%Vorlage für Aufgabentext
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\underline{\textbf{a-Brüche
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Einem gegebenen $a$-Bruch $(z_1z_2 \ldots z_h, z_{h+1} \ldots)_a$ wird die
Intervallschachtelung $I_n = [a_n, b_n],\ n = 1, 2, \ldots$ mit
\begin{equation}\tag{*}
	a_n := \sum^n_{i=1}\,z_i a^{h-i},\quad b_n := a_n + a^{h-n}
\end{equation}
zugeordnet.
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie für den Dualbruch $(1010,101010 \ldots)_2$ diese Intervallschachtelung und
die eindeutig bestimmte reelle Zahl, die allen diesen Intervallen angehört.
	\item Zu jeder reellen Zahl x > 0 existiert ein a-Bruch,
so dass $x \in [a_n, b_n),\ n \in \N$ mit $a_n, b_n$ entsprechend (*) gilt. Zeigen Sie, dass für die Ziffern 
$z_n$ dann auch die folgende Beziehung gilt:
\[ z_n = \left\lfloor x a^{n-h}\right\rfloor - a \left\lfloor x a^{n-h-1}\right\rfloor.\]
(Hierbei bezeichnet $\left\lfloor y\right\rfloor$ den ganzen Anteil einer reellen Zahl $y$.)
	\item Bestimmen Sie die (periodischen) $a$-Bruchentwicklungen der Zahlen $z=1/(a - 1)^2$ für
$a = 3, 4, 5, 6, 7$. Welche Vermutung ergibt sich für den Fall eines beliebigen $a \in \N,\ a \geq 2$?
Versuchen Sie, Ihre Vermutung zu beweisen.
\end{enumerate}
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%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
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