%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Messbare Mengen bilden Algebra
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $\mu$ ein (äußeres) Maß auf der Potenzmenge $\mathcal{A}=2^X$ einer Grundmenge $X$. Eine Menge $A \in \mathcal{A}$ heißt messbar gdw.
$$ \mu(B) = \mu(B \cap A) + \mu(B \backslash A) \quad\mbox{für alle}\quad B \in \mathcal{A}.$$

Zeigen Sie:
\ben
\item $\emptyset$ ist messbar.
\item Nullmengen sind messbar.
\item $X$ ist messbar.
\item Ist $A\in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $X \backslash A$ messbar.
\item Sind $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $D:=A_1 \cap A_2$ messbar.
\item Sind $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $V:=A_1 \cup A_2$ messbar.
\een 

\underline{Bemerkung:} Aus den Punkten a), d) und e) folgt bereits, dass die messbaren Mengen eine Algebra bilden.\\

\underline{Zusatzaufgabe:} Zeige, dass die messbaren Mengen sogar eine $\sigma$-Algebra bilden, d.~h.:\\

Sind $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A}$ messbar, dann sind auch 
$$ D= \bigcap_{i=1}^\infty\, A_n \quad\mbox{und}\quad V=\bigcup_{i=1}^\infty\, A_n $$
messbar.
 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}
