%Vorlage für Aufgabentext
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\underline{\textbf{Kürzbarkeit in Halbgruppen
}}\\

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Sei $H$ eine Halbgruppe. Ein Element $x \in H$ heißt \underline{linkskürzbar} (\underline{rechtskürzbar}), wenn für alle $a, b \in H$ gilt: Aus $xa = xb$ ($ax = bx$) folgt $a=b$. $x$ heißt \underline{kürzbar}, wenn $x$ links- und rechtskürzbar ist. Man sagt, \underline{in} $H$ \underline{gilt die Kürzungsregel}, wenn jedes Element von $H$ kürzbar ist. Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] In jeder Gruppe $G$ gilt die Kürzungsregel.
\item[b)] $H$ ist Gruppe genau dann, wenn $H$ ein linksneutrales Element $e$ besitzt und wenn es für jedes $x \in H$ ein $x' \in H$ gibt mit $x'x = e$.
\item[c)] Sei $H$ eine endliche Halbgruppe. $H$ besitzt genau dann ein linksneutrales (rechtsneutrales, neutrales) Element, wenn $H$ ein linkskürzbares (rechtskürzbares, kürzbares) Element besitzt.
\item[d)] Eine endliche Halbgruppe $H$ ist genau dann eine Gruppe, wenn in $H$ die Kürzungsregel gilt.
\end{description}
{\footnotesize {\it Hinweis:} Für $x \in H$ betrachte man die durch $h \mapsto xh$ bzw. $h \mapsto hx$ für alle $h \in H$ gegebenen Abbildungen $\lambda_x, \rho_x : H \to H$ (\underline{Linkstranslation}, \underline{Rechtstranslation} mit $x$) und beachte, dass $x$ genau dann linkskürzbar bzw. rechtskürzbar ist, wenn $\lambda_x$ bzw. $\rho_x$ injektiv ist.}

\end{minipage}
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%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
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\end{tabular}
}
