%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{spezielle Lösung der Wärmeleitungsgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $ v = v(z), z>0 $ eine reelle Funktion einer reellen Variablen z und $ u = u(x,t) = v(\frac{x^2}{t}) $ für $ x \in \mathbb{R} , t>0. $ 
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie: u genügt genau dann der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung
\begin{displaymath} u_t = u_{xx}, \end{displaymath}
wenn
\begin{displaymath} 4zv''(z)+(2+z)v'(z) = 0, z>0. \end{displaymath}
\item Zeigen Sie, daß die allgemeine Lösung der letzten Gleichung für v gegeben wird durch
\begin{displaymath} v(z) = c* \int\limits_0^z\, e^{- \frac{1}{4}s}*s^{- \frac{1}{2}} \,ds + d \end{displaymath}
mit Konstanten c, d. 
\item Differenzieren Sie $ v(\frac{x^2}{t}) $ nach x und bestimmen Sie die Konstante c so, daß der Wärmeleitungskern im \( \mathbb{R}^1 \) entsteht.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
