%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Existenz und Berechnung der n-ten Wurzel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $x, y \in \R,\ 0<x, 0<y<1,\ y<x$ und $p\in \N \backslash \{0\}$.\\ 
Die Abbildungen $f_+, f_-:\N \mapsto \R$ seien wie folgt definiert
$$f_-(0)=y,\quad f_-(n+1)=f_-(n)+h(f_-(n)), \quad f_+(n)=f_-(n)+g(f_-(n)),$$
wobei für $z>0$
$$h(z)=\min\left\{1,\frac{x-z^p}{p(z+1)^{p-1}}\right\},\quad g(z)=\frac{x-z^p}{pz^{p-1}}.$$
Zeige
$$f_-(n)\leq f_-(n+1)\leq f_+(m), \quad \forall_{n,m}$$
und beweise damit
$$\sup f_-(\N) = \inf\{\sup\{f_+(m)\,|\,m>k\}\,|\,k\in \N\} = \sqrt[p]{x}$$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
