%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Ideale in $\Z$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine Teilmenge $I$ von $\Z$ heißt
  \underline{Ideal} von $\Z$, wenn $I \ne \emptyset$ und wenn für alle $a \in
  \Z$ und alle $x, y \in I$ gilt $ax, x + y \in I$. \\
  
  Z. B. sind $\{0\}$ und
  $\Z$ Ideale von $\Z$. $\{0\}$ wird \underline{Nullideal} genannt und oft
  kurz mit $O$ bezeichnet. Offensichtlich gilt $O \subseteq I$ für jedes Ideal
  $I$ von $\Z$.\\

Für eine Teilmenge $X$ von $\Z$ setzen wir
\[\Z X := \begin{cases} O, & X = \emptyset\\\set{\sum_{i=1}^n a_ix_i~|~n \in \N, a_1,\dots,a_n \in \Z,
x_1,\dots,x_n \in X}, & X \ne \emptyset\end{cases}\]
Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Für jede Teilmenge $X$ von $\Z$ ist  $\Z X$ Ideal von $\Z$.
\item[b)] Ist ${\cal I}$ eine Menge von Idealen von $\Z$, so ist $\bigcap_{I \in {\cal I}} I$ Ideal von $\Z$.
\item[c)] Sei $X \subseteq \Z$ und ${\cal I}$ die Menge aller Ideale $I$ von $\Z$ mit $X \subseteq I$. Dann gilt $\Z X = \bigcap_{I \in {\cal I}} I$.
\item[d)] Für ein Ideal $I$ von $\Z$ gilt $I \cap \N^+ \ne \emptyset$ genau dann, wenn $I \ne O$.
\end{description}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
