%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Definition und Berechnung von $\e$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Betrachte die rellen Folgen $\{a_n\}$ und $\{s_n\}$ mit
$$a_n = (1 + \frac1n)^n \qquad\mbox{ und }\qquad s_n = \sum^n_{k=0} \frac1{k!}$$
Definiere $\e := \lim_{n\rightarrow \infty} s_n$. Warum ist dies wohldefiniert?
\ben
\item[a)] Zeige: $a_n = \sum^n_{k=0} \bma{c}n\\k\\\ema \frac 1{n^k}$ und $a_n \leq s_n$ f.a. $n \in \N$.
\item[b)] Folgere: $\{a_n\}$ konvergiert und $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \leq \e$.
\item[c)] Zeige: Für alle $m > n$ gilt 
$$a_m \geq 1 + 1 + (1 - \frac1m)\frac1{2!}+ \dots + (1 -\frac1m)(1 -\frac2m) \dots (1 -\frac{n-1}m)\frac1{n!} .$$
\item[d)] Folgere $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \geq s_n$ f.a. $n \in \N$ und $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \geq \e$. Also $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \e$.
\een
Diese Aufgabe zeigt $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim_{n\rightarrow \infty} s_n = \e$, die sogenannte Eulersche Zahl.\\

Versuche die Zahl $\e$ jeweils mit $a_n$ und $s_n$ zu approximieren. Wie groß muß jeweils $n \in \N$ sein, um $\e$ mit fünf Dezimalen genau zu berechnen?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
