema = A(x)\,\vec{y}_1$$
und
$$\vec{y'}_2=\bma{c}-\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)}\,f(x) - \e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\,g(x)\\
\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\,f(x) -\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)}\,g(x)\\\ema=\bma{cc} f(x) & -g(x)\\ g(x) & f(x)\\\ema\bma{c}-\e^{F(x)}\,\sin\,{G(x)} \\
\e^{F(x)}\,\cos\,{G(x)}\\\ema= A(x)\,\vec{y}_2.$$
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 276: Spezielle Lösung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie eine spezielle Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems
\[ y'_1 = 2xy_2 + \cos x^2,\quad  y'_2 =  -2xy_1 - \sin x^2 .\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 276}}\\
Der Ansatz
	\[y_1(x) = (a x+b) \sin x^2 + (c x+d) \cos x^2, \quad y_2(x) = (e x+f) \sin x^2 + (g x+h) \cos x^2\]
	führt bei Einsetzen in das \dglsys\ auf
	\bea
	a \sin x^2 +2x  (a x+b) \cos x^2 + c \cos x^2 -2x(c x+d) \sin x^2 &=& 2x ((e x+f) \sin x^2 + (g x+h) \cos x^2) +\cos x^2\\
	e \sin x^2 +2x  (e x+f) \cos x^2 + g \cos x^2 -2x(g x+h) \sin x^2 &=& -2x ((a x+b) \sin x^2 + (c x+d) \cos x^2) -\sin x^2\\
	\eea
	und Koeffizientenvergleich ergibt das lineare Gleichungssystem
	
	\begin{tabular}{c|rcl|rcl}
	Koeffizient vor &&\\
	\hline
	$\sin x^2$ & a &=& 0 & e &=& 1\\
	$x \sin x^2$ & -2d &=& 2f & -2h &=& -2b\\
	$x^2 \sin x^2$ & -2c &=& 2e & -2g &=& -2a\\
	$\cos x^2$ & c &=& 1 & g &=& 0\\
	$x \cos x^2$ & 2b &=& 2h & 2f &=& -2d\\
	$ x^2 \cos x^2$ & 2a &=& 2g & 2e &=& -2c\\
	\end{tabular}
	
	mit der Lösung $a=g=0,\ c=1,\ e= -1,\ b=h,\ d=-f$, wobei die letzten beiden Werte beliebig gewählt werden können. Wählt man diese gleich Null, so erhält man
	\[y_1(x) = x \cos x^2, \quad y_2(x) = -x \sin x^2,\]
	was man durch eine Probe leicht bestätigen kann.


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Trajektorien }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 277: Trajektorien - Theorie und Beispiele
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\emph{Orthogonale Trajektorien} einer gegebenen ebenen Kurvenschar sind Kurven,
die die gegebene Schar in jedem Punkt senkrecht schneiden. So sind z. B. die
Äquipotentiallinien orthogonale Trajektorien zu den Feldlinien eines Kraftfeldes. Allgemeiner
sind isogonale Trajektorien Kurven, die die gegebene Schar unter einem festen Winkel $\alpha
\in [0; \pi/2]$ schneiden; i. allg. gibt es jeweils zwei Scharen isogonaler Trajektorien zum
Schnittwinkel $\alpha$.
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie eine Differentialgleichung für die orthgogonalen Trajektorien zu einer
Kurvenschar, die in der impliziten Form $F(x, y, c) = 0,\ c \in \R$ gegeben ist.
\item Bestimmen Sie die isogonalen Trajektorien mit dem Schnittwinkel $\alpha$ zur Geradenschar
$y = cx,\ c \in \R$.
\item Bestimmen Sie die orthogonalen Trajectorien zur Ellipsenschar $x^2 + 2y^2= c^2,\ c \in \R$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 277}}\\
\begin{enumerate}
	\item Differenziert man die Schargleichung total nach $x$, so erhält man 
	\[ F_x(x,y,c) + F_y(x,y,c) y'(x,c) = 0.\]
	Die gesuchte \dgl\ lautet deshalb
	\[ F_y(x,y,c) - F_x(x,y,c) y'(x,c) = 0,\]
	wobei man $c$ aus dieser und der Schargleichung noch eliminieren muss.
	\item Durch Differenzieren erhält man die zugehörige \dgl\
	\[y' = c = \frac{y}{x} = \tan \beta.\]
	Für Kurven $z(x)$, die die gegebene Schar unter dem Winkel $\alpha$ schneiden, gilt dann
	\[z'(x) = \tan \gamma = \tan(\beta \pm \alpha) = \frac{\tan \beta \pm \tan \alpha}{1 \mp \tan\beta \tan\alpha}=  \frac{\frac{z}{x} \pm a}{1 \mp a\frac{z}{x}} ,\quad a:=\tan\alpha.\]
	Dies ist eine Euler-homogene \dgl\ für $z$, wir substituieren also $z(x)=x u(x)$ und erhalten
	\bea
	u+xu' &=& \frac{u \pm a}{1 \mp au}\\
xu' &=& \frac{u \pm a -u \pm au^2}{1 \mp au} = \pm a \frac{1+u^2}{1 \mp au} \\
\ln |x|+ k &=& \frac{\pm 1}{a}\int \frac{1 \mp au}{1+u^2} = \frac{\pm 1}{a} \arctan u + \ln \sqrt{1+u^2}\\
Kx &=& \e^{\frac{\pm 1}{a} \arctan \frac{z}{x}}  + \sqrt{1+\frac{z^2}{x^2}}\\
Kx^2 &=& x\e^{\frac{\pm 1}{a} \arctan \frac{z}{x}}  + \sqrt{x^2+z^2}\\
	\eea
	Dies kann man nicht nach $z$ oder $x$ auflösen und muss es deshalb so als explizite Lösung stehen lassen.
	\item Durch Differenzieren ehält man $2x+4yy'=0$, also ist 
	\[y'=-\frac{x}{2y}\]
	die Differentialgleichung der Schar. Die Orthogonale Schar hat dann die \dgl\ 
	\[z' = \frac{2z}{x}\]
	mit der allgemeinen Lösung $z(x) = kx^2$, die man leicht durch Trennung der Variablen erhält. 
\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Lineare Algebra }
\chapter{ Binomialkoeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 278: Primzahltest
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $n \in \N$, $n \ge 2$. Zeigen Sie:

$n$ ist Primzahl genau dann, wenn $n$ Teiler von $\binom{n}{i}$ ist für alle $i=1,\dots,n-1$. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 278}}\\
\begin{description}
	\item[($\Rightarrow$):] Sei $n$ Primzahl und $i \in \{1,\dots,n-1\}$. Dann ist $n$ teilerfremd zu allen $j=1,\dots,i$ und auch zu deren Produkt $i!$.
	
Andererseits ist offensichtlich 
$$n \mid n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot (n-i+1) = i!\cdot \binom{n}{i}.$$
Da aber $n\nmid i!$, muss $n \mid \binom{n}{i}$ sein.
	\item[($\Leftarrow$):] 
Es gelte nun umgekehrt $n \mid \binom{n}{i}$ für alle $i=1,\dots,n-1$. Angenommen, $n$ ist keine Primzahl, dann gibt es eine Prinzahl $i\in \{2,\dots,n-1\}$ mit $i \mid n$, d.~h. $n=i\cdot p$ für ein $1<p \in \N$. 

Andererseits ist nach Voraussetzung $n\mid \binom{n}{i}$, also $\binom{n}{i}=n\cdot q$ für ein $1<q \in \N$. Insgesamt würde folgen
\bea
i\cdot p\cdot q &=& \binom{n}{i}=\frac{n}{i}\cdot\binom{n-1}{i-1}= p\cdot \binom{n-1}{i-1}\\
i\cdot q &=& \binom{n-1}{i-1} \qquad\mbox{bzw.}\\
i &\mid & \binom{n-1}{i-1}=\frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-i+1)}{(i-1)!} \qquad\mbox{d.~h.}\\
i & \mid &(n-1)(n-2)\ldots(n-i+1)\\
\eea
Das ist unmöglich, denn da bereits $i$ ein Teiler von $n$ ist, sind die $i-1$ Vorgänger von $n$ und auch deren Produkt nicht durch $i$ teilbar.  
\end{description}

% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Lineare Gleichungssysteme }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 279: vollsymetrisches System
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $a,b,c \in \Q$ mit $a+b+c \ne 0$. Zeigen Sie, dass das homogene lineare Gleichungssystem
\[\begin{array}{rcrcrcrcrcrc}
a\,x_1 & + & b\,x_2 & + & c\,x_3 &   &      &   &      & = & 0\\
     &   & a\,x_2 & + & b\,x_3 & + & c\,x_4 &   &      & = & 0\\
     &   &      &   & a\,x_3 & + & b\,x_4 & + & c\,x_5 & = & 0\\
c\,x_1 &   &      &   &      & + & a\,x_4 & + & b\,x_5 & = & 0\\
b\,x_1 & + & c\,x_2 &   &      &   &      & + & a\,x_5 & = & 0
\end{array}\]
($x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ Unbestimmte) nur die triviale Nulllösung besitzt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 279}}\\

Wir bemerken zu Anfang, dass wegen der vollen Symmetrie dieses Gleichungssystems sowohl alle Variablen $x_1$ bis $x_5$ untereinander als auch alle Koeffizienten $a, b, c$ untereinander völlig gleichberechtigt sind. Einerseits findet man zu jeder Permutation der Variablenindizes eine Umordnung der Gleichungen, so dass das entstehende lineare Gleichungssystem mit dem Ausgangssystem übereinstimmt. Hieraus folgt insbesondere, dass für jede Lösung $(x_1, x_2, x_3,x_4,x_5)$ des Gleichungssystems auch $(x_2, x_3,x_4,x_5,x_1)$ eine Lösung ist. Andererseits gilt dies auch für eine Permutation der Bezeichnungen der Koeffizienten.\\

Angenommen, es wären genau zwei der Koeffizienten gleich Null. Wegen der vollständigen Symmetrie dürfen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annnehmen, dass $a\neq0$ und $b=c=0$ ist. Dann folgt aber sofort $x_1= x_2= x_3=x_4=x_5=0$.\\

Seien nun - wieder ohne Einschränkung der Allgemeinheit - $a\neq 0 \neq b$ und $c=0$. Dann folgte aus der ersten Gleichung $x_1=-\frac{b}{a}x_2$, aus der zweiten $x_2=-\frac{b}{a}x_3$ usw. und durch sukzessives Einsetzen erhielte man $x_i=\left(-\frac{b}{a}\right)^5x_i, i=1,\ldots,5$. Eine nichttriviale Lösung kann es nur geben, wenn $-\frac{b}{a}=1$, also $a+b=0$ ist. Wegen $c=0$ wäre dann auch $a+b+c=0$ im Widerspruch zur Voraussetzung.\\

Wir können nun also davon ausgehen, dass nichttriviale Lösungen nur dann auftreten können, wenn alle drei Koeffizienten $a, b, c$ von Null verschieden sind. Insbesondere dürfen wir im Bedarfsfalle durch jeden der Koeffizenten teilen.\\ 

Wir teilen nun - wieder ohne Einschränkung der Allgemeinheit - alle Gleichungen des Systems durch $a$ und nennen die neuen Koeffizienten $\frac{b}{a}$ bzw. $\frac{c}{a}$ der Einfachheit halber wieder $b$ bzw. $c$. Diese sind dann natürlich ebenfalls verschieden von Null, außerdem ist nun auch $1+b+c\neq 0$. Unser lineares Gleichungssystem
hat nun die Koeffizentenmatrix 

$$\bma{ccccc}
1 & b & c & 0 & 0\\
0 & 1 & b & c & 0\\
0 & 0 & 1 & b & c\\
c & 0 & 0 & 1 & b\\
b & c & 0 & 0 & 1\\
\ema,$$
deren Rang wir jetzt bestimmen.\\

Dazu subtrahiert man zunächst das $c$-fache der ersten Gleichung von der vierten und das $b$-fache der ersten Gleichung von der fünften und erhält

$$\bma{ccccc}
1 & b & c & 0 & 0\\
0 & 1 & b & c & 0\\
0 & 0 & 1 & b & c\\
0 & -cb & -c^2 & 1 & b\\
0 & c-b^2 & -cb & 0 & 1\\
\ema.$$


Nun addiert man das $cb$-fache der zweiten Gleichung zur vierten und das $(b^2-c)$-fache der zweiten Gleichung zur fünften:

$$\bma{ccccc}
1 & b & c & 0 & 0\\
0 & 1 & b & c & 0\\
0 & 0 & 1 & b & c\\
0 & 0 & -c^2+cb^2 & 1+c^2b & b\\
0 & 0 & -2cb+b^3 & b^2c-c^2 & 1\\
\ema.$$

Schließlich subtrahiert man noch das $(cb^2-c^2)$-fache der dritten Gleichung von der vierten und das $(b^3-2cb)$-fache der dritten Gleichung von der fünften und erhält

$$\bma{ccccc}
1 & b & c & 0 & 0\\
0 & 1 & b & c & 0\\
0 & 0 & 1 & b & c\\
0 & 0 & 0 & 1+2c^2b-cb^3 & b+c^3-c^2b^2\\
0 & 0 & 0 & 3b^2c-c^2 -b^4& 1+2c^2b-cb^3\\
\ema.$$

Offensichtlich ist der Rang mindestens drei, er ist genau drei wenn gilt
\begin{align}
	1+2c^2b-cb^3=0\\
	b+c^3-c^2b^2=0\\
	3b^2c-c^2 -b^4=0.
\end{align}
Addiert man nun das $2b$-fache der Gleichung (3) zu (1), dann erhält man 
$$ 1+5b^3c-2b^5=0\qquad\mbox{bzw.}\qquad c=\frac{2b^5-1}{5b^3}.$$
Dies setzt man nun in (1) und (2) ein und erhält mit $b^5=q$
\begin{align}
	b^{10}-11b^5-1=0 & & q^2-11q-1=0\\
	12b^{15}-133b^{10}-b^5+1=0 & & 12q^3-133q^2-q+1=0.
\end{align}
Wegen $12q^3-133q^2-q+1=(q^2-11q-1)(12q-1)$ sind die beiden Lösungen $q_{1/2}=\frac{11\pm5\sqrt{5}}{2}$ der quadratischen Gleichung in (4) auch Lösungen der kubischen Gleichung in (5), d.~h. für die reellen Werte $q_{1/2}$ bzw. die dazugehörigen reellen $b_{1/2}$ können durchaus alle vier Werte in den letzten beiden Zeilen und Spalten der Koeffizientenmatrix gleichzeitig verschwinden und $x_4 \neq 0 \neq x_5$ beliebig gewählt werden. Für rationale $q$ bzw. $b$ ist dies allerdings nicht möglich, d.h. der Rang der Koeffizientenmatrix muss mindestens 4 sein.\\

Daraus folgt nun, dass der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems höchstens eindimensional ist, d.~h. jede nichttriviale Lösung ist ein Vielfaches jeder anderen nichttrivialen Lösung. Da mit $(x_1, x_2, x_3,x_4,x_5)$ auch $(x_2, x_3,x_4,x_5,x_1)$ Lösung ist, muss für ein rationales $t$ 
$$x_1=tx_2= t^2x_3 = t^3x_4=t^4x_5=t^5x_1$$
gelten, was nur für $t=1$ möglich ist. Dann wäre aber $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=:x$ und jede der Gleichungen des Systems würde $(1+b+c)x=0$ lauten. Wegen der Voraussetzung $a+b+c\neq 0$ folgt daraus aber wieder $x=0$, d. h. es gibt nur die triviale Lösung.

 
% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Matrizen }
\section{ Eigenvwerte und -vektoren }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 280: Diagonalisierbarkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, dass der durch $T \mathbf{e}_1 = 0,\ T \mathbf{e}_k = \mathbf{e}_{k -1},\ (k = 2,\ldots, n)$, gegebene Operator $T \in \mathcal{L}(\R^n)$ nicht diagonalisierbar ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 280}}\\
\begin{description}
	\item[1. Lösung] Offensichtlich ist $\spanset{\mathbf{e}_1} = \ker{T}$ gleichzeitig der Eigenraum zum Eigenwert 0, d.~h. 0 ist Eigenwert mit der geometrischen Vielfachheit 1. \\
	Betrachtet man andererseits die Eigenwertgleichung
\bea
0 &=& (T-\lambda I)\sum_{k=1}^n a_k\mathbf{e}_k = \sum_{k=1}^n a_kT\mathbf{e}_k -\lambda \sum_{k=1}^n a_k\mathbf{e}_k\\
&=& \sum_{k=2}^{n} a_k\mathbf{e}_{k-1} -\lambda \sum_{k=1}^n a_k\mathbf{e}_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}\mathbf{e}_{k} -\lambda \sum_{k=1}^n a_k\mathbf{e}_k\\
&=& \sum_{k=1}^{n-1} \rkl{a_{k+1}-\lambda a_k}\mathbf{e}_{k}
\eea 
Aus der linearen Unabhängigkeit der $\mathbf{e}_k$ folgt nun
\[\lambda a_n=0, \ \lambda a_k= a_{k+1},\ k=n-1,\ldots,1,\]
woraus entweder $a_k=0$ für alle $k=1,\ldots,n$ oder $\lambda=0$ folgt.\\
Es gibt also nur den Eigenwert 0, der dann die algebraische Vielfachheit $n$ haben muss, aber keine $n$ Eigenvektoren, aus denen man eine Basis bilden könnte. Deswegen kann $T$ nicht diagonalisierbar sein.

	\item[2. Lösung] Man betrachte die zu $T$ und der Basis $\mathcal{B}=\set{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n}$ gehörige Matrix 
\[M_{\mathcal{B}}(T) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1\\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots &0\\\end{pmatrix}.\]
Offensichtlich ist $\det\rkl{M_{\mathcal{B}}(T)-\lambda I} = (-\lambda)^n$, also $\lambda=0$ einziger Eigenwert von $M_{\mathcal{B}}(T)$, und zwar mit der algebraischen Vielfachheit $n$.\\
Andererseits hat die Matrix $M_{\mathcal{B}}(T)$ den Rang $n-1$, denn sie besitzt eine nichtverschwindende Unterdeterminante der Ordnung $n-1$ in der rechten oberen Ecke. Der Eigenraum zum Eigenwert 0 hat also die Dimension 1. Man erhält also nur einen Eigenvektor. Aus dem kann man aber keine Basis bilden und somit $M_{\mathcal{B}}(T)$ auch nicht diagonalisieren.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 281: Transformation auf Diagonalgestalt
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Finden Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 5\\\end{pmatrix}.\]
	\item Bestimmen Sie die Transformationsmatrix, die $A$ in Diagonalgestalt überführt.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 281}}\\
\begin{enumerate}
	\item Die charakteristische Gleichung lautet\footnote{Vor $\lambda^k$ steht jeweils die Summe der Hauptminoren $(3-k)$-ter Ordnung.}
\[0= \lambda^3-\text{Spur}(A)\cdot\lambda^2+\rkl{ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4\\\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5\\\end{vmatrix} +\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 5\\\end{vmatrix}}\cdot \lambda - \begin{vmatrix} 3 & 2& 0 \\ 2 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 5\\\end{vmatrix} =\lambda^3 -12\lambda^2+39\lambda - 28.\]
Wie man leicht sieht, ist $\lambda=1$ eine Lösung. Außerdem gilt
\[\lambda^3 -12\lambda^2+39\lambda - 28 = \lambda^3 -\lambda^2 -11\lambda^2+11\lambda+28\lambda - 28= (\lambda-1)(\lambda^2-11\lambda +28)=(\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda-7).\]
Die letzte Zerlegung folgt leicht aus dem Vietaschen Wurzelsatz. Also sind
\[\lambda_1=1,\ \lambda_2=4\quad\text{und}\quad \lambda_3=7\]
die Eigenwerte von $A$. Zur Bestimmung der zugehörigen Eigenvektoren $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$ sind die homogenen Gleichungssysteme $(A-\lambda_k I)v_k=0,\ k=1,2,3$ zu lösen, also
\[\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\ 2 & 3 & 2\\ 0 & 2 & 4\\\end{pmatrix} \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\	
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1\\\end{pmatrix} \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\	
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix} -4 & 2 & 0\\ 2 & -3 & 2\\ 0 & 2 & -2\\\end{pmatrix} \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\	
\end{pmatrix}. \]
Daraus erhält man z. B. die Lösungen
\[ \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix} \quad  \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\\\end{pmatrix} \quad  \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}1\\2\\2\\\end{pmatrix} .\]
\item Demzufolge ist die Transformationsmatrix die Matrix
\[ T=\begin{pmatrix}2& 2 & 1\\-2 & 1 & 2\\1 & -2 & 2 \\\end{pmatrix} \quad\text{mit}\quad T^{-1}=\frac{1}{\det T}\begin{pmatrix}6 & 6 & 3\\-6 & 3 & 6\\ 3 & -6 & 6\end{pmatrix}^T =\frac{1}{27}\begin{pmatrix} 6 & -6 & 3\\6 & 3 & -6\\ 3 & 6 & 6\end{pmatrix}. \]
Zur Probe rechnet man nach $T^{-1}AT=$
\[=\frac{1}{9}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1\\2 & 1 & -2\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 5\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2& 2 & 1\\-2 & 1 & 2\\1 & -2 & 2 \\\end{pmatrix} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1\\2 & 1 & -2\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 8 & 7\\ -2 & 4 & 14\\ 1 & -8 & 14\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 7\\\end{pmatrix}\]
Man kann sich bei der Berechnung auch gut von Maple helfen lassen:
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{with(linalg):A := matrix([[3, 2, 0], [2, 4, 2], [0, 2, 5]]);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{A := matrix([[3, 2, 0], [2, 4, 2], [0, 2, 5]]);}{%
\[
A :=  \left[ 
{\begin{array}{rrr}
3 & 2 & 0 \\
2 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 5
\end{array}}
 \right] 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{eigenvects(A);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{[1, 1, \{vector([2, -2, 1])\}], [4, 1, \{vector([2, 1, -2])\}], [7,
1, \{vector([1, 2, 2])\}];}{%
\[
[1, \,1, \,\{[2, \,-2, \,1]\}], \,[4, \,1, \,\{[2, \,1, \,-2]\}]
, \,[7, \,1, \,\{[1, \,2, \,2]\}]
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{T:=linalg[matrix](3,3,[2,2,1,-2,1,2,1,-2,2]);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{T := matrix([[2, 2, 1], [-2, 1, 2], [1, -2, 2]]);}{%
\[
T :=  \left[ 
{\begin{array}{rrr}
2 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 2
\end{array}}
 \right] 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{T1:=inverse(T);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{T1 := matrix([[2/9, -2/9, 1/9], [2/9, 1/9, -2/9], [1/9, 2/9,
2/9]]);}{%
\[
\mathit{T1} :=  \left[ 
{\begin{array}{ccc}
{\displaystyle \frac {2}{9}}  & {\displaystyle \frac {-2}{9}}  & 
{\displaystyle \frac {1}{9}}  \\ [2ex]
{\displaystyle \frac {2}{9}}  & {\displaystyle \frac {1}{9}}  & 
{\displaystyle \frac {-2}{9}}  \\ [2ex]
{\displaystyle \frac {1}{9}}  & {\displaystyle \frac {2}{9}}  & 
{\displaystyle \frac {2}{9}} 
\end{array}}
 \right] 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{det(T);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{27;}{%
\[
27
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\emptyline
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{multiply(A,T);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{matrix([[2, 8, 7], [-2, 4, 14], [1, -8, 14]]);}{%
\[
 \left[ 
{\begin{array}{rrr}
2 & 8 & 7 \\
-2 & 4 & 14 \\
1 & -8 & 14
\end{array}}
 \right] 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{multiply(T1,A,T);}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{matrix([[1, 0, 0], [0, 4, 0], [0, 0, 7]]);}{%
\[
 \left[ 
{\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array}}
 \right] 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\end{mapleinput}

\end{maplegroup}

\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 282: Eindeutigkeit der Inversen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $K$ ein Ring mit Einselement und sei $A \in K^{m,n}$, wobei $m,n \in \N^+$. Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Wenn es Matrizen $B, C \in K^{n,m}$ gibt mit $BA = E_n$ und $AC = E_m$, so folgt $B = C$.
\item[b)] Sei $K$ ein Körper und sei $A$ Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems mit Konstantentupel $\mathfrak b \in K^m$. Ist seine Lösungsmenge $L$ nicht leer und gilt $m \le n$, so sind zur Parameterdarstellung von $L$ mindestens $n-m$ Parameter erforderlich.
\item[c)] Sei $K$ ein Körper. Wenn $m \ne n$, so gibt es keine $B, C \in K^{n,m}$ mit $BA = E_n$ und $AC = E_m$.\\
{\footnotesize {\it Bemerkung:} Dies gilt auch, wenn $K$ ein beliebiger kommutativer Ring mit Einselement ist.}
\end{description}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 282}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):]
	$$ C = C E_m = C (AB) = (CA) B = E_n B =B.$$
	\item[zu b):] Ist $m \leq n$, so gilt für die durch den erweiterten Gaußschen Algorithmus eindeutig bestimmte Zahl $r$, den Rang der Matrix $A$, $r \leq \min\{m,n\}=m\leq n$. Folglich sind zur Darstellung der Lösungsmenge $L$ genau $n-r \geq n-m$ unabhängige Parameter erforderlich.
	\item[zu c):] Sei zunächst $m<n$. Dann sind die Spalten $b_j, j=1,\ldots, n$ von $B$ Lösungen der $m$ Gleichungssysteme $Ab_j = e_i, i=1,\ldots, m$, wobei die $e_i$ die Spalten der Einheitsmatrix $E_m$ sind. Wegen b) und $m<n$ gibt es wenigsten zwei verschiedene Lösungen $B_1\neq B_2$ mit $AB_1=AB_2=E_m$. Dies steht aber im Widerspruch zu a), denn es wäre $B_1=C=B_2$.
	
	Ist $n<m$, so kann man dieselbe Argumentation auf das Gleichungssystem $A^TC^T=E_n^T=E_n$ anwenden.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Vektorräume und Moduln }
\section{ K(m,n) }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Biuntermoduln von $K^{Aufgabe 283: m,n}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $K$ ein Körper und seien $m,n \in \N^+$. Zeigen Sie, dass $K^{m,n}$ nur die trivialen $(K^{m,m},K^{n,n})$-Biuntermoduln besitzt. Insbesondere besitzt $R^{n,n}$ nur die trivialen zweiseitigen Ideale.


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 283}}\\
Durch die Identifizierung des Körperelementes $r \in K$ mit der Diagonalmatrix $Diag_m(r, . . . , r)\in K^{m}$ kann man die Multiplikation einer Matrix $A \in K^{m,n}$ von links mit einem Körperelement $r \in K$ als Wirkung des Ringelementes $Diag_m(r, . . . , r)\in K^{m}$ von links auffassen, wobei gilt $rA =Diag_m(r, . . . , r)A$.\\ 

Sei $0 \neq U \subseteq K^{m,n}$ ein Biuntermodul von $K^{m,n}$ und sei $O \neq B \in U$. Dann gibt es natürliche Zahlen $i, j \in \N, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$, so dass der Eintrag $b$ von $B$ an der
Stelle $(i, j)$ nicht Null ist.\\
Außerdem gilt dann für alle $p, q \in \N, 1 \leq p \leq m, 1 \leq q \leq n$
$$E^{p,q}_{m,n} = (b^{-1}E^{p,i}_m )BE^{j,q}_n \in U.$$

Die Matrizen $E^{p,q}_{m,n}, 1 \leq p \leq m, 1 \leq q \leq n$ bilden aber ein Erzeugendensystem von $K^{m,n}$, denn eine beliebige Matrix  
$$A =: ((a_{ij}))_{\stackrel{1\leq i\leq m}{1\leq j\leq n}} \in K^{m,n}$$ 
kann man auch in der Form 
$$A = \sum_{\stackrel{1\leq i\leq m}{1\leq j\leq n}} a_{ij}E^{i,j}_{m,n}$$
darstellen, d.~h. es ist $K^{m,n} \subseteq U$ und damit $K^{m,n} = U$.


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Vektorräume }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 284: Basen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass die Menge $M = \set{1 + x + x^2, 1 + x}$ keine Basis für $\mathcal{P}^2$ ist. Sodann ergänzen Sie $M$ durch Hinzunahme einer der Potenzen $1, x$ oder $x^2$ zu einer Basis für $\mathcal{P}^2$.
	\item Sei $M = \set{1, x^3 - x, x^3+1, x - 1}$ und $U = \spanr{M}$ die lineare Hülle von $M$ im Vektorraum $\mathcal{P}^3$. Wählen Sie eine Basis für $U$ aus $M$ aus.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 284}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wegen $\dim \mathcal{P}^2=3$ kann das System $M$ aus zwei   Polynomen, keine Basis von $\mathcal{P}^2$ sein. Allerdings besteht $M$ aus zwei linear unabhängigen Polynomen, so dass $\dim \spanr{M}= 2$ ist. Da sich das Polynom $p(x=\equiv 1$ offensichtlich nicht als Linearkombination 
	\[1=\lambda (1+x+x^2) +\beta(1+x) =(\lambda+\beta) + (\lambda+\beta)x +\beta x^2\},\]
	ist $M\cup \set{1}$ ebenfalls ein linear unabhängiges System und wegen $\dim \spanr{M\cup \set{1}}= 3$ eine Basis von $\mathcal{P}^2$.
	\item Wegen 
	\[x-1 = (x^3+1) -(x^3-x)-2(1)\]
	kann $x-1$ weggelassen werden. Da die drei verbleibenden Polynome linear unabhängig sind, denn aus
	\[\lambda_1(x^3+1) +\lambda_2(x^3-x)+\lambda_3(1)= (\lambda_1+\lambda_2)x^3 -\lambda_2x+(\lambda_1+\lambda_3) =0\]
	für alle $x\in \R$ folgt leicht $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$,
	d.~h. $\spanset{1, x^3 - x, x^3+1}=U$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 285: Dimension
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Man bestimme die Dimension des durch die Vektoren $v_1= (0, 1, 2),
v_2= (1, 1, 1)$,\\ $v_3= (1, 0, 1)$ aufgespannten Unterraumes $U$ des $\R^3$.
\item $U_1, U_2$ seien Unterräume eines Vektorraumes $V$ endlicher Dimension, und es sei\\ $\dim U_1 + \dim U_2 > \dim V$ . Zeigen Sie, dass dann $U_1 \cap U_2 \neq\set{0}$ gilt.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 285}}\\
\begin{enumerate}
	\item Wegen 
	\[\begin{vmatrix}0 &1 & 2\\1& 1& 1\\1& 0& 1\\\end{vmatrix} =1-2-1\neq 0\]
	ist $\dim U = 3$ bzw. $U=\R^3$.
	\item Nach der Dimensionsformel ist wegen $\dim (U_1 + U_2)\leq \dim V$ 
	\[\dim (U_1 \cap U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1 + U_2) > \dim V-\dim V =0,\]
	d.~h. $U_1 \cap U_2 \neq\set{0}$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 286: Vektorraum-Eigenschaften
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $V$ ein Vektorraum über $\K$, ( $\K$ ist $\R$ oder $\C$).
\begin{enumerate}
\item Man beweise mit Hilfe der Vektorraumaxiome, dass für alle $u \in V$ und
$\alpha \in \K$,
\[ 0 \cdot u = O,\ (-1) \cdot u =  -u,\ \alpha\cdot O = O.\]
\item Zeigen Sie, dass der Durchschnitt beliebig vieler Unterräume von $V$ wieder
ein Unterraum von $V$ ist.
  \item Seien $v_1,v_2,\ldots,v_n \in V$, $a,b \in \K$, $a \neq 0$ .Zeigen Sie, dass
\[ \spanset{v_1,v_2,\ldots v_n} = \spanset{av_1,v_2,\ldots,v_n} = \spanset{v_1 + bv_2,v_2,\ldots,v_n}. \]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 286}}\\
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Aus $u+ 0 \cdot u = 1\cdot u + 0 \cdot u =(1+0)\cdot u = 1\cdot u =u$ und der Eindeutigkeit des neutralen Elementes folgt $0 \cdot u = O$.
		\item Aus $O=0\cdot u = (1+(-1))\cdot u = 1\cdot u + (-1)\cdot u = u+  (-1)\cdot u$ und der Eindeutigkeit des entgegengesetzten Elementes folgt  $(-1)\cdot u = -u$.
		\item Aus $\alpha \cdot u + \alpha \cdot O = \alpha\cdot(u+O)= \alpha\cdot u$ und der Eindeutigkeit des Nullelementes folgt $\alpha\cdot O =O$.
	\end{enumerate}
	\item Sei $I$ eine unendliche Indexmenge, $V_i, i\in I$ unendlich viele Vektorräume und  
	\[U= \bigcap_{i\in I} V_i\]
	deren Durchschnitt. Seien weiter $u,v \in U$ und $\alpha, \beta \in \K$. Dann sind aber $u,v\in V_i$ für alle $i\in I$ und damit auch $\alpha\cdot u +\beta\cdot V \in V_i$ für alle $i \in I$. Schließlich ist dann aber auch $\alpha\cdot u +\beta\cdot V \in U$ und somit $U$ ein Vektorraum.
	\item Aus $u \in \spanset{av_1,v_2,\ldots,v_n}$ folgt für $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \K$
	\[u=\alpha_1\cdot (a\cdot v_1) + \sum_{i=2}^n\,\alpha_i \cdot v_i = \sum_{i=1}^n\,\alpha'_i \cdot v_i\]
	mit $\alpha'_1=\alpha_1\cdot a \in \K$ und $\alpha'_i=\alpha_i \in \K$ für $i=2,\ldots, n$, d.~h. $u\in \spanset{v_1,v_2,\ldots v_n}$.\\
	Umgekehrt folgt aus $u \in \spanset{v_1,v_2,\ldots,v_n}$ für $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \K$
	\[u=\sum_{i=1}^n\,\alpha_i \cdot v_i = \frac{\alpha_1}{a}\cdot a\cdot v_1 + \sum_{i=2}^n\,\alpha_i \cdot v_i = \alpha'_1\cdot (a\cdot v_1)+\sum_{i=2}^n\,\alpha'_i \cdot v_i\]
	mit $\alpha'_1=\frac{\alpha_1}{a} \in \K$ und $\alpha'_i=\alpha_i \in \K$ für $i=2,\ldots, n$, d.~h. $u\in \spanset{av_1,v_2,\ldots v_n}$.\\
	
Aus $u \in \spanset{v_1+bv_2,v_2,\ldots,v_n}$ folgt für $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \K$
	\[u=\alpha_1\cdot (v_1+b\cdot v_2) + \sum_{i=2}^n\,\alpha_i \cdot v_i = \sum_{i=1}^n\,\alpha'_i \cdot v_i\]
	mit $\alpha'_1=\alpha_1, \alpha'_2=\alpha_1\cdot b+\alpha_2 \in \K$ und $\alpha'_i=\alpha_i \in \K$ für $i=3,\ldots, n$, d.~h. $u\in \spanset{v_1,v_2,\ldots v_n}$.\\
	Umgekehrt folgt aus $u \in \spanset{v_1,v_2,\ldots,v_n}$ für $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \K$
	\[u=\sum_{i=1}^n\,\alpha_i \cdot v_i = \alpha_1\cdot(v_1 + b\cdot v_2) +(\alpha_2-\alpha_1\cdot b)\cdot v_2 +\sum_{i=3}^n\,\alpha_i \cdot v_i = \alpha'_1\cdot (v_1 + b\cdot v_2) + \sum_{i=2}^n\,\alpha'_i \cdot v_i\]
	mit $\alpha'_1=\alpha_1, \alpha'_2=\alpha_2-\alpha_1\cdot b \in \K$ und $\alpha'_i=\alpha_i \in \K$ für $i=3,\ldots, n$, d.~h. $u\in \spanset{v_1+bv_2,v_2,\ldots v_n}$.\\	
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Lineare Abbildungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 287: Abbildungsmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\mathcal{B} =\set{1, x, x^2}$ die kanonische Basis für den Vektorraum $\mathcal{P}^2$. Zeigen
Sie, dass der Ableitungsoperator $D \equiv \frac{d}{dx}$ auf $\mathcal{P}^2$ bzgl. $\mathcal{B}$ die Matrixdarstellung
\[ M_{\mathcal{B}}(D) =\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 2\\0 & 0 & 0\\\end{pmatrix}\]
hat.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 287}}\\
Sei $p \in \mathcal{P}^2$ mit $p(x)=a+bx+cx^2=(a,b,c)^T_{\mathcal{B}}$. Dann ist $\frac{dp(x)}{dx}=b+2cx=(b,2c,0)^T_{\mathcal{B}}$.\\

Andererseits ist
\[ M_{\mathcal{B}}(D) \cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}_\mathcal{B} =\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 2\\0 & 0 & 0\\\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}_\mathcal{B} = \begin{pmatrix}b\\2c\\0\\\end{pmatrix}_\mathcal{B}.\]
Damit ist der Beweis erbracht.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 288: Basistransformation
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien durch $\mathcal{A} = \set{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2}$ und $\mathcal{B} = \set{2\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2, 2\mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_1}$ zwei Basen auf $\R^2$ und eine lineare Abbildung $L \in \mathcal{L}(R^2$) durch die Matrix
\[M_{\mathcal{A}}(L) = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\\end{pmatrix}\]
gegeben. Man berechne nacheinander $S = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathbf{1}),\ S^{-1}$ und $M_{\mathcal{B}}(L)$..

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 288}}\\
$S$ ist einfach die Matrix, die spaltenweise die Elemente von $\mathcal{B}$ bezüglich $\mathcal{A}$ enthält, also
\[S = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathbf{1}) =\begin{pmatrix}2 & -1\\1&2\\\end{pmatrix} \quad\text{mit}\quad S^{-1}=\frac{1}{\det S}\begin{pmatrix}2 & -1\\1&2\\\end{pmatrix}^T =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1\\-1&2\\\end{pmatrix}.\]
Dann ist aber 
\[M_{\mathcal{B}}(L) =S^{-1} M_{\mathcal{A}}(L)S= \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1\\-1&2\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\1&2\\\end{pmatrix} =  \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1\\-1&2\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & 3 \\ 10 & 5\\\end{pmatrix}= \frac{1}{5}\begin{pmatrix}18 & 11 \\ 16 & 7\\\end{pmatrix}.\]

Zur Probe berechnen wir das Bild des ersten Basisvektors von $\mathcal{B}$:
\[M_{\mathcal{B}}(L) \begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}18 & 11 \\ 16 & 7\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}18\\16\\\end{pmatrix}.\]
Andererseits gilt für dessen Darstellung bezüglich $\mathcal{A}$
\[ M_{\mathcal{A}}(L) \begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}4\\10\\\end{pmatrix} .\]
Wegen
\[S\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}18\\16\\\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -1\\1&2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}18\\16\\\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}20\\50\\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\10\\\end{pmatrix}\]
stimmen die Bilder überein.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 289: Kern und Abildungsmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $T \in  \mathcal{L}(\mathcal{P}^4, \mathcal{P}^2)$ gegeben durch
\[Tp(x) := p''(x),\quad (p \in \mathcal{P}^4).\]
\begin{enumerate}
	\item Man bestimme den Kern von $T$ .
	\item Seien $\mathcal{A} = \set{1, x, x^2, x^3, x^4}$ und $\mathcal{B} = \set{1, x, x^2}$ die natüurlichen Basen von $\mathcal{P}^4$ bzw. $\mathcal{P}^2$. Bestimmen Sie die Matrix von $T$ bzgl. der Basen $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 289}}\\
\begin{enumerate}
	\item Für eine Polynom $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4$ aus $\mathcal{P}^4$ ist $T(p)(x)=2c+6dx+12e x^2$ wegen der Basiseigenschaft von $\mathcal{B}$ genau dann gleich 0, wenn $c=d=e=0$ ist. Also ist
\[\ker{T} = \mathcal{P}^1 \subset \mathcal{P}^5.\]
  \item Die Matrix besteht spaltenweise aus den Bildern der Elemente von $\mathcal{A}$, dargestellt bezüglich der Basis $\mathcal{B}$, also
\[ M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(T)=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 12
\end{pmatrix}.\]
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 290: Surjektivität und Injektivität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $V , W$ Vektorräume der Dimension $n, (n \in \N)$, und $L : V \to W$
eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
\[L \quad\text{ist bijektiv}\quad  \Leftrightarrow L \quad\text{ist injektiv}\quad \Leftrightarrow L \quad\text{ist surjektiv.}\]
\textbf{Hinweis:} Verwenden Sie die Dimensionsformel und beachten Sie, dass $L$
injektiv ist genau dann wenn Kern $L = \set{0}$ ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 290}}\\

\begin{description}
	\item[Beweis unter Benutzung des Hinweises] Wegen $n = \dim W = \dim V = \dim \ker{L} + \rang{L}$ ist 
	\[L \text{ injektiv } \Longleftrightarrow \dim \ker{L} =0 \Longleftrightarrow  \rang{L}=n \Longleftrightarrow L \text{  surjektiv},\]
	d.~h. $L$ ist entweder injektiv und surjektiv (und damit auch bijektiv) oder weder surjektiv noch injektiv (und dann auch nicht bijektiv).
	
	\item[direkter Beweis] Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Deshalb sind die Aussagen
\[L \quad\text{ist bijektiv}\quad  \Rightarrow L \quad\text{ist injektiv}\]
und
\[L \quad\text{ist bijektiv}\quad  \Rightarrow L \quad\text{ist surjektiv.}\]
trivialerweise erfüllt.\\

Es sei $\mathcal{B}=\set{v_1,\ldots,v_n}$ eine Basis von $V$ und $\mathcal{M}=L(\mathcal{B})=\set{w_i=Lv_i\ |\ i=1,\ldots n}$ deren Bild unter $L$. Dann ist 
$U:=L(V)=\spanr{\mathcal{M}}$ ein linearer Unterraum von $W$.\\

Wäre nun $L$ injektiv, aber nicht surjektiv, dann wäre $\dim U < \dim W =n$, also müsste $\mathcal{M}$ ein linear abhängiges System sein, bei dem sich wenigstens ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen ließe. O.B.d.A. (Umordnung) sei dies
\[Lv_n=w_n=\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i w_i = \sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i Lv_i = L\rkl{\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i v_i}.\]
Aus der Injektivität folgte dann aber
\[v_n=\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i v_i\]
im Widerspruch zur Basiseigenschaft von $\mathcal{B}$.\\
Also folgt aus Injektivität auch Surjektivität und damit Bijektivität.\\

Wäre nun $L$ surjektiv, aber nicht injektiv, dann wäre $U=W$ und $\mathcal{M}$ ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis von $W$. Außerdem gäbe es in $V$ zwei Vektoren 
\[\sum_{i=1}^n \tilde{\alpha}_i v_i =:\tilde{v} \neq \hat{v}:=\sum_{i=1}^n \hat{\alpha}_i v_i,\] 
so dass $\tilde{\alpha}_i\neq \hat{\alpha}_i$ für wenigstens ein $i \in \set{1,\ldots,n}$, aber $L\tilde{v}=L\hat{v}$ ist. Dann wäre also
\[\sum_{i=1}^n \tilde{\alpha}_i w_i =L\tilde{v} = L\hat{v}=\sum_{i=1}^n \hat{\alpha}_i w_i,\]
bzw. 
\[\sum_{i=1}^n \rkl{\tilde{\alpha}_i -\hat{\alpha}_i}w_i =0,\]
wobei mindestens einer der Faktoren $\rkl{\tilde{\alpha}_i -\hat{\alpha}_i},\ i\in\set{1,\ldots,n}$ von Null verschieden ist, im Widerspruch zur Basiseigenschaft von $\mathcal{M}$.\\
Also folgt aus Surjektivität auch Injektivität und damit Bijektivität.\\

\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 291: Lineare Abhängigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es ist zu untersuchen, welche der folgenden Teilmengen des Vektorraumes
$V$ linear unabhängig, welche linear abhängig sind.
\begin{enumerate}
	\item $\set{1, \e^x, \e^{2x}}, V = C(\R)$.
	\item $\set{1, \cos x, \cos^2x, \cos(2x)}, V = C(\R)$.
	\item $\set{1, x, |x|}, V = C(\R)$.
	\item $\set{1, x, |x|}, V = C([0,\infty))$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 291}}\\
\begin{enumerate}
	\item Aus
	\[\lambda_1\,1+\lambda_2\e^x+\lambda_3\e^{2x} = 0\]
	für alle $x\in \R$ folgt durch Grenzübergang $x\to -\infty$ sofort $\lambda_1=0$ bzw. $\lambda_2\e^x+\lambda_3\e^{2x} = 0$. Division durch $\e^x$ und erneuter Grenzübergang $x\to -\infty$ liefert $\lambda_2=0$ und schließlich auch $\lambda_3=0$. Damit bildet die Menge ein linear unabhängiges System.
	\item Wegen 
	\[\cos(2x) = 2\cos x -1\]
	ist die Menge ein linear abhängiges System.
	\item Aus
	\[\lambda_1\,1+\lambda_2\,x+\lambda_3\,|x| = 0\]
	für alle $x\in \R$ folgt für $x=0$ sofort $\lambda_1=0$.\\
	für $x=1$ folgt $\lambda_2+\lambda_3=0$ und für $x=-1$ folgt $\lambda_2-\lambda_3=0$. Beide Gleichungen können gemeinsam nur für $\lambda_2=\lambda_3=0$ erfüllt werden, also bildet die Menge ein linear unabhängiges System.
	\item Wegen $x=|x|$ für $x\in [0,\infty)$ bildet die Menge ein linear abhängiges System.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 292: Linearkombinationen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die nachstehend genannten Behauptungen beweise man bzw. widerlege
man durch Angabe eines Gegenbeispiels.
\begin{enumerate}
	\item Ist $\set{v_1, v_2, v_3, v_4}$ ein linear abhängiges Vektorsystem, so ist $v_4$ eine Linearkombination von $\set{v_1, v_2, v_3}$.
	\item Ist $v_4$ eine Linearkombination von $\set{v_1, v_2, v_3}$, so ist $\set{v_1, v_2, v_3, v_4}$ ein linear abhängiges Vektorsystem.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 292}}\\
\begin{enumerate}
	\item Aussage ist falsch, ein Gegenbeispiel ist z.~B.
	\[v_1=(1,0,0),\ v_2=(0,1,0),\ v_3=v_1+v_2=(1,1,0),\ v_4=(0,0,1).\]
	\item Aussage ist richtig, denn aus
	\[v_4=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3\]
	folgt
	\[\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3-1\,v_4=0,\]
	d.~h. der Nullvektor lässt sich aus $v_1,\ldots,v_4$ nichttrivial darstellen. Damit ist $\set{v_1, v_2, v_3, v_4}$ ein linear abhängiges Vektorsystem.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Unterräume }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 293: Unterraumkriterien
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Seien $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \R$ und $U:=\set{x\in \R^n\ |\ \alpha_1x_1+\ldots+\alpha_nx_n=0}$. Zeigen Sie, dass $U$ ein Unterraum des $\R^n$ ist.
\item Wann ist für zwei Unterräume $U_1, U_2$ eines Vektorraumes $V$ über einem Körper $\K$ auch $U_1 \cup U_2$ ein Unterraum von $V$?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 293}}\\
\begin{enumerate}
	\item Seien $x, y \in U$ und $\beta, \gamma \in \R$, dann ist 
	\[z:=\beta x+\gamma y = (\beta\, x_1+\gamma\,y_1,\ldots,  \beta\, x_n+\gamma\,y_n)^T\]
	und
	\[
	\sum_{k=1}^n \alpha_kz_k = \sum_{k=1}^n \alpha_k(\beta\,x_k+\gamma\,y_k)=\sum_{k=1}^n (\beta\,\alpha_k\,x_k+\gamma\,\alpha_k\,y_k)=\beta \sum_{k=1}^n \alpha_k\,x_k+\gamma\sum_{k=1}^n \alpha_k\,y_k =0,
	\]
	also $z\in U$. Damit ist $U$ ein Vektorunterraum von $\R^n$.
	\item Ist $U_1 \subseteq U_2$, dann ist $U_1 \cup U_2=U_2$ natürlich wieder Unterraum von $V$. Ebenso verhält es sich, falls $U_2 \subseteq U_1$ ist.\\
	
	Sei nun weder $U_1 \subseteq U_2$ noch $U_2 \subseteq U_1$, d. h. es gibt vom Nullelement verschiedene Elemente $u, v \in U_1 \cup U_2$ mit 
	\[u\in U_1\setminus U_2 \quad\text{und}\quad  v\in U_2\setminus U_1.\]
	Wäre nun $U_1 \cup U_2$ ein Unterraum von $V$, dann müssten insbesondere die Elemente $u+v$ wieder in $U_1 \cup U_2$ sein, d.~h. es ist entweder
	\[u+v=v_1\in U_1\quad\text{oder}\quad u+v=v_2\in U_2.\]
Da $U_1$ und $U_2$ selbst Unterräume sind, ist dann aber im Widerspruch zur Annahme 
	\[v=v_1-u\in U_1 \quad\text{oder}\quad u=v_2-v\in U_2,\]
	d. h. der betrachtete Fall kann ausgeschlossen werden.
	
	Somit ist $U_1 \cup U_2$ genau dann ein Unterraum von V, wenn $U_1 \subseteq U_2$ oder $U_1 \supseteq U_2$ ist.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 294: Unterraumkriterien
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Man prüfe, ob die Menge $M$ derjenigen Vektoren des $\R^n$, deren erste zwei Koordinaten $x_1, x_2$ die Gleichung $5x_1 - x_2= 2$ erfüllen, ein Unterraum des $\R^n$ ist.
\end{enumerate}
Man untersuche, ob folgende Mengen von Polynomen Unterräume von $\mathcal{P}$ bilden:
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
	\item die Menge $M_1$ aller Polynome, die für $x = 3$ verschwinden;
	\item die Menge $M_2$ aller Polynome $p(x)$ mit $p(1) = 2$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 294}}\\
\begin{enumerate}
	\item Nein, denn seien $x,y \in M$, dann ist wegen
	\[(5x_1 - x_2) + (5y_1 - y_2) = 5(x_1+y_1) - (x_2+y_2) = 2+2 =4\]
	der Vektor $x+y \notin M$.
	\item Seien $p,q \in M_1$, dann ist
	\[(\lambda\,p+\mu\,q)(3)= \lambda\,p(3) + \mu\,q(3) =0,\]
	also auch $\lambda\,p+\mu\,q \in M_1$. $M_1$ ist also ein Unterraum von $\mathcal{P}$.
	\item Seien $p,q \in M_2$, dann ist
	\[(p+q)(1)= p(1) + q(1) =2+2=4,\]
	also $p+q \notin M_2$. $M_2$ ist also kein Unterraum von $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Maß- und Integrationstheorie }
\chapter{ Flächen und Durchfluss }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 295: Ellipsoid
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne Volumen und Oberfläche des Ellipsoids
$$ {\cal E}=\{(x,y,z)\in \Rx{3},\ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 295}}\\
Wir benutzen verallgemeinerte Zylinderkoordinaten. Eine Parametrisierung der Fläche erhält man dann in der Form

$$\vec{r}=\bma{c} a\rho\cos\varphi\\ b\rho\sin\varphi \\ c\sqrt{1-\rho^2}\\\ema,\quad 0 \leq \rho \leq 1,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi. $$ 

Das Volumenelement berechnet sich wie folgt:

$$dV = \left | \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi\,z)} \right | = \left | \left | \begin{array}{ccc} a\cos\varphi & -a\rho\sin\varphi & 0\\ b\sin\varphi & b\rho\cos\varphi & 0 \\ -c\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} & 0 & 1\\\end{array} \right | \right |\, d\rho\, d\varphi\, dz = ab\,\rho\, d\rho\, d\varphi\, dz.$$

Aus Symmetriegründen ist dann

\bea
|{\cal E}| &=& 2\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{c\sqrt{1-\rho^2}} \rho dz d\rho d\varphi\\
  &=& -2\pi a b c\int_0^1 (-2) \rho \sqrt{1-\rho^2} d\rho\qquad; u=1-\rho^2, du =-2\rho\, d\rho \\
  &=& -2\pi a b c \int_1^0 \sqrt{u}\, du\\
  &=& \frac43 \pi a b c.\\
\eea

Die Tangentialvektoren sind
$$\vec{r}_\rho=\bma{c} a\cos\varphi\\ b\sin\varphi \\ -c\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}\\\ema, \vec{r}_\varphi=\bma{c} -a\rho\sin\varphi\\ b\rho\cos\varphi \\ 0 \\\ema, $$ 

so dass man sich das Flächenelement mit
\bea
E&=&|\vec{r}_\rho|^2 = a^2\cos^2\varphi + b^2\sin^2\varphi + c^2\frac{\rho^2}{1-\rho^2}\\
F&=&(\vec{r}_\rho,\vec{r}_\varphi) = b^2\rho\sin\varphi\cos\varphi-a^2\rho\sin\varphi\cos\varphi\\
G&=&|\vec{r}_\varphi|^2 = a^2\rho^2\sin^2\varphi + b^2\rho^2\cos^2\varphi\\
\eea
zu 
$$d{\cal F} = \sqrt{EG-F^2}\ d\rho\,d\varphi = \rho\sqrt{a^2b^2+c^2\frac{\rho^2}{1-\rho^2}(a^2\sin^2\varphi + b^2\cos^2\varphi)}\  d\rho\,d\varphi=ab\,\rho\sqrt{\frac{1+k^2\rho^2}{1-\rho^2}}\ d\rho\,d\varphi$$
mit 
$$k(\varphi)^2=\left \{ \begin{array}{ll}\frac{c^2}{a^2b^2}(a^2\sin^2\varphi + b^2\cos^2\varphi)-1&\qquad\mbox{falls}\quad a,b,c \quad\mbox{verschieden}\\\frac{c^2-a^2}{a^2}&\qquad\mbox{falls}\quad a=b\\0&\qquad\mbox{falls}\quad a=b=c\\\end{array}\right .$$ 
berechnet.

Das innere Integral in
$$|{\cal F}|=2ab\,\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho\sqrt{\frac{1+k^2\rho^2}{1-\rho^2}}\ d\rho\,d\varphi,$$
läßt sich durch die Transformation $\rho=\sin\psi, d\rho=\cos\psi\,d\psi$ auf die Form
\bea
|{\cal F}| &=& 2ab\,\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}2}\,\sin\psi\sqrt{1+k^2(\varphi)\sin^2\psi}\ d\psi\,d\varphi\\
&=& 2ab\,\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}2}\,\sin\psi\sqrt{1+k^2(\varphi)-k^2(\varphi)\cos^2\psi}\ d\psi\,d\varphi\\
\eea
und weiter durch die Transformation $u=\cos\psi,\, du=-\sin\psi\,d\psi$ auf die Form
$$|{\cal F}|=2ab\,\int_0^{2\pi}\int_0^1\,\sqrt{1+k^2(\varphi)-k^2(\varphi)u^2}\ du\,d\varphi=2ab\,\int_0^{2\pi}\sqrt{1+k^2(\varphi)}\int_0^1\,\,\sqrt{1-K^2(\varphi)\,u^2}\ du\,d\varphi,$$
mit
$$K^2(\varphi)=\frac{k^2(\varphi)}{1+k^2(\varphi)}=\left \{ \begin{array}{ll}\frac{c^2(a^2\sin^2\varphi + b^2\cos^2\varphi)-a^2b^2}{c^2(a^2\sin^2\varphi + b^2\cos^2\varphi)}&\qquad\mbox{falls}\quad a,b,c \quad\mbox{verschieden}\\\frac{c^2-a^2}{c^2}&\qquad\mbox{falls}\quad a=b\\0&\qquad\mbox{falls}\quad a=b=c\\\end{array}\right .$$
bringen. 

Im Fall $a=b=c$ bzw. $K=k=0$ erhält man leicht die Oberfläche der Kugel $|{\cal F}| = 4\pi a^2$; dies sieht man auch schon weiter oben.

Anderenfalls kann man mit der Transformation  $K\,u=\sin t,\ K\,du = \cos t\, dt$ das innere Integral wie folgt lösen:
\bea
|{\cal F}|&=&2ab\,\int_0^{2\pi}\frac{1+k^2(\varphi)}{k(\varphi)}\int_0^{\arcsin K(\varphi)}\,\cos^2 t\ dt\,d\varphi\qquad |\ 2\cos^2t=1+\cos 2t \\
&=&ab\,\int_0^{2\pi}\frac{1+k^2(\varphi)}{k(\varphi)}\int_0^{\arcsin K(\varphi)}\,(1+\cos 2t)\ dt\,d\varphi\\
&=&ab\,\int_0^{2\pi}\frac{1+k^2(\varphi)}{k(\varphi)}\,\left . (t+\sin t \cos t)\right |_0^{\arcsin K(\varphi)}\,d\varphi\qquad |\ \frac{d}{dt}\sin t \cos t = \cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t\\
&=&ab\,\int_0^{2\pi}\frac{1+k^2(\varphi)}{k(\varphi)}\,\left ( \arcsin K(\varphi)+ K(\varphi) \sqrt{1-K^2(\varphi)}\right )\,d\varphi\\
&=&\,\int_0^{2\pi}\left ( \frac{c^2(a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi)}{\sqrt{c^2(a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi)-a^2b^2}}\,\arcsin \frac{\sqrt{c^2(a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi)-a^2b^2}}{\sqrt{c^2(a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi)}} + ab\right )\,d\varphi\\
\eea
Im Spezialfall $b=a$ erhält man
\bea
|{\cal F}|&=&\,\int_0^{2\pi}\left ( \frac{ac^2}{\sqrt{c^2(-a^2}}\,\arcsin \frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c} + a^2\right )\,d\varphi\\
&=&2\pi a\left ( \frac{c^2}{\sqrt{c^2(-a^2}}\,\arcsin \frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c} + a\right ).\\
\eea
Da der Integrand nun nicht mehr von $\varphi$ abhängt, kann man auch die äußere Integration leicht ausführen.

Wegen 
$$\lim_{c \rightarrow a} \frac{\arcsin \frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}}{\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x} =1$$

erhält man für $c \rightarrow a$ auch wieder die Oberfläche $O=4\pi a^2$ der Kugel.

Die Lösung des Integrals im allgemeinen Fall möge der interessierte Leser mit Maple o.ä. versuchen.



% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 296: Fluss des Coulomb-Feldes
}}\\
% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Fluß eines {\scshape Coulumb}-Feldes
$$ K(x) = \frac{1}{4\pi r^2}\frac{x}{r};\qquad r=\|x\| \neq 0 $$
durch die nach außen orientierte Oberfläche $\partial G$ eines zulässigen Bereiches $G \subset \Rx{3}$, welcher den Ursprung in seinem Inneren enthält.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Hier Lösungstext eintragen
\underline{\textbf{Lösung 296}}\\
Mit $0\neq x=(x_1,x_2,x_3)$ ist $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ und $\frac{\partial r}{\partial x_i}= \frac{x_i}{r}$ sowie
\bea
div K &=& \frac{1}{4\pi}\ \sum_{i=1}^3 \frac{r^3 -3r^2\frac{\partial r}{\partial x_i}x_i}{r^6}\\
&=&\frac{1}{4\pi}\ \sum_{i=1}^3 \frac{r^3 -3r x_i^2}{r^6}= 0.\\ 
\eea

Sei zunächst $G=B_\varepsilon(0)$. Dann kann man das Oberflächenintegral direkt ausrechnen. Die äußere Normale an die Sphäre ist $n=\frac{x}{r}.$
$$\bigcirc\!\!\,\iint\limits_{\partial B_\varepsilon(0)} K dF = \frac{1}{4\pi}\ 
 \int_0^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\varepsilon^2}\,\varepsilon^2\cos\vartheta d\vartheta d\varphi =1.$$

Wegen $div K=0$ für $x \neq 0$ und dem Satz von Gauss ist für hinreichend kleines $\varepsilon > 0$
$$ 0 =\ \iiint\limits_{G \backslash B_\varepsilon(0)} div K dV = \bigcirc\!\!\,\iint\limits_{\partial G} K dF-\bigcirc\!\!\,\iint\limits_{\partial B_\varepsilon(0)}K dF,$$
d. h.
$$\bigcirc\!\!\,\iint\limits_{\partial G} K dF= \bigcirc\!\!\,\iint\limits_{\partial B_\varepsilon(0)} K dF=1.$$ 
Das Minuszeichen vor dem Flächenintegral in der vorletzten Formel resultiert daraus, dass die äußere Normale an $G \backslash B_\varepsilon(0)$ gerade die innere Normale an $B_\varepsilon(0)$ ist.
%\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright} %Beweisschluss
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 297: Fluss durch Zylinderwand
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\vec{w}=(x,y,z)$ durch den Rand des Zylinders vom Radius 1 und der Höhe 1, der symmetrisch zur $z$-Achse auf der $(x,y)$-Ebene steht.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 297}}\\
Wir teilen den Zylinder in drei Teile, die Grundfläche $\mathfrak{G}$, die Deckfläche $\mathfrak{D}$ und den Zylindermantel $\mathfrak{M}$.
\begin{description}
	\item[Grundfläche] Der äußere Normalenvektor ist $\vec{n}=(0,0,-1)$. Wir können $x$ und $y$ als Parameter wählen, dann ist das (skalare) Flächenelement $dxdy$, wobei
	$-1 \leq y \leq 1$, $-\sqrt{1-y^2}\leq x\leq \sqrt{1-y^2}$ und z=0 ist, also 
	\[\int_{\mathfrak{G}}\,\vec{w}\vec{n}\,dxdy = 0.\]
	\item[Deckfläche] Der äußere Normalenvektor ist $\vec{n}=(0,0,1)$. Wir können $x$ und $y$ als Parameter wählen, dann ist das (skalare) Flächenelement $dxdy$, wobei
	$-1 \leq y \leq 1$, $-\sqrt{1-y^2}\leq x\leq \sqrt{1-y^2}$ und z=1 ist, also 
	\[\int_{\mathfrak{G}}\,\vec{w}\vec{n}\,dxdy = \int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\,dxdy =2\int_{-1}^1\,\sqrt{1-y^2}\,dy =\left.y\sqrt{1-y^2}+\arcsin y\right|_{-1}^1=\pi.\]
	\item[Zylindermantel] Wir parametrisieren mit Zylinderkoordinaten $0\leq\vp\leq 2\pi, 0\leq z\leq1$
	\[\vec{r}=\begin{pmatrix}\cos\vp\\\sin\vp\\z\\\end{pmatrix},\ \vec{r}_{\vp}=\begin{pmatrix}-\sin\vp\\\cos\vp\\0\\\end{pmatrix}, \ \vec{r}_z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}\ \vec{r}_{\vp}\times\vec{r}_z=\begin{pmatrix}\cos\vp\\\sin\vp\\0\\\end{pmatrix}.\]
	Dann ist $\vec{w}=\vec{r}$ und
	\[\int_{\mathfrak{M}}\,\vec{w}\rkl{\vec{r}_{\vp}\times\vec{r}_z}\,d\vp dz = \int_0^1\int_0^{2\pi}\,1\,d\vp dz =\int_0^1\int_0^{2\pi}\,d\vp dz =2\pi.\]
\end{description}
Insgesamt erhält man für die Durchflussmenge in einer Zeiteinheit also $3\pi$.

% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{210pt}
\vspace{5mm}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 298: Kegelspitze
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes\\ 
$S\subset\Rx{3}$ mit \\

$S=\{(x,y,z)|x=z\cos^3\varphi,\,y=z\sin^3\varphi \\
\mbox{ mit }0\leq z\leq 2, 0\leq \varphi\leq 2\pi\}.$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[br]{220pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.8]{aImage015}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Hier Lösungstext eintragen
\underline{\textbf{Lösung 298}}\\
$$\vec{r}=\bma{c}z\cos^3\varphi\\z\sin^3\varphi\\ z\\\ema,\ 
\vec{r}_z=\bma{c}\cos^3\varphi\\\sin^3\varphi\\ 1\\\ema,\ 
\vec{r}_\varphi=\bma{c}-3z\cos^2\varphi\sin\varphi\\3z\sin^2\varphi\cos\varphi\\0\\\ema$$
$$\vec{r}_x \times \vec{r}_y=\bma{c} -3z\sin^2\varphi\cos\varphi\\-3z\cos^2\varphi\sin\varphi\\3z\cos^2\varphi\sin^2\varphi\\\ema$$
\bea
|\vec{r}_x \times \vec{r}_y|&=&3z\sqrt{\sin^2\varphi\cos^2\varphi(1+\sin^2\varphi\cos^2\varphi)}\\
&=&\frac{3}{4}z|\sin(2\varphi)|\sqrt{4+\sin^2(2\varphi)}\\
&=&\frac{3}{4}z|\sin(2\varphi)|\sqrt{5-\cos^2(2\varphi)}\\
\eea
Aus Symmetriegründen ist
\bea
F&=&4\,\int_0^2\int_0^{\frac{pi}{2}}\,\frac{3}{4}z|\sin(2\varphi)|\sqrt{5-\cos^2(2\varphi)}\,d\varphi dz\\
&=& 6\,\int_0^{\frac{pi}{2}}\,\sin(2\varphi)\sqrt{5-\cos^2(2\varphi)}\,d\varphi, \qquad u=\cos(2\varphi), du=-2\sin(2\varphi)d\varphi \\
&=&-3\,\int_1^{-1}\,\sqrt{5-u^2}\,du\\
&=&-3 \left. \left (\frac{1}{2}u\sqrt{5-u^2}+\frac{5}{2}\arcsin(\frac{u}{\sqrt{5}})\right ) \right |_1^{-1}\\
&=&-3\left (-2-5\arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})\right )\\
&=& 6+15\arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}).
\eea
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 299: Schwerpunkt der oberen Halbsphäre vom Radius R
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne den Schwerpunkt der oberen Halbsphäre $\mathfrak{F}$ vom Radius R
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 299}}\\
Wir parametisieren mit Kugelkoordinaten, dann gilt für den Ortsvektor zu einem Punkt \[\vec{r}(\vt,\vp)=\begin{pmatrix} x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}R\cos\vt\cos\vp \\ R\cos\vt\sin\vp \\ R\sin\vt\\\end{pmatrix},\ \vec{r}_\vt=\begin{pmatrix}-R\sin\vt\cos\vp \\ -R\sin\vt\sin\vp \\ R\cos\vt\\\end{pmatrix} ,\ \vec{r}_\vp=\begin{pmatrix}-R\cos\vt\sin\vp \\ R\cos\vt\cos\vp \\ 0\\\end{pmatrix}.\]
Für die obere Halbspäre ist $0\leq \vt\leq\frac{\pi}{2}$ und $o\leq \vp\leq 2\pi$.
Mit  
\[E=\abs{\vec{r}_\vt}^2=R^2,\ F=\skl{\vec{r}_\vt,\vec{r}_\vp}=0,\ 
 G=\abs{\vec{r}_\vp}^2=R^2\cos^2\vt\]
 erhält man das Flächenelement 
 \[d\sigma=\sqrt{EG-F^2}\,d\vt d\vp=R^2\cos\vt\,d\vt d\vp .\]
Wir berechnen zunächst die Fläche von $\mathfrak{F}$ bzw. deren Gewicht bei konstanter Dichte 1.
\[\abs{\mathfrak{F}}=\int_{\mathfrak{F}}\, d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\vt\,d\vt d\vp = 2\pi.\]

Für die Schwerpunktkoordinaten $(x_S,y_S,z_S)$ gilt
\[x_S=\frac{1}{\abs{\mathfrak{F}}}\int_{\mathfrak{F}}\,x\, d\sigma,\ y_S=\frac{1}{\abs{\mathfrak{F}}}\int_{\mathfrak{F}}\,y\, d\sigma,\ z_S=\frac{1}{\abs{\mathfrak{F}}}\int_{\mathfrak{F}}\,z\, d\sigma.\]
Aus Symmetriegründen ist klar, dass $x_S=y_S=0$ sein muss, wir rechnen das aber für $x_S$ wirklich mal aus. Es ist tatsächlich
\[x_s=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathfrak{F}}\,x\, d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\vt\,\cos\vp\,d\vt d\vp = 0,\]
da die Integration über $\vp$ über eine volle Periode der $\cos$-Funktion gerade Null ergibt. Analoges gilt für $y_S$ mit der $\sin$-Funktion.\\
Interessanter ist $z_S$:
\[z_s=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathfrak{F}}\,x\, d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\vt\,\cos\vt\,d\vt d\vp = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\vt\,\cos\vt\,d\vt \overset{z=sin\vt}{=} \int_0^1 z\,dz=\frac{1}{2}.\]
% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{210pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 300: Einander durchdringende Zylinder
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Man bestimme denjenigen Teil der Fläche des Zylinders $x^2+z^2=a^2$, der innerhalb des Zylinders $x^2+y^2=a^2$ liegt!\\
\item Man bestimme die Durchflußmenge durch die obere Fläche zum Fluß $\vec{f}=(0,0,1)$!\\
\item Man bestimme die Durchflußmenge durch die Gesamtflächen zum Fluß $\vec{g}=(0,0,z)$ (Quellen auf der $(x,y)$-Ebene)!
\item Man bestimme das Volumen des Gebietes $G$, das innerhalb beider Zylinder liegt.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{220pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.45]{aImage016}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Lösung
\underline{\textbf{Lösung 300}}\\
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}[t]{215pt}
\underline{\textbf{kartesische Koordinaten
}}\\
\bea
0 \leq & x & \leq a\\
0 \leq & y & \leq \sqrt{a^2-x^2}\\
& z & = \pm \sqrt{a^2-x^2}
\eea
$$\vec{r}=\bma{c}x\\y\\ \pm \sqrt{a^2-x^2}\\\ema$$
$$\vec{r}_x=\bma{c}1\\0\\ \mp\frac{x}{ \sqrt{a^2-x^2}}\\\ema,\ 
\vec{r}_y=\bma{c}0\\1\\0\\\ema$$
$$\vec{r}_x \times \vec{r}_y=\bma{c} \pm\frac{x}{ \sqrt{a^2-x^2}}\\0\\1\\\ema$$ 
$$|\vec{r}_x \times \vec{r}_y|=\frac{a}{ \sqrt{a^2-x^2}}$$ 
\bea
F&=&8\,\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\,\frac{a}{ \sqrt{a^2-x^2}}\,dydx\\
&=& 8a\int_0^a dx = 8a^2\\
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{220pt}
\underline{\textbf{Zylinderkoordinaten
}}\\
\bea
0 \leq & \varphi & \leq 2\pi\\
0 \leq & \rho & \leq a\\
& z & = \pm \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}
\eea
$$\vec{r}=\bma{c} \rho\cos\varphi\\ \rho\sin\varphi\\ \pm \sqrt{a^2- \rho^2\cos^2\varphi}\\\ema$$
$$\vec{r}_\rho=\bma{c}\cos\varphi\\\sin\varphi\\ \mp\frac{\rho\cos^2\varphi}{ \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}}\\\ema,\ 
\vec{r}_\varphi=\bma{c}-\rho\sin\varphi\\ \rho\cos\varphi\\\pm\frac{\rho^2\cos\varphi\sin\varphi}{ \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}}\\\ema$$
$$\vec{r}_\rho \times \vec{r}_\varphi=\bma{c} \pm\frac{\rho^2\cos\varphi}{ \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}}\\0\\r\\\ema$$ 
$$|\vec{r}_\rho \times \vec{r}_\varphi|=\frac{a\rho}{ \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}}$$ 
\bea
F&=&2\,\int_0^{2\pi}\int_0^a\,\frac{a\rho}{ \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}}\,d\rho d\varphi\\
&=& -2a^2\,\int_0^{2\pi}\frac{|\sin\varphi|-1}{\cos^2\varphi}= 8a^2\\
\eea
\end{minipage}
\end{tabular}

\newpage
\underline{{\bf\large Lösung zu b):}}\\

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}[t]{215pt}
\underline{\textbf{kartesische Koordinaten
}}\\
$$\left\langle \vec{f},\vec{r}_x \times \vec{r}_y\right\rangle=1$$ 
\bea
M&=&4\,\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\,dydx\\
&=& 4\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\,dx\\
&=& \left. 2\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}\right)\right|_0^a=\pi a^2\\
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{220pt}
\underline{\textbf{Zylinderkoordinaten
}}\\
$$\left\langle \vec{f},\vec{r}_\rho \times \vec{r}_\varphi\right\rangle=\rho$$ 
\bea
M&=&\int_0^{2\pi}\int_0^a\,\rho\,d\rho d\varphi=\pi a^2\\
\eea
\end{minipage}
\end{tabular}
\vskip 20pt

\underline{{\bf\large Lösung zu c):}}\\

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}[t]{215pt}
\underline{\textbf{kartesische Koordinaten
}}\\
$$\left\langle \vec{g},\vec{r}_x \times \vec{r}_y\right\rangle=z=\pm \sqrt{a^2-x^2}$$ 
\bea
M&=&8\,\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{a^2-x^2}\,dydx\\
&=& 8\int_0^a (a^2-x^2)\,dx=\frac{16}{3}a^3\\
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{220pt}
\underline{\textbf{Zylinderkoordinaten
}}\\
$$\left\langle \vec{g},\vec{r}_\rho \times \vec{r}_\varphi\right\rangle=\pm \rho \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}$$ 
\bea
M&=&2\,\int_0^{2\pi}\int_0^a\,\rho \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}\,d\rho d\varphi\\
&=&\left .-\frac{2}{3}\int_0^{2\pi}\frac{\sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}^3}{\cos^2\varphi}\right |_0^a\,d\varphi\\
&=&-\frac{2}{3}a^3\,\int_0^{2\pi}\frac{|\sin^3\varphi|-1}{\cos^2\varphi}\,d\varphi\\
&=&-\frac{2}{3}a^3\,\int_0^{2\pi}\left(\frac{|\sin\varphi|}{\cos^2\varphi}-|\sin\varphi|\right )\,d\varphi
=\frac{16}{3} a^2\\
\eea
\end{minipage}
\end{tabular}

\underline{{\bf\large Lösung zu d):}}\\

Nach dem Gaußschen Satz ist
$$ {\int\int\int}_G \div \vec{g}\, dxdydz = {\int\int}_{\partial G} \, \vec{g}\,\vec{dS}.$$
Da der unter c) angebenen Fluß $\vec{g}$ senkrecht auf dem Normalenvektor zum Zylinder $\{x^2+y^2=a^2\}$ steht und offenbar $\div \vec{g}=1$ ist, ist das Volumen gleich dem Oberflächenintegral, also gleich $\frac{16}{3} a^3$.
Dies kann man auch direkt ausrechnen:\\

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}[t]{215pt}
\underline{\textbf{kartesische Koordinaten
}}\\
\bea
V&=&8\,\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\,dzdydx\\
&=& 8\int_0^a (a^2-x^2)\,dx=\frac{16}{3}a^3\\
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{220pt}
\underline{\textbf{Zylinderkoordinaten
}}\\
\bea
V&=&2\,\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}}\,\rho\,dz d\rho d\varphi\\
&=&2\,\int_0^{2\pi}\int_0^a\,\rho \sqrt{a^2-\rho^2\cos^2\varphi}\,d\rho d\varphi\\
&=&\frac{16}{3} a^2\qquad\qquad \mbox{Rechnung wie unter c)}\\
\eea
\end{minipage}
\end{tabular}
\newpage
\chapter{ Flächenintegrale im R2 }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 301: Streifen im 1. Quadranten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berchnen Sie das Integral
$$I = \iint_\Omega\,x\,y\,dxdy,$$
wenn $\Omega=\{(x,y)\in \Rx{2}\ |\ x>0,\,y>0,\,1< x+y <2 \}$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 301}}\\
\underline{1. Möglichkeit:}\\

Das Gebiet $\Omega$ kann beschrieben werden durch die Ungleichungen
\bea
0 \leq &x& \leq 2\\
\max\{1-x, 0\}  \leq & y & \leq 2-x \\
\eea
bzw.
\bea
0 \leq x \leq 1 & | & 1 \leq x \leq 2\\
1-x \leq y \leq 2-x & | & 0\leq y \leq 2-x,\\
\eea
also ist
\bea
I &=& \int_0^1\int_{1-x}^{2-x}\, xy\, dydx + \int_1^2\int_0^{2-x}\, xy\, dydx\\
 &=& \frac12\, \int_0^1\,\left( x(2-x)^2 - x(1-x)^2\right) dx +\frac12\, \int_1^2\, x(2-x)^2\, dx\\
 &=& \frac12\, \int_0^2\,\left( 4x-4x^2+x^3 \right) dx - \frac12\, \int_0^1\,\left( x-2x^2+x^3\right)dx\\
 &=&\frac12\,\left.\left(2 x^2-\frac43 x^3+\frac14 x^4 \right)\right|_0^2 - \frac12\,\left.\left( \frac12 x^2-\frac23 x^3+\frac14 x^4\right)\right|_0^1 \\ 
&=&\frac12\,\left( 8-\frac{32}3+4\right) - \frac12\,\left( \frac12 -\frac23 +\frac14 \right) \\  
&=&6-\frac{16}3 -\frac14+\frac13-\frac18\ =\ 1-\frac38\ =\ \frac58.
\eea
% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Gaußscher Satz im Raum }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{270pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 302: Kugel - Zylinder
}}\\
% Aufgabentext eintragen
Aus einer Kugel vom Radius $2R$ wird ein Zylinder vom Radius $R$ so herausgeschnitten, dass die Längsachse des Zylinders durch den Kugelmittelpunkt geht. Man bestimme das Volumen des Restkörpers $K$ mit den folgenden Methoden:

\begin{enumerate}
	\item klassische Geometrie
	\item Volumenintegral
	\item Satz von Gauß mit einem geeigneten Vektorfeld
	\item Guldinsche Regel (Rotationskörper)
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{160pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage017}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 302}}\\
\begin{description}
	\item[a) Klassische Lösung]
Es ist
$$V_{K}=V_{Kugel}-V_{Zylinder}-2*V_{Kugelkappe},$$
wobei
$$V_{Kugel}=\frac43\,\pi\,2R^3,\quad V_{Zylinder}=\pi\,R^2\,2h,\quad V_{Kugelkappe}=\frac13\,\pi\,a^2\,(3(2R)-a)$$
und 
$$h=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3},\quad a=2R-h=R\,\rkl{2-\sqrt{3}},\quad 6R-a=4R+h=R\,\rkl{4+\sqrt{3}}.$$
Damit ist
\bea
V_{K}&=&\pi\,\rkl{\frac{32}3\,R^3-2R^3\sqrt{3}-\frac23\,R^2\rkl{2-\sqrt{3}}^2\,R\,\rkl{4+\sqrt{3}}}\\
&=&\frac23\,\pi\,R^3\rkl{16-3\sqrt{3}-\rkl{7-4\sqrt{3}}\rkl{4+\sqrt{3}}}\\
&=&\frac23\,\pi\,R^3\rkl{16-3\sqrt{3}-\rkl{16-9\sqrt{3}}}\\
&=&\frac23\,\pi\,R^3\rkl{6\sqrt{3}}=\underline{4\,\pi\,R^3\,\sqrt{3}}\\
\eea
\item[b) Volumenintegral] Wir benutzen Zylinderkoordinaten:
\begin{align*}
x&=r\,\cos\vp &  R &\leq r &\leq 2R\\
y&=r\,\sin\vp &  0 &\leq \vp &\leq 2\pi\\
z&=z &  -\sqrt{4R^2-r^2}&\leq z &\leq \sqrt{4R^2-r^2}
\end{align*}
Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ist
\[dV=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r.\vp,z)}\,dr d\vp dz=\begin{vmatrix}\cos\vp & -r\,\sin\vp & 0\\\sin\vp & r\,\cos\vp & 0\\0&0&1\end{vmatrix}\,dr d\vp dz=r\,dr d\vp dz\]
Damit ist
\bea
V_K &=& \iiint_K\,dV =\int_0^{2\pi}\,\int_R^{2R}\,\int_{-\sqrt{4R^2-r^2}}^{\sqrt{4R^2-r^2}}\,r\,dz dr d\vp\\
&=& 4\,\pi\,\int_R^{2R}\,r\,\sqrt{4R^2-r^2}\,dr \qquad (u=4R^2-r^2,\ du=-2r\,dr,\ u(R)=3R^2,\ u(2R)=0)\\
&=&2\,\pi\,\int_0^{3R^2}\,\sqrt{u}\,du =\left. \frac{4}{3}\pi\sqrt{u^3}\right |_0^{3R^2} = \underline{4\,\pi\,R^3\,\sqrt{3}}.
\eea
\item[c) Satz von Gauß] Als Vektorfeld wählen wir $\vec{v}=(0,0,z)^T$ mit $\div\vec{v}=1$. Nach dem Satz von Gauß ist dann
\[V_K=\iiint_K\,dV =  \iiint_K\,\div\vec{v}\,dV = \oiint_{\partial K}\,\vec{v}\,d\vec{F}.\]
Dabei steht das vektorielle Flächenelement $d\vec{F}$ auf der Zylinderwand senkrecht auf $\vec{v}$, so dass von dem rechts stehenden Oberflächenintegral nur der Teil über die Kugelaußenwand relevant ist. Diese parametrisieren wir durch Kugelkoordinaten:\\
\begin{align*}
x&=2R\,\cos\vp\,\cos\vt &  -\vt_0 &\leq \vt \leq \vt_0\\
y&=2R\,\sin\vp\,\cos\vt &  0 &\leq \vp \leq 2\pi\\
z&=2R\,\sin \vt 
\end{align*}
Dabei ist $\cos\vt_0 =\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$, also $\vt_0=\frac{\pi}{3}$. Damit ist
\bea
\oiint_{\partial K}\,\vec{v}\,d\vec{F}&=& \oiint_{\partial K}\,z\,\frac{\partial(x,y)}{\partial(\vp,\vt)}\,d\vp d\vt = 2R \int_0^{2\pi}\,\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\sin\vt\,\begin{vmatrix}-2R\,\sin\vp\,\cos\vt & -2R\,\cos\vp\,\sin\vt\\2R\,\cos\vp\,\cos\vt & -2R\,\sin\vp\,\sin\vt\end{vmatrix}\,d\vp d\vt\\
&=&8\,R^3\int_0^{2\pi}\,\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\sin\vt\,\rkl{\sin^2\vp\,\sin\vt\,\cos\vt-\cos^2\vp\,\sin\vt\,\cos\vt}\,d\vp d\vt\\
&=& 16\,R^3\,\pi\,\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \,\sin^2\vt\,\cos\vt\,d\vt=\left. 16\,R^3\,\pi\,16\,R^3\,\pi\,\frac{1}{3}\sin^3\vt\right |_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\\
&=&\frac{32}{3}\,R^3\,\pi\rkl{\frac{1}{2}\sqrt{3}}^3 = \underline{4\,\pi\,R^3\,\sqrt{3}}.
\eea
\item[d) Guldinsche Regel] $K$ ist eine Rotationskörper, der durch Rotation der Querschnitsfläche $F$ um die $z$-Achse entsteht.\\
Nach der Guldinschen Regel ist das Volumen des Rotationkörpers das Produkt aus dem Umfang des Schwerpunktkreises mit dem Flächeninhalt $|F|$ der rotierenden Fläche $F$.\\
Aus Symmetriegründen liegt der (Flächen-)Schwerpunkt $S$ auf der $x$-Achse. Für seine $x$-Koordinate gilt
\bea 
x_s&=&\frac{1}{|F|}\,\iint_F\,x\,dF = \frac{1}{|F|}\,\int_R^{2R}\,\int_{-\sqrt{4R^2-x^2}}^{\sqrt{4R^2-x^2}}\,x\,dz dx \\ 
&=& \frac{2}{|F|}\,\int_R^{2R}\,x\,\sqrt{4R^2-x^2}\,dx =  \qquad (u=4R^2-x^2,\ du=-2x\,dx,\ u(R)=3R^2,\ u(2R)=0)\\
&=&\frac{1}{|F|}\int_0^{3R^2}\,\sqrt{u}\,du = \frac{1}{|F|}\,\frac{2}{3}\sqrt{\rkl{3R^2}^3} = \frac{2}{|F|}R^3\sqrt{3}.
\eea
Damit ist $V_K = 2\,\pi\, x_S \,|F| =\underline{4\,\pi\,R^3\,\sqrt{3}}$.
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Gaußscher Satz in der Ebene }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{250pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 303: Fläche der Kardioide
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die von der Kardiode eingeschlossene Fläche und deren Umfang.\\
\vspace{10mm}

Die Kardioide (vgl. Bronstein Kap. 1.3.1.2) ist die Epizykloide (Rollkurve) eines Kreises vom Radius $a$, der um einen Kreis gleichen Radiusses reibungsfrei gerollt wird, d.~h. die Kurve, die ein fester Punkt auf der Peripherie des rollenden Kreises in der Ebene beschreibt.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{180pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.4, keepaspectratio=false, height=210pt, width=180pt]{aImage018}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 303}}\\
\begin{description}
	\item[Parameterdarstellung]\ \\
	
	\includegraphics[scale=0.75]{lImage041}
	
	Sei $\varphi$ der Winkel, um den der zweite Kreis bereits gerollt ist, d. h. den die Strecke $M_1M_2$ mit der $x$-Achse einschließt. Dann gilt:
\bea
 x(\varphi) &=& a + 2a\cos\varphi +a\cos(2\varphi)\\
 y(\varphi) &=& 2a\sin\varphi +a\sin(2\varphi).\\
\eea
  \item[Lösung mit dieser Parameterdarstellung] Nach dem Gaußschen Satz in der Ebene kann man die Fläche über das Kurvenintegral
  $$ |\Omega|= \frac12 \oint_{\partial\Omega} xdy-ydx$$
über den Rand des Gebietes berechnen. Mit der oben hergeleiteten Parameterdarstellung ergibt das unter Beachtung von 
\bea
 dx(\varphi) &=& - (2a\sin\varphi +2a\sin(2\varphi))d\varphi\\
 dy(\varphi) &=& (2a\cos\varphi +2a\cos(2\varphi))d\varphi\\
\eea
das gewöhnliche Riemannsche Integral
$$ |\Omega| = \frac12 \int_0^{2\pi} \left ( 6a^2+8a^2\cos\varphi +2a^2\cos(2\varphi)\right ) d\varphi = 6\pi a^2 = \frac32 \pi (2a)^2 = \frac32 \pi d^2, $$
da Integrale über volle Perioden einer Winkelfunktion verschwinden. $d$ ist hier der Durchmesser der beiden Kreise.
\item[Sektorformel]
Da das Trapez $OM_1M_2P$ gleichschenklig ist, bildet der Ortsvektor $OP$ denselben Winkel $\varphi$ mit der positiven $x$-Achse wie die Strecke $M_1M_2$. Deshalb kann man auch die Sektorformel
$$ |\Omega| = \frac12 \int_0^{2\pi} r^2(\varphi)\,d\varphi$$
 benutzen, wobei
$$r(\varphi)^2=x(\varphi)^2+y(\varphi)^2=6 a^2+8a^2\cos\varphi +2a^2\cos(2\varphi)$$
ist, man also dasselbe Integral wie oben berechnen muss.
\item[Umfang] Aus der Parameterdarstellung der Kurve bzw. den dazugehörigen Differentialen erhält man
\bea
U&=&\oint_{\partial\Omega}\,ds =\int_0^{2\pi}\,\sqrt{\rkl{\frac{dx}{d\vp}}^2+\rkl{\frac{dy}{d\vp}}^2}\,d\vp\\
&=& \int_0^{2\pi}\,\sqrt{\rkl{2a\sin\varphi +2a\sin(2\varphi)}^2+\rkl{2a\cos\varphi +2a\cos(2\varphi)}^2}\,d\vp\\
&=&2a \int_0^{2\pi}\,\sqrt{2+2\sin\vp\sin(2\vp)+2\cos\vp\cos(2\vp)}\,d\vp\\
&=&2a \int_0^{2\pi}\,\sqrt{2+4\sin^2\vp\cos\vp+2\cos\vp(1-\sin^2\vp)}\,d\vp\\
&=&2a \int_0^{2\pi}\,\sqrt{2+2\cos\vp}\,d\vp\\
\eea
Dieses trigronometrische Integral kann man versuchen durch die Standardersetzung $u=\tan\frac{\vp}{2}$ zu lösen. Da aber über dem betrachten Intervall $0\leq\vp\leq2\pi$ diese Ersetzung nicht eineindeutig ist, muss man dieses vorher unter Ausnutzung der Symmetrie halbieren. Mit 
\[u=\tan\frac{\vp}{2},\ 2du=\rkl{1+\tan^2\frac{\vp}{2}}d\vp=\rkl{1+u^2}d\vp,\  \cos\vp=\frac{1-\tan^2\frac{\vp}{2}}{1+\tan^2\frac{\vp}{2}}=\frac{1-u^2}{1+u^2}\]
erhält man
\bea
U&=&4a \int_0^{\pi}\,\sqrt{2+2\cos\vp}\,d\vp\\
&=&8a \int_0^{\infty}\,\frac{\sqrt{2+2\frac{1-u^2}{1+u^2}}}{1+u^2}\,du\\
&=&8a \int_0^{\infty}\,\frac{\sqrt{\frac{4}{1+u^2}}}{1+u^2}\,du\\
&=&16a \int_0^{\infty}\,\frac{1}{\sqrt{1+u^2}^3}\,du\\
&\overset{\text{Bronstein Nr. 206}}{=}&16a\,\left.\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right|_0^\infty\\
&=&16a\,\rkl{\flim{u}{\infty}\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}-0}=16a.
\eea

\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{240pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 304: Das kartesiche Blatt
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Flächeninhalt des im ersten Quadranten liegenden Teils des kartesischen Blattes.

\tip Das kartesische Blatt ist die Fläche, die von der Kurve 
$$x^3+y^3=3axy$$
und der Geraden
$$x+y=-a$$
eingeschlossen wird.

Um eine Parametrisierung zu erhalten, versuchen Sie den Ansatz $y=t\,x$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{190pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.5]{aImage019}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 304}}\\
Mit $y=tx$ erhält man $x^3(1+t^3)=3ax^2t$, also 
\bea
x(t)&=& \frac{3at}{1+t^3},\quad dx=3a\frac{1-2t^3}{(1+t^3)^2}\,dt,\\
y(t)&=& \frac{3at^2}{1+t^3},\quad dx=3at\frac{2-t^3}{(1+t^3)^2}\,dt,\\
xdy-ydx &=& 3a^2\frac{3t^2}{(1+t^3)^2}\,dt.\\
\eea

Der im ersten Quadranten liegende Teil des kartesischen Blattes wird offensichtlich für die Parameterwerte $0\leq t \leq \infty$ umrundet. Für $-1<t\leq 0$ erhält man den Teil im 2. Quadranten, für $t<-1$ den Teil im 4. Quadranten.

Die gesuchte Fläche $F$ berechnet sich also nach dem Gaußschen Satz in der Ebene durch das uneigentliche Integral
$$F=\frac12 \int_0^\infty 3a^2\frac{3t^2}{(1+t^3)^2}\,dt.$$

Mit der Substitution $z=1+t^3, dz=3t^2dt$ wird daraus

$$F=\frac12 \int_1^\infty 3a^2\frac{1}{z^2}\,dz = \frac32 a^2 \lim_{r\rightarrow\infty} \left . -\frac1z\right |_1^r =\frac32 a^2 \lim_{r\rightarrow\infty} (1-\frac1r) = \frac32 a^2.$$

Mit $t=\frac yx = \tan\varphi$ kann man auch die Sektorformel benutzen. Dabei ist
$$ r^2(\varphi) = x^2(\varphi)+y^2(\varphi)=9a^2\,\tan^2\varphi\frac{1+\tan^2\varphi}{(1+tan^3\varphi)^2}.$$

Mit der Ersetzung $t=\tan\varphi$ erhält man aus
$$F=\frac12 \int_0^{\frac\pi2} r^2(\varphi) d\varphi$$ 
wieder das obige Integral.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 305: Flächenberechnung über Kurvenintegrale - die Sektorformel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Leiten Sie aus dem Gaußschen Satz in der Ebene durch Angabe eines speziellen Vektorfeldes eine Formel her, um den Flächeninhalt über ein Kurvenintegral zu berechnen.
\item Berechnen Sie den Flächeninhalt eines sektorförmigen Gebietes, d. h. eines Gebietes, das durch zwei Strahlen aus dem Koordinatenursprung und einer Kurve $r(\varphi)$ begrenzt wird, die den Abstand des Punktes vom Ursprung innerhalb der beide Strahlen angibt. 
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
 \includegraphics[scale=0.7]{aImage020}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 305}}\\
\ben
\item Der Gaußsche Satz lautet
$$ \iint_\Omega (Q_x(x,y)-P_y(x,y))dxdy = \oint_{\partial\Omega} P(x,y)dx +Q(x,y)dy.$$
Mit $Q(x,y)=\frac x2$ und $P(x,y)= -\frac y2$ wird daraus die Formel
$$ |\Omega| = \iint_\Omega dxdy = \frac12 \oint_{\partial\Omega} xdy-ydx$$
für den Flächeneinhalt von $\Omega$.
\item Entlang einer Geraden durch den Ursprung $y=cx, 0<c<\infty$ ist $dy=cdx$ und $xdy-ydx=0$, d. h. das Randintegral über die beiden geraden Randstücke auf den Strahlen verschwindet. Dies gilt, wie man leicht sieht, auch für $c=0, x$-Achse und $c=\infty, y$-Achse. Das andere Randstück kann man folgendermaßen parametrisieren:
\bea
x(\varphi)&=& r(\varphi)\cos\varphi,\quad dx=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi\,d\varphi,\\
y(\varphi)&=& r(\varphi)\sin\varphi,\quad dy=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi\,d\varphi,\\
xdy-ydx&=& r^2(\varphi)\,d\varphi,\\
\eea
also ist
$$ |\Omega| = \frac12 \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r^2(\varphi)d\varphi$$
\een
\underline{Beispiel: Archimedische Spirale $r(\varphi)=a\varphi, 0\leq \varphi \leq 2\pi$}

$$\frac12 \int_0^{2\pi} a^2\varphi^2 d\varphi = \frac43 a^2\pi^3.$$
% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Maße }
\section{ messbare Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 306: Messbare Mengen bilden Algebra
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $\mu$ ein (äußeres) Maß auf der Potenzmenge $\mathcal{A}=2^X$ einer Grundmenge $X$. Eine Menge $A \in \mathcal{A}$ heißt messbar gdw.
$$ \mu(B) = \mu(B \cap A) + \mu(B \backslash A) \quad\mbox{für alle}\quad B \in \mathcal{A}.$$

Zeigen Sie:
\ben
\item $\emptyset$ ist messbar.
\item Nullmengen sind messbar.
\item $X$ ist messbar.
\item Ist $A\in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $X \backslash A$ messbar.
\item Sind $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $D:=A_1 \cap A_2$ messbar.
\item Sind $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $V:=A_1 \cup A_2$ messbar.
\een 

\underline{Bemerkung:} Aus den Punkten a), d) und e) folgt bereits, dass die messbaren Mengen eine Algebra bilden.\\

\underline{Zusatzaufgabe:} Zeige, dass die messbaren Mengen sogar eine $\sigma$-Algebra bilden, d.~h.:\\

Sind $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A}$ messbar, dann sind auch 
$$ D= \bigcap_{i=1}^\infty\, A_n \quad\mbox{und}\quad V=\bigcup_{i=1}^\infty\, A_n $$
messbar.
 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 306}}\\
\ben
\item $\mu(B \cap \emptyset) + \mu(B \backslash \emptyset) = \mu(\emptyset) + \mu(B) = 0 + \mu(B)=\mu(B)$ für alle $B \in \mathcal{A}$.
\item Sei $\mu(A)=0$, dann ist wegen $0 \leq \mu(B\cap A) \leq \mu(A) =0$ erst recht $\mu(B\cap A)=0$.\\
Weiterhin gilt\\
$\mu(B) \leq \mu(B \cap A) + \mu(B \backslash A) = \mu(B \backslash A) \leq \mu(B)$ für alle $B \in \mathcal{A}$. 
\item $\mu(B \cap X) + \mu(B \backslash X) = \mu(B) + \mu(\emptyset)  = \mu(B) + 0 =\mu(B)$ für alle $B \in \mathcal{A}$.
\item Wegen
$$ B \cap (X \backslash A) = B \backslash A \quad\mbox{und}\quad B \backslash (X \backslash A) = B \cap A \quad\mbox{für alle}\quad B \in \mathcal{A}$$
ist
$$ \mu(B \cap (X \backslash A)) + \mu(B \backslash (X \backslash A)) = \mu(B \backslash A) + \mu(B \cap A) = \mu(B) \quad\mbox{für alle}\quad B \in \mathcal{A}.$$

Die letzte Gleichheit ist die vorausgesetzte Messbarkeit von $A$.

\item Da $A_1, A_2$ messbar, gilt für alle $B \in \mathcal{A}$:
\bea
\mu(B) &=& \mu(B \cap A_1) + \mu(B \backslash A_1) \\
& = & \mu((B \cap A_1)\cap A_2) +\mu((B \cap A_1)\backslash A_2) + \mu((B \backslash A_1)\cap A_2) + \mu(B \backslash A_1)\backslash A_2)\\
& = & \mu(B \cap D) +\mu((B \cap A_1)\backslash A_2) + \mu((B \backslash A_1)\cap A_2) + \mu(B \backslash A_1)\backslash A_2)\\
\eea
\een
Andererseits gilt, ebenfalls wegen der Messbarkeit von $A_1, A_2$
\bea
\mu(B\backslash D) &=& \mu((B\backslash D)\cap A_1) + \mu((B\backslash D)\backslash A_1)\\
&=& \mu((B\cap A_1)\backslash A_2) + \mu(B\backslash A_1)\\
&=& \mu((B\cap A_1)\backslash A_2) +  \mu((B\backslash A_1)\cap A_2) + \mu((B\backslash A_1)\backslash A_2)\\
\eea
Subtrahiert man beide Gleichungen, so erhält man
$$ \mu(B) - \mu(B\backslash D) = \mu(B \cap D) \quad\mbox{bzw.}\quad \mu(B)  = \mu(B \cap D)+ \mu(B\backslash D),$$
das ist die Messbarkeit von $D$.
\item Wegen d) und e) sind mit den Mengen $A_1, A_2$ auch die Mengen $X\backslash A_1, X\backslash A_2$ und\\ 
$(X\backslash A_1) \cap (X\backslash A_2) = X\backslash (A_1 \cup A_2) = X\backslash V$ messbar, ebenfalls nach d) ist dann aber auch $V=X\backslash (X\backslash V)$ messbar.
% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Nullmengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 307: Fast alle in endlich vielen Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\mu$ ein Maß auf einer $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ über $X$ und $\{A_n\}_{n\geq 1},\ A_n \in \mathcal{A}$ eine Folge meßbarer Mengen mit $\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) < +\infty$. 

Zeigen Sie:

Fast alle $x \in X$ gehören zu höchstens endlich vielen der Mengen $A_n$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 307}}\\
Sei 
\bea
B &:=& \{ x \in X : x \in A_n \mbox{ für unendlich viele } n \in \N \}\\
&=& \{ x \in X : x \in B_k=\bigcup_{n=k}^\infty\,A_n \mbox{ für alle } k \in \N \}\\
&=& \bigcap_{k=1}^\infty\,B_k = \bigcap_{k=1}^\infty\,\bigcup_{n=k}^\infty\,A_n  \in \mathcal{A}\\
\eea

Offensichtlich ist $B \subseteq B_k$ für alle $k \in \N$.

Wegen $\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) < +\infty$ existiert zu jedem $\varepsilon >0$ ein $n_0(\varepsilon)$ mit

$$ \mu(B_k) \leq \sum_{n=k}^\infty \mu(A_n) <\varepsilon \quad\mbox{für}\quad k>n_0(\varepsilon).$$

Wegen der Monotonie des Maßes ist dann auch

$$\mu(B) \leq \mu(B_k) < \varepsilon,$$

und da $\varepsilon>0$ beliebig gewählt werden kann, ist $\mu(B)=0$, d.~h. $X\backslash B$ enthält fast alle $x \in X$.
% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Prinzip des Cavalieri - Guldinsche Regel }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 308: Cavalierie-Prinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $B\subset \R^n$ Jordan-messbar und für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in B$ sei $a\leq x_n\leq b$.
\[Q(x_n):=\set{x'\in \R^{n-1}\ |\ (x',x_n)\in B}\]
\[q(x_n):=\abs{Q(x_n)}_{n-1}\]
Man zeige:
\[\abs{B}=\int_a^b\,q(x_n)\,dx_n.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 308}}\\
Setze $I=[a,b]$, $J\subset R^{n-1}$ sei ein kompaktes Intervall, so dass $B\subset J\times I$ ist. Dann ist
\[\abs{B}=\int_{J\times I} \chi_B\,dx ,\]
wobei für festes $x_n\in I$ gilt
\[\int_{J} \chi_B(x',x_n)\,dx'=q(x_n).,\]
Nach dem Satz von Fubini existiert dann
\[\int_q^b\,q(x_n)\,dx_n\]
und es ist
\[\abs{B}=\int_I\rkl{\int_J \chi_B(x',x_n)\,dx'}\,dx_n=\int_a^b\,q(x_n)\,dx_n.\]
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{210pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 309: Inhalt eines Glases
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Das Innere eines Glases soll die Form eines Rotationsparaboloids $z = x^2 + y^2$ haben.\\
Berechne das Volumen $V$ und die Oberfläche $O$ des Glasinneren\\
mittels
\begin{enumerate}
	\item Guldinscher Regel,
	\item Volumenberechnung durch Integration im $\R^3$.
\end{enumerate}
Welche Höhe $h$ muss das Innere des Glases haben, wenn es 0,5 Liter fassen soll.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{220pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[angle=270, scale=0.34]{aImage021}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 309}}\\
In beiden Fällen gilt:\\
Setzt man $x^2+y^2=r^2$, dann sind die Höhe $h$ und der Durchmesser $R$ des oberen Randes durch die Formel $h=R^2$ verbunden.
\begin{enumerate}
	\item \begin{satz}[Satz des Cavalieri]\footnote{Der italienische Mathematiker Francesco Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) formulierte das nach ihm benannte Cavalierische Prinzip.} Werden zwei Körper, die auf der selben Ebene stehen von allen dazu parallelen Ebenen in gleich großen Flächen geschnitten, so haben diese Körper das gleiche Volumen.\end{satz}
	\begin{folge}Um das Volumen eines Körpers zu berechnen, muss man nur entlang der Schwerpunktkurve der Querschnittsflächen diese Querschnittsflächen aufintegrieren.\end{folge}
	\begin{folge}Um die Oberfläche eines Körpers zu berechnen, muss man nur entlang der Schwerpunktkurve der Querschnittsrandkurven die Länge der Randkurven aufintegrieren. Allerdings mus man dabei die Verzerrung der Randkurve bzw. deren Winkel gegenüber der Querschnittskurve beachten.\end{folge}
	Speziell für Rotationskörper erhält man daraus die 
	\begin{satz}[Guldinschen Regeln]\footnote{Paul Guldin, ursprünglich Habakuk Guldin (1577-1643), war Astronom und Professor für Mathematik in Graz und Wien.}
\begin{description}
	\item[1. Regel:] Der Inhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus der Länge des auf einer Seite der Drehachse liegenden erzeugenden Kurvenstücks und der Länge des Weges, den der Schwerpunkt des erzeugenden Kurvenstücks bei einer vollen Drehung um die Rotationsachse zurücklegt.
\item[2. Regel:] Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der auf einer Seite der Drehachse liegenden erzeugenden Fläche und der Länge des Weges, den der Flächenschwerpunkt bei einer vollen Drehung um die Rotationsachse zurücklegt. 
\end{description}
\end{satz}

\begin{description}
	\item[1. Weg:]
	Betrachtet man Schnitte parallel zur $x$-$y$-Ebene, so liegen die Schwerpunkte der Querschnitssflächen auf der $z$-Achse. 
Somit gilt, wenn $A(z)=\pi r^2=\pi z$ die Querschnittsflächen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von $z$ bezeichnen
\[
V=\int_0^{R^2} \, A(z) dz = \int_0^{R^2} \, \pi z dz = \frac{\pi}{2}R^4=\frac{\pi}{2}h^2.
\]
Auch die Schwerpunkte der Querschnittsrandkurven liegen auf der $z$-Achse. Bei der Berechnung der Oberfläche muss man jedoch den Winkel (Anstieg) der Kurve gegenüber der $z$-Achse berücksichtigen, d.~h. man darf die Querschnitte in der Höhe $z$ nicht als Zylinder, sondern muss sie als Kegelstümpfe der infitesimalen Höhe $dz$ mit Grundkreisradius $r_1=\sqrt{z}$ und Deckkreisradius $r_2=\sqrt{z+dz}$ ansehen. Die Mantelfläche $dM(z)$ eines solchen Kegelstumpfes berechnet man nach der Formel
\bea
dM(z)&=&\pi(r_1+r_2)\sqrt{dz^2+(r_1-r_2)^2}=\pi(r_1+r_2)\sqrt{1+\rkl{\frac{r_1-r_2}{dz}}^2}\,dz\\
&=&\pi(r_1+r_2)\sqrt{1+\rkl{\frac{r_1^2-r_2^2}{dz(r_1+r_2)}}^2}\,dz\approx 2\pi\sqrt{z}\sqrt{1+\rkl{\frac{dz}{dz(2\sqrt{z})}}^2}\,dz\\
&=&\pi\sqrt{4z+1}\,dz
\eea
Dabi gilt das das Prinzip, dass bei großen Werten, also bei $r_1+r_2=\sqrt{z}+\sqrt{z+dz}$, das $dz$ vernachlässigt werden kann, während es bei kleinen Werten, also bei $r_1-r_2$ - gegebenenfalls unter Benutzung der dritten binomischen Formel, erhalten bleiben muss.\\
Somit ist dann
\[
O=\int_0^{R^2} \, dM(z) = \int_0^{R^2} \, \pi \sqrt{4z+1} dz = \frac{\pi}{4}\frac{2}{3}\sqrt{\rkl{4R^2+1}^3}=\frac{\pi}{6}\sqrt{\rkl{4R^2+1}^3}.
\]
	\item[2. Weg:] Wir bestimmen zuerst den Inhalt $I$ und den Schwerpunkt $S(x_s,z_s)$ der rotierenden Fläche oberhalb der Parabel $z=x^2, z\in [0,R^2]$.  Es ist
	\[I=R\cdot R^3-\int_0^R\,x^2\,dx=\R^3-\frac{1}{3}R^3=\frac{2}{3}R^3,\]
	\[x_s=\frac{3}{2R^3}\,\int_0^R\,\rkl{x\,R^2-x^3}\,dx=\frac{3}{8}R,\]
	\[z_s=\frac{3}{2R^3}\,\int_0^{R^2}\,z\sqrt{z}\,dz =\frac{3}{5}R^2.\]
	Es hätte allerdings genügt, $x_s$ zu bestimmen, denn die Schwerpunktkurve ist ein Kreis mit Radius $x_s$, somit gilt nach der zweiten Guldinschen Regel
	\[V=2\pi\,x_s\,I = 2\pi\,\frac{3}{8}R\,\frac{2}{3}R^3=\frac{\pi}{2}R^4=\frac{\pi}{2}h^2.\]
	Die Länge der Parabelkurve ist
\[l=\int_0^R\,\sqrt{1+(2x)^2}\,dx.\]
Dieses Integral ist nicht einfach auszuwerten, wie man aber sehen wird, ist dies auch nicht nötig. Wir bestimmen erstmal die $x$-Koordinate des Kurvenschwerpunktes
\bea 
\tilde{x}_S&=& \frac{1}{l}\int_0^R\,x\sqrt{1+(2x)^2}\,dx\qquad\qquad | 1+4x^2=u,\ 8x\,dx=du\\
&=&\frac{1}{8l}\int_0^{1+4R^2}\,\sqrt{u}\,du\\
&=& \frac{1}{8l}\frac{2}{3}\sqrt{\rkl{1+4R^2}^3}=\frac{1}{12l}\sqrt{\rkl{1+4R^2}^3}.\\
\eea
Nach der ersten Guldinschen Regel ist nun
\[O=\rkl{2\pi\tilde{x}_S}l=\frac{\pi}{6}\sqrt{\rkl{1+4R^2}^3}\]
\end{description}


	\item Wir benutzen Zylinderkoordinaten
	\[ x=r\cos\vp, y=r\sin\vp, z\]
	Die Funktionaldeterminante ist
	\[\abs{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\vp,z)}}=\begin{vmatrix}\cos\vp & \sin\vp &0\\-r\sin\vp & r\cos\vp & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=r\]
 Das Volumen berechnet sich wie folgt:
\bea
	V&=&\int_0^{R^2}\iint_{x^2+y^2\leq z}\, dxdydz   \\
	&=& \int_0^{R^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{z}} \,r \,drd\vp dz\\
	&=& \pi \,\int_0^{R^2}\,z\,dz =\frac{\pi}{2}R^4=\frac{\pi}{2}h^2.
\eea
Für die Oberfläche ist $z=r^2$ keine freie Variable mehr. Entsprechend lautet die Funktionalmatrix
\[\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\vp)}=\begin{pmatrix}\cos\vp & \sin\vp &2r\\-r\sin\vp & r\cos\vp & 0\end{pmatrix}\]
und weiter ist
\bea
	O&=& \int_0^R\int_0^{2\pi} \,\sqrt{
	\begin{vmatrix}\cos\vp & \sin\vp \\-r\sin\vp & r\cos\vp \\\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}\cos\vp & 2r\\-r\sin\vp &  0\\\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \sin\vp &2r\\ r\cos\vp & 0\\\end{vmatrix}^2} \,drd\vp\\
	&=& \int_0^R\int_0^{2\pi} \,\sqrt{r^2+4r^4} \,drd\vp\\
	&=& 2\pi \,\int_0^R\,r\sqrt{1+4r^2} \,dr\qquad\qquad | 1+4r^2=u,\ 8r\,dr = du\\ 
	&=&\frac{\pi}{4}\int_0^{1+4R^2}\,\sqrt{u}\,du=\frac{\pi}{4}\frac{2}{3}\left.\right|_0^{1+4R^2} =\frac{\pi}{6}\sqrt{\rkl{1+4R^2}^3}
\eea
\end{enumerate}
In beiden Fällen gilt:\\

Für $V=0.5$ l$=500$ cm$^3$ erhält man also $h=\sqrt{\frac{1000}{\pi}}\,\approx 17.8\,\text{cm}$. 


% Ende der Lösung
\newpage
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 310: Die n-dimensionale Einheitskugel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme Volumen und Oberfläche der $n$-dimensionalen Kugel vom Radius $r$ mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage022}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 310}}\\
\section{Sei $V_n(r)$ das Volumen einer $n$-dimensionalen Kugel} 
$$K_n(r)=\{(x_1, x_2,\dots,x_n) \in \Rx{n}\ |\ x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 = r^2\}$$ 
vom Radius $r$. Der Schnitt jeder Hyperebene $x_n=\rho,\ 0 \leq  \rho \leq r$ mit dieser Kugel ist eine $(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius $\sqrt{r^2-\rho^2}$. Deshalb gilt nach dem Prinzip von Cavalieri und aus Symmetriegründen für das Volumen 
$$V_n(r) = 2\,\int_0^r V_{n-1}(\sqrt{r^2-\rho^2})\,d\rho = 2\,r\,\int_0^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1}(r\,\sin\varphi)\,\sin\varphi\,d\varphi.$$ 
Die letzte Gleichung erhält man durch die Substitution 
$\rho=r\,\cos\varphi,\ 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$.\\

Bei der Berechnung hilft uns Maple:\\
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{V:=proc(n,r)
 if n=1 then 2*r else 2*r*int(V(n-1,r*sin(phi))*sin(phi), phi=0..Pi/2)
fi
end;}{%
}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{V := proc (n, r) if n = 1 then 2*r else
2*r*int(V(n-1,r*sin(phi))*sin(phi),phi = 0 .. 1/2*Pi) end if end
proc;}{%
\maplemultiline{
V := \textbf{proc} (n, \,r) \\
\mapleIndent{1} \textbf{if} \,n=1\,\textbf{then} \,2 \ast r\,
\textbf{else} \,2 \ast r \ast \mathrm{int}(\mathrm{V}(n - 1, \,r
 \ast \mathrm{sin}(\phi )) \ast \mathrm{sin}(\phi ), \,\phi =0
 .. \pi /2)\,\textbf{end if}  \\
\textbf{end proc}  }
%
}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{vol:=[seq(V(n,r),n=1..10)];}{%
}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{vol := [2*r, r^2*Pi, 4/3*r^3*Pi, 1/2*r^4*Pi^2, 8/15*r^5*Pi^2,
1/6*r^6*Pi^3, 16/105*r^7*Pi^3, 1/24*r^8*Pi^4, 32/945*r^9*Pi^4,
1/120*r^10*Pi^5];}{%
\[
\mathit{vol} := [2\,r, \,r^{2}\,\pi , \,{\displaystyle \frac {4\,
r^{3}\,\pi }{3}} , \,{\displaystyle \frac {r^{4}\,\pi ^{2}}{2}} 
, \,{\displaystyle \frac {8\,r^{5}\,\pi ^{2}}{15}} , \,
{\displaystyle \frac {r^{6}\,\pi ^{3}}{6}} , \,{\displaystyle 
\frac {16\,r^{7}\,\pi ^{3}}{105}} , \,{\displaystyle \frac {r^{8}
\,\pi ^{4}}{24}} , \,{\displaystyle \frac {32\,r^{9}\,\pi ^{4}}{
945}} , \,{\displaystyle \frac {r^{10}\,\pi ^{5}}{120}} ]
\]
%
}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
Um vielleicht eine einfachere Rekursionsformel zu erkennen, dividieren wir aufeinanderfolgende Volumina: 
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{seq(vol[n]/vol[n-1],n=2..10);}{%
}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{1/2*r*Pi, 4/3*r, 3/8*r*Pi, 16/15*r, 5/16*r*Pi, 32/35*r, 35/128*r*Pi,
256/315*r, 63/256*r*Pi;}{%
\[
{\displaystyle \frac {r\,\pi }{2}} , \,{\displaystyle \frac {4\,r
}{3}} , \,{\displaystyle \frac {3\,r\,\pi }{8}} , \,
{\displaystyle \frac {16\,r}{15}} , \,{\displaystyle \frac {5\,r
\,\pi }{16}} , \,{\displaystyle \frac {32\,r}{35}} , \,
{\displaystyle \frac {35\,r\,\pi }{128}} , \,{\displaystyle 
\frac {256\,r}{315}} , \,{\displaystyle \frac {63\,r\,\pi }{256}
} 
\]
%
}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
Hieraus erkennt man auf den ersten Blick wenig, wir wagen noch einen Versuch mit jeweils dem übernächsten Folgenglied.
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{seq(vol[n]/vol[n-2],n=3..10);}{%
}
\end{mapleinput}
%\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{2/3*r^2*Pi, 1/2*r^2*Pi, 2/5*r^2*Pi, 1/3*r^2*Pi, 2/7*r^2*Pi,
1/4*r^2*Pi, 2/9*r^2*Pi, 1/5*r^2*Pi;}{%
\[
{\displaystyle \frac {2\,r^{2}\,\pi }{3}} , \,{\displaystyle 
\frac {r^{2}\,\pi }{2}} , \,{\displaystyle \frac {2\,r^{2}\,\pi 
}{5}} , \,{\displaystyle \frac {r^{2}\,\pi }{3}} , \,
{\displaystyle \frac {2\,r^{2}\,\pi }{7}} , \,{\displaystyle 
\frac {r^{2}\,\pi }{4}} , \,{\displaystyle \frac {2\,r^{2}\,\pi 
}{9}} , \,{\displaystyle \frac {r^{2}\,\pi }{5}} 
\]
%
}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
Jetzt erkennt man, wenn man noch die Quotienten so erweitert, dass im Zähler $2\,\pi\,r^2$ steht, leicht folgende Rekursionsformeln:
$$V_0(r)=1,\quad V_1(r)=2\,r,\quad V_n(r) = \frac{2\,\pi\,r^2}{n}\,V_{n-2}(r) \quad\mbox{für}\quad n>1.$$ 	

Dies muss man allerding noch mit vollständiger Induktion beweisen, was wir uns hier aber sparen.
Daraus kann man nun - was ebenfalls durch vollständige Induktion bewiesen werden müsste - auch explizite Formeln für die verschiedenen Anfangswerte herleiten\footnote{Es ist $(2n)!! = 2n\cdot(2n-2)\cdot\ldots\cdot 2$ und $(2n+1)!! = (2n+1)\cdot(2n-1)\cdot\ldots\cdot 1$}:
\bea	
V_{2n}(r) &=& \frac{2^n\,\pi^n\,r^{2n}}{(2n)!!} = \frac{\pi^n\,r^{2n}}{n!}\\ 	
V_{2n+1}(r) &=&  \frac{2^{n+1}\,\pi^n\,r^{2n+1}}{(2n+1)!!}= \frac{2^{2n+1}\,n!\,\pi^n\,r^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ 	
\eea
Mit Hilfe der Gamma-Funktion\footnote{Es ist $\Gamma(x)=\int_0^\infty\,t^{x-1}\e^{-t}\,dt$. Die Gamma-Funktion hat die Eigenschaften $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, $\Gamma(n+1)=n!$ und $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$.} kann man auch allgemein schreiben
$$V_n(r) = \frac{\left(\sqrt{\pi}\,r\right)^n}{\Gamma(\frac{n}2 +1)}= \frac{\left(2\,\sqrt{\pi}\,r\right)^n}{n\,\Gamma(\frac{n}2)}.$$
 
\section{Sei $S_n(r)$ die Oberfläche einer $n$-dimensionalen Kugel.} 
Bei der Oberfläche ist die Situation nicht ganz so einfach zu verstehen. Am leichtesten kann man sich das beim Übergang von $n=2$ zu $n=3$ verdeutlichen. Die Oberfläche der dreidimensionalen Kugel berechnet man durch Summation über die Länge der Schnittkreise, multipliziert mit der "`Breite"' $r\,d\varphi$ des jeweiligen Bogenelementes. Dies gilt dann auch für höhere Dimensionen und führt zu der Rekursionsformel
$$S_n(r) = 2\,\int_0^{\frac{\pi}{2}} S_{n-1}(\sqrt{r^2-\rho^2})\,r\,d\varphi= 2\,r\,\int_0^{\frac{\pi}{2}} S_{n-1}(r\,\sin\varphi)\,d\varphi. $$
Auch hier lassen wir uns von Maple helfen:
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{S:=proc(n,r)
 if n=2 then 2*r*Pi else 2*r*int(S(n-1,r*sin(phi)), phi=0..Pi/2) fi
end;}{%
}
\end{mapleinput}
%\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{S := proc (n, r) if n = 2 then 2*Pi*r else
2*r*int(S(n-1,r*sin(phi)),phi = 0 .. 1/2*Pi) end if end proc;}{%
\maplemultiline{
S := \textbf{proc} (n, \,r) \\
\mapleIndent{1} \textbf{if} \,n=2\,\textbf{then} \,2 \ast \pi 
 \ast r\,\textbf{else} \,2 \ast r \ast \mathrm{int}(\mathrm{S}(n
 - 1, \,r \ast \mathrm{sin}(\phi )), \,\phi =0 .. \pi /2)\,
\textbf{end if}  \\
\textbf{end proc}  }
%
}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{ofl:=[seq(S(n,r),n=2..10)];}{%
}
\end{mapleinput}
%\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{ofl := [2*r*Pi, 4*r^2*Pi, 2*r^3*Pi^2, 8/3*r^4*Pi^2, r^5*Pi^3,
16/15*r^6*Pi^3, 1/3*r^7*Pi^4, 32/105*r^8*Pi^4, 1/12*r^9*Pi^5];}{%
\[
\mathit{ofl} := [2\,r\,\pi , \,4\,r^{2}\,\pi , \,2\,r^{3}\,\pi ^{
2}, \,{\displaystyle \frac {8\,r^{4}\,\pi ^{2}}{3}} , \,r^{5}\,
\pi ^{3}, \,{\displaystyle \frac {16\,r^{6}\,\pi ^{3}}{15}} , \,
{\displaystyle \frac {r^{7}\,\pi ^{4}}{3}} , \,{\displaystyle 
\frac {32\,r^{8}\,\pi ^{4}}{105}} , \,{\displaystyle \frac {r^{9}
\,\pi ^{5}}{12}} ]
\]
%
}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{seq(ofl[n]/ofl[n-2],n=3..10);}{}
\end{mapleinput}

%\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{r^2*Pi, 2/3*r^2*Pi, 1/2*r^2*Pi, 2/5*r^2*Pi, 1/3*r^2*Pi, 2/7*r^2*Pi, 1/4*r^2*Pi, 2/9*r^2*Pi}{%
\[
{r}^{2}\pi ,\,\frac{2\,{r}^{2}\pi}{3} ,\,\frac{{r}^{2}\pi}{2} ,\,\frac{2\,{r}^{2}\pi}{5} ,\,\frac{{r}^{2}\pi}{3} ,\,\frac{2\,{r}^{2}\pi}{7} ,\,\frac{{r}^{2}\pi}{4} ,\,\frac{2\,{r}^{2}\pi}{9} 
\]
}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}

Auch hier erkennt man nach entsprechender Erweiterung die noch per vollständiger Induktion zu beweisenden Rekursionsformeln:
$$S_2(r)=2\,\pi\,r,\quad S_3(r)=4\,\pi\,r^2,\quad S_n(r) = \frac{\,\pi\,r^2}{n-2}\,S_{n-2}(r)\quad\mbox{für}\quad n>3.$$ 
Schließlich erhält man auch hier die expliziten Formeln
\bea
	S_{2n}(r) &=& \frac{2^n\,\pi^n\,r^{2n-1}}{(2n-2)!!} = \frac{2\,\pi^n\,r^{2n-1}}{(n-1)!}=\frac{2n}{r}\,V_{2n}(r)\\	
	S_{2n+1}(r) &=& \frac{2^{n+1}\,\pi^n\,r^{2n}}{(2n-1)!!}= \frac{2^{2n}\,\pi^n\,r^{2n}\,(n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{2n+1}{r}\,V_{2n+1}(r). \\ 	
\eea

Mit Hilfe der Gamma-Funktion kann man nun auch wieder allgemein schreiben
$$S_n(r) = \frac{n}{r}\,V_n(r) = \frac{n}{r}\,\frac{2\,\left(\sqrt{\pi}\,r\right)^n}{n\,\Gamma(\frac{n}2)}= \frac{2\,\left(\sqrt{\pi}\right)^n\,r^{n-1}}{\Gamma(\frac{n}2)}.$$
 
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{220pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 311: Volumen und Oberfläche des Torus
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne Volumen $V$ und Oberfläche $O$ des Torus 
\begin{enumerate}
	\item mit dem Cavalieri-Prinzip
	\item direkt durch geeignete Koordinatendarstellung und Transformationsformel.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{210pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.6]{aImage023}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 311}}\\
Wir denken uns den Torus erzeugt aus einem Kreis vom Radius $r$ und mit Mittelpunkt $M=(R,0,0)$ in der $x$-$z$-Ebene, dessen Mittelpunkt $M$ auf einem Kreis vom Radius $R$ mit Mittelpunkt im Usprung $U=(0,0,0)$ in der $x$-$y$-Ebene rotiert. 
\begin{enumerate}
	\item Auf diesem Kreis mit dem Radius $R$ in der $x$-$y$-Ebene liegen sowohl die Schwerpunkte der kleinen Kreisscheiben als auch die ihrer Randkurven.\\
	Nach dem Prinzip des Cavalieri bzw. den Guldinschen Regeln erhält man dann unmittelbar
	\[V=\rkl{2\pi\,R}\,\rkl{\pi\,r^2}=2\pi^2Rr^2\]
	und 
	\[O=\rkl{2\pi\,R}\,\rkl{2\,\pi\,r}=4\pi^2Rr.\]
	\item Eine Parametrisierung des Torus, bei der $\vp$ den Winkel misst, den die Strecke $\overline{UM}$ mit der positiven $x$Achse bildet, und $\vt$ den Winkel misst, den für einen gegeben Punkt $P$ auf der Torusoberfläche die Strecke $\overline{MP}$ mit der $x-y$-Ebenen bildet, sieht folgendermaßen aus:
	
\begin{center}
	\begin{tabular}{l|c|c}
	& für das Volumen & für die Oberfläche\\
	\hline
	$x=\rkl{R+\rho\cos\vt}\cos\vp$ & $0\leq \vp\leq 2\pi$ & $0\leq \vp\leq 2\pi$ \\
	$y=\rkl{R+\rho\cos\vt}\sin\vp$ & $0\leq \vt\leq 2\pi$ & $0\leq \vt\leq 2\pi$ \\
	$z=\rho\sin\vt$& $0\leq \rho\leq r$ & $\rho=r$
	\end{tabular}
\end{center}
Die Funktionaldeterminate dieser Parametrisierung ist
\bea
\abs{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\vp,\vt)}}&=&
	\begin{vmatrix}
	  \cos\vt\cos\vp& \cos\vt\sin\vp &\sin\vt\\
	  -\rkl{R+\rho\cos\vt}\sin\vp & \rkl{R+\rho\cos\vt}\cos\vp & 0\\
	  -\rho\sin\vt\cos\vp & -\rho\sin\vt\sin\vp & \rho\cos\vt\\
	\end{vmatrix}\\
	&=&\rkl{R+\rho\cos\vt}\rho
	\begin{vmatrix}
	  \cos\vt\cos\vp& \cos\vt\sin\vp &\sin\vt\\
	  -\sin\vp & \cos\vp & 0\\
	  -\sin\vt\cos\vp & -\sin\vt\sin\vp & \cos\vt\\
	\end{vmatrix}\\	&=&\rkl{R+\rho\cos\vt}\rho\rkl{\cos^2\vp\cos^2\vt+\sin^2\vp\sin^2\vt+\cos^2\vp\sin^2\vt+\sin^2\vp\cos^2\vt}\\
&=&\rkl{R+\rho\cos\vt}\rho \rkl{\sin^2\vt+\cos^2\vt}\\
&=&\rkl{R+\rho\cos\vt}\rho.
	\eea
Berücksichtigt man noch, dass Integrale über ungerade Potenzen von Winkelfunktionen über volle Perioden verschwinden, ergibt sich für das Volumen
\bea
V&=&\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^r\,\rkl{R+\rho\cos\vt}\rho\,d\rho d\vt d\vp\\
&=&R\int_0^{2\pi}\,d\vp\,\int_0^{2\pi}\,d\vt\,\int_0^r\,\rho\,d\rho\\
&=&2\pi^2\,Rr^2.
\eea
Für die Oberfläche benötigen wir diese Funktionalmatrix		
\[	\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\vp,\vt)}=
	\begin{pmatrix}
	  -\rkl{R+r\cos\vt}\sin\vp & \rkl{R+r\cos\vt}\cos\vp & 0\\
	  -r\sin\vt\cos\vp & -r\sin\vt\sin\vp & r\cos\vt\\
	\end{pmatrix}\]	
	bzw. deren Unterdeteminanten
	\bea
	\abs{\frac{\partial(x,y)}{\partial(\vp,\vt)}}&=&
	\begin{vmatrix}
	  -\rkl{R+r\cos\vt}\sin\vp & \rkl{R+r\cos\vt}\cos\vp \\
	  -r\sin\vt\cos\vp & -r\sin\vt\sin\vp \\
	\end{vmatrix}= \rkl{R+r\cos\vt}r\sin\vt,\\
	\abs{\frac{\partial(x,z)}{\partial(\vp,\vt)}}&=&
	\begin{vmatrix}
	  -\rkl{R+r\cos\vt}\sin\vp &  0\\
	  -r\sin\vt\cos\vp & r\cos\vp\\
	\end{vmatrix}=-\rkl{R+r\cos\vt}r\sin\vp\cos\vt,\\
	\abs{\frac{\partial(y,z)}{\partial(\vp,\vt)}}&=&
	\begin{vmatrix}
	  \rkl{R+r\cos\vt}\cos\vp & 0\\
	  -r\sin\vt\sin\vp & r\cos\vp\\
	\end{vmatrix}=\rkl{R+r\cos\vt}r\cos\vp\cos\vt.\\
	\eea
	Dann ist
	\bea
	O&=&\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\,dO \\
	&=&\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \rkl{R+r\cos\vt}r\sqrt{\sin^2\vt+\sin^2\vp\cos^2\vp+\cos^2\vp\cos^2\vt}\ d\vt d\vp\\
	&=&r\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \rkl{R+r\cos\vt}\sqrt{\sin^2\vt+\cos^2\vt}\ d\vt d\vp\\
	&=&r\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \rkl{R+r\cos\vt}\ d\vt d\vp\\
	&=&4\pi^2Rr.
\eea
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Volumenintegrale im R3 }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{240pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 312: Kugelkoordinaten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne das Volumen des Körpers, der begrenzt wird von der Fläche
$$(x^2+y^2+z^2)^2=axyz.$$
\vfill
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{190pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.5]{aImage024}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 312}}\\
Wir benutzen Kugelkoordinaten
\bea
x &=& r\sin\vartheta\cos\varphi\\
y &=& r\sin\vartheta\sin\varphi\\
z &=& r\cos\vartheta\\
\eea

Für das Volumenelement gilt:$\quad dxdydz = r^2\sin\vartheta\, dr d\vartheta d\varphi$.\\

Aus der Flächengleichung folgt nun
$$r=a\sin^2\vartheta\cos\vartheta\sin\varphi\cos\varphi.$$

Die rechte Seite ist nichtnegativ, wenn $\cos\vartheta\sin(2\varphi)$ nichtnegativ ist, also wenn
\bea
0\leq\vartheta\leq\frac\pi2 & \mbox{und} & 0\leq\varphi\leq\frac\pi2\qquad\mbox{oder}\\
0\leq\vartheta\leq\frac\pi2 & \mbox{und} & \pi\leq\varphi\leq\frac{3\pi}2\qquad\mbox{oder}\\
\frac\pi2\leq\vartheta\leq\pi & \mbox{und} & \frac\pi2\leq\varphi\leq\pi\qquad\mbox{oder}\\
\frac\pi2\leq\vartheta\leq\pi & \mbox{und} & \frac{3\pi}2\leq\varphi\leq2\pi.\\
\eea

Unter Berücksichtigung der Periodizität und Symmetrie der Winkelfunktionen folgt für das Volumen
\bea
V&=&4\, \int_0^{\frac\pi2}\int_0^{\frac\pi2}\int_0^{a\sin^2\vartheta\cos\vartheta\sin\varphi\cos\varphi}\,r^2\sin\vartheta\, dr d\vartheta d\varphi\\
&=& \frac43a^3\,\int_0^{\frac\pi2}\int_0^{\frac\pi2}\ \sin^7\vartheta\cos^3\vartheta\sin^3\varphi\cos^3\varphi d\vartheta d\varphi\\
&=& \frac43a^3\,\int_0^{\frac\pi2}\ (\sin^7\vartheta-\sin^9\vartheta)\cos\vartheta d\vartheta \int_0^{\frac\pi2}\ (\sin^3\varphi-\sin^5\varphi)\cos\varphi d\varphi\\
&=& \frac43a^3\,\ (\frac18\sin^8\vartheta-\frac1{10}\sin^{10}\vartheta)\left|_0^{\frac\pi2}\right.(\frac14\sin^4\varphi-\frac16\sin^6\varphi)\left|_0^{\frac\pi2}\right.\\
&=& \frac43a^3\,\ (\frac18-\frac1{10})(\frac14-\frac16)\\
&=& \frac13a^3\,\ (\frac14-\frac15)(\frac12-\frac13)\\
&=& \frac13a^3\,\ \frac1{20}\frac16)\\
&=& \frac{a^3}{360}\\
\eea
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{200pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 313: Kegelhalbierung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein gerader Kreiskegel mit Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ wird durch einen ebenen Schnitt im Winkel $\alpha$ zur Grundfläche in zwei volumengleiche Teile geteilt. ($\alpha$ sei dabei natürlich echt kleiner als der Mantelwinkel des Kegels, so dass als Schnittfläche eine Ellipse entsteht, deren Rand ganz auf dem Kegelmantel liegt.)\\

Wie groß ist die Schnittfläche und in welcher Höhe schneidet die Schnittebene die Kegelachse?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{230pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.4]{aImage025}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 313}}\\
\mbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{200pt}
Der Kegel stehe in einem $(x,y,z)$-Koordinatensystem mit der Spitze im Ursprung senkrecht auf der $(x,y)$-Ebene. Die verwendeten Bezeichnungen entnehmen wir dem nebenstehenden Querschnitten durch die Kegelachse, also in der $(x.z)$-Ebene bzw. parallel zur Grundfläche ($(x,y)$-Ebene) in Höhe $h_m$.
\bit
\item Die Schnittebene schneide die Kegelachse in der Höhe $h_1$, d.h. die Gleichung der Schnittebene wie auch deren Spur in der $(x.z)$-Ebene ist
\begin{equation}\label{eq:1}
	z=x\,\tan\alpha +h_1.
\end{equation}
\item Die Bedingungen an den Schnitt lassen sich durch folgende Gleichungen beschreiben.
\begin{equation}\label{eq:2}
	h\geq r\,\tan\alpha +h_1, \quad \tan\alpha<\frac{h}{r}.
\end{equation}
Da $h_1>0$ sein muss, folgt die zweite Bedingung aus der ersten.
\eit
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{230pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.4]{lImage042}

  \includegraphics[scale=0.4]{lImage043}
\end{minipage}
\end{tabular}
}
\begin{description}
	\item[Klassische Lösung] 
\bit
\item Die schräg abgeschnittene Kegelspitze interpretieren wir als einen auf der Schnittebene stehenden schiefen Kegel mit elliptischer Grundfläche und Höhe $h_2=h_1\cos\alpha$.
\item Die elliptische Grundfläche ist eine Ellipse mit Halbachsen $a$ und $b$ mit $a<b$. Wir suchen $a, b$ und $h_2$ so, dass die Volumenbedingung
\begin{equation}\label{eq:3}
	\frac{\pi}{3}\,r^2\,h = 2\,\frac{\pi}{3}\,a\,b\,h_2 \qquad\mbox{bzw.}\qquad r^2\,h = 2\,a\,b\,h_2
\end{equation}
erfüllt ist.
\item Die große Ellipsenachse liegt senkrecht über der $x$-Achse, für ihre Länge $2b$ gilt 
\begin{equation}\label{eq:4}
	2b\cos\alpha=x_1-x_0, 
\end{equation}
wobei $x_0$ und $x_1$ die Abszissen der Punkte sind, in denen im gezeigten Querschnitt die Spur der Schnittebene die Mantellinien des Kegels schneidet.
\item Der Schnittpunkt der Halbachsen liegt in der Höhe $h_m$ senkrecht über dem Mittelpunkt 
\begin{equation}\label{eq:5}
	x_m=\frac{x_0+x_1}{2}
\end{equation}
der Strecke von $x_0$ nach $x_1$ und die kleinere Ellipsenachse ist sowohl zur $(x,y)$-Ebene als auch zur $(y,z)$-Ebene parallel.
\item Die Länge der kleinen Halbachse ist nach Pythagoras 
\begin{equation}\label{eq:6}
	a=\sqrt{r_m^2-x_m^2}, 
\end{equation}
wobei $r_m$ der Radius des Kegels in der Höhe $h_m$ ist. Nach Strahlensatz ist noch
\begin{equation}\label{eq:7}
	r_m=\frac{r\,h_m}{h}.
\end{equation}
\eit

Indem man nun die Werte $x_0, x_1$ und  $x_m$ in die Geradengleichung \eqref{eq:1} bzw. in die Gleichungen für die Mantellinien des Kegels einsetzt, erhält man die Gleichungen
\begin{equation}\label{eq:8}
	x_1\,\tan\alpha + h_1 = \frac{h}{r}x_1\qquad\mbox{bzw.}\qquad x_1=\frac{r\,h_1}{h-r\tan\alpha},
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:9}
	x_0\,\tan\alpha + h_1 = -\frac{h}{r}x_0\qquad\mbox{bzw.}\qquad x_0=-\frac{r\,h_1}{h+r\tan\alpha}.
\end{equation}
und
\begin{equation}\label{eq:10}
	x_m\,\tan\alpha + h_1 = h_m.
\end{equation}

Man beachte, dass $x_0$ negativ ist. 

In \eqref{eq:8} und \eqref{eq:9} werden $x_0$ und $x_1$ bereits durch $h_1$ und bekannte Größen ausgedrückt. Aus \eqref{eq:5} erhält man auch
\begin{equation}\label{eq:11}
	x_m = \frac{x_0+x_1}{2} = \frac12\left( \frac{r\,h_1}{h-r\tan\alpha}-\frac{r\,h_1}{h+r\tan\alpha}\right) =\frac{r^2\,h_1\tan\alpha}{h^2-r^2\tan^2\alpha}.
\end{equation}
Aus \eqref{eq:10} folgt dann
\begin{equation}\label{eq:12}
	h_m=\frac{r^2\,h_1\tan^2\alpha}{h^2-r^2\tan^2\alpha}+h_1=\frac{h^2\,h_1}{h^2-r^2\tan^2\alpha}
\end{equation}
und aus \eqref{eq:6} und \eqref{eq:7} erhält man zunächst
\[r_m=\frac{r\,h_m}{h}=\frac{r\,h\,h_1}{h^2-r^2\tan^2\alpha}\]
und schließlich
\begin{equation}\label{eq:13}	a=\sqrt{\frac{r^2\,h^2\,h_1^2}{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^2}-\frac{r^4\,h_1^2\tan^2\alpha}{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^2}}\ =\ \frac{r\,h_1}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}.
\end{equation}
Aus \eqref{eq:4}, \eqref{eq:8} und \eqref{eq:9} folgt nun noch
\begin{equation}\label{eq:14}
	b=\frac{x_1-x_0}{2\cos\alpha} = \frac{r\,h\,h_1}{(h^2-r^2\tan^2\alpha)\,\cos\alpha}.
\end{equation}
\eqref{eq:13}, \eqref{eq:14} und die Gleichung $h_2=h_1\,\cos\alpha$ kann man nun in die Volumenbedingung \eqref{eq:3} einsetzen und erhält
\[r^2\,h = 2\,a\,b\,h_2 = 2\,\frac{r^2\,h\,h_1^3}{\sqrt{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^3}},\]
woraus
\begin{equation}\label{eq:15}
	h_1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}
\end{equation}
folgt. Die Schnittfläche ergibt sich dann zu 

\[F = \pi\,a\,b = \pi\,\frac{r^2\,h\,h_1^2}{\sqrt{(h^2-r^2\tan^2\alpha)^3}\cos\alpha}=\frac{\pi}{2}\frac{\sqrt[3]{2}\,r^2\,h}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}\cos\alpha}.\]
\vspace{5mm}
\item[Lösung mit Integralrechnung] Wir benutzen Zylinderkoordinaten für die Volumenberechnug der unteren Kegelspitze mit
\[x=\rho\,\cos\vp,\quad y=\rho\,\sin\vp,\quad z\]
und
\[0\leq \vp\leq 2\pi,\quad 0\leq\rho\leq \rho_{max}, \quad \frac{\rho}{r}h \leq z\leq h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha,\]
wobei $\rho_{max}$ aus der Gleichung
\[\frac{\rho_{max}}{r}h = h_1+\rho_{max}\,\cos\vp\,\tan\alpha\]
bestimmt wird, d.~h. es ist 
\[\rho_{max}=\frac{h_1r}{h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp}.\]
Für das Volumen der abgeschnittenen Kegelspitze erhält man nun
\bea
V&=& \int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,\int_{\frac{\rho}{r}h}^{h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha}\,\rho\,dz\,d\rho\,d\vp\\
&=&\int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,\rkl{h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha-\frac{\rho}{r}h}\,\rho\,d\rho\,d\vp\\
\eea
\bea
&=&\int_0^{2\pi}\,\rkl{\frac{1}{2}\rho_{max}^2h_1+\frac{1}{3}\rho_{max}^3\,\cos\vp\,\tan\alpha-\frac{1}{3r}{\rho_{max}}^3h}\,d\vp\\
&=&\int_0^{2\pi}\,\rkl{\frac{1}{2}\frac{r^2h_1^3}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}+\frac{1}{3}\frac{r^3\,h_1^3\,\cos\vp\,\tan\alpha}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^3}-\frac{1}{3r}\frac{r^3h\,h_1^3}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^3}}\,d\vp\\
&=&\frac{r^2h_1^3}{6}\int_0^{2\pi}\,\frac{3(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)+2(r\,\cos\vp\,\tan\alpha)-2h}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^3}\,d\vp\\
&=&\frac{r^2h_1^3}{6}\int_0^{2\pi}\,\frac{1}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\overset{\text{Symmetrie}}{=}\frac{r^2h_1^3}{3}\int_0^{\pi}\,\frac{1}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\\
&\overset{\text{Bronstein Nr. 350}}{=}&\frac{r^2h_1^3}{3}\left(\frac{-r\tan\alpha\,\sin\vp}{(r^2\tan^2\alpha-h^2)(h-r\tan\alpha\,\cos\vp)}\right|_0^\pi\\
&&\left.-\frac{h}{r^2\tan^2\alpha-h^2}\int_0^{\pi}\,\frac{1}{h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp}\,d\vp\right)\\
&\overset{\text{Bronstein Nr. 347}}{=}&\left.\frac{r^2h_1^3}{3}\frac{h}{h^2-r^2\tan^2\alpha}\frac{2}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}\arctan\rkl{\frac{(h+r\tan\alpha)\tan\frac{\vp}{2}}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}}\right|_0^\pi\\
&=&\frac{\pi \,r^2\,h_1^3\,h}{3\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}^3}=\frac{1}{2}\frac{\pi}{3}r^2\,h\qquad\text{(halbes Kegelvolumen)}
\eea
Aus der letzten Gleichung erhält man nun
\[h_1=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}.\]
Die Schnittfläche erhält man nun aus
\[F=\int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,dF,\]
wobei $dF=\sqrt{\rho^2(1+z_\rho^2)+z_{\vp}^2}\,d\rho\,d\vp$ das Flächenelement für Zylinderkoordinaten darstellt. Auf der Schnittfläche ist $z=h_1+\rho\,\cos\vp\,\tan\alpha$, also
\[dF=\sqrt{\rho^2(1+\cos^2\vp\,\tan^2\alpha)+\rho^2\,\sin^2\vp\,\tan^2\alpha}\,d\rho\,d\vp=\rho\,\sqrt{1+\tan^2\alpha}\,d\rho\,d\vp=\frac{\rho}{\cos\alpha}\,d\rho\,d\vp\]
und
\bea
F&=&\int_0^{2\pi}\,\int_0^{\rho_{max}}\,\frac{\rho}{\cos\alpha}\,d\rho\,d\vp=\frac{1}{2\cos\alpha}\int_0^{2\pi}\,\rho_{max}^2\,d\vp\\
&=&\frac{1}{2\cos\alpha}\int_0^{2\pi}\,\frac{h_1^2r^2}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\\
&=&\frac{1}{\sqrt[3]{4}\cos\alpha}\,r^2\,(h^2-r^2\tan^2\alpha)\,\int_0^{\pi}\,\frac{1}{(h-r\,\tan\alpha\,\cos\vp)^2}\,d\vp\\
&\overset{\text{wie oben}}{=}&\left.\frac{\sqrt[3]{2}}{2\cos\alpha}\,\frac{2\,r^2\,h}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}\arctan\rkl{\frac{(h+r\tan\alpha)\tan\frac{\vp}{2}}{\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}}\right|_0^\pi\\
&=&\frac{\pi}{2}\frac{\sqrt[3]{2}\,r^2\,h}{\cos\alpha\,\sqrt{h^2-r^2\tan^2\alpha}}\\
\eea

\item[Sonderfall:] Im Falle einer zur Grundfläche parallelen Schnittebene, also für $\alpha=0$, erhält man einfach
\[ h_1=\frac{h}{\sqrt[3]{2}}\quad\text{und}\quad F=\frac{\pi}2\,\sqrt[3]{2}\,r^2.\]

\end{description}


\vspace{1cm}
\underline{Nichttriviales Beispiel:}\\

"`Geocaching"' ist ein Spiel, bei dem man "`Schätze"' in der freien Natur versteckt und die Koordinaten dieses Versteckes in gewisser Weise verschlüsselt an andere weitergibt, damit diese den Schatz heben können. Eine dieser Aufgaben lautete so:\\

14:30 Uhr. Dieter, ein junger Doktorand, kommt mit seiner Arbeit nicht voran. Er seufzt und schlendert in die Cafeteria seiner Fakultät. Dort angekommen zieht er sich sein Lieblingseis, das letzte vorhandene "`Inuit's kiss"'. Er ist noch mit dem Auspacken beschäftigt, da sieht er eine junge Studentin hereinkommen. Dieter hatte sie schon mal gesehen, letzte Woche, als er bei seinem Doktorvater war. Sie gefiel Dieter, er wollte sie auch ansprechen, nur leider hatte sich bisher noch keine Gelegenheit ergeben.
Zielstrebig wirft Claudia das Kleingeld in den Automaten und drückt die Taste für "`Inuit's kiss"', allein der Automat verweigert seinen Dienst: "`Verdammt, heute klappt aber auch gar nichts. Erst lässt sich dieses Differentialgleichungssystem nicht lösen und jetzt ist das Eis alle!"' Dieter, der das Ganze mitbekommen hat, sieht seine Chance gekommen und spricht sie an: "`Hallo! Kann ich helfen?"'. "`Wenn Du hier noch ein Eis rauskriegst..."' lautet die Antwort. "`Das wird wohl nichts werden, aber wir können ja meins teilen."'
Claudia will schon dankend ablehnen, doch dann mustert sie ihn kurz. "`So übel sieht der gar nicht aus"' denkt sie und willigt lächelnd ein. Flugs schnappt Dieter sich ein Messer und teilt das Eis in zwei Stücke, in dem er die Eistüte einmal schräg durchschneidet. Beide nehmen sich ein Stück und genießen das Eis. Nach einer Weile durchbricht sie die Stille: "`Hast Du gesehen, dass die beiden Stücke exakt gleich groß waren?"' Dieter sieht sie erstaunt an. Er hatte zwar schon von ihren außergewöhnlichen numerischen Fähigkeiten gehört, nur das konnte er jetzt nicht glauben. "`Wie kommst Du denn darauf?"' "`Nun, das Eis hat die Form eines Kegels, der 15,5 cm hoch ist und dessen Grundfläche einen Radius von 3,0 cm hat. Der Schnittwinkel betrug etwa 32,656973°. Die Schnittfläche war exakt $xx.ABCDEF cm^2$ groß, damit müssen die beiden Teile gleich groß sein."' Dieter war ganz perplex, wie hatte sie das jetzt so schnell berechnet?\\

"`Danke fürs Eis! Wenn Du Lust hast, ich bin abends immer bei N51 04.ABC E13 45.DEF, vielleicht kommst Du ja mal vorbei?"' hörte er noch, da war sie schon verschwunden. Irritiert schaute sich Dieter um. Hatte sie ihn eben eingeladen? Hatte sie!!! Also was saß er hier noch rum? Eilig schnappte er sich seine Sachen und rannte zu seinem Computer. Es galt ein Problem zu lösen, das jetzt wichtiger als seine Doktorarbeit war... \\

Hinweis: Schnittwinkel 0° ist parallel zur Grundfläche! \\

Für $h=15,5$ cm, $r=3$ cm und $\alpha=32,656973°$ lassen wir uns bei der Berechnung von Maple helfen:\\

\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{r:=3.0; h:=15.5; alpha:=Pi*32.656973/180;}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{r := 3.0;}{%
\[
r := 3.0
\]
%
}
\end{maplelatex}

\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{h := 15.5;}{%
\[
h := 15.5
\]
%
}
\end{maplelatex}

\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{alpha := .1814276278*Pi;}{%
\[
\alpha  := 0.1814276278\,\pi 
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{f:=simplify(Pi*r^2*h/(root(4,3)*sqrt(h^2-r^2*(tan(alpha))^2)*cos(alpha)));}{%
}
\end{mapleinput}

\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{f := 21.32084407;}{%
\[
f := 21.32084407
\]
%
}
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}

Der Treffpunkt befindet sich also bei N51 04.320 E13 45.844.

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 314: Kugel mit Loch
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In eine Kugel vom Radius $r$ wird ein zylindrisches Loch vom Radius $a$ so gebohrt, dass die Zylinderachse durch den Kugekmittelpunkt geht. Die Höhe des Loches beträgt 1~m.\\

Wie groß ist das Volumen des Restkörpers?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage026}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 314}}\\
\begin{description}
	\item[Klassische Lösung]
Es ist
$$V_{Rest}=V_{Kugel}-V_{Zylinder}-2*V_{Kugelkappe},$$
wobei
$$V_{Kugel}=\frac43\,\pi\,r^3,\quad V_{Zylinder}=\pi\,a^2,\quad V_{Kugelkappe}=\frac13\,\pi\,h^2\,(3r-h)$$
und 
$$r-h=\frac12\qquad\mbox{sowie}\qquad r^2-a^2=\frac14.$$

Damit ist

\bea
V_{Rest}&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(r-\frac12)^2\,(2r+\frac12) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(r^2-r+\frac14)\,(2r+\frac12) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(2r^3-2r^2+\frac12r+\frac12r^2-\frac12r+\frac18) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac23\,(2r^3-\frac32r^2+\frac18) \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac43\,r^3-a^2-\frac43\,r^3+r^2-\frac1{12} \right)\\
&=&\pi\,\left(\frac14-\frac1{12} \right)=\frac{\pi}{6}\approx 0,5235987755982988\\	
\eea
\item[Lösung mit Integralrechnung] Wie oben ist $r^2-a^2=\frac{1}{4}$. Benutze Zylinderkoordinaten:
\[a\leq\rho\leq r, \quad 0\leq\vp\leq 2\pi,\quad -\sqrt{r^2-\rho^2}\leq z\leq \sqrt{r^2-\rho^2},\]
dann ist
\bea
V_{Rest}&=&\int_0^{2\pi}\,\int_a^r\,\int_{-\sqrt{r^2-\rho^2}}^{\sqrt{r^2-\rho^2}}\,\rho\,dz\,d\rho\,d\vp\\ 
&=&4\pi\,\int_a^r\,\sqrt{r^2-\rho^2}\,\rho\,d\rho\qquad |\ u^2=r^2-\rho^2, u\,du=-\rho\,d\rho\\ 
&=&4\pi\,\int_0^{\sqrt{r^2-a^2}}\,u^2\,du \qquad|\  \sqrt{r^2-a^2}=\frac{1}{2}\\
 &=&4\pi\,\frac{1}{3}\frac{1}{2^3}=\frac{\pi}{6}.
\eea
\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Mengen }
\chapter{ Kombinatorik }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 315: Grundaufgaben der Kombinatorik
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $M = \set{1,\ldots,m}$ und $N = \set{1,\ldots,n}$ mit natürlichen Zahlen $m,n$.
Bestimmen Sie die Anzahl aller
\begin{enumerate}
	\item eindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$;
	\item eindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$ mit $f(1) \leq f(2) \leq \dots \leq f(m)$;
	\item eineindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$;
	\item eineindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$ mit $f(1) \leq f(2) \leq \dots \leq f(m)$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\underline{\textbf{Lösung 315}}\\
\begin{description}
	\item[zu a)] Es handelt sich um das sogenannte \emph{Wortproblem: Wieviele $m$-buchstabige Worte kann man mit einem $n$-buchstabigen Alphabet bilden?} \\
	\underline{Antwort:} Für $f(1)$ (bzw. den ersten Buchstaben) hat man $n$ Möglichkeiten, ebenso für $f(2)$ usw., insgesamt hat man also 
	\[n^m\quad\text{Möglichkeiten.}\]
	\item[zu c)] Es handelt sich um das sogenannte \emph{Zieleinlaufsproblem: Wieviele Möglichkeiten gibt es bei einem Lauf mit $n\geq m$ Läufern, die erstem $m$ Plätze zu besetzen?}\\
\underline{Antwort:} Für $f(1)$ (den ersten Platz) hat man $n$-Möglichkeiten, für $f(2)$ nur noch $n-1$ Möglichkeiten usw., insgesamt hat man also
	\[n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-m+1)= m!\cdot \binom{n}{m}\quad\text{Möglichkeiten.}\]
	Ist $n<m$, dann kann man dieselben Überlegungen mit der Umkehrfunktion anstellen, dann gibt es also
	\[m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot(m-n+1) = n! \cdot \binom{m}{n}\quad\text{Möglichkeiten.}\]
	\item[zu d)] Es handelt sich um das sogenannte \emph{Lotto-Problem: Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus $n\geq m$ Zahlen $m$ Zahlen auszuwählen und nach der Größe zu ordnen?}\\
	\underline{Antwort:} Wir bemerken zunächst, dass wir die Bedingung $f(1) \leq f(2) \leq \dots \leq f(m)$ wegen der geforderten Eineindeutigkeit durch die Bedingung $f(1) < f(2) < \dots < f(m)$ ersetzen können. Unter den möglichen Abbildungen aus c) gibt es jeweils $m!$ Abbildungen, deren Bildmengen übereinstimmen. Bei genau einer davon ist die Bildmenge in der natürlichen Ordnung. Man muss also das Ergebnis von c) noch durch $m!$ (bzw. $n!$ im Falle $n<m$) dividieren und erhält
	\[\begin{cases}
	\binom{n}{m}\quad\text{Möglichkeiten} & \text{falls}\quad n\geq m\\
	\binom{m}{n}\quad\text{Möglichkeiten} & \text{falls}\quad n< m\\
\end{cases}\]
	\item[zu b)] 
	\underline{1. Methode} Es handelt sich um das sogenannte \emph{Sortierproblem: Wieviele Möglichkeiten gibt es, $m$ ununterscheidbare Gegenstände in $n$ Schubfächer zu verteilen? (Es können auch leere Schubfächer auftreten.)} Dies ist im Grunde eine verallgemeinertes Permutationsproblem: Vertausche $m$ ununterscheidbare Gegenstände und $n-1$ Zwischenwände, d.~h. zwei Sorten von insgesamt $m+n-1$ Gegenständen.\\
	\[\text{Als Ergebnis erhält man } \frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}=\binom{m+n-1}{m}=\binom{m+n-1}{n-1}\text{ Vertauschungen.}\]
	Im Falle $n \geq m$ sind nun die Bilder aus $N$, also die (geordneten) Zahlen von 1 bis $n$, die Schubfächer und die Urbilder aus $M$ werden in diese verteilt; anderenfalls benutze man die Umkehrabbildung für diese Überlegung. Mithin hat man	
	\[\begin{cases}
	\binom{n+m-1}{m}=\binom{n+m-1}{n-1}\quad\text{Möglichkeiten} & \text{falls}\quad n\geq m\\
	\binom{m+m-1}{n}=\binom{m+m-1}{m-1}\quad\text{Möglichkeiten} & \text{falls}\quad n< m\\
\end{cases}\]

	\underline{2. Methode:} Man kann dieses Problem auch auf das Problem d) zurückführen. \\
	Im Gegensatz zu d) können nun in der Bedingung $f(1) \leq f(2) \leq \dots \leq f(m)$ tatsächlich Gleichheitszeichen vorkommen. Betrachtet man nun statt der Bildmenge $N$ die Menge $N_m=\set{1,\ldots,n,n+1,\ldots n+m-1}$, so lässt sich zu jeder zulässigen Auswahl mit $f(1) \leq f(2) \leq \dots \leq f(m)$ aus $N$ eineindeutig eine zulässige Auswahl
	\[\tilde{f}(1)=f(1) < \tilde{f}(2)=f(2)+1< \dots <\tilde{f}(i)=f(i)+i-1 <\ldots < \tilde{f}(m)=f(m)+m-1\]
	aus der Menge $N_m$ finden, d.~h die Abbildung $\tilde{f} : M \mapsto N_m$ mit $\tilde{f}(1) < \tilde{f}(2) < \dots < \tilde{f}(m)$ genügt den Voraussetzungen von d).\\ 
	Insgesamt ergeben sich aus der Formel in d) 
	\[\begin{cases}
	\binom{n+m-1}{m}=\binom{n+m-1}{n-1}\quad\text{Möglichkeiten} & \text{falls}\quad n\geq m\\
	\binom{m+m-1}{n}=\binom{m+m-1}{m-1}\quad\text{Möglichkeiten} & \text{falls}\quad n< m\\
\end{cases}\]
	
\end{description}
\underline{Bemerkung:} Die oben angeführten und durch plausible Erklärung gewonnenen Formeln müssen streng genommen noch mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden.
% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Mächtigkeit }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 316: Abzählbarkeit von Teilmengen von $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Die Menger aller endlichen Teilmengen von $\N$ ist abzählbar.
Gilt das auch für die Menge aller Teilmengen von $\N$?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 316}}\\
Wir betrachten die folgende Abbildung $\vp:2^{\N} \to [0,1]$ aus der Potenzmenge $2^{\N}$ auf das Intervall $[0,1]$, die folgendermaßen definiert ist:\\

Für $M \subset \N$ ist $\vp(M)$ derjenige Dualbruch $z=0.z_1z_2z_3\ldots \in [0,1]$, für den 
\[ z_n = \begin{cases} 0 & \text{falls } n \notin M\\ 1 & \text{falls } n \in M \end{cases} .\]

Beispielsweise ist also $\vp(\emptyset) =0$, $\vp(\N) =1$ und $\vp\rkl{\set{ 2k | k \in \N}} = 0.\overline{01}$, aber auch
 \[\vp\rkl{\set{1}} = 0.1 =0.0\overline{1} = \vp\rkl{\N \setminus \set{1}}.\]

Offensichtlich ist $\vp$ surjektiv, aber nicht injektiv, d.~h. es gibt mehr Teilmengen von $\N$ als reelle Zahlen in $[0,1]$. Somit ist die Menge $2^{\N}$ aller Teilmengen von $\N$  überabzählbar. \\

Andererseits ist die Einschränkung von $\vp$ auf die endlichen Teilmengen von $\N$, die auf endliche Dualbrüche, also in die Menge der rationale Zahlen\footnote{Dazu gehören die endlichen und die periodischen unendlichen Dualbrüche.} abgebildet werden, injektiv, aber nicht surjektiv, d.~h. es gibt weniger endliche Teilmengen von $\N$ als rationale Zahlen. Da diese aber abzählbar sind, sind die endlichen Teilmengen von $\N$ erst recht abzählbar.




% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Mengenbeziehungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 317: Symmetrische Differenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für Mengen $X, Y$ setzen wir $X * Y := (X\cup Y)\setminus (X\cap Y)$ (\underline{symmetrische Differenz} von $X$ und $Y$). Zeigen Sie, dass für Mengen $X, Y, Z$ gilt
\begin{enumerate}
\item $X * Y = Y * X$ ({\it Kommutativität})
\item $X * \emptyset = X$
\item $(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$ {\it Assoziativität})
\end{enumerate}
und bestimmen Sie für eine Menge $A$ alle Mengen $B$ mit $A * B = \emptyset$. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 317}}\\
\begin{description}
	\item[zu a)] Da sowohl $X\cup Y$ als auch $X\cap Y$ symmetrisch sind. gilt dies auch für $X * Y$.
	\item[zu b)] $X * \emptyset = (X \cup \emptyset) \setminus (X \cap \emptyset) = X \setminus \emptyset = X.$
	\item[zu c)] Unter Zuhilfenahme der Beziehung
	\bea
	X * Y &=& (X \cup Y) \setminus (X \cap Y) = (X \cup Y) \cap \overline{(X \cap Y)}\\
	&=& (X \cup Y) \cap (\overline{X} \cup \overline{Y}) = (X\cap \overline{X}) \cup (X\cap \overline{Y}) \cup (Y\cap\overline{X}) \cup (Y\cap\overline{Y})\\
	&=& (X\cap \overline{Y}) \cup (\overline{X}\cap Y).
	\eea
	berechnen wir linke und rechte Seite getrennt:
	
\begin{description}
	\item[linke Seite]
	\bea
	(X * Y) * Z &=& ((X * Y) \cap \overline{Z}) \cup (\overline{(X * Y)} \cap Z)\\
	&=& (((X \cap \overline{Y}) \cup (\overline{X}\cap Y)) \cap \overline{Z})\cup (\overline{((X \cap \overline{Y})\cup (\overline{X}\cap Y))} \cap Z)\\
	&=& ((X \cap \overline{Y}\cap \overline{Z}) \cup (\overline{X}\cap Y)\cap \overline{Z}) \cup (((\overline{X}\cup Y) \cap (X \cup\overline{Y}))\cap Z)\\ 
	&=& (X \cap \overline{Y}\cap \overline{Z}) \cup (\overline{X}\cap Y)\cap \overline{Z}) \cup (((\overline{X}\cap \overline{Y}) \cup (X \cap Y))\cap Z)\\ 
	&=& (X \cap \overline{Y}\cap \overline{Z}) \cup (\overline{X}\cap Y\cap \overline{Z}) \cup (\overline{X}\cap \overline{Y}\cap Z) \cup (X \cap Y\cap Z) 
	\eea 
	\item[rechte Seite]
	\bea
	X * (Y * Z)&=&(X\cap\overline{(Y*Z)})\cup(\overline{X}\cap (Y*Z))\\
	&=& (X\cap\overline{((Y\cap\overline{Z})\cup(\overline{Y}\cap Z))})\cup(\overline{X}\cap ((Y\cap\overline{Z})\cup(\overline{Y}\cap Z)))\\  
	&=& (X\cap((\overline{Y}\cup Z)\cap(Y\cup \overline{Z})))\cup(\overline{X}\cap Y\cap\overline{Z})\cup(\overline{X}\cap\overline{Y}\cap Z)\\  
	&=& (X\cap((\overline{Y}\cap \overline{Z})\cup(Y\cap Z)))\cup(\overline{X}\cap Y\cap\overline{Z})\cup(\overline{X}\cap\overline{Y}\cap Z)\\  
	&=& (X\cap\overline{Y}\cap \overline{Z})\cup(X\cap Y\cap Z)\cup(\overline{X}\cap Y\cap\overline{Z})\cup(\overline{X}\cap\overline{Y}\cap Z)\\  
	\eea
\end{description}
	Die beiden letzten Zeilen stimmen bis auf die Reihenfolge der Durchschnittsbildung überein.
\end{description}

Es ist
\bea 
\emptyset = A*B= (A\cap\overline{B}) \cup (\overline{A}\cap B) &\Leftrightarrow& 
A\cap\overline{B}=\emptyset \quad\mbox{und}\quad B\cap\overline{A}=\emptyset\\
&\Leftrightarrow& A \subseteq B \quad\mbox{und}\quad B \subseteq A
\quad \Leftrightarrow \quad A=B.
\eea
% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Supremum und Infimum }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 318: Beschränktheit von Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie, ob die unter a) - c) definierten Mengen $M$ reeller Zahlen
nach oben oder unten beschränkt sind. Wenn ja, dann bestimmen Sie gegebenfalls $\sup M$
und $\inf M$. Existieren dann auch $\max M$ oder $\min M$?
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{M := \set{x \in \R \ |\ x = 1 - \frac{(-1)^n}{n} , n \in \N}}$,
	\item $\displaystyle{M := \set{x \in \R \ |\ x^2 + 2x + 2 > 5\ x < 0}}$,
	\item $\displaystyle{M := \set{x \in \R \ |\ x = t + \frac{1}{t},\ 0 < t \leq 10,\ t \in \R}}$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 318}}\\

\begin{enumerate}
	\item Es ist nach Dreiecksungleichung
	\[0 \leq 1-\frac{1}{n} \leq |x| \leq 1+\frac{1}{n} \leq 2 , \]
	also $M$ beschränkt. Damit existieren Infimum und Supremum.\\
	
	Wegen der Monotonie von $\frac{1}{n}$ ist offensichtlich $\sup M = \max M = 2$ und $\inf M = \min M = 1/2$. 
	
	\item Aus 
	\[(x+1)^2 > 4 \quad\text{bzw.}\quad |x+1|>2 \quad\text{und}\quad x<0\]
	folgt $M=(-\infty, -3)$, d.~h. $M$ ist nur nach oben beschränkt, $\sup M= -3$ und $\max M, \inf M$ und $\min M$ existieren nicht. 
	
	\item Aus der Mittelgleichung folgt für $t>0$ stets $t+\frac{1}{t} \geq 2$, wobei das Gleichheitszeichen für $t=1$ angenommen wird. Damit ist $M$ nach unten beschränkt und $\inf M = \min M = 2$. Da $\frac{1}{t}$ für $t \to 0$ über alle Grenzen wächst, ist $M$ nach oben unbeschränkt und es existieren weder $\sup M$ noch $\max M$.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 319: Supreum und Infimum von Mengenkombinationen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $X, Y$ nichtleere, beschränkte Mengen reeller Zahlen und
\[ X + Y := \set{x + y\ |\ x \in X,\ y \in Y},\ X \cdot Y := \set{ xy\ |\ x \in X,\ y \in Y}.\]
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie:
\[ \sup(X + Y ) = \sup X + \sup Y,\ \inf(X + Y ) = \inf X + \inf Y.\]
Gilt auch stets
\[\sup(X \cdot Y ) = \sup X \cdot \sup Y,\ \inf(X \cdot Y ) = \inf X \cdot \inf Y ?\]
\item Zeigen Sie:
\[\sup (X \cup Y ) = \max \set{\sup X,\ \sup Y},\ \inf (X \cup Y ) = \min \set{\inf X,\ \inf Y}.\]
Ist $X \cap Y \neq \emptyset$, so ist
\[\sup(X \cap Y ) \leq \min\set{\sup X,\ \sup Y},\ \max\set{\inf X,\ \inf Y} \leq \inf(X \cap Y ).\]
Kann hierbei das Kleiner-Zeichen auftreten?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 319}}\\
\begin{enumerate}
	\item Offensichtlich ist $s=\sup X + \sup Y$ eine obere Schranke von $X+Y$. Zu jedem $\ve>0$ existieren $x\in X$ und $y \in Y$ mit $x>\sup X - \ve/2$ und $y > \sup Y - \ve/2$, also $X+Y \ni x+y > s-\ve$, d.~h.  es kann keine kleinere obere Schranke $s-\ve$ von $X+Y$ geben.\\
	
	Der Beweis für  $\inf(X + Y )$ geht völlig analog.\\
	
	Für die Produktmengen stimmen die angegebenen Formeln nur, wenn alle Elemente positiv sind.\\
	Gegenbeispiel: Ist $X=\set{-2, -1 }$ mit $\inf X= -2, \sup X = -1$ und $Y = \set{1, 2}$ mit $\inf Y= 1, \sup Y = 2$, dann ist $X\cdot Y = \set{-4, -2, -1}$ mit	
	\[ \inf(X \cdot Y)= -4 \neq -2 = \inf X \cdot \inf Y \quad\text{und}\quad \sup(X \cdot Y)= -1 \neq -2 = \sup X \cdot \sup Y.\] 
\item Ist $z \in X \cup Y$, dann ist $z \in X$, also $z \leq \sup X$, oder $z \in Y$, also $z \leq \sup Y$, d.~h. $s=	\max \set{\sup X,\ \sup Y}$ ist eine obere Schranke von $X \cup Y$. Zu jedem $\ve>0$ existieren nun Zahlen $x\in X$ mit $\sup X-\ve < x$ und $y \in Y$ mit $\sup Y -\ve < y$. Also ist nun (entweder) $x>s-\ve$ oder $y>s-\ve$, deshalb kann es keine kleinere obere Schranke in $X \cup Y$ geben als $s$.\\

Der Beweis für das Infimum verläuft völlig analog.\\

Ist nun $z \in X \cap Y$, dann ist $z \in X$, also $z \leq \sup X$, und $z \in Y$, also $z \leq \sup Y$, d.~h. $s=	\min \set{\sup X,\ \sup Y}$ ist eine obere Schranke von $X \cup Y$, woraus sofort die Behauptung folgt. Analog geht der Beweis für das Infimum. \\

Mit $X=\set{1, 3, 4}$ und $Y=\set{2, 3, 5}$ ist $X \cap Y = \set{3}$ und
\[ \max\set{\inf X,\ \inf Y} = 2 < \inf(X \cap Y ) = 3 = \sup(X \cap Y ) < 4 = \min\set{\sup X,\ \sup Y},\]
das Kleiner-Zeichen kann also auftreten.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Numerik }
\chapter{ Fehleranalyse }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 320: differentielle Algorithmusanalyse
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Bestimmen Sie die absolute und relative Problemkonditionszahl für die Funktion
$$f(x)=\frac1x-\frac1{x+1}=\frac1{x(x+1)};\quad x>1.$$
\item Beurteilen Sie mit Hilfe der differentiellen (relativen) Stabilitätsanalyse, welcher der beiden möglichen Algorithmen der bessere ist.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 320}}\\
\begin{description}
	\item[zu a):] Die absolute bzw. relativen Problemkonditionszahlen sind 
	\bea
	\kappa_{abs}&=f'(x)=& -\frac{2x+1}{x^2(x+1)^2}\\
	\kappa_{rel}&=\frac{xf'(x)}{f(x)}=&-\frac{2x+1}{x+1}.\\
	\eea
	Beide Zahlen sind betragsmäßig sicherlich kleiner als 3, d.~h. die Fehler werden höchstens verdreifacht. Das Problem ist also gut konditioniert.
	\item[zu b):] Für den ersten Algorithmus $f(x)=\frac1x-\frac1{x+1}$ gilt:
$$
\begin{array}{lllllll}
x_i && \varphi_i && \psi_i && \kappa_{i,j}=\frac{x_{ij}\frac{\partial \psi_i}{\partial x_{ij}}}{\psi_i}\\
\hline
&&&&&&\\
x_1=x && \varphi_1:\,x_1\mapsto\begin{pmatrix}x\\ x+1\end{pmatrix},&& \psi_1:\,x_1\mapsto \frac1{x_1}-\frac1{x_1+1}&&\kappa_1=-\frac{2x_1+1}{x_1+1},\\
&&&&&&\\
x_2=\begin{pmatrix}x_{21}\\ x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ {x+1}\end{pmatrix},&&\varphi_2:\,x_2\mapsto \begin{pmatrix}\frac1x\\ \frac1{x+1}\end{pmatrix},&&\psi_2:\,x_2\mapsto \frac1{x_{21}}-\frac1{x_{22}}&&\kappa_{21}=-x_{22}=-(x+1),\\
&&&&&& \kappa_{22}=x_{21}=x,\\
x_3=\begin{pmatrix}x_{31}\\ x_{32}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1x\\ \frac1{x+1}\end{pmatrix},&&\varphi_3:\,x_3\mapsto x_{31}-x_{32},&&\psi_3:\,x_3\mapsto x_{31}-x_{32},&&\kappa_{31}=\frac{x_{31}}{x_{31}-x_{32}}=x+1,\\ 
&&&&&& \kappa_{32}=\frac{x_{32}}{x_{32}-x_{31}}=-x.\\
\end{array}
$$
Dagegen gilt für den zweiten Algorithmus $f(x)=\frac1{x(x+1)}$:
$$
\begin{array}{lllllll}
x_i && \varphi_i && \psi_i && \kappa_{i,j}=\frac{x_{ij}\frac{\partial \psi_i}{\partial x_{ij}}}{\psi_i}\\
\hline
&&&&&&\\
x_1=x && \varphi_1:\,x_1\mapsto\begin{pmatrix}x\\ x+1\end{pmatrix},&& \psi_1:\,x_1\mapsto \frac1{x_1(x_1+1)}&&\kappa_1=-\frac{2x_1+1}{x_1+1},\\
&&&&&&\\
x_2=\begin{pmatrix}x_{21}\\ x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ {x+1}\end{pmatrix},&&\varphi_2:\,x_2\mapsto \begin{pmatrix}\frac1x\\ \frac1{x+1}\end{pmatrix},&&\psi_2:\,x_2\mapsto \frac1{x_{21}\,x_{22}}&&\kappa_{21}=-1,\\
&&&&&& \kappa_{22}=-1,\\
x_3=\begin{pmatrix}x_{31}\\ x_{32}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1x\\ \frac1{x+1}\end{pmatrix},&&\varphi_3:\,x_3\mapsto x_{31}\,x_{32},&&\psi_3:\,x_3\mapsto x_{31}\,x_{32},&&\kappa_{31}=1,\\ 
&&&&&& \kappa_{32}=1.\\
\end{array}
$$
Wie man nun leicht sieht, ist für den zweiten Algorithmus das Stabilitätskriterium für einen Algorithmus aus $l$ Schritten mit $n_i$ Variablen im $i$-ten Schritt 
$$
|\kappa_{i,j}| \leq (l + 1)\max{|\kappa_{1,1}|, \ldots, |\kappa_{1,n_1}| , 1},\ 
j = 1, \ldots , n_i, i = 2, \ldots , l
$$
erfüllt, während es im ersten Algorithmus für große $x$ verletzt ist.\\


\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Fixpunktiteration }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 321: Fixpunktiteration bei einer Funktion 3. Grades
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie numerisch die Nullstellen des kubischen Polynoms $P = P(x)$
mit
\[P(x)= \frac{1}{4}x^3 - x + \frac{1}{5}.\]
Schreiben Sie dazu die Gleichung $P(x)=0$ in Fixpunktform um und überprüfen Sie, ob im Intervall $[0,1]$ die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach erfüllt sind. Starten Sie die sukzessive Iterationsfolge mit $x_0 = \frac{1}{2}$ und berechnen Sie sechs Iterationen, d.~h. $x_1,\ldots,x_6$. 
\item Welche Fehlerabschätzungen liefern die a priori und a posteriori Abschätzungen? 
\item Berechnen Sie die weiteren Nullstellen durch Abspaltung eines Linearfaktors und Lösung einer quadratischen Gleichung. Wie lässt sich der Fehler der weiteren Nullstellen abschätzen?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 321}}\\
\begin{enumerate}
	\item Nach Übergang zur Fixpunktform
	\[x=g(x),\quad g(x)=\frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{5}, \quad g: [0,1]\subset \R \to \R\]
	kann man die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach überprüfen.
	
\begin{enumerate}
	\item $A:=[0,1]$ ist eine abgeschlossenen Teilmenge des  vollständigen
metrischen Raumes $\R$.
  \item Für $x\in A$ ist offensichtlich $0\leq g(x) \leq \frac{9}{20} <1$, also $g(A)\subset A$.
  \item $g$ ist kontraktiv, denn nach der verallgemeinerten dritten binomischen Formel ist auf $A$
  \[\abs{g(x)-g(y)}=\frac{1}{4}\abs{x^3-y^3}=\frac{1}{4}\rkl{x^2+xy+y^2}\abs{x-y}\leq \frac{3}{4}\abs{x-y}.\]
\end{enumerate}
Damit konvergiert die Iterationsfolge gegen den eindeutig bestimmten Fixpunkt.\\
Eine Fixpunktiteration ergibt folgende Werte einschließlich der a-posteriori und a priori Abschätzungen für das jeweilige $n$:
\begin{center}
  \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
  $n$ & $x_n$ & $|x_n -x_{n-1}|$ & a posteriori & a priori\\
  \hline
  0 & 0,5000000000 &  &  &\\
  1 & 0,2312500000 & 0,2687500000 & 8,062500000E-01 & 8,062500000E-01\\
  2 & 0,2030916138 & 0,0281583862 & 8,447515869E-02 & 6,046875000E-01\\
  3 & 0,2020941895 & 0,0009974243 & 2,992272773E-03 & 4,535156250E-01\\
  4 & 0,2020634858 & 0,0000307037 & 9,211105803E-05 & 3,401367187E-01\\
  5 & 0,2020625455 & 0,0000009404 & 2,821075476E-06 & 2,551025391E-01\\
  \textbf{6} & \textbf{0,2020625167} & \textbf{0,0000000288} & \textbf{8,638724602E-08} & \textbf{1,913269043E-01}\\
  7 & 0,2020625158 & 0,0000000009 & 2,645345942E-09 & 1,434951782E-01\\
  8 & 0,2020625158 & 0,0000000000 & 8,100561888E-11 & 1,076213837E-01\\
  \end{tabular}
\end{center}
Die entsprechenden Werte für $n=6$ sind fett gedruckt.
\item Einen Linearfaktor $x-\tilde{x}$ kann man mit Hilfe des Ansatzes
\[\frac{1}{4}(x-\tilde{x})(x^2+px+q)=\frac{1}{4}x^3+\frac{p-\tilde{x}}{4}x^2+\frac{q-\tilde{x}p}{4}x-\frac{\tilde{x}q}{4}\]
Abspalten.
Koeffizientenvergleich mit der ursprünglichen Gleichung ergibt
\[p=\tilde{x},\quad q=\tilde{x}^2-4, \quad q=-\frac{4}{5\tilde{x}},\]
d.~h. die dazugehörige quadratische Gleichung hat die Lösungen
\[x_{1/2}=-\frac{\tilde{x}}{2}\pm\sqrt{\frac{\tilde{x}^2}{4}-\tilde{x}^2+4}=-\frac{\tilde{x}}{2}\pm 2\sqrt{1-\frac{3\tilde{x}^2}{16}}\approx -\frac{\tilde{x}}{2}\pm \rkl{2-\frac{3\tilde{x}^2}{16}}.\]
Die letzte Näherung resultiert aus der binomischen Reihe, bei der höhere Potenzen von $\frac{3\tilde{x}^2}{16}$ weggelassen wurden, was in der Nähe des Fixpunktes zu vertretbaren Fehlern führt.\\
Setzt man nun für $\tilde{x}$ nacheinander die Näherungslösung $x_6$ und den Fixpunkt $x^*$ ein und subtrahiert beide Gleichungen voneinander,, so erhält man die Fehlerabschätzung
\bea
\abs{x_{1/2}-x^*_{1/2}}&\leq& \frac{\abs{x_6-x^*}}{2}+\frac{3}{16}\abs{x_6^2-(x^*)^2}= \rkl{\frac{1}{2}+\frac{3(x_6+x^*)}{16}}\abs{x_6-x^*}\\
&\approx&\rkl{\frac{1}{2}+\frac{3x_6}{8}}\abs{x_6-x^*}\approx 0.575\abs{x_6-x^*}\approx 4.4\text{E-8},\\
\eea
wenn man noch die a posteriori Abschätzung für $x_6$ benutzt.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Gauss-Algorithmus }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 322: Beispiel zur Pivotisierung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das Gleichungssystem
$$\bma{ccc}10&-7&0\\-3&2.099&6\\5&-1&5\\\ema\ \bma{c}x_1\\x_2\\x_3\\\ema = \bma{c}7\\3.901\\6\\\ema$$
in fünfstelliger Dezimal-Gleitkomma-Arithmetik
\bit
\item bei einem Rechner, der abschneidet
\item bei einem Rechner, der rundet.
\eit 
\ben
\item Verwenden Sie je einmal den Gauß-Algorithmus
ohne Pivotisierung, mit Spaltenpivotisierung und mit Totalpivotisierung!
\item Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Lösung und erklären Sie die Ursache für auftretende Fehler!
\item Beurteilen Sie die Akzeptanz der Näherungslösungen mit dem Satz von \textsc{Prager/Oettli}!
\item Führen Sie gegebenenfalls eine Nachiteration durch!
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 322}}\\
\ben
\item Die exakte Lösung $(x_1, x_2, x_3)=(0,-1,1)$ kann man erraten.\\
Die Pivotzeile wird immer mit einem $*$ versehen und das Pivotelement unterstrichen, die Faktoren, mit denen die Pivotzeile multipliziert wird, bevor sie zu den anderen Zeilen addiert wird, werden an den Stellen gespeichert, an denen theoretisch Nullen entstehen müssen. Dese Bereiche sind durch Striche abgeteilt.\\
Die Zeilen werden bei Bedarf nicht physisch vertauscht, sondern die Reihenfolge der Abarbeitung wird in zwei ganzzahligen Vertauschungsvektoren $\vec{p}_z$ (für die Zeilenvertauschungen) und $\vec{p}_s$ (für die Spaltenvertauschungen) gespeichert.Der oben stehende Wert gehört stets zu dem abschneidenden, der unten stehende zu dem rundenden Rechner.
\begin{description}
	\item[ohne Pivotisierung]\quad\\
	 	
	\begin{tabular}{c|ccc|c|l}
	\hline
  * & \underline{10} &-7&0 &7 &$\Rightarrow 10\cdot x_1=7+7x_2=\left \{ \begin{array}{c}-3.5\\4.2\\\end{array}\right .$\\
    & -3 & 2.099 &6 & 3.901 &\\
    &  5 & -1 & 5 & 6 &\\
  \hline  
	& 10 & -7 & 0 & 7 & \\
	\cline{2-2}
	* & ~0.3 \vline& \underline{-0.001} & 6 & 6.001 &$\Rightarrow -0.001\cdot x_2=6.001-6x_3=\left \{\begin{array}{c}0.0015\\0.0004\\\end{array}\right .$\\
	& -0.5 \vline& 2.5 & 5 & 2.5 & \\
	\hline
	& 10 & -7 & 0 & 7 & \\
	\cline{2-2}
	& ~0.3 \vline&-0.001 & 6 & 6.001 &\\
	\cline{3-3}
	* & -0.5 & 2500 \vline& \underline{15005} & $\left \{\begin{array}{c}15004\\15006\\\end{array}\right .$ & $\Rightarrow  x_3=\left \{\begin{array}{c}0.99993\\1.0001\\\end{array}\right .$\\
	\hline
	\end{tabular}

 Der Zeilenvertauschungsvektor ist $\vec{p}_z=(1,2,3)$.\\
 Der Spaltenvertauschungsvektor ist $\vec{p}_s=(1,2,3)$.\\
 Die Lösung ist $(x_1, x_2, x_3)=\left \{\begin{array}{c}(-0.35,-1.5,0.99993)\\(0.42,-0.4,1.0001)\\\end{array}\right .$.\\
Obwohl es sich bei den Anfangsdaten um Maschinenzahlen handelt, beträgt der Fehler gegenüber der exakten Lösung ca. 60\%. 
	\item[mit Spaltenpivotisierung]\quad\\
	
	\begin{tabular}{c|ccc|c|l}
	\hline
  * & \underline{10} &-7&0 &7 &$\Rightarrow 10\cdot x_1=7+7x_2=0$\\
    & -3 & 2.099 &6 & 3.901 &\\
    &  5 & -1 & 5 & 6 &\\
  \hline  
	& 10 & -7 & 0 & 7 & \\
	\cline{2-2}
	& ~0.3 \vline &-0.001 & 6 & 6.001 &\\
	* & -0.5 \vline & \underline{2.5} & 5 & 2.5 & $\Rightarrow  2.5x_2=2.5-5x_3=-2.5$\\
	\hline
	& 10 & -7 & 0 & 7 & \\
	\cline{2-3}
	* & ~0.3 & 0.0004 \vline & \underline{6.002} & 6.002 &$\Rightarrow  x_3=1$\\
	\cline{3-3}
	& -0.5 \vline& 2.5 & 5 & 2.5 & \\
	\hline
	\end{tabular}

 Der Zeilenvertauschungsvektor ist $\vec{p}_z=(1,3,2)$.\\
 Der Spaltenvertauschungsvektor ist $\vec{p}_s=(1,2,3)$.\\
 Die Lösung ist $(x_1, x_2, x_3)=(0,-1,1)$, das ist die exakte Lösung.\\
 
	\item[mit Totalpivotisierung]\quad\\
	
	\begin{tabular}{c|ccc|c|l}
	\hline
  * & \underline{10} &-7&0& 7 &$\Rightarrow 10\cdot x_1=7+7x_2=0$\\
    & -3 & 2.099 &6 & 3.901 &\\
    &  5 & -1 & 5 & 6 &\\
  \hline  
	& 10 & -7 & 0 & 7 & \\
	\cline{2-2}
	* & ~0.3 \vline&-0.001 & \underline{6} & 6.001 &$\Rightarrow  6x_3=6.001-0.001x_2=6$\\
	& -0.5 \vline& 2.5 & 5 & 2.5 & \\
	\hline
	& 10 & -7 & 0 & 7 & \\
	\cline{2-2}
	& ~0.3 \vline&0.0001 & 6.002 & 6.002 &\\
	\cline{4-4}
	* & -0.5 \vline& \underline{2.5008} &\vline -0.83333 & -2.5008 & $\Rightarrow  x_2=-1$\\
	\end{tabular}

 Der Zeilenvertauschungsvektor ist $\vec{p}_z=(1,2,3)$.\\
 Der Spaltenvertauschungsvektor ist $\vec{p}_s=(1,3,2)$.\\
 Die Lösung ist $(x_1, x_2, x_3)=(0,-1,1)$, das ist die exakte Lösung.\\ 
\end{description}
\item Spalten- und Totalpivotisierung liefern das exakte Ergebnis. Die Fehler, die ohne Pivotisierung auftreten, resultieren aus dem sehr kleinen Pivotelement in der zweiten Zeile. Dadurch entstehen in der dritten Zeile große Zahlen, die nicht mehr exakt in fünfstelliger Arithmetik gespeichert werden können.
\item Die exakte Lösung ist stets auch akzeptabel, da das Residuum gleich dem Nullvektor ist; deshalb ist nur die Akzeptanz der ohne Pivotisierung gewonnenen Näherungslösung zu prüfen.\footnote{\underline{Satz von \textsc{Prager/Oettli}:} Eine Näherungslösung $\tilde{x}$ eines linearen Gleichungssystems $Ax=b$ ist akzeptabel, wenn Sie als exakte Lösung eines Gleichungssystems $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ mit gestörten Ausgangsdaten aufgefasst werden kann, d.~h. wenn mit $r=b-A\tilde{x}$ gilt
$$|r| \leq \Delta A|\tilde{x}|+\Delta b\qquad\mbox{für}\qquad |A-\tilde{A}|\leq \Delta A, |b-\tilde{b}|\leq \Delta b.$$}

Der maximale relative Abschneidefehler ist $10^{-4}$, die Einträge in der Koefizientenmatrix und der rechten Seite sind betragsmäßig kleiner gleich 10, also ist - beim Abschneiden -  der maximale absolute Eingabefehler durch $10^{-3}$ beschränkt, d.~h. wir können
$$ \Delta A = \bma{ccc}0.001& 0.001&0.001\\0.001& 0.001&0.001\\0.001& 0.001&0.001\\\ema\qquad\mbox{sowie}\qquad\Delta b = \bma{c}0.001\\0.001\\0.001\\\ema$$
annehmen.\\

Mit $\tilde{x}=(-0.35,-1.5,0.99993)$ berechnet man

$$r=b-A\tilde{x}=\bma{c}0\\0\\1.2504\\\ema\qquad\mbox{und}\qquad\Delta A|\tilde{x}|+\Delta b\approx 3.85\cdot10^{-3}\bma{c}1\\1\\1\\\ema.$$
Damit ist in der dritten Komponente die zur Akzeptanz notwendige Ungleichung nicht erfüllt.\\

Der maximale absolute Rundungsfehler kann gegen $\frac12 10^{-3}$ abgeschätzt werden, d.~h. die Einträge in $\Delta A$ und $\Delta b$ sind halb so groß wie oben.\\

Mit $\tilde{x}=(0.42,-0.4,1.0001)$ erhält man hier
$$r=b-A\tilde{x}=\bma{c}0\\0\\-1.5005\\\ema\qquad\mbox{und}\qquad\Delta A|\tilde{x}|+\Delta b\approx 1.41\cdot10^{-3}\bma{c}1\\1\\1\\\ema,$$
d.~h. auch diese Lösung ist nicht akzeptabel.
\item Da die Matrix bereits L-R-zerlegt ist und das Residuum in den ersten beiden Komponenten Nullen enthält, genügt es, die Rückwärtsauflösung durchzuführen. Im Abschneide-Fall erhält man in fünfstelliger Arithmetik
\bea
\hat{x}_3 &=& \frac{1.2504}{15005}=8.3332\cdot 10^{-5}\\
-0.001\,\hat{x}_2 &=& -6\,\hat{x}_3 = -0.49999\cdot 10^{-3}\\
10\,\hat{x}_1 &=& 7\,\hat{x}_2 = 3.4999\\
\eea
Die korrigierte Lösng ist also
$$x+\hat{x} = (-0.35,-1.5,0.99993)+(0.34999, 0.49999, 0.000083332) =(-0.00001, -1.00001, 1.00001).$$
Dies kommt der exakten Lösung schon ziemlich nahe.\\

Bei Rundung ergibt sich
\bea
\hat{x}_3 &=& \frac{-1.5005}{15005}=-0.0001\\
-0.001\,\hat{x}_2 &=& -6\,\hat{x}_3 = 0.0006\\
10\,\hat{x}_1 &=& 7\,\hat{x}_2 = -4.2\\
\eea
Die korrigierte Lösung ist also
$$x+\hat{x} = (0.42,-0.4,1.0001)+(-0.42, -0.6, -0.0001) =(0, -1, 1)$$
in diesem Falle sogar die exakte Lösung.\\
\een
% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Integration }
\section{ Gauss-Quadratur }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 323: Ein Beispiel zur Gaußquadratur mit 2 Stützstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme in der Arithmetik $\raum{M}_{10,5}$ die beste Quadraturformel über dem Intervall $I=[\pi,2\pi]$ und berechne damit 
$$\int_\pi^{2\pi}\ \sin(x)\,dx.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 323}}\\
Bei 2 Stützstellen $x_0,x_1$, also $n=1$ kann an mit Gauß-Quadratur auf dem Intervall $I_1=[-1,1]$ eine Quadraturformel erreichen, die Polynome von Grade $2n+1=3$ noch exakt integriert.
\begin{description}
	\item[Bestimmung der ersten 3 Legendre-Polynome] Nach der Rekursionsformel
	$$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x\,P_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x), \quad P_0(x)\equiv 1, P_{-1}(x)\equiv 0$$ erhält man nacheinander
\bea
P_1(x) &=&x\\
P_2(x) &=& \frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}\\
\eea
\item[Bestimmung der Stützstellen in $I_1={[-1,1]}$] 
Dies sind gerade die Nullstellen von $P_2(x)$, also die Wurzeln der quadratischen Gleichung
$$x^2=3, \quad\mbox{ diese sind}\quad x_0=-\frac{\sqrt{3}}{3},\ x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}
$$
\item[Bestimmung der Gewichte über $I_1={[-1,1]}$] 
Dies sind gerade die Lösungen des linearen Gleichungssystems
$$\sum_{i=0}^1 \omega_i P_k(x_i) = \left \{ \begin{array}{ccc}2 & \mbox{für} & k=0\\0 & \mbox{für} & k>0\\\end{array} \right ., k=0,1,$$
also von 
\bea
\omega_0+\omega_1&=&2\\
\omega_0\,x_0+\omega_1\,x_1\\
\eea
bzw. nach Multiplikation der zweiten Zeile mit $\sqrt{3}$
$$\bma{cc}1&1\\-1&1\\\ema \bma{c}\omega_0\\\omega_1\\\ema = \bma{c} 2\\0\\\ema.$$
Man erhält sofort $\omega_0=\omega_1=1$, d.~h. auf dem Intervall $I_1=[-1,1]$ hätte man die Quadraturformel
$$Q_{I_1}(f)= f(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + f(\frac{\sqrt{3}}{3})$$
vom Grade 3.\\
\item[Transformation auf das Intervall $I={[\pi,2\pi]}$] Man sucht eine lineare Transformation $\tilde{x}=ax+b$, die die Bedingungen
$$
\pi=a\cdot(-1)+b \qquad\mbox{und}\qquad 2\pi=a\cdot 1 +b
$$ erfüllt. Diese ist offenbar mit $a=\frac{\pi}{2}, b=\frac{3\pi}{2}$ gegeben. Die Stützstellen $x_0=-\frac{\sqrt{3}}{3},\ x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$ werden damit in die neuen Stützstellen
$$\tilde{x}_0=-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2},\ \tilde{x}_1=\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}$$
transformiert.\\
Die Gewichte müssen niun noch auf die neue Intervalllänge angepasst, d.~h. mit $\frac{\pi}{2}$ multipliziert werden. Insgesamt erhält man also die Quadratorformel 
$$Q_{I}(f)= \frac{\pi}{2}\,f(-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}) + \frac{\pi}{2}\,f(\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}).$$
\item[Berechnung des Integrals]
$$
\int_\pi^{2\pi}\ \sin(x)\,dx \approx  \frac{\pi}{2}\,\left(\sin(-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}) + \sin(\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2})\right ),
$$
dabei ist in $\raum{M}_{10,5}$
\bal
\frac{\pi}{2} &= \pi\oslash 2 &= 1.5708\\
\frac{3\pi}{2} &= 3\odot(\pi\oslash 2) &= 4.7124\\
\frac{\pi}{6} &=(\pi\oslash 2)\oslash3 &= 0.5236\\
\sqrt{3} & &= 1.7321\\
\frac{\sqrt{3}\pi}{6} &= 1.7321\odot 0.5236 &= 2.2557\\
\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2} &= 2.2557\oplus 4.7124 &= 6.9681\\
-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2} &= 4.7124\ominus2.2557  &= 2.4567\\
\sin(-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}) & &= 0.63259\\
\sin(\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}) & &= 0.63261\\
\frac{\pi}{2}\sin(-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}) & &= 0.99367\\
\frac{\pi}{2}\sin(\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}) &&= 0.99370\\
\int_\pi^{2\pi}\ \sin(x)\,dx & &\approx  1.9874
\eal
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 324: Ein Beispiel zur Gauß-Quadratur mit 4 Stützstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme in der Arithmetik $\raum{M}_{10,5}$ die beste Quadraturformel über dem Intervall $I=[0,\pi]$ und berechne damit 
$$\int_0^\pi\ \sin(x)\,dx.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 324}}\\
Bei 4 Stützstellen $x_0,x_1,x_2,x_3$, also $n=3$ kann an mit Gauß-Quadratur auf dem Intervall $I_1=[-1,1]$ eine Quadraturformel erreichen, die Polynome von Grade $2n+1=7$ noch exakt integriert.
\begin{description}
	\item[Bestimmung der ersten 4 Legendre-Polynome] Nach der Rekursionsformel
	$$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x\,P_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x), \quad P_0(x)\equiv 1, P_{-1}(x)\equiv 0$$ erhält man nacheinander
\bea
P_1(x) &=&x\\
P_2(x) &=& \frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}\\
P_3(x) &=& \frac{5}{3}x\,\left(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}\right)-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x\\
P_4(x) &=& \frac{7}{4}x\,\left(\frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x\right)-\frac{3}{4}\left(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2} \right) =\frac{35}{8}x^4-\frac{30}{8}x^2+\frac{3}{8}\\
\eea
\item[Bestimmung der Stützstellen in $I_1={[-1,1]}$] 
Dies sind gerade die Nullstellen von $P_4(x)$, also die Wurzeln der biquadratischen Gleichung
$$x^4-\frac67x^2+\frac3{35}=0,$$
diese sind 
$$x_0=-\sqrt{\frac{3}{7}+\frac27\sqrt{\frac65}}\approx -0.86114,\ x_1=-\sqrt{\frac{3}{7}-\frac27\sqrt{\frac65}}\approx -0.33998,$$ $$x_2=-x_1=\sqrt{\frac{3}{7}-\frac27\sqrt{\frac65}}\approx 0.33998,\ x_3=-x_0=\sqrt{\frac{3}{7}+\frac27\sqrt{\frac65}}\approx 0.86114.$$
\item[Bestimmung der Gewichte über $I_1={[-1,1]}$] 
Dies sind gerade die Lösungen des linearen Gleichungssystems
$$\sum_{i=1}^4 \omega_i P_k(x_i) = \left \{ \begin{array}{ccc}2 & \mbox{für} & k=0\\0 & \mbox{für} & k>0\\\end{array} \right ., k=0,1,2,3,$$
also von 
\bea
\omega_0+\omega_1+\omega_2+\omega_3&=&2\\
\omega_0\,x_0+\omega_1\,x_1+\omega_2\,x_2+\omega_3\,x_3&=&0\\
\omega_0\,(3x_0^2-1)+\omega_1\,(3x_1^2-1)+\omega_2\,(3x_2^2-1)+\omega_1\,(3x_3^2-1)&=&0\\
\omega_0\,(5x_0^3-3x_0)+\omega_1\,(5x_1^3-3x_1)+\omega_2\,(5x_2^3-3x_2)+\omega_1\,(5x_3^3-3x_3)&=&0\\
\eea
bzw.
$$\bma{cccc}1&1&1&1\\x_0&x_1&x_2&x_3\\ 3x_0^2-1& 3x_1^2-1 & 3x_2^2-1& 3x_3^2-1\\
5x_0^3-3x_0 & 5x_1^3-3x_1 & 5x_2^3-3x_2 & 5x_3^3-3x_3\\
\ema \bma{c}\omega_0\\\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\\\ema = \bma{c} 2\\0\\0\\0\\\ema.$$
Addiert man die erste Zeile zur dritten und die zweite Zeile dreimal zur vierten und teilt diese Zeilen dann durch 3 bzw. 5, so erhält man die Vandermondsche Koeffizientenmatrix
$$\bma{cccc}1&1&1&1\\x_0&x_1&x_2&x_3\\ x_0^2& x_1^2 & x_2^2& x_3^2\\
x_0^3 & x_1^3 & x_2^3 & x_3^3\\
\ema \bma{c}\omega_0\\\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\\\ema = \bma{c} 2\\0\\\frac23\\0\\\ema.$$
Berücksichtigt man nun $x_0=-x_3$ und $x_1=-x_2$ und sucht nach symmetrischen Lösungen $\omega_0=\omega_3$ und $\omega_1=\omega_2$ so sind die zweite und die vierte Gleichung automatisch erfüllt und aus den beiden anderen erhält man
$$\omega_0+\omega_1=1\qquad\mbox{sowie}\qquad x_0^2\omega_0 + x_1^2\omega_1 = \frac13,$$
also
\bal
\omega_1&=\omega_2&=\frac{\frac13-x_0^2}{x_1^2-x_0^2}&=\frac{18+\sqrt{30}}{36} &\approx 0.65215,\\
\omega_0 &=\omega_3&=\frac{x_1^2-\frac13}{x_1^2-x_0^2}&=\frac{18-\sqrt{30}}{36}&\approx 0.34785\\
\eal
\item[Transformation der Stützstellen] Eine lineare Transformation $\tilde{x}=ax+b$, die das Intervall $[-1,1]$ auf das Intervall $[0,\pi]$ abbildet, findet man durch Einsetzen der Grenzen:
Aus $0=-a+b, \pi=a+b$ folgt $a=b=\frac{\pi}{2}$, demnach transformieren sich die Stützstellen wie folgt:
\bal
\tilde{x}_0 &= \frac{\pi}{2}(x_0+1) &\approx 0.21813\\
\tilde{x}_1 &= \frac{\pi}{2}(x_1+1) &\approx 1.0368\\
\tilde{x}_2 &= \frac{\pi}{2}(x_2+1) &\approx 2.1048\\
\tilde{x}_3 &= \frac{\pi}{2}(x_3+1) &\approx 2.9235.\\
\eal 
\item[Transformation der Gewichte] Da sich das Intervall um den Faktor $\frac{\pi}{2}$ gestreckt wird, müssen die Gewichte ebenfalls mit diesem Faktor multipliziert werden. Es ist also
\bal
\tilde{\omega}_1&=\tilde{\omega}_2&=\frac{18+\sqrt{30}}{72}\pi &\approx 1.0244,\\
\tilde{\omega}_0 &=\tilde{\omega}_3&=\frac{18-\sqrt{30}}{72}\pi&\approx 0.54641.\\
\eal
\item[Quadraturformel] Insgesamt erhält man 
\bea
Q(f) &=&\sum_{i=0}^3 \tilde{\omega}_i\,f(\tilde{x}_i\\
& \approx  & 0.54641\cdot f(0.21813) + 1.0244\cdot f(1.0368) + 1.0244\cdot f(2.1048) + 0.54641\cdot f(2.9235).\\
\eea
\item[Berechnung des Beispiels] Mit $f(x)=\sin(x)$ erhält man
\bal
0.54641 \odot \sin(0.21813) &= 0.54641 \odot 0.21640 &= 0.11824\\
1.0244 \odot \sin(1.0368)  &= 1.0244 \odot 0.86078 &= 0.88178\\
1.0244 \odot \sin(2.1048) &= 1.0244 \odot 0.86078 &= 0.88178\\
0.54641 \odot \sin(2.9235) &= 0.54641 \odot 0.21637 &= 0.11823\\
\eal
und schließlich die Summe $2.00003$, die gerundet in $\raum{M}_{10,5}$ das exakte Ergebnis liefert.
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Partielle Differentialgleichungen }
\chapter{ erster Ordnung }
\section{ Charakteristikenmethode }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 325: Anfangswertproblem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen sie das Anfangswertproblem
\bea
	x \nabla u+ \frac{1}{2}| \nabla u|^{2} &=& u(x)\hspace{0,5 cm} \text{für}\hspace{0,5 cm} x \in \mathbb{R}^{n}, \\
	u(x) &=& \frac{1}{2}(1-|x|^2)\hspace{0,5 cm} \text{für}\hspace{0,5 cm} x\in S=\mathbb{R}^{n-1}\times \left\{ 0 \right\} 
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 325}}\\
\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden!}
\end{center}


Anwendung Methode der Charakteristiken\\
\par

Setze:
\bea
	 z(s) &=& u(x_{1} (s),\dots ,x_ {n}(s))\\  
		p_i(s) &=& u_{x_{i}} (x_{1} (s),\dots ,x_ {n}(s))
\eea

mit$$F(u,\nabla u,x)=x \nabla u+ \frac{1}{2}| \nabla u|^{2}-u(x)= \sum_{i=1}^{n} x_{i} u_{x_{i}}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} u_{x_{i}}^{2}-u(x)=0 $$
ist dann  $$ F(p,z,x)=\ \sum_{i=1}^{n} x_{i}(s) p_i (s)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} p_i (s)^{2}-z(s)=0 $$\\
\vspace{0,8 cm}
\underline{1.Charakteristisches System aufstellen:}\\
\vspace{0,5 cm}
Setze:$\quad x_{i}'(s)=F_{p_{i}}$\\
\vspace{0,2 cm}
Damit folgt:
\vspace{-0,2 cm}

	
\bea
x_{i}'(s) &=& F_{p_{i}}=x_{i}(s)+p_{i}(s)\\
z'(s) &=& \sum{p_{i}x_{i}}^{n}_{i=1}=\sum{p_{i}(x_{i}+p_{i})}^{n}_{i=1}
\eea
\vspace{0,4 cm}

mit $ \quad p_i'(s)=\sum_{j=1}^{n}{x_j'(s) u_{x_i x_j}} \quad$ folgt für die Ableitung von F nach  $x_i(s)$:
\vspace{0,2 cm}\\
$$ F_{x_i}=p_i'(s)-p_i(s)+\sum_{j=1}^{n}{x_j(s) u_{x_i x_j}}+p_i(s)+\sum_{j=1}^{n}{p_j(s) u_{x_i x_j}}=0 $$ \\
\vspace{0,1 cm}
Also 	\begin{equation} p_i'(s)=0 \end{equation} \\

\vspace{0,2 cm}
(1),(2) und (3) bilden das charakteristische System\\
\vspace{0,8 cm}
\underline{2.Lösen des charakteristischen Systems}\\
\vspace{0,5 cm}
Lösen von (3):\\\vspace{0,1 cm}
$p_i'=0$\par
\vspace{0,1 cm} $\hookrightarrow
p_i=k_i \qquad k_i=kons\quad\text{für}\quad i=1,\dots,n $
\\
\vspace{0,5 cm}
Einsetzen in (1) $$x_i'(s)=x_i(s)+k_i$$
\vspace{0,5 cm}



\begin{minipage}[t]{0,65\textwidth}
Lösung hom\\$x_i'(s)=x_i(s)\\
x_i(s)=e^s\widetilde{k_i}\qquad \widetilde{k_i}=kons \quad \text{für} \quad i=1,\dots,n$
\end{minipage}\begin{minipage}[t]{0,65\textwidth}
Lösung inhom (Variation der Konstanten)\\
$x_i(s)=e^s\widetilde{k_i}(s)\\ 
\hookrightarrow e^s\widetilde{k_i}'(s)=k_i\\
\hookrightarrow \widetilde{k_i}=\frac{-k_i}{e^2}$
\end{minipage}

\vspace{0,2 cm}
$\boldsymbol{\Rightarrow} x_i(s)=e^s\widetilde{k_i}-k_i$\\
\vspace{0,7 cm}
Einsetzen in (2): \\
\vspace{-0,4 cm}
$$z(s)'=\sum_{i=1}^{n}{(x_i(s)+p_i(s))p_i(s)}=\sum_{i=1}^{n}{(e^s\widetilde{k_i}-k_i+k_i)k_i}=e^s\sum_{i=1}^{n}{\widetilde{k_i}k_i} $$
$\hookrightarrow z(s)=e^s\sum_{i=1}^{n}{\widetilde{k_i}k_i}+b \qquad b=kons$\\
\vspace{0,8 cm}

\underline{3.Anfangwert einsetzen:}\\

$$ u(x_1,\dots,x_{n-1},0)=\frac{1}{2}(1-\sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2})$$\par
\vspace{0,1 cm}
$\hookrightarrow u_{x_{i}}=p_{i}(s)=-x_{i}$\par
$\hookrightarrow k_i=-x_i \qquad \text{für} \quad i=1,\dots,n-1$\\
\vspace{0,5 cm}
\newpage
Eingesetzt in F\\
\vspace{0,2 cm}
$\sum_{i=1}^{n-1}{x_i(-x_i)}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}{(-x_i)^2}+\frac{1}{2}u_{x_{n}}^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2}=0$\par \vspace{0,15 cm}
$\hookrightarrow \frac{1}{2}u_{x_{n}}=\frac{1}{2}\quad \rightarrow u_{x_{n}}=p_n(s)=\pm 1$\par \vspace{0,15 cm}
$\hookrightarrow k_n=\pm 1 $\\
\vspace{0,5 cm}

Damit folgt\\
\vspace{0,1 cm}
$x_i(0)=e^0 \widetilde{k_i}+x_i $\par 
$\hookrightarrow \widetilde{k_i}=0 \qquad \text{für} \quad i=1, \dots, n-1$\par
\vspace{0,2 cm}
$x_n(0)=0=e^0 \widetilde{k_n}\pm 1$\par 
$\hookrightarrow \widetilde{k_n}=\mp 1$\\
\vspace{0,15 cm}
Desweiteren ist dann $e^s= \frac {x_n(s)\mp 1}{\mp 1} \qquad (\#)$\\
\vspace{0,6 cm}
und für z(s)\\
\vspace{0,1 cm}
$z(0)=e^0\sum_{i=1}^{n-1}{k_i\widetilde{k_i}}+b=k_n\widetilde{k_n}+b=-1+b=\frac{1}{2}(1-\sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2})$\par
\vspace{0,1 cm}
$\hookrightarrow b=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2}$ \par
\vspace{1,0 cm}
Insgesamt folgt dann (mit den errechneten Konstanten und (\#))\\
$$u(x)=\underbrace{\frac{x_n\mp 1}{\mp 1} \sum_{i=1}^{n-1}{-x_i*0}}_{=0}+\frac{x_n\mp 1}{\mp 1}*(\pm 1)*(\mp 1)+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2}=\pm x_n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2}$$

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 326: Charakteristisches System
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Leiten Sie eine explizite Darstellungsformel für die Lösung $u=u(t,x)$ des folgenden Anfangswertproblems her:
\begin{eqnarray*}
u_t + a \cdot \nabla _x u+bu & = & 0 \, \, \, \textrm{in} \,  \left[0,\infty \right) \times \mathbb{R} ^n \\
u(0,\cdot ) & = & g(\cdot ) \,\,\, \textrm{in} \,  \mathbb{R} ^n
\end{eqnarray*}
Hierin sind $a\in \mathbb{R} ^n$ und $b\in \mathbb{R} $ konstant sowie $g:\mathbb{R} ^n \rightarrow \mathbb{R} $ eine gegebene, stetig differenzierbare Funktion.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 326}}\\
\begin{enumerate}

\item Parameterdarstellung der Anfangsbedingung:\\
Für $s\in\mathbb{R}^{n}$ sei
\[
\Gamma\left(s\right)  :=  \left(t_{0}\left(s\right),x_{0}\left(s\right),u_{0}\left(s\right)\right)\\
  =  \left(0,s,g\left(s\right)\right)
\]

\item Äquivalente Formulierung der Differentialgleichung: 
\[
\left(1,a,-bu\right)\cdot\left(u_{t},\left(\nabla_{x}u\right)^{T},-1\right)=0
\]
Gesucht sind nun die Kurven 
\[
\left(t\left(r,s\right),x\left(r,s\right),u\left(r,s\right)\right)
\]
die 

\begin{enumerate}
\item $\left(1,a,-b\right)$ als Tangentialvektor besitzen und
\item durch $\Gamma$ verlaufen.
\end{enumerate}

Es ergibt sich ein System $n+2$ gewöhnlicher Differentialgleichungen mit
Anfangsbedingungen. Für $r \in \mathbb{R}$ müssen erfüllt sein:
\[
\textrm{(a)\,}
\begin{cases}
t_{r}\left(r,s\right) & =1\\
x_{r}\left(r,s\right) & =a\\
u_{r}\left(r,s\right) & =-bu\left(r,s\right)
\end{cases}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\
\textrm{(b)\,}
\begin{cases}
t\left(0,s\right) & =0\\
x\left(0,s\right) & =s\\
u\left(0,s\right) & =g\left(s\right)
\end{cases}
\]

Da die Vektoren $(1,-a,bu),(0,s,g(s))$ linear unabhängig sind, besteht bezüglich der Lösbarkeit des Systems kein Problem.

Daraus folgt für $t,x$ und $u$: 
\begin{eqnarray*}
t\left(r,s\right)=r+c_{1}\left(s\right) & \overset{t\left(0,s\right)=0}{\Longrightarrow} & t\left(r,s\right)=r\\
x\left(r,s\right)=ar+c_{2}\left(s\right) & \overset{x\left(0,s\right)=s}{\Longrightarrow} & x\left(r,s\right)=ar+s\\
u\left(r,s\right)=c_{3}\left(s\right)e^{-br} & \overset{u\left(0,s\right)=g\left(s\right)}{\Longrightarrow} & u\left(r,s\right)=g\left(s\right)e^{-br}
\end{eqnarray*}

\item Man suche nun Darstellungen $r=r\left(t,x\right)$ und $s=s\left(t,x\right)$
und stelle damit $u$ um nach $u=u\left(t,x\right)$:

Offenbar ist $r=t$ und es folgt $x=ar+s\Rightarrow s=x-at$. Damit
ist 
\[
u\left(t,x\right)=e^{-bt}g\left(x-at\right)
\]

\end{enumerate}

Das Ganze kann man noch auf Richtigkeit testen: 
\begin{eqnarray*}
u_{t}\left(t,x\right) & = & -be^{-bt}g\left(x-at\right)-e^{-bt}\left(\nabla g\left(x-at\right)\right)\cdot a\\
\nabla_{x}u\left(t,x\right) & = & e^{-bt}\nabla g\left(x-at\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow &  & u_{t}\left(t,x\right)+a\cdot\nabla_x u\left(t,x\right)+bu\left(t,x\right)\\
 & = & -be^{-bt}g\left(x-at\right)-e^{-bt}\left(\nabla g\left(x-at\right)\right)\cdot a +a\cdot\left(e^{-bt}\left(\nabla g\left(x-at\right)\right)\right)+be^{-bt}g\left(x-at\right)\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 327: Charakteristikenmethode
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $E \subset \R^2$ der abgeschlossene Einheitskreis, $f$ eine beliebige, stetig differenzierbare Funktion in E, sowie $a \in \R, a > 0$. Das Randwertproblem
\bea
-a(xu_x + yu_y) + u &=& f \quad\mbox{in}\quad E,\\
u &=& 0 \quad\mbox{auf}\quad  \partial E
\eea
hat dann nach der Charakteristikenmethode eine stetig differenzierbare Lösung $u = u(x, y)$ zumindest in $E \backslash (0, 0)$. 
\ben
\item Zeigen Sie, dass $u$ beschränkt in $E \backslash (0, 0)$ ist. 
\item Läßt sich $u$ stetig in den Nullpunkt fortsetzten? 
\item Unter welchen Bedingungen an $a$ kann $u$ auch stetig
differenzierbar in den Nullpunkt fortgesetzt werden (und wird damit zu einer Lösung des Randwertproblems in ganz $E$)?
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 327}}\\
Wir rechnen das Problem zunächst auf Polarkoordinaten $r=\sqrt{x^2+y^2}, \vp=\arctan\frac{y}{x}$ um, d.~h. wir suchen eine Funktion $v(r,\vp)$ für die$u(x,y)=v(r(x,y),\vp(x,y))$ der Differentalgleichung genügt. Wegen
\bea
u_x &=& v_r\,r_x + v_{\vp}\,\vp_x =  v_r\,\frac{x}{r} - v_{\vp}\,\frac{y}{r^2}\\
u_y &=& v_r\,r_y + v_{\vp}\,\vp_y =  v_r\,\frac{y}{r} + v_{\vp}\,\frac{x}{r^2}\\
\eea
ist $-a(xu_x + yu_y)  = -a\,r\,v_r $, d.~h, $v$ muss Lösung der Randwertaufgabe
\bea
-a\,r\,v_r + v &=& f(r\cos\vp, r\sin\vp) =: g(r, \vp)\qquad\mbox{in}\quad(0,1)\times [0,2\pi)\\
v(1,\vp)&=& 0
\eea
sein. Es ist klar, dass mit $f$ auch $g$ stetig differenzierbar ist.

Die Gleichungen für die Charakteristiken und deren Lösungen lauten nun
\bea
\dot{r} = -ar && r(t)=r_0\e^{-at},\quad\mbox{wobei}\quad 1=r(0)=r_0\quad\mbox{ist,}\\
\dot{\vp} = 0 && \vp(t)=\vp_0 = const.,\\
\dot{z} = -z+g && z(t)=v(r(t),\vp(t))=\e^{-t}\left ( k + \int_0^t\,\e^{\tau}g(r(\tau),\vp(\tau))\,d\tau \right ),\\
z(0)=0 &\Rightarrow& k=0.
\eea
Die Charakteristiken verlaufen also radial vom Rand des Kreises zum Nullpunkt, in dem sie sich zum ersten Mal schneiden, d.~h. die Lösung exitiert wenigstens für $r\in(0,1]$ bzw. für alle $t<\infty$. 

Mit Hilfe der ersten beiden Gleichungen und den Beziehungen $$\e^{-t}=(\e^{-at})^\frac{1}{a}=r^\frac{1}{a},\ \rho=r(\tau),\ d\rho = -a\,\rho\ d\tau,\frac1{a}=b>0$$ 
kann man nun $t$ und $\tau$ aus der Gleichung für $z$ wieder eliminieren, d.h. es ist für $0<r\leq 1$
\begin{equation}
v(r,\vp)=r^\frac{1}{a}\int_1^r\,\rho^{-\frac{1}{a}}g(\rho,\vp)\,\frac1{-a\rho}d\rho =b\,r^b\,\int_r^1\,\frac{g(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho
\end{equation}
\ben
\item Da $E$ kompakt und $g$ stetig ist, ist $g$ auch beschränkt. Mit $M:=\max_{(r,\vp)\in E} |g(r,\vp)|$ ist dann wegen
$$|v(r,\vp)|\leq b\,r^b\,\int_r^1\,\frac{|g(\rho,\vp)|}{\rho^{b+1}}\,d\rho \leq b\,M\,r^b\,\int_r^1\,\rho^{-b-1}\,d\rho = M\,(1-r^b) \leq M$$
auch $v$ bzw. $u$ beschränkt.
\item Wenn sich $v$ stetig in den Nullpunkt fortsetzen lassen soll, dann muss entlang aller Charakteristiken dasselbe heraus kommen. Dies ist sicherlich dann der Fall, wenn $g$ von $\vp$ unabhängig ist.

Anderenfalls hängt die Stetigkeit im Nullpunkt vom Verhalten des unter Umständen uneigentlichen Integrals ab. 
\bit
\item Ist das Integral beschränkt, z.~B. weil $g(r,\vp)$ in der Nähe des Ursprungs gleichmäßig gegen die Funktion $r^c$ mit einem $c>b$ abgeschätzt werden kann, dann bestimmt der Faktor $\e^b$ vor dem Integral das Verhalten von $v$ im Ursprung und man erhält $v(0,\vp)=0$ für alle $\vp \in [0,2\pi)$.
\item Ist das Integral unbeschränkt, dann kann man $v(0,\vp)$ mit der Regel von l'Hospital berechnen:
$$v(0,\vp)=\lim_{r\rightarrow 0} \frac{b\,\int_r^1\,\frac{g(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho}{r^{-b}} = \lim_{r\rightarrow 0} \frac{-b\,\frac{g(r,\vp)}{r^{b+1}}}{-b\,r^{-b-1}}=g(0,\vp)=g(0,0).$$
(Da $f$ im Nullpunkt stetig sein sollte, muss $g(0,\vp)$ konstant sein.) 
\eit
Da im Fall eines beschrankten Integrals sicherlich $g(0,0)=0$ sein muss, kann man allgemein sagen: 

$v$ kann also bei stetigem $g$ in den Nullpunkt fortgesetzt werden und es ist $v(0,0)=g(0,0)=f(0,0)$. 

\item Um nun die Stetigkeit der partiellen Ableitungen zu kontrollieren, muss man die Formel (1) partiell differenzieren. Da $v$ nur über die Funktion $g$ von $\vp$ abhängt und $g$ stetige Ableitungen besitzen sollte, kann man für 
$$v_{\vp}(r,\vp)=b\,r^b\,\int_r^1\,\frac{g_{\vp}(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho$$
so argumentieren, wie bei der Stetigkeit von $v$, d.~h. die partielle Ableitung $v_{\vp}$ lässt sich stetig bis in den Nullpunkt fortsetzen.

Bei der partiellen Ableitung nach $r$ muss man allerdings die Produktregel und die Regel für das Ableiten eines Integral nach der unteren Grenze berücksichtigen:
\bea
v_r(r,\vp)&=&b^2\,r^{b-1}\,\int_r^1\,\frac{g(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho+b\,r^b\,\left( \int_r^1\,\frac{g_r(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho-\frac{g(r,\vp)}{r^{b+1}}\right)\\
&=&b^2\,r^{b-1}\,\int_r^1\,\frac{g(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho+b\,r^b\, \int_r^1\,\frac{g_r(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho-b\,\frac{g(r,\vp)}{r}
\eea
Partielle Integration im ersten Integral liefert dann noch
\bea
v_r(r,\vp)&=&b\,r^{b-1}\,\left(\frac{g(r,\vp)}{r^b}-g(1,\vp)+\int_r^1\,\frac{g_r(\rho,\vp)}{\rho^b}\,d\rho\right )+b\,r^b\, \int_r^1\,\frac{g_r(\rho,\vp)}{\rho^{b+1}}\,d\rho-b\,\frac{g(r,\vp)}{r}\\
&=&b\,r^{b-1}\,\left(-g(1,\vp)+\int_r^1\,g_r(\rho,\vp)\,\rho^{-b-1}(\rho+r)\,d\rho\right )
\eea
Hieraus sieht man, dass der Grenzwert für $r\rightarrow 0$ höchstens für $b\geq 1$, d.h. für $a\leq 1$ existieren kann. 

Sei nun $b \geq 1$. Existiert das (uneigentliche) Integral, dann hängt sowieso alles nur von dem Faktor $r^{b-1}$ vor dem Integral ab, anderenfalls erhält man wie oben durch Anwendung der Regel von l'Hospital
\bea
v_r(0,\vp)&=& \lim_{r\rightarrow 0}b\, \frac{\int_r^1\,g_r(\rho,\vp)\,\rho^{-b-1}(\rho+r)\,d\rho}{r^{1-b}}\\
&=& \lim_{r\rightarrow 0}\frac{b}{1-b} \frac{\int_r^1\,g_r(\rho,\vp)\,\rho^{-b-1}\,d\rho-2\,g_r(r,\vp)\,r^{-b}}{r^{-b}}\\
&=& \frac{b}{b-1}\left(\lim_{r\rightarrow 0} \frac{g_r(r,\vp)\,r^{-b-1}}{(b+1)r^{-b-1}}+2\,g_r(0,\vp)\right)\\
&=& \frac{b}{b-1}\left( \frac{g_r(0,\vp)}{(b+1)}+2\,g_r(0,\vp)\right)\\
\eea
Es könnte sein, dass bereits nach der ersten Anwendung der Regel von l'Hospital ein existierendes Integral auftritt, dann fällt dieser Summand wegen des Faktors $r^b$ beim Grenzübergang aber sowieso weg.
\een
\underline{Beispiele:}
\begin{description}
	\item[$g=f\equiv 1$] Dann ist
$$v(r,\vp)=b\,r^b\,\int_r^1\,\rho^{-b-1}\,d\rho=1-r^b\quad\mbox{und}\quad v_r(r,\vp)=-b\,r^{b-1},$$
was für $b<1$ offensichtlich mit $r\rightarrow 0$ gegen Unendlich geht.

	\item[$g(r,\vp)=r$ bzw. $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ und $b\neq 1$] Dann ist 
$$v(r,\vp)=b\,r^b\,\int_r^1\,\rho^{-b}\,d\rho=\frac{b}{1-b}(r^b-r)\quad\mbox{und}\quad v_r(r,\vp)=frac{b}{1-b}\,(b\,r^{b-1}-1),$$
was für $b<1$ bzw. $a>1$ ebenfalls nicht existiert.
\end{description}
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 328: Einhüllende
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item \label{itm:aufg_2.a}
		Es sei $u = u \left( \cdot , a \right)$, $a \in A \subseteq \mathbb{R}$ eine einparametrige Lösungsschar der
		Differentialgleichung
		\begin{equation*}
			F \left( \cdot, u, \nabla u \right)	=	0.
		\end{equation*}
		Ferne existiere die Einhüllende $z = w \left( x \right)$ der einparametrigen Flächenschar $M_{a} = \left\{ \left(
		x, z \right) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \mid z = u \left( x, a \right), a \in A \right\}$ mit einer
		$C^{1}$-Funktion $w$.  Zeigen Sie, dass $w$ wieder eine Lösung der Differentialgleichung ist.  Die Einhüllende heißt
		dann auch \emph{singuläres Integral} der Differentialgleichung.

	\item \label{itm:aufg_2.b}
		Bestimmen Sie das singuläre Integral der Differentialgleichung
		\begin{equation*}
			u^{2} \left( 1 + \left\vert \nabla u \right\vert^{2} \right)	=	1
		\end{equation*}
		aus der Lösungsschar
		\begin{equation*}
			u \left( x, a \right)		=	\pm \left( 1 - \left\vert x - a \right\vert^{2} \right)^{\frac{1}{2}},	\quad	\left\vert x - a \right\vert < 1.
		\end{equation*}
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 328}}\\
\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden! Wesentliche teile sind auskommentiert.}
\end{center}


Wir geben zunächst folgende Definition:

\begin{defi}[Einhüllende]

	Seien $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$ und $A \subseteq \mathbb{R}^{m}$ offene Mengen sowie $u = u \left( x, a	\right)$ eine $C^{1}$-Funktion, $x \in \Omega$, $a \in A$.  Sei weiterhin die Gleichung
	\begin{equation}		\label{eq:1}
		\nabla_{a} u \left( x, a \right)	=	\left( \frac{\partial u \left( x, a \right)}{\partial a_{1}}, \ldots, \frac{\partial u \left( x, a \right)}{\partial a_{m}} \right) 	=	\mathbf{0}	\quad	\left( x \in \Omega, a \in A \right)
	\end{equation}

	erfüllt.  Sei nun weiter vorausgesetzt, dass aus \eqref{eq:1} der Parameter $a$ als $C^{1}$-Funktion von $x$
	aufgelöst werden kann, also
	\begin{equation*}
		a	=	\boldsymbol{\varphi} \left( x \right)	=		\left( \varphi_{1} \left( x \right), \ldots, \varphi_{m} \left( x \right) \right)
	\end{equation*}
	erfüllt ist.  Dann gilt
	\begin{equation*}
		\nabla_{a} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right)	=	\mathbf{0}	\quad	\left( x \in \Omega \right).
	\end{equation*}
	Es wird
	\begin{equation*}
		w \left( x \right) :=		u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right)		\quad		\left( x \in \Omega \right)
	\end{equation*}
	die \emph{Einhüllende} (auch \emph{Enveloppe}) der Funktionen $\left\{ u \left( \cdot, a \right)
	\right\}_{a \in A}$ genannt.
\end{defi}

%\begin{description}
	%\item[Zu a:]	Für die Flächenschar $M_{a}$ gilt
		%\begin{equation*}
			%M_{a}	=\left\{ \left( x, z \right) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \mid z = u \left( x, a \right), a \in A \right\}		=	\left\{ \left( x, u \left( x, a \right) \right) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \mid a \in A \right\}.
		%\end{equation*}
%Es handelt sich also gerade um die Schar der Lösungsfunktionen $u \left( \cdot, a \right)$.  Per Voraussetzung
	%existiert nun die Einhüllende $z = w \left( x \right)$.  Damit existiert eine $C^{1}$-Funktion
		%$\boldsymbol{\varphi} \colon
		%\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$, so dass
		%\begin{subequations}
			%\begin{align}		\label{eq:phi_1}
								%a	&= 	\boldsymbol{\varphi} \left( x \right),	\\				\label{eq:phi_2}
					%w \left( x \right)	&=	u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right),\\				\label{eq:phi_3}
					%\nabla_{a} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right)	&=	\mathbf{0}	
			%\end{align}
		%\end{subequations}
		%gilt.  Seien nun $x \in \mathbb{R}^{n}$ sowie $i \in \left\{ 1, \ldots, n \right\}$ beliebig
		%gewählt.  Dann gilt
		%\begin{equation*}
			%\frac{\partial}{\partial x_{i}} w \left( x \right)	=	\frac{\partial}{\partial x_{i}} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right) +	\underbrace{\frac{\partial}{\partial a} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right)}_{= 0 ~
				%\text{nach \eqref{eq:phi_3}}} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \boldsymbol{\varphi} \left( x \right)
			%=
			%\frac{\partial}{\partial x_{i}} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right).
		%\end{equation*}
%
		%Damit folgt also $\nabla w \left( x \right) = \nabla u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right)$.
%
		%Somit erhalten wir
%
		%\begin{equation*}
%
			%F \left( x, w \left( x \right), \nabla w \left( x \right)\right)
%
			%=
%
			%F \left( x, u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right), \nabla u \left( x, \boldsymbol{\varphi}
%
				%\left( x \right) \right) \right)
%
			%=
%
			%0
%
		%\end{equation*}
%
		%für alle $x \in \mathbb{R}^{n}$.  Also ist auch die Einhüllende $w \left( x \right)$ eine Lösung der partiellen
%
		%Differentialgleichung.
%
%
%
		%\begin{rem}
%
			%Die Aussage gilt auch, wenn $A \subseteq \mathbb{R}^{m}$, $m \in \mathbb{N}$, ist.  Der Beweis verläuft analog zu
%
			%dem Fall $m = 1$, wie oben.  Man erhält lediglich bei der Ableitung nach $x_{i}$
%
			%\begin{equation*}
%
				%\frac{\partial}{\partial x_{i}} w \left( x \right)
%
				%=
%
				%\frac{\partial}{\partial x_{i}} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right)
%
					%+ \sum_{j = 1}^{m} \underbrace{\frac{\partial}{\partial a_{j}} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x
%
					%\right) \right)}_{= 0 ~ \text{nach \eqref{eq:phi_3}}} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \varphi_{j}
%
					%\left( x \right)
%
				%=
%
				%\frac{\partial}{\partial x_{i}} u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right).
%
			%\end{equation*}
%
		%\end{rem}
%
	%\item[zu \ref{itm:aufg_2.b}:]
%
		%Um das singuläre Integral (bzw. die Einhüllende) bestimmen zu können, muss der Parameter $a$ eliminiert werden.
%
		%Es muss
%
		%\begin{equation*}
%
			%\frac{\partial}{\partial a} u \left( x, a \right)
%
			%=
%
			%\pm \frac{1}{2} \frac{- 2 \left( x - a \right)}{\left( 1 - \left( x - a \right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}}}
%
			%=
%
			%\mp \frac{x - a}{\left( 1 - \left( x - a \right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}}}
%
			%\stackrel{!}{=}
%
			%0
%
		%\end{equation*}
%
		%erfüllt sein.  Der Bruch ist wegen der Bedingung $\left\vert x - a \right\vert < 1$ wohldefiniert und wir
%
		%erhalten sofort die Beziehung
%
		%\begin{equation*}
%
			%a
%
			%=
%
			%\boldsymbol{\varphi} \left( x \right)
%
			%=
%
			%x.
%
		%\end{equation*}
%
		%Durch Einsetzen in die Lösungsschar erhalten wir damit das singuläre Integral
%
		%\begin{equation*}
%
			%w \left( x \right)
%
			%=
%
			%u \left( x, \boldsymbol{\varphi} \left( x \right) \right)
%
			%=
%
			%\pm \left( 1 - \left\vert x - x \right\vert^{2} \right)^{\frac{1}{2}}
%
			%\equiv	
%
			%\pm 1.
%
		%\end{equation*}
%
		%In der folgenden Skizze sind jeweils eine Auswahl von Lösungen und die singulären Integrale beider Vorzeichen
%
		%\textcolor{red}{rot} dargestellt.
%
		%\begin{center}
%
			%\begin{tikzpicture}[scale=2]
%
				%\draw[very thin, color=gray] (-2.4, -1.4) grid (2.4, 1.4);
%
				%\draw[->, semithick] (-2.5, 0) -- (2.5, 0);
%
				%\draw (0, 0) node[anchor= north west] {$0$};
%
				%\draw (2.5, 0) node[anchor=north west] {$x$};
%
				%\draw[->, semithick] (0, -1.5) -- (0, 1.5);
%
				%\draw (0, -1.0) node[anchor=north east] {$-1$};
%
				%\draw (0, 1.0) node[anchor=south east] {1};
%
				%\draw (0, 1.5) node[anchor=east] {$\pm u \left( x, a \right)$};
%
				%%%% Alle Beispielgraphen zeichnen
%
					%\draw[domain=-2.0:0.0, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (- 1.0))**2)};
%
					%\draw[domain=-2.0:0.0, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (- 1.0))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.8:0.2, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (- 0.8))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.8:0.2, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (- 0.8))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.6:0.4, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (- 0.6))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.6:0.4, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (- 0.6))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.4:0.6, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (- 0.4))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.4:0.6, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (- 0.4))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.2:0.8, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (- 0.2))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.2:0.8, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (- 0.2))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.0:1.0, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (- 0.0))**2)};
%
					%\draw[domain=-1.0:1.0, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (- 0.0))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.8:1.2, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (0.2))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.8:1.2, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (0.2))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.6:1.4, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (0.4))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.6:1.4, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (0.4))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.4:1.6, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (0.6))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.4:1.6, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (0.6))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.2:1.8, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (0.8))**2)};
%
					%\draw[domain=-0.2:1.8, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (0.8))**2)};
%
					%\draw[domain= 0.0:2.0, smooth, samples=100] plot function{sqrt(1 - (x - (1.0))**2)};
%
					%\draw[domain= 0.0:2.0, smooth, samples=100] plot function{- sqrt(1 - (x - (1.0))**2)};
%
				%\draw[thick, color=red, domain=-2.4:2.4] plot function{1};
%
				%\draw[thick, color=red, domain=-2.4:2.4] plot function{- 1};
%
			%\end{tikzpicture}
%
		%\end{center}
%
		%Man kann auch den allgemeinen Fall für $x, a \in \mathbb{R}^{n}$, $n \in \mathbb{N}$, betrachten.  Dabei sei $\lvert
%
		%\cdot \rvert$ der \textsc{Euklid}ische Abstand im $\mathbb{R}^{n}$.  Sei $i \in \left\{ 1, \ldots, n \right\}$ beliebig
%
		%gewählt.  Dann erhält man
%
		%\begin{equation*}
%
			%\begin{split}
%
					%\frac{\partial}{\partial a_{i}} u \left( x, a \right)
%
				%&
%
					%=
%
					%\frac{\partial}{\partial a_{i}} \pm \left( 1 - \sum_{j = 1}^{n} \left( x_{j} - a_{j} \right)^{2}
%
						%\right)^{\frac{1}{2}}
%
					%=
%
					%\pm \frac{1}{2} \frac{- 2 \left( x_{i} - a_{i} \right)}{\left( 1 - \sum_{j = 1}^{n} \left( x_{j} - a_{j}
%
						%\right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}}}
%
				%\\
%
				%&
%
					%=
%
					%\mp \frac{x_{i} - a_{i}}{\left( 1 - \sum_{j = 1}^{n} \left( x_{j} - a_{j} \right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}}}
%
					%\stackrel{!}{=}
%
					%0.
%
			%\end{split}
%
		%\end{equation*}
%
		%Wegen der Bedingung $\lvert x - a \rvert < 1$ ist auch dieser Bruch wohldefiniert.  Man erhält somit, dass für alle
%
		%$i \in \left\{ 1, \ldots, n \right\}$
%
		%\begin{equation*}
%
			%a_{i}
%
			%=
%
			%x_{i}
%
		%\end{equation*}
%
		%gelten muss.  Also ist auch dann
%
		%\begin{equation*}
%
			%a
%
			%=
%
			%\boldsymbol{\varphi} \left( x \right)
%
			%=
%
			%x,
%
		%\end{equation*}
%
		%wodurch man dann durch Einsetzen in $u$
%
		%\begin{equation*}
%
			%w \left( x \right)
%
			%\equiv
%
			%\pm 1
%
		%\end{equation*}
%
		%erhält.  Für den Fall $n = 2$ ist die Einhüllende gerade die Ebene, welche parallel zur $xy$-Ebene
%
		%durch $-1$ bzw. $1$ verläuft.  Dies sei für das negative und postive Vorzeichen im Folgenden skizzenhaft
%
		%dargestellt.
%
		%\begin{center}
%
			%\begin{tikzpicture}
%
				%\begin{axis}[axis equal=true, view={45}{45}]
%
					%\addplot3[mesh, z buffer=sort, domain=-1:3, y domain=-1:3]
%
						%function {- 1};
%
					%\addplot3[surf, parametric=true, parametric/var 2d={x,y}, z buffer=sort, domain=0:pi, y domain=0:2*pi]
%
						%function {sin(x)*cos(y), sin(x)*sin(y) + 2, cos(x)};
%
					%\addplot3[surf, parametric=true, parametric/var 2d={x,y}, z buffer=sort, domain=0:pi, y domain=0:2*pi]
%
						%function {sin(x)*cos(y), sin(x)*sin(y), cos(x)};
%
					%\addplot3[surf, parametric=true, parametric/var 2d={x,y}, z buffer=sort, domain=0:pi, y domain=0:2*pi]
%
						%function {sin(x)*cos(y) + 2, sin(x)*sin(y) + 2, cos(x)};
%
					%\addplot3[surf, parametric=true, parametric/var 2d={x,y}, z buffer=sort, domain=0:pi, y domain=0:2*pi]
%
						%function {sin(x)*cos(y) + 2, sin(x)*sin(y), cos(x)};
%
					%\addplot3[mesh, z buffer=sort, domain=-1:3, y domain=-1:3]
%
						%function {1};
%
				%\end{axis}
%
			%\end{tikzpicture}
%
		%\end{center}
%
%
%
%\end{description}
%


% Ende der Lösung
\newpage
\section{ Erhaltungsgleichungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 329: Burgers Gleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Konstruieren Sie eine schwache Lösung für die Burgers Gleichung
$$u_t + \frac12\left(u^2\right)_x = 0,\qquad (t, x) \in (0,\infty) \times \R$$
mit den Anfangswerten
$$u(0, x) = \left\{ \begin{array}{ll}1 & \mbox{für}\quad x \leq 0,\\
1 - x & \mbox{für}\quad 0 \leq x \leq 1,\\
0 & \mbox{für}\quad 1 \leq x.\\ \end{array} \right.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 329}}\\
Die \dgl kann man auch in der Form 
$$u_t + u\,u_x = 0,\qquad (t, x) \in (0,\infty) \times \R$$
schreiben. Mit 
$$z(t)=u(t,x(t)) \quad\mbox{ist}\quad \dot{z}(t)=u_t(t,x(t)) + u_x(t,x(t))\,\dot{x}(t)=0 \quad\mbox{und}\quad \dot{x}(t) = u(t,x(t)) = z(t)$$
erhält man die von $(0,x_0)$ Charakteristiken
$$z(t) = c = const \quad\mbox{und}\quad x(t)=c\,t+x_0.$$
\ben
\item Für $x\leq 0$ erhält man $c=1$ und die von $(0,x_0)$ ausgehenden Charakteristiken genügen der Gleichung $x(t)=t+x_0$. Daraus resultiert die Lösung 
$$u(t,x)\equiv 1 \quad\mbox{in}\quad \{(t, x)\,|\, t \geq 0,\, t \geq x \}.$$

\item Analog erhält man für $x\geq 1\quad c=0$, die von $(0,x_0)$ ausgehenden Charakteristiken $x(t)=x_0$ und daraus die Lösung 
$$u(t,x)\equiv 0 \quad\mbox{in}\quad \{(t, x)\,|\, t \geq 0,\, x \geq 1 \}.$$

\item Schließlich erhält man für $0 \leq x \leq 1$ wegen $x(t)-z(t)\,t=const$ entlang der von $(0,x_0)$ ausgehenden Charakteristiken 
$$x(t)=(1-x_0)t + x_0 =(1-t)\,x_0+t$$ 
Lösungen in der impliziten Form 
$$u(t,x)= \vp(x-u(x,t)\,t) \quad\mbox{in}\quad \{(t, x)\,|\, 0 \leq t \leq x \leq 1 \}.$$
Aus der Anfangsbedingung $t=0$ erhält man noch $\vp(x)= 1-x$, also
$$u(t,x)= 1-x+u(x,t)\,t \quad\mbox{bzw.}\quad u(t,x)= \frac{1-x}{1-t}, \quad\mbox{in} \quad\{(t, x)\,|\, 0 \leq t \leq x \leq 1 \}.$$

Diese Lösungen existieren nun zwar nur noch für $t \leq 1$, wobei die von $0\leq x_0 \leq 1$ ausgehende Charakteristiken $x(t)=(1-x_0)t + x_0$  im Punkt $(1,1)$ auf die von $(0, 0)$ ausgehende Charakteristik der Schar in a) sowie auf die von $(0,1)$ ausgehende Charakteristik der Schar in b) treffen.
\een

\underline{Sprungbedingungen}
\begin{description}
	\item[an $0\leq x=t \leq 1$] Es ist $u_l(t,t) \equiv 1,\ u_r(t,t)= \frac{1-1}{1-t}=1$, d.~h. $u(t,x)$ ist an $0\leq x=t \leq 1$ stetig und die Sprungbedingung ist damit natürlich erfüllt.
	\item[an $0\leq x(t)\equiv 1,\ 0 \leq t \leq 1$] Es ist $u_l(t,1)= \frac{1-1}{1-t}=0,\ u_r(t,x) \equiv 0$, d.~h. $u(t,x)$ ist an $0\leq x(t)\equiv 1,\ 0 \leq t \leq 1$ stetig und die Sprungbedingung ist somit auch erfüllt.
	\item[für $x(t) \geq 1$] ist $u_l(t,x) \equiv 1$ und $u_r(t,x)\equiv 0$, d.~h. es muss
	$$\frac12 = \frac12\,u_l^2 - \frac12\,u_r^2 = \dot{x}(t)\,(u_l-u_r) = \dot{x}(t) \Rightarrow x(t)=\frac12\,t + const.$$
Aus der Anschlussbedingung $x(1)=1$ folgt dann noch $x(t)=\frac12\,t + \frac12$. Insgesamt erhält man also folgende schwache Lösung:
$$u(t,x) = \left\{ \begin{array}{ll}1 & \mbox{für}\quad 0\leq x \leq t \leq 1 \quad\mbox{oder}\quad 1\leq x \leq \frac{t+1}{2},\\
\frac{1-x}{1-t} & \mbox{für}\quad 0 \leq t \leq x \leq 1,\\
0 & \mbox{für}\quad 1 \leq t \leq 2x-1.\\ \end{array} \right.$$
\end{description}
\begin{center}
	\includegraphics{lImage044}
\end{center}
Da $u$ für $x \leq 1$ stetig ist, beginnt die eigentliche Schocklösung erst für $x \geq 1$, wobei der Schock entlang der Kurve $x(t)=\frac{1+t}{2 }$ passiert.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 330: Randextremwerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $u = u(x, y)$ eine stetig differenzierbare Lösung der Differentialgleichung
\begin{equation}
	a(x, y)u_x + b(x, y)u_y = -u
\end{equation}
im abgeschlossenen Einheitskreis $B \subset \Rx{2}$. Es gelte ferner
\begin{equation}
	a(x, y)x + b(x, y)y > 0 \qquad\mbox{für alle}\qquad (x, y) \in \partial B.
\end{equation}
Beweisen Sie, daß $u$ in $B$ identisch verschwindet.\\

\tip Zeigen Sie $\max_B u \leq 0$ und $\min_B u \geq 0$, wobei für die Untersuchung des Verhaltens von $u$ in den Randpunkten die
Bedingung (2) an die Koeffizienten ausgenutzt wird.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 330}}\\
Mit den Bezeichnungen   
$$\vec{a}=(a(x,y),b(x,y)),\quad \grad u = (u_x(x,y),u_y(x,y)),\quad \vec{n}=\bma{c}x \\y\\\ema\quad\mbox{und}\quad \vec{t}=\bma{c}-y \\x\\\ema$$
für den Koeffizienten, den Gradientenvektor sowie auf dem Rand für die nach außen gerichtete Normale und den Tangentenvektor lassen sich die Gleichungen (1), (2) in der Form
\begin{equation}
\left\langle \vec{a},\grad u\right\rangle = -u \qquad\mbox{in}\quad B	
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle \vec{a},\vec{n}\right\rangle > 0 \qquad\mbox{auf}\quad \partial B	
\end{equation}
schreiben.

Da $B$ kompakt ist und $u$ auf $B$ stetig sein soll, nimmt $u$ sein globales Maximum und sein globales Minimum auf $B$ an. Sei etwa
$$u_{max}=u(x_{max},y_{max})=\max_{(x,y)\in B} u(x,y) \qquad\mbox\qquad u_{min}=u(x_{min},y_{min})=\min_{(x,y)\in B} u(x,y).$$

\ben
\item Liegt ein globales Extremum im Inneren von $B$, dann muss es auch ein lokales Extremum sein, d.~h. die partiellen Ableitungen verschwinden. Damit folgt aus (1) bzw. (3):
$$-u= \left\langle \vec{a},\grad u\right\rangle = 0$$
Liegen also Minimum oder Maximum im Inneren, dann sind deren Werte 0.
\item Liegt das globale Extremum auf dem Rand $\partial B$, dann ist es immer noch lokales Extremum auf der Randkurve, d.~h. die Tangentialableitung verschwindet:
$$ \frac{\partial u}{\partial\vec{t}} = \left\langle \grad u,\vec{t}\right\rangle= 0,$$
der Gradient steht also senkrecht auf dem Tangentenvektor bzw. zeigt in Normalenrichtung, also ist $\grad u = \alpha\,\vec{n}$ und aus (1) bzw. (3) wird
\begin{equation}
(\vec{a},\grad u) = \alpha\,\left\langle \vec{a},\vec{n}\right\rangle= -u \qquad\mbox{im Randextremum,}	
\end{equation}
wobei wegen (4) der Faktor $\left\langle \vec{a},\vec{n}\right\rangle$ positiv ist.
\bit
\item In einem Randmaximum kann die Ableitung nach der äußeren Normalen nicht negativ sein, d.~h.
$$\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}(x_{max},y_{max})= \left\langle \grad u,\vec{n}\right\rangle= \alpha_{max}\geq 0.$$
Wegen (2) bzw. (4) folgt nun aus (5) $u_{max}\leq 0$.
\item Entsprechend ist in einem Randminimum die Normalableitung nicht positiv, d.~h.
$$\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}(x_{min},y_{min})= \left\langle \grad u,\vec{n}\right\rangle= \alpha_{min}\leq 0.$$
Damit folgt aus (5) unter Berücksichtigung von (4) $u_{min}\geq 0$.
\eit
\een 
In allen Fällen ist also $0 \leq u_{min} \leq u \leq u_{max} \leq 0$, das geht aber nur für $u\equiv0$ in ganz $B$.



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Multiindizes }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 331: Polynomische Formel und verallgemeinerte geometrische Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie als Beispiele zur Anwendung der Multiindexschreibweise die folgenden beiden Identitäten:
\begin{equation}
(x_1+x_2+\hdots+x_n)^m=\sum_{\abs{\alpha}=m} \frac{m!\,x^\alpha}{\alpha !}
\end{equation}
\begin{equation}
\bigl(1-(x_1+x_2+\hdots+x_n)\bigr)^{-1}=\sum_{\abs{\alpha}\geq 0} \frac{\abs{\alpha}!\,x^\alpha}{\alpha !}
\end{equation}
Für welche $x_1,\hdots,x_n$ konvergiert die letzte Reihe absolut?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 331}}\\
Sei $\alpha=(\alpha_1,\hdots,\alpha_n)\in(\mathbb N\cup \{0\})^n$. Dann heißt $\alpha$ ein Multiindex und es gelten folgende Rechenregeln:
\bea
\abs{\alpha} &=& \alpha_1+\ldots+\alpha_n \\
\alpha ! &=& \alpha_1 ! \cdot\ldots\cdot \alpha_n ! \\
x^\alpha &=& x_1^{\alpha_1}\cdot\hdots\cdot x_n^{\alpha_n}\quad \text{für }x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n\\
\eea
\section{Polynomischer Satz}
Beweis durch vollständige Induktion nach $n$:
\begin{description}
\item{IA:} Sei $n=1$. Dann ist
\begin{equation*}
x_1^m \overset{!}= \sum_{\abs{\alpha}=m}\frac{m!\,x^\alpha}{\alpha !} = \sum_{\alpha_1=m}\frac{m!\,x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !} = \frac{m!\,x_1^m}{m!} = x_1^m.
\end{equation*}
Sei nun $n=2$.
\bea
(x_1+x_2)^m &\overset{!}=& \sum_{\abs{\alpha}=m}\frac{m!\,x^\alpha}{\alpha !} = \sum_{\alpha_1+\alpha_2=m}\frac{m!\,x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}}{\alpha_1 !\alpha_2 !} \overset{\alpha_2=m-\alpha_1}= \sum_{\alpha_1=0}^m \frac{m!\,x_1^{\alpha_1} x_2^{m-\alpha_1}}{\alpha_1 ! (m-\alpha_1)!} \\
&=& \sum_{\alpha_1=0}^m \binom{m}{\alpha_1} x_1^{\alpha_1} x_2^{m-\alpha_1}
\eea
und dies ist der bekannte Binomische Lehrsatz für $(x_1+x_2)^m$.
\item{IV:} Angenommen, $(x_1+x_2+\hdots+x_n)^m=\sum\limits_{\abs{\alpha}=m} \frac{m!\,x^\alpha}{\alpha !}$ gilt f\"ur $n$.
\item{IS:} $n\mapsto n+1$:
\bea
(x_1+\hdots+x_n+x_{n+1})^m &=& \bigl(x_1+\hdots+x_{n-1}+(x_n+x_{n+1})\bigr)^m \\
&\overset{\text{IV}}=& \sum_{\alpha_1+\hdots+\alpha_n=m} m!\,\frac{x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !}\cdot\hdots\cdot\frac{x_{n-1}^{\alpha_{n-1}}}{\alpha_{n-1}!}\frac{(x_n+x_{n+1})^{\alpha_n}}{\alpha_n !} \\
&\overset{\text{IV}}=& \sum_{\alpha_1+\hdots+\alpha_n=m} m!\,\frac{x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !}\cdot\hdots\cdot\frac{x_{n-1}^{\alpha_{n-1}}}{\alpha_{n-1}!}\frac1{\alpha_n !} \sum_{\beta_1+\beta_2=\alpha_n}\alpha_n !\,\frac{x_n^{\beta_1}}{\beta_1 !}\frac{x_{n+1}^{\beta_2}}{\beta_2 !} \\
&\overset{\mathclap{\alpha_n= \beta_1+\beta_2}}=&\sum_{\alpha_1+\hdots+\alpha_{n-1}+\beta_1+\beta_2=m} m!\,\frac{x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !}\cdot\hdots\cdot\frac{x_{n-1}^{\alpha_{n-1}}}{\alpha_{n-1}!}\frac{x_n^{\beta_1}}{\beta_1 !}\frac{x_{n+1}^{\beta_2}}{\beta_2 !}
\eea
Wir erhalten nun einen neuen Multiindex $\bar\alpha=(\alpha_1,\hdots,\alpha_{n-1},\beta_1,\beta_2)\in\mathbb N^{n+1}$. Also ist
\begin{equation*}
(x_1+\hdots+x_n+x_{n+1})^m = \sum_{\abs{\bar\alpha}=m} \frac{m!\,x^{\bar\alpha}}{\bar\alpha !}
\end{equation*}
\end{description}
\section{verallgemeinerte geometrische Reihe}
Beweis durch vollständige Induktion nach $n$:
\begin{description}
\item{IA:} Sei $n=1$. Dann ist
\begin{equation*}
(1-x_1)^{-1}=\sum_{\abs{\alpha}\geq 0}\frac{\abs{\alpha}!\,x^{\alpha}}{\alpha !}=\sum_{\alpha_1\geq 0}\frac{\alpha_1 !\,x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !}=\sum_{\alpha_1=0}^\infty x_1^{\alpha_1}
\end{equation*}
und dies ist die bekannte geometrische Reihe, die für $\abs{x_1}<1$ gegen $(1-x_1)^{-1}$ konvergiert.
\item{IV:} Angenommen, $\bigl(1-(x_1+x_2+\hdots+x_n)\bigr)^{-1}=\sum\limits_{\abs{\alpha}\geq 0} \frac{\abs{\alpha}!\,x^\alpha}{\alpha !}$ gilt f\"ur $n$.
\item{IS:} $n\mapsto n+1$:
\bea
\bigl(1-(x_1+x_2+\hdots+x_n+x_{n+1})\bigr)^{-1}&=& \Bigl(1-\bigl(x_1+\hdots+x_{n-1}+(x_n+x_{n+1})\bigr)\Bigr)^{-1}\\
&\overset{\text{IV}}=& \sum_{\alpha_1+\hdots+\alpha_n\geq 0} \abs{\alpha}!\frac{x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !}\cdot\hdots\cdot\frac{x_{n-1}^{\alpha_{n-1}}}{\alpha_{n-1}!}\frac{(x_n+x_{n+1})^{\alpha_n}}{\alpha_n !} \\
&\overset{(1)}=& \sum_{\alpha_1+\hdots+\alpha_n\geq 0} \abs{\alpha}!\frac{x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !}\cdot\hdots\cdot\frac{x_{n-1}^{\alpha_{n-1}}}{\alpha_{n-1}!}\frac1{\alpha_n !}\sum_{\beta_1+\beta_2=\alpha_n}\alpha_n!\frac{x_n^{\beta_1}}{\beta_1!}\frac{x_{n+1}^{\beta_2}}{\beta_2 !} \\
&\overset{\mathclap{\alpha_n= \beta_1+\beta_2}}=&\sum_{\alpha_1+\hdots+\alpha_{n-1}+\beta_1+\beta_2\geq 0} \abs{\alpha}!\frac{x_1^{\alpha_1}}{\alpha_1 !}\cdot\hdots\cdot\frac{x_{n-1}^{\alpha_{n-1}}}{\alpha_{n-1}!}\frac{x_n^{\beta_1}}{\beta_1!}\frac{x_{n+1}^{\beta_2}}{\beta_2 !}
\eea
Wir erhalten nun wieder einen neuen Multiindex $\bar\alpha=(\alpha_1,\hdots,\alpha_{n-1},\beta_1,\beta_2)\in\mathbb N^{n+1}$. Also ist
\begin{equation*}
\bigl(1-(x_1+x_2+\hdots+x_n+x_{n+1})\bigr)^{-1}=\sum_{\abs{\bar\alpha}\geq 0}\frac{\abs{\bar\alpha}!\,x^{\bar\alpha}}{\bar\alpha !}
\end{equation*}
\end{description}
Die Reihe konvergiert für alle $x\in\mathbb R^n$, für die $\norm{x}_1=\abs{x_1}+\hdots+\abs{x_n}<1$, da die rechte Seite der Gleichung für $\norm{x}=1$ eine Unstetigkeit aufweist und somit die Summe nur innerhalb der $n$-dim. Einheitskugel zur 1-Norm absolut konvergieren kann.



% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Symbol und Klassifizierung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 332: Hauptsymbol
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $P(x,\partial)=\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)\partial^\alpha$ ein linearer partieller Differentialoperator $m$-ter Ordnung mit stetigen Koeffizienten, $S_m=S_m(x,\xi)$ sein Hauptsymbol und $\phi=\phi(x)$ eine glatte reellwertige Funktion. Zeigen Sie f\"ur $\abs{\lambda} \rightarrow \infty$ die asymptotische Entwicklung
\begin{equation*}
e^{-i\lambda\phi}P(x,\partial)e^{i\lambda\phi}=\lambda^m S_m(x,\phi_{x_1},\hdots,\phi_{x_n})+ \mathrm O(\lambda^{m-1})
\end{equation*}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 332}}\\
Das Hauptsymbol eines linearen Differentialoperators $m$-ter Ordnung ist definiert als
\begin{equation*}
S_m(x,\xi)=\sum_{\abs{\alpha}=m} a_\alpha(x)(i\xi)^\alpha.
\end{equation*}
Es ist 
\begin{align*}
e^{-i\lambda\phi}P(x,\partial)e^{i\lambda\phi} &= e^{-i\lambda\phi}\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)\partial^\alpha e^{i\lambda\phi} \\
&= e^{-i\lambda\phi}\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)\frac{\partial^{\abs{\alpha}} e^{i\lambda\phi}}{\partial x^\alpha} \\
&= e^{-i\lambda\phi}\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)\frac{\partial^{\abs{\alpha}} e^{i\lambda\phi}}{\partial(i\lambda\phi)^{\abs{\alpha}}}\frac{\partial^{\abs{\alpha}}(i\lambda\phi)}{\partial x^\alpha} \\
\text{subst. }v:=i\lambda\phi\quad&= e^{-i\lambda\phi}\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)\frac{\partial^{\abs{\alpha}} e^v}{\partial v^{\abs{\alpha}}}\frac{\partial^{\abs{\alpha}}(i\lambda\phi)}{\partial x^\alpha} \\
&= e^{-i\lambda\phi}\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)\,e^v(i\lambda)^{\abs{\alpha}}\frac{\partial^{\abs{\alpha}}(\phi)}{\partial x^\alpha} \\
\text{R\"ucksubst.}\quad&= e^{-i\lambda\phi}e^{i\lambda\phi}\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)(i\lambda)^{\abs{\alpha}}\frac{\partial^{\abs{\alpha}}(\phi)}{\partial x^\alpha} \\
&= \sum_{\alpha=m} a_\alpha(x)(i\lambda)^m\frac{\partial^m(\phi)}{\partial x^\alpha} + \underbrace{\sum_{\alpha<m} a_\alpha(x)(i\lambda)^{\abs{\alpha}}\frac{\partial^{\abs{\alpha}}(\phi)}{\partial x^\alpha}}_{\mathclap{\text{wegen $\abs{\alpha}\leq m-1$ f\"ur $\abs{\lambda}\rightarrow\infty$ in $\mathrm O(\lambda^{m-1})$}}} \\
&= \lambda^m \sum_{\alpha=m} a_\alpha(x)i^m\,\partial^{\alpha_1}_{x_1}\phi\cdots\partial^{\alpha_n}_{x_n}\phi + \mathrm O(\lambda^{m-1}) \\
&= \lambda^m \sum_{\alpha=m} a_\alpha(x)(i\partial_{x_1}\phi)^{\alpha_1}\cdots(i\partial_{x_n}\phi)^{\alpha_n} + \mathrm O(\lambda^{m-1})
\end{align*}
Dies entspricht aber dem Hauptsymbol mit $\xi=(\partial_{x_1}\phi,\hdots,\partial_{x_n}\phi)$. Also ist
\begin{equation*}
e^{-i\lambda\phi}P(x,\partial)e^{i\lambda\phi}=\lambda^m S_m(x,\phi_{x_1},\hdots,\phi_{x_n}) + \mathrm O(\lambda^{m-1})
\end{equation*}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ zweiter Ordnung }
\section{ elliptische DGLs }
\subsection{ Laplace-Operator }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 333: Abschätzung harmonischer Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie folgende Variante der Abschätzungen für die Ableitungen einer harmonischen Funktion :\\
Ist u harmonisch in einem Gebiet $G \subseteq \mathbb{R}^n $,\,dann gilt 

\[ \abs{\partial{}^{\alpha}{u(x_0)}}\leq \frac{C_k}{r^{n+k}} \norm{u}_{L^{1}{(B)}} \]

für jede abgeschlossene Kugel $B = B_r(x_0)\,\subseteq G $ und jeden Multiindex $\alpha$ der Ordnung k. \\
Hierbei ist 

\[ \norm{u}_{L^{1}{(B)}}:= \int_{B} \abs{u(x)}\,dx  \]
die Norm von u im Raum $L^{1}(B)$ und
\[    C_0 := \frac{1}{\gamma_{n}} , \,\, C_k := \frac{(2^{n+1}nk)^k}{\gamma_{n}} , \,\,k= 1,2,\cdots \,, \]
wobei $\gamma_{n}$ das Volumen der Einheitskugel im $ \mathbb{R}^n $ bezeichnet.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 333}}\\
Beweis durch vollständige Induktion :\\
Für $k=0$ gilt : Da u harmonisch ist :\\
\begin{eqnarray*}
   \abs{u(x_0)}   &=&  \left|\frac{1}{B_{r}(x_0)} \int_{B_{r}(x_0)} u(x)\,dx \right| \\
               &\leq&  \frac{1}{\abs{B_{r}(x_0)}} \int_{B_{r}(x_0)} \abs{u(x)}\,dx \\
                  &=&  \frac{1}{\gamma_{n}\,r^n} \int_{B_{r}(x_0)} \abs{u(x)}\,dx \\
                  &=&  \frac{1}{\gamma_{n}\,r^n} \norm{u}_{L^{1}{(B_{r}(x_0))}}               
\end{eqnarray*}

Für $k=1$ : Da u harmonisch ist , ist auch $u_{x_i}$ harmonisch : \\
\begin{eqnarray*}
   \abs{u_{x_i}(x_0)}  &=&   \left|\frac{1}{B_{\frac{r}{2}}(x_0)} \int_{B_{\frac{r}{2}}(x_0)}u_{x_i}\,dx \right|\\
                    &\leq&   \frac{1}{ \left|B_{\frac{r}{2}}(x_0)\right|}\int_{B_{\frac{r}{2}}(x_0)}{\left|u_{x_i}\right|\,dx} \\
                       &=&   \frac{1}{ \left|B_{\frac{r}{2}}(x_0)\right|} \int_{\partial{B_{\frac{r}{2}}(x_0)}}\left|n_i \, u(x)                                                  \right|\,d\mathnormal{o}_x \\
                    &\leq&   \frac{1}{ \left|B_{\frac{r}{2}}(x_0)\right|} \int_{\partial{B_{\frac{r}{2}}(x_0)}}                                                                   \left|n_i \right|\, \left|u(x) \right| \, d\mathnormal{o}_x \\ 
                    &\leq&   \frac{{\left|\partial B_{\frac{r}{2}}(x_0)\right|}}{\left|{B}_{\frac{r}{2}}(x_0)\right|}\,\,                                                        \sup_{{\partial B}_{\frac{r}{2}}(x_0)}\abs{u}\\
                    &\leq&   \frac{2n}{r}\,\norm{u}_{L^{\infty}{(B_{\frac{r}{2}}(x_0))}}                  
\end{eqnarray*}       
                                  
Wir haben nun folgende Ungleichungen gezeigt :\\
      \begin{align}
         \abs{u(x_0)}&\leq \frac{1}{\gamma_{n}\,r^n} \norm{u}_{L^{1}{(B_{r}(x_0))}}\\
         \abs{u_{x_i}(x_0)}&\leq \frac{2n}{r}\,\norm{u}_{L^{\infty}{(B_{\frac{r}{2}}(x_0))}}
      \end{align}
\\
Für $x \in$ ${\partial B}_{\frac{r}{2}}(x_0)$,\,ist $B_{\frac{r}{2}}(x)$\,$\subset$\,$B_{r}(x_{0})$\,$\subset$\,G,\,also nach $(1)$ gilt\,:\\

  \begin{eqnarray*}     
         \abs{u(x)}   &\leq& \frac{1}{\gamma_{n}\,\left(\frac{r}{2}\right)^n} \,\,\norm{u}_{L^{1}{(B_{r}(x_0))}}\\                 
  \end{eqnarray*}

Für $\abs{\alpha}= k = 1$\,\,gilt :\\

\begin{eqnarray*} 
 \abs{\partial^{\alpha}u(x_0)} &\leq& \frac{2n}{r}\, \frac{1}{\gamma_{n}\,\left(\frac{r}{2}\right)^n} \,\,\norm{u}_{L^{1}{(B_{r}(x_0))}}\\
                                  &=& \left(\frac{2}{r}\right)^{n+1}\,\frac{n}{\gamma_{n}} \,\norm{u}_{L^{1}{(B_{r}(x_0))}}
 \end{eqnarray*}

Setze nun für eine beliebige Kugel $B_{r}(x_0) \subset G$  :
  \[ \partial^{\alpha}u = \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\partial^{\beta}u \right) \,\, ,\,\,\,\,\,  \abs{\beta}=\abs{\alpha}-\,1  \]\\  
Aus $(2)$ folgt :\\
  \[\abs{\partial^{\alpha}u(x_0)} \leq \frac{kn}{r}\,\norm{\partial^{\beta}u}_{L^{\infty}{(\partial                        B_{\frac{r}{k}}(x_0))}}\,=\,\frac{kn}{r}\,\left|\partial^{\beta}u(x_0)\right| \] \\ 
 Für\,$x\in\,\partial B_{\frac{r}{k}}(x_0) : B_{\frac{k-1}{k}\,r}(x) \,\subset B_{r}(x_{0}) \,\subset G$ und somit gilt\,(nach der Behauptung):\\ 
\begin{eqnarray*}
 \abs{\partial^{\alpha}u(x)} &\leq& \frac{kn}{r}\,\frac{(2^{n+1}\,n\,(k-1))^{k-1}}{\gamma_n\,{(\frac{k-1}{k}\,r)}^{n+k-1}}\norm{u}_{L^{1}{(B_{\frac{k-1}{k}r}(x_0))}}\\
                             &\leq&  
 \frac{(2^{n+1}\,n\,k)^{k}}{\gamma_n\,{(r)}^{n+k}} \norm{u}_{L^{1}{(B_{r}(x_0))}}
\end {eqnarray*} 
 also:\\
 
 \[\abs{\partial^{\alpha}u(x_0)} \leq \frac{(2^{n+1}\,n\,k)^{k}}{\gamma_n\,{(r)}^{n+k}} \norm{u}_{L^{1}{(B_{r}(x_0))}}\]\\
  
$\Rightarrow$ die Behauptung.\\               
                                    
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 334: a-priori-Abschätzung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $B$ die abgeschlossene Einheitskugel im $\R^n$. Zeigen Sie die Existenz
einer nur von $n$ abhängigen Konstanten $C$ , so dass
\[ \max_{x\in B} |u(x)| \leq  C \rkl{\max_{x\in \partial B} |u(x)| + \max_{x\in B} |\Delta u(x)|}\]
für jede Funktion $u \in C^2(B)$ gilt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 334}}\\
\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden!}
\end{center}


\underline{{\bf\large Lösung 1:}}
Wir benutzen die Greensche Funktion für die Einheitskugel im $\R^n$, mit $n>2)$.
\[G_x(y) = E_x(y) - E_{\frac{x}{|x|}}\rkl{|x|y}\quad\text{für}\quad x\neq 0, x\neq y \quad\text{mit}\quad E_x(y)=-\frac{1}{(n-2)\sigma(S^{n-1})}\frac{1}{|y-x|^{n-2}}.\]
Dann ist
\[E_{\frac{x}{|x|}}\rkl{|x|y} = -\frac{1}{(n-2)\sigma(S^{n-1})}\frac{1}{||x|y-\frac{x}{|x|}|^{n-2}}\quad\text{und}\quad  E_{\frac{y}{|y|}}\rkl{|y|x} =  -\frac{1}{(n-2)\sigma(S^{n-1})}\frac{1}{||y|x-\frac{y}{|y|}|^{n-2}}.\]
Bekanntlich ist $G_x(y)=G_y(x)$, $G_x(y)=0$ auf $\partial B$ und $G_x$ in $y$ harmonisch in $B\setminus \set{x}$. Der zweite Summand von $G_x$ ist sigar in ganz $B$ harmonisch. Aus der zweiten Greenschen Formel 
\[\int_\Omega\,\rkl{u\Delta v -v\Delta u}\,dx = \int_{\partial \Omega}\,\rkl{u\frac{\partial v}{\partial n} - v\frac{\partial u}{\partial n}}\,dO_x\]
folgt mit $v(y) = E_x(y)$ und $\Omega = B\setminus B_\rho(y)$
\[\int_{\partial B_\rho(y)}\,\rkl{u\frac{\partial G_x}{\partial n}-G_x\frac{\partial u}{\partial n}}\,dO_y =\int_B\,G_x\Delta u\,dy-\int_{B_\rho(y)}\,G_x\Delta u\,dy  +\int_{\partial B}\,u\frac{\partial G_x}{\partial n}\,dO_y \] 
Für $\rho \rightarrow 0$ erhält man daraus
\[u(x) =\int_B\,G_x\Delta u\,dy  +\int_{\partial B}\,u\frac{\partial G_x}{\partial n}\,dO_y \]
und weiter
\[\abs{u(x)} \leq \rkl{\max_{y\in B} |\Delta u(y)|} \int_B\,G_x\,dy  +\rkl{\max_{y\in \partial B} |u(y)|} \int_{\partial B}\,\frac{\partial G_x}{\partial n}\,dO_y .\]
Wir haben jetzt nur noch zu zeigen, dass die Integrale von $x\in B$ unabhängig sind.

\underline{{\bf\large Lösung 2:}}

% Hier Lösung eintragen
Sei $h: B \rightarrow \R^+$ mit $h(x)=\frac{1}{2n}\rkl{1-|x|^2}$, dann ist
\[h_{x_i} =-\frac{x_i}{n}\quad\text{und}\quad h_{x_ix_i}=-\frac{1}{n},\text{ d.~h. } \Delta h = -1.\]
Für eine Funktion $f: B \rightarrow \R$ definieren wir $f^+(x):=\max\set{0, f(x)}$ und $f^-(x):=\min\set{0, f(x)}$.
Weiterhin sei
\[v(x):= \max_{y\in \partial B} \set{u^+(y)} + h(x)\max_{y\in B} \abs{(\Delta u)^-(y)},\]
 dann ist einerseits 
\[v(x) \geq u(x) \forall\ x\in \partial B, \text{ also } u(x)-v(x)\leq 0\]
und andererseits 
\[ \Delta v = \Delta  h \max_{y\in B} (\Delta u)^-(y) = -\max_{y\in B} (\Delta u)^-(y) \leq \Delta u,\] 
also $\Delta (u(x)-v(x))\geq 0$, d.~h $u-v$ ist subharmonisch.\\
Aus dem Maximumprinzip für subharmonische Funktionen folgt nun $u(x)\leq v(x)$ in ganz $B$ und wegen $h(x)\leq\frac{1}{2n}$ folgt daraus
\[ \max_{y\in B} \set{u(y)} \leq  \max_{y\in \partial B} \set{u^+(y)} + \frac{1}{2n}\max_{y\in B} \abs{(\Delta u)^-(y)}.\]
Analog erhält man für die Funktion $-u$
\[ \max_{y\in B} \set{-u(y)} \leq  \max_{y\in \partial B} \set{(-u)^+(y)} + \frac{1}{2n}\max_{y\in B} \abs{(-\Delta u)^-(y)}.\]
Aus der Beziehung $|w| =\max\set{w, -w}$ für $w\in \R$ folgt aus den letzten beiden Gleichungen zunächst
\[ \max_{x\in B} |u(x)| \leq  \max_{x\in \partial B} |u(x)| + \frac{1}{2n}\max_{x\in B} |\Delta u(x)|\]
und daraus mit $C=1$ die Behauptung.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 335: Differenzenverfahren 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In der Vorlesung wurde zum Anfangswertproblem
\begin{equation}
	u_t +c\,u_x =0, \quad u(0,x)= f(x)
\end{equation}
mit $c \in \R, f \in C^1(\R)$ das Differenzenverfahren über einem Gitter mit den Maschenweiten $h, k > 0$ und
\begin{equation}
	\frac{v(t+k,x)-v(tx)}{k} + c\frac{v(t,x+h)-v(t,x)}{h} = 0,\qquad v(0, x)= f(x)
\end{equation}
betrachtet. Zeigen Sie für $c< 0$ die Konvergenz. Genauer: Die Differenz $w = u - v$ zwischen der exakten Lösung und der Naherungslösung geht in allen Gitterpunkten aus einer beschränkten Menge des $\R^2_+:=\{(t,x) \in \R^2 |  t \geq 0\}$ gleichmäßig mit $h,k$ gegen Null,falls $c< 0, \lambda:= k/h> 0$ fest bleibt und $\lambda c \leq 1$ gilt.\\
Hinweis:Zeigen Sie zunächst
$$|w(t+k,x)| \leq (1-\lambda|c|)\,|w(t,x)|+\lambda|c|\,|w(t,x+h)|+o(h).$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 335}}\\
Es ist
\bea
w(t+k,x)&=& u(t+k,x)-v(t+k,x)\\
&=&u(t,x) + k\,u_t(t,x) +o(k) - v(t,x) - k\frac{v(t+k,x)-v(t,x)}{k}\\
&\stackrel{(1), (2)}{=}&w(t,x) - \lambda\,h\,c\,u_x(t,x) + \lambda\,h\,c\frac{v(t,x+h)-v(t,x)}{h} + o(\lambda\,h)\\
&=&w(t,x) - \lambda\,h\,c\,\left(\frac{u(t,x+h)-u(t,x)}{h}+o(h)\right ) + \lambda\,c\left(v(t,x+h)-v(t,x)\right) + o(\lambda\,h)\\
&=&w(t,x) - \lambda\,c\,\left(u(t,x+h)-u(t,x)\right ) + \lambda\,c\left(v(t,x+h)-v(t,x)\right) + o(h)\\
&=&(1+\lambda\,c)w(t,x) - \lambda\,c\,w(t,x+h) + o(h)\\
\eea
Daraus folgt wegen $|c|=-c$ und der Dreiecksungleichung
\begin{equation}
	|w(t+k,x)| \leq (1-\lambda|c|)\,|w(t,x)|+\lambda|c|\,|w(t,x+h)|+o(h).
\end{equation}

Mit Hilfe der Abschätzung (3) kann man nun in Gitterpunkten auf das Niveau $t=0$ "`absteigen"'. Wegen $u(0,x) = v(0,x) = f(x)$ ist $w(0,x)=0$. Der einfacheren Schreibweise wegen setzen wir noch $p:=1-\lambda|c|, q=\lambda|c|$. Es ist $0<p,q<1$. Dann läßt sich (mit vollständiger Induktion) zeigen:

\begin{center}
	\begin{tabular}{l|l}
		$t=0$ & $|w(k,x)| \leq p\,|w(0,x)|+q\,|w(0,x+h)|+o(h)=o(h)$\\
		$t=k$ & $|w(2k,x)| \leq p\,|w(k,x)|+q\,|w(k,x+h)|+o(h)$\\
		& $\leq p^2\,|w(0,x)|+2\,p\,q\,|w(0,x+h)|+q^2\,|w(0,x+2h)|+(p+q+1)\,o(h)=2\,o(h)$\\
		\vdots & \vdots\\
		$t=mk$ & $|w(mk,x)| \leq \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} p^{m-j}q^j\,|w(0,x+jh)|+m\,o(h)=m\,o(h)$	
\end{tabular}
\end{center}

In beschränkten Gebieten ist $m \sim 1/k \sim 1/h$, so dass im $m$-ten Schritt mindestens noch $O(h)$ als Fehlerterm stehenbleibt, das Verfahren auf dem Gitter alo wenigsten linear gleichmäßig konvergiert.

Der Beweis mit vollständger Induktion sei dem Leser überlassen.
% Ende der Lösung
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%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 336: Eine spezielle Integraleigenschaft harmonischer Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $u = u(x)$ harmonisch in einem Gebiet $\Omega\subset\Rx{n}$. Ferner seien $0 < a \leq
b \leq c$ reelle Zahlen mit $ac = b^2$ und $x_0 \in \Omega$ mit $B_c(x_0) \subset \Omega$.\\

Zeigen Sie, dass dann gilt:
$$\int_{|\omega|=1}\ u(x_0 + a\,\omega)\,u(x_0 + c\,\omega)\, d\omega = \int_{|\omega|=1}\ u^2(x_0 + b\,\omega)\, d\omega.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 336}}\\
Mit $c=\frac{b^2}{\alpha}$ betrachte man die Funktion
$$ f(\alpha)=\int_{|\omega|=1}{{u(x_0+\alpha\,\omega)\,u(x_0+\frac{b^2}{\alpha})\ d\omega}}.$$
Dabei stellt $f(a)$ gerade die linke und $f(b)$ gerade die rechte Seite der Behauptung dar. Wenn man also zeigen könnte, dass $f(\alpha)$ von $\alpha$ unabhängig ist, wäre die Behauptung bewiesen. 
Dazu differenziert man $f(\alpha)$ nach $\alpha$, wobei man die Ableitung unter das Integral ziehen kann, da das Integrationsgebiet von $\alpha$ unabhängig und der Integrand stetig nach $\alpha$ differenzierbar ist.
$$ f'(\alpha)=\int_{|\omega|=1}{\left(\omega\,\nabla u(x_0+\alpha\,\omega)\,u(x_0+\frac{b^2}{\alpha}\omega)-\frac{b^2}{\alpha^2}\,\omega\,\nabla u(x_0+\frac{b^2}{\alpha}\omega)\,u(x_0+\alpha\,\omega)\right)\ d\omega}. $$
Die Menge $\{|\omega|=1\}$ beschreibt die Einheitssphäre $\partial B_1(0)$, für die der Vektor $\omega$ mit dem äußeren Normalenvektor $n$ von $\partial B_1(0)$ übereinstimmt. 
Wir betrachten nun noch die Funktionen  
$$v(\omega)=u(x_0+\alpha\,\omega) \qquad\mbox{und}\qquad w(\omega)=u(x_0+\frac{b^2}{\alpha}\,\omega)$$ und berechnen deren Ableitungen. Dabei ist
\bea
\nabla v(\omega)=\alpha\,\nabla u(x_0+\alpha\,\omega) &\quad\mbox{bzw.}\quad& \omega\,\nabla u(x_0+\alpha\,\omega)=\frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial v}{\partial n}(\omega)\quad\mbox{und}\\ \nabla w(\omega)=\frac{b^2}{\alpha}\,\nabla u(x_0+\frac{b^2}{\alpha}\,\omega)&\quad\mbox{bzw.}\quad& \omega\,\nabla u(x_0+\frac{b^2}{\alpha}\,\omega)=\frac{\alpha}{b^2}\,\frac{\partial w}{\partial n}(\omega)\quad\mbox{sowie}\\
\Delta v(\omega)=\alpha^2\,\Delta u(x_0+\alpha\,\omega) &\qquad\mbox{und}\qquad& \Delta  w(\omega)=\frac{b^4}{\alpha^2}\,\Delta u(x_0+\frac{b^2}{\alpha}\,\omega)
\eea
und das Integral wird zu
$$ f'(\alpha)=\int_{\partial B_1(0)}{\left(\frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial v}{\partial n}(\omega)\,w(\omega)-\frac{b^2}{\alpha^2}\,v(\omega)\,\frac{\alpha}{b^2}\,\frac{\partial w}{\partial n}(\omega)\right)\ d\omega}=\frac{1}{\alpha}\,\int_{\partial B_1(0)}{\left(\frac{\partial v}{\partial n}(\omega)\,w(\omega)-v(\omega)\,\frac{\partial w}{\partial n}(\omega)\right)\ d\omega}. $$

Mit Hilfe der zweiten Greenschen Formel erhält man schließlich 
$$f'(\alpha)= \frac{1}{\alpha}\,\int_{B_1(0)}{\left(v(x)\Delta w(x)-w(x)\Delta v(x)\right)dx} = 0,$$
da nach den Formeln für die zweiten Ableitungen von $v$ und $w$ aus $\Delta u=0$ im $\Omega$ auch $\Delta v=0$ und $\Delta w=0$ in $B_1(0)$ folgt, d.~h. mit $u$ sind auch die skalierten Funktionen $v$ und $w$ harmonisch.

Da $f'(\alpha)=0$ ist, muss $f(\alpha)$ konstant sein und alles ist bewiesen. 



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 337: elliptische Koordinaten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Rechnen Sie den Laplace-Operator in der Ebene auf sogenannte elliptische
Koordinaten um. Dazu werden Koordinaten $(\eta, \vp)$ im $\R^2$ eingeführt durch
$$x = c\,\cosh \eta\,\cos \vp,\ y = c\,\sinh \eta\, \sin \vp,\ c = const. > 0.$$
Welchen Kurven in der $(x; y)$-Ebene entsprechen den Linien $\eta = const.$ bzw. $\vp = const.$?
\item Sei  $\psi = \psi(x_1, x_2)$ harmonisch und $\tilde{\psi}   = \tilde{\psi} (\eta; \vp)$ entstehe aus $\psi$  durch Umrechnen auf
elliptische Koordinaten, d.h.
$$\psi(x_1, x_2) = \psi (c\,\cosh \eta\, \cos \vp,\ c\, \sinh \eta\, \sin \vp) = \tilde{\psi} (\eta, \vp).$$
Welcher Gleichung genügt dann $\tilde{\psi}$  ?
\item Es sei $G \subset \R^2$ die Ellipse
$$G := \left \{(x_1, x_2) \in \R^2\ \left|\ \frac{x^2_1}{a^2} + \frac{x^2_2}{b^2} < 1\right. \right \}, a, b > 0.$$
Bestimmen Sie unter Benutzung elliptischer Koordinaten eine Lösung $\psi = \psi(x_1, x_2)$ des folgenden äußeren Dirichletproblems:
\bea
\Delta\psi  &=& 0 \quad\mbox{in}\quad \R^2 \backslash G,\\
\psi &=& x_1 \quad\mbox{auf}\quad \partial G,\\
|\psi| &\ & \mbox{beschränkt für}\quad |x| \rightarrow \infty.
\eea
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 337}}\\
\underline{zu a):} Für $\eta = const.$ sind $a:=c\,\cosh\eta$ und $b:=c\,\sinh\eta$ ebenfalls konstant und es gilt
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = \cos^2\vp + \sin^2\vp =1,$$
d.~h. die Kurven $\eta = const.$ sind konzentrische Ellipsen um den Ursprung. Dabei entstehen für $\eta$ und $-\eta$ dieselben Ellipsen, man kann sich also auf den Parameterbereich $\eta \geq 0$ beschränken.\\

Für $\vp = const.$ sind $a:=c\,\cos\vp$ und $b:=c\,\sin\vp$ ebenfalls konstant und es gilt
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = \cosh^2\eta - \sinh^2\eta =1,$$
d.~h. die Kurven $\vp = const.$ sind Hyperbeln mit Mittelpunkt im Ursprung. Hier kann man sich auf den Parameterbereich $0\leq \vp \leq \frac\pi2$ beschränken.\\

\underline{zu b):} Es ist
\bea
x_\eta = c\,\sinh \eta\,\cos \vp,&\ & y_\eta = c\,\cosh \eta\, \sin \vp,\\
x_\vp = -c\,\cosh \eta\,\sin \vp,&\ & y_\vp = c\,\sinh \eta\, \cos \vp,\\
x_{\eta\eta} = c\,\cosh \eta\,\cos \vp = x,&\ & y_{\eta\eta} = c\,\sinh \eta\, \sin \vp=y,\\
x_{\eta\vp} = -c\,\sinh \eta\,\sin \vp= -y,&\ & y_{\eta\vp} = c\,\cosh \eta\, \cos \vp=x,\\
x_{\vp\vp} = -c\,\cosh \eta\,\cos \vp= -x,&\ & y_{\vp\vp} = -c\,\sinh \eta\, \sin \vp=-y,\\
\eea
Außerdem gilt nach Kettenregel
\bea
\tilde{\psi}_\eta &=& \psi_x\,x_\eta + \psi_y\,y_\eta = c\,\sinh \eta\,\cos \vp\,\psi_x+c\,\cosh \eta\, \sin \vp\,\psi_y,\\
\tilde{\psi}_\vp &=& \psi_x\,x_\vp + \psi_y\,y_\vp=-c\,\cosh \eta\,\sin \vp\,\psi_x+c\,\sinh \eta\, \cos \vp\,\psi_y,\\
\tilde{\psi}_{\eta\eta} &=& \psi_{xx}\,x_\eta^2 + 2\psi_{xy}\,x_\eta y_\eta + \psi_{yy}\,y_\eta^2+\psi_x\,x_{\eta\eta} + \psi_y\,y_{\eta\eta},\\
\tilde{\psi}_{\eta\vp} &=& \psi_{xx}\,x_\eta\,x_\vp + \psi_{xy}\,x_\eta y_\vp + \psi_{xy}\,x_\vp y_\eta + \psi_{yy}\,y_\eta\,y_\vp+\psi_x\,x_{\eta\vp} + \psi_y\,y_{\eta\vp},\\
\tilde{\psi}_{\vp\vp} &=& \psi_{xx}\,x_\vp^2 + 2\psi_{xy}\,x_\vp y_\vp + \psi_{yy}\,y_\vp^2+\psi_x\,x_{\vp\vp} + \psi_y\,y_{\vp\vp}.\\
\eea
Nun bilden wir (probehalber) mal $\Delta\tilde{\psi}$ und setzen dabei die oben errechneten Differentialausdrücke für die Koordinatenfunktionen ein:
\bea
\tilde{\psi}_{\eta\eta}+\tilde{\psi}_{\vp\vp} &=& \psi_{xx}\left(x_\eta^2+x_\vp^2\right) +2\psi_{xy}\left(x_\eta y_\eta +x_\vp y_\vp\right)+\psi_{yy}\left(y_\eta^2+y_\vp^2\right) + \psi_x\left(x_{\eta\eta}+x_{\vp\vp}\right) + \psi_y\left(y_{\eta\eta}+y_{\vp\vp}\right)\\
&=& c^2\,\psi_{xx}\left(\sinh^2\eta\,\cos^2\vp+\cosh^2\eta\,\sin^2\vp\right) +c\,\psi_{yy}\left(\sinh^2\eta\,\cos^2\vp+\cosh^2\eta\,\sin^2\vp\right)\\
&=& c^2\,\left(\sinh^2\eta\,(1-\sin^2\vp)+(1+\sinh^2\eta)\,\sin^2\vp\right)\,\left(\psi_{xx}+\psi_{yy}\right),\\
&=& c^2\,\left(\sinh^2\eta+\sin^2\vp\right)\,\left(\psi_{xx}+\psi_{yy}\right),\\
\eea
d.~h. es gilt
$$c\,\left(\sinh^2\eta+\sin^2\vp\right)\,\Delta\psi = \Delta\tilde{\psi}.$$
Da der Faktor $\sinh^2\eta+\sin^2\vp$ nur für $\eta=0$ und $\vp=k\pi$ verschwindet, sieht man nun, dass in Gebieten, die den Ursprung nicht enthalten, aus $\Delta\tilde{\psi}=0$ sofort $\Delta\psi=0$ folgt.\\

\underline{zu c):} Wir setzen c=1. Aus $a=\cosh\eta_0$ und $b=\sinh\eta_0$ kann man wegen $a+b = \e^{\eta_0}\qquad\eta_0=\ln (a+b)$ eindeutig bestimmen. Das Gebiet $G$ kann dann in elliptischen Koordinaten beschrieben werden durch
$$\tilde{G} := \left \{(\eta, \vp) \in \R^2\ \left|\ 0\leq \eta < \eta_0 \right. \right \}, \eta_0 > 0.$$
Die weiteren Bedingungen transformieren sich wie folgt:
\bea
\Delta\tilde{\psi}  &=& 0 \quad\mbox{in}\quad \R^2 \backslash \tilde{G},\\
\tilde{\psi}(\eta_0,\vp) &=& \cosh\eta_0\,\cos\vp \quad\mbox{auf}\quad \partial \tilde{G},\\
|\tilde{\psi}| &\ & \mbox{beschränkt für}\quad \eta \rightarrow \infty.
\eea
Das Außengebiet enthält den Ursprung nicht, deshalb genügt es $\Delta\tilde{\psi}  = 0$ zu lösen. Ein Separationsansatz $\tilde{\psi}(\eta, \vp) = u(\eta)\,v(\vp)$ führt auf die \dgl
$$u''\,v + u\,v'' = 0 \qquad\mbox{bzw.}\qquad \frac{u''}{u} = -\frac{v''}{v} = k = const.,$$
aus der die beiden gewöhnlichen \dgls
$$u''-k\,u = 0 \qquad\mbox{und}\qquad v''+k\,v = 0$$
hervorgehen. Mit Blick auf die Randbedingung kann man $k=1$ erraten. Die \dgl\ $v''+\,v = 0$ hat dann nämlich die allgemeine Lösung $v(\vp) = c_1\,\cos\vp + c_2\,\sin\vp$, bei der man, ebenfalls mit Blick auf die Randbedingung, $c_2=0$ setzen kann.\\
Die \dgl $u''-\,u = 0$ hat die allgemeine Lösung $u(\eta) = c_3\,\e^\eta + c_4\,\e^{-\eta}$. Wegen der Beschränktheitsbedingung im Unendlichen muss $c_3=0$ sein. Zusammengefasst erhält man also
$$\tilde{\psi}(\eta, \vp) = C\,\e^{-\eta}\cos\vp.$$
Aus der Randbedingung folgt schließlich noch $C\,\e^{-\eta_0} = \cosh\eta_0 = \frac12\left(\e^{\eta_0} + \e^{-\eta_0}\right)$ bzw. $C = \frac12\left(\e^{2\eta_0} + 1\right)$, also insgesamt
\bea
\tilde{\psi}(\eta, \vp) &=& \frac12\left(\e^{2\eta_0} + 1\right)\,\e^{-\eta}\cos\vp\\
&=& \frac14\left((a+b)^2 + 1\right)\,\left(\cosh\eta-\sinh\eta\right)\,\cos\vp\\
&=& \frac14\left((a+b)^2 + 1\right)\,\left(x_1 - \sqrt{\frac{x_1^2-x_2^2-1}2 + \frac12\sqrt{\left(x_1^2-x_2^2-1\right)^2+4\,x_1^2\,x_2^2}}\right).
\eea
Man beachte $\eta \geq 0$.\\
Die Auflösung der Koordinatenfunktionen nach dem Ausdruck $\sinh\eta\,\cos\vp$ bleibt dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.\\
\tip Gleichungen quadrieren und so umstellen, dass nur noch die Variablen $s=\cos^2\vp$ und $t=\sinh^2\eta\,\cos^2\vp$ vorkommen. Daraus erhält man dann eine quadratische Gleichung für $t$.
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 338: Anwendung der Greenschen Formel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $u$ in der punktierten Kugel $B_R(x_0):= \set{x \in \R^n\ |\  |x - x_0| <R}$
harmonisch. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item Für $r \in (0,R)$ ist der Wert des Integrals
\[\int_{\partial B_r(x0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x\]
unabhängig von $r$.
  \item Es ist
	\[\int_{\partial B_r(x_0)}\,u(y)\,do_y = \begin{cases}\frac{c_0}{2-n}r + d_0r^{n-1} & \text{falls } n \geq 3,\\c_0r \ln r +d_0r & \text{falls } n =2\end{cases}\]
	mit Konstanten $c_0, d_0$. Welchen Wert hat $c_0$?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 338}}\\

\begin{enumerate}
	\item Da $u$ im Kreisring $K:=B_{r_2}(x_0)\setminus B_{r_1}(x_0), 0<r_1<r_2\leq R$ harmonisch ist, gilt nach dem Gaußschen Satz
	\[0=\int_K\,\Delta u(x)\,dx = \int_{\partial K}\,\frac{\partial u}{\partial n}\, do_x = \int_{\partial K}\,n\cdot\nabla u\, do_x,\]
	wobei $n$ der äußere Normalenvektor an $\partial K$ ist. Nun ist im Kreisring $K$ um $x_0$ am Außenkreis
	\[n=\frac{(x - x_0)}{|x - x_0|}\]
	und am Innenkreis
	\[n=-\frac{(x - x_0)}{|x - x_0|},\]
	insgesamt also 
	\[0=\int_{\partial B_{r_2}(x_0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x - \int_{\partial B_{r_1}(x_0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x\]
	bzw.
	\[\int_{\partial B_{r_2}(x_0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x = \int_{\partial B_{r_1}(x_0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x\]
	für alle $0<r_1<r_2\leq R$, d.~h.
	\[\int_{\partial B_{r}(x_0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x = c_0 =const\]
	für $0<r \leq R$.
	\item Durch die Koordinatentransformation $r\omega=x-x_0$ wird die Sphäre mit dem Radius $r$ um $x_0$ auf die Einheitssphäre $S^{n-1}$ abgebildet. Für das entsprechende Integral gilt dann für $0<r \leq R$
	\bea
	c_0 &=& \int_{\partial B_{r}(x_0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x\\
	&=& r^{n-1}\int_{S^{n-1}}\,\omega\cdot\nabla u(x_0+r\omega) \,do_\omega\\ 
	&=& r^{n-1}\int_{S^{n-1}}\,\frac{\partial u(x_0+r\omega)}{\partial r} \,do_\omega
	\eea
	bzw.
\[	\frac{c_0}{r^{n-1} = \frac{\partial}{\partial r} \int_{S^{n-1}}\,u(x_0+r\omega)\,do_\omega.\]
Integration nach $r$ ergibt dann
	\[\int_{S^{n-1}}\,u(x_0+r\omega)\,do_\omega =\begin{cases} \frac{c_0}{(n-2)r^{n-2}} + d_0 & \text{falls } n>2\\
	c_0\ln r +d_0& \text{falls } n=2	\end{cases}.\]
	Die Rücktransformation $y=x_0+r\omega$ ergibt dann
	\[\int_{\partial B_r(x_0)}\,u(y)\,do_y =\begin{cases} \frac{c_0}{n-2}r + d_0r^{n-1} & \text{falls } n>2\\
	c_0r\ln r +d_0r& \text{falls } n=2	\end{cases}.\]
	Der Wert von $c_0$ im Allgemeinen ist das bereits unter a) berechnete Randintegral. 
	
	Ist zusätzlich bekannt, dass $u$ in $x_0$ stetig ist, so kann man in der vorletzten Gleichung den Grenzwert $r \to 0$ betrachten. Auf der linken Seite erhalten wir dabei $u(x_0) |S^{n-1}|$. Wäre $c_0\neq 0$, dann wäre der Grenzwerz auf der rechten Seite $\pm\infty$ (abhängig vom Vorzeichen von $c_0$), also muss $c_0 =0$ sein. Dann ist $d_0=u(x_0) |S^{n-1}|$.
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 339: Greensche Funktion für den Halbraum
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Greenschen Funktionen für das Dirichletproblem
für den Halbraum \( H=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ |x_n >0 \} \),

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 339}}\\

\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal üerarbietet werden.}
\end{center}

Sei \( \Omega=H=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ |x_n >0 \} \) und \( \partial \Omega=\partial H=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ |x_n =0 \} \).\\
Ist \( y \in H \), dann sei \( y^* \) der Spieglungspunkt an \( \partial H \).\\
\( \Longrightarrow y^*=(y_1,...,y_{n-1},-y_n) \\
\Longrightarrow |y|=|y^*| \) \\
Sei \( x \in \partial H \).
\begin{eqnarray}\label{eq:gl1}
|x-y^*| &=& \sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_{n-1}-y_{n-1})^2+(x_n+y_n)^2} \\
&\stackrel{x \in \partial H}{=}& \sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_{n-1}-y_{n-1})^2+y_n^2} \nonumber \\
&=& \sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_{n-1}-y_{n-1})^2+(-y_n)^2} \nonumber \\
&\stackrel{x \in \partial H}{=}& \sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_{n-1}-y_{n-1})^2+(x_n-y_n)^2} \nonumber \\
&=& |x-y| \nonumber
\end{eqnarray}
Ansatz für Greensche Funktion:
\begin{displaymath} G(x,y)=- \frac{1}{(n-2) \omega_n}*\left( \frac{1}{|x-y|^{n-2}}+ \frac{\alpha}{|x-y^*|^{n-2}}\right) \end{displaymath}
\( \alpha = \alpha (y) \) \\
Der Ansatz sichert, dass G harmonisch bezüglich x ist. Die Randbedingung für die Greensche Funktion erfordert \( G(x,y)=0 \) für \( x \in \partial \Omega \) oder \( \frac{1}{|x-y|^{n-2}}+ \frac{\alpha }{|x-y^*|^{n-2}}=0 \). \\
\begin{align}
\frac{1}{|x-y|^{n-2}}+ \frac{\alpha }{|x-y^*|^{n-2}} &= 0 & \nonumber \\
\stackrel{\eqref{eq:gl1}}{\Longleftrightarrow} \frac{1}{|x-y|^{n-2}}+ \frac{\alpha }{|x-y|^{n-2}} &=0   & \arrowvert *|x-y|^{n-2} \nonumber \\
1+\alpha &=0   & \arrowvert -1 \nonumber \\
\alpha &=-1 & \nonumber
\end{align}
Also ergibt sich die Greensche Funktion für den Halbraum \( H=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ |x_n >0 \} \):
\begin{displaymath} G(x,y)=- \frac{1}{(n-2) \omega_n}*\left( \frac{1}{|x-y|^{n-2}}- \frac{1}{|x-y^*|^{n-2}}\right) \end{displaymath}
Um \( u(y)=\int\limits_{\Omega}\,G(x,y) \bigtriangleup u(x)\,dx + \int\limits_{\partial \Omega}\,\frac{\partial}{\partial n_x} G(x,y) u(x)\,do_x \) zu benutzen, benötigt man noch \( \frac{\partial}{\partial n_x} G(x,y) \) für \( x \in \partial \Omega \):
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial n_x} G(x,y) &=& - \frac{1}{\omega _n} *\left(\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i)}{|x-y|^n} - \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i^*)}{|x-y^*|^n}\right) \nonumber \\
& \stackrel{\eqref{eq:gl1}}{=}& - \frac{1}{\omega _n} *\left(\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i)}{|x-y|^n} - \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i^*)}{|x-y|^n}\right) \nonumber \\
&=& - \frac{1}{\omega _n|x-y|^n} *\left(\sum_{i=1}^n (x_i-y_i) - \sum_{i=1}^n (x_i-y_i^*)\right) \nonumber \\
&=& - \frac{1}{\omega _n|x-y|^n} *\sum_{i=1}^n (y_i^*-y_i) \nonumber \\
&=& \frac{1}{\omega _n|x-y|^n} *((y_1-y_1)+...+(y_{n-1}-y_{n-1})+(-y_n-y_n)) \nonumber \\
&=& \frac{2y_n}{\omega _n|x-y|^n} \nonumber
\end{eqnarray}
Ist also \( u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega}) \) harmonisch in \( H \), dann gilt \( u(y)= \frac{2y_n}{\omega _n} * \int\limits_{\partial H}\,\frac{u(x)}{|x-y|^n}\,do_x \).\\[3mm]



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 340: Grennsche Funktion für die Halbkugel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Greenschen Funktionen für das Dirichletproblem
für die Halbkugel \( K_R=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ | |x| < R, x_n >0 \} \).


Hinweise: Machen Sie analog zum Vorgehen bei der Berechnung der Greenschen Funktion für die Kugel jeweils geeignete Ansätze mittels des Spieglungsprinzips. \\[5mm]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 340}}\\

\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden.}
\end{center}

Sei \( \Omega = K_R=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ | |x| < R, x_n >0 \} \) und \( \partial \Omega = \partial K_R=\underbrace{\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ | |x| \leq R, x_n =0 \} }_{ =:K_1} \cup \underbrace{\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ | |x| = R, x_n \geq 0 \} }_{=:K_2} = K_1 \cup K_2 \).\\
Sei \( y \in K_R \), dann seien \( y^*, \tilde{y} \) und \( \hat{y} \) die Spieglungspunkte an \( \partial K_R \).\\
\( \Longrightarrow y^* = \frac{R^2}{|y|^2} * y, \tilde{y} = (y_1,...,y_{n-1},-y_n), \hat{y} = \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * \tilde{y} \) \\
Sei \( x \in \partial K_R = K_1 \cup K_2 \).\\
\begin{eqnarray}\label{eq:gl2}
\stackrel{Vorlesung}{\Longrightarrow} |x-y^*| &=& \frac{R}{|y|} * |x-y| \\
\label{eq:gl3}
\stackrel{(a)}{\Longrightarrow} |x- \tilde{y}| &=& |x-y|
\end{eqnarray}
\begin{displaymath} |x- \hat{y}| = |x- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * \tilde{y}| \end{displaymath}
1.Fall \( x \in K_1 \):
\begin{eqnarray}
&& \left|x- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * \tilde{y} \right| \nonumber \\
&=& \sqrt{\left(x_1- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_1 \right)^2 +...+ \left(x_{n-1}- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_{n-1} \right)^2 + \left(x_n+ \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_n \right)^2} \nonumber \\
& \stackrel{x \in K_1}{=}& \sqrt{\left(x_1- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_1 \right)^2 +...+ \left(x_{n-1}- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_{n-1} \right)^2 + \left( \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_n \right)^2} \nonumber \\
&=& \sqrt{\left(x_1- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_1 \right)^2 +...+ \left(x_{n-1}- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_{n-1} \right)^2 + \left(- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_n \right)^2} \nonumber \\
& \stackrel{x \in K_1}{=}& \sqrt{\left(x_1- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_1 \right)^2 +...+ \left(x_{n-1}- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_{n-1} \right)^2 + \left(x_n- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y_n \right)^2} \nonumber \\
&=& \left|x- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * y \right| \nonumber \\
& \stackrel{(a) \Rightarrow |y|=|\tilde{y}|}{=}&  \left|x- \frac{R^2}{|y|^2} * y \right| \nonumber \\
&=& |x-y^*| \nonumber \\
& \stackrel{\eqref{eq:gl2}}{=}& \frac{R}{|y|} * |x-y| \nonumber
\end{eqnarray}
2.Fall \( x \in K_2 \):
\begin{displaymath} \left|x- \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * \tilde{y} \right| \overset{\tilde{y} \in K_R, x \in K_2 \subseteq \partial K_R,}{\underset{Vorlesung}{=}} \frac{R}{|\tilde{y}|} * |x- \tilde{y}| \stackrel{\eqref{eq:gl3}}{=} \frac{R}{|\tilde{y}|} * |x-y| \stackrel{(a) \Rightarrow |y|=|\tilde{y}|}{=} \frac{R}{|y|} * |x-y|  \end{displaymath}
\begin{eqnarray}\label{eq:gl4}
\stackrel{beide Faelle}{\Longrightarrow} |x- \hat{y}| = \frac{R}{|y|} * |x-y| 
\end{eqnarray}
Ansatz für Greensche Funktion:
\begin{displaymath} G(x,y) = - \frac{1}{(n-2) \omega _n} * \left( \frac{1}{|x-y|^{n-2}} + \frac{\alpha _1}{|x-y^*|^{n-2}} + \frac{\alpha _2}{|x- \tilde{y}|^{n-2}} + \frac{\alpha _3}{|x- \hat{y}|^{n-2}} \right) \end{displaymath}
\( \alpha _1= \alpha _1(y), \alpha _2= \alpha _2(y), \alpha _3= \alpha _3(y) \)
\begin{eqnarray}\label{eq:gl5}
\stackrel{Vorlesung}{\Longrightarrow} \alpha _1 &=& - \frac{R^{n-2}}{|y|^{n-2}} \\
\label{eq:gl6}
\stackrel{(a)}{\Longrightarrow} \alpha _2 &=& -1
\end{eqnarray}
Der Ansatz sichert, dass G harmonisch bezüglich x ist. Die Randbedingung für die Greensche Funktion erfordert \( G(x,y)=0 \) für \( x \in \partial \Omega \) oder \( \frac{1}{|x-y|^{n-2}} + \frac{\alpha _1}{|x-y^*|^{n-2}} + \frac{\alpha _2}{|x- \tilde{y}|^{n-2}} + \frac{\alpha _3}{|x- \hat{y}|^{n-2}} =0 \).
\begin{align}
& \frac{1}{|x-y|^{n-2}} + \frac{\alpha _1}{|x-y^*|^{n-2}} + \frac{\alpha _2}{|x- \tilde{y}|^{n-2}} + \frac{\alpha _3}{|x- \hat{y}|^{n-2}} =0 & \nonumber \\
\stackrel{\eqref{eq:gl2} - \eqref{eq:gl4}}{\Longleftrightarrow} & \frac{1}{|x-y|^{n-2}} + \frac{|y|^{n-2}}{R^{n-2}} * \frac{\alpha _1}{|x-y|^{n-2}} + \frac{\alpha _2}{|x-y|^{n-2}} + \frac{|y|^{n-2}}{R^{n-2}} * & \frac{\alpha _3}{|x-y|^{n-2}} =0 & \nonumber \\[2mm]
&& |*|x-y|^{n-2} \nonumber \\
\Longleftrightarrow \hspace{1.5mm} & 1+ \frac{|y|^{n-2}}{R^{n-2}} * (\alpha _1 + \alpha _3)+ \alpha _2 =0 & \nonumber \\
\stackrel{\eqref{eq:gl5},\eqref{eq:gl6}}{\Longleftrightarrow} \hspace{1mm} & 1+ \frac{|y|^{n-2}}{R^{n-2}} * \left(- \frac{R^{n-2}}{|y|^{n-2}} + \alpha _3 \right)-1 =0 & \nonumber \\
\Longleftrightarrow \hspace{1.5mm} & -1+ \frac{|y|^{n-2}}{R^{n-2}} * \alpha _3 =0   & |+1 \nonumber \\
\Longleftrightarrow \hspace{1.5mm} & \frac{|y|^{n-2}}{R^{n-2}} * \alpha _3 =1 & \nonumber \\
\Longleftrightarrow \hspace{1.5mm} & \alpha _3 = \frac{R^{n-2}}{|y|^{n-2}} & \nonumber
\end{align}
Also ergibt sich die Greensche Funktion für die Halbkugel \( K_R=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ | |x| < R, x_n >0 \} \):
\begin{eqnarray} G(x,y) &=& - \frac{1}{(n-2) \omega _n} * \Bigg( \frac{1}{|x-y|^{n-2}} - \frac{R^{n-2}}{|y|^{n-2}} * \frac{1}{|x-y^*|^{n-2}} - \frac{1}{|x- \tilde{y}|^{n-2}} \nonumber \\
&& + \frac{R^{n-2}}{|y|^{n-2}} * \frac{\alpha _3}{|x- \hat{y}|^{n-2}} \Bigg) \nonumber
\end{eqnarray}
Um \( u(y)=\int\limits_{\Omega}\,G(x,y) \bigtriangleup u(x)\,dx + \int\limits_{\partial \Omega}\,\frac{\partial}{\partial n_x} G(x,y) u(x)\,do_x \) zu benutzen, benötigt man noch \( \frac{\partial}{\partial n_x} G(x,y) \) für \( x \in \partial \Omega \):
\begin{eqnarray}
&& \frac{\partial}{\partial n_x} G(x,y) \nonumber \\
&=& \frac{1}{\omega _n} *\Bigg(\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i)}{|x-y|^n} * \frac{x_i}{R} - \frac{R^{n-2}}{|y|^{n-2}} * \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i^*)}{|x-y^*|^n} * \frac{x_i}{R} \nonumber \\
&& - \sum_{i=1}^n \frac{(x_i- \tilde{y} _i)}{|x- \tilde{y}|^n} * \frac{x_i}{R} + \frac{R^{n-2}}{|y|^{n-2}} * \sum_{i=1}^n \frac{(x_i- \hat{y} _i)}{|x- \hat{y}|^n} * \frac{x_i}{R} \Bigg) \nonumber \\
& \stackrel{\eqref{eq:gl2} - \eqref{eq:gl4}}{=}& \frac{1}{\omega _n} *\Bigg(\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i)}{|x-y|^n} * \frac{x_i}{R} - \frac{|y|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-y_i^*)}{|x-y|^n} * \frac{x_i}{R} \nonumber \\
&& - \sum_{i=1}^n \frac{(x_i- \tilde{y} _i)}{|x-y|^n} * \frac{x_i}{R} + \frac{|y|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n \frac{(x_i- \hat{y} _i)}{|x-y|^n} * \frac{x_i}{R} \Bigg) \nonumber \\
&=& \frac{1}{\omega _nR|x-y|^n} *\Bigg(\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)x_i - \frac{|y|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n (x_i-y_i^*)x_i \nonumber \\
&& - \sum_{i=1}^n (x_i- \tilde{y} _i)x_i + \frac{|y|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n (x_i- \hat{y} _i)x_i \Bigg) \nonumber \\
&=& \frac{1}{\omega _nR|x-y|^n} *\left(- \sum_{i=1}^n x_iy_i + \frac{|y|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n x_iy_i^* + \sum_{i=1}^n x_i \tilde{y} _i - \frac{|y|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n x_i \hat{y} _i \right) \nonumber \\
& \stackrel{y^*= \frac{R^2}{|y|^2} * y}{=}& \frac{1}{\omega _nR|x-y|^n} *\left( \sum_{i=1}^n x_i \tilde{y} _i - \frac{|y|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n x_i \hat{y} _i \right) \nonumber \\
& \stackrel{(a) \Rightarrow |y|=|\tilde{y}|}{=}& \frac{1}{\omega _nR|x-y|^n} *\left( \sum_{i=1}^n x_i \tilde{y} _i - \frac{|\tilde{y}|^2}{R^2} * \sum_{i=1}^n x_i \hat{y} _i \right) \nonumber \\
& \stackrel{\hat{y}= \frac{R^2}{|\tilde{y}|^2} * \tilde{y}}{=}& \frac{1}{\omega _nR|x-y|^n} * 0 \nonumber \\
&=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}
Ist also \( u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega}) \) harmonisch in \( K_R \), dann gilt \( u(y)=0 \).


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 341: Grundlösungsmethode für die Poisson-Gleichung im $\R^3$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Wir betrachten im $\R^3$ die Poisson-Gleichung
\[ -\Delta u(x) = f(x) \]
mit
\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } |x| < 1, \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} .\]
Bestimmen Sie mit der Fundamentallösungsmethode eine Lösung.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 341}}\\
Die allgemeine Lösung lautet mit der Grundlösung $\Phi(x)$ aus Aufgabe 13.3 für $n=3$
\[ u(x) = \iiint_{\R^3}\,\frac{1}{4\pi} \frac{f(y)}{|x-y|} \,dy = \frac{1}{4\pi}\,\iiint_{|y|<1}\, \frac{1}{|x-y|} \,dy .\]
Aus Symmetriegründen kann $u(x)$ nur vom Abstand vom Ursprung abhängen. Es genügt also, $u(0,0,z),\ z\geq 0$ auszurechnen. Dazu benutzen wir Polarkoordinaten 
\[(y_1,y_2,y_3) =(\rho \cos\vp, \rho \sin\vp, \zeta),\quad\text{mit}\quad |\zeta|<1,\ 0 < \vp < 2\pi,\ 0 < \rho  < \sqrt{1-\zeta^2}\]
und erhalten zunächst für den Fall $z >1 \geq \zeta$
\bea
u(0,0,z) &=& \frac{1}{4\pi}\,\iiint_{|y|<1}\, \frac{1}{|x-y|} \,dy = \frac{1}{4\pi}\,\int_{-1}^1\,\int_0^{\sqrt{1-\zeta^2}}\,\int_0^{2\pi} \frac{\rho}{\sqrt{\rho^2+(\zeta-z)^2}} \,d\vp\,d\rho\,d\zeta\\
&=& \frac{1}{4}\,\int_{-1}^1\,\int_0^{\sqrt{1-\zeta^2}} \frac{2 \rho}{\sqrt{\rho^2+(\zeta-z)^2}} \,d\rho\,d\zeta, \quad t=\rho^2+(\zeta-z)^2,\ dt = 2\,\rho\,d\rho,\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\,\int_{(\zeta-z)^2}^{1+z^2-2 \zeta z} \frac{dt}{2 \sqrt{t}} \,d\zeta = \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\,\left. \sqrt{t}\right|_{(\zeta-z)^2}^{1+z^2-2 \zeta z} \,d\zeta \\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \rkl{\sqrt{1+z^2-2 \zeta z} - |\zeta - z| }\,d\zeta,\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \sqrt{1+z^2-2 \zeta z}\,d\zeta + \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\,(\zeta - z)\,d\zeta ,\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \sqrt{1+z^2-2 \zeta z}\,d\zeta + \left.\rkl{\frac{1}{4}\zeta^2 - \frac{1}{2} z \zeta} \right|_{-1}^1 ,
 \ r=1+z^2-2 \zeta z,\ dr = -2 z d\zeta,\\
&=& -\frac{1}{4 z}\,\int_{(1+z)^2}^{(1-z)^2}\, \sqrt{r} \,dr  -z = \frac{1}{6 z}\,\left.\rkl{\sqrt{r}}^3 \right|_{(1-z)^2}^{(1+z)^2}  -z = \frac{1}{6 z}\,\rkl{(1+z)^3 - |1-z|^3} - z\\
&=& \frac{1}{6 z}\,\rkl{(z+1)^3 - (z-1)^3} - z = \frac{6 z^2 +2}{6 z}-z =\frac{1}{3z} .
\eea
\newpage
Im Falle $0 \leq z\leq 1$ muss man noch die Fälle $\zeta \geq z$ und $\zeta < z$ unterscheiden. 
Hierbei erhält man

\bea
u(0,0,z) &=& \frac{1}{4\pi}\,\iiint_{|y|<1}\, \frac{1}{|x-y|} \,dy = \frac{1}{4\pi}\,\int_{-1}^1\,\int_0^{\sqrt{1-\zeta^2}}\,\int_0^{2\pi} \frac{\rho}{\sqrt{\rho^2+(\zeta-z)^2}} \,d\vp\,d\rho\,d\zeta\\
&=& \frac{1}{4}\,\int_{-1}^1\,\int_0^{\sqrt{1-\zeta^2}} \frac{2 \rho}{\sqrt{\rho^2+(\zeta-z)^2}} \,d\rho\,d\zeta, \quad t=\rho^2+(\zeta-z)^2,\ dt = 2\,\rho\,d\rho,\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\,\int_{(\zeta-z)^2}^{1+z^2-2 \zeta z} \frac{dt}{2 \sqrt{t}} \,d\zeta = \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\,\left. \sqrt{t}\right|_{(\zeta-z)^2}^{1+z^2-2 \zeta z} \,d\zeta \\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \rkl{\sqrt{1+z^2-2 \zeta z} - |\zeta - z| }\,d\zeta,\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \sqrt{1+z^2-2 \zeta z}\,d\zeta + \frac{1}{2}\,\int_{-1}^z\,(\zeta - z)\,d\zeta + \frac{1}{2}\,\int_{z}^1\, (z-\zeta)\,d\zeta,\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \sqrt{1+z^2-2 \zeta z}\,d\zeta + \frac{1}{2}\,\left.\rkl{\frac{\zeta^2}{2}-z \zeta}\right|_{-1}^z + \frac{1}{2}\,\left.\rkl{z \zeta-\frac{\zeta^2}{2}}\right|_{z}^1,\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \sqrt{1+z^2-2 \zeta z}\,d\zeta + \frac{1}{2}\,\rkl{\frac{z^2}{2}-z^2-\frac{1}{2}-z} + \frac{1}{2}\,\rkl{z -\frac{1}{2} -z^2 +\frac{z^2}{2}},\\
&=& \frac{1}{2}\,\int_{-1}^1\, \sqrt{1+z^2-2 \zeta z}\,d\zeta -\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2}, \quad r=1+z^2-2 \zeta z,\ dr = -2 z d\zeta,\\
&=& -\frac{1}{4 z}\,\int_{(1+z)^2}^{(1-z)^2}\, \sqrt{r} \,dr  -\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6 z}\,\left.\rkl{\sqrt{r}}^3 \right|_{(1-z)^2}^{(1+z)^2} -\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2}\\
&=& \frac{1}{6 z}\,\rkl{(1+z)^3 - |1-z|^3} -\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6 z}\,\rkl{(1+z)^3 - (1-z)^3} -\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2}\\
&=&  \frac{6 z +2 z^3}{6 z} -\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} -\frac{z^2}{6}.
\eea  
Unter Beachtung der Symmetrie erhält man also für $x\in \R^3$

\[u(x) = \begin{cases} \frac{1}{3 \norm{x}} & \text{falls } \norm{x} > 1\\ \frac{1}{2} -\frac{\norm{x}^2}{6}  & \text{falls } \norm{x} \leq 1 \end{cases}.\]




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 342: Hintereinanderausführung und subharmonische Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es seien $B$ eine reelle $(n \times n)$-Matrix, $c \in \R,\ Q : \R^n \to \R^n$ mit $Q(x) =Bx + c$ und $u \in C^2(\R^n)$. Zeigen Sie
\[ \Delta (u \circ Q) = (L_0 u) \circ Q,\]
wobei
\[ L_0 := \sum^n_{i,k=1}\,a_{ik}\,\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_k} \]
ist und die $a_{ik}$ die Elemente der Matrix $A := BB^T$ sind. Insbesondere ist also $\Delta(u \circ Q) =
(\Delta u) \circ Q$, wenn $B$ eine orthogonale Matrix ist.
\item Sei $\phi : \R \to  \R$ eine glatte und konvexe Funktion. Ferner sei $u$ harmonisch in einem
Gebiet $G \subseteq \R^n$. Zeigen Sie: Die Funktionen $v := \phi \circ u$ und $w := \abs{\nabla u}^2$
sind subharmonisch.
in G
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 342}}\\

\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden.}
\end{center}


Seien im Folgenden $n \in \mathbb{N}$ sowie $x = (x_1;...; x_n) \in \mathbb{R}^n$\\
a)\\
Vorraussetzungen:\\
i) c = $(c_1;..; c_n)$  $ \in \mathbb{R}^n  $\\
ii) B $\in \mathbb{R}^{n \times n}$ sowie B = $(b_{i;k})_{i;k=1}^n$ \\
iii) Q(x) = Bx + c\\
iv) u $\in C^2(\mathbb{R}^n)$\\
v) A $\in \mathbb{R}^{n \times n}$ mit $A = BB^t$ sowie A = $(a_{i;k})_{i;k=1}^n$\\
Behauptungen:\\
1) $\Delta (u \circ Q) = (L_0(u))\circ Q$\\
wobei\\
 \[L_0 := \sum_{i;k =1}^n a_{i;k} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_k}\]\\
2) B orthogonal $\Rightarrow \Delta (u \circ Q) = \Delta(u) \circ Q$\\
Beweis:\\
Sei $d := (d_1;..; d_n)$ sowie\\ \[d_i = (\sum_{j=1}^n b_{i;j}x_j) + c_i\]\\
$\Rightarrow u(Q(x)) = u(d)$\\
Sei nun i $\in \{1;..;n\}$\\
$\Rightarrow$\\  \[\frac{\partial u(d)}{\partial x_i} \\
 =\sum_{j=1}^n (\frac{\partial u}{\partial x_j}(d)\cdot \frac{\partial d_j}{\partial x_i})\]\\
 \[=\sum_{j=1}^n (\frac{\partial u}{\partial d_j}(d)\cdot b_{i;j}) \]\\
Nun zur zweiten Ableitung:\\
\[ \frac{\partial^2 u(d)}{\partial x_i^2} \]\\
\[ =\frac{\partial}{\partial x_i}(\sum_{j=1}^n (\frac{\partial u}{\partial x_j}(d)\cdot b_{i;j} )) \]\\
\[ = \sum_{k=1}^n (\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_k} (d)b_{i;j})\frac{\partial d_k}{\partial x_i} = \sum_{k=1}^n (\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_k} (d)b_{i;j})b_{i;k} \]\\
Summation über i ergibt dann:\\
\[\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u(d)}{\partial x_i^2} = \sum_{i=1}^n(\sum_{k=1}^n (\sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_k} (d)b_{i;j})b_{i;k}) (*)\] \\
Vertauschung der Summationsreihenfolge sowie Umordnung ergibt dann:\\
\[ (*) = \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^n b_{j;i}b_{i;k}) \frac{\partial^2 u}{\partial x_k\partial x_j}(d)) (**)\]\\
Laut Definition von A ist\\
\[a_{j;k} = \sum_{i=1}^n b_{j;i}b_{i;k}\]\\
$\Rightarrow$\\
\[ (**) = \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^n a_{j;k}\frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_k}(d) = L_0(u) \circ Q\]\\
2)\\
Sei nun B eine orthogonale Matrix\\
$\Rightarrow BB^t = I$\\
$\Rightarrow a_{i;k} = \delta_{i;k}$\\
$\Rightarrow $\\
\[L_0 = \sum_{i=0}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} = \Delta\]\\
\\
\\
b)\\
Vorraussetzungen:\\
i) f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ glatt (also $C^{\infty}$) sowie konvex\\
ii) u harmonisch in G $\subset \mathbb{R}^n$\\
Behauptungen\\
1) $g := f \circ u$ subharmonisch in G\\
2) $h :=|\nabla u|^2$ subharmonisch in G\\
Beweis:\\
1)\\
Sei $f = f(x_0)$. Da f nur von $x_0$ abhängt, gilt:\\
\[ \frac{d f}{d x_0} = \frac{\partial f}{\partial x_0}\]\\
Sei nun $i \in \{1;...;n\}$ beliebig.\\
$\Rightarrow$\\
\[\frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_0}(u(x))\cdot \frac{\partial u}{\partial x_i}\]\\
Nochmaliges Ableiten ergibt:\\
\[\frac{\partial^2 g}{\partial x_i^2} = \frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{\partial f}{\partial x_0}(u(x))\cdot \frac{\partial u}{\partial x_i})\]\\
\[= \frac{\partial^2 f}{\partial x_0^2}(u(x))\cdot (\frac{\partial u}{\partial x_i})^2 + \frac{\partial f}{\partial x_0}(u(x))\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}\]\\
$\Rightarrow$\\
\[ \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_0^2}(u(x))\sum_{i=1}^n (\frac{\partial u}{\partial x_i})^2 + \frac{\partial f}{\partial x_0}(u(x))\cdot \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}\]\\
u harmonisch\\
$\Rightarrow$\\
\[\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = 0\]\\
$\Rightarrow$\\
\[ \frac{\partial f}{\partial x_0}(u(x))\cdot \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = 0\]\\
f konvex\\
$\Rightarrow$\\
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x_0^2}(u(x)) \geq 0\]\\
sowie\\
\[\sum_{i=1}^n (\frac{\partial u}{\partial x_i})^2 \geq 0\]\\
$\Rightarrow$\\
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_0^2}(u(x))\sum_{i=1}^n (\frac{\partial u}{\partial x_i})^2 \geq 0\]\\
Damit ist g subharmonisch in G.\\
2)\\
\[h = \sum_{i=1}^n (\frac{\partial u}{\partial x_i})^2\]\\
Sei nun k $\in \{1;...;n\}$ beliebig\\
$\Rightarrow$\\
\[\frac{\partial h}{\partial x_k} = 2\cdot\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k}\cdot\frac{\partial u}{\partial x_i}\]\\
$\Rightarrow$\\
\[\frac{\partial^2 h}{\partial x_k^2} = 2\frac{\partial}{\partial x_k}(\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k}\cdot\frac{\partial u}{\partial x_i})\]\\
\[ = 2\sum_{i=1}^n \frac{\partial^3 u}{\partial x_i \partial x_k^2}\frac{\partial u}{\partial x_i} + 2\sum_{i=1}^n (\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k})^2\]\\
Es ist offensichtlich\\
\[ 2\sum_{i=1}^n (\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k})^2 \geq 0\]\\
sowie:\\
\[ \frac{\partial^3 u}{\partial x_i \partial x_k^2} = \frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2})\]\\
u harmonisch\\
$\Rightarrow$\\
\[\sum_{k=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_k^2} = 0\]\\
$\Rightarrow$\\
\[\sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n (\frac{\partial^3 u}{\partial x_i \partial x_k^2}\frac{\partial u}{\partial x_i}) =\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}( \sum_{k=1}^n(\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}))\cdot \frac{\partial u}{\partial x_i} = 0 \]\\
Damit ist h subharmonisch in G.\\



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 343: Integralabschätzung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ein beschränktes Gebiet, für das der
Gaußsche Satz gilt.

Es sei $u\in C^{2}(\bar{G})$ eine reelle Funktion mit $u=0$ auf
$\partial G$.

Dann gilt für jedes $\epsilon>0$:

\[
2\int_{G}|\nabla u(x)|^{2}dx\leq\epsilon\int_{G}(\triangle u(x))^{2}dx+\frac{1}{\epsilon}\int_{G}u^{2}(x)dx
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 343}}\\
Zuerst gilt: 

\[
|\nabla u(x)|^{2}=\sum_{i=1}^{^{n}}\left(\frac{\partial u(x)}{\partial x_{i}}\right)^{2}=\nabla u(x)\cdot\nabla u(x)
\]


Damit ergibt sich mit Satz von Gauß:

\[
\int_{G}|\nabla u(x)|^{2}dx=\int_{G}\nabla u(x)\cdot\nabla u(x)dx=\underbrace{\int_{\partial G}u(x)\nabla u(x)d}_{=0,\, wegen\, u=0}da-\int_{G}u(x)\triangle u(x)dx
\]


Also ist die Behauptung äquivalent zu:

\[
0\leq\int_{G}(\underbrace{\epsilon(\triangle u(x))^{2}+\frac{1}{\epsilon}u(x)^{2}+2u(x)\triangle u(x)}_{=(\sqrt{\epsilon}\triangle u(x)+\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}u(x))^{2}})dx
\]


Und damit gilt also wirklich:

\[
0\leq\int_{G}\underbrace{(\sqrt{\epsilon}\triangle u(x)+\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}u(x))^{2}}_{\geq0}dx
\]


q.e.d.



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 344: Kugelpotential
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $V(x)$ das Newtonsche Volumenpotential einer offenen Kugel $B_R \in \R^3$ vom Radius $R> 0$ um den Nullpunkt mit der Dichte $\rho(x)=|x|^2$ ($|x|$ bezeichnet die euklidische Norm von $x \in \R^3$) im Aufpunkt $x$, d.h.
$$V(x)= \iiint_{B_R} \frac{\rho(y)}{|x-y|}dy.$$

\ben
\item Berechnen Sie $V(x)$ für alle $x \in \R^3$ .
\item Für welche $x \in \R^3$ ist $V = V(x)$ zweimal stetig differenzierbar?
\item Bestätigen Sie durch direktes Nachrechnen mittels a)
$$\Delta V =0 \quad\mbox{in}\quad \R^3 \backslash \overline{B}_R,\quad  \Delta V =-4\pi |x|^2 \quad\mbox{in}\quad B_R$$
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 344}}\\
\underline{zu a):} Benutze Kugelkoordinaten
\bea
x &=& r\,\sin\vt \cos\vp\\
y &=& r\,\sin\vt \sin\vp\\
z &=& r\cos\vt
\eea
mit $r \in [0,R],\ \vt \in [0,\pi],\ \vp \in [0,2\pi]$.\\

Weiter nutzt man die Idendität  $|x-y|^2=|x|^2-2\,|x||y|\cos\alpha +|y|^2$, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $x$ und $y$ ist. Aus Symmetriegründen kann  man $x=(0,0,x_3), x_3>0$ auf die positive $z$-Achse setzen, dann ist außerdem $\alpha = \vt$. 

Die Transformation des Integrals auf Kugelkoordinaten mit der Funktionaldeterminante $r^2\sin\vt$ ergibt wegen $|y|^2=r^2=\rho(y)$ und bei Beachtung von 
$$\frac d{d\vt} \sqrt{x_3^2-2\,x_3 r\cos\vt +r^2} = \frac{x_3r\sin\vt}{\sqrt{x_3^2-2\,x_3 r\cos\vt +r^2}}$$ 
\bea
V(x)=V(x_3)&=&\iiint_{B_R} \frac{r^4\sin\vt}{\sqrt{x_3^2-2\,x_3 r\cos\vt +r^2}}d\vt d\vt dr\\
&=&2\pi\int_0^R\int_0^{\pi} \frac{r^4\sin\vt}{\sqrt{x_3^2-2\,x_3 r\cos\vt +r^2}} d\vt dr\\
&=&\frac{2\pi}{x_3}\int_0^R\left.\left( r^3\sqrt{x_3^2-2\,x_3 r\cos\vt +r^2}\right)\right |_0^{\pi}\,dr\\
&=&\frac{2\pi}{x_3}\int_0^R r^3\left ( x_3+r - |x_3-r| \right)\,dr \\
&=& \left \{ \begin{array}{lll}\frac{4\pi}{x_3}\int_0^R r^4\,dr&=\frac{4\pi}5\frac{R^5}{x_3}&\mbox{ für}\quad x_3 \geq R\\ \frac{4\pi}{x_3}\left (\int_0^{x_3} r^4\,dr+\int_{x_3}^R r^3x_3\,dr\right )&=\frac\pi5(5R^4-x_3^4)&\mbox{ für}\quad x_3<R\\ \end{array}\right . .\\
\eea

Man kann nun aus Symmetriegründen für $x_3$ wieder $|x|$ einsetzen und erhält als Lösung
$$V(x) = V(|x|) = \left \{ \begin{array}{ll}\frac{4\pi}5\frac{R^5}{|x|}&\mbox{ für}\quad |x| \geq R\\ \frac\pi5(5R^4-|x|^4)&\mbox{ für}\quad |x|<R\\ \end{array}\right . .$$

\underline{zu b):} Wie man sieht, ist $V(|x|)$ in $|x|=R$ stetig. Alle Ableitungen nach den Winkeln $\vt$ und $\vp$ verschwinden. Wir berechnen die erste und zweite Ableitung in radialer Richtung. Es ist 
$$\frac d{d|x|} V(|x|) = \left \{ \begin{array}{ll}-\frac{4\pi}5\frac{R^5}{|x|^2}&\mbox{ für}\quad |x| \geq R\\ -\frac{4\pi}5|x|^3)&\mbox{ für}\quad |x|<R\\ \end{array}\right . ,$$
diese Werte stimmen für $|x|=R$ ebenfalls überein.\\
Die zweite Ableitung
$$\frac{d^2}{d|x|^2} V(|x|) = \left \{ \begin{array}{ll}\frac{8\pi}5\frac{R^5}{|x|^3}&\mbox{ für}\quad |x| \geq R\\ -\frac{12\pi}5|x|^2)&\mbox{ für}\quad |x|<R\\ \end{array}\right . $$
stimmt aber schon nicht mal im Vorzeichen an $|x|=R$ überein, ansonsten ist sie aber stetig.\\

\underline{zu c):} Wir benutzen den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:

$$\Delta u = u_{rr} + \frac2r u_r + \frac1{r^2\sin^2\vt} u_{\vp\vp} + \frac1{r^2} u_{\vt\vt} + \frac{\cot \vt}{r^2} u_{\vt}.$$
Da $V$ nur von der radialen Variablen $|x|$ abhängt, ist
$$\Delta V(x) = \left . V_{rr} + \frac2r u_r \right |_{r=|x|} =\left \{ \begin{array}{lll}\frac{8\pi}5\frac{R^5}{|x|^3}-\frac2{|x|}\frac{4\pi}5\frac{R^5}{|x|^2}&= 0&\mbox{ für}\quad |x| > R\\ -\frac{12\pi}5|x|^2)-\frac2{|x|}\frac{4\pi}5|x|^3)&= -4\pi|x|^2&\mbox{ für}\quad |x|<R\\ \end{array}\right . $$
Abschließend noch eine grafische Darstellung von $V(x)$ für $R=1$:
\begin{center}
	\includegraphics{lImage045}
\end{center}
% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 345: Maximumprinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein  beschränktes, nichtleeres Gebiet.
\begin{enumerate}
	\item Sei $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ , $g:= u|_{\partial\Omega}$ und
	 $-\Delta u(x)+u(x)a(x)=0 $ ($\ast$) für $x\in \Omega$ mit einer positiven Funkion $a$. Zeigen Sie für $x\in   \Omega$:
	\begin{equation*} \tag{$\ast\ast$}
		 \min \set{0,\min g}  \leq u(x) \leq \max \set{0,\max g}   
	\end{equation*}	
 \item Machen Sie sich mir Hilfe der gewöhnlichen Differentialgleichung $-u''+u=0$ klar, dass man in a) nicht $\min g\leq u(x)\leq \max g$ erwarten darf.
\item Sei $u$ in $\Omega$ eine harmonische Funktion, deren Gradient stetig auf $\overline\Omega$ fortsetzbar ist. 
Zeigen Sie, dass mindestens eine Maximalstelle von ${\vert\nabla u\vert}^2$ auf $\partial\Omega$ liegt.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 345}}\\

\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden.}
\end{center}

\newtheorem*{nb}{Nebenbehauptung}

\begin{enumerate}
	\item \begin{proof}[Beweis] 
	\begin{nb} Falls $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ ($\ast$) erfüllt, so kann $u$ in $\Omega$ kein positives Maximum und kein negatives Minimum besitzen.
\end{nb}

%\textbf{Beweis der Nebenbehauptung:}
\begin{proof}[Beweis der Nebenbehauptung]
Erfülle nun also $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ die partielle Differentialgleichung $(\ast)$ also $\Delta u(x)=u(x)a(x)$.
Angenommen $u$ besitzt in $\Omega$ ein positives Maximum, etwa in $x_0\in\Omega$, dann ist 
\begin{equation}
a(x_0)u(x_0)>0 \label{eq:Vor}
\end{equation}
Aufgrund des positiven Maximums, ist die Hessematrix \[H_u (x_0)=\left(\frac{\partial^2 u(x_0)}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{i,j=1}^n\] negativ semidefinit.(Dies ist leicht zu verifizieren, indem man unter Beachtung von $\nabla u(x_0)=0$, die Taylorentwicklung bis zur 2. Ordnung der Funktion $u \text{ in einer Umgebung von }x_0$ betrachtet) \\\\
Daraus folgt, dass $H_u (x_0)$ ausschlie"slich nichtpositive Eigenwerte besitzt, au"serdem ist $H_u (x_0)$ symetrisch und damit diagonalisiebar.\\
Es existiert also eine zu $H_u (x_0)$ "ahnliche Diagonalmatrix $D$, welche die Eigenwerte von $H_u (x_0)$ auf der Diagonalen tr"agt. Demnach ist $Sp(D)\leq 0$.\\\\
Zueinander "ahnliche Matrizen besitzen dieselbe Spur: $Sp(D)=Sp(H_u (x_0))$.\\
Und somit gilt: \[ 0\geq Sp(D)=Sp(H_u (x_0))= \sum_{j=1}^n u_{x_j x_j}(x_0)=\Delta u\]
Hieraus ensteht jedoch unter Verwendung von (\ref{eq:Vor}) ein Widerspruch zu \[\Delta u(x_0)=a(x_0)u(x_0)\overset{\eqref{eq:Vor}}{>}0\]
Folglich kann $u$ in $\Omega$ kein positives Maximum besitzen.\\\\
Analog wird gezeigt, dass $u$ in $\Omega$ auch kein negatives Minimum besitzen kann.\\
\end{proof}

Es folgt eine Fallunterscheidung zu den verbleibenden Möglichkeiten:\\
\newpage 
\quad\textbf{1.Fall:} $u$ besitzt kein Extrema in $\Omega$, dann gilt:
\[\min g \leq u(x) \leq \max g\] 

\quad\textbf{2.Fall:} $u$ besitzt in $\Omega$ ein nichtpositives Maximum, dann gilt:
\[\min g \leq u(x) \leq 0\] 

\quad\textbf{3.Fall:} $u$ besitz in $\Omega$ ein nichtnegatives Minimum , dann gilt:
\[0 \leq u(x) \leq \max g\] 
in allen Fällen gilt also $(\ast \ast)$.\\
\end{proof}
\item Im Fall $n=1$ wird unsere partielle Differentialgleichung zu einer gew"ohnlichen Differentialgleichung:  \[-u''+u=0 \tag{2}\]  mit der L"osungsgesamtheit: \[\widetilde{u}(x)=\mathrm{c_1}e^x+\mathrm{c_2} e^{-x}\] mit zwei Konstanten $ \mathrm{c_1,c_2} \in \mathbb{R}$.\\
Demnach ist $\cosh x =\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ eine Lösung von $(2)$.
Nun besitzt $\cosh$ ein positives Minimum im Punkt $(x,y)=(0,1)$ und damit gilt nach a) Fall 3: \[0 \leq u(x) \leq \max g\] falls $0 \in \Omega$ ist, dann ist also wegen der Offenheit von $\Omega$ $\min g > u(x)$ somit kann nicht  $\min g\leq u(x)\leq \max g$  erwartet werden. 
% Durch die Betrachtung des Funktionsbildes kann dies auch anschaulich nachvollzogen werden:\\


%\begin{figure}[htbp]
%	\centering
%		\includegraphics[width=0.50\textwidth]{C:/Users/Tobikles/Documents/LaTeX/04.png}
%	\label{fig:figCosh}
%\end{figure}

\item 
\begin{proof}[Beweis]Aus der 2. Aufgabe der 7. Serie ist bekannt: \[ u \text{ harmonisch in } \Omega \Rightarrow \vert\nabla u\vert^2 \text{ ist subharmonisch in }\Omega\] Damit folgt die Aussage direkt aus dem Minimums-Maximumsprinzip für subharmonische Funktionen.
\end{proof}







\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 346: Minimumprinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ ein  beschr"anktes, nichtleeres Gebiet, $T \subseteq\overline{\Omega} \text{ und } \Omega\setminus T$ sei offen.\\
Ferner sei $u: \Omega\setminus T \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion mit den folgenden drei Eigenschaften:\\

$\quad$ (1) $u$ ist harmonisch in $\Omega\setminus T$.\\
$\quad$ (2) Für alle $x_0\in\partial\Omega\setminus T$ gilt $u(x) \rightarrow 0$, wenn $x$ in $\Omega\setminus T$ gegen $x_0$ strebt.\\
$\quad$ (3) Es gibt eine harmonische Funktion $w:\Omega\setminus T\rightarrow(0,\infty)$ so, dass für alle $\xi\in T$ gilt: \\
$\qquad\quad$ $\vert u(x)\vert/w(x)\rightarrow 0$, wenn $x$ in $\Omega\setminus T$ gegen $\xi$ strebt.\\

Zeigen Sie, dass dann $u=0$ in $\Omega\setminus T$ ist. 

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 346}}\\

\textit{Indirekter Beweis:}\\
Angenommen es existiert ein $a\in\Omega\setminus T$ mit $u(a)>0$.\\\\
Dann kann mit Hilfe der Funktionen 
\[ 
g:=\epsilon(1+w)-u \text{\quad und\quad} h:=\frac{u}{1+w}\quad \text{(wohldefiniert in $\Omega\setminus T$, $\epsilon >0$)}
\]
eine Menge $Z$ definiert werden:
\[
Z:=\{x\in\Omega\setminus T\ |\ g(x)<0\}=\{x\in\Omega\setminus T\ |\ h(x)>\epsilon\}.
\]
Für $\epsilon$ hinreichend klein gilt: $Z\neq\emptyset$,\\
denn für \[0<\epsilon<\frac{u(a)}{1+w(a)}\] gilt:\\
\[
\epsilon<\frac{u(a)}{1+w(a)}=h(a)\Leftrightarrow \epsilon(1+w(a))<u(a)\Leftrightarrow \epsilon(1+w(a))-u(a)<0\Leftrightarrow g(a)<0
\]
Damit ist $a\in Z$.\\

Desweiteren gilt: $\overline{Z}\subseteq\Omega\setminus T$, \\
denn per Definition ist bereits $Z\subseteq \Omega\setminus T$ und für $\hat{x}\in \partial Z$ sei angenommen, dass $\hat{x}\notin\Omega\setminus T$ gilt.\\
Dazu müsste jedoch einer der 2 Fälle eintreten:

\textbf{1.Fall:}\quad $\hat{x}\in \partial\Omega\setminus T$, wegen $\hat{x}\in \partial Z$ gilt dann:
\[\lim\limits_{Z\ni x \rightarrow \hat{x}}{g(x)}=0\]
\qquad\qquad nun ist aber unter Beachtung von (2) 
\[
0=\lim\limits_{Z\ni x \rightarrow \hat{x}}{g(x)}=\lim\limits_{Z\ni x \rightarrow \hat{x}}{(\epsilon(1+w(x))-\underbrace{u(x)}_{\stackrel{(2)}{\longrightarrow}0})}=\epsilon(1+w(\hat{x}))>0 
\]
\qquad\qquad ein Widerspruch zur Stetigkeit von $g(x)$, also ist $\hat{x}\notin \partial\Omega\setminus T$.\\\\
\textbf{2.Fall:}\quad $\hat{x}\in \partial T$, weil $x\in\partial Z$ gilt:
\[
\lim\limits_{Z\ni x \rightarrow \hat{x}}{h(x)}=\epsilon
\]
\qquad\qquad mit (3) ist \[\lim\limits_{Z\ni x \rightarrow \hat{x}}{\frac{\vert u(x)\vert}{w(x)}}=0\]
\qquad\qquad also muss
\[
\vert h(x)\vert =\frac{\vert u(x)\vert}{\vert 1+w(x)\vert}\leq\frac{\vert u(x)\vert}{w(x)}\stackrel{x\rightarrow \hat{x}}{\longrightarrow}0\neq\epsilon
\]
\qquad\qquad gelten.\\

\qquad\qquad wegen der Stetigkeit von $h(x)$ ergibt sich erneut ein Widerspruch.\\

$\Rightarrow$ es muss $\hat{x}\in\Omega\setminus T$ gelten.\\\\
Für $\epsilon$ hinreichen klein ist also gezeigt: $Z\neq\emptyset$ und $\overline{Z}\subseteq\Omega\setminus T$ .\\\\

Nun ist $g$ eine Summe harmonischer Funktionen und somit selbst harmonisch in $\overline{Z}\subseteq\Omega\setminus T$,
d.~h. $g$ müsste unter Berücksichtigung des Min/Max-Prinzips sein Minimum auf $\partial Z$ annehmen, wobei $g\left|_{\partial Z}\right.=0$ ist, was im direkten Widerspruch zur Stetigkeit von $g$ und der Definition der Menge $Z$ steht, denn dort ist $g\left|_Z\right. <0$\\

$\Rightarrow$ es kann kein Punkt $a\in\Omega\setminus T$ existieren, sodass $u(a)>0$ gilt.\\\\
Analog kann angenommen werden, dass es ein $b\in\Omega\setminus T$ gibt, so dass $u(b)<0$ ist, damit ist $-u(b)>0$ und da auch $\tilde{u}:=-u$ die Punkte (1)-(3) erfüllt und nun $\tilde{u}(b)>0$ gilt, folgt analog dem Obigen, dass auch ein solches $b$ nicht existieren kann.\\
Also gilt für $x\in\Omega\setminus T$:
\[
u(x)\leq 0\text{  und  } u(x)\geq 0 .
\]

Damit muss $u\big{|_{\Omega\setminus T}}=0$ gelten.

\begin{flushright}
\underline{\textit{q.e.d.}}
\end{flushright}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 347: Neumann-Funktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Die Neumannsche Funktion $N=N(x,y)$ für ein Gebiet $\Omega \subset \Rx{n}$ wird definiert wie die Greensche Funktion für das Dirichlet-Problem mit dem Unterschied, dass die Bedingung $G(x,y)=0$ für $x \in \partial\Omega, y\in \Omega$ ersetzt wird durch $\frac{\partial N}{\partial n}(x,y) = const.$ für $x \in \partial\Omega, y\in \Omega$. Formulieren und beweisen Sie mit Hilfe der 2. Greenschen Formel eine Darstellung für die Lösung des Neumann-Problems mit Hilfe der Neumannschen Funktion. Inwieweit ist die Konstante bestimmt?
\item Lösen Sie das Neumann-Problem für eine Kugel im $\Rx{3}$. Gegeben ist eine Funktion $h: \partial B_R(0) \rightarrow \R$ mit $\int_{\partial B_r(0)}\,h(x)do_x =0$. Gesucht ist eine Darstellung (z.~B. mittels a)) der Lösung $u=u(x)$ von
\bea
\Delta u &=& 0 \quad\mbox{in}\quad B_R(0)\\
\frac{\partial u}{\partial n}&=& h \quad\mbox{in}\quad \partial B_R(0).\\
\eea
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 347}}\\

\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden}
\end{center}

\ben
\item[zu a)] Ausgangspunkt aller Überlegungen ist die zweite Greensche Formel:
\begin{equation}
	\int_\Omega (u\, \Delta v - v\,\Delta u) dx = \int_{\partial\Omega} \left ( u\,\frac{\partial v}{\partial n} - v\,\frac{\partial u}{\partial n}\right )\, do.
\end{equation}
Für eine in $\Omega$ harmonische Funktion $u$ und $v\equiv -1$ erhält man daraus 
\begin{equation}
	0 = \int_{\partial\Omega}  \frac{\partial u}{\partial n}\, do
\end{equation}
als notwendige Bedingung, d.~h. man kann sich die Randwerte für die Normalableitung nicht beliebig vorgeben.

Setzt man für $v$ die Grundlösung 
$$ \Gamma(x,y) := \left \{ \begin{array}{ccc}-\frac1{n(n-2)\omega_n}\frac1{|x-y|^{n-2}} & \mbox{für} & n \geq 3\\ \\ \frac1{2\pi}\log |x-y| & \mbox{für} & n =2\\\end{array} \right . $$
ein, wobei $\omega_n$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel ist, erhält man die bereits bekannte Darstellungsformel
\begin{equation}
	u(y) = \int_{\partial\Omega} \left ( u\,\frac{\partial \Gamma}{\partial n} - \Gamma\,\frac{\partial u}{\partial n}\right )\, do_x.
\end{equation}
Für den Beweis muss man eine kleine Kugel vom Radius $\rho$ um die Singularität bei $y$ ausschneiden, auf deren Rand man die Normalableitung berechnen kann. Im Restgebiet ist $\Gamma$ harmonisch, so dass das Volumenintegral verschwindet. Grenzübergang $\rho \rightarrow 0$ liefert dann diese Formel.

Setzt man schließlich eine bezüglich $x$ regulär harmonische Funktion $H(x,y)$ ein, so erhält man noch die Gleichung
\begin{equation}
	0 = \int_{\partial\Omega} \left ( u\,\frac{\partial H}{\partial n} - H\,\frac{\partial u}{\partial n}\right )\, do_x.
\end{equation}
Addition der Gleichungen (3) und (4) ergibt mit $N(x,y)=\Gamma(x,y)+H(x,y)$ die Darstellungsformel
\begin{equation}
	u(y) = \int_{\partial\Omega} \left ( u\,\frac{\partial N}{\partial n} - N\,\frac{\partial u}{\partial n}\right )\, do_x.
\end{equation}
Unter der Bedingung $\frac{\partial N}{\partial n}(x,y) = c$ und vorgegebenen Randwerten $\frac{\partial u}{\partial n}=h: \partial B_R(0) \rightarrow \R$ mit $\int_{\partial B_r(0)}\,h(x)do_x =0$ wird daraus
\begin{equation}
	u(y) = - \int_{\partial\Omega}\,N\,h\,do_x +c\,\int_{\partial\Omega} u\,do_x, 
\end{equation}
indem der zweite Summand für eine Lösung $u$ des Neumann-Problems eine Konstante darstellt. Die Lösung ist also nur bis auf eine Konstante bestimmt.

Was die Konstante $c$ anbelangt, so kann man diese ebenfalls mit Hilfe der zweiten Greenschen Formel berechnen. Aus (3) folgt mit $u(x)\equiv 1$ zunächst
\[\int_{\partial \Omega} \frac{\partial \Gamma}{\partial n}\,d0_x=1\]
und da $H=N-\Gamma$ selbst harmonisch sein soll, gilt wegen (2) noch
\begin{equation}
	0=\int_{\partial\Omega}  \left ( \frac{\partial N}{\partial n}-\frac{\partial \Gamma}{\partial n}\right )\, do = c |\partial \Omega|  - 1 \Rightarrow c=\frac{1}{|\partial \Omega|}.
\end{equation}
Die gesuchte Aussage lautet nun folgendermaßen:
Ist $N(x,y)$ eine Funktion, mit den Eigenschaften
\ben
\item[(i)] $N(x,y)$ besitzt stetige zweite Ableitungen nach $x$ und $\Delta_x N=0$ in $\Omega \backslash \{y\}$.
\item[(ii)] $\frac{\partial N}{\partial n}(x,y) = \frac{1}{|\partial \Omega|}.$ für $x \in \partial\Omega, y\in \Omega$
\item[(iii)] $N(x,y) - \Gamma(x,y)$ ist harmonisch in $\Omega$. 
\item[(iv)] $N(x,y) = N(y,x)$ in $\Omega$.
\een
Dann ist $u(y)= - \int_{\partial\Omega}\,N(x,y)\,h(x)\,do_x + const$ eine Lösung des Neumann-Problems.

Die Aufgabe, das Neumann-Problen zu lösen, wird damit auf die Konstruktion einer Neumann-Funktion verlagert.



\begin{center}
\textcolor{red}{Der folgende Teil ist wahrscheinlich falsch.}
\end{center}


\item[zu b)] Analog zur Vorgehensweise bei der Greenschen Funktion machen wir den Ansatz
\[	 N(x,y) = \frac1{4\pi}\left(\frac1{|x-y|} + \frac{a}{|x-y^*|}\right),\]
wobei $y^* = \frac{R^2}{|y|^2}\,y$ der Spiegelpunkt an der Kugeloberfläche zu $y$ ist.\\
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{190pt}
\includegraphics[scale=0.4]{lImage046}
\end{minipage}&
\begin{minipage}{200pt}
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke $\Delta Oxy$ und $\Delta Oy^*x$, die in dem gemeinsamen Winkel bei $O$ und dem aus der Spiegelungseigenschaft kommenden Seitenverhältnis $\frac{|y|}{R}=\frac{R}{|y^*|}$ übereinstimmen, gilt auch noch $$\frac{|y|}{R}=\frac{R}{|y^*|}=\frac{|x-y|}{|x-y^*|}$$ bzw.
$$	\frac{a}{|x-y^*|}=\frac{|y|\,a}{R\,|x-y|}, $$
d. h.

\begin{equation}
		N(x,y) = \frac1{4\pi\,R}\frac1{|x-y|}(R +a\,|y|).
\end{equation}
\end{minipage}
\end{tabular}

Da $y^*$ außerhalb der Kugel liegt sind die Forderungen (i), (iii) und (iv) an $N(x,y)$ erfüllt. Die Größe $a$ bestimmen wir aus der Forderung (ii), wobei im Falle $n=3$ die Konstante $c=\frac3{4\pi\,R^2}$ aus Gleichung (7) bestimmt werden kann. Dazu berechnen wir unter Benutzung von Gleichung (8), der Spiegelungseigenschaft von $y^*$ und der Tatsache, dass $x$ auf dem Rand der Kugel liegt, also $|x|=R$ ist, und der Normalenvektor in $x$ der Vektor $n=\frac1{R}\,x$ ist.
\bea
\nabla_x |x-y| &=& \frac{1}{|x-y|}\,(x-y)\\
\nabla_x \frac1{|x-y|} &=& \frac{1}{|x-y|^3}\,(y-x)\\
\nabla_x N(x,y) &=& \frac1{4\pi\,R}\frac1{|x-y|^3}(R +a\,|y|)(y-x)\\
\frac{\partial N(x,y)}{\partial n} &=& \left\langle\nabla_x N(x,y), \frac{x}R\right\rangle = \frac1{4\pi\,R^2}\frac1{|x-y|^3}(R +a\,|y|)(\langle y,x\rangle -R^2)=\frac3{4\pi\,R^2}\\
R +a\,|y| &=& \frac{3|x-y|^3}{\langle y,x\rangle -R^2}
\eea
Setzt man dies in (8) ein, so folgt
\[N(x,y) = \frac{3}{4\pi\,R}\frac{|x-y|^2}{\skl{x,y}-R^2}\]
bzw.
\[ u(y)= - \frac{3}{4\pi\,R}\int_{|x|=R}\,\frac{|x-y|^2}{\skl{x,y}-R^2}\,h(x)\,do_x + const \]
\een


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 348: Separation für EW-Problem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie durch Separation der Variablen die Eigenwerte und Eigenfunktionen
des Rand-Eigenwertproblems im Rechteck $R:=\left[0,a\right]\times\left[0,b\right]\subseteq\mathbb{R},a,b>0$:
\bea
\Delta u &=& -\lambda u \quad\text{in}\quad R\\
u &=& 0 \quad\text{auf}\quad  \partial R
\eea

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 348}}\\

\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden. (Bilder einbinden)}
\end{center}

\begin{center}
$\frac{\partial^2 u\left(x,y\right)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u\left(x,y\right)}{\partial y^2}=-\lambda u\left(x,y\right) Y\left(y\right)$\\
\end{center}

Anwendung des Separationsansatzes:

\begin{center}
$u\left(x,y\right)=X\left(x\right)\cdot Y\left(y\right)$
\end{center}

Umformen:

\begin{eqnarray}
 &\lambda X(x)Y(y)=-\left(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{d^2}{dy^2}\right)X(x)Y(y) \>\>\>\>\>\>\>\>|\>:X(x)Y(y)&\\
 &\lambda = -\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{d^2}{dx^2}X(x)-\frac{1}{Y(y)}\cdot\frac{d^2}{dy^2}Y(y)&\\
 &\lambda + \frac{1}{Y(y)}\cdot\frac{d^2}{dy^2}Y(y)=-\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{d^2}{dx^2}X(x) = C&\\
 &C X(x) = -\frac{d^2}{dx^2}X(x)&
\end{eqnarray}

So wird eine gew\"ohnliche DGL erhalten, die nur noch von einer Variablen $x$ abh\"angt.\\

Deren L\"osung ist bekannt aus der Vorlesung ``Gew\"ohnliche Differentialgleichungen``:

 \begin{eqnarray}
 &X(x) = e^{ax} \>\>\>\>\> \mbox{einsetzen in} \>\>\>\>\> C X(x) = -\frac{d^2}{dx^2}X(x)\\
 &\longrightarrow \>\>\>\>\> C = -a^2 \>\>\>\>\> \longrightarrow \>\>\>\>\> a_{1/2}=\pm i\sqrt{C}&\\
 &\mbox{\bf Allgemeine L\"osung:} \>\>\>\>\> X(x)=c_1 e^{i\sqrt{C}x} + c_2 e^{-i\sqrt{C}x}
\end{eqnarray}

 Einsetzen der allgemeinen L\"osung an den Stellen der RB:
 
 \begin{eqnarray}
 &X(0) = c_1 e^{i\sqrt{C}0} + c_2 e^{-i\sqrt{C}0}=c_1 + c_2 =0 \>\>\>\>\> \longrightarrow \>\>\>\>\> c_2 = -c_1&\\
 &X(l) = c_1 e^{i\sqrt{C}a} - c_1 e^{-i\sqrt{C}a} = c_1 \cdot \left(e^{i\sqrt{C}a} - 
e^{-i\sqrt{C}a} \right) = 0
\end{eqnarray}
$c_1$ sollte nicht $0$ sein, da ansonsten die triviale L\"osung $X(x)=0$ erhalten wird. Demzufolge muss der Ausdruck in Klammern $0$ sein und $c_1$
 kann beliebig gew\"ahlt werden, d.h. die L\"osung der Differenzialgleichung ist:
\begin{eqnarray}
 X(x)= c \cdot \left(e^{i\sqrt{C}x} - e^{-i\sqrt{C}x} \right) \>\>\>\>\>\>\>\>\>\> c\in\mathbb{R}\mbox{ und } c\neq0 
\end{eqnarray}

Aufgrund der Randbedingung $X(a)=0$ muss folgendes gelten:

\begin{eqnarray}
\left(e^{i\sqrt{C}a} - e^{-i\sqrt{C}a} \right) = 0
\end{eqnarray}
Mit Hilfe der Eulerbeziehung $\left(\sin \phi = \frac{e^{i\phi}-e^{-i\phi}}{2i}\right)$ l\"asst sich dieses umformen zu:
\begin{eqnarray}
 \left(e^{i\sqrt{C}a} - e^{-i\sqrt{C}a} \right) = 2i \sin \left( \sqrt{C} a\right) = 0
\end{eqnarray}
Der Sinus ist nur bei einem ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ Null. Demzufolge muss gelten:
\begin{eqnarray}
 &\sqrt{C} a = n_x\pi \>\>\>\>\>\>\>\>\>\> n_x\in \mathbb{Z} \mbox{ und } n_x \neq 0&\\
 &\longrightarrow \>\>\>\>\> C = \frac{n_x^2\pi^2}{a^2}
\end{eqnarray}
Die Randbedingung f\"uhrt also zu einer Quantisierung der Eigenwerte.

Die speziellen L\"osungen des eindimensionalen Eigenwertproblems $C X(x) = -\frac{d^2}{dx^2}X(x)$ unter den gegebenen Randbedingungen lauten also:

\begin{eqnarray}
X(x)=c\cdot\sin\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\>\>\>\>\>\>\>\>\>\> n_x\in \mathbb{Z} \mbox{ und } n_x \neq 0
\end{eqnarray}

L\"ose analog die y-Abh\"angigkeit aus dem Separationsansatz unter Verwendung des oben erhaltenen Ausdruckes f\"ur die Separationskonstante C.\\

Erhalte die L\"osung f\"ur das zweidimensionale Problem:

\begin{eqnarray}
 u\left(x,y\right) = c\cdot \sin\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\sin\left(\frac{\pi}{b}n_yy\right)\>\>\>\> n_x,n_y\in \mathbb{Z} \mbox{ und } n_x,n_y \neq 0
\end{eqnarray}

Bestimme die Eigenwerte des zweidimensionalen Problems:

\begin{eqnarray}
 &\lambda\sin\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\sin\left(\frac{\pi}{b}n_yy\right) 
= -\left(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{d^2}{dy^2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\sin\left(\frac{\pi}{b}n_yy\right)&\\
 &\lambda\sin\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\sin\left(\frac{\pi}{b}n_yy\right) 
=  -\frac{\pi}{\sqrt{ab}}\cdot\left(n_x\frac{d}{dx}+n_y\frac{d}{dy}\right) \cos\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\cos
\left(\frac{\pi}{b}n_yy\right)&\\
 &\lambda\sin\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\sin\left(\frac{\pi}{b}n_yy\right) =  \frac{\pi^2}{ab}
\cdot\left(n_x^2+n_y^2\right) \sin\left(\frac{\pi}{a}n_xx\right)\sin\left(\frac{\pi}{b}n_yy\right)&\\
 &\lambda=\frac{\pi^2}{ab}\left(n_x^2+n_y^2\right)&
\end{eqnarray}

% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 349: Separationsansatz im Kreis
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Wir betrachten das Randwert--Problem für die Laplace--Gleichung {\sl (Dirichlet--Problem) } in einem Gebiet $\Omega $ des
$\mathbb{R} ^2$ für eine Funktion $f\in C(\partial \Omega )$,
\begin{eqnarray*}
{\bf (P)} 
 & & u\in C(\overline{\Omega })\cap C^2 (\Omega ),
 \\
  & & 
\Delta u \equiv u_{xx} + u_{yy} =0 \quad \mbox{in }\ \Omega ,
\\
 & & u=f \mbox{ auf $\partial \Omega $.}
 \end{eqnarray*}  
Lösen Sie {\bf (P)} in der Einheitskreisscheibe 
$B_1 := \{ {\bf x}:\, \Vert {\bf x} \Vert <1 \} $
 für die folgenden Randverteilungen:
\qquad  {\bf (a)} $f_1 (x,y)=1 $,\qquad  {\bf (b)} $f_2 (x,y)= x^3 $.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 349}}\\
\begin{description}
	\item[Herleitung der Formeln:] 
Wir rechnen den Laplace-Operator auf Polarkoordinaten um. Mit
\[		x=r\, \cos \varphi, \ y=r\,\sin \varphi,\  	r(x,\,y)=\sqrt{x^2+y^2},\ \varphi (x,y) =\begin{cases} \arctan\frac {y}{x}  & \text{falls } x>0\\ \sign(y)\,\pi/2 & \text{falls } x=0\\ \pi-\arctan\frac {y}{-x}=\pi+\arctan\frac{y}{x}  & \text{falls } x<0\end{cases}\]
sowie
\[ r_x=\frac{x}{r},\ r_{xx}=\frac{y^2}{r^3},\ r_y=\frac{y}{r},\ r_{yy}=\frac{x^2}{r^3},\  \vp_x=\frac{-y}{r^2},\ \vp_{xx}=\frac{2xy}{r^4},\ \vp_y=\frac{x}{r^2},\ \vp_{yy}=\frac{-2xy}{r^4}.\]
Nun ist mit $u(x,y) = v(r(x,y),\vp(x,y))$ 
\bea 
u_x &=& v_r\,r_x + v_\vp\,\vp_x,\ u_{xx}=v_{rr}\,r_x^2 + v_r\,r_{xx} + v_{\vp\vp}\,\vp_x^2 + v_\vp\,\vp_{xx},\\
u_y &=& v_r\,r_y + v_\vp\,\vp_y,\ u_{yy}=v_{rr}\,r_y^2 + v_r\,r_{yy} + v_{\vp\vp}\,\vp_y^2 + v_\vp\,\vp_{yy}.
\eea
Addition und Einsetzen der Formeln von oben ergibt
\[\Delta u(x,y) = v_{rr}(r,\vp) + \frac{1}{r}\,v_r(r,\vp) + \frac{1}{r^2}\,v_{\vp\vp}(r,\vp) = 0. \]
Wir suchen nun Lösungen in der Form $v(r, \vp) = w(r)\,z(\vp)$. Einsetzen in die \dgl, Division durch $w\,z$ und Multiplikation mit $r^2$ ergibt
\[\frac{r^2\,w''(r)+r\,w'(r)}{w(r)} = - \frac{z''(\vp)}{z(\vp)} = C,\]
denn da der linke Ausdruck nur von $r$, der rechte aber nur von $\vp$ abhängt, müssen sie konstant sein. Wir erhalten also die beiden gewöhnlichen Randwertprobleme 
\[z'' + C\,z = 0,\ z(0)=z(2\pi) \quad \text{und} \quad r^2\, w'' + r\, w' - C\,w =0,\  w(1)=f.\]
Wegen der $2\pi$-Periodizität von $z$ muss $C>0$ sein und es kommen nur Werte $C=k^2, k \in \N$ in Frage, die allgemeine Lösung für ein festes $k$ ist also
\[  z_k(\vp) = a_k\,\cos(k \vp) + b_k\,\sin(k \vp).\]
Die Substitution $r=\e^s,\ \tilde{w}(s):=w(\e^s)$ führt auf $\tilde{w}'(s) = w'(r)\,r,\ \tilde{w}''(s)=w''(r)\,r^2 + w'(r)\,r$, also wird die \dgl\ zu 
\[\tilde{w}'' - k^2\,\tilde{z}=0\]
mit der allgemeinen Lösung
\[\tilde{w}_k(s) = c_k\,\e^{ks} + d_k\,\e^{-ks}\quad\text{bzw}\quad w_k(t)=c_k\,r^k + d_k\,r^{-k}.\] 
Da $w$ stetig sein soll, muss noch $d_k=0$ sein, wir erhalten also durch Superposition die allgemeine Lösung
\[ v(r,\vp) = \sum_{k=0}^\infty\,w_k(r)\,z_k(\vp) =  \sum_{k=0}^\infty\, \rkl{A_k\,\cos(k \vp) + B_k\,\sin(k \vp)}\,r^k.\]
Das Randwertproblem lautet dann
\[ v(1,\vp) = \sum_{k=0}^\infty\, \rkl{A_k\,\cos(k \vp) + B_k\,\sin(k \vp)} = f(\cos \vp, \sin \vp),\]
man muss also eine Fourierentwicklung von $f(\cos \vp, \sin \vp)$ ausführen.
\item[Bearbeitung der konkreten Randwertaufgaben:]
\begin{enumerate}
	\item Es ist $1 = f_1(\cos \vp, \sin \vp) = A_0,\ A_k=B_k=0$ für $k>0$, also $u(x,y) = v(r,\vp) \equiv 1$. Diese Lösung hätte man auch erraten können. Wegen der eindeutigen Lösbarkeit des Dirichlet-Problems ist dies die einzige Lösung.
	\item \[x^3(1,\vp) = f_2(\cos \vp, \sin \vp) = \cos^3\vp \overset{\text{Additionstheorem}}{=} \frac{3}{4}\cos \vp + \frac{1}{4}\cos (3\vp),\] 
	also $A_1=3/4,\ A_3=1/4, A_k=B_k=0$ sonst, d.~h.
	\bea
	v(r,\vp) &=& \frac{3}{4}\,r\,\cos \vp + \frac{1}{4}\,r^3\,\cos (3\vp)\\
	&\overset{\text{Additionstheorem}}{=}& \frac{3}{4}\,r\,\cos \vp + \frac{1}{4}\,r^3\,\rkl{4 \cos^3 \vp - 3 \cos \vp}\\
	&=& \frac{3}{4}\,r\,\cos \vp + r^3\,\cos^3 \vp - \frac{3}{4}\,r^2\,r\, \cos \vp\\
	&=& \frac{3}{4}\,x + x^3 - \frac{3}{4}\,x\,(x^2+y^2)\\
	&=& \frac{3}{4}\,x + \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}\,x\,y^2 =u(x,y).\\
 \eea
\end{enumerate}
\item[Lösung mit der Poisson-Formel] Mit ${\bf x}= (x_1,x_2),\ {\bf y}= (y_1,y_2)$ Lautet die Poisson-Formel für den Einheitskreis
$$
u({\bf x}) = \frac{1 -\Vert {\bf x} \Vert ^2 }{2\pi} 
\int_{\Vert {\bf y} \Vert =1 } \frac{ f({\bf y}) }{\Vert {\bf x} -{\bf y} \Vert ^2 } \, ds ({\bf y}).
$$   
Eine Parametrisierung des Randes durch Polar-Koordinaten $y_1=\cos \vp, y_2=\sin \vp$ ergibt
$$
u(x_1,x_2) = \frac{1 -x_1^2 -x_2^2}{2\pi} 
\int_0^{2\pi}\, \frac{ f(\cos \vp, \sin\vp) }{x_1^2+x_2^2+1 -2x_1\cos\vp -2 x_2\sin \vp } \, d\vp.
$$   
Für unsere Beispiele lassen wir die Integrale von Maple berechnen \\
\includegraphics[scale=0.5]{lImage047}
und erhalten
\begin{enumerate}
	\item 
	\bea
u(x_1,x_2) &=& \frac{1 -x_1^2 -x_2^2}{2\pi} 
\int_0^{2\pi}\, \frac{ 1 }{x_1^2+x_2^2+1 -2x_1\cos\vp -2 x_2\sin \vp } \, d\vp\\ 
&=& \frac{1 -x_1^2 -x_2^2}{2\pi}  \frac{2\pi} {1 -x_1^2 -x_2^2}{2\pi} =1.
	\eea
	und 
	\item 
		\bea
&&u(x_1,x_2)\\
 &=& \frac{1 -x_1^2 -x_2^2}{2\pi} 
\int_0^{2\pi}\, \frac{ \cos^3\vp }{x_1^2+x_2^2+1 -2x_1\cos\vp -2 x_2\sin \vp } \, d\vp\\
&=& -\frac{\pi x_1}{4}\frac{1 -x_1^2 -x_2^2}{2\pi} \frac{2\rkl{x_1^8-6x_1^4x_2^4 -8x_1^2x_2^6-3x_2^8 +3x_1^6+9x_1^2x_2^4+9x_1^4x_2^2  +3x_2^6 }}{x_1^8 +4x_1^6x_2^2+6x_1^4x_2^4 +4x_1^2x_2^6 +x_2^8 -x_1^6-3x_1^4x_2^2 -3x_1^2x_2^4-x_2^6}\\
&=& \frac{x_1}{4}\frac{\rkl{x_1^2 +x_2^2-1}\rkl{x_1^8-6x_1^4x_2^4 -8x_1^2x_2^6-3x_2^8 +3x_1^6+9x_1^2x_2^4+9x_1^4x_2^2  +3x_2^6 }}{\rkl{x_1^8 + x_1^6x_2^2  -x_1^6} +3\rkl{ x_1^6x_2^2+x_1^4x_2^4-x_1^4x_2^2} +3\rkl{x_1^4x_2^4 +x_1^2x_2^6-x_1^2x_2^4}+\rkl{x_1^2x_2^6+x_2^8 -x_2^6}}\\
&=& \frac{x_1}{4}\frac{\rkl{x_1^2 +x_2^2-1}\rkl{x_1^8-6x_1^4x_2^4 -8x_1^2x_2^6-3x_2^8 +3x_1^6+9x_1^2x_2^4+9x_1^4x_2^2  +3x_2^6 }}{x_1^6\rkl{x_1^2 + x_2^2  -1} +3x_1^4x_2^2\rkl{ x_1^2+x_2^2-1} +3x_1^2x_2^4\rkl{x_1^2 +x_2^2-1}+x_2^6\rkl{x_1^2+x_2^2 -1}}\\
&=& \frac{x_1}{4}\frac{x_1^8-6x_1^4x_2^4 -8x_1^2x_2^6-3x_2^8 +3x_1^6+9x_1^2x_2^4+9x_1^4x_2^2  +3x_2^6 }{x_1^6+3x_1^4x_2^2 +3x_1^2x_2^4+x_2^6}\\
&=& \frac{x_1}{4}\frac{\rkl{x_1^8+3x_1^6x_2^2+3x_1^4x_2^4+x_1^2x_2^6}-\rkl{3x_1^6x_2^2+9x_1^4x_2^4 +9x_1^2x_2^6+3x_2^8} +3x_1^6+9x_1^2x_2^4+9x_1^4x_2^2  +3x_2^6 }{x_1^6+3x_1^4x_2^2 +3x_1^2x_2^4+x_2^6}\\
	&=& \frac{x_1}{4}\frac{x_1^2\rkl{x_1^6+3x_1^4x_2^2+3x_1^2x_2^4+x_2^6}-3x_2^2\rkl{x_1^6+3x_1^4x_2^2 +3x_1^2x_2^4+x_2^6} +3\rkl{x_1^6+3x_1^2x_2^4+3x_1^4x_2^2  +x_2^6} }{x_1^6+3x_1^4x_2^2 +3x_1^2x_2^4+x_2^6}\\
	&=&\frac{x_1}{4} \rkl{x_1^2-3x_2^2+3}.
\eea

\end{enumerate}
\end{description}




% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 350: Temperaturverteilung auf Kugelschale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine sphärische Schale mit dem inneren Radius 1 und dem äußeren Radius 2
habe eine stationäre (d. h. zeitunabhängige) Temperaturverteilung. Die innere Randfläche
werde auf einer Temperatur von 100°C gehalten, auf dem äußeren Rand gelte $\frac{\partial u}{\partial n}=\gamma$, wobei $n$ die äußere Normale und $\gamma < 0$ konstant ist.
\ben
\item Bestimmen Sie die Temperaturverteilung in der Schale.
\item Kann $\gamma$ so gewählt werden, dass die Temperatur auf dem äußeren Rand 20°C beträgt?
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 350}}\\
\ben
\item Gesucht ist eine Lösung $T=T(x,y,z)$ von 
$$\Delta T = 0 \qquad\mbox{in}\quad B_2(0)\backslash B_1(0) \subset \Rx{3}$$
unter den Randbedingungen
$$T=100\qquad\mbox{auf}\quad \partial B_1(0)\qquad\mbox{und}\qquad \frac{\partial T}{\partial n}=\gamma \qquad\mbox{auf}\quad \partial B_2(0).$$

Geht man zu Kugelkoordinaten über und sucht nach rotationssymmetrischen Lösungen $T=T(r)$, da ja die Randwerte ebenfalls rotationssymmetrisch sind, so erhält man die gewöhnliche \dgl
$$T''(r) +\frac{2}{r}T'(r) = 0\quad\mbox{für}\quad 1<r<2$$
unter den Randbedingungen
$$T(1)=100 \qquad\mbox{und}\qquad T'(2)=\gamma.$$

Wir haben hierbei noch ausgenutzt, dass die (partielle) Ableitung nach $r$ in Kugelkoordinaten gerade der Normalableitung auf der Kugeloberfläche entspricht.

Mit $u(r)=T'(r)$ erhält man die gewöhnliche \dgl 
$$u' +\frac{2}{r}u = 0,$$
deren allgemeine Lösung
$$T'(r)=\frac{c}{r^2}$$
durch Trennung der Variablen erhalten werden kann. Aus der zweiten Randbedingung folgt noch $\frac{c}{4}=\gamma$ bzw. $c=4\gamma$.

Nochmaliges Integrieren führt auf $T(r) = - \frac{4\gamma}{r}+d$
und aus der ersten Randbedingung erhält man schließlich $d=100+4\gamma$, d.h. die rotationssymmetrische Temperaturverteilung in der Kugelschale wird beschrieben durch die Funktion 
$$T(r) = - \frac{4\gamma}{r}+100+4\gamma.$$

\item Soll $T(2)=-2\gamma+100+4\gamma=20$ sein, dann muss $\gamma=-40$ gewählt werden.
\een

% Ende der Lösung
\newpage
\section{ hyperbolische DGLs }
\subsection{ Wellengleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 351: Eingespannte Saite
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine homogene, an $x=0,x=l$ eingespannte Saite
habe zum Zeitpunkt  $t=0$ die Form einer Parabel, die bzgl. der in $x=\frac{l}{2}$
erreichten Senkrechten symmetrisch die Höhe $h$ hat.
Suchen die Auslenkung $u=u(t,x)$ eines
Punktes der Saite von der geradlinigen
Gleichgewichtslage unter der Voraussetzung,
dass die Anfangsgeschwindigkeit $=0$ ist.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.4]{aImage027}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 351}}\\
\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden!}
\end{center}


Wir nutzen den Hinweis, dass $u$ einer Wellengleichung (lineare,
part. Dgl. 2. Ord) genügt
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} & = & a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\qquad,a=const.>0,t>0
\end{eqnarray*}


Anfangsbedingungen
\begin{eqnarray*}
u(0,x) & = & \varphi(x)\\
u_{t}(0,x) & = & \psi(x)=0\qquad\qquad {0\le x\le l}
\end{eqnarray*}
Randbedingungen
\begin{eqnarray*}
u(t,0) & = & 0\\
u(t,l) & = & 0\qquad\qquad^{t>0}
\end{eqnarray*}


Wir bestimmen die Anfangsauslenkung $\varphi(x)$, eine quadratische
Parabel:
\begin{eqnarray*}
\varphi(x) & = & ax^{2}+bx+c\\
\varphi(0) & = & a0^{2}+b0+c=c\overset{!}{=} 0\quad\Rightarrow\quad c=0\\
\varphi(l) & = & al^{2}+bl\overset{!}{=}0\\
\varphi(\frac{l}{2}) & = & a(\frac{l}{2})^{2}+b(\frac{l}{2})\overset{!}{=}h
\end{eqnarray*}
Aus diesen Gleichungen ergeben sich die Koeffizienten $a,b$.
\begin{eqnarray*}
al+b=0 &  & \qquad\qquad\qquad\overset{a=-\frac{4h}{l^{2}}}{\Longrightarrow}\quad b=\frac{4h}{l}\\
al^{2}+2bl=4h & \Rightarrow & a=-\frac{4h}{l^{2}}\qquad\qquad\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\varphi(x)=-\frac{4h}{l^{2}}x^{2}+\frac{4h}{l}x=\frac{4h}{l^{2}}x(l-x)
\end{eqnarray*}


Suchen Lösung gemäß Separationsansatz in Gestalt
\[
u(t,x)=T(t)X(x)
\]
Einsetzen in DGL liefert dann Wellengleichung
\begin{eqnarray*}
X''T & = & \frac{1}{a^{2}}T''X\\
\frac{X''(x)}{X(x)} & = & \frac{1}{a^{2}}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\lambda\qquad,\lambda=const.
\end{eqnarray*}
Wir erhalten dann zur Bestimmung von $X(x)$ und $T(t)$ die gew.
Differenzialgleichungen
\begin{eqnarray*}
X''(x)+\lambda X(x) & = & 0\\
T''(t)+a^{2}\lambda T(t) & = & 0
\end{eqnarray*}
Unter Beachtung der Randbedingungen erhalten wir
\begin{eqnarray*}
u(t,0) & = & T(t)X(0)=0\\
u(t,l) & = & T(t)X(l)=0
\end{eqnarray*}
Also muss $X(x)$ den zusätzlichen Bedingungen 
\[
X(0)=X(l)=0
\]
genügen, sonst $T\equiv0\quad\Rightarrow\quad,u(t,x)\equiv0$. Wollen
aber nichttriviale Lösung. Keine Zusatzbedingungen für $T(t)$.

Betrachten Eigenwert-Problem und führen dann Fallunterscheidung für
$\lambda$ durch
\begin{eqnarray*}
X''(x)+\lambda X(x) & = & 0\\
X'(0)=X(0) & = & 0
\end{eqnarray*}

\begin{description}
\item [{Fall$\;\lambda<0$}] Bekommen keine nichttriviale Lösung, denn
wegen der charakteristischen Gleichung ist
\[
p^{2}+(-\lambda)=0\quad\Rightarrow\quad p_{1}=\sqrt{-\lambda},\quad p_{2}=-\sqrt{-\lambda}\qquad\Rightarrow\quad X(x)=C_{1}e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_{2}e^{-\sqrt{-\lambda}x}
\]
Aus den Randbedingungen 
\begin{eqnarray*}
X(0)=C_{1}+C_{2}=0 & \quad\Rightarrow\quad & C_{1}=-C_{2}\\
X(l)=C_{1}e^{\sqrt{-\lambda}l}+C_{2}e^{-\sqrt{-\lambda}l}=0\quad\overset{C_{1}=-C_{2}}{\Rightarrow}\quad C_{2}(e^{\sqrt{-\lambda}l}-e^{-\sqrt{-\lambda}l}) & \Rightarrow & C_{2}=C_{1}=0
\end{eqnarray*}
Also $X(x)\equiv0$
\item [{Fall$\;\lambda=0$}] Bekommen keine nichttriviale Lösung, denn
\[
X(x)=ax+b
\]
mit Randbedingungen folgt $X(0)=b=0\quad\Rightarrow\quad X(l)=0=al\quad\Rightarrow\quad a=0\quad\Rightarrow\quad X(x)\equiv0$
\item [{Fall$\;\lambda>0$}] Die charakteristische Gleichung liefert Lösung
für $X$
\[
p^{2}+\lambda=0\quad\Rightarrow\quad p_{1,2}=\pm i\sqrt{\lambda}\qquad\Longrightarrow\qquad X(x)=C_{1}\cos\sqrt{\lambda}x+C_{2}\sin\sqrt{\lambda}x
\]
Mit Randbedingungen erhalten wir
\[
X(0)=C_{1}=0\quad\Longrightarrow\quad X(x)=C_{2}\sin\sqrt{\lambda}x\quad\Longrightarrow\quad X(l)=C_{2}\sin\sqrt{\lambda}l=0
\]
\[
X(x)\not\equiv0\quad\Rightarrow\quad C_{2}\ne0\quad\Rightarrow\quad\sin\sqrt{\lambda}l=0\quad\Rightarrow\quad\sqrt{\lambda}=\frac{\pi n}{l}\quad,n\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad\lambda_{n}=(\frac{\pi n}{l})^{2}
\]
Damit erhalten wir die Eigen(wert)funktion zum Eigenwert $\lambda_{n}=(\frac{\pi n}{l})^{2}$
\[
X_{n}(x)=\sin\frac{\pi n}{l}x
\]
welche bis auf Faktoren eindeutig bestimmt ist.
\end{description}

Bestimmen dann für Eigenwerte $\lambda_{n}=(\frac{\pi n}{l})^{2}$
\[
T''(t)+a^{2}(\frac{\pi n}{l})^{2}T(t)=0\quad\Rightarrow\quad p^{2}+(\frac{\pi n}{l}a)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad p=\pm(\frac{\pi n}{l}a)i
\]
die zugehörigen Lösungen
\[
T_{n}(t)=a_{n}\cos\frac{\pi n}{l}at+b_{n}\sin\frac{\pi n}{l}at
\]
Wir erhalten so die speziellen Lösungen der Wellengleichung
\[
u_{n}(t,x)=T_{n}(t)X_{n}(x)=(a_{n}\cos\frac{\pi n}{l}at+b_{n}\sin\frac{\pi n}{l}at)\sin\frac{\pi n}{l}x
\]
wobei sich $a_{n},b_{n}$ aus den Anfangsbedingungen ergeben.

Nun ist die Lösung des Anfangs-Randwert-Problem die Summe der speziellen
Lösungen
\[
u(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty}((a_{n}\cos\frac{\pi n}{l}at+b_{n}\sin\frac{\pi n}{l}at)\sin\frac{\pi n}{l}x)
\]
Mit den Anfangsbedingungen folgt 
\begin{eqnarray*}
u(0,x) & = & \sum_{n=1}^{\infty}((\underset{=1}{\underbrace{a_{n}\cos\frac{\pi n}{l}a\cdot0}}+\underset{=0}{\underbrace{b_{n}\sin\frac{\pi n}{l}a\cdot0}})\sin\frac{\pi n}{l}x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin\frac{\pi n}{l}x\overset{!}{\underset{\mbox{Nach Vorbetr}}{=}}\varphi(x)=\frac{4h}{l^{2}}x(l-x)
\end{eqnarray*}


Wir erinnern uns an die Vorlesung und speziell an folgenden Satz:\\
Sei $\partial G$ hinreichend glatt. Dann
\begin{itemize}
\item $0<\lambda_{1}\le\lambda_{2}\le\ldots,\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\lambda_{n}=\infty$,
jeder Eigenwert hat endliche Vielfachheit
\item Die zugehörigen Eigenfunktionen können vollständiges Orthonormalsystem
im $L^{2}(G)$ gewählt werden. Jede $L^{2}$-Funktion kann in eine
Fourierreihe nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden.
\end{itemize}
$T_{n}=\frac{2\pi}{\sqrt{\lambda_{n}}}$ sind
Perioden der Eigenschwingung. Seien $b_{i}$ die Eigenfkt. zu $\lambda_{i}$
als vollst. ONS im $L^{2}(G)$. Dann
\[
u(t,x)=\sum_{i=1}^{\infty}(c_{i}\sin\sqrt{\lambda_{i}}t+d_{i}\cos\sqrt{\lambda_{i}}t)b_{i}(x)\qquad\mbox{mit zu bestimmenden }c_{i},d_{i}\in\mathbb{R}
\]


Aus den Bemerkungen zur Theorie der Fourierreihen wissen wir, dass
jede stückweise stetig differenzierbare Funktion $f(x)$, welche im
Intervall $0\le x\le l$ definiert ist, sich in Fourierreihe
\[
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}\sin\frac{\pi n}{l}x\qquad\qquad,f_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(\xi)\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi
\]
entwickeln lässt (Um das Integral zu verstehen, beachten wir das Skalarprodukt
$\left<\varphi,\mbox{Eigenfunktion}\right>$ (inneres Produkt) auf
dem Raum $L^{2}(G)$ der auf $G$ quadratisch integrierbaren Funktionen).
Angewendet auf unser Anfangs-Wert-Problem folgt also

\[
\varphi(x)=\frac{4h}{l^{2}}x(l-x)\overset{!}{=}\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}\sin\frac{\pi n}{l}x\quad\Rightarrow\quad\varphi_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}\frac{4h}{l^{2}}\xi(l-\xi)\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi\quad\Rightarrow\quad a_{n}=\varphi_{n}
\]


Wir betsimmen nun $a_{n}$ :
\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & \frac{2}{l}\int_{0}^{l}\frac{4h}{l^{2}}\xi(l-\xi)\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi\quad=\quad\frac{8h}{l^{3}}\int_{0}^{l}(l\xi-\xi^{2})\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi\\
 & = & \frac{8h}{l^{3}}\left(l\int_{0}^{l}(\xi\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi-\int_{0}^{l}(\xi^{2}\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi)\right)\\
 & \overset{\mbox{NR 1,2}}{=} & \frac{8h}{l^{3}}\left(\underset{=0}{\underbrace{l\frac{l^{2}}{\pi n}(-1)^{n+1}-\frac{l^{3}}{\pi n}(-1)^{n+1}}}-2(\frac{l}{\pi n})^{3}((-1)^{n}-1)\right)\\
 & = & -\frac{16h}{l^{3}}(\frac{l}{\pi n})^{3}((-1)^{n}-1)=-\frac{16h}{(\pi n)^{3}}\underset{\mbox{beachte }\overset{n=2m}{=0}}{\underbrace{((-1)^{n}-1)}}\overset{}{=}\frac{32h}{\pi^{3}(2n+1)^{3}}
\end{eqnarray*}


Nebenrechnung NR 1

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{l}\xi\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi & = & \left[\xi(-\frac{l}{\pi n}\cos(\frac{\pi n}{l}\xi))\right]_{0}^{l}-\int_{0}^{l}-\frac{l}{\pi n}\cos(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi\\
 & = & \left[l(-\frac{l}{\pi n}\underset{=(-1)^{n}}{\underbrace{\cos(\frac{\pi n}{l}l))}}+0\right]+\int_{0}^{l}\frac{l}{\pi n}\cos(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi=-\frac{l^{2}}{\pi n}(-1)^{n}+\frac{l^{2}}{(\pi n)^{2}}\left[\underset{=0}{\underbrace{\sin\frac{\pi n}{l}\xi}}\right]_{0}^{l}=\frac{l^{2}}{\pi n}(-1)^{n+1}
\end{eqnarray*}


Nebenrechnung NR 2

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{l}\xi^{2}\sin(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi & = & \left[\xi^{2}(\frac{-l}{\pi n})\cos(\frac{\pi n}{l}\xi)\right]_{0}^{l}-\int_{0}^{l}2\xi(\frac{-l}{\pi n})\cos(\frac{\pi n}{l}\xi)d\xi\\
 & = & [-\frac{l}{\pi n}(-l^{2})\underset{=(-1)^{n}}{\underbrace{\cos\frac{\pi n}{l}l}}+\underset{=0}{\underbrace{\frac{l}{\pi n}0^{2}\cos\frac{\pi n}{l}0}}]+\frac{2l}{\pi n}\int_{0}^{l}\xi\cos\frac{\pi n}{l}\xi d\xi\\
 & = & -\frac{l^{3}}{\pi n}(-1)^{n}+\frac{2l}{\pi n}\left(\left[\xi(\frac{l}{\pi n})\sin\frac{\pi n}{l}\xi\right]_{0}^{l}-\int_{0}^{l}(\frac{l}{\pi n})\sin\frac{\pi n}{l}\xi d\xi\right)\\
 & = & \frac{l^{3}}{\pi n}(-1)^{n+1}+2(\frac{l}{\pi n})^{3}\left(\cos\pi n-\cos0\right)=(-1)^{n+1}\frac{l^{3}}{\pi n}+2(\frac{l}{\pi n})^{3}\underset{\mbox{beachte }\overset{n=2m}{=0}}{\underbrace{((-1)^{n}-1)}}
\end{eqnarray*}


Wir können nun unsere Lösung zusammensetzen
\[
u_{t}(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left((-\frac{\pi n}{l}a)a_{n}\sin(\frac{\pi n}{l}at)+(\frac{\pi n}{l}a)b_{n}\cos(\frac{\pi n}{l}at)\right)\sin\frac{\pi n}{l}x
\]
und wegen
\[
u_{t}(0,x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left((\frac{\pi n}{l}a)b_{n}\cos(\frac{\pi n}{l}a\cdot0)\right)\sin\frac{\pi n}{l}x\quad\overset{!}{=}\quad0\quad\Rightarrow\quad b_{n}=0
\]
verschwindet der Koeffizient $b_{n}$. Dann erhalten wir mit $a_{n}=\frac{32h}{\pi^{3}(2n+1)^{3}}$
die Lösung des Anfangs-Randwertproblems
\[
u(t,x)=\frac{32h}{\pi^{3}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{3}}\cos(\frac{\pi(2n+1)}{l}at)\sin(\frac{\pi(2n+1)}{l}x)
\]



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 352: Parallelogrammbedingung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Lösung $u = u(t, x)$ des charakteristischen Anfangswertproblems
für die eindimensionale Wellengleichung
\begin{equation}
	u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0.
\end{equation}
Genauer: Auf zwei sich schneidenden Charakteristiken
$$x + at = \alpha,\ x - at = \beta$$
seien die Werte der gesuchten Funktion $u$ vorgegeben:
$$u(t, \alpha - at) = f(t),\ u(t, \beta + at) = g(t)$$
mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $f, g$, so dass im Schnittpunkt der Charakteristiken
die Werte übereinstimmen.
\ben
\item Bestimmen Sie die Lösung $u$ in Abhängigkeit von den Funktionen $f$ und $g$.
\item Bestätigen Sie für $u$ die Formel
$$u(t_0, x_0) + u(t_1, x_1) = u(t_2, x_2) + u(t_3, x_3)$$
für jedes "`charakteristische Parallelogramm"', d. h. $(t_0, x_0), (t_1, x_1)$ und $(t_2, x_2), (t_3, x_3)$
sind gegenüberliegende Eckpunkte in einem Parallelogramm, dessen Seiten auf Charakteristiken
der Wellengleichung liegen.
\item Zeigen Sie umgekehrt, dass jede dreimal stetig differenzierbare Funktion $u = u(t, x)$, die
die Eigenschaft b) für alle charakteristischen Parallelogramme besitzt, eine Lösung der
Wellengleichung ist.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 352}}\\
\ben
\item  Die Koordinatentransformation 
$$ \xi= x+at,\; \eta=x-at,\; \bar{u}(\xi(t,x),\eta(t,x))=u(t,x)$$
führt auf
\bea
u_x &=& \bar{u}_\xi + \bar{u}_\eta,\\
u_{xx} &=& \bar{u}_{\xi\xi} + 2\bar{u}_{\xi\eta} + \bar{u}_{\eta\eta},\\ 
u_t &=& a\,\bar{u}_\xi -a\,\bar{u}_\eta\\
u_{tt} &=& a^2\,\bar{u}_{\xi\xi} -2a^2\,\bar{u}_{\xi\eta} + a^2\,\bar{u}_{\eta\eta},\\
u_{tt} - a^2\,u_{xx} &=& -4\,a^2\,\bar{u}_{\xi\eta} =0\\ 
\eea
d. h. die Differentialgleichung (1) ist äquivalent zur Differntialgleichung
\begin{equation}
\bar{u}_{\xi\eta} =0	
\end{equation}
mit der allgemeinen Lösung 
\begin{equation}
	\bar{u}(\xi, \eta) = \varphi(\xi) + \psi(\eta) \quad\mbox{bzw.}\quad u(t, x) = \varphi(x+at) + \psi(x-at)
\end{equation}
mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $\varphi$ und $\psi$.

Aus den Anfangsbedingungen ergibt sich nun noch
\bea
f(t) &=& u(t, \alpha -at) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha-2at)\\
g(t) &=& u(t, \beta +at) = \varphi(\beta+2at) + \psi(\beta).\\
\eea
Mit $\bar{x}=\alpha-2at$ bzw. $t=\frac{\beta -\bar{x}}{2a}$ und $\tilde{x}=\alpha+2at$ bzw. $t=\frac{\tilde{x}-\beta}{2a}$ folgt daraus
\bea
f(\frac{\alpha -\bar{x}}{2a}) &=& \varphi(\alpha) + \psi(\bar{x})\\
g(\frac{\tilde{x}-\beta}{2a}) &=& \varphi(\tilde{x}) + \psi(\beta)\qquad\mbox{bzw.}\\
\varphi(\tilde{x})+\psi(\bar{x})&=&f(\frac{\alpha -\bar{x}}{2a})+g(\frac{\tilde{x}-\beta}{2a})-\varphi(\alpha)-\psi(\beta).\\
\eea
Weiterhin ist im Schnittpunkt $(t_0, x_0)$ der beiden Charakteristiken
$$\alpha-at_0 = \beta +at_0 \quad\mbox{bzw.}\quad \alpha-2at_0 = \beta \quad\mbox{bzw.}\quad \alpha = \beta +2at_0 \quad\mbox{bzw.}\quad t_0=\frac{\alpha-\beta}{2a}$$
und
$$f(t_0) = g(t_0) = \varphi(\alpha) + \psi(\beta).$$
Aus (3) erhält man nun unter Verwendung der letzten Beziehung
\begin{equation}
	u(t,x)=f(\frac{\alpha -x+at}{2a})+g(\frac{x+at-\beta}{2a}) - f(\frac{\alpha-\beta}{2a})
\end{equation}
\item Nach Teil a) der Aufgabe kann die Funktion $u(t,x)$ in der Form 
$$ u(t,x) = \varphi (x+at) + \psi (x-at) $$ geschrieben werden.
Zu zeigen:
$$ u(t_0,x_0)+ u(t_1,x_1)=u(t_2,x_2)+u(t_3,x_3)$$

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(11.5,6.5)
 \put(0,1){\line(1,0){7}}
 \put(1,0){\line(1,3){2}} 
 \put(5,0){\line(1,3){2}}
 \put(1,5){\line(1,0){7}}
 \put(5.5,0.5){\parbox{2cm}{($t_3,x_3$)}}
 \put(1.52,4.5){\parbox{2cm}{($t_2,x_2$)}}
 \put(6.5,4.5){\parbox{2cm}{($t_1,x_1$)}}
 \put(0.5,0.5){\parbox{2cm}{($t_0,x_0$)}}

 \put(3,6){\parbox{3cm}{$x-at=\beta_1$}}
 \put(6,6){\parbox{3cm}{$x-at=\beta_2 $}}
 \put(8.5,5){\parbox{3cm}{$x+at=\alpha_1$}}
 \put(7.5,1){\parbox{3cm}{$x+at=\alpha_2$}}
\end{picture}

\bea
 u(t_0,x_0)+ u(t_1,x_1) & =& \varphi(\alpha_2)+ \psi(\beta_1)+\varphi(\alpha_1)+ \psi(\beta_2)\\
     & =& \varphi(\alpha_2)+ \psi(\beta_2)+\varphi(\alpha_1)+ \psi(\beta_1)\\
     & =& u(t_3,x_3)+ u(t_2,x_2)\\
\eea

\item Gegeben sei
$$ u(t_0,x_0)+ u(t_1,x_1)=u(t_2,x_2)+u(t_3,x_3) \; \forall x_i, t_i \in \R $$ 
Mit der Koordinatentransformation aus a) und den Bezeichnungen aus b) folgt $\forall x_i, t_i \in \R$
\bea
0 = u(t_0,x_0)+ u(t_1,x_1)-u(t_2,x_2)-u(t_3,x_3)&=&
\bar{u}(\alpha_2,\beta_1) + \bar{u}(\alpha_1, \beta_2)-\bar{u}(\alpha_1,\beta_1)-\bar{u}(\alpha_2, \beta_2)\\
&=&\bar{u}(\alpha_2,\beta_1)-\bar{u}(\alpha_1, \beta_1)-\left(\bar{u}(\alpha_2,\beta_2)-\bar{u}(\alpha_1, \beta_2)\right)\\ 
&=&\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \bar{u}_\xi(s,\beta_1)-\bar{u}_\xi(s,\beta_2)\;ds\\
&=&\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \int_{\beta_2}^{\beta_1} \bar{u}_{\xi \eta}(s,r) \; dr ds. \\
\eea
Da die Ableitung $\bar{u}_{\xi \eta}$ nach Voraussetzung stetig ist und die letzte Gleichung für alle $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ gelten muss, ist diese Gleichung äquivalent zur \dgl
$$  \bar{u}_{\xi \eta} = 0. $$
Wie bereits unter a) gezeigt wurde ist diese auch äquivalent zur \dgl (1).
\een


% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 353: Kugelkoordinaten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Rechnen Sie die Differentialoperatoren
\[
Lu = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} + c (u_{xy} + u_{xz} + u_{yz}),\quad c = \mathrm{const.} \in \mathbb{R}
\]
($x$, $y$, $z$ kartesische Koordinaten im $\mathbb{R}^3$) auf r\"{a}umliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
um.


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 353}}\\

\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden}
\end{center}

Definition Kugelkoordinaten \qquad \qquad \qquad \qquad Umrechnung:
\begin{equation}
\begin{array}{llll}
x&=r\sin\theta\cos\varphi&\qquad r&= \sqrt{x^2+y^2+z^2}=r(x,y,z)\\
y&=r\sin\theta\sin\varphi&\qquad \varphi&=\mathrm{atan} 2(y,x) = \varphi(x,y)\\
z&=r\cos\theta&\qquad \theta&=\arccos \frac{z}{r}=\theta(x,y,z)
\end{array}
\end{equation}
Alternativ:
\begin{equation}
\begin{array}{llll}
x&=r\cos\theta\cos\varphi&\qquad r&= \sqrt{x^2+y^2+z^2}=r(x,y,z)\\
y&=r\cos\theta\sin\varphi&\qquad \varphi&=\mathrm{atan} 2(y,x) = \varphi(x,y)\\
z&=r\sin\theta&\qquad \theta&=\arcsin \frac{z}{r} = \theta(x,y,z)
\end{array}
\end{equation}
$\varphi = \mathrm{atan} 2(y,x) = 
\begin{cases}
\arctan\left(\frac{y}{x}\right),&\qquad \mathrm{wenn}~x>0\\
\mathrm{sgn}(y)\frac{\pi}{2},&\qquad \mathrm{wenn}~x=0\\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,&\qquad \mathrm{wenn}~x<0 \wedge y \geq 0\\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi,&\qquad \mathrm{wenn}~x<0 \wedge y<0
\end{cases}$
\\

\begin{align}
r_x=&~\frac{1}{2} \cdot 2x (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r} = \sin\theta\cos\varphi\\
r_y=&~\frac{1}{2} \cdot 2y (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r} = \sin\theta\sin\varphi\\
r_z=&~\frac{1}{2} \cdot 2z (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r} = \cos\theta\\
&~\nonumber\\
\theta_x =&~\frac{xz}{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + z^2}}(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{xz}{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{r^2}}r^3} = \frac{xz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2} = \frac{\cos\varphi\cos\theta}{r}\\
\theta_y =&~\frac{yz}{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + z^2}}(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{yz}{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{r^2}}r^3} = \frac{yz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2} = \frac{\sin\varphi\cos\theta}{r}\\
\theta_z =&~-\frac{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + z^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = - \frac{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{r^2}}}{r} = - \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r}\\
&~\nonumber\\
\varphi_x =&~-\frac{y}{x^2 + y^2} = -\frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\\
\varphi_y =&~\frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\\
\varphi_z =&~0
\end{align}
\begin{align}
r_{xx} =&~\frac{y^2 + z^2}{r^3} = \frac{\sin^2\varphi\sin^2\theta + \cos^2\theta}{r}\\
r_{xy} =&~r_{yx} =- \frac{xy}{r^3} = -\frac{\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\theta}{r}\\
r_{yy} =&~\frac{x^2 + z^2}{r^3} = \frac{\cos^2\varphi\sin^2\theta + \cos^2\theta}{r}\\
&~\nonumber\\
r_{yz} =&~r_{zy} =- \frac{yz}{r^3} = -\frac{\sin\varphi\sin\theta\cos\theta}{r}\\
r_{zz} =&~\frac{x^2 + y^2}{r^3} = \frac{\sin^2\theta}{r}\\
r_{zx} =&~r_{xz} =- \frac{xz}{r^3} = -\frac{\cos\varphi\sin\theta\cos\theta}{r}\\
&~\nonumber\\
&~\nonumber\\
\varphi_{xy} =&~\varphi_{yx} = \frac{y^2-x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{\sin^2\varphi-\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\\
\varphi_{xz} =&~\varphi_{zx} = 0\\
\varphi_{yz} =&~\varphi_{zy} = 0\\
&~\nonumber\\
\varphi_{zz} =&~0\\
\varphi_{xx} =&~\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\\
\varphi_{yy} =&~-\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta}\\
&~\nonumber\\
&~\nonumber\\
\theta_{xx} =&~\frac{2z \sqrt{x^2 + y^2}}{r^4} + \frac{y^2 \sqrt{x^2 + y^2}}{z^3(x^2+y^2)} - \frac{y^2\sqrt{x^2 + y^2}}{z^3r^2} = -\frac{\cos\theta(2\cos^2\varphi\sin^2\theta-\sin^2\varphi)}{r^2\sin\theta}\\
\theta_{yy} =&~\frac{2z \sqrt{x^2 + y^2}}{r^4} + \frac{x^2 \sqrt{x^2 + y^2}}{z^3(x^2+y^2)} - \frac{x^2\sqrt{x^2 + y^2}}{z^3r^2} = -\frac{\cos\theta(2\sin^2\varphi\sin^2\theta-\cos^2\varphi)}{r^2\sin\theta}\\
\theta_{zz} =&~\frac{2z \sqrt{x^2 + y^2}}{r^4} = \frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^2}\\
&~\nonumber\\
\theta_{xy} =&~\theta_{yx} = -\frac{8xyz}{r^6 \sqrt{1-\frac{z^2}{r^4}}} - \frac{4xyz^3}{r^{10}\left(1-\frac{z^2}{r^4}\right)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta(2\sin^2\theta+1)}{r^2\sin\theta}\\
\theta_{xz} =&~\theta_{zx} = -\frac{8xz^2}{r^6 \sqrt{1-\frac{z^2}{r^4}}} + \frac{2x}{r^4 \sqrt{1-\frac{z^2}{r^4}}}-\frac{xz\frac{4z^3}{r^6} - \frac{2z}{r^4}}{r^4 \left(1-\frac{z^2}{r^4}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\cos\varphi}{r^2}\\
\theta_{yz} =&~\theta_{zy} = -\frac{8yz^2}{r^6 \sqrt{1-\frac{z^2}{r^4}}} + \frac{2y}{r^4 \sqrt{1-\frac{z^2}{r^4}}}-\frac{yz\frac{4z^3}{r^6} - \frac{2z}{r^4}}{r^4 \left(1-\frac{z^2}{r^4}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\sin\varphi}{r^2}
\end{align}
\begin{align}
u(x,y,z) =&: f(r,\varphi,\theta) = f(r(x,y,z),\varphi(x,y),\theta(x,y,z)\nonumber\\
&~\nonumber\\
f_x =&~f_r \cdot r_x + f_{\varphi} \cdot \varphi_x + f_{\theta} \cdot \theta_x\nonumber\\
f_{xx} =&~[f_{rr} \cdot r_x + f_{r\varphi} \cdot \varphi_x + f_{r\theta} \cdot \theta_x] \cdot r_x + f_r \cdot r_{xx} + [f_{\varphi r} \cdot r_x + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi_x + f_{\varphi\theta} \cdot \theta_x] \cdot \varphi_x + f_{\varphi} \cdot \varphi_{xx}\nonumber\\
 +&~[f_{\theta r} \cdot r_x + f_{\theta\varphi} \cdot \varphi_x + f_{\theta\theta} \cdot \theta_x] \cdot \theta_x + f_{\theta} \cdot \theta_{xx}\nonumber\\
&~\nonumber\\
=&~f_{rr} \cdot r^2_x + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi^2_x + f_{\theta\theta} \cdot \theta^2_x + f_r \cdot r_{xx} +f_{\varphi} \cdot \varphi_{xx} + f_{\theta} \cdot \theta_{xx} + 2 \cdot f_{r\varphi} \cdot r_x \varphi_x + 2 \cdot f_{r\theta} \cdot r_x\theta_x + 2 \cdot f_{\varphi\theta} \cdot \varphi_x\theta_x\nonumber\\
&~\nonumber \\
=&~u_{rr} \cdot \left(\frac{x}{r}\right)^2 + u_{\varphi\varphi} \cdot \left(-\frac{y}{x^2 + y^2}\right)^2 + u_{\theta\theta} \cdot \left(\frac{xz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2}\right)^2 + u_r \cdot \frac{y^2 + z^2}{r^3} + u_{\varphi} \cdot \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\nonumber\\
+&~u_{\theta} \cdot %%%%%%%%%%
\frac{2z \sqrt{x^2 + y^2}}{r^4} + \frac{y^2 \sqrt{x^2 + y^2}}{z^3(x^2+y^2)} - \frac{y^2\sqrt{x^2 + y^2}}{z^3r^2} %%%%%%%%%
+ 2 \cdot u_{r\varphi} \cdot \frac{x}{r} \cdot -\frac{y}{x^2 + y^2} + 2 \cdot u_{r\theta} \cdot \frac{x}{r} \cdot \frac{xz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2}\nonumber\\
+&~2 \cdot u_{\varphi\theta} \cdot -\frac{y}{x^2 + y^2} \cdot \frac{xz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2} \nonumber\\
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
f_y =&~f_r \cdot r_y + f_{\varphi} \cdot \varphi_y + f_{\theta} \cdot \theta_y \nonumber\\
f_{yy} =&~[f_{rr} \cdot r_y + f_{r\varphi} \cdot \varphi_y + f_{r\theta} \cdot \theta_y] \cdot r_y + f_r \cdot r_{yy} + [f_{\varphi r} \cdot r_y + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi_y + f_{\varphi\theta} \cdot \theta_y] \cdot \varphi_y + f_{\varphi} \cdot \varphi_{yy} \nonumber\\
+&~[f_{\theta r} \cdot r_y + f_{\theta\varphi} \cdot \varphi_y + f_{\theta\theta} \cdot \theta_y] \cdot \theta_y + f_{\theta} \cdot \theta_{yy}\nonumber\\
&~\nonumber \\
=&~f_{rr} \cdot r^2_y + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi^2_y + f_{\theta\theta} \cdot \theta^2_y + f_r \cdot r_{yy} + f_{\varphi} \cdot \varphi_{yy}+ f_{\theta} \cdot \theta_{yy} + 2 \cdot f_{r\varphi} \cdot r_y \varphi_y + 2 \cdot f_{r\theta} \cdot r_y\theta_y + 2 \cdot f_{\varphi\theta} \cdot \varphi_y\theta_y\nonumber\\
&~\nonumber \\
=&~u_{rr} \cdot \left(\frac{y}{r}\right)^2 + u_{\varphi\varphi} \cdot \left(\frac{x}{x^2 + y^2}\right)^2 + u_{\theta\theta} \cdot \left(\frac{yz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2}\right)^2 + u_r \cdot \frac{y^2 + z^2}{r^3} + u_{\varphi} \cdot -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\nonumber\\
+&~u_{\theta} \cdot %%%%%%%%%%
\frac{2z \sqrt{x^2 + y^2}}{r^4} + \frac{x^2 \sqrt{x^2 + y^2}}{z^3(x^2+y^2)} - \frac{y^2\sqrt{x^2 + y^2}}{z^3r^2} %%%%%%%%%
+ 2 \cdot u_{r\varphi} \cdot \frac{y}{r} \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} + 2 \cdot u_{r\theta} \cdot \frac{y}{r} \cdot \frac{yz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2}\nonumber\\
+&~2 \cdot u_{\varphi\theta} \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} \cdot \frac{yz}{\sqrt{x^2 + y^2}r^2} \nonumber\\
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
f_z =&~f_r \cdot r_z + f_{\varphi} \cdot \varphi_z + f_{\theta} \cdot \theta_z\nonumber \mathop{=}\limits^{\varphi_z = 0} f_r \cdot r_z + f_{\theta} \cdot \theta_z \\
f_{zz} =&~f_{rr}\cdot r^2_z + f_{\theta\theta} \cdot \theta^2_z + f_r \cdot r_{zz} + f_{\theta} \cdot \theta_{zz} + 2 \cdot f_{r\theta} \cdot r_z\theta_z\nonumber
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
f_{xy} =&~[f_{rr} \cdot r_y + f_{r\varphi} \cdot \varphi_y + f_{r\theta} \cdot \theta_y] \cdot r_x + f_r \cdot r_{xy} + [f_{\varphi r} \cdot r_y + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi_y + f_{\varphi\theta} \cdot \theta_y]\cdot \varphi_x + f_{\varphi} \cdot \varphi_{xy} \nonumber\\
+&~[f_{\theta r} \cdot r_y + f_{\theta\varphi} \cdot \varphi_y + f_{\theta\theta} \cdot \theta_y] \cdot \theta_x + f_{\theta} \cdot \theta_{xy}\nonumber\\
&~\nonumber\\
=&~f_{rr} \cdot r_y r_x + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi_y\varphi_x + f_{\theta\theta} \cdot \theta_y\theta_x + f_r \cdot r_{xy} + f_{\varphi} \cdot \varphi_{xy} + f_{\theta} \cdot \theta_{xy}\nonumber\\
+&~f_{r\theta}(r_y\theta_x + r_x\theta_y) + f_{r\varphi}(\varphi_yr_x + \varphi_xr_y) + f_{\varphi\theta}(\varphi_y\theta_x + \varphi_x\theta_y)\nonumber\\
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
f_{xz} =&~[f_{rr} \cdot r_z + f_{r\varphi} \cdot \varphi_z + f_{r\theta} \cdot \theta_z] \cdot r_x + f_r \cdot r_{xz} + [f_{\varphi r} \cdot r_z + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi_z + f_{\varphi\theta} \cdot \theta_z]\cdot \varphi_x + f_{\varphi} \cdot \varphi_{xz} \nonumber\\
+&~[f_{\theta r} \cdot r_z + f_{\theta\varphi} \cdot \varphi_z + f_{\theta\theta} \cdot \theta_z] \cdot \theta_x + f_{\theta} \cdot \theta_{xz}\nonumber\\
&~\nonumber\\
\mathop{=}\limits^{\varphi_z = 0}&~f_{rr} \cdot r_z r_x + f_{\theta\theta} \cdot \theta_z\theta_x + f_r \cdot r_{xz} + f_{\theta} \cdot \theta_{xz}+ f_{r\theta}(r_z\theta_x + r_x\theta_z) + f_{r\varphi}(\varphi_xr_z) + f_{\varphi\theta}(\varphi_x\theta_z)\nonumber
\end{align}
\begin{align}
f_{yz} =&~[f_{rr} \cdot r_z + f_{r\varphi} \cdot \varphi_z + f_{r\theta} \cdot \theta_z] \cdot r_y + f_r \cdot r_{yz} + [f_{\varphi r} \cdot r_z + f_{\varphi\varphi} \cdot \varphi_z + f_{\varphi\theta} \cdot \theta_z]\cdot \varphi_y + f_{\varphi} \cdot \varphi_{yz} \nonumber\\
+&~[f_{\theta r} \cdot r_z + f_{\theta\varphi} \cdot \varphi_z + f_{\theta\theta} \cdot \theta_z] \cdot \theta_y + f_{\theta} \cdot \theta_{yz}\nonumber\\
&~\nonumber\\
\mathop{=}\limits^{\varphi_z = 0}&~f_{rr} \cdot r_z r_y + f_{\theta\theta} \cdot \theta_z\theta_y + f_r \cdot r_{yz} + f_{\theta} \cdot \theta_{yz}+ f_{r\theta}(r_z\theta_y + r_y\theta_z) + f_{r\varphi}(\varphi_yr_z) + f_{\varphi\theta}(\varphi_y\theta_z)\nonumber
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
&~\nonumber\\
Lu=&~u_{rr} \cdot (r_x^2 +r_y^2+r_z^2+c(r_xr_y+r_xr_z+r_yr_z))\nonumber\\
+&~u_{\varphi\varphi}(\varphi_x^2+\varphi_y^2+c(\varphi_x\varphi_y)\nonumber\\ 
+&~u_{\theta\theta}(\theta_x^2 +\theta_y^2 +\theta_z^2 +c(\theta_x\theta_y +\theta_x\theta_z +\theta_y\varphi_z))\nonumber\\
+&~u_r(r_{xx}+r_{yy}+r_{zz}+c(r_{xy}+r_{xz} + r_{yz}))\nonumber\\
+&~u_\varphi(\varphi_{xx} + \varphi_{yy} + c(\varphi_{xy}))\nonumber\\
+&~u_\theta(\theta_{xx} + \theta_{yy} + \theta_{zz} + c(\theta_{xy} + \theta_{xz} + \theta_{yz}))\nonumber\\
+&~u_{r\varphi}(2r_x\varphi_x + 2r_y\varphi_y + c(\varphi_xr_y + \varphi_yr_x + \varphi_xr_z + \varphi_yr_z)\nonumber\\
+&~u_{r\theta} (2r_x\theta_x + 2r_y\theta_y + 2r_z\theta_z + c(r_x\theta_y + r_x\theta_z + r_y\theta_x + r_y\theta_z + r_z\theta_x + r_z\theta_y))\nonumber\\
+&~u_{\varphi\theta}(2 \varphi_x\theta_x + 2\varphi_y\theta_y + 2\varphi_z\theta_z + c(\varphi_x\theta_y + \varphi_x\theta_z + \varphi_y\theta_x + \varphi_y\theta_z + \varphi_z\theta_x + \varphi_z\theta_y))\nonumber
&~\nonumber \\
&~\nonumber\\
&~\nonumber \\
u_{xx} =&~u_{rr}\sin^2\theta\cos^2\varphi + u_{\varphi\varphi}\frac{\sin^2\varphi}{r^2\sin^2\theta} + u_{\theta\theta}\frac{\cos^2\varphi\cos^2\theta}{r^2} + u_r\frac{\sin^2\theta\sin^2\varphi+\cos^2\theta}{r} + u_{\varphi} \frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\nonumber\\
+&~u_{\theta}\frac{-\cos\theta(2\cos^2\varphi\sin^2\theta - \sin^2\varphi)}{r^2\sin\theta} + 2\left(u_{r\varphi} \frac{\cos\varphi(-\sin\varphi)}{r} + u_{r\theta}\frac{\cos^2\varphi\cos\theta\sin\theta}{r} + u_{\varphi\theta}\frac{-\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta}{r^2\sin\theta}\right)\nonumber
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
u_{yy} =&~u_{rr}\sin^2\theta\sin^2\varphi + u_{\varphi\varphi}\frac{\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta} + u_{\theta\theta}\frac{\sin^2\varphi\cos^2\theta}{r^2} + u_r\frac{\cos^2\varphi\sin^2\theta + \cos^2\theta}{r} + u_{\varphi}\frac{-2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\nonumber\\
+&~u_{\theta}\frac{-\cos\theta(2\sin^2\varphi\sin^2\theta - \cos^2\varphi)}{r^2\sin\theta} + 2\left(u_{r\varphi}\frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r} + u_{r\theta}\frac{\sin^2\varphi\cos\theta\sin\theta}{r} + u_{\varphi\theta}\frac{\sin\varphi\cos\theta\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\right)\nonumber
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
u_{zz}=&~u_{rr}\cos^2\theta + u_{\theta\theta}\frac{\sin^2\theta}{r^2} + u_r\frac{\sin^2\theta}{r} + u_{\theta}\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^2} + 2u_{r\theta}\frac{-\cos\theta\sin\theta}{r}\nonumber
&~\nonumber \\
&~\nonumber\\
&~\nonumber \\
u_{xy} =&~u_{rr}\sin^2\theta\cos\varphi\sin\varphi + u_{\varphi\varphi}\frac{-\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin^2\theta} + u_{\theta\theta}\frac{\sin\varphi\cos\varphi\cos^2\theta}{r^2} + u_r\frac{-\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\theta}{r} + u_{\varphi}\frac{\sin^2\varphi-\cos^2\varphi}{r^2\sin^2\theta}\nonumber\\
+&~u_{\theta}\frac{-\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta(2\sin^2\theta+1)}{r^2\sin\theta} +
u_{r\theta}\frac{2\sin\theta\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta}{r} + u_{r\varphi}\frac{1}{r} + u_{\varphi\theta}\frac{\cos\theta(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)}{r^2\sin\theta}\nonumber\\
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
u_{xz} =&~u_{rr}\sin\theta\cos\varphi\cos\theta + u_{\theta\theta}\frac{-\sin\theta\cos\varphi\cos\theta}{r^2} + u_r\frac{-\cos\varphi\sin\theta\cos\theta}{r} + u_{\theta}\frac{(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\cos\varphi}{r^2}\nonumber\\
+&~u_{r\theta}\frac{\cos\varphi(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r} + u_{r\varphi}\frac{-\cos\theta\sin\varphi}{r\sin\theta} + u_{\varphi\theta}\frac{\sin\varphi}{r^2}\nonumber\\
&~\nonumber \\
&~\nonumber \\
u_{yz} =&~u_{rr}\cos\theta\sin\theta\sin\varphi + u_{\theta\theta}\frac{-\sin\varphi\cos\theta\sin\theta}{r^2} + u_r\frac{-\sin\varphi\sin\theta\cos\theta}{r} + u_{\theta}\frac{(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\sin\varphi}{r^2}\nonumber\\
+&~u_{r\theta}\frac{\sin\varphi(\sin^2\theta-\cos^2\theta)}{r} + u_{r\varphi}\frac{\cos\varphi\cos\theta}{r\sin\theta} + u_{\varphi\theta}\frac{-\cos\varphi}{r^2}\nonumber
\end{align}
\begin{align}
Lu =&~u_{rr} + u_{\varphi\varphi}\frac{1}{r\sin^2\theta} + u_{\theta\theta}\frac{1}{r^2} + u_r\frac{\sin^2\theta+1}{r} + c\left[u_{rr}(\sin\theta\cos\theta(\cos\varphi+\sin\varphi)+\sin^2\theta\cos\varphi\sin\varphi)\frac{}{}\right.\nonumber\\
+&~u_{\varphi\varphi}\left(-\frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2\sin\theta}\right) + u_{\theta\theta}\frac{\cos\theta}{r^2}(\cos\varphi\cos\theta\sin\varphi-\sin\theta\cos\varphi-\sin\varphi\sin\theta)\nonumber\\
+&~u_r\left(-\frac{1}{r}\right)(\sin\varphi\cos\varphi\sin^2\theta + \cos\varphi\sin\theta\cos\theta - \sin\varphi\cos\theta\sin\theta) + u_{\varphi}\left(\frac{\sin^2\varphi-\cos^2\varphi}{r^2\sin\theta}\right) \nonumber\\
+&~u_{\theta}\left(\frac{\sin\varphi}{r^2}\left(-\frac{cos\varphi\cos\theta(2\sin^2\theta+1)}{\sin\theta}+\sin^2\theta-\cos^2\theta\right)\right)\nonumber\\
+&~u_{r\theta}\left(\frac{1}{r}\right)(2\sin\theta\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta + \cos\varphi(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+\sin\varphi(\sin^2\theta-\cos^2\theta))\nonumber\\
+&~\left.u_{r\varphi}\left(\frac{1}{r}\right)\left(1-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}(\sin\varphi+\cos\varphi)\right) + u_{\varphi\theta}\left(\frac{\cos\theta(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)}{\sin\theta} + \sin\varphi-\cos\varphi\right)\right]\nonumber
\end{align}

% Ende der Lösung
\newpage
\section{ parabolische DGLs }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 354: Separationsansatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gesucht ist $u=u\left(t,x\right)$, so dass
\[
t\cdot u_{t}=u_{xx}+2u
\]
unter der Randbedingung
\[
u\left(t,0\right)=u\left(t,\pi\right)
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 354}}\\
\begin{center}
\textcolor{red}{Muss nochmal überarbeitet werden!}
\end{center}


Lösen mittels \emph{Fourier-Methode} liefert den
Ansatz
\[
u\left(t,x\right)=f\left(t\right)\cdot g\left(x\right)
\]


Dann ist
\[
u_{t}=\dot{f}\left(t\right)\cdot g\left(x\right)
\]
und
\[
u_{xx}=f\left(t\right)\cdot g''\left(x\right)
\]
Durch Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung ergibt sich
\[
t\cdot\dot{f}\left(t\right)\cdot g\left(x\right)=f\left(t\right)\cdot g''\left(x\right)+2\cdot f\left(t\right)\cdot g\left(x\right)
\]
Wäre $f\left(t\right)\cdot g\left(x\right)=0$ so ist entwender $f\left(t\right)=0$
oder $g\left(x\right)=0$ und damit ist $u\left(t,x\right)\equiv0$
die triviale Lösung des Randwertproblems. Gesucht werden nun nichttriviale
Lösungen, also $f\left(t\right)\cdot g\left(x\right)\not\equiv0$.
Damit kann durch $f\left(t\right)\cdot g\left(x\right)$ dividiert
werden und es folgt
\[
t\cdot\frac{\dot{f}\left(t\right)}{f\left(t\right)}=\frac{g''\left(x\right)}{g\left(x\right)}+2
\]
bzw.
\[
t\cdot\frac{\dot{f}\left(t\right)}{f\left(t\right)}-2=\frac{g''\left(x\right)}{g\left(x\right)}
\]
Da $t$ und $x$ unabhängige Größen sind und beide Seiten separiert
sind, kann die Gleichheit nur bestehen, falls
\[
\frac{g''\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lambda
\]
und

\[
t\cdot\frac{\dot{f}\left(t\right)}{f\left(t\right)}-2=\lambda
\]


mit einem konstanten $\lambda\in\mathbb{R}$. Wobei $(1)$ und $(2)$
nun gewöhnliche Differentialgleichungen für $f\left(t\right)$ und
$g\left(x\right)$ sind. Zunächst wird $\left(1\right)$ gelöst:
\[
\frac{g''\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lambda
\]
bzw.
\[
g''\left(x\right)=\lambda g\left(x\right)
\]
Aufgrund der Randbedingung $g\left(0\right)=g\left(\pi\right)$ kommen
aber nur gewisse $\lambda$ in Frage. Da $g$ nicht identisch $0$
sein soll und $g$ echt von $x$ abhängen soll (was zwar beides Lösungen
wären, aber natürlich keine interessanten Lösungen), folgt $g'\left(x\right)\not\equiv0$.
Aus dieser Tatsache und $g''=\lambda g$ folgt
\begin{eqnarray*}
\lambda\underbrace{\int_{0}^{\pi}g^{2}\left(x\right)\, dx}_{>0} & = & \int_{0}^{\pi}\left(\lambda g\left(x\right)\right)\cdot g\left(x\right)\, dx\\
 & = & \int_{0}^{\pi}g''\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\, dx\\
 & = & \left[g'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\left(g'\left(x\right)\right)^{2}\, dx\\
 & = & -\underbrace{\int_{0}^{\pi}\left(g'\left(x\right)\right)^{2}\o, dx}_{>0}<0
\end{eqnarray*}
Also insgesamt $\lambda\intop_{0}^{\pi}g^{2}\left(x\right)\od x<0$.
Damit kommen nur $\lambda<0$ in Frage. 

Für die Differentialgleichung $g''\left(x\right)=\lambda g\left(x\right)$
ergibt sich die Lösung
\[
g\left(x\right)=c_{1}e^{\sqrt{\lambda}x}+c_{2}e^{-\sqrt{\lambda}x},\quad c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}
\]
Da jedoch $\lambda<0$ , ist nun $\sqrt{\lambda}=i\sqrt{-\lambda}$.
Wegen der \emph{Euler}schen Formel ergibt sich dann
\[
g\left(x\right)=C_{1}\cos\left(\sqrt{-\lambda}x\right)+C_{2}\sin\left(\sqrt{-\lambda}x\right),\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}
\]
Die Randbedingung $g\left(0\right)=g\left(\pi\right)$ erfordert nun
\[
g\left(0\right)=g\left(\pi\right)=C_{1}
\]
Damit
\[
g\left(\pi\right)=C_{1}\cos\left(\sqrt{-\lambda}\cdot\pi\right)+C_{2}\sin\left(\sqrt{-\lambda}\cdot\pi\right)\overset{!}{=}C_{1}
\]


Sei zunächst $C_{1}\neq0$. Wegen $C_{1}\underbrace{\cos\left(2m\cdot\pi\right)}_{=1}+C_{2}\underbrace{\sin\left(2m\cdot\pi\right)}_{=0}=C_{1}$
für $m\in\mathbb{Z}$ folgt
\[
\sqrt{-\lambda}=2m
\]
bzw.
\[
\lambda_{n}=-4n^{2},\quad n\in\mathbb{N}
\]
Damit erhält man eine ganze Folge von Lösungen $\left(g_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
mit $g_{n}=a_{n}\cos\left(\sqrt{-\lambda_{n}}x\right)+b_{n}\sin\left(\sqrt{-\lambda_{n}}x\right)$,
also
\[
g_{n}\left(x\right)=a_{n}\cos\left(2n\cdot x\right)+b_{n}\sin\left(2n\cdot x\right),\quad a_{n},b_{n}\in\mathbb{R}
\]


Nun wird $(2)$ mit dem Wissen $\lambda_{n}=-4n^{2}$ gelöst:
\[
\frac{\dot{f}_{n}\left(t\right)}{f_{n}\left(t\right)}=\frac{\lambda+2}{t}=\frac{-4n^{2}+2}{t}=\frac{2\left(1-2n^{2}\right)}{t}
\]
Durch Integration nach $t$ folgt $\ln\left(f_{n}\left(t\right)\right)=2\left(1-2n^{2}\right)\cdot\ln t+k$
und damit letztendlich wieder eine Folge von Lösungen $\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
\[
f_{n}\left(t\right)=K_{n}\cdot t^{2\left(1-2n^{2}\right)},\quad K_{n}\in\mathbb{R}
\]
Zusammenfassend ergibt sich mittels $(1.1)$ und $(2.1)$ dann folgende
Lösung
\[
u_{n}\left(t,x\right)=K_{n}\cdot t^{2\left(1-2n^{2}\right)}\cdot\left(a_{n}\cos\left(2n\cdot x\right)+b_{n}\sin\left(2n\cdot x\right)\right)
\]
bzw. mit den Setzungen $K_{n}a_{n}=:A_{n}$ und $K_{n}b_{n}=:B_{n}$,
dann
\[
u_{n}\left(t,x\right)=t^{2\left(1-2n^{2}\right)}\cdot\left(A_{n}\cos\left(2n\cdot x\right)+B_{n}\sin\left(2n\cdot x\right)\right)
\]


Da Die Differentialgleichung linear, ist auch jede Summe von Lösungen
$u_{n}$ wieder Lösung der Differentialgleichung, also ergibt sich
die allgemeine Lösung als
\[
\boxed{u\left(t,x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}t^{2\left(1-2n^{2}\right)}\cdot\left(A_{n}\cos\left(2n\cdot x\right)+B_{n}\sin\left(2n\cdot x\right)\right)}
\]
mit geeignet gewählten Koeffizienten $A_{n},B_{n}\in\mathbb{R}$.
\begin{remmark}
Es wurde zunächst weiter oben angenommen, dass $C_{1}\neq0$. Ist
aber nun $C_{1}=0$, so vereinfacht sich die Lösung des Randwertproblems,
denn dann ist $g\left(0\right)=0=g\left(\pi\right)=C_{2}\sin\left(\sqrt{-\tilde{\lambda}}\pi\right)$.
Nun muss $C_{2}\neq0$ sein, da sonst $g\left(x\right)\equiv0$. Daraus
folgt dann, dass $\sin\left(\sqrt{-\tilde{\lambda}}\pi\right)=0$,
also $\sqrt{-\tilde{\lambda}}=m$ für $m\in\mathbb{Z}$, beziehungsweise
\[
\tilde{\lambda}_{n}=-n^{2}
\]
mit $n\in\mathbb{N}$ und damit folgt
\[
\tilde{g}_{n}\left(x\right)=\tilde{C}_{n}\sin\left(nx\right),\quad\tilde{C}_{n}\in\mathbb{R}
\]


Wobei sich $(2.1)$ dann zu
\[
\tilde{f}_{n}\left(t\right)=\tilde{K}_{n}\cdot t^{2\left(1-n^{2}\right)},\quad\tilde{K}_{n}\in\mathbb{R}
\]
vereinfacht. Man erhält in diesem Fall die Lösung des Randwertproblems,
als

\[
\tilde{u}_{n}\left(t,x\right)=\tilde{A}_{n}\cdot t^{2\left(1-n^{2}\right)}\cdot\sin\left(nx\right)
\]
bzw. 
\[
\boxed{\tilde{u}\left(t,x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\tilde{A}_{n}t^{2\left(1-n^{2}\right)}\sin\left(nx\right)}
\]
mit geeigneten Koeffizienten $\tilde{C}_{n}\in\mathbb{R}$.
\end{remark}
\rule[0.5ex]{1\columnwidth}{0.3pt}

Betrachtet man zusätzlich noch die Anfangsbedingung $u\left(0,x\right)=0$
für $x\in[0,\pi]$, so ist keine Eindeutigkeit der Lösung gegeben.
\begin{proof}
Mittels \emph{Fourier}-Methode wurden Lösungen von $t\cdot u_{t}=u_{xx}+2u$
mit $u\left(t,0\right)=u\left(t,\pi\right)$ der Bauart 
\[
u\left(t,x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}t^{2(1-2n^{2})}\cdot\left(A_{n}\cos\left(2nx\right)+B_{n}\sin\left(2nx\right)\right)
\]
gefunden. Wähle nun speziell
\[
A_{n}=B_{n}=0\quad\text{für }n\geq1
\]
Dann ergibt sich
\[
u\left(t,x\right)=A_{0}\cdot t^{2}
\]
was der Anfangsbedingung $u\left(0,x\right)=0$ und den Randbedingung
$u\left(t,0\right)=u\left(t,\pi\right)$ genügt. Jedoch kann $A_{0}$
beliebig reell gewählt werden - somit existieren unendlich viele Lösungen
zum Randanfangswertproblem.\end{proof}




% Ende der Lösung
\newpage
\subsection{ Wärmeleitungsgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 355: Lösung der Wärmeleitungsgleichung im 1. Quadranten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $g : [0,\infty) \to \R$ mit $g(0) = 0$. Zeigen Sie, dass
\[u(x, t) =\frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds,\quad  x > 0,\ t > 0\]
eine Lösung des folgenden Rand/Anfangswertproblems für die Wärmeleitungsgleichung
\bea
u_t - u_{xx} &&= 0 \quad\text{in}\ (0, \infty) \times (0,\infty),\\
u(x, 0) &=& 0 \quad\text{für}\ x > 0,\\
u(0, t) = g(t) \quad\text{für}\ t > 0
\eea
liefert. Welche Regularität für $g$ ist ausreichend?\\ 
\underline{Hinweis:} Betrachten Sie $v(x, t) = u(x, t) - g(t)$ und setzten Sie $v$ für negative $x$-Werte geeignet fort.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 355}}\\
\begin{description}
	\item[1. Lösung (in der Halbebene)]
Die Funktion $v(x, t) = u(x, t) - g(t)$ erfüllt im ersten Quadranten die \dgl
\[v_t - v_{xx} = u_t - g' -u_{xx} =-g'\]
und die Randbedingungen
\[ v(x,0)=u(x,0)-g(0)=0\quad\text{sowie}\quad v(0,t) =u(0,t)-g(t)=0.\]

Wir setzen die Funktion $v$ als in $x$ ungerade Funktion über die $t$-Achse hinaus auf die gesamte Halbebene $t>0$ fort, setzen also für $x<0$ $v(x,t):= -v(-x,t)$. Wegen $v_x(x,t)=v_x(-x,t)$ für $x<0$ ist dann gesichert, dass die partiellen Ableitungen nach $x$ in $x=0$ stetig sind. Diese fortgesetzte Funktion $v$ ist nun - wie man leicht nachrechnet - Lösung des Anfangswertproblems
\bea
v_t - v_{xx} &=& \tilde{g} :=\begin{cases} -g' & \text{für } x> 0\\ g' & \text{für } x< 0\end{cases},\\
v(x,0) &=& 0,
\eea
wobei die rechte Seite in der \dgl\ eventuell in $x=0$ unstetig ist, und kann deshalb mit Hilfe der Lösungsformel dargestellt werden als
\bea 
v(x,t) &=& \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\int_{-\infty}^\infty\,\frac{1}{(t - s)^{1/2}}\,\e^{-\frac{(x-y)^2}{4(t -s)}}\,\tilde{g}(s))\,dy\,ds,\quad  x \in \R,\ t > 0 \\
 &=& \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,g'(s)\,\rkl{\int_{-\infty}^0\,\frac{1}{(t - s)^{1/2}}\,\e^{-\frac{(x-y)^2}{4(t -s)}}\,dy  -\int_0^\infty\,\frac{1}{(t - s)^{1/2}}\,\e^{-\frac{(x-y)^2}{4(t -s)}}\,dy}\,ds\\
\eea
Im ersten inneren Integral führen wir die Koordinatentransformation $y \mapsto -y$, $dy \mapsto -dy$ durch und erhalten
\[v(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,g'(s)\,\rkl{\int_0^{\infty}\,\frac{1}{(t - s)^{1/2}}\,\e^{-\frac{(x+y)^2}{4(t -s)}}\,dy  -\int_0^\infty\,\frac{1}{(t - s)^{1/2}}\,\e^{-\frac{(x-y)^2}{4(t -s)}}\,dy}\,ds.\]
In den beiden Integralen in der runden Klammer wenden wir nun die Koordinatentransformationen
\[u=\frac{x\pm y}{2\sqrt{t-s}},\quad du=\pm \frac{1}{2\sqrt{t-s}}\,dy\]
an, dies führt auf
\bea
v(x,t) &=& \frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,g'(s)\,\rkl{\int_{\frac{x}{2\sqrt{t-s}}}^{\infty}\,2\e^{-u^2}\,du +\int_{\frac{x}{2\sqrt{t-s}}}^{-\infty}  \,2\e^{-u^2}\,du}\,ds\\
 &=& \frac{2}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,g'(s)\,\rkl{\int_{\frac{x}{2\sqrt{t-s}}}^{\infty}\,\e^{-u^2}\,du +\int_{\frac{x}{2\sqrt{t-s}}}^{-\infty}  \,\e^{-u^2}\,du}\,ds\\
\eea
Mit 
\[ h(s)=\int_{\frac{x}{2\sqrt{t-s}}}^{\infty}\,\e^{-u^2}\,du +\int_{\frac{x}{2\sqrt{t-s}}}^{-\infty}  \,\e^{-u^2}\,du,  \quad h'(s) = -2\,\e^{-\frac{x^2}{4(t-s)}}\cdot\frac{x}{4\,(t-s)^{3/2}}\]
integrieren wir einmal partiell nach $s$. Wegen $g(0)=0$ und  $h(t)=-\sqrt{\pi}$ im uns interessierenden Falle  $x>0$ ergibt das 
\bea
u(x,t)-g(t) &=& v(x,t) =  \frac{2}{\sqrt{4\pi}}\,\rkl{\left. g(s)h(s)\right|_0^t -\int^t_0\,g(s)\,h'(s)\,ds}\\
&=& \frac{2}{\sqrt{4\pi}}\,\rkl{-g(t)\sqrt{\pi}+2\,\int^t_0\,g(s)\,\e^{-\frac{x^2}{4(t-s)}}\frac{x}{4\,(t-s)^{3/2}}\,ds}\\
&=& -g(t)+\frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t-s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t-s)}}\,g(s)\,ds,\\
\eea
woraus sofort die gewünschte Darstellung für $u(x,t)$ folgt.\\

 \item[ 2. Lösung (direktes Nachrechnen)] Da der Integrand stetig differenzierbar nach $x$ ist, dürfen wir Integration und Differentiation nach $x$ vertauschen, d.~h. es ist
\bea
u_x&=&\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds +\frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,\frac{-2x}{4(t -s)}\,g(s)\, ds\\
&=&\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds -\frac{x^2}{2\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{5/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds\\
u_{xx} &=&-\frac{3x}{2\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{5/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds +\frac{x^3}{4\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{7/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds.\\
\eea
Die Ableitung nach $t$ ist nicht so einfach, da der Integrand für $s=t$ eine (hebbare) Singularität hat.
wir betrachten deshalb die Funktionen
\[u(x, t, \ve) =\frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\int^{t-\ve}_0\,\frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds,\quad  x > 0,\ t > 0.\]
Diese können wir nach der Differentiationsregel für Parameterintegrale nach $t$ ableiten
\bea
u_t(x,t,\ve) &=& \frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\frac{1}{\ve^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4\ve}}\,g(t-\ve) \\
&+& \frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\int^{t-\ve}_0\,\rkl{\frac{-3/2}{(t - s)^{5/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}+ \frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,\frac{x^2}{4(t -s)^2}}\,g(s)\, ds \\
&=& \frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\frac{1}{\ve^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4\ve}}\,g(t-\ve) \\
&+& -\frac{3x}{2\sqrt{4\pi}}\,\int^{t-\ve}_0\,\frac{1}{(t - s)^{5/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds +\frac{x^3}{4\sqrt{4\pi}}\,\int^{t-\ve}_0\,\frac{1}{(t - s)^{7/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds.\\
\eea 
Lässt man nun noch $\ve \to 0$ gehen, so erhält man $u_t=u_{xx}$, denn der erste Summand konvergiert gegen 0, wie man mit der Regel von de l'Hospital leicht beweisen kann.\\
Damit ist schon mal die \dgl\ erfüllt.\\
Offensichtlich ist auch $u(x,0)=0$, da bei dem Integral obere und untere Grenze übereinstimmen.\\
Um zu erkennen, dass auch die letzte Randbedingung erfüllt ist, integrieren wir einmal partiell. Dazu schreiben wir 
\[u(x,t)=\int^t_0\,h'(s)\,g(s)\,ds\]
mit
\[h'(s)=\frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}.\]
Um eine Stammfunktion $h$ zu bestimmen, ersetzen wir in  
\[h(s) = \frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\int_0^s\,\,\frac{1}{(t - w)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -w)}}\,dw\qquad u= \frac{|x|}{2\sqrt{t-w}},\quad\text{wobei}\quad du= \frac{|x|}{4(t-w)^{3/2}}\,dw\quad\text{ist.}\]
Somit erhalten wir 
\[h(s)=\frac{4}{\sqrt{4\pi}}\,\int_{\frac{|x|}{2\sqrt{t}}}^{\frac{|x|}{2\sqrt{t-s}}}\,\e^{-u^2}\,du\]
und weiter
\bea
u(x,t) &=& \left. h(s)g(s)\right|_0^t -\int_0^t h(s)g'(s)\,ds\\ 
&=& g(t)\,\frac{4}{\sqrt{4\pi}}\,\int_{\frac{|x|}{2\sqrt{t}}}^{\infty}\,\e^{-u^2}\,du - \frac{4}{\sqrt{4\pi}}\,\int_0^t \rkl{g'(s)\,\int_{\frac{|x|}{2\sqrt{t}}}^{\frac{|x|}{2\sqrt{t-s}}}\,\e^{-u^2}\,du}\,ds.\\
u(0,t) &=& g(t)\,\frac{4}{\sqrt{4\pi}}\,\int_0^{\infty}\,\e^{-u^2}\,du - \frac{4}{\sqrt{4\pi}}\,\int_0^t \rkl{g'(s)\,\int_0^0\,\e^{-u^2}\,du}\,ds\\
&=&  g(t)\,\frac{4}{\sqrt{4\pi}}\,\frac{\sqrt{\pi}}{2} -0 = g(t).\\
\eea
Um dies so durchführen zu können, muss $g$ mindestens einmal stetig differenzierbar sein.

\end{description}



% Ende der Lösung
\newpage
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 356: spezielle Lösung der Wärmeleitungsgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $ v = v(z), z>0 $ eine reelle Funktion einer reellen Variablen z und $ u = u(x,t) = v(\frac{x^2}{t}) $ für $ x \in \mathbb{R} , t>0. $ 
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie: u genügt genau dann der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung
\begin{displaymath} u_t = u_{xx}, \end{displaymath}
wenn
\begin{displaymath} 4zv''(z)+(2+z)v'(z) = 0, z>0. \end{displaymath}
\item Zeigen Sie, daß die allgemeine Lösung der letzten Gleichung für v gegeben wird durch
\begin{displaymath} v(z) = c* \int\limits_0^z\, e^{- \frac{1}{4}s}*s^{- \frac{1}{2}} \,ds + d \end{displaymath}
mit Konstanten c, d. 
\item Differenzieren Sie $ v(\frac{x^2}{t}) $ nach x und bestimmen Sie die Konstante c so, daß der Wärmeleitungskern im \( \mathbb{R}^1 \) entsteht.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 356}}\\
\begin{enumerate}
	\item \begin{eqnarray}
u &=& u(x,t) = v \left(\frac{x^2}{t}\right) = v(z) \nonumber \\
u_t &=& v' * \left(- \frac{x^2}{t^2}\right) \nonumber \\
u_x &=& v' * \frac{2x}{t} \nonumber \\
u_{xx} &=& v'' * \frac{4x^2}{t^2} + v' * \frac{2}{t} \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
& 0 &= 4zv''(z)+(2+z)v'(z) = \frac{4x^2}{t} * v''+ \left(2+ \frac{x^2}{t}\right)*v' = t*u_{xx}-t*u_t \nonumber \\
\Longleftrightarrow  & t*u_t &= t*u_{xx} \nonumber \\
\stackrel{t>0}{\Longleftrightarrow} & u_t &= u_{xx} \nonumber
\end{eqnarray} 
\item $ w(z):=v'(z) $
\begin{eqnarray}
\Longrightarrow & 4zw'(z)+(2+z)w(z) &= 0 \nonumber \\
\Longleftrightarrow & 4z* \frac{dw}{dz} &= -(2+z)w(z) \nonumber \\
\stackrel{z>0}{\Longleftrightarrow} & \frac{dw}{w(z)} &= - \frac{2+z}{4z} * dz = \left( - \frac{1}{2z} - \frac{1}{4} \right)dz \nonumber \\
\Longleftrightarrow & ln|w(z)| &= - \frac{1}{2}ln|z|- \frac{1}{4}z+k \nonumber \\
\stackrel{c:=e^k}{\Longleftrightarrow} & w(z) &= c*z^{- \frac{1}{2}}*e^{- \frac{1}{4}z} \nonumber \\
\Longleftrightarrow & v'(z) &= c*e^{- \frac{1}{4}z}*z^{- \frac{1}{2}} \nonumber \\
\Longleftrightarrow & v(z) &= c* \int\limits_0^z\, e^{- \frac{1}{4}s}*s^{- \frac{1}{2}} \,ds + d \nonumber
\end{eqnarray} 
\item \begin{eqnarray}
\stackrel{(b)}{\Longrightarrow} v'(z) &=& c*e^{- \frac{1}{4}z}*z^{- \frac{1}{2}} \nonumber \\
v_x &=& u_x = \frac{2x}{t}*v' = \frac{2x}{t}*c*e^{- \frac{x^2}{4t}}* \left(\frac{x^2}{t} \right)^{- \frac{1}{2}} \nonumber \\
v_x &=& \frac{2}{\sqrt{t}}*c*e^{- \frac{x^2}{4t}} \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
u(t,x) &=& \frac{1}{(4 \pi t)^{\frac{1}{2}}}*e^{- \frac{|x|^2}{4t}} = \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}*e^{- \frac{x^2}{4t}} \nonumber \\
u_x &=& \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}* \left(- \frac{2x}{4t} \right)*e^{- \frac{x^2}{4t}} \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}* \left(- \frac{2x}{4t} \right)*e^{- \frac{x^2}{4t}} = u_x &=& v_x = \frac{2}{\sqrt{t}}*c*e^{- \frac{x^2}{4t}} \nonumber \\
C &=& - \frac{x}{8 \sqrt{\pi} t} \nonumber
\end{eqnarray}

\end{enumerate}




% Ende der Lösung
\newpage
\part{ Topologie }
\chapter{ Abgeschlossene Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 357: Abschluss als Durchschnitt abgeschlossener Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie den folgenden Satz:\\
Für jede Teilmenge $A \subseteq M$ eines metrischen Raumes $(M,d)$ ist
der Abschluss $\bar{A}$ (gleich $A$ vereinigt mit der Menge der Randpunkte) darstellbar als
\[\bar{A} = \bigcap_{B\in \mathfrak{A}}\,B,\quad\text{wobei}\quad \mathfrak{A}=\set{B\ |\ A\subseteq B \subseteq M, B\text{ abgeschlossen}},\]
d.h. $\bar{A}$ ist die kleinste $A$ umfassende und abgeschlossene Menge in $M$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 357}}\\
\begin{description}
	\item[$\supseteq$:] Offensichtlich ist $\bar{A} \in \mathfrak{A}$, also
	\[\bar{A} \supseteq \bigcap_{B\in \mathfrak{A}}\,B.\] 
	\item[$\subseteq$:] Wegen der Abgeschlossenheit der Mengen $B\in \mathfrak{A}$ folgt aus $A\subseteq B$ sogar $\bar{A}\subseteq \bar{B}$ für alle $B\in \mathfrak{A}$, also auch	
	\[\bar{A} \subseteq \bigcap_{B\in \mathfrak{A}}\,B.\] 
\end{description}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Häufungspunkte }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 358: Stammbruchsumme
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\[
M=\Bigl\{x\in{\mathbb R}\;|\; x= \frac{1}{m}+\frac{1}{n},
n,m\in{\mathbb N}\Bigr\}.
\]
\ben
\item Zeigen Sie, dass $M$ weder offen noch abgeschlossen ist. \\
\item Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von $M$.
\een
Hierbei wird $\R$ als normierter Raum mit dem absoluten Betrag als Norm
betrachtet.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 358}}\\
\begin{enumerate}
	\item \ben
\item $M$ ist nicht abgeschlossen, denn der Häufungspunkt $0\notin M$.
\item $M$ ist nicht offen, denn $2 \in M$ ist isolierter Punkt, also kein innerer Punkt.
\een
\item Häufungspunkte entstehen beim Grenzübergang $n \rightarrow \infty,\ m \rightarrow \infty$ oder wenn beide Indizes gegen Unendlich gehen. Man erhält dabei als Häufungspunkte alle Stammbrüche $\frac1n$ sowie den oben bereits erwähnten Häufungspunkt 0, d.~h. es ist  
\[
\overline{M}=\set{x\in\R\;|\; x= \frac{1}{m}+\frac{1}{n},
n,m\in\N}\,\cup\,\set{x\in\R\;|\; x= \frac{1}{n},
n,m\in\N}\, \cup\, \set{0}.
\]
Weitere Häufungspunkte gibt es nicht, wie folgende Überlegungen zeigen:\\
\begin{enumerate}
	\item Da $\rkl{\R\setminus (0,1)}\cap M =\set{1,\frac{3}{2},2}$ nur aus isolierten Punkten von $N$ besteht, können weitere Häufungspunkte höchsten in $(0,1)$ liegen. 
	\item Sei nun 
\[r\in (0,1) \setminus \set{x\in\R\;|\; x= \frac{1}{n},
n,m\in\N},\]
dann existiert ein $k\in\N$ mit
\[\frac{1}{k}<r<\frac{1}{k-1}.\]
Wähle nun 
\[\ve< \frac{1}{2}\min\set{r-\frac{1}{k},\frac{1}{k-1}-r},\]
dann gibt es wegen
\[\abs{r-\rkl{\frac{1}{k}+\frac{1}{m}}}\geq \abs{r-\frac{1}{k}}-\frac{1}{m}>2\ve-\frac{1}{m}>\ve\quad\text{für}\quad \frac{1}{m}<\ve\]
in $(r-\ve,r+\ve)$ höchstens endlich viele Elemente aus $M$, nämlich die der Form
\[\frac{1}{k}+\frac{1}{m}\quad\text{mit}\quad \frac{1}{m}>\ve \quad\text{bzw.}\quad m<\frac{1}{\ve},\]
also kann $r$ kein Häufungspunkt sein. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ kompakte Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 359: Durchschnitt kompakter Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $(M,d)$ ein metrischer Raum und $K_n\subseteq M$,
$n\in{\Bbb N}$ kompakte Teilmengen von $M$ mit
$\bigcap^\infty_{n=1} K_n=\emptyset$. 
\ben
\item Beweisen Sie, dass dann
unter den Mengen $K_n$, $n\in{\Bbb N}$ auch endlich viele Mengen
$K_{n_1},\ldots, K_{n_m}$
existieren mit
\[K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}=\emptyset.\]
\item Gilt die entsprechende Aussage auch, wenn nur die Abgeschlossenheit und
Beschränktheit der Mengen $K_n$ vorausgesetzt wird?
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 359}}\\
\begin{enumerate}
	\item 
Wir konstruieren zunächst eine monotone Folge kompaktr Mengen durch
\begin{equation}
	A_k := \bigcap_{n=1}^k K_n, \qquad\mbox{dann ist}\qquad A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots \supseteq A_n \supseteq \ldots .
\end{equation}
Für diese ist
\[ \bigcap_{k=1}^\infty A_k =  \bigcap_{n=1}^\infty K_n \]
und die Aussage, dass bereits endlich viele Mengen einen leeren Durchschnitt haben, ist mit $r=\max\set{n_1,\ldots,n_m}$ wegen
\[\emptyset=K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}\supseteq \bigcap_{n=1}^r\,K_n =A_r\]
äquvalent zu der Aussage, dass die Mengen $A_k$ für $k\geq r$ alle leer sind, bzw. dass es höchstens endlich viele, nichtleere Mengen $A_k$ gibt.
Die Mengen $A_k$ sind als endliche Durchschnitte kompakter Mengen außerdem selbst wieder kompakt.
\begin{description}
	\item[Lösung mit Folgenkompaktheit] Angenommen, die Behauptung wäre falsch, dann wären alle Mengen $A_n$ nicht leer und es gäbe eine unendliche Folge $\{x_n\}$ mit $x_n \in A_n$. Wegen (1) ist dann auch 
\begin{equation}
	x_n \in A_m\qquad\mbox{für alle}\qquad m \leq n 
\end{equation}
und insbesondere $\{x_n\}\subseteq A_1=K_1$. Da $K_1$ kompakt ist, kann man eine konvergente Teilfolge $\{x_{n_k}\}$ auswählen.\\
$$\mbox{Wegen (2) ist dann }
 x =\lim_{k\rightarrow\infty} x_{n_k} \in A_m \mbox{ für alle } m \in \N, 
\mbox{ also }
 x \in  \bigcap_{k=1}^\infty A_k =  \bigcap_{n=1}^\infty K_n \neq \emptyset$$
 im Widerspruch zur Voraussetzung.
	\item[Lösung mit Überdeckungskompaktheit] Die Menge $K_1$ ist, versehen mit der Metrik $d$ von $M$ ein kompakter metrischer Raum $(K_1,d)$ und
	\[\bigcup_{n=1}^\infty\,(K_1\setminus K_n) = K_1\setminus \rkl{\bigcap_{n=1}^\infty K_n} = K_1\] 
	ist eine Überdeckung von $K_1$ durch (relativ) offene Mengen. Wegen der Kompaktheit von $K_1$ kann man eine endliche Teilüberdeckung auswählen, d.~h. es ist
	\[K_1\subset \rkl{M\setminus K_{n_1}} \cup \ldots \cup \rkl{K_1\setminus K_{n_1}} = K_1\setminus \rkl{K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}}\subseteq K_1,\]
	was nur möglich ist, wenn entweder
\begin{equation}
	K_1 \cap \rkl{K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}}=\emptyset
\end{equation}
	oder - was ein Spezialfall davon ist -
	\[K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}=\emptyset\]
	ist. In beiden Fällen ist dies aber die Behauptung.\\
	
	\underline{Hilfssatz zum Beweis von (3):}\\ 
	{\em Behauptung}: $A\subseteq A\setminus B \ \Longleftrightarrow A\cap B=\emptyset$.\\
	{\em Beweis}: $\rkl{A\subseteq A\setminus B} \Longleftrightarrow \rkl{x\in A \Longrightarrow \rkl{x\in A \text{ und } x\notin B}} \Longleftrightarrow A\cap B=\emptyset$.
\end{description}
\item 
\begin{description} 
	\item[Gegenbeispiel mit spezieller, nicht aus einer Norm enstehenden Metrik] Man betrachte den metrischen Raum $(\R,d)$ mit
	\[d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}.\]
	Man überlegt sich leicht, dass $d$ tatsächlich eine Metrik mit Werten in $[0,1)$ ist, die topologisch äquivalent zur Betragsdifferenzmatrik ist, also dieselben offenen und abgeschlossenen Mengen erzeugt.\\
	Betrachte nun die Mengen
	\[K_n=[n,\infty).\]
  Diese Mengen sind abgeschlossen und in der gegebenen Metrik natürlich auch beschränkt und offensichtlich ist
  \[\bigcap^\infty_{n=1} K_n=\emptyset\quad\text{, aber}\quad K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}=K_r\] 
mit $r=\max\set{n_1,\ldots,n_m}$.
	\item[unendlichdimensionales Gegenbeispiel im normierten Raum] Da abgeschlossene, beschränkte Mengen in endlichdimensionalen Räumen stets kompakt sind, findet sich in solchen Räumen sicher kein Gegenbeispiel. Wir untersuchen den Raum, dessen Elemente unendliche, quadratisch summierbare Folgen sind, also
$$ l_2 := \left \{x=(x_1,x_2,\ldots, x_n, \ldots ) \quad\mbox{mit}\quad \|x\| := \left (\sum_{n=1}^\infty x_n^2 \right )^{\frac12} < \infty \right\}$$
und definieren die abgeschlossenen, nichtleeren Mengen
\bea
(1,0,0,0, \ldots) \in K_1 &:=& \left \{x \in l_2\ |\ \|x\|=1 \right \}\\
(0,1,0,0, \ldots) \in K_2 &:=& \left \{x \in K_1\ |\ \|x\|=1 , x_1=0 \right \} \subseteq K_1\\
(0,0,1,0,, \ldots) \in K_3 &:=& \left \{x \in K_2\ |\ \|x\|=1 , x_2=0 \right \}\subseteq K_2\\
\vdots\\
(\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1},1,0, \ldots) \in K_n &:=& \left \{x \in K_{n-1}\ |\ \|x\|=1 , x_{n-1}=0 \right \}\subseteq K_{n-1}\qquad\mbox{usw.}\\
\eea 
Dann ist zwar 
\[ \bigcap^\infty_{n=1} K_n=\emptyset\quad\text{, aber}\quad K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}=K_r\] 
mit $r=\max\set{n_1,\ldots,n_m}$.
\end{description}
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Offene Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 360: Durchnitt mit offenen Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es sei $A$ eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$. 
Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge $B$ von $M$ die Beziehung 
$A\cap \overline{B}\subseteq\overline{A\cap B}$ gilt.\\
\item Geben Sie ein Beispiel zweier Intervalle $A,B$ auf der reellen
Zahlengeraden an, für die die Menge $A\cap \overline{B}$ nicht
in der Menge $\overline{A\cap B}$ enthalten ist.\\
\item Geben Sie auf der reellen Zahlengeraden Beispiele offener Mengen
$A,B$ an, so dass die vier Mengen $A\cap \overline{B}$, $ \overline{A}\cap B$,
$\overline{A\cap B}$ und $ \overline{A}\cap \overline{B}$ sämtlich
voneinander verschieden sind.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 360}}\\
\begin{enumerate}
	\item Es gilt
\bea
x \in A \cap  \overline{B} &\Leftrightarrow& (x \in A)\mbox{ und }(x \in  \overline{B})\\ 
&\Leftrightarrow& (x \in A)\mbox{ und }((x \in B)\mbox{ oder }(\exists\, \{x_n\}\subseteq B\mbox{ mit }\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=x \in  \overline{B}))\\
&\Leftrightarrow& ((x \in A)\mbox{ und }(x \in B))\mbox{ oder }((x \in A) \mbox{ und }(\exists\, \{x_n\}\subseteq B\mbox{ mit }\lim_{n\rightarrow\infty}x_n= x \in  \overline{B}))\\  
&\stackrel{(*)}{\Leftrightarrow}& (x \in A \cap B)\mbox{ oder }(\exists\, \{x_n\}\subseteq A \cap B\mbox{ mit }\lim_{n\rightarrow\infty}x_n= x \in  \overline{B})\\  
&\stackrel{(**)}{\Rightarrow}& (x \in A \cap B)\mbox{ oder }(x \in  \overline{A \cap B})\\  
&\Leftrightarrow& x \in  \overline{A \cap B}\\  
\eea
Die Äquivalenz in (*) beruht auf der Tatsache, dass $A$ offen ist und mit dem inneren Punkt $x$ auch eine ganze $\varepsilon$-Umgebung enthält, in der sich - wenigstens von einem $n_0$ an - auch die Glieder der Folge $\{x_n\}$ befinden müssen.\\
In (**) kommt man nicht zurück, da die Menge $\overline{A\cap B}$ auch Randpunkte von $A$ mit enthalten kann, die aber in der darüberstehenden Menge nicht vorkommen.\\

Wir haben gezeigt: $\qquad x \in A \cap  \overline{B} \Rightarrow x \in \overline{A \cap  B}$, d.~h. $A \cap  \overline{B} \subseteq \overline{A \cap  B}$. 
\item Setze z. B. $A=[-1,0],\quad B=(0,1]$, dann ist $A \cap  \overline{B} =\{0\}$, aber $A \cap B = \emptyset =  \overline{A \cap B}$.
\item

\begin{center}
	\begin{tabular}{lcc}
		Setze & $A=(0,2) \cup (4,5)$,& $B=(1,3)\cup (5,6)$,\\
		dann ist & $ \overline{A}=[0,2] \cup [4,5]]$,& $ \overline{B}=[1,3]\cup [5,6]$,\\
	\\	&$A \cap B = (1,2)$ \\
		&  $\overline{A \cap B}=[1,2]$\\
		&$ \overline{A} \cap  \overline{B}\ = [1,2]\cup \set{5}$\\
		&$A \cap  \overline{B}\ = [1,2)$\\
		&$ \overline{A} \cap B\ = (1,2]$\\
	\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Stetigkeit }
\renewcommand{\labelenumii}{\roman{enumii})}
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 361: Stetigkeit und Topologie
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $X$ und $Y$ metrische Räume und $f:X\mapsto Y$ eine stetige Abbildung.
\begin{enumerate}
	\item Geben Sie wenigstens drei mögliche Definitionen von Stetigkeit an und beweisen Sie deren Äquivalenz.
	\item Beurteilen Sie den Wahrheitswert folgender Aussagen, indem Sie diese beweisen oder ein Gegenbeispiel angeben.
\begin{enumerate}
	\item Die Bilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.
	\item Die Urbilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.
	\item Die Bilder offener Mengen unter $f$ sind wieder offen.
	\item Die Urbilder offener Mengen unter $f$ sind wieder offen.
	\item Die Bilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind wieder abgeschlossen.
	\item Die Urbilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind wieder abgeschlossen.
	\item Die Bilder kompakter Mengen unter $f$ sind wieder kompakt.
	\item Die Urbilder kompakter Mengen unter $f$ sind wieder kompakt.
\end{enumerate}
\item Wie ändern sich die Aussagen, wenn $X$ und $Y$ normierte Vektorräume sind und $f$ auch noch linear ist?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 361}}\\
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item $f$ heißt stetig in $x_0\in X$ $:\Leftrightarrow$ Für alle $\ve>0$ existiert ein $\delta(\ve, x_0)$,\\ so dass gilt: $d(x,x_0)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(x_0))<\ve$.  
	\item $f$ heißt stetig in $x_0\in X$ $:\Leftrightarrow$ Für alle $\ve>0$ existiert ein $\delta(\ve, x_0)$,\\ so dass gilt: $f\rkl{B_\delta(x_0)}\subset B_\ve\rkl{f(x_0)}$.  
	\item $f$ heißt stetig in $x_0\in X$ $:\Leftrightarrow$ Für alle Folgen $\ser{x_n}\subset X$ mit\\ $\nlim x_n=x_0$ ist $\nlim f(x_n)=f(x_0)$.  
\end{enumerate}
Beweis der Äquivalenz:\\
\begin{description}
	\item[i) $\Leftrightarrow$ ii):] Offensichtlich, da $x \in B_\rho(x_0) \Leftrightarrow  d(x,x_0)<\rho$.
		\item[i) $\Rightarrow$ ii):] Für das zu gegebenem $\ve>0$ nach Voraussetzung existiernde $\delta(\ve,x_0)>0$ existiert ein $n_0(\delta)$, so dass für $n>n_0$ $d(x_n,x_0)<\delta$ ist. Dann ist nach Voraussetzung aber auch $d(f(x_n),f(x_0))<\ve$, d.~h. $\nlim  f(x_n)=f(x_0)$.
		\item[i) $\Leftarrow$ ii):] (Indirekter Beweis) Angenommen zu einem $\ve_0$ gäbe es kein derartiges $\delta$, dann esistiert also zu $\delta=\frac{1}{n}$ ein $x_n$ mit $d(x_n,x_0)<\frac{1}{n}$, aber $d(f(x_n),f(x_0))\geq \ve_0$, d.~h. die Folge $\ser{f(x_n)}$ kann nicht gegen $f(x_0)$ konvergieren. Da aber offensichtlich $\nlim x_n=x_0$ ist, ist dies eine Widerspruch zur Voraussetzung.
\end{description}
Wir haben iii) $\Leftrightarrow$ ii) $\Leftrightarrow$ i) gezeigt, damit sind alle drei Aussagen äquivalent. 
\item
\begin{enumerate}
	\item Die Bilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.\\
	falsch: $\tan((\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}))=\R$.
	\item Die Urbilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.\\
	falsch: $\arctan(\R)=(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.
	\item Die Bilder offener Mengen unter $f$ sind wieder offen.\\
	falsch: $\sin((0,2\pi))=[-1,1]$.
	\item Die Urbilder offener Mengen unter $f$ sind wieder offen.\\
	richtig, folgt sofort aus der Definition unter a) ii). In allgemeinen toplogischen Räumen (ohne Metrik) wird dies als Definition der Stetigkeit benutzt.
	\item Die Bilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind wieder abgeschlossen.\\
	falsch: $\exp(-\infty,0])=(0,1]$
	\item Die Urbilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind wieder abgeschlossen.\\
	richtig: Zum Beweis kann man a) iii) benutzen. Sei $A\subset Y$ abgeschlossen und $\ser{x_n}\subset f^{-1}(A)\subset X$ mit $\nlim x_n=x_0$, dann ist $\nlim f(x_n)=f(x_0)\in A$ und somit $x_0\in f^{-1}(A)$, also ist auch $f^{-1}(A)$ abgeschlossen.
	\item Die Bilder kompakter Mengen unter $f$ sind wieder kompakt.\\
	richtig: Sei $K\subset X$ kompakt und sei $\set{O_\alpha}_{\alpha\in I}$ eine beliebige Überdeckung von $f(K)\subset Y$ durch offenen Mengen. Dann sind wegen iv) die Mengen $\tilde{O}_\alpha=f^{-1}(O_\alpha)$ ebenfalls offen und bilden eine Überdeckung von $K$. Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man nun endlich viele dieser Mengen auswählen, die $K$ immer noch überdecken. Dies seien mit $\tilde{O}_1,\ldots,\tilde{O}_m$ bezeichnet, d.~h. es ist
	\[K\subset \bigcup_{i=1}^m \tilde{O}_i=\bigcup_{i=1}^m f^{-1}(O_i),\]
	also
	\[f(K) \subset \bigcup_{i=1}^m f\rkl{f^{-1}(O_i)}\subset \bigcup_{i=1}^m O_i.\]
	Damit ist eine endlichen Teilüberdeckung gefunden, also ist auch $f(K)$ kompakt.\\
	Benutzt wurde noch die Beziehung $f\rkl{f^{-1}(A)}\subset A$, diese gilt aber offensichtlich für alle Teilmengen $A\subset Y$.
	\item Die Urbilder kompakter Mengen unter $f$ sind wieder kompakt.\\
	falsch: Für die stetige $\sin$-Funktion ist das Urbild der Menge $[-1,1]$ ganz $\R$. 
\end{enumerate}
 \item Bei linearen Funktionen ist Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit. Genauer gilt:
 \[f \text{ ist stetig für alle } x\in X \Leftrightarrow \exists\ c>0, \text{ so dass } \norm{f(x)}_Y\leq c\,\norm{x}_X\ \forall\ x\in X.\]
 Alle Aussagen, die bereits richtig sind, bleiben richtig, da normierte Räume mit der Metrik $d(x_1,x_2)=\norm{x_1-x_2}$ auch metrische Räume sind. Unsere Gegenbeispiele sind aber alle nichtlinear, so dass diese Aussagen nochmal überprüft werden müssen.
\begin{description}
	\item[i)] Die Bilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.\\
	nunmehr richtig, denn aus $\norm{x}_X<\rho$ folgt $\norm{f(x)}_Y \leq c\,\rho$. 	\item[ii)] Die Urbilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.\\
	immer noch falsch: Die Abbildung $f:\R^2\mapsto \R,\ f(x_1,x_2)=x_1$ ist offensichtlich linear und wegen
	\[\abs{f(x_1,x_2)-f(y_1,y_2)}=\abs{x_1-y_1}\leq \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\] auch (Lipschitz-)stetig, aber das Urbild $\set{1}\times \R$ der beschränkten Menge $\set{1}$ ist unbeschränkt.
	\item[iii)] Die Bilder offener Mengen unter $f$ sind wieder offen.\\
	immer noch falsch: Betrachte die stetige Einbettung $f:\R\mapsto \R^2,\ f(x)=(x,0)$. Das Bild $(0,1)\times \set{0}$ der offenen Menge $(0,1)\in \R$ ist in $\R^2$ nicht offen.
	\item[v)] Die Bilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind wieder abgeschlossen.\\
	falsch: $\exp(-\infty,0])=(0,1]$
	\item[viii)] Die Urbilder kompakter Mengen unter $f$ sind wieder kompakt.\\
	immer noch falsch: Man kann hier auch das Beispiel unter ii) benutzen. 
\end{description}
 
\end{enumerate}


% Ende der Lösung
\newpage
\chapter{ Zusammenhang }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 362: Beispiel für einen nicht zusammenhängenden topologischen Raum
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\textbf{Definition:} Ein topologischer Raum $(X, \tau)$ heißt \emph{zusammenhängend} genau dann, wenn keine offenen, disjunkten, nichtleeren Mengen $U, V \in \tau$ mit $X = U \cup V$ existieren.

$(X, \tau)$ heißt \emph{bogenzusammenhängend} genau dann, wenn für alle $x, y \in X$ eine stetige Abbildung $\omega : [a, b] \subset \R \to X$ mit $\omega(a) = x, \omega(b) = y$ existiert. $\omega$ heißt Weg von $x$ nach $y$.

$A \subset X$ heißt zusammenhängend (bogenzusammenhängend) genau dann, wenn $(A, \tau_A)$ zusammenhängend (bogenzusammenhängend) ist. D.~h. $A \subset X$ ist zusammenhängend, genau dann wenn
es keine offenen Mengen $U, V \subset X$ gibt, so dass
\begin{itemize}
	\item $A \subseteq U \cup V$,
	\item $A \cap (U \cap V ) = \emptyset$,
	\item $A \cap U \neq \emptyset,\ A \cap V \neq \emptyset$. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Sei $\R^2$ mit der Standardtopologie versehen. Betrachten Sie den Teilraum
$$X:= \{ (x,y)\in \R^2 \, |\,  x>0,\,  y=0\} \cup \{ (x,y)\in \R^2 \, |\, x>0, \, y=\frac{1}{x}\}$$
versehen mit der Relativtopologie. Ist $X$ zusammenhängend? Ist $X$ wegzusammenhängend?
\item Zeigen Sie, dass die zusammenhängenden Mengen von $\R$ gerade die Intervalle sind.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Lösungstext
% Hier Lösung eintragen
\underline{\textbf{Lösung 362}}\\
\begin{enumerate}
	\item Setze
	\[ A:=\{ (x,y)\in \R^2 \, |\,  x>0,\,  y=0\} \quad\text{und}\quad B:= \{ (x,y)\in \R^2 \, |\, x>0, \, y=\frac{1}{x}\},\]
	sowie
	\[ U:= \bigcup_{x>0} B_{\frac{1}{3x}} (x,0)\quad\text{und}\quad V:=\bigcup_{x>0} B_{\frac{1}{3x}} (x,\frac{1}{x}).\]
	Hierbei bedeutet $B_r(x,y)$ eine offene Kugel vom Radius $r$ um $(x,y)\in \R^2$. Dann ist aber
	\[ U\cap X =A \neq\emptyset, \ V\cap X =B \neq\emptyset, \ X\subseteq U\cup V \quad\text{und}\quad X \cap U \cap V = \emptyset,\]
	also eine Zerlegung von $X$ und $X$ ist nicht zusammenhängend. Damit kann $X$ auch nicht bogenzusammenhängend sein, denn bogenzusammenhängende topologische Räume sind zusammenhängend.
	
	\item Intervalle in $I \subseteq \R$ sind nach Definition bogenzusammenhängend, denn die identische Abbildung liefert für beliebige $a, b \in I, a<b$ einen stetigen Weg $id: [a, b] \to [a,b]$. Damit sind Intervalle erst recht zusammenhängend.
	
	Sei nun $A \subseteq \R$ eine zusammenhängende Menge. Wir setzen
	\[ a := \begin{cases} \inf A & \text{ falls } A \text{ nach unten beschränkt ist,}\\ -\infty & \text{ sonst.} \end{cases}\]
	und
	\[ b := \begin{cases} \sup A & \text{ falls } A \text{ nach oben beschränkt ist,}\\ \infty & \text{ sonst.} \end{cases}\]
	Angenommen, $A$ wäre kein Intervall, dann existierte ein $c\in \R,\ a <c <b,\ c\notin I$. Wir setzen
	$U:= ]-\infty, c[,\ V:= ]c, \infty[$, dann wäre $A \subseteq U \cup V$, $]a,c[ \subseteq A\cap U$, $]c,b[ \subseteq B\cap U$ und $ U \cap V \cap A = \emptyset$, also $A$ nicht zusammenhängend im Widerspruch zur Annahme.
\end{enumerate}



% Ende der Lösung
\newpage
\end{document}
