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%%% Pakete - eventuell weitere hinzufügen
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%%% Numerierte Paragraphen
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\input{macros}

\begin{document}

\part{ Algebra }
\chapter{ Gruppen und Halbgruppen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 1: Kürzbarkeit in Halbgruppen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $H$ eine Halbgruppe. Ein Element $x \in H$ heißt \underline{linkskürzbar} (\underline{rechtskürzbar}), wenn für alle $a, b \in H$ gilt: Aus $xa = xb$ ($ax = bx$) folgt $a=b$. $x$ heißt \underline{kürzbar}, wenn $x$ links- und rechtskürzbar ist. Man sagt, \underline{in} $H$ \underline{gilt die Kürzungsregel}, wenn jedes Element von $H$ kürzbar ist. Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] In jeder Gruppe $G$ gilt die Kürzungsregel.
\item[b)] $H$ ist Gruppe genau dann, wenn $H$ ein linksneutrales Element $e$ besitzt und wenn es für jedes $x \in H$ ein $x' \in H$ gibt mit $x'x = e$.
\item[c)] Sei $H$ eine endliche Halbgruppe. $H$ besitzt genau dann ein linksneutrales (rechtsneutrales, neutrales) Element, wenn $H$ ein linkskürzbares (rechtskürzbares, kürzbares) Element besitzt.
\item[d)] Eine endliche Halbgruppe $H$ ist genau dann eine Gruppe, wenn in $H$ die Kürzungsregel gilt.
\end{description}
{\footnotesize {\it Hinweis:} Für $x \in H$ betrachte man die durch $h \mapsto xh$ bzw. $h \mapsto hx$ für alle $h \in H$ gegebenen Abbildungen $\lambda_x, \rho_x : H \to H$ (\underline{Linkstranslation}, \underline{Rechtstranslation} mit $x$) und beachte, dass $x$ genau dann linkskürzbar bzw. rechtskürzbar ist, wenn $\lambda_x$ bzw. $\rho_x$ injektiv ist.}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Körper }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 2: Körper mit 2 und 3 Elementen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie alle Körper mit 2 und 3 Elementen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Restklassen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 3: Division mit Rest
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $n \in \Z$, $n \ne 0$. Zeigen Sie, dass es für jedes $m \in \Z$ eindeutig durch $m$ bestimmte $q, r \in \Z$ gibt mit
\[m = qn + r\quad\mbox{und}\quad 0 \le r < |n|.\]
$q$ heißt \underline{partieller Quotient} und $r$ \underline{Rest} der Division von $m$ durch $n$. Mitunter bezeichnet man diesen Rest $r$ mit $r_n(m)$. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 4: Division mit Rest II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $n \in \Z$. Für $m \in \Z$ setzen wir:
$$r_n(m) := \begin{cases}m & \mbox{wenn } n= 0\\r & \mbox{wenn } n \ne 0\end{cases},$$
wobei $r$ im Fall $n \ne 0$ die eindeutig bestimmte ganze Zahl ist mit $0 \le r < |n|$ und $m = qn + r$ für geeignetes $q \in \Z$,  (siehe "`Division mit Rest I"').\\

Zeigen Sie:
\begin{description}
	\item[a)] Für $a, b \in \Z$ gilt $r_n(a) = r_n(b)$ genau dann, wenn $n| a-b$.
  \item[b)] Für alle $a, b \in \Z$ gilt
\begin{eqnarray*}
r_n(a+b) &=& r_n(r_n(a) + b) \:=\: r_n(a + r_n(b)) \:=\: r_n(r_n(a) + r_n(b))\quad\mbox{und}\\
r_n(a\cdot b) &=& r_n(r_n(a)\cdot b) \:=\: r_n(a\cdot r_n(b)) \:=\: r_n(r_n(a)\cdot r_n(b)).
\end{eqnarray*}
 \item[c)] Die Relation "`$a \equiv b \Longleftrightarrow r_n(a) = r_n(b)$"' ist eine Äquivalenzrelation über $\Z$. Die dazugehörigen Äquivalentklassen heißen auch \underline{Restklassen modulo n}.
\end{description}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 5: Division mit Rest III
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für $n \in \N$ setzen wir
\[L_n := \begin{cases}\Z &  n = 0\\\{0,1,\dots,|n|-1\} & n \ne 0\end{cases}\] und definieren zweistellige Operationen $\oplus_n$ und $\odot_n$ auf $L_n$, indem wir für alle $a, b \in L_n$ setzen (siehe Division mit Rest II)
\[a \oplus_n b := r_n(a+b) \quad\mbox{und}\quad a \odot_n b := r_n(a\cdot b).\]
(Da offensichtlich $L_n = L_{-n}$, $\oplus_n = \oplus_{-n}$ und $\odot_n = \odot_{-n}$, kann man sich bei den nachfolgenden Überlegungen auf den Fall $n \in \N$ beschränken.) \\

Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] $(L_n,\oplus_n,\odot_n)$ ist für alle $n \in \Z$ ein kommutativer Ring mit Einselement.
\item[b)] $L_n$ ist genau dann ein Körper, wenn $n$ Primelement ist.
\end{description}
{\it Bemerkung:} Statt $\oplus_n$ und $\odot_n$ schreibt man kurz $+$ und $\cdot$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Ringe }
\section{ C(R) }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 6: Definition und Eigenschaften von $C(R)$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $R$ ein Ring. In $R^2 = R\times R$ führen wir zwei zweistellige Operationen $+$ und $\cdot$ ein, indem wir für alle $(r_1,r_2), (s_1,s_2) \in R\times R$ setzen
\begin{eqnarray*}
(r_1,r_2) + (s_1,s_2) &:=& (r_1 + s_1,r_2 + s_2)~\mbox{ und}\\
(r_1,r_2)\cdot (s_1,s_2) &:=& (r_1s_1- r_2s_2, r_1s_2 + r_2s_1).
\end{eqnarray*}
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item $(R^2, +, \cdot)$ ein Ring ist, der genau dann kommutativ ist, wenn $R$ es ist. Man bezeichnet ihn mit $C(R)$.
	\item $C(R)$ besitzt ein Einselement genau dann, wenn $R$ ein Einselement besitzt.
  \item Identifiziert man $x \in R$ mit $(x,0_R) \in C(R)$, so ist $R$ Unterring von $C(R)$. 
  (Damit darf man z. B. $0_{C(R)} = 0_R$ setzen usw.)
  \item Sei $R$ kommutativ. Definiert man für $u := (a,b) \in C(R)$ die \underline{Norm} von $u$ durch $R \ni N(u) := a^2 + b^2$ ($=(a,b)(a,-b)$ wegen der in c) definierten Identifizierung), so gilt $N(uv) = N(u)N(v)$ für alle $u, v \in C(R)$.
  \item Sei $R$ kommutativ. Für $u \in C(R)$ gilt $u \in C(R)^*$ genau dann, wenn $N(u) \in R^*$\footnote{Für einen Ring $R$ bezeichnet $R^*$ die Teilmenge der bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente von $R$}.
  \item Sei $R$ kommutativ. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
  \begin{description}
\item[(i)] $C(R)$ ist Integritätsring (Körper)
\item[(ii)] $R$ ist Integritätsring (Körper) und $N(u) \ne 0_R$ für alle $u \in C(R) \setminus \{0_R\}$
\item[(iii)] $N(u) \ne 0_R$ ($N(u) \in R^*$) für alle $u \in C(R) \setminus \{0_R\}$.
\end{description}
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Homomorphismen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 7: Spurhomomorphismus
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement und $n \in \N^+$. Ist $f : R^{n,n} \to R$ ein $R$-Homomorphismus mit $f(AB) = f(BA)$ für alle $A, B \in R^{n,n}$, so gibt es ein $r \in R$ mit
  $f = r\cdot\mbox{spur}$ (d.~h. $f(A) = r\,\mbox{spur} A$ für alle $A \in R^{n,n}$).

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Ideale }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 8: Ideale in $\Z$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine Teilmenge $I$ von $\Z$ heißt
  \underline{Ideal} von $\Z$, wenn $I \ne \emptyset$ und wenn für alle $a \in
  \Z$ und alle $x, y \in I$ gilt $ax, x + y \in I$. \\
  
  Z. B. sind $\{0\}$ und
  $\Z$ Ideale von $\Z$. $\{0\}$ wird \underline{Nullideal} genannt und oft
  kurz mit $O$ bezeichnet. Offensichtlich gilt $O \subseteq I$ für jedes Ideal
  $I$ von $\Z$.\\

Für eine Teilmenge $X$ von $\Z$ setzen wir
\[\Z X := \begin{cases} O, & X = \emptyset\\\set{\sum_{i=1}^n a_ix_i~|~n \in \N, a_1,\dots,a_n \in \Z,
x_1,\dots,x_n \in X}, & X \ne \emptyset\end{cases}\]
Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Für jede Teilmenge $X$ von $\Z$ ist  $\Z X$ Ideal von $\Z$.
\item[b)] Ist ${\cal I}$ eine Menge von Idealen von $\Z$, so ist $\bigcap_{I \in {\cal I}} I$ Ideal von $\Z$.
\item[c)] Sei $X \subseteq \Z$ und ${\cal I}$ die Menge aller Ideale $I$ von $\Z$ mit $X \subseteq I$. Dann gilt $\Z X = \bigcap_{I \in {\cal I}} I$.
\item[d)] Für ein Ideal $I$ von $\Z$ gilt $I \cap \N^+ \ne \emptyset$ genau dann, wenn $I \ne O$.
\end{description}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 9: Ideale in $\Z$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für $x \in \Z$ setzen wir $\Z x := \Z\{x\} \,\big(= \{ax~|~a \in \Z\}\big)$, s. Aufgabe "`Ideale in $\Z$"'. 

Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Seien $m,n \in \Z$. Dann gilt $m|n$ genau dann, wenn $\Z n \subseteq \Z m$. 

Ferner sind äquivalent:
\begin{description}
\item[(i)] $n|m$ und $m|n$
\item[(ii)] $\Z m = \Z n$
\item[(iii)] $m = \pm n$.
\end{description}
{\footnotesize Man verwende, dass für $a, b \in \Z$ gilt: Wenn $ab = 0$, so folgt $a=0$ oder $b=0$. Wenn $ab = 1$, so folgt $a = b = \pm 1$.}

\item[b)] Für jedes Ideal $I$ von $\Z$ gibt es ein eindeutig bestimmtes $m \in \N$ mit $I = \Z m$.

{\footnotesize Unter Verwendung der Aufgabe "`Ideale in $\Z$"' betrachte man $I \cap \N^+$. Im Fall $I \ne O$ benutze man Division mit Rest.}
\end{description}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Matrizenringe }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 10: Beispiel für einen kommutativen Unterring
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie:\\
\begin{enumerate}
	\item Die Teilmenge der quadratischen $(2,2)$-Matrizen mit der Gestalt
\[A=\begin{pmatrix}a& b\\b & a\end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad a,b\in \R\]
bildet einen kommutativen Unterring im Ring der $(2,2)$-Matrizen.
	\item Die Teilmenge der quadratischen $(2,2)$-Matrizen mit der Gestalt
\[A=\begin{pmatrix}a& b\\-b & a\end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad a,b\in \R\]
bildet einen kommutativen Unterring im Ring der $(2,2)$-Matrizen.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Nullteiler }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 11: Integritätsringe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $R$ ein Ring. $x \in R$ heißt \underline{linker} (\underline{rechter}) \underline{Nullteiler} von $R$, wenn es ein $y \in R \setminus\{0_R\}$ gibt mit $xy = 0_R$ ($yx = 0_R$). $x$ heißt \underline{Nullteiler} von $R$, wenn $x$ linker oder rechter Nullteiler von $R$ ist. $R$ heißt \underline{nullteilerfrei}, wenn $R$ außer $0_R$ keine Nullteiler besitzt. Ein kommutativer nullteilerfreier Ring $R$ mit Einselement $1_R \ne 0_R$ heißt \underline{Integritätsring}. Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Jeder endliche nullteilerfreie Ring mit wenigstens zwei Elementen ist Schiefkörper.\\
{\footnotesize {\it Bemerkung:} Nach einem Satz von Wedderburn ist jeder derartige Ring bereits kommutativ, also ein Körper.} 
\item[b)] Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper.
\item[c)] Für alle $n \in \N$ mit $n\ge 2$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent (s. Übungsaufgabe 30):

(i) $L_n$ ist Integritätsring\quad (ii) $L_n$ ist Körper\quad (iii) $n$ ist Primzahl.
\end{description}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Teilbarkeit }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 12: Größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame
    Vielfache I
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $X~\subseteq~\Z$.\\
$n~\in~\Z$ heißt \underline{größter gemeinsamer Teiler} von $X$  ($\ggT\, X$), wenn folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $n|x$ für alle $x \in X$ und
\item $s|n$  für alle $s \in \Z$ mit $s|x$ für alle $x \in X$.
\end{itemize}
$n~\in~\Z$ heißt \underline{kleinstes gemeinsames Vielfaches} von $X$  ($\kgV\,X$), wenn folgendes gilt:
\begin{itemize}
\item $x|n$ für alle $x \in X$ und
\item $n|s$ für alle $s \in \Z$ mit $x|s$ für alle $x \in X$.
\end{itemize}
Mit $\GgT\, X$ ($\KgV\, X$) bezeichnen wir die Menge aller größten gemeinsamen Teiler (kleinsten gemeinsamen Vielfachen) von $X$.\\ 
Offensichtlich gilt $\GgT\, \emptyset = \GgT\, \{0\} = \{0\} = \KgV\, \Z$ und $\GgT\, \Z  = \{1,-1\} = \KgV\, \emptyset$. (Hierzu verwendet man: Wenn für $a \in \Z$ gilt $a|\pm 1$, so folgt $a =\pm 1$.)\\ 
Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] $\GgT\, X = \GgT\, \Z X$
\item[b)] Sei $I$ Ideal von $\Z$. Für $n \in \Z$ sind äquivalent:
\begin{description}
\item[(i)] $n \in \GgT\, I$
\item[(ii)] $n \in I$ und $n|m$ für alle $m \in I$
\item[(iii)] $I = \Z n$.
\end{description}
\item[c)] $\KgV\, X = \GgT\, \bigcap_{x \in X} \Z x$.
\end{description}
Insbesondere sind $\GgT\, X$ und $\KgV\, X$ für jede Teilmenge $X$ von $\Z$ nicht
leer. Weiterhin gilt für $n \in \GgT\, X$: Es gibt $a_1,\dots,a_p \in \Z$ und
$x_1,\dots, x_p \in X$ mit $n = a_1x_1 + \ldots + a_px_p$.

{\footnotesize {\it Bemerkung:} Nach dem Darstellungssatz für Ideale in $\Z$ gibt es eindeutig
  bestimmte $m,n \in \N$ mit $\Z X = \Z n$ und $\bigcap_{x \in X} \Z x = \Z
  m$. Dann gilt $\GgT X = \{n,-n\}$ und $\KgV X = \{m,-m\}$. Meist bezeichnet
  man $n$ als den größten gemeinsamen Teiler und $m$ als das kleinste
  gemeinsame Vielfache von $X$ und setzt $\ggT X := n$ sowie $\kgV X :=
  m$.}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Analysis }
\chapter{ Folgen }
\section{ Funktionenfolgen }
\subsection{ gleichmaessige Konvergenz }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 13: Charakteristische Funktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für $M \subset X$ wird die charakteristische Funktion $\chi_{M}$ wie folgt definiert:
\[ \chi_M(x) := \begin{cases}
	1 & \text{für}\quad x \in M\\
	0 & \text{für}\quad x \notin M
\end{cases}.\]
\begin{enumerate}
	\item Berechne 
	\[\nlim \chi_{[- n,n]}(x)\quad\text{für}\quad x \in \R , n \in \N.\] 
	Ist die Konvergenz gleichmäßig auf $\R$?
  \item Zeige, dass die Funktionenfolge $\ser{f_n}$, definiert durch 
  \[f_n( x ) := \e^{-| x|} \chi_{[- n,n]}(x) \]
gleichmäßig auf $\R$ gegen die Funktion $\e^{-| x |}$ konvergiert.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
\underline{\textbf{Aufgabe 14: Ein Beispiel zur gleichmäßigen Konvergenz}}\\

Man untersuche die Funktionenfolge
$$f_n(x)=\frac{1}{1+nx}, \qquad n \in \mathbb{N}$$
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz in den Intervallen
\begin{enumerate}
\item $[0, 1]$
\item $(0, 1]$
\item $ [q, 1], 0<q<1$
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
  \includegraphics[scale=0.7]{aImage001}
\end{minipage}
\end{tabular}
}



%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 15: Eine Aufgabe zur gleichmäßigen Konvergenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man zeige, dass die Summe $\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{\sin(nx)}{2^n}$ eine stetige Grenzfunktion besitzt und berechne diese! 
\end{minipage}
&
%\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
%\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Zahlenfolgen }
\subsection{ Anwendung der Definition }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 16: Arithmetisches und geometrisches Mittel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: 
\begin{enumerate}
	\item Ist $\ser{a_n}$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen, so gilt
\[ \nlim a_n = \nlim \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} .\]
\item Ist $\ser{b_n}$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen, so gilt
\[ \nlim b_n = \nlim \sqrt[n]{b_1 \cdot b_2 \cdot \ldots \cdot b_n} .\]
:
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 17: Cauchy-Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Führen Sie die Einzelheiten für den Beweis der folgenden Behauptung aus
der Vorlesung aus: Jede komplexe Cauchyfolge ist beschränkt.
\item Ist die komplexe Zahlenfolge $\ser{a_n}$ mit 
\[  a_n = (-1)^n + i^n\]
eine Cauchyfolge?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 18: $(\ve, n_0)$-Abschätzungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, dass die nachstehenden Zahlenfolgen $\ser{a_n}$ gegen einen Grenzwertwert $a$ konvergieren, und bestimmen Sie zu jedem $\ve > 0$ ein $n_0 = n_0(\ve)$, so dass
$\abs{a - a_n} \leq \ve$ für alle  $n \geq n_0$ gilt (sogenannte $(\ve, n_0)$-Abschätzung):
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{n^2}{n^2 + 2 n + 2}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{2 n^3 i - 4 n^4}{n^4 + 3 n i - 1}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \rkl{1 + \frac{1}{n}}^{10}}$. 
\end{enumerate}
Achtung: In b) bezeichnet $i$ die imaginäre Einheit, die Zahlenfolge ist also komplex!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 19: k-te Wurzel u. a. 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es sei $\ser{a_n}$ eine reelle oder komplexe Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann
auch $\ser{\sqrt[k]{a_n}}$ mit einem festen $k \in \N$ eine Nullfolge ist. 

Ist $\ser{\sqrt[n]{a_n}}$ ebenfalls eine Nullfolge? (Beweis oder Gegenbeispiel!).
\item Es seien $\ser{x_n}$, $\ser{y_n]}$ zwei komplexe Nullfolgen, so dass
\[ |y_0| + |y_1| + \ldots + |y_n| \leq K\]
für alle $n = 0, 1, \ldots$ mit einer festen Schranke $K$ gilt. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge
$\ser{z_n]}$ mit
\[ z_n := x_0\,y_n + x_1\,y_{n?1} + \ldots + x_n\,y_0\]
eine Nullfoge ist.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 20: Anwendungen der geometrischen Folge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $a > 0$. Berechnen Sie die Grenzwerte $\nlim a_n$ für
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{a^{2n}}{1+a^{2n+1}}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{a^{n}-a^{-n}}{a^{n}+a^{-n}}}$,
	\item $\displaystyle{a_n = \frac{a^{n}}{\prod_{k=1}^{n}(1+a^{k})}}$,
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ liminf und limsup }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 21: Eigenschaften von $\liminf$ und $\liminf$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $\{a_n\}_{n\in\N}$ eine reelle Zahlenfolge. \\

Man zeige:
\ben
\item $$\liminf_{n\rightarrow\infty}\, a_n = \nlim\ \inf\, \{a_k\ |\ k>n\} = \sup\,\{\inf\, \{a_k\ |\ k>n\}\ |\ n\in\N\}$$
\item $$\limsup_{n\rightarrow\infty}\, a_n = \nlim\ \sup\, \{a_k\ |\ k>n\} = \inf\,\{\sup\, \{a_k\ |\ k>n\}\ |\ n\in\N\}$$
\een


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 22: Häufungswerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finde alle Häufungswerte der Zahlenfolge
\[x_n=\frac{n}{n+5}\rkl{\sin \frac{n\pi}{4}+\cos \frac{n\pi}{4}},\quad  n\in \N\cup \set{0}\]
und bestimmen Sie $\nlims x_n$ und $\nlimi x_n$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 23: Häufungswerte und Limesmengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie die Limesmenge $\mathscr{L}(F)$ der Folge $F = \ser{a_n - \left\lfloor a_n\right\rfloor}$ mit den Folgengliedern $a_n := 4^n/7$. Dabei bezeichnet $\left\lfloor x \right\rfloor$ den größten ganzen Anteil einer reellen Zahl $x$, d.~h. es ist $\N \ni \left\lfloor x \right\rfloor \leq x < \left\lfloor x \right\rfloor+1$.
	\item Führen Sie die Einzelheiten für den Beweis der folgenden Behauptung aus: Jeder
Häufungspunkt der Limesmenge $\mathscr{L}(F)$ einer einer komplexen Zahlenfolge $F$ gehört wieder
zur Limesmenge $\mathscr{L}(F)$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 24: Rechnen mit oberen Grenzwerten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es seien $\ser{a_n}$, $\ser{b_n}$ beschränkte reelle Folgen. Zeigen Sie:
\[ \nlimi a_n + \nlims b_n \leq \nlims (a_n + b_n) \leq \nlims a_n + \nlims b_n.\]
\item Bestimmen Sie $\nlimi a_n$ und $\nlims a_n$ für die Folgen $\ser{a_n}$ mit
\[ a_n = \rkl{1 + (-1)^n}\,(-1)^{n(n+1)/2}\quad\text{ bzw. }\quad a_n = \rkl{1 + \frac{(-1)^n}{2n}}^{3n}.\]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 25: Vergleich von Wurzel- und Quotientenkriterium.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben sei eine Zahlenfolge 
\ben
\item Beweisen Sie:
$$\liminf_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert \leq \liminf_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert }\leq \limsup_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert }\leq \limsup_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert$$
\item Geben Sie eine Folge an, für die in der Formel kein Gleichheitszeichen auftritt.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 26: Polizistenregel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie die Polizistenregel:\\ 
Gilt 
$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = a = \lim_{n\rightarrow\infty} b_n \qquad\mbox{und}\qquad a_n\leq c_n\leq b_n \quad\mbox{für alle}\quad n\geq n_0,$$
so konvergiert auch die Folge $\{c_n\}$ und es gilt  
$$\lim_{n\rightarrow \infty} c_n=a.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 27: Potenzfunktion versus Exponentialfunktion}
}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für festes $k \in \N$ die folgenden Grentwerte
\begin{enumerate}
	\item $\nlim \frac{n^k}{b^n}$ für $b>1$
	\item $\nlim n^k\,a^n$ für $\abs{a}<1$
\end{enumerate}
\tip{Zeigen Sie zunächst a) für k=1 und leiten Sie die anderen Ergebnisse davon ab.}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ rekursiv definierte Folgen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 28: Eine rekursiv definierte Folge in $\C$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge 
\begin{equation}
	z_{n+1} = \frac12 \left ( z_n + \frac1{z_n} \right )
\end{equation}
in Abhängigkeit vom Startwert $0\neq z_1 \in \C$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ monoton beschränkte }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 29: Arithmetisches Mittel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x_0, x_1\in \R$ und die Folge $\ser{x_n}$ sei rekursiv definiert durch
\[x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}\quad\text{für } n\in\N.\]
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, das die Folge $\ser{x_n}$ konvergiert.
	\item Berechnen Sie $\nlim x_n$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 30: Konvergenzuntersuchung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ist die Zahlenfolge 
$$
a_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}
$$
konvergent? 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 31: fast monotone Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine reelle Zahlenfolge $\{a_n\}_{n\geq 1}$ werde rekursiv definiert durch
$$a_1=2,\qquad a_{n+1}=\sqrt{a_n} + \frac1n \quad\mbox{für}\quad n=1,2,\ldots .$$
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe 
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 32: Konvergenz rekursiv definierter Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben sei ein $c>0$, ein Startwert $x_0 \in (0, \frac{2}{c})$\\
und eine rekursiv definierte Folge: $x_{n+1}:=x_n(2-c\,x_n)$\qquad(*)\\

Man zeige:
\begin{itemize}
\item a) Die Folge $\{x_n\}$ ist für $n \geq 1$ monoton wachsend und beschränkt.
\item b) Es ist $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{c}$.
\item c) Im Fall $c \in (0,2)$ und $x_0=1$ gilt: $x_n=\frac{1-(1-c)^{2^n}}{c}$ für $n \in \raum{N}$.
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 33: Eine monoton wachsende Folge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $0<b\in \R$ gegeben, wir definieren rekursiv die Folge
\bea
a_1 &=& \sqrt{b}\\
a_{n+1} &=& \sqrt{b + a_n}
\eea 
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie deren Grenzwert!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 34: Monotone Teilfolgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $a_0 > 0$ vorgegeben und die Folge 
\begin{equation}
	a_{n+1} = \frac1{1+a_n}
\end{equation}
rekursiv definiert.\\

Besitzt die Folge $\{a_n\}$ einen Grenzwert ? Wenn ja, dann berechne man diesen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 35: Quadratwurzel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x_0$ und $A$ positive reelle Zahlen. Ferner sei eine Folge $\{ x_n \} $ rekursiv
definiert durch:
$$ x_n = \frac{1}{2}  \left( x_{n-1} + \frac{A}{x_{n-1} } \right), \quad (n \in \mathbb{N} ).$$
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass $x_n \geq  \sqrt{A}$, ($ n \in \mathbb{N}$).
	\item Zeigen Sie, dass $x_{n+1} \leq x_n$, ($ n \in \mathbb{N} $).
	\item Zeigen Sie, dass $\lim_{n\to \infty } x_n $ existiert.
	\item Zeigen Sie, dass $\lim_{n\to \infty}  x_n = \sqrt{A} $. 
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 36: Einschachtelung für rekursive Folgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a, b > 0$ gegeben und die Folge $\ser{a_n}$ werde rekursiv definiert durch
\[a_0 = a,\quad a_1 = b,\quad a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n}\quad \text{für } n = 0, 1, \ldots\]
Zeigen Sie, dass die Folge $\ser{a_n}$ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Teilfolgen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 37: Existenz einer speziellen Teilfolge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Besitzt die Folge $\{a_n\}_{n\geq 1}$ mit $a_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ eine Teilfolge $\{a_{n_l}\}_{l\geq 1}$,
die mit der Folge $\{(\sqrt{2} - 1)^l\}_{l\geq 1}$ übereinstimmt? Wenn ja, geben Sie die ersten 5 Werte
für $n_l$ an.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 38: Häufungswerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finde alle Häufungswerte der Zahlenfolge
\[x_n=\frac{n}{n+5}\rkl{\sin \frac{n\pi}{4}+\cos \frac{n\pi}{4}},\quad  n\in \N\cup \set{0}\]
und bestimmen Sie $\nlims x_n$ und $\nlimi x_n$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Funktionen }
\section{ einer Variablen }
\subsection{ Differentialrechnung }
\subsubsection*{ Anwendungen }
\paragraph*{ Extremwertaufgaben }\ \\
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 39: 
Ein Minimalproblem 
}}\\
% Aufgabentext eintragen

Es sei $f\colon (a-\varepsilon,b+\varepsilon)\to\R$ eine differenzierbare
Funktion mit $a<b$, $\varepsilon>0$ und $f(a)=f(b)=0$, $f(x)>0$
f.a. $a<x<b$.

Es sei für $a<x_0<x_1<b$ die Funktion $D_{x_0,x_1}\colon [a,b]\to\R$
definiert durch
$$
   D_{x_0,x_1}(t)=\sqrt{(t-x_0)^2+f(t)^2}+\sqrt{(t-x_1)^2+f(t)^2}\,.
$$
\begin{enumerate}
\item[a)] Gib eine geometrische Interpretation von $D(t)$.
\item[b)] Zeige: F\"ur alle $a<x_0<x_1<b$ existiert ein $\xi\in(a,b)$ mit 
$$
    D_{x_0,x_1}(\xi)=\inf_{t\in[a,b]}D_{x_0,x_1}(t)\,.
$$
\item[c)] Sei $T$ die Tangente von $f$ in dem Punkt $(\xi,f(\xi))$. Was
  kann man über die Winkel zwischen $T$ und der Strecke von
  $(x_0,0)$ nach $(\xi,f(\xi))$ sowie zwischen $T$ und der Strecke von
  $(x_1,0)$ nach $(\xi,f(\xi))$ sagen?
\item[d)] Gib eine geometrische Interpretation des Ergebnisses aus c).
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 40: Kegelvolumen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Aus einem Kreis wird ein Sektor mit dem Zentriwinkel $\alpha$ herausgeschnitten. Der Sektor wird zu einem Kegel zusammengerollt. Bei welcher Größe des Winkels $\alpha$ wird das Volumen des Kegels am größten sein?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{260pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 41: Maximaler Sichtwinkel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Auf einem der beiden Schenkel eines Winkels $\alpha, 0<\alpha<\frac\pi2$, sind zwei Punkte $A, B$ markiert mit den vom Scheitelpunkt $S$ aus gemessenen Abständen $a, b (a<b)$. Gesucht wird auf dem anderen Schenkel der Punkt $X$, von dem aus die Strecke $AB$ unter maximalem Winkel $\phi$ erscheint. Wie lauten bei festem $\alpha$ die Bedingungen für das Verhältnis $\lambda=a:b$, die darüber entscheiden, ob $\phi$ ein spitzer, rechter oder stumpfer Winkel ist?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{170pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.45]{aImage002}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{280pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 42: Maximumproblem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man suche unter allen Dreiecken mit gegebener fester Seite $c$ und gegenüberliegendem Winkel $\gamma$ dasjenige mit dem größten Flächeninhalt!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{150pt}\hspace{10mm}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage003}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Fehlerrechnung }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 43: Bestimmung der dritten Dreiecksseite
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die folgende Aufgabe im Rahmen der elementaren Fehlerrechnung,
d.h. bei kleinem $h$ wird für eine Differenz $f(x+h)-f(x)$ näherungsweise $f'(x)·h$ gesetzt. 

In einem Dreieck soll die Messung der Seiten $b$ und $c$ als genau angesehen werden, während die
Messung des eingeschlossenen Winkels $\alpha$ mit dem absoluten Fehler $|d\alpha|$ behaftet ist. 

Mit welchem absoluten und relativen Fehler kann daraus die dritte Dreiecksseite $c$ berechnet
werden? Rechnen Sie mit folgenden Zahlenwerten: $b$ = 400 Meter, $c$ = 500 Meter, $\alpha$ = 60
Grad, $|d\alpha|$ = 10 Bogensekunden (1 Bogensekunde = (1/3600) Grad).

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ lHospital }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 44: Differenzenformel für 2. Ableitung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f:(a,b) \to \mathbb{R} $ zweimal differenzierbar in einem Punkt $x_0 \in (a,b)$. 
Zeigen Sie, dass
$$
\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{h^2} ( f(x_0 +h) -2f(x_0 ) + f(x_0 -h) ) = f'' (x_0 ).
$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 45: Grenzwertberechnungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ermitteln Sie ob der Grenzwert existiert, 
und wenn er existiert, so berechnen Sie ihn.
\begin{enumerate}
	\item $\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{e^x -1} $.
	\item $\lim\limits_{x\to \infty } (\cosh x -\sinh x) $.
	\item $\lim\limits_{ x\to 0+0 }\left( \frac{1}{\sin x } - \frac{1}{x} \right)$.
	\item $\lim\limits_{ x\to 0}  \frac{\arctan x}{\arcsin x } $.
	\item $\lim\limits_{ x\to 0}  |\sin x | ^x $.
	\item $\lim\limits_{ x\to e}  \frac{\ln (\ln x)}{\sin (x-e)}  $.
	\item $\lim\limits_{ x\to +\infty }  x\sin (1/x) $.
	\item $\lim\limits_{ x\to +\infty }  \sqrt{x} ( e^{-1/x} -1 ) $.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 46: Uneigentliche Integrale und Regel von de l'Hospital
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f$ integrierbar auf $[0,b]$ für alle $b> 0, \flim{x}{\infty} f(x)= A, (A \in \R)$, 
und $a> -1$. Berechnen Sie
\[ \flim{x}{\infty} x^{-a-1}\,\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{220pt}
\underline{Aufgabe:}\\

Für einen Wert $x \in (0,1)$ betrachte man den auf den Kreisbogen eines Einheitkreises mit Mittelpunkt in (1,0) darüberliegenden Punkt mit der Ordinate $y$. Die Länge des zugehörigen Bogenstückes vom Ursprung bis zu diesem Punkt sei $b$. Die Gerade durch die Punkte $(0,b)$ und $(x,y)$ schneide die $x$-Achse im Punkte $(a,0)$. Wie verhält sich $a$, wenn $x$ gegen $0$ strebt?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{210pt}
\includegraphics[scale=0.5]{aImage004}
\end{minipage}
\end{tabular}
}\\


\subsubsection*{ Bestimmung der Ableitung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 47: Bestimmung der Ableitungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ermitteln Sie die Definitionsbereiche und Ableitungen für die folgenden
Funktionen.
\begin{enumerate}
\item $f_1(x) = |x|^a,\quad  ( a \in \R )$; 
\item $f_2(x) = x^x$ ;
\item $f_3(x) = \sin(\e^{x^2})$ ;
\item $f_4(x) = \arctan(x^2 + 1)$ ;
\item $f_5(x) = \arcosh(1 + \sin x)$ .
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ Mittelwertsätze }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 48: Anwendung des Mittelwertsatzes
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $f :(0; 1) ^\to \R$ differenzierbar und der Grenzwert $A=\flim{x}{0+0} f'(x)$ existiere.\\
Zeigen Sie:\\ 
Dann existiert auch $\flim{x}{0+0} f(x):= \lambda$. Ferner ist die durch $f(0):= \lambda$ auf $[0; 1)$ fortgesetzte Funktion in $0$ rechtsseitig differenzierbar mit der Ableitung
\[f'_+(0):=\flim{x}{0+0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \flim{x}{0+0} f'(x).\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 49: Anwendung des Satzes von Rolle
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Rolle: Die Gleichung
\[x^n + px + q =0,\quad (p;q \in \R)\]
hat für gerades $n \in \N$ höchstens zwei und für ungerades $n \in \N$ höchstens drei reelle Lösungen $x$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Ungleichungen aus Mittelwertsatz }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 50: Bernoulli-Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a\in \mathbb{R} $, $a\not= 0$, $a\not=1 $, und $x\geq -1 $. 
Benutzen Sie den Mittelwertsatz um die folgenden Ungleichungen zu zeigen: 
\begin{eqnarray*}
 & & (1 + x)^a \leq 1+ax \quad \mbox{wenn }\ 0<a<1\\   
 & & (1 + x)^a \geq 1+ax \quad \mbox{wenn  }\ a<0 \ \mbox{ oder } \ a>1.
\end{eqnarray*}  

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 51: Verallgemeinerter Satz von Rolle I
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie folgende verallgemeinerte Variante des Satzes von Rolle:\\
Es sei $f :(a,b) \to \R$ eine $n$-mal differenzierbare Funktion und es seien $a<x_0 <x_1 <\ldots <x_n <b$ Nullstellen von $f$. Dann existiert ein $\xi \in (x_0,x_n)$ mit $f^{(n)}(\xi)=0$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 52: Verallgemeinerter Satz von Rolle II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie den folgenden verallgemeinerten Satz von Rolle:\\[10pt]
    Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $f$ eine auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b$] stetige Funktion, die bei $a$ $n$-mal und im Inneren des Intervalls $(n+1)$-mal differenzierbar ist; weiterhin gelte:
    \[f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = f^{(n)}(a) = f(b) = 0 .\]

Dann gibt es im Intervall $(a,b)$ eine Stelle $c$ mit $f^{(n+1)}(c) = 0$ .
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 53: Zwischenwertsatz von Darboux
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie den Zwischenwertsatz von Darboux: Ist $f : [a, b] \rightarrow \R$ differenzierbar und $f'(a) < m < f'(b)$, so existiert ein $\zeta \in (a, b)$ mit $f'(\zeta) = m$.\\ 
Hinweis:
Betrachten Sie für ein hinreichend kleines, aber festes $h > 0$ die stetige Hilfsfunktion $\phi$ mit
$$\phi(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad\mbox{für}\quad x \in [a, b - h].$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ Taylorscher Lehrsatz }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 54: Restgliedabschätzung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Verwenden Sie den Taylorschen Satz, um die Absch\"atzung 
$$
\left| \log (1+x) - x + \frac{x^2}{2} \right| < \frac{1}{2000} \quad \mbox{f\"ur $|x|\leq 0.1$}
$$
zu zeigen.


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Taylorentwicklung von $\e^{Aufgabe 55: -1/x^2}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei
\[f(x) =\begin{cases} \e^{-\frac{1}{x^2} } & \text{ für } x \neq 0 \\ 0 & \text{ für } x = 0 \end{cases} .\]
Zeigen Sie, dass $f\in C^{\infty } (\mathbb{R} )$, und
$f^{(n)} (0) =0 $ für jedes $n\in \mathbb{N} $.
\\
{\sl Hinweis: } Zeigen Sie durch Induktion, dass für $x\neq 0 $
\[ f^{(n)} (x) = p_n \rkl{\frac{1}{x}} \e^{-\frac{1}{x^2}} \]
gilt, für gewisse Polynome $p_n $, ($n\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} $).

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ Theorie }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 56: Differentiation von Determinanten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Determinanten werden zeilen- oder spaltenweise differenziert.\\

Es sei $A(x)=\rkl{a_{i,j}(x)}_{1\leq i,j} \leq n$ eine $(n\times n)$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen sind und $D(x)=\det A(x)$. Weiterhin seien für eine $n$-reihige Determinante $D(x)$ und $1\leq k \leq n$ die Determinaten $S_k(x)$ bzw. $Z_k(x)$ diejenigen Determinanten, die aus $D(x)$ dadurch entstehen, dass man die Funktionen in der $k$ten Spalte bzw. Zeile durch Ihre ersten Ableitungen ersetzt. Dann gilt:
\[ D'(x) = \sum_{k=1}^n\, S_k(x) = \sum_{k=1}^n\, Z_k(x). \]  
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 57: Quotientenregel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die Quotientenregel mit Hilfe der 
Entwicklungsformel
\bdm
f(x+h) = f(x) + f'(x) h + h \varepsilon(h)
\edm
für differenzierbare Funktionen!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 58: Ableitung mit Hilfe der Definition.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a \geq 0$ und
\[f_a(x) :=\begin{cases} |x|^a\,\sin\rkl{\frac{1}{x}} & \text{wenn } x \neq 0\\
0 & \text{wenn } x = 0\\\end{cases}.\]

Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item  $f_a$ ist stetig in 0 für jedes $a > 0$, aber nicht für $a = 0$.
  \item  $f_a$ ist differenzierbar in 0 für jedes $a > 1$, aber nicht für $a \in (0; 1]$.
  \item  $f'_a$ ist stetig in 0 für $a > 2$, aber nicht für $a \in (1; 2]$
	\item  Für $k \in \N, k>1$ ist $f^{(k-1)}_a$ differenzierbar in 0 für jedes $a > k-1$, aber nicht für $a \in (k-2; k-1]$ und $f^{(k)}_a$ ist stetig in 0 für $a > k$, aber nicht für $a \in (k-1; k]$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Grenzwerte und Stetigkeit }
\subsubsection*{ Gleichmäßige Stetigkeit }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 59: Gleichmäßige Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Wann heißt eine Funktion $f:\R \to \R$ gleichmäßig
stetig? \\
\item Muss jede gleichmäßig stetige Funktion $f:\R \to \R$ auch beschränkt sein, d.h.\ gibt es dann eine 
Konstante $C \in \R$ mit $|f(x)|\leq C$ für alle 
$x\in\R$ (Beweis oder Gegenbeispiel)? \\
\item Sei  $f:\R \to \R$ gleichmäßig stetig. Zeigen Sie,
dass dann eine Konstante $C \in \R$ existiert mit 
\[
|f(x)|\leq C(|x|+1)\quad\text{für alle}\quad x \in \R.
\]
\item Zeigen Sie, dass jedes reelle Polynom von mindestens zweitem Grad
nicht gleichmäßig stetig auf ganz $\R$ ist.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 60: Stetigkeit der Wurzelfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie die folgende Ungleichung
	\[ a,b\geq 0 \Longrightarrow \abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\qquad \text{(W)}\]
  \item Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ im ihrem Definitionsbereich stetig ist.
	\item Ist $f$ in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 61: Gleichmäßige Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ist die Funktion $f(x):= \frac{1}{x} $ gleichmäßig stetig 
\begin{enumerate}
	\item auf dem Intervall $(0,1]$;
	\item auf den Intervallen $(a , 1] $, ($a \in (0,1)$) ?
\end{enumerate}
Begründen Sie Ihre Antworten.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 62: Untersuchungen auf gleichmäßige Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sind die folgenden Funktionen auf den angegebenen Intervallen gleichmäßig stetig?
\begin{enumerate}
	\item  $f_1 (x)= \sqrt{1-x^2 } $, $x\in [0,1] $.
	\item  $f_2 (x)= \sin (1/x) $, $x\in [0,1] $.
	\item  $f_3 (x)= x ^2 $, $x\in [0, +\infty )$.
	\item  $f_4 (x) = (1+x ) ^{-1} $, $x\in [0, +\infty ) $.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ Singularitäten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 63: wesentliche Singularität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es werde im Intervall $(0,1)$ eine reelle Funktion $f=f(x)$
durch die Vorschrift
\[f(x)=n(n+1)x-n\quad\mbox{für}\quad x\in[1/(n+1),1/n),\;n=1,2,\ldots\]
definiert. Existiert der Grenzwert $\lim_{x\to+0}f(x)$ und welchen
Wert hat er gegebenenfalls?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ Stetigkeitsuntersuchungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 64: Beschränktes Wachstum
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine reelle Funktion $f=f(x)$ sei für hinreichend große $x\in \R$ definiert und in jedem endlichen Intervall $I\subset \cal{D}(f)$ gleichmäßig beschränkt. Ferner gelte mit einem reellen $q>1$
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(qx) - f(x)}{x} = a \in \R.\]
Zeigen Sie, dass daraus folgt:
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{a}{q-1}.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 65: Untersuche auf Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuche die Funktion
$$f(x)=\left\{ 
\begin{array}{cl}
0 & \text{f\"{u}r}\;x\notin \mathbb{Q} \\ 
\frac{1}{q} & \text{f\"{u}r}\;x=\frac{p}{q}\;\text{mit}\;p,q,\in \mathbb{N}%
\text{, sowie }p,q\;\text{teilerfremd.}%
\end{array}%
\right. $$
auf Stetigkeit
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 66: Untersuche auf Stetigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die abzählbare Menge der rationalen Zahlen im Intervall $I = [0, 1]$ werde als
eine unendliche Folge $\{r_n\}_{n\geq 1}$ geschrieben. Mit der Bezeichnung
$$ A(x) = \{n | n \in \N, r_n \leq x\} \quad\mbox{für}\quad x \in I$$
definieren wir die Funktion $f : I \rightarrow \R$ durch
$$f(x) = \sum_{n\in A(x)}\ \frac1{2^n} .$$
Beweisen Sie:
\begin{enumerate}
\item Die Funktion $f$ ist auf $I$ monoton wachsend.
\item Die Funktion $f$ ist an den irrationalen Stellen in $I$ stetig und an den rationalen Stellen in $I$ unstetig.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 67: Stetigkeit der Betragsfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $I$ ein offenes Intervall. Sind $f$ und $g$ auf $I$ definiert, so setzen wir $F(x):= \max \{ f(x);g(x)\} $, ($x\in I$).
\begin{enumerate}
	\item Es sei $f$ stetig auf $I$. Zeigen Sie, dass dann $|f| $ ebenfalls stetig auf $I$ ist.
	\item Seien $f$ und $g$ stetig auf $I$. Zeigen Sie, dass dann auch $F$ stetig auf $I$ ist. 
\\
{\sl Hinweis:} Zeigen Sie zunächst die Formel
$$
F (x) = \frac{1}{2} \left( f(x)+g(x) +| f(x)-g(x)| \right) .
$$ 
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 68: Stetigkeit der Wurzelfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie die folgende Ungleichung
	\[ a,b\geq 0 \Longrightarrow \abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\qquad \text{(W)}\]
  \item Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ im ihrem Definitionsbereich stetig ist.
	\item Ist $f$ in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Stetigkeit des Maximus und von $\abs{Aufgabe 69: f(x)}$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $f$ und $g$ auf einem offenen Intervall $I$ definiert, das einen Punkt $x_0$
enthält. Ferner seien $f$ und g stetig in $x_0$, und wir definieren
\[F(x):=\max\set{f(x), g(x)},\quad (x \in I).\]
\begin{enumerate}
	\item Man zeige, dass die Funktion $F$ stetig in $x_0$ ist.
  \item Man benutze a), um zu zeigen, dass $|f|$ stetig in $x_0$ ist.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ unbestimmte Ausdrücke }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 70: Binomischer Satz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{\lim _{x\to 0} \frac{(1 + mx)^n - (1 + nx)^m }{x^2 } , \qquad m, n \in \mathbb{N}.}$
	\item $\displaystyle{ \lim_{x\to + \infty } \frac{ (2x +3)^{13} (4x-1)^{7}}{(5x-2014) ^{20} }}$ .
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 71: Unbestimmte Ausdrücke
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie für natürliche Zahlen $p_1, p_2, q_1,q_2$ die Grenzwerte
\ben
\item $$\lim_{x\to 1} \frac{x^{p_1}-1}{x^{p_2}-1},$$
\item $$\lim_{x\to 1} \frac{x^{\frac{1}{q_1}}-1}{x^{\frac{1}{q_2}}-1},$$
\item $$\lim_{x\to 1} \frac{x^{\frac{p_1}{q_1}}-1}{x^{\frac{p_2}{q_2}}-1}.$$
\een

\tip{Verallgemeinerte dritte binomische Formel}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Integralrechnung }
\subsubsection*{ bestimmte Integrale }
\paragraph*{ Anwendungen }\ \\
%Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 72: Eine Aufgabe mitten aus dem fröhlichen (Studenten-)Leben.}}\\

Eine gewisse Menge an Bier wird in einer stehenden kreiszylinderförmigen Tonne vom Radius $r$ bzw.
einem kreiskegelstumpfförmigen Behälter mit dem Radius $r$ am Boden und Radius $R > r$
in der Höhe $H > 0$ gelagert. In die Böden wird jeweils ein Zapfhahn mit dem gleichen
Querschnitt eingeschlagen. Aus welchem Behälter ist die gleiche Menge Bier bei geöffnetem
Zapfhahn schneller vollständig ausgelaufen?
Hinweis: Benutzen Sie Torricelli's Ausflußgesetz (benannt nach dem Mathematiker und
Physiker Evangelista Torricelli, 1608-1647), wonach die Ausflußgeschwindigkeit $v$ einer
idealen Flüssigkeit (Bier?) durch eine nach unten gerichtete Öffnung sich proportional
zur Höhe $h$ der Flüssigkeit verhält, genauer $v = \sqrt{Gh}, G$ Gravitationskonstante. Leiten
Sie daraus eine Differentialgleichung für die Flüssigkeitshöhe $h(t)$ zur Zeit $t$ in beiden
Fällen ab und diskutieren Sie diese.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 73: Welches Gefäß läuft zuerst leer?
}}\\
Eine Übung zur Integration\\

% Aufgabentext eintragen
Wir betrachten eine bis zum Rand mit Wasser gefüllte Halbkugel
vom Radius $r$. Daneben stehen ebenfalls bis zum Rand gefüllte
Gefäße, und zwar
\begin{enumerate}
\item  ein Zylinder vom Radius $r$,
\item  ein auf der Spitze stehender gerader Kreiskegel mit
       Öffnungswinkel $90^{\circ}$   und
\item  ein ebensolcher Kreiskegel, der aber auf seiner Grundfläche
       steht.
\end{enumerate}
{\bf 1. Wie hoch sind die beschriebenen Gefäße, wenn alle die gleiche
         Wassermenge enthalten?}\\

An den Gefäßen werden Öffnungen so angebracht, dass die
Ausfluss\-geschwindig\-keit\footnote{Die Ausflussgeschwindigkeit hängt i.a. von
der Größe und Form der Öffnung, von der Form des Gefäßes, von der Viskosität
der Flüssigkeit und von der Höhe $y$ des Flüssigkeitsspiegels ab. Bis auf die
letzte Abhängigkeit seien alle anderen durch Form und Größe der Ausflussöffnung
so berücksichtigt, dass sie in einer Konstanten $a$ zusammengefasst werden
können.} $v$
des Wassers nur noch von der Höhe $y$ der
Wassersäule abhängt; in allen Gefäßen sei also $v=a\sqrt{y}$
mit ein und derselben Konstanten $a$.

{\bf 2. In welcher Reihenfolge laufen die Gefäße leer?}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 74: Integralabschätzungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeige
$$\frac12<\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x^{2}+x^{3}}}<\frac\pi6,\quad\mbox{und}\quad \int_{0}%
^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-3x+x^{3}}}<\frac23.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 75: Integrand mit Beträgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne 

$$\int_{0}^{3}\sqrt{\left|  x^{2}-3x+2\right|  }dx.$$


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 76: Rekursionsformel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne 
$$I_{n}=\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^{n}x\,dx.$$

für $n=0,1,2,...\;.$\\ 

Hinweis: Zeige zunächst $I_{n+2}=I_{n}-\frac1{n+1}I_{n+2}.$\\


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 77: Substitutionstrick
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Berechnen Sie durch die Substitution $x=\pi - y$ das Integral
	\[ I_1 =\int_0^\pi \, \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}\,dx.\]
	\item Versuchen Sie die gleiche Substitution bei dem Integral
	\[ I_2 =\int_0^\pi \, \frac{x \cos x}{1+\sin^2 x}\,dx.\]
	\item Berechnen Sie das Integral in $I_1$ durch partielle Integration.
	\item Berechnen Sie das Integral in $I_2$ anders.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Cauchy-Integral }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 78: Cauchy-Integrierbarkeit monotoner Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f(x)= \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}$ in $\left(\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right]$, $(k \in \N)$, und $f(0)=0$. Zeigen Sie, dass
$f$ auf $[0, 1]$ monoton wachsend ist. Approximieren Sie $f$ durch Treppenfunktionen, um das Integral von $f$ über $[0, 1]$ zu berechnen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ einfache Berechnungen }\ \\
\paragraph*{ Rotationsflächen }\ \\
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 79: Oberfläche von Rotationskörpern
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne den Inhalt der Oberfläche des durch Rotation der Kurve $y(x)=1-x^2,\ |x|\leq 1$ um die $x$-Achse entstehenden Rotationskörpers.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 80: Oberfläche der Kugel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne den Inhalt der Oberfläche des durch Rotation der Kurve $(x,\sqrt{R^2-x^2}),\ |x|\leq R$ um die $x$-Achse entstehenden Rotationskörpers.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 81: Oberfläche Eines Rotationellipsoides
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne den Inhalt der Oberfläche eines Rotationsellipsoides
$$\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1,$$
d.~h. des durch Rotation der Kurve $(x,\frac{a}{c}\sqrt{c^2-x^2}),\ |x|\leq c$ um die $x$-Achse entstehenden Rotationskörpers.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Rotationskörper }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 82: Höhe eines Rotationsellpsoides bei gegebenem Volumen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Das Innere eines Glases soll die Form eines Rotationsparaboloids $z = x^2 + y^2$ haben.
Berechne die Höhe $h$ (des Inneren), die es haben muss, wenn es 0,5 Liter fassen soll,
mittels
\ben
\item Volumenberechnung durch Integration im \Rx{3},
\item Guldinscher Regel.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{240pt}
\underline{\textbf{Aufgabe 83: Ringe als Rotationskörper}}\\
\[ M := \left\{ (x,y) \in \Rx{2}: 1\leq x \leq 5, \right.\]
\[\hspace{20mm} \left. 1\leq y \leq1+\frac12\sqrt{6x-x^2-5} \right\} \]
Man berechne das Volumen des Körpers $K$, der bei Rotation des Gebietes $M$ um die $x$-Achse bzw. um die $y$-Achse entsteht.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{190pt}
  \includegraphics[scale=0.3, angle=-90]{aImage005}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{290pt}
\underline{\textbf{Aufgabe 84: Eine Aufgabe - 3 Lösungen}}\\

Man berechne das Volumen des Körpers, der bei Rotation der durch die 
Kurve
$$\mathcal{C}=\{(x,y)\in \Rx{2}: 9y^2-x(3-x)^2=0, 0\le x \le 3\}$$
begrenzten Fläche um die y-Achse entsteht.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{140pt}
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage006}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Theorie }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 85: ausgezeichnete Zerlegungsfolge
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man zeige, daß die Vorschrift 
$$Z_{n}:a=x_{0}^{(n)} < x_{1}^{(n)} < ... < x_{n}^{(n)}=b$$ 
mit
$$x_{\nu}^{(n)}=aq_{n}^{\nu};\quad \nu=0,1,...,n,\quad q_{n}=(b/a)^{\frac 1n}>1$$

eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge des Intervalls $[a,b]$ definiert!\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 86: Konvexe Hülle
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bekanntlicherweise nennt man eine Menge $K\subset \C$ ($\C$ komplexe
Ebene) {\it konvex,} wenn sie mit je zwei Punkten $z_1,z_2\in K$ auch die
Verbindungsstrecke $[z_1,z_2]\equiv \{z=\lambda z_1+(1-\lambda )z_2:0\leq
\lambda \leq 1\}$ der beiden Punkte enthält. Ist $E\subset \C$ eine
beliebige Menge, dann heißt 
\[
\text{conv}\,E=\cap \{K:K\,(\subset \C)\text{ konvex, }K\supset E\} 
\]
ihre konvexe Hülle. Offenbar ist conv$\,E$ die kleinste konvexe Menge, die 
$E$ umfaßt. Man zeige: 
\[
\text{conv}\,E=\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda _iz_i:\lambda _i\geq
0,\sum_{i=1}^n\lambda _i=1,z_i\in E,n\in {\mathbb N}\right\} . 
\]
Die in der Klammer beschriebenen Linearkombinationen $\sum \lambda _iz_i$
heißen Konvexkombinationen der Punkte $z_1,...,z_n.$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 87: Nicht Riemann-integrierbare Funktion, die Stammfunktion besitzt.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Zeigen Sie: Die Funktion $F:\left[ 0,1\right] \rightarrow R$ mit

$$F(x):=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\sqrt{x^3}\sin \left( \frac{1}{x}\right) &\text{ für }0<x\leq 1 \\ 
0 &\text{ für }x=0
\end{array}
\right. $$

ist für alle $x\in \left[ 0,1\right] $ differenzierbar.

\item Berechnen Sie die Ableitung $f:=F'$ und zeigen Sie, dass $f$
nicht R-integrierbar ist.
\een
Mit anderen Worten: Die Funktion $f(x)$ hat zwar eine Stammfunktion, ist aber nicht R-integrierbar.\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 88: Vereinfachtes Konvergenzkriterium
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise die folgende
Modifikation der Konvergenzbedingung für Riemannsche Zwischensummen: 
\begin{equation}
\exists \lim \sigma (Z,T)=A\quad \text{gdw.}\quad \forall \varepsilon >0\;\exists
Z_0\;\forall T:\left| \sigma (Z_0,T)-A\right| <\varepsilon ;  \label{f7}
\end{equation}
die Zwischenpunktsysteme $T$ sind natürlich zu $Z_0$ zu bilden.\\ 

Verbal bedeutet die Aussage, dass es für den Nachweis der Existenz des Integrals genügt, nur eine einzige  Zerlegung $Z_0$ zu finden, so dass für jede Wahl von Zwischenpunkten $T$ die Abschätzung in (\ref{f7}) gilt.\\

\tip{Man beweise zunächst folgenden Hilfsatz:}\\

Für $E_1,...,E_N\subset \mathbb C$ folgt aus 
\begin{equation}
\forall z_\nu \in E_\nu :\left| \sum_{\nu =1}^Nz_\nu \right| <\varepsilon .
\label{f6}
\end{equation}
sogar 
$$\forall w_\nu \in \text{conv}\,E_\nu :\left| \sum_{\nu =1}^Nw_\nu \right|<\varepsilon .$$

Dabei ist 
$$
\text{conv}\,E=\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda _iz_i:\lambda _i\geq
0,\sum_{i=1}^n\lambda _i=1,z_i\in E,n\in {\mathbb N}\right\} . 
$$
die Menge aller Konvexkombinationen der Punkte $z_1,...,z_n.$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ uneigentliche Integrale }\ \\
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 89: Uneigentliches Integral
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Existiert $\int_0^\infty \frac{x \ln x}{(1+x^2)^3}\, dx ?$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 90: Existenz uneigentlicher Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie, für welche positiven Zahlen $p$ die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren:
\begin{enumerate}
	\item $I_1=\displaystyle{ \int_0^\infty \,\e^{-x}x^p\,dx}$
	\item $I_2=\displaystyle{ \int_1^\infty \,\frac{\sin x}{x^p}\,dx}$
	\item $I_3=\displaystyle{ \int_0^\infty \,(\log x)^{-p}\,dx}$
	\item $I_4=\displaystyle{ \int_0^\infty \,\sin(x^p)\,dx}$
	\item $I_5=\displaystyle{ \int_0^1 \,\frac{1+\e^x}{(\sin x)^p}\,dx}$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 91: Uneigentliche Integrale und Regel von de l'Hospital
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f$ integrierbar auf $[0,b]$ für alle $b> 0, \flim{x}{\infty} f(x)= A, (A \in \R)$, 
und $a> -1$. Berechnen Sie
\[ \flim{x}{\infty} x^{-a-1}\,\int_0^x\,f(t)\,t^a\,dt.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 92: Vergleichskriterien für uneigentliche Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $f$ und $g$ integrierbar auf $[a,b]$ für jedes $b$ mit $b>a$.\\
Beweisen Sie
\begin{enumerate}
	\item Wenn $\abs{f(x)}\leq g(x)$ für alle $x\geq a$ und $\displaystyle{\int_a^\infty\,g(x)\,dx <+\infty}$ gilt, so konvergiert $\displaystyle{\int_a^\infty\,f(x)\,dx}$ absolut.
	\item Wenn $0\leq f(x)\leq g(x)$ für alle $x\geq a$ und $\displaystyle{\int_a^\infty\,f(x)\,dx =+\infty}$ gilt, so ist auch $\displaystyle{\int_a^\infty\,g(x)\,dx =+\infty}$.  
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 93: Vergleichskriterien für uneigentliche Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $b > 0$ und $f$ integrierbar auf $[\ve,b]$ für alle $\ve \in (0; b)$. Beweisen Sie
die folgenden Aussagen:
\begin{enumerate}
	\item Ist $|f (x)| \leq Mx^{-p}$ für $x \in (0; b]$, mit Zahlen $p \in (0; 1)$ und $M > 0$, so
konvergiert $\displaystyle{\int_0^b\,f(x) dx}$ absolut.
 \item Ist $f (x) \geq Mx^{-p}$ für $x \in (0; b]$, mit Zahlen $p \geq 1$ und $M > 0$, so ist
$\displaystyle{\int_0^b\,f(x) dx}= +infty.$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ Riemann-Stieltjes-Integral }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 94: Existent des Riemann-Stieltes-Integrals bei Sprüngen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $\alpha, f_1, f_2: [0,2]\mapsto \R$ und 
$$\alpha(x)=\begin{cases}1 & \text{für } x\leq 1\\2 & \text{für } x>1\end{cases}, \ f_1(x)=\begin{cases}3 & \text{für } x\leq 1\\4 & \text{für } x>1\end{cases}, \ f_2(x)=\begin{cases}3 & \text{für } x< 1\\4 & \text{für } x\geq 1\end{cases}.$$
Existieren die Riemann-Stieltjes-Integrale
$$\int_0^2\,f_i(x)\,d\alpha\quad\text{für}\quad i=1,2\ ?$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsubsection*{ unbestimmte Integrale }
\paragraph*{ Partialbruchzerlegung }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 95: einfache Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme  

$$\int\ \frac{x}{x^2-x-6}\,dx.$$\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 96: Mehrfache komplexe Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Zeigen Sie, dass im Falle mehrfacher komplexer Nullstellen der Ansatz

$$
\int \frac{dx}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k}}=\frac{Ax+B}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k-1}}%
+C\int \frac{dx}{(x^{2}+\beta ^{2})^{k-1}} 
$$

mit 
\[
A=\frac{1}{2\beta ^{2}(k-1)},B=0,C=\frac{2k-3}{2\beta ^{2}(k-1)} 
\]

zum Erfolg führt ($k=2,3...$).\\

Hinweis: Differenzieren, Multiplikation
mit $(x^{2}+\beta ^{2})^{k}$, Koeffizientenvergleich.\\
\item Berechnen Sie mit dieser Methode
$$\int \frac{dx}{(x^{2}+2x+5)^{2}}.$$
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 97: Mehrfache Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme

$$\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x-1)^2}\,dx.$$\\

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 98: Quadratisch irreduzibler Nenner
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme

$$\int\ \frac{2x}{(x^2+1)(x^2-1)}\,dx.$$\\
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 99: Partialbruchzerlegungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
  \item $I_1=\displaystyle{\int\, \frac{3x^3+5x^2-25x-1}{(x+2)(x-1)^2}\,dx}$
  \item $I_2=\displaystyle{\int\, \frac{3x^3-x^2-4x+13}{x^4-4x^3+13x^2}\,dx}$
  \item $I_3=\displaystyle{\int\, \frac{1}{\e^x+1}\,dx}$
  \item $I_4=\displaystyle{\int\, \frac{\sin x + \cos x}{3+\sin 2x}\,dx}$
  \item $I_5=\displaystyle{\int\, \frac{x^2-x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\,dx}$
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Partielle Integration }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 100: Rekursion für $\int\, x^n\,\sin x\,dx$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die Beziehung
\[S(n):=\int\, x^n\,\sin x\,dx = -\sum_{k=0}^n\,k!\binom{n}{k}x^{n-k}\cos\rkl{x+k\frac{\pi}{2}}+c,\]
und stellen Sie eine analoge Formel für $C(n)=\int\, x^n\,\cos x\,dx$ auf!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Stammfunktionen }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 101: Bestimmung von Stammfunktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne die Stammfunktionen zu 

\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{\int\,x^2\,\ln x\, dx}$,
	\item $\displaystyle{\int\,x\,\ln(x^2)\, dx}$,
	\item $\displaystyle{\int\,\e^x\,\sin x\, dx}$,	
	\item $\displaystyle{\int\,x(ax^2 + b)^k\, dx,\ (a> 0, b> 0, k \in \R)}$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Substitution }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 102: Integration rationaler Ausdrücke in $\sin x$ und $\cos x$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es bezeichne $R = R(u,v)$ eine beliebige rationale Funktion
von zwei Variablen $u,v$.\\
Zeigen Sie, dass sich Integrale vom Typ
\[\int\ R(\sin x, \cos x)\, dx\] 
durch die Substitution $t=\tan(x/2)$ auf die Berechnung von unbestimmten Integralen über rationale Funktionen zurückführen lassen.
\item Berechnen Sie mit dieser Methode die Integrale
	\[\text{i)}\quad \int \frac{dx}{\sin x + \cos x} \qquad \text{ii)}\quad
	\int \frac{1+\sin x}{1 - \cos x}\,dx\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Spezielle Funktionen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 103: Identitäten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die folgenden Gleichungen :
\begin{enumerate}
	\item $ \arcosh\, x = \ln (x +\sqrt{x^2 -1} )  $, ($ x\in [1, +\infty )$).
  \item $\sin ( \arccos x) = \sqrt{1-x^2 } $, ($x \in  [-1, +1]$).
  \item $ \log _a x + \log _a y = \log _a (xy)$, ($a\in \mathbb{R}  $, $a\not= 1$, $x,y >0$).
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ mehrerer Variabler }
\subsection{ Differentialrechnung }
\subsubsection*{ partielle Ableitungen }
\paragraph*{ Anwendungen }\ \\
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 104: Parameterintegrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne die Ableitung der Funktion
$$g(t)=\int_{\sqrt{t}}^{t^2}\,\ln(tx)\, dx $$
direkt und mit der Formel für Parameterintegrale.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Existenz und Berechnung }\ \\
%
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 105: Partielle Ableitungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}$ der 
	Funktion $f=f(x,y)$ mit den Funktions\-werten
$$	  f(x,y)=\e^{\sin x}+\e^{\cos(x+y)}\mbox{ für }(x,y)\in\mathbb{R}^2.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 106: Totale Ableitung I
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[ f(x,y) = \begin{cases}
	\sqrt[3]{x^2+y^2} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 107: Totale Ableitung II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[f(x,y) = \begin{cases}
	\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 108: Totale Ableitung III
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[f(x,y) = \begin{cases}
	\frac{y(x^2+y^2)^{3/2}}{(x^2+y^2)^2+y^2} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 109: Totale Ableitung IV
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Funktion
\[ f(x,y) = \begin{cases}
	\rkl{x^2+y^2}\sin\rkl{\frac{1}{x^2+y^2}} & \text{für}\quad (x,y)\neq(0,0)\\0& \text{für}\quad (x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$auf Stetigkeit, partielle (stetige) und totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 110: Totale Ableitung und Richtungsableitung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $f(0,0)=0$ und 
$$
f(x,y) = \frac{x^3 }{x^2 +y ^2 } \quad \mbox{für $ (x,y)\not= (0,0) $.}
$$
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass $f_x $ und $f_y$ überall existieren und beschränkt auf $\mathbb{R} ^2 $ sind. 
	\item Zeigen Sie, dass die Richtungsableitungen 
$
\frac{\partial f}{\partial u} (0,0) $, ($u=(u_1 ,u_2 )\in \mathbb{R} ^2 $, $\Vert u\Vert =1$),
existieren, und dass ihr Absolutwert nicht größer als $1$ ist. 
\item* Zeigen Sie, dass andererseits $f$ nicht differenzierbar in $(0,0)$ ist.  
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\paragraph*{ Taylorentwicklung }\ \\
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 111: Taylorentwicklung von $f(x,y,z) = \sin(x+y)\, \cos(xy)\, \cosh z$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Berechne das Taylorpolynom $T_2(x,y,z)$ zweiter Ordnung für $f(x,y,z)= \sin(x+y)\, \cos(xy)\, \cosh z$ im Punkt $(x_0,y_0, z_0)=(0,0,0).$
	\item Bestimme ein $r>0$ so, dass $\abs{f(x,y,z)-T_2(x,y,z)} < 10^{-5}$ für $\norm{(x,y,z)}_\infty<10^{-r}$ ist.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 112: Taylorentwicklung von $x^y$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne das Taylorpolynom für $f(x,y)=x^y$ im Punkt $(x_0,y_0)=(1,1)$
einschließlich der quadratischen Glieder. 

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Induktion }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 113: Abschätzungen von $n!$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie für $n \in \N$, $n>2$
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{3\,\rkl{\frac{n}{3}}^n < n! < 2\,\rkl{\frac{n}{2}}^n}$
  \item $\displaystyle{\e\,\rkl{\frac{n}{\e}}^n < n!}$
	\item $\displaystyle{n! <\rkl{\frac{n+1}{2}}^n}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 114: Abzählbarkeit von Teilmengen von $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $M$ eine Menge und $f:M\mapsto \N,\ g: M\mapsto \N$ gegeben, so dass $f$ surjektiv und $g$ injektiv ist. Man konstruiere (mit vollständiger Induktion) eine bijektive Abbildung $h:M\mapsto \N$.\\
\tip Zeige
\begin{enumerate}
	\item $g(M)$ ist unbeschränkt
	\item für eine unbeschränkte Menge $A\subseteq \N$ gibt es eine Bijektion $b:A\mapsto \N$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 115: allgemeine Binomialkoeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für dien gewöhnlichen Binomialkoeffizienten $\binom{m}{n}$ erhält man für $m, n \in \N$ durch Kürzen mit $(m-n)!$ auch
$$\binom{m}{n}=\frac{m!}{n!\,(m-n)!} = \frac{m\,(m-1)\,\ldots (m-n+1)}{n!}.$$
In dieser Form muss nun $m$ nicht mehr notwendig eine natürliche Zahl sein. 

Dementsprechend kann man für $\alpha \in \R, n \in \N$ einen "`verallgemeinerten"' Binomialkoeffizienten definieren durch
$$ \binom{\alpha}{n} = \left \{ \begin{array}{ll} 1 &\mbox{falls } n=0\\ \frac{\alpha\,(\alpha-1)\,\ldots (\alpha-n+1)}{n!} &\mbox{falls } n>0\\\end{array}\right . $$

Man zeige:

Für alle $n \in \N$ und beliebige $\alpha, \beta \in \R$ gilt
\[\sum_{k=0}^n\,\binom{\alpha}{n-k}\,\binom{\beta}{k} = \binom{\alpha+\beta}{n}.\] 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 116: Summe über Cosinusfunktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise für $n \in \N$ die folgende Formel:
$$\sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac12.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 117: Existenz und Berechnung der n-ten Wurzel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $x, y \in \R,\ 0<x, 0<y<1,\ y<x$ und $p\in \N \backslash \{0\}$.\\ 
Die Abbildungen $f_+, f_-:\N \mapsto \R$ seien wie folgt definiert
$$f_-(0)=y,\quad f_-(n+1)=f_-(n)+h(f_-(n)), \quad f_+(n)=f_-(n)+g(f_-(n)),$$
wobei für $z>0$
$$h(z)=\min\left\{1,\frac{x-z^p}{p(z+1)^{p-1}}\right\},\quad g(z)=\frac{x-z^p}{pz^{p-1}}.$$
Zeige
$$f_-(n)\leq f_-(n+1)\leq f_+(m), \quad \forall_{n,m}$$
und beweise damit
$$\sup f_-(\N) = \inf\{\sup\{f_+(m)\,|\,m>k\}\,|\,k\in \N\} = \sqrt[p]{x}$$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 118: Indexverschiebung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie durch vollständige Induktion
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n !$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 119: Zeige:}}\\

Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ besitzt ein kleinstes Element.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 120: Summe über Sinusfunktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise für $n \in \N$ die folgende Formel:
$$\sum_{k=1}^n \sin kx = \frac{\sin\frac{n+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{nx}{2}$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 121: Summenformel für Binomialkoeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise für $a\in\R$ mit vollständiger Induktion:
\[\sum_{k=0}^n\,\binom{a+k}{k} = \binom{a+n+1}{n}.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 122: Verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende Ungleichung
\[ \prod_{i=1}^n\,(1 + a_i) \geq 1 + \sum_{i=1}^n\,a_i\]
für beliebige reelle Zahlen $a_1, \ldots, a_n$ mit $a_i \geq -1$ und $a_i a_j \geq 0$ für $i, j = 1, \ldots, n$. 

Welchen Ungleichungstyp erhält man im Spezialfall $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 123: Schritt von $n$ auf $n+2$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die Gleichung
\begin{equation}
	 x^2 + y^2 = z^n
\end{equation}
für jede fest gewählte natürliche Zahl $n$ unendlich viele Lösungen $(x, y, z) \in \N^3$ besitzt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ reelle Zahlen }
\section{ p-adische Zahlen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 124: a-Brüche
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Einem gegebenen $a$-Bruch $(z_1z_2 \ldots z_h, z_{h+1} \ldots)_a$ wird die
Intervallschachtelung $I_n = [a_n, b_n],\ n = 1, 2, \ldots$ mit
\begin{equation}\tag{*}
	a_n := \sum^n_{i=1}\,z_i a^{h-i},\quad b_n := a_n + a^{h-n}
\end{equation}
zugeordnet.
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie für den Dualbruch $(1010,101010 \ldots)_2$ diese Intervallschachtelung und
die eindeutig bestimmte reelle Zahl, die allen diesen Intervallen angehört.
	\item Zu jeder reellen Zahl x > 0 existiert ein a-Bruch,
so dass $x \in [a_n, b_n),\ n \in \N$ mit $a_n, b_n$ entsprechend (*) gilt. Zeigen Sie, dass für die Ziffern 
$z_n$ dann auch die folgende Beziehung gilt:
\[ z_n = \left\lfloor x a^{n-h}\right\rfloor - a \left\lfloor x a^{n-h-1}\right\rfloor.\]
(Hierbei bezeichnet $\left\lfloor y\right\rfloor$ den ganzen Anteil einer reellen Zahl $y$.)
	\item Bestimmen Sie die (periodischen) $a$-Bruchentwicklungen der Zahlen $z=1/(a - 1)^2$ für
$a = 3, 4, 5, 6, 7$. Welche Vermutung ergibt sich für den Fall eines beliebigen $a \in \N,\ a \geq 2$?
Versuchen Sie, Ihre Vermutung zu beweisen.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 125: Abzählbarkeit von Teilmengen von $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Die Menger aller endlichen Teilmengen von $\N$ ist abzählbar.
Gilt das auch für die Menge aller Teilmengen von $\N$?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Unendliche Reihen }
\section{ Fourierreihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 126: Entwicklung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Entwickle
$$
u(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0   & \mbox{in} & (0,{\pi \over 3}) \cup ({2 \pi \over 3},2\pi)  \\
                                \pi & \mbox{in} & ({\pi \over 3} , {2 \pi \over 3})               \\
              \end{array} \right. 
$$
in eine Fourierreihe nach den Funktionen $\cos\,nx, \sin\,nx $. 
Skiziere den Verlauf der ersten Partialsummen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ geometrische Reihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 127: Fibonacci-Koeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Entwickeln Sie die Funktion $f = f(z)$ mit
\[f(z)= \frac{1}{1-z-z^2}\]
an der Stelle $z_0 =0$ in eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty\,a_nz^n$. Zeigen Sie die rekursive Bildungsvorschrift
\[a_0 = a_1 =1,\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \text{ für } n \geq 2\]
(Fibonacci-Zahlen) und geben Sie die Koeffzienten $a_n$ explizit an. Welchen Konvergenzradius hat diese Potenzreihe?\\
\tip{Bestimmen Sie die Nullstellen $z_1, z_2$ des Nenners von $f$, schreiben Sie $f$ in der Form
\[f(z)= \frac{a}{z-z_1} + \frac{b}{z-z_2}\]
mit geeigneten Zahlen $a, b$ und benutzen Sie die Summenformel für die geometrische Reihe.}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 128: komplexe geometrische Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $z \in \C$ mit $\re z^2 > -\frac{1}{2}$. Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^{2n}}{(1 + z^2)^{n-1}} \]
und bestimmen Sie deren Summe.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 129: Potenzen der geometrischen Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise unter Verwendung der Cauchyschen Produktreihe mit vollständiger Induktion über $l$:
\[\abs{z}<1 \Longrightarrow \frac{1}{(1-z)^l} =\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{l-1}\,z^n=\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{n}\,z^n.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 130: Volumen und Umfang der Koch-Schneeflocke
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ersetzt man in einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge $1$ die Kanten rekursiv gemäß der Vorschrift\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{aImage007}
\end{center}
enstehen nacheinander die folgenden Figuren:\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{aImage008}
\end{center}
Berechnen Sie Umfang und Flächeninhalt aller dieser Figuren. Was passiert, wenn dieser Prozess unendlich oft fortgeführt wird?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Großer Umordnungssatz }
\subsection{ Cauchysche Produktreihe }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 131: Potenzen der geometrischen Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man beweise unter Verwendung der Cauchyschen Produktreihe mit vollständiger Induktion über $l$:
\[\abs{z}<1 \Longrightarrow \frac{1}{(1-z)^l} =\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{l-1}\,z^n=\sum_{n=0}^\infty\,\binom{n+l-1}{n}\,z^n.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 132: Übungen zur Quadratwurzel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie unter Verwendung der Cauchyschen Produktreihe für $z\in \C, \abs{z}<1$ die Beziehung
	\[\frac{1}{1+z}=\rkl{\sum_{n=0}^\infty\,\binom{-\frac{1}{2}}{n}\,z^n}^2.\]
	\item Unter Verwendung von a) zeige man
	\[\sqrt{2}=\frac{7}{5}\sum_{n=0}^\infty\,(-1)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n}\,50^{-n}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 133: Endliche Zeilenreihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die Reihe $\sum_{n=0}^\infty\, a_n$ sei absolut konvergent und für $n = 0, 1, \ldots$ werde gesetzt:
\[ b_n = \frac{1}{2n+1} \rkl{ a_0 + 2 a_1 + \ldots + 2^n a_n}.\]
Zeigen Sie, dass auch $\sum_{n=0}^\infty\,b_n$ absolut konvergiert und
\[ \sum_{n=1}^\infty\,a_n =\sum_{n=1}^\infty\,b_n \]
gilt. Hinweis: Wenden Sie den Großen Umordnungssatz an!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 134: Die Lambert-Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie: Die Lambert\footnote{Johann Heinrich Lambert (* 26. August 1728 in Mülhausen (Elsass); \dag\  25. September 1777 in Berlin) war ein schweizerisch-elsässischer Mathematiker, Logiker, Physiker und Philosoph der Aufklärung, der u. a. die Irrationalität der Zahl $\pi$ bewies.}-Reihe
	\[\mathfrak{L}(z)=\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n},\quad z\in \C\]
	konvergiert für $\abs{z}<1$ und divergiert für $\abs{z}>1$.
	\item Zeigen Sie die Identität
	\[\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^\infty\,d(n)\,z^n,\]
	wobei $d(n)$ die Anzahl der (echten und unechten) Teiler von $n$ bezeichnet.
	\item Für welche $z  \in \C$ konvergiert die rechte Reihe.
	\item Beweisen Sie die Identität
	\[\rkl{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\,\frac{d(n)}{n^2}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ konkrete Reihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 135: Binomische Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\alpha \in \R$. Die Binomial-Koeffzienten sind durch
\[\binom{\alpha}{0}:= 1 \quad\text{und}\quad \binom{\alpha}{n}:=\frac{\alpha\,(\alpha-1)\,\cdots \,(\alpha-n+1)}{n!},\quad (n \in \N),\]
und die binomische Reihe als
\[S_\alpha (z) := \sum_{n=0}^\infty \,\binom{\alpha}{n}\,z^n,\quad (z \in \C),\]
definiert. Zeigen Sie,
\begin{enumerate}
	\item dass die Reihe für $|z| < 1$ konvergiert.
	\item dass im Falle von $\alpha=m\in \N$ die Reihe nur endlich viele Glieder
hat und
\[S_m (z) = (1 + z )^m\]
gilt.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 136: Definition und Berechnung von $\e$.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Betrachte die rellen Folgen $\{a_n\}$ und $\{s_n\}$ mit
$$a_n = (1 + \frac1n)^n \qquad\mbox{ und }\qquad s_n = \sum^n_{k=0} \frac1{k!}$$
Definiere $\e := \lim_{n\rightarrow \infty} s_n$. Warum ist dies wohldefiniert?
\ben
\item[a)] Zeige: $a_n = \sum^n_{k=0} \bma{c}n\\k\\\ema \frac 1{n^k}$ und $a_n \leq s_n$ f.a. $n \in \N$.
\item[b)] Folgere: $\{a_n\}$ konvergiert und $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \leq \e$.
\item[c)] Zeige: Für alle $m > n$ gilt 
$$a_m \geq 1 + 1 + (1 - \frac1m)\frac1{2!}+ \dots + (1 -\frac1m)(1 -\frac2m) \dots (1 -\frac{n-1}m)\frac1{n!} .$$
\item[d)] Folgere $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \geq s_n$ f.a. $n \in \N$ und $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \geq \e$. Also $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \e$.
\een
Diese Aufgabe zeigt $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim_{n\rightarrow \infty} s_n = \e$, die sogenannte Eulersche Zahl.\\

Versuche die Zahl $\e$ jeweils mit $a_n$ und $s_n$ zu approximieren. Wie groß muß jeweils $n \in \N$ sein, um $\e$ mit fünf Dezimalen genau zu berechnen?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 137: Die Lambert-Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie: Die Lambert\footnote{Johann Heinrich Lambert (* 26. August 1728 in Mülhausen (Elsass); \dag\  25. September 1777 in Berlin) war ein schweizerisch-elsässischer Mathematiker, Logiker, Physiker und Philosoph der Aufklärung, der u. a. die Irrationalität der Zahl $\pi$ bewies.}-Reihe
	\[\mathfrak{L}(z)=\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n},\quad z\in \C\]
	konvergiert für $\abs{z}<1$ und divergiert für $\abs{z}>1$.
	\item Zeigen Sie die Identität
	\[\sum_{n=1}^\infty\,\frac{z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^\infty\,d(n)\,z^n,\]
	wobei $d(n)$ die Anzahl der (echten und unechten) Teiler von $n$ bezeichnet.
	\item Für welche $z  \in \C$ konvergiert die rechte Reihe.
	\item Beweisen Sie die Identität
	\[\rkl{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\,\frac{d(n)}{n^2}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 138: Teleskopreihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Entscheiden Sie über Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Summen der Reihen
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle{S_1 := \sum_{n=1}^{\infty}\,\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}}$,
		\item $\displaystyle{S_2 := \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots}$,
		\item $\displaystyle{S_3 :=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n^{2}+3n+1}{n^{3}(n+1)^{3}}}$.
	\end{enumerate}
	\item Zeigen Sie
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(a+n)(a+b+n)} = \frac{1}{b}\rkl{\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}+\ldots+\frac{1}{a+b-1}}.\]
Welche Werte von $a, b$ können dabei zugelassen werden?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Leibniz-Reihen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 139: Binomialkoeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie mit Hilfe des Kriteriums von Leibniz, dass die Reihe
\[ \sum_{n=1}^\infty\,\binom{a}{n}\]
für jedes reelle $a \in (-1, 0)$ konvergiert.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 140: Leibniz-Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie auf Konvergenz bzw. Divergenz%
\[
\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\frac{\ln k}{k}\bigskip 
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 141: Monotonie erfoderlich
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz / Divergenz !
\[ \sum_{n=1}^\infty \,(-1)^{n-1}\,\frac{2}{(3+(-1)^n)\,n}.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Potenzreihen }
% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 142: Fast harmonische Reihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\{a_n\}_{n\geq 0}$ eine monoton fallende Nullfolge. Man zeige:\\

Die Summe
$$S=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$$ 
konvergiert für alle $z$ mit $|z|\leq 1$, mit Ausnahme von vielleicht $z=1$! 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 143: Identitätssatz  für Potenzreihen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Die Potenzreihe $\displaystyle{P(z) :=\sum_{n=0}^\infty\, a_n z^n}$ habe einen positiven Konvergenzradius $\rho$. In
jedem Punkt des Konvergenzkreises gelte $P(z) = P(-z)$. Zeigen Sie, dass dann $a_n = 0$ für
alle ungeraden $n$ gilt.
\item Gibt es Potenzreihen $\displaystyle{P(z)=\sum_{k=1}^\infty\, a_k z^k}$ mit Konvergenzradius $\rho > 1$, die in den Punkten
$z = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ der Reihe nach die Werte
\[ \text{i) } \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots\quad\text{bzw.}\quad\text{ii) }   \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \ldots\]
annehmen?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Konvergenzradius }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 144: fehlende Exponenten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der
Potenzreihe 
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{4^n}(z-5)^{2n+1}.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 145: Formel von Hadamar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe: 
$$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ 
mit den Koeffizienten $a_n = 3^n$  ($n$ gerade) und $a_n = 5^n$  ($n$ ungerade) in Abhängigkeit von der reellen Zahl $x$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 146: Formel von Hadamar II
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe: 
$$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ 
mit den Koeffizienten $a_{2n} = 3^n$  und $a_{2n+1} = 5^n$  in Abhängigkeit von der reellen Zahl $x$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 147: Konvergenzradiusbestimmung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen in Potenzen
von z:
\[\text{a) } \sum_{n=1}^\infty \, \frac{n^n}{n!}\, z^n,\ \text{b) } \sum_{n=1}^\infty \, \frac{(n!)^2}{(2n)!}\, z^n,\ \text{c) } \sum_{n=1}^\infty \, \frac{z^n}{\sqrt{n}^n},\ \text{d) } \sum_{n=0}^\infty \, \binom{n+a}{n}\, z^n,\ (a \in \C)\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 148: Potenzfunktion vesus Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
\[\sum _{n=1 } ^{\infty } ( n^{2012} +  3^n )  z^n \]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 149: Quotientenkriterium versus Wurzelkriterium
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der
Potenzreihe 
$$\sum^\infty_{n=0}\ \left(1+(-1)^n+\frac1n\right)\,(z-z_0)^n.$$

Untersuchen Sie die Reihe
\ben
\item zunächst mit dem Quotientkriterium, 
\item dann mit dem Wurzelkriterium und 
\item benutzen Sie zuletzt die Formel für den Konvergenzradius.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 150: Satz von Cauchy-Hadamar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\rho$ > 0 der Konvergenzradius der Potenzreihe
\[S:=\sum_{n=0}^\infty a_n\,z^n.\]
Welchen Konvergenzradius haben dann die Potenzreihen
\[
S_1:=\sum_{n=0}^\infty a_n\,n!\,z^n,\ 
S_2:=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}\,z^n,\ 
S_3:=\sum_{n=0}^\infty a_n\,n^m\,z^n,\ 
S_4:=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n^m}\,z^n\ (m \in \N)?
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Quotientenkriterium }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 151: Konvergenzuntersuchung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die folgenden drei Reihen auf Konvergenz oder Divergenz
\[ \text{a) } \sum_{n=1}^\infty\,\frac{(n!)^2}{(2n)!},\quad\text{b) } \sum_{n=1}^\infty\,\frac{2^n\,n!}{n^n},\quad\text{c) } \sum_{n=1}^\infty\,\frac{3^n\,n!}{n^n} .\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Vergleichskriterium }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 152: Reihen mit der Eulerschen Zahl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie die Konvergenz der folegnden Reihen
\[\text{a)}\quad\sum_{n=1}^\infty\,\rkl{\e-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n}\quad\text{b)}\quad\sum_{n=1}^\infty\,\rkl{\e-\rkl{1+\frac{1}{n}}^n}^2\]
\tip{Vergleichskriterium}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 153: gebrochen rationale Summanden
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a, b$ beliebige positive (reelle) Zahlen. Für welche (rationalen) Werte von $s, t$ konvergiert die unendliche Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty \, \frac{a + n^s}{b + n^t}\ ?\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ weitere Summationsverfahren }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 154: Partielle Summation
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Manchmal kann man die sogenannte partielle Summation für Konvergenzuntersuchungen von unendlichen Reihen benutzen: Sind $a_1, \ldots, a_n,\  b_1, \dots, b_n \in \C$ und ist
$\displaystyle{A_m := \sum_{k=1}^m\, a_k,\ m = 1,\ldots. n}$, dann gilt
\[\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\,A_{k}(b_{k}-b_{k+1}).\]
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie diese Formel.
	\item Zeigen Sie damit: Hat die reelle, unendliche Reihe $\sum_{n=1}^\infty\, a_n$ beschränkte Partialsummen und ist die reelle Folge $\ser{b_n}$ eine monotone Nullfolge, dann konvergiert die Reihe
$\sum_{n=1}^\infty\, a_n b_n$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Ungleichungen }
\section{ Bernoulli-Ungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 155: Bernoulli-Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a\in \mathbb{R} $, $a\not= 0$, $a\not=1 $, und $x\geq -1 $. 
Benutzen Sie den Mittelwertsatz um die folgenden Ungleichungen zu zeigen: 
\begin{eqnarray*}
 & & (1 + x)^a \leq 1+ax \quad \mbox{wenn }\ 0<a<1\\   
 & & (1 + x)^a \geq 1+ax \quad \mbox{wenn  }\ a<0 \ \mbox{ oder } \ a>1.
\end{eqnarray*}  

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 156: Bernoulli-Ungleichung für rationale Exponenten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die folgenden beiden Varianten der Bernoullischen Ungleichung.
Dazu sei $x > -1$ eine reelle Zahl und $a$ eine rationale Zahl.
\begin{enumerate}
	\item Es gilt $(1 + x)^a \geq 1 + a x$ für $a \geq 1$.
	\item Es gilt $(1 + x)^a \leq 1 + a x$ für $0 < a < 1$.
\end{enumerate}

Hinweis: Benutzen Sie den Satz über das geometrische und das arithmetische Mittel.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Cauchy-Schwarzsche Ungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 157: Disjunkte Kreise
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x, y$ reelle Zahlen, für die
\[ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 4\]
gilt. Zeigen Sie:
\[x^2 + y^2 > 36. \]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 158: Gegebene Summe und Quadratsumme
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei
\bea
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=&10\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2&=&25\\
\eea
Zeigen Sie, dass dann $0\leq x_i\leq 4,\ i=1,\ldots,5$ gilt.

In welchen Fällen können dabei Gleichheitszeichen auftreten?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 159: Lagrangesche Identität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $n \in \N$ und $z_k, w_k \in \C, k = 1, \ldots, n$. Beweisen Sie die sogenannte
\textsc{Lagrange}sche Identität
\[ \abs{\sum_{k=1}^n \, z_k w_k }^2 = \sum_{k=1}^n \abs{z_k}^2 \, \sum_{k=1}^n \abs{w_k}^2 - \sum_{1\leq l<k \leq n}\,\abs{z_l \bar{w}_k  - z_k \bar{w}_l}^2\]
und daraus folgend die \textsc{Cauchy-Schwarz}sche Ungleichung für komplexe Zahlen 
\[ \abs{\sum_{k=1}^n \, z_k w_k }^2 \leq  \sum_{k=1}^n \abs{z_k}^2 \, \sum_{k=1}^n \abs{w_k}^2 .\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Dreiecksungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 160: Abschätzung zusammengesetzter Größen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a,b\in \R$, so dass $|a+1| \leq 10^{-2} $ und  $|b-5|\leq 3\cdot 10^{-2} $.\\

Schätze die Größen $|a+b -4|$,\  $|ab^2 +25|$,\ $ |(b/a ) +5| $ und $|a\sqrt{b} +\sqrt{5} |$ ab. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 161: Abschätzung nach der Dreiecksungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a, b \in \R$ gegeben mit
$\abs{a - 3} \leq 3 \cdot 10^{-3},\ \abs{b + 2} \leq 2 \cdot 10^{-3}$.\\
Schätzen Sie die folgenden Ausdrücke ab:
\[ a) \abs{a + b - 1},\ b) \abs{ab + 6},\ c) \abs{a^2b + 18},\ d) \abs{\frac{a}{b} +
\frac{3}{2}},\ e) \abs{\sqrt{a} - \sqrt{3}}.\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 162: Stetigkeit der Wurzelfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie die folgende Ungleichung
	\[ a,b\geq 0 \Longrightarrow \abs{\sqrt{a} -\sqrt{b}} \leq \sqrt{\abs{a\pm b }} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\qquad \text{(W)}\]
  \item Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ im ihrem Definitionsbereich stetig ist.
	\item Ist $f$ in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Mittelungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 163: Zyklisches Produkt
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben seinen $n$ positive reelle Zahlen $x_1,\ldots,x_n$.
\begin{enumerate}
	\item Sei $y_1,\ldots,y_n$ eine beliebige Umordnung der Zahlen $x_1,\ldots,x_n$. Man beweise
	\[\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{y_k}\geq n.\]
	\item Sei $x_{k+1}:=x_1$ gesetzt. Man beweise
	\[\sum_{k=1}^n \frac{x_{k+1}}{x_k}\leq \sum_{k=1}^n \rkl{\frac{x_k}{x_{k+1}}}^n.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Rechnen mit Ungleichungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 164: Lösen von Ungleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie alle reellen Zahlen $x \neq 1$, für die gilt: 
    \[ \abs{\frac{x}{x + 1}} > \frac{x}{x + 1} .\]
  \item Bestimmen Sie alle reellen Zahlen $x$, für die gilt
   \[ \abs{\abs{x + 1} - \abs{x + 3}} < 1 .\]
	\item Es sei $p > 0$ eine gegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $p$ alle reellen
Zahlen $x \neq 0$ mit
\[ \frac{x}{p} - \frac{2p}{x} < 2 .\]
\item Es sei $p$ eine gegebene reelle Zahl. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $p$ alle reellen
Zahlen $x$ mit
\[ p\, x\ (3 - x) > 7\,p - 5.\]
\item Bestimmen Sie alle reellen Zahlen $x$ mit
\[ x^2 - 4x + 3 > \frac{1}{2}\,x + 1 .\]
\end{enumerate}
\emph{Hinweis:} Es ist lehrreich, sich mit Hilfe eines Zeichenprogramms (z.B. dem freien Gnuplot)
eine Vorstellung vom Verlauf der Graphen der jeweiligen Funktionen zu verschaffen!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Tschebyscheffsche Ungleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 165: Tschebyscheffsche Ungleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie die folgende Identit\"{a}t: F\"{u}r $a_{1},a_{2},...,a_{n}%
\in \mathbb{R}$ und $b_{1},b_{2},...,b_{n}\in \mathbb{R}$ gilt%
\begin{equation*}
\sum\limits_{i,k=1}^{n}(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k})=2\left\{
n\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}-\left( \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\right)
\left( \sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}\right) \right\}
\end{equation*}
\item Leiten Sie aus a) die Tschebyscheffsche Ungleichung her: Ist $a_{1}\geq
a_{2}\geq ...\geq a_{n}$ und $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{n}$, so gilt%
\begin{equation*}
\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\cdot \frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}\leq 
\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}}{n}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ weitere Abschätzungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Abschätzung von $1/\sqrt{Aufgabe 166: n}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie für jede natürliche Zahl $n$
	\[2 \rkl{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \rkl{\sqrt{n} -\sqrt{n-1}} .\]
	\item Bestimmen Sie den größten ganzen Anteil $\left\lfloor x\right\rfloor$ der Zahl
	\[ x= \sum_{k=1}^{1000000} \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{3}} +\frac{1}{\sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{1000000}} .\]
	Hinweis: Für eine reelle Zahl $x$ ist der größte ganze Anteil die eindeutig bestimmte ganze
Zahl $\left\lfloor x\right\rfloor =:m$ mit $m \leq x < m + 1$. Benutzen Sie die Ungleichung aus a).
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Analytische Geometrie }
\chapter{ Ebene Probleme }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 167: Disjunkte Kreise
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $x, y$ reelle Zahlen, für die
\[ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 4\]
gilt. Zeigen Sie:
\[x^2 + y^2 > 36. \]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Kegelschnitte }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{200pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 168: Kegelhalbierung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein gerader Kreiskegel mit Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ wird durch einen ebenen Schnitt im Winkel $\alpha$ zur Grundfläche in zwei volumengleiche Teile geteilt. ($\alpha$ sei dabei natürlich echt kleiner als der Mantelwinkel des Kegels, so dass als Schnittfläche eine Ellipse entsteht, deren Rand ganz auf dem Kegelmantel liegt.)\\

Wie groß ist die Schnittfläche und in welcher Höhe schneidet die Schnittebene die Kegelachse?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{230pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.4]{aImage009}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Kugelberechnungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 169: Kugel mit Loch
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In eine Kugel vom Radius $r$ wird ein zylindrisches Loch vom Radius $a$ so gebohrt, dass die Zylinderachse durch den Kugekmittelpunkt geht. Die Höhe des Loches beträgt 1~m.\\

Wie groß ist das Volumen des Restkörpers?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage010}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Polyeder }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 170: Ortsvektorsumme im regulären Polyeder
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $M$ der Mittelpunkt und $P_i, i=1,\ldots,n$ die Eckpunkte eines regulären Polyeders.\\
Man zeige für alle $n \in \N$
$$\sum_{k=1}^n \overrightarrow{MP_k}=\vec{0}.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Funktionalanalysis }
\chapter{ Metrik und Norm }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 171: Beschränkte Metrik
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es sei$(M,d)$ einmetrischer Raum mit dem Abstand $d : M \times M \to \R$\\.
Zeigen Sie, dass dann auch $d_1 : M \times M \to \R$ mit
\[ d_1(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+ d(x,y)}\]
eine Metrik auf $M$ ist.\\
(Man beachte, dasd stets $d_1(x,y)< 1$ ist.)
\item Erzeugt die Metrik $d_1$ die gleiche Topologie (d.~h. das gleiche System der offenen und abgeschlossenen Mengen) auf $M$ wie $d$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 172: Französische Eisenbahn-Metrik (Alle Züge fahren über Paris.)
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $d:\R^2\times\R^2 \to \R_+$ eine Metrik auf dem Raum $\R^2$.\\
Für $z_i=(x_i,y_i)\in \R^2,\ i=1,2$ sei
\[\tilde{d}(z_1,z_2)=\begin{cases}
	d(z_1,z_2) &\text{falls}\quad x_1\,y_2=x_2\,y_1\\
	d(z_1,0)+d(0,z_2) &\text{sonst}
\end{cases}. \]
Man gebe eine geometrische Deutung der Bedingung $x_1\,y_2=x_2\,y_1$ an und untersuche, ob $\tilde{d}$ ebenfalls eine Metrik auf dem Raum $\R^2$ ist.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 173: Matrixnorm
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Im Vektorraum $V$ der reellen $(n\times n)$-Matrizen $A=(a_{ij})$ werde
gesetzt:
\[\norm{A}:= \max_{i,j=1,\ldots,n}|a_{ij}|.\]
\begin{enumerate}
	\item Prüfen Sie die Normeigenschaften von $\norm{\cdot}$ nach!
\item Ist $\norm{\cdot}$ eine multiplikative Matrixnorm auf $V$, d.h. gilt
\[
\norm{AB}\leq\norm{A}\cdot\norm{B}
\]
für beliebige Matrizen $A,B$ aus $V$? (Beweis oder Gegenbeispiel!) \\
\item Es sei $M$ die Menge der invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen
aus $V$. Ist $M$ eine offene Menge im normierten Raum $V,\|\cdot\|$?
Bestimmen Sie alle Randpunkte von $M$!
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Normen im $\Rx{Aufgabe 174: 2}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Untersuchen Sie, ob folgende Ausdrücke Normen im $\Rx{2}$ sind und beschreiben Sie gegebenenfalls das Aussehen des Einheitskreises.
\ben
\item $\|(x_1,x_2)\|=|x_1-x_2|+|x_1|$
\item $\|(x_1,x_2)\|=2|x_1|+3|x_2|$
\item $\|(x_1,x_2)\|=|x_1-x_2|$
\een
\item Bestimmen Sie auch die zugehörigen Matrixnormen.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 175: reziproke Metrik in $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Auf der Menge der natürlichen Zahlen werde gesetzt:
\[d(n,m)= \frac{\abs{n-m}}{nm} \quad\text{für}\quad n,m \in \N.\]
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass $d$ eine Abstandsfunktion auf $(\N,d)$ ist.
	\item Beschreiben Sie alle offenen, alle abgeschlossenen und alle kompakten Teilmengen von $(\N,d)$.
	\item Ist der metrische Raum $(\N,d)$ vollständig?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Funktionentheorie }
\chapter{ Gaußsche Integralformel }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 176: Konjugierte Formel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
  Man berechne das Integral
  \bdm
      I= \oint \limits_{|z|=1} \frac{dz}{\bar{z}-z_0}   
  \edm
  über dem Einheitskreis!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Gaußscher Integralsatz }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 177: Fresnelschen Integrale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie unter Verwendung des reellen Integrals
\[\int_0^\infty\,\e^{-t^2}\,dt =\frac{1}{1}\int_0^\infty\,\e^{-u}u^{-1/2}\,du  =  \frac{\Gamma(1/2)}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
die sogenannten Fresnelschen Integrale
\[I_c := \int_0^\infty\,\cos(t^2)\, dt \quad\text{und}\quad I_s := \int_0^\infty\,\sin(t^2)\, dt,\]
indem Sie die in ganz $\C$ holomorphe Funktion $f (z) = \e^{-z^2}$ über den Rand des Kreissektors
\[ S=\set{z \in \C\ |\  |z| < R;  0 < arg (z ) < \frac{\pi}{4}}\]
integrieren, den Cauchyschen Integralsatz anwenden und schließlich den Grenzübergang $R \to \infty$ vollziehen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ komplexe Zahlen }
\section{ Rechnen mit komplexen Zahlen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 178: Betrag und Argument
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie von den folgenden komplexen Zahlen jeweils den Betrag und (ein) Argument:
\[ a)\ i^{2016}, \quad b)\ \frac{3 + 4i}{1 - 2i}, \quad c)\ (1 + i)^{17} - (1 - i)^{17}, \quad\  (1 - i)^n,\ n \in \Z.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 179: Beträge u. ä.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mit komplexen Zahlen:
\begin{enumerate}
	\item $\abs{2z_2 - 3z_1}^2$,
	\item $\abs{ z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_1}$,
	\item $\displaystyle{\im \rkl{\frac{z_1 z_2}{z_3}}}$,
\end{enumerate}
wobei $z_1 = 1 - i,\ z_2 = -2+4i$ und $z_3 = \sqrt{3} - 2i$ ist. (Mit $\bar{z}$ wird die zu $z$ konjugiert komplexe
Zahl bezeichnet, mit $i$ die imaginäre Einheit.)
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 180: Geradengleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die folgenden drei Teilmengen $G_0, G_+, G_- \subset \C$ veranschauliche man sich
in der Gaußschen Zahlenebene, d.~h. man überlege sich, welche geometrischen Objekte 
dadurch beschrieben werden. Dazu seien $a, b \in \C,\ b \neq 0$ und
\bea
	G_0 &:=&\set{z \in \C\ |\ \im \rkl{\frac{z - a}{b}} = 0},\\
	G_+ &:=&\set{z \in \C\ |\ \im \rkl{\frac{z - a}{b}} > 0},\\
	G_- &:=&\set{z \in \C\ |\ \im \rkl{\frac{z - a}{b}} < 0}.
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 181: Gleichungen und Ungleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie alle Zahlen $z\in \C$, die den folgenden Bedingungen genügen

\begin{enumerate}
	\item $\re z^3 = 27$,
	\item $z^2+(2+i)z +1+i =0$,
	\item $|z-i|+|z+2|<3$.
	\item Untersuchen Sie, für welche reellen Zahlen $a \geq 1$ die Gleichung
\[ z + a\,\abs{z + 1} + i = 0\]
komplexe Lösungen besitzt und bestimmen Sie diese.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 182: Identitäten mit Beträgen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie die folgenden drei Behauptungen:
\begin{enumerate}
	\item Für $z \in \C$ gilt $|z + 1| > |z - 1|$ genau dann, wenn $\re z > 0$ ist.
	\item Für $z \in \C,\  z \neq 0$ gilt $\re \rkl{z + \frac{1}{z}} = 0$ genau dann, wenn $\re z = 0$ ist.
	\item Für $z \in \C,\  z \neq 0$ gilt $\im \rkl{z + \frac{1}{z}} = 0$ genau dann, wenn $\im z = 0$ oder $|z|=1$ ist.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 183: komplexe Wurzeln
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die Quadratwurzeln aus $5 + 7i$  und $\sqrt{2}\,(1 + i)$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 184: Polynome
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der folgenden Gleichungen:
\[ (z - 3i)^6 + 64 = 0,\qquad  z^2 - z + i z - i = 0.\]
	\item Es sei $P = P (z)$ das folgende Polynom fünften Grades:
\[ P(z) = z^5 + z^4 - 2 z^3 + 2 z^2 + 4z.\]
Berechnen Sie $P (1 + i)$, $P (2 + i)$ und zerlegen Sie $P$ in Linearfaktoren!
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 185: Unimodularität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $a,b$ komplexe Zahlen mit $|a|\neq|b|$ und $z$ eine
unimodulare komplexe Zahl. Beweisen Sie, dass dann $\bar{b}z+a\neq 0$ 
ist und die komplexe Zahl 
$$w:=\bigl(\bar{a}z+b\bigr)/\bigl(\bar{b}z+a\bigr)$$
wieder unimodular ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 186: Vereinfachung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen
Zahl:
$$\frac{(1+i)^4}{(1-i)^3}+\frac{(1-i)^4}{(1+i)^3}.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Möbiustransformationen }
\section{ Spiegelung am Kreis }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 187: Transformation auf Kreisringe
}}\\

% Aufgabentext eintragen

Wie sieht das Bild vom 
$$M:=\{z \in \raum{C} | 1<|z+i|<2\}$$
unter der Abbildung $f(z)=\frac{1}{z}$ aus?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}



%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 188: Transformation auf Kreisringe
}}\\

% Aufgabentext eintragen

\begin{enumerate}
	\item  Wie kann man durch eine Möbiustransformation das Gebiet zwischen zwei
nichtkonzentrischen und durchschnittsleeren Kreislinien in der Gaußschen Zahlenebene
auf ein Gebiet zwischen zwei konzentrischen Kreislinien abbilden?
  \item Existiert eine Möbiustransformation, die das Gebiet\\ 
$G:=\set{z \in \C\, |\, \abs{z -1} > 1, \abs{z} < 8}$  auf
den Kreisring $R=\set{z \in \C\,|\, 1 < \abs{z} < 2}$\\ 
abbildet?
  \item Geben Sie alle Möbiustransformationen an, bei denen der innere Randkreis des Bildes von $G$ der Einheitskreis ist.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Residuensatz }
\section{ Berechnung reeller Integrale }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 189: Residuensatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berchnen Sie das Integral 
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx$$
mit Hilfe eines komplexen Integrals.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Gewöhnliche Differentialgleichungen }
\chapter{ Einführende Übungen }
\section{ DGls zu Kurvenscharen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 190: DGl zu zweiparametriger Parabelschar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei folgende 2-parametrige Schar von Parabeln im $\R^2$ gegeben:
\[ \set{(x, y) \in \R^2 \ |\  y = a\,(x - b)^2,\ a, b \in \R}.\]
Bestimmen Sie eine Differentialgleichung 2. Ordnung, welche diese Parabeln als Lösungskurven besitzen.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 191: Einparametrige Geradenschar
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei folgende 1-parametrige Geradenschar im $\R^2$ gegeben:
\[ \set{ (x, y) \in \R^2 \ |\  y = 2c\,(x - c) + c^2,\  c \in \R}.\]
\begin{itemize}
	\item Wie viele Kurven der Schar gehen durch einen gegebenen Punkt $(x_0, y_0) \in \R^2$ ?
	\item Geben Sie eine Differentialgleichung 1. Ordnung an, welche diese Geraden als Lösungskurven besitzen.
\end{itemize}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Einfache Anfangswertprobleme }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 192: Anfangs- und Randwertprobleme
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{itemize}
	\item Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems:
	\[y^{(3)}(x) = \sin 2x,\ (x \in [0, 1]),\ y\rkl{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi^2}{32},\ y'\rkl{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4},\ y''\rkl{\frac{\pi}{4}} = 1.\]
	\item Bestimmen Sie die Lösung des Randwertproblems:
	\[ y''(x) = x^3\ (x \in [0, 1]),\ y (0) = y(1) = 0\]
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 193: \awp\ zu einer \dgl\ $n$-ter Ordnung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $n \in \N, x_0 \in \R$ und $y_0, y_1,\ldots, y_{n-1} \in \R$ gegeben. Bestimmen Sie die
Lösung des Anfangswertproblems:
\[ y^{(n)}(x) = \e^x,\ (x \in \R), y (x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, \ldots, y^{(n - 1)}(x_0) = y_{n - 1}.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ erster Ordnung }
\section{ Analytische Lösungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 194: Potenzreihenansatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für die Lösung des Anfangswertproblems
$$y'=x^3+y^3,\quad y(0)=1$$
bestimme man die ersten vier Glieder der Potenzreihenentwicklung. Man gebe außerdem eine Abschätzung für den Konvergenzradius an.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ direkt lösbare Typen }
\subsection{ Ähnlichkeitsdifferentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{220pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 195: Bahn einer Ente
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein Fluss strömt im 
Streifen $\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\::\:0\leq x\leq 1\}$ mit der 
Wassergeschwindigkeit $v=(0,v(x))$. Zur Zeit $t=0$ startet eine Ente im
Punkt $(1,0)$ und schwimmt mit der konstanten Relativgeschwindigkeit
$w$ immer in Richtung auf ihren Zielpunkt $(0,0)$.\\ 
Stellen Sie
eine Differentialgleichung für die Bahnkurve der Ente auf und 
diskutieren Sie die Lösung für für konstante $v$ und für den Fall $v(x)=2x(x-1)$.\\

Erreicht die Ente immer ihr Ziel?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{210pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.35]{aImage011}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{290pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 196: Orthogonale Trajektorien
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme die orthogonalen Trajektorien zu der Kurvenschar $x^2+y^2=2cx$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{140pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage012}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{160pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 197: Parabolspiegel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Welche Form hat ein Spiegel, der von einem Punkt ausgehende Strahlen parallelisiert?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{270pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage013}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 198: Rechte Seite ist Funktion eines Quotienten aus Linearausdrücken
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass sich \dgls\  der Form
	\[y'=f\rkl{\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}}\qquad\text{mit}\qquad D=\det\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\\\end{pmatrix}\]
	im Falle $D=0$ auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen und im Falle $D\neq 0$ auf eine Ähnlichkeits-\dgl\ bzw. eine Euler-homogene \dgl\ zurückführen lassen.
	\item Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der \dgl
	\[y'=\frac{x+y+1}{x+2}-\exp\rkl{\frac{x+y+1}{x+2}}\ .\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Bernoullische Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 199: Anfangswertprobleme für Bernoullische Differentialgleichungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{itemize}
	\item Bestimme die allgemeine Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung
	\[ y' = -2 y + y^2 \e^x .\]
	\item Löse zur Differentialgleichung aus a) die Anfangswertprobleme mit:
\[ y(0) = 0 \quad \text{bzw.}\quad y(0) = 1 \quad \text{bzw.}\quad  y(0) = -1\]
und bestimme jeweils das maximale Existenzintervall der Lösung.
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 200: Bernoullische Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine Differentialgleichung der Form $y'=f_0(x)y^\alpha+f_1(x)y$
mit gegebenen Funktionen $f_0,f_1:(a,b)\to{\mathbb R}$ und $\alpha\in
{\mathbb R\setminus \set{0,1}}$\footnote{Für $\alpha=0$ bzw. $\alpha=1$ ist die Gleichung bereits eine lineare inhomogene bzw. homogene \dgl.} heißt eine {\em Bernoullische Differentialgleichung}.\\
Durch die Transformation $y(x)=z^\beta(x)$ lässt sich eine solche Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung der Form
\[z'=a(x)\,z+s(x)\]
für $z$ zurückführen.
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie $\beta, a(x)$ und $s(x)$ aus $\alpha, f_0(x)$ und $f_1(x)$.
	\item Lösen Sie das Anfangswertproblem
\[y'=-y^2+\frac{1}{x}y,\quad y(1)=\frac{2}{3}.\]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 201: Bernoullische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $f_0, f_1$ stetige reelle Funktionen in einem Intervall $(a, b)$ und $\alpha \in \R$.
Dann heißt die Differentialgleichung
\[ y' = f_0(x)y^\alpha + f_1(x)y\]
eine Bernoullische Differentialgleichung. Für $\alpha = 0$ entsteht eine inhomogene lineare und
für $\alpha = 1$ eine homogene lineare Differentialgleichung, die nach Rezept gelöst werden
können.
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass im Fall $\alpha \neq 1$ und $y > 0$ durch die Substitution $z = y^{1-\alpha}$ 
eine lineare Differentialgleichung für $z$ entsteht.
\item Beweisen Sie folgenden Satz: Sind $f_0,  f_1$ in $(a, b)$ stetig und $\alpha \in \R \setminus \set{1}$, dann besitzt
das Anfangswertproblem
\[ y' = f_0(x)y^\alpha + f_1(x)y, \quad y(x_0)= y_0,\quad x_0 \in (a, b),\quad y_0>0\]
eine eindeutig bestimmte Lösung in einer Umgebung von $x_0$. Ist $\alpha \in \Z \setminus \set{1}$, dann gilt
das auch für $y_0 < 0$.
\item Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\[ 4y'\, \sin x =  -y\,\rkl{1 + y^4} + y^5\,\cos x.\]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Exakte Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 202: Anfangswertproblem 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{itemize}
	\item Teste die folgende Differentialgleichung auf Exaktheit
\[ y^2 - x - y\, \sin x + (2\,x\,y + \cos x)\,y'= 0.\]
\item Löse das Anfangswertproblem zu a) mit $y(\pi) = 0$ .
\end{itemize}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 203: Eulerscher Multiplikator m(x)
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für die Differentialgleichung
\[y' = -\frac{y^3+ 3x^2y + 6xy}{3(x^2+ y^2)}\]
einen nur von $x$ abhängigen Eulerschen Multiplikator. Bestimmen Sie dann die Funktion $F = F (x, y)$, deren Niveaulinien mit den Lösungskurven der Differentialgleichung
übereinstimmen. Für welche Werte $(x_0, y_0) \in \R^2$ ist das Anfangswertproblem mit den
Anfangswerten $y(x_0) = y_0$ in einer Umgebung von $x_0$ eindeutig lösbar?
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 204: Eulerscher Multiplikator
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für die folgende \dgl einen Eulerschen Multiplikator der Form $\lambda=\lambda(x^2+y^2)$ und bestimmen Sie damit die allgemeine Lösung von $$(y^2+x^2+x)\,y'=y.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 205: Eulerscher Multiplikator $m(x^\alpha y^\beta)$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie für die Differentialgleichung
\[ y' = -\frac{y^2 - xy}{2xy^3 + xy + x^2}\]
einen Eulerschen Multiplikator $m$ durch einen Ansatz in der Form
\[ m(x, y) = x^\alpha y^\beta\]
mit geeigneten $\alpha,\ \beta$. Lösen Sie damit die Differentialgleichung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 206: lieare \dgl\ als exakte \dgl\ lösen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie einen Eulerschen Multiplikator für eine lineare
Differentialgleichung
\[y'+f(x)y=g(x)\]
und lösen Sie die zugehörige exakte Differentialgleichung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Riccatische Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 207: Riccatische Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Sind $y=y_i(x)$, $i=1,\ldots,4$ vier verschiedene
Lösungen einer Riccatischen Differentialgleichung 
\[ y'=f_0(x)y^2+2f_1(x)y+f_2(x),\]
im Intervall
$(a,b)$, dann ist ihr Doppelverhältnis konstant, d.~h.\ es gilt
für alle $x\in(a,b)$:
\[
\frac{y_1(x)-y_3(x)}{y_2(x)-y_3(x)}
:\frac{y_1(x)-y_4(x)}{y_2(x)-y_4(x)}=const.
\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 208: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie: Ist $f:(a,b)\to{\mathbb R}$ stetig und $z=z(x)$ eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung in Normalform $z'=z^2-f(x)$, so ist $y=y(x)$ genau dann eine von $z$ verschiedene Lösung dieser 
Differentialgleichung, wenn $u=1/(y-z)$ der linearen Differentialgleichung 
$u'+2zu+1=0$ genügt. Also: Kennt man von einer Riccatischen
Differentialgleichung eine spezielle Lösung, dann kann man alle weiteren
Lösungen durch elementare Integrationen bestimmen.
\item Bestimmen Sie auf dem in a) beschriebenen Wege die allgemeine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung
\[z'=z^2-\frac14.\]

\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 209: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die Riccatische \dgl 
\[y'=-(x+1)\,y^2-y+\frac{3-x}{4x^2}.\]
\tip{Versuchen Sie zunächst mit dem Ansatz $y_s(x)=a\,x^\alpha$ eine spezielle Lösung der \dgl\ zu finden}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 210: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine \dgl\ der Form
\[y'=a(x)y+b(x)y^2+s(x),\]
von der eine spezielle Lösung $y_s(x)$ bekannt ist, lässt sich durch die Transformation $y(x)=z(x)+y_s(x)$ auf eine Bernouliische \dgl\ der Form
\[z'=p(x)z+q(x)z^2\]
zurückführen. 
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie $p(x)$ und $q(x)$ in Abhägingkeit von $a/x), b(x), s(x)$ und $y_s(x)$.
	\item Bestimmen Sie eine spezielle Lösung der Riccatischen \dgl
	\[y'=-\rkl{2x\sqrt{x}+\frac{1}{x}}y+xy^2+\frac{3}{2\sqrt{x}}+x^2\] mit dem Ansatz $y_s(x)=a\,x^\alpha$.
	\item Transformieren Sie die Riccatische in ein Bernoullische \dgl.
	\item Geben Sie die allgemeine Lösung der Riccatischen \dgl\ an. 
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 211: Riccatische Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Ist die Funktion $y=y(x)$ im Intervall $(a,b)$
eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung 
\[ y'=f_0(x)y^2+2f_1(x)y+f_2(x),\]
so ist die Funktion $u=u(x)$ mit
\[
u(x)=\mbox{exp}\,\rkl{-\int^x_{x_0} f_0(t)y(t)\,dt},\quad
x,x_0\in(a,b)
\]
eine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung
\[
f_0(x)u''-\rkl{f_0'(x)+2f_0(x)f_1(x)}u'+f_0^2(x)f_2(x)u=0.\]
Ist umgekehrt $u=u(x)$ eine nicht verschwindende
Lösung dieser Differentialgleichung, dann ist $z=-u'/(f_0(x)u)$ 
eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung.
($f_0$ sei in $(a,b)$ stetig differenzierbar mit $f_0(x)\neq0$,
$x\in(a,b)$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 212: Riccatische \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine Differentialgleichung der Form 
\[y'=f_0(x)y^2+f_1(x)y+f_2(x)\] 
mit gegebenen Funktionen $f_0,f_1,f_2:(a,b)\to{\mathbb R}$, 
$f_0(x)\neq0$ heißt eine {\em Riccatische Differentialgleichung}.
\begin{enumerate}
	\item Es seien $f_0$ zweimal stetig differenzierbar, $f_1$ einmal
stetig differenzierbar und $f_2$ stetig. Bestimmen Sie Funktionen
$g=g(x)$ und $f=f(x)$, so dass die Transformation $z=f_0y+g$ die Riccatische Differentialgleichung in die {\em Normalform}
$z'=z^2-f(x)$ überführt.\\
\item Berechnen Sie die Normalform der Riccatischen Differentialgleichung
\[y'=y^2-(2x+1)y+(1+x+x^2).\]
\item Geben Sie die allgemeine Lösung der ursprüglichen Riccatischen \dgl\ an.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Trennung der Variablen }
%Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 213: Eine Aufgabe mitten aus dem fröhlichen (Studenten-)Leben.}}\\

Eine gewisse Menge an Bier wird in einer stehenden kreiszylinderförmigen Tonne vom Radius $r$ bzw.
einem kreiskegelstumpfförmigen Behälter mit dem Radius $r$ am Boden und Radius $R > r$
in der Höhe $H > 0$ gelagert. In die Böden wird jeweils ein Zapfhahn mit dem gleichen
Querschnitt eingeschlagen. Aus welchem Behälter ist die gleiche Menge Bier bei geöffnetem
Zapfhahn schneller vollständig ausgelaufen?
Hinweis: Benutzen Sie Torricelli's Ausflußgesetz (benannt nach dem Mathematiker und
Physiker Evangelista Torricelli, 1608-1647), wonach die Ausflußgeschwindigkeit $v$ einer
idealen Flüssigkeit (Bier?) durch eine nach unten gerichtete Öffnung sich proportional
zur Höhe $h$ der Flüssigkeit verhält, genauer $v = \sqrt{Gh}, G$ Gravitationskonstante. Leiten
Sie daraus eine Differentialgleichung für die Flüssigkeitshöhe $h(t)$ zur Zeit $t$ in beiden
Fällen ab und diskutieren Sie diese.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{180pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 214: Die Kettenlinie
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Leiten Sie die Differentialgleichung der
Kettenlinie her, bestimmen Sie deren Lösungen und diskutieren Sie dabei die
verschiedenen Fälle!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{250pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7, angle=270]{aImage014}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 215: Nicht eindeutige Lösung des AWP
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Das Anfangswertproblem
\[y'=\sqrt{y}\quad\text{in}\quad [0,\infty),\quad  y'(0) = 0\]
besitzt  die  triviale  Lösung $y \equiv 0$.  Existiert  zu  jedem $\lambda > 0$  auch  eine  Lösung  dieses Anfangswertproblems mit
\[y(x) = 0 \quad\text{für}\quad x \in [0,\lambda] \quad\text{und}\quad y(x)>0 \quad\text{für}\quad x \in (\lambda,\infty) ?\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 216: Rechte Seite ist Funktion eines lienaren Ausdrucks
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass sich \dgls\ der Form
	\[y'=f(ax+by+c)\]
	durch die Ersetzung $z(x)=ax+by(x)+c$ auf eine \dgl\ mit getrennten Variablen zurückführen lässt.
	\item Berechnen Sie die allgemeine Lösung der \dgl
	\[y'=1-\frac{2}{x-2y+5}.\] 
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 217: \dgl\ der Traktrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die differenzierbaren Kurven $y=y(x)$, $y(x)>0$, deren Tangenten zwischen dem Berührungspunkt mit der Kurve und dem Schnittpunkt mit der $x$-Achse eine konstante Länge $a>0$ haben. Eine solche Kurve heißt auch {\em Ziehkurve} oder {\em Traktrix} und entsteht, wenn man bei geradliniger Bewegung auf der $x$-Achse einen Gegenstand hinter sich herzieht, der zu Beginn der Bewegung nicht auf der Ziehgeraden lag.\\

Diese Aufgabe soll von G.W. Leibniz (1646 - 1716) stammen, der die Bewegung seiner im Punkte $(0,a)$ liegenden silbernen Taschenuhr verfolgte, als er das am andere, im Koordinatenursprung befindliche Ende der Uhrkette entlang der $x$-Achse verschob.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ implizite Dgl }
\subsection{ Auflösung nach x möglich }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 218: Auflösung nach x möglich
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie für die implizite Differentialgleichung
\[(y')^3+y'-x=0\]
das Anfangswertproblem $y(1)=1$ und skizieren Sie die Lösung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Auflösung nach y möglich }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 219: Auflösung nach $y$ möglich
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie für die implizite Differentialgleichung
\[y=x^2\e^{y'}+x\,y'\]
das Anfangswertproblem $y(1)=1$ und skizieren Sie die Lösung.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Clairautsche DGL }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 220: Theorie der Clairautschen \dgls.
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine reelle Funktion $g = g(t)$ sei für $t \in [a, b]$ zweimal stetig differenzierbar
mit $g''(t) \neq 0$. Durch $y = xt + g(t), t \in [a, b]$ wird eine Schar von Geraden im $\R^2$
gegeben.
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie: Es gibt eine ebene Kurve, deren Tangenten Geraden aus dieser Schar sind;
man nennt die Kurve deshalb auch Einhüllende der Geradenschar.
\item Die Differentialgleichung $y = xy'+ g(y')$ heißt eine Clairautsche Differentialgleichung.\\

Zeigen Sie: Die Geradenschar und die Kurve von a) sind Lösungen dieser Differentialgleichung.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 221: Ein Beispiel zur Clairautschen Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man löse die Clairautsche Differentialgleichung
\begin{eqnarray}
y=x\,y' - \sqrt{1+(y')^2}\ !
\end{eqnarray}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 222: Clairautsche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Geben Sie alle Lösungen der Clairautschen \dgl
\[y=x\,y'+\rkl{y'}^2\]
an. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Lagrangesche DGL }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 223: Lagrangesche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie alle Lösungen der \dgl
\begin{equation}
y = 2\,x\,y' - \sqrt{1+(y')^2}
\end{equation}
\ 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 224: Ein Beispiel zur Lagrangeschen Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man löse die Lagrangesche Differentialgleichung
\begin{eqnarray}
y=2x\,y' - \ln{y'}\ !
\end{eqnarray}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Lineare Differentialgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 225: Ein \awp
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das folgende \awp\ für eine lineare \dgl:
\[ y'=\frac{y}{1+x^2} + 2x -1;\quad y(0)=1.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 226: Die \dgl\ des Stromkreises
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die lineare Differentialgleichung für die Stromstärke
$I = I(t)$ in einem Stromkreis bestehend aus einem Ohmschen Widerstand $R$ und einer
Induktivität $L$ lautet:
\[ \frac{dI}{dt} (t) + \frac{R}{L} I(t) = \frac{U(t)}{L}.\]
Dabei ist $U = U(t)$ die angelegte Spannung. 
\begin{enumerate}
	\item Lösen Sie das Anfangswertproblem mit der
Wechselspannung $U(t) = A \sin(\omega t)$ und $I(0) = 0$. 
\item Zeigen Sie, dass die Stromstärke für $ t \to +\infty$ wieder eine Sinusschwingung gleicher Frequenz, aber mit einer Phasenverschiebung
ist und berechnen Sie diese Phasenverschiebung!
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Leben eines {Aufgabe 227: \em Käfers auf dem Gummiband}
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die folgende Aufgabe aus dem Leben eines {\em Käfers auf
dem Gummiband}. Gegeben sei ein beliebig dehnbares Gummiband auf der 
$x$-Achse. Ein Ende des Gummibandes werde bei $x=0$ festgehalten. Das 
freie Ende entfernt sich mit der konstanten Geschwindigkeit $v_1$
vom festen Ende. Zur Zeit $t=0$ habe das Band die Länge $L>0$ und 
zu dieser Zeit beginnt ein Käfer bei $x=0$ mit der konstanten 
Geschwindigkeit $v_2$ relativ zum Band auf diesem entlang zu kriechen.
Errreicht er immer das andere Ende und wenn ja, nach welcher Zeit?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 228: Leitkurve
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die Gleichung 
\[y'+f(x)y=g(x)\]
 ist eine lineare Differentialgleichung 1.\ Ordnung.
Dabei seien die Funktionen $f,g$ stetig für $x\in(a,b)$ und $f(x)\neq 0$.\\
Zeigen Sie: Die Geraden mit den Richtungen, welche das Richtungsfeld 
dieser Differentialgleichung den Punkten einer Geraden $x=x_0,x_0\in(a,b)$
zuordnet, verlaufen durch einen Punkt $P(x_0)\in{\Bbb R}^2$! Die Punkte
$P(x_0), x_0\in(a,b)$ liegen auf der sogenannten {\em Leitkurve}.
Bestimmen Sie die Gleichung der Leitkurve für das folgende Beispiel
\[
y'=\frac{x}{x^2-1}y-\frac{5}{x^2-1}\quad\mbox{für}\quad 1<x<4.
\]
Fertigen Sie eine Zeichnung für das Richtungsfeld und die Leitkurve an, die
die obige Behauptung illustriert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 229: lieare \dgl\ als exakte \dgl\ lösen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie einen Eulerschen Multiplikator für eine lineare
Differentialgleichung
\[y'+f(x)y=g(x)\]
und lösen Sie die zugehörige exakte Differentialgleichung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 230: Verhalten im Unendlichen 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In der linearen Differentialgleichung
\[ y' + f (x)y = g(x)\]
seien die Funktionen $f, g$ für $x \geq 0$ definiert und stetig mit
\[ f (x) \geq \alpha > 0,\quad |g(x)| \leq M\]
mit festen Zahlen $\alpha, M$ . Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item Für jede Lösung der homogenen Differentialgleichung gilt $\lim_{x\to\infty} y(x) = 0$.
	\item Jede Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist für $x \geq 0$ beschränkt.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Theorie }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 231: Autonome Differentialgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine \dgl, 
$$y'=f(y)$$
bei der die rechte Seite nicht explizit von der unabhängigen Variablen $x$ abhängt, heißt autonom.\\

Zeigen Sie:\\
\ben
\item Zu jeder Lösung $y(x)$ einer autonomen \dgl und jedem $a \in \R$ ist die in Richtung der $x$-Achse verschobene Funktion $y_a(x):=y(x+a)$ Lösung dieser \dgl.
\item Existiert
$$ \int\frac{dy}{f(y)},$$
so kann man die Umkehrfunktion der Lösung bestimmen. Geben Sie diese an!
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 232: Eindeutigkeitssatz von Nagumo
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $f : U \to \R$ in einer offenen Umgebung $U$ von $(x_0, y_0) \in \R^2$ stetig und
es gelte:
\[ \abs{f (x, y)  - f (x, \bar{y})} \cdot  \abs{x - x_0} \leq \abs{y  - \bar{y}}\quad \text{für alle } (x, y), (x, \bar{y}) \in U .\]
Zeigen Sie (Eindeutigkeitssatz von Nagumo): Es existiert höchstens eine Lösung des \awp s
\[ y'= f (x, y),\  y (x_0) = y_0\]
in einer Umgebung von $x_0$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 233: Lipschitzbedingung auf Vertikalstreifen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ist die Funktion $f : \R \times \R \to \R$ stetig und erfüllt sie auf jedem Vertikalstreifen
$[ -a, a] \times \R, a > 0$ eine Lipschitzbedingung bezüglich y, wobei die Lipschitzkonstante von $a$
abhängen kann, so besitzt das Anfangswertproblem
\[ y'= f (x, y),\ y (x_0) = y_0\quad (x_0, y_0 \in \R)\]
genau eine auf ganz $\R$ definierte Lösung.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 234: Monotonieprinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien die Funktionen $w = w(x), z = z (x)$ für $x \in [a, b]$ stetig differenzierbar und $w(a) = z (a)$. Ferner sei $f = f (x, y)$ für $x \in [a, b], y \in \R$ definiert. $w$ genüge der
Differentialgleichung
\[ w'(x) = f\rkl{x, w(x)},\quad x \in [a, b],\]
während $z$ der Differentialungleichung
\[ z'(x) > f\rkl{x, z(x)},\quad x \in [a, b],\]
genüge. Zeigen Sie:
\[z (x) > w(x) \quad\text{für}\quad x \in (a, b].\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 235: Polygonzugmethode
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es werde das Anfangswertproblem $y'=f(x,y)$, $y(0)=0$ mit der durch
\[
f(x,y)=y|y|^{-3/4} +x\sin\frac{\pi}{x}
\]
gegebenen stetigen Funktion $f:{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}$ betrachtet
(für $y=0$ werde $y|y|^{-3/4}=0$ und für \ $x=0$ werde $x\sin\frac{\pi}{x}=0$ gesetzt). Sei
$\delta=(n+\frac{1}{2})^{-1}$, $n\in{\mathbb N}$ und
$y_n$ der zugehörige Eulersche Polygonzug mit den Stützstellen
$x_k=k\delta$. Beweisen Sie, daß die Folge $\{y_n\}_{n\geq1}$ dieser
Polygonzüge in keinem Intervall der Form $[0,a]$, $a>0$ gleichmäßig
konvergiert. \\
Hinweis: Zeigen Sie durch Fallunterscheidung $n$ gerade/ungerade
und untere bzw.\ obere Abschätzung, daß die Folge
$\{y_n(x)\}_{n\geq1}$ für kein
$x\in(0,a_0)$, $a_0>0$ hinreichend klein, konvergiert.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 236: Sukzessive Approximation
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie nach der Methode der sukzessiven Approximation die
ersten vier Näherungen für die Lösung des Anfangswertproblems:
\[
y'=y^2+3y-4,\qquad y(0)=-\frac{3}{2}.
\]
 \item Sind alle sukzessiven Approximationen Polynome und wenn ja, von welchem Grad?
 \item Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall um $0$, in dem der Satz von Picard-Lindelöf
die gleichmäßige Konvergenz der sukzessiven Approximationen garantiert.
 \item In welchem Intervall existiert die exakte Lösung? Lässt sich die exakte Lösung in eine
Potenzreihe um $0$ entwickeln? Wenn ja, dann vergleichen Sie die Näherungen mit der
Potenzreihenentwicklung der exakten Lösung.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ n-ter Ordnung }
\section{ Analytische Lösungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 237: Potenzreihenansatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Suchen Sie für die Differentialgleichung $y''+xy=0$ ein
Fundamentalsystem von Lösungen in Gestalt von Potenzreihen und
berechnen Sie dessen Wronskideterminate. Was lässt sich über
die Konvergenz der Reihen aussagen?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ konstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 238: konjugiert komplexe Eigenwerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\[
y^{(4)}-6y^{(3)} + 17 y'' - 28 y' +20 y =0.
\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 239: allgemeine Lösung und Anfangswertproblem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
\[
y''+2y'+y=1-x.
\]
Lösen Sie das zugehörige Anfangswertproblem mit $y(0)=4$,
$y'(0)=1$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ nichtkonstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 240: Eulersche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie die folgenden Eulerschen Differentialgleichungen:\\
a) \qquad $x^3y'''+xy'-y=3x^4$;\\
b) \qquad $x^2y''-7xy'+15y=x$ mit Anfangswerten
$y(1)=y'(1)=0$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 241: Eulersche \dgl
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, dass sich eine sogenannte {\em Eulersche Differentialgleichung}
\[
a_n x^n y^{(n)}+a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_1 x y'+a_0y=0
\]
mit konstanten Koeffizienten $a_0,\ldots,a_n$
im Intervall $(0,\infty)$ durch die Substitution
$x=e^t$ in eine lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten für die Funktion $z=z(t):=y(x(t)$
überführen läßt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 242: Fundamentalsystem bei nichtkonstanten Koeffizienten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für die
Differentialgleichung
\[
(2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0.
\]
Hinweis: Suchen Sie zunächst Lösungen in der Gestalt $y=x^a$!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 243: Fourierentwicklung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die $2\pi$-periodische Lösung der Differentialgleichung
$y''+4y=g(x)$ mit
\[
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle
\frac{x}{\pi} & \mbox{für}\quad 0\leq x\leq\pi,\\
\displaystyle
2-\frac{x}{\pi} & \mbox{für}\quad \pi\leq x\leq 2\pi.
\end{array}\right.
\]
Geben Sie Fourierreihenentwicklung der Lüsung an und zeigen
Sie deren gleichmäßige und absolute Konvergenz.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 244: Reduktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für die
Differentialgleichung
\[
(2x-3x^3)y''+4y'+6xy=0.
\]
Hinweis: Suchen Sie zunächst Lösungen in der Gestalt $y=x^\alpha$!

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 245: Reduktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für die
Differentialgleichung
\[
xy''+2y'-xy=0.
\]
Hinweis: Suchen Sie zunächst Lösungen in der Gestalt $y(x)=x^\alpha\e^x$!


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 246: Partielle Integration
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das Anfangswertproblem:
\[
xy''+(y-1)y'=0,\qquad y(1)=0,\;y'(1)=-2.
\]

Hinweis: Integrieren Sie die linke Seite über das Intervall $[1,x]$ und formen Sie durchpartielle Integration um; man erhält eine Differentialgleichung 1. Ordnung.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 247: Multiplikationstrick
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das \awp
$$ y''=\e^y,\qquad y(0)=0,\ y'(0)=\sqrt{2}. $$

Hinweis: $y'y''=\frac12\left ( {y'}^2\right )', \e^yy'=\left(\e^y\right)'$!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Theorie }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 248: \dgl zu gegebenem Fundamentalsystem bestimmen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
a) Unter welchen Voraussetzungen kann man zu gegebenen Funktionen
$y_i=y_i(x)$, $i=1,\ldots,n$ eine lineare homogene
Differentialgleichung $n$-ter Ordnung bestimmen, für die
$y_1,\ldots,y_n$ ein Fundamentalsystem bilden? \\
b) Diskutieren Sie die Frage von a) für das Beispiel
\[
y_1(x)=\frac{1}{x},\quad y_2(x)=x,\quad y_3(x)=x^2,\quad x>0
\]
und geben Sie gegebenenfalls eine Differentialgleichung an.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 249: Fortsetzbarkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es werde die \dgl $y''=g(y)$ betrachtet. Dabei genüge $g:\R\rightarrow \R$ einer Lipschitzbedingung und es gelte $sg(s)<0$ für $s\neq 0$.\\ 

Zeigen Sie:
\ben
\item Jede Lösung der \dgl ist auf ganz $\R$ fortsetzbar.
\item Gilt $\int_0^s\  g(t)\,dt \rightarrow -\infty$ für $s \rightarrow \pm \infty$, so ist jede Lösung periodisch.
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 250: Höchstens eine Nullstelle
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $y(x)$ eine nichttriviale Lösung der Differentialgleichung $y''+q(x)\,y=0$ im Intervall $[a,b]\subset \R$. Die Funktion $q$ sei stetig und negativ auf $[a,b]$. Zeigen Sie, dass $y$ im Intervall $[a,b]$ höchstens eine Nullstelle hat.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 251: Polynomringeigenschaft von Differentialoperatoren
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Jedem Polynom
$$P(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots a_0$$
wird ein Differentialoperator $P(D)$, $D=d/dx$ mit konstanten
Koeffizienten zugeordnet, der auf Funktionen $u=u(x)$ nach der Vorschrift
$$P(D)u=a_n D^n u+a_{n-1}D^{n-1}u+\ldots a_0 u$$
wirkt. Zeigen Sie die Rechenregel aus der Vorlesung:
$$P_1(D)[P_2(D)u]=P_2(D)[P_1(D)u]=(P_1P_2)(D)u.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 252: Spezielle Lösung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gegeben sei die inhomogene lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
$$y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + . . . + a_0y = f(x)\,\e^{\alpha x}$$
mit konstanten Koeffizienten $a_k \in \R, \alpha \in \R$ und stetiger Funktion $f : (a, b) \rightarrow \R$. Das zugehörige
charakteristische Polynom sei $P(\lambda) = (\lambda - \alpha)^n$, d. h. $\alpha$ ist $n$-fache Nullstelle von $P$.\\
Zeigen Sie: $y_s(x) := u(x)\,\e^{\alpha x}$ ist genau dann eine spezielle Lösung der inhomogen Gleichung, wenn $u^{(n)}(x) = f(x)$ ist.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 253: Taylorscher Lehrsatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien eine stetige Funktion $g=g(x)$ im Intervall $(a,b), x_0 \in (a,b)$ und $y_0, \dots, y_{n-1} \in \R$ gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
$$ y^{(n)}=g(x),\quad y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1,\dots, y{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 254: Unendlich viele Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie: Hat eine Lösung $y = y(x), x \in [a, b]$ einer linearen homogenen
Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit stetigen Koeffizienten im Intervall $[a, b]$ unendlich
viele Nullstellen, so ist $y(x) = 0$ für alle $x \in [a, b]$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Systeme }
\section{ konstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 255: allgemeine Lösung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden inhomogenen 
linearen Differentialgleichungssystems für drei gesuchte Funktionen
$y_1=y_1(x)$, $y_2=y_2(x)$, $y_3=y_3(x)$:
\begin{eqnarray*}
y_1' & = & y_1 -2 y_2 + \cos x, \\
y_2' & = & 2 y_1 - y_3 + \sin x, \\
y_3' & = & 4 y_1 -2 y_2 -y_3.
\end{eqnarray*}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 256: allgemeine Lösung bestimmen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden \dglsyss erster Ordnung für drei gesuchte Funktionen $y_1=y_1(x), y_2=y_2(x), y_3=y_3(x)$
$$\bma{c}y_1'\\y_2'\\y_3'\ema = \bma{ccc}0&0&1\\1&0&1\\8&-3&-1\ema\bma{c}y_1\\y_2\\y_3\ema+\bma{c}0\\-2x\\2x\ema.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 257: einfache und doppelte konjugiert komplexe Nullstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man gebe reelle Fundmentalsysteme für die folgenden beiden \dglsyse\ an.
\[
a) \quad \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
	x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \qquad
b) \quad \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{x}_4 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}	x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \qquad
\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 258: Fundmentalsystem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für das
homogene Differentialgleichungssystem $y'=Ay$ mit der
$(3\times 3)$-Matrix
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
    -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\
    -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\
    -1 & -1 & 3
    \end{array} \right).
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 259: gemeinsame Lösungen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
a) Zeigen Sie: Zwei lineare homogene Differentialgleichungen haben genau 
dann eine nichttriviale gemeinsame Lösung, wenn der Grad des größten 
gemeinsamen Teilers ihrer charakteristischen Polynome $\geq 1$ ist.\\
b) Bestimmen Sie die gemeinsamen Lösungen der Differentialgleichungen
\begin{eqnarray*}
y^{(6)} - y^{(4)} + 2 y^{(2)} -2y & = & 0,\\
y^{(5)}-3y^{(3)}+2y' & = & 0.
\end{eqnarray*}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 260: geomerische VFH < algebraische VFH
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die linear unabhängigen Lösungen des folgenden
Differentialgleichungssystems!
\bdm
\bma{c}\dot{x}(t)\\ \dot{y}(t) \\ \dot{z}(t) \ema = \bma{ccc}
3&1&2\\-1&5&2\\0&0&4 \ema \cdot
\bma{c} x(t) \\ y(t)\\z(t)\ema  
\edm
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 261: Kompartement-Modell 1
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein Tank $K_1$ enthalte 100 Liter Wasser, in dem 5 kg Salz aufgelöst sind, ein
Tank $K_2$ enthalte 300 Liter Wasser, in dem 5 kg Salz aufgelöst sind. Beginnend mit der
Zeit $t_0 = 0$ werden pro Minute ständig 10 Liter Salzlösung von $K_1$ nach $K_2$
und 10 Liter von $K_2$ nach $K_1$ gepumpt und sofort verrührt. Wie groß ist der Salzgehalt $m_i(t)$ in $K_i, i = 1, 2$ zur Zeit 
$t > 0$ ? Auf welchem Niveau stabilisiert sich schließlich der Salzgehalt in $K_i$ ?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 262: nilpotente Koeffizientenmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $A$ eine nilpotente reelle $(n\times n)$-Matrix, 
d.h.\ es gilt $A^l=0$ für ein $l\in{\Bbb N}$.\\

Zeigen Sie: \\
Jede Funktion $y_i$ einer Lösung $y=(y_1,\ldots,y_n)$ des 
Differentialgleichungssystem $y'=Ay$ ist
ein Polynom vom Grad $\leq l-1$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 263: Rang-1-Koeffizientenmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem 
\[
y_i'=\sum_{j=1}^n a_j y_j,\qquad i=1,\ldots,n,\quad a_j=const.
\]
Berechnen Sie die Determinante der zugehörigen Fundamentalmatrix.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 264: Schiefsymmetrische Koeffizientenmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, daß eine reelle $(n × n)$-Matrix $A$ genau dann schiefsymmetrisch
ist (d.h. es gilt $A = -A^\top$), wenn alle Lösungen $y = y(x)$ des homogenen Differentialgleichungssystems
$y' = Ay$ einen konstanten (euklidischen) Betrag haben: $y(x)^\top y(x) = const$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 265: Verhalten im Unendlichen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems
\begin{eqnarray*}
y_1' & = & y_2+y_3,\\
y_2' & = & y_1+y_3,\\
y_3' & = & y_1+y_2.
\end{eqnarray*}
Wie verhalten sich die Lösungen für $x\to\pm\infty$?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Matrixexponentialfunktion }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 266: Anwendung der Rechenregeln
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie
$$\exp \bma{ccc}a & 1 & 1 \\0 & a & 1\\0 & 0 & a\\\ema, a \in \R.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 267: Beispiele für die Matrixexponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die folgenden Werte der Matrizen-Exponentialfunktion:
\[
\mbox{exp}\,\left(\begin{array}{cc}
    3 & 2 \\
    -1 & 1 
    \end{array} \right),\qquad
\mbox{exp}\,\left(\begin{array}{cc}
    x & -y \\
    y &  x 
    \end{array} \right)\quad(x,y\in{\Bbb R}).
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 268: Matrix-Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechne die folgenden Matrizen:
\begin{enumerate}
	\item 
	\[ \e^{xA} \quad\text{für}\quad x \in \R \quad\text{und}\quad A =\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}\]
mit beliebigen Parametern $a, b \in \R$.
\item $ \e^A, \e^B, \e^Ae^B, \e^Be^A$ und $\e^{A+B}$ für 
\[A =\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
\quad\text{und}\quad  B =\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 269: Nilpotenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie: Ist $A$ eine nilpotente, komplexe $(n\times n)$-Matrix
mit $A^{l+1}=0$, $l\in{\mathbb N}$, so gilt:
\[
E-A=\mbox{exp}\,\left(-A-\frac{A^2}{2}-\frac{A^3}{3}-\ldots
-\frac{A^l}{l}\right).
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 270: Positive Matrizen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Genau dann sind die Elemente von $\e^{xA}$ ($A = (a_{ij})$ reelle $(n \times n)$-Matrix) für alle $x \geq 0 $ nichtnegativ, wenn für die Elemente $a_{ij}$ von $A$ gilt: $a_{ij} \geq 0$ für $i \neq j$ .\\
Hinweis: Für hinreichend großes $\alpha \in \R$ sind die Elemente von $A + \alpha E$ alle $\geq 0$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 271: Rechenregeln für die Matrixexponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $A$, $B$ komplexe $(n\times n)$-Matrizen mit $AB=BA$
(d.h.\ die Matrizen sind vertauschbar). Zeige Sie die folgenden
Rechenregeln für die Matrizen-Exponentialfunk\-tion:\\
a)\quad $\e^A\,\e^B=\e^B\,\e^A$, \\
b)\quad $\e^{A+B}=\e^A\,\e^B$.\\
Zusatzaufgabe: Geben Sie Gegenbeispiele zu a), b) an, falls die 
Bedingung der Vertauschbarkeit verletzt ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 272: Umkehrfunktion zur Matrix-Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie eine komplexe $(2\times 2)$-Matrix $C$ mit
\[
\left(\begin{array}{cc}
    1 & 4 \\
    1 & 1 
 \end{array} \right)
=\e^C.
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ nichtkonstante Koeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 273: Zurückführung auf Gleichung 2. Ordnung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei das lineare Differentialgleichungssystem 
\[
Y'=A(x)Y+b(x)\quad\mbox{mit}\quad
A(x)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\ -\frac{2}{x^2} & \frac{2}{x}
\end{array}\right),\;
b(x)=\left(\begin{array}{c} x^4\\x^3
\end{array}\right)\qquad(x>0)
\]
für zwei gesuchte Funktionen $Y=(y_1,y_2)^\top$ gegeben. Bestimmen Sie 
die Lösung mit den Anfangswerten $Y(2)=(1,4)^\top$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 274: konstante Differenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei das Differentialgleichungssystem
\[
y_1'=\frac{y_1}{x}-2\frac{y_2}{x}+1,\qquad
y_2'=\frac{y_1}{x}-2\frac{y_2}{x}+x
\qquad (x>0)
\]
gegeben. Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen für das 
homogene System. Lösen Sie das Anfangswertproblem für das inhomogene
System mit den Anfangswerten $y_1(1)=1$, $y_2(1)=1$.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 275: Lineares DGL-System  und Matrix-Exponentialfunktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die Funktionen $f = f(x), g = g(x)$ seien in einem Intervall $[a, b]$ stetig.
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für das folgende Differentialgleichungssystem:
\bea
y'_1 &=& f(x)y_1 - g(x)y_2,\\
y'_2 &=& g(x)y_1 + f(x)y_2.\\
\eea

Hinweis: Benutze die bereits an anderer Stelle bewiesene Beziehung
$$A=\bma{cc} u&-v\\v&u\ema \Longrightarrow\e^A =  
\bma{cc}
\e^u\,\cos\,v &-\e^u\,\sin\,v \\
\e^u\,\sin\,v& \e^u\,\cos\,v 
\ema$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 276: Spezielle Lösung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie eine spezielle Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems
\[ y'_1 = 2xy_2 + \cos x^2,\quad  y'_2 =  -2xy_1 - \sin x^2 .\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Trajektorien }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 277: Trajektorien - Theorie und Beispiele
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\emph{Orthogonale Trajektorien} einer gegebenen ebenen Kurvenschar sind Kurven,
die die gegebene Schar in jedem Punkt senkrecht schneiden. So sind z. B. die
Äquipotentiallinien orthogonale Trajektorien zu den Feldlinien eines Kraftfeldes. Allgemeiner
sind isogonale Trajektorien Kurven, die die gegebene Schar unter einem festen Winkel $\alpha
\in [0; \pi/2]$ schneiden; i. allg. gibt es jeweils zwei Scharen isogonaler Trajektorien zum
Schnittwinkel $\alpha$.
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie eine Differentialgleichung für die orthgogonalen Trajektorien zu einer
Kurvenschar, die in der impliziten Form $F(x, y, c) = 0,\ c \in \R$ gegeben ist.
\item Bestimmen Sie die isogonalen Trajektorien mit dem Schnittwinkel $\alpha$ zur Geradenschar
$y = cx,\ c \in \R$.
\item Bestimmen Sie die orthogonalen Trajectorien zur Ellipsenschar $x^2 + 2y^2= c^2,\ c \in \R$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Lineare Algebra }
\chapter{ Binomialkoeffizienten }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 278: Primzahltest
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $n \in \N$, $n \ge 2$. Zeigen Sie:

$n$ ist Primzahl genau dann, wenn $n$ Teiler von $\binom{n}{i}$ ist für alle $i=1,\dots,n-1$. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Lineare Gleichungssysteme }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 279: vollsymetrisches System
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $a,b,c \in \Q$ mit $a+b+c \ne 0$. Zeigen Sie, dass das homogene lineare Gleichungssystem
\[\begin{array}{rcrcrcrcrcrc}
a\,x_1 & + & b\,x_2 & + & c\,x_3 &   &      &   &      & = & 0\\
     &   & a\,x_2 & + & b\,x_3 & + & c\,x_4 &   &      & = & 0\\
     &   &      &   & a\,x_3 & + & b\,x_4 & + & c\,x_5 & = & 0\\
c\,x_1 &   &      &   &      & + & a\,x_4 & + & b\,x_5 & = & 0\\
b\,x_1 & + & c\,x_2 &   &      &   &      & + & a\,x_5 & = & 0
\end{array}\]
($x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ Unbestimmte) nur die triviale Nulllösung besitzt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Matrizen }
\section{ Eigenvwerte und -vektoren }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 280: Diagonalisierbarkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Zeigen Sie, dass der durch $T \mathbf{e}_1 = 0,\ T \mathbf{e}_k = \mathbf{e}_{k -1},\ (k = 2,\ldots, n)$, gegebene Operator $T \in \mathcal{L}(\R^n)$ nicht diagonalisierbar ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 281: Transformation auf Diagonalgestalt
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Finden Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 5\\\end{pmatrix}.\]
	\item Bestimmen Sie die Transformationsmatrix, die $A$ in Diagonalgestalt überführt.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 282: Eindeutigkeit der Inversen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $K$ ein Ring mit Einselement und sei $A \in K^{m,n}$, wobei $m,n \in \N^+$. Zeigen Sie:
\begin{description}
\item[a)] Wenn es Matrizen $B, C \in K^{n,m}$ gibt mit $BA = E_n$ und $AC = E_m$, so folgt $B = C$.
\item[b)] Sei $K$ ein Körper und sei $A$ Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems mit Konstantentupel $\mathfrak b \in K^m$. Ist seine Lösungsmenge $L$ nicht leer und gilt $m \le n$, so sind zur Parameterdarstellung von $L$ mindestens $n-m$ Parameter erforderlich.
\item[c)] Sei $K$ ein Körper. Wenn $m \ne n$, so gibt es keine $B, C \in K^{n,m}$ mit $BA = E_n$ und $AC = E_m$.\\
{\footnotesize {\it Bemerkung:} Dies gilt auch, wenn $K$ ein beliebiger kommutativer Ring mit Einselement ist.}
\end{description}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Vektorräume und Moduln }
\section{ K(m,n) }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Biuntermoduln von $K^{Aufgabe 283: m,n}$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $K$ ein Körper und seien $m,n \in \N^+$. Zeigen Sie, dass $K^{m,n}$ nur die trivialen $(K^{m,m},K^{n,n})$-Biuntermoduln besitzt. Insbesondere besitzt $R^{n,n}$ nur die trivialen zweiseitigen Ideale.


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Vektorräume }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 284: Basen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie, dass die Menge $M = \set{1 + x + x^2, 1 + x}$ keine Basis für $\mathcal{P}^2$ ist. Sodann ergänzen Sie $M$ durch Hinzunahme einer der Potenzen $1, x$ oder $x^2$ zu einer Basis für $\mathcal{P}^2$.
	\item Sei $M = \set{1, x^3 - x, x^3+1, x - 1}$ und $U = \spanr{M}$ die lineare Hülle von $M$ im Vektorraum $\mathcal{P}^3$. Wählen Sie eine Basis für $U$ aus $M$ aus.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 285: Dimension
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Man bestimme die Dimension des durch die Vektoren $v_1= (0, 1, 2),
v_2= (1, 1, 1)$,\\ $v_3= (1, 0, 1)$ aufgespannten Unterraumes $U$ des $\R^3$.
\item $U_1, U_2$ seien Unterräume eines Vektorraumes $V$ endlicher Dimension, und es sei\\ $\dim U_1 + \dim U_2 > \dim V$ . Zeigen Sie, dass dann $U_1 \cap U_2 \neq\set{0}$ gilt.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 286: Vektorraum-Eigenschaften
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $V$ ein Vektorraum über $\K$, ( $\K$ ist $\R$ oder $\C$).
\begin{enumerate}
\item Man beweise mit Hilfe der Vektorraumaxiome, dass für alle $u \in V$ und
$\alpha \in \K$,
\[ 0 \cdot u = O,\ (-1) \cdot u =  -u,\ \alpha\cdot O = O.\]
\item Zeigen Sie, dass der Durchschnitt beliebig vieler Unterräume von $V$ wieder
ein Unterraum von $V$ ist.
  \item Seien $v_1,v_2,\ldots,v_n \in V$, $a,b \in \K$, $a \neq 0$ .Zeigen Sie, dass
\[ \spanset{v_1,v_2,\ldots v_n} = \spanset{av_1,v_2,\ldots,v_n} = \spanset{v_1 + bv_2,v_2,\ldots,v_n}. \]
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Lineare Abbildungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 287: Abbildungsmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\mathcal{B} =\set{1, x, x^2}$ die kanonische Basis für den Vektorraum $\mathcal{P}^2$. Zeigen
Sie, dass der Ableitungsoperator $D \equiv \frac{d}{dx}$ auf $\mathcal{P}^2$ bzgl. $\mathcal{B}$ die Matrixdarstellung
\[ M_{\mathcal{B}}(D) =\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 2\\0 & 0 & 0\\\end{pmatrix}\]
hat.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 288: Basistransformation
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien durch $\mathcal{A} = \set{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2}$ und $\mathcal{B} = \set{2\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2, 2\mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_1}$ zwei Basen auf $\R^2$ und eine lineare Abbildung $L \in \mathcal{L}(R^2$) durch die Matrix
\[M_{\mathcal{A}}(L) = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\\end{pmatrix}\]
gegeben. Man berechne nacheinander $S = M^{\mathcal{A}}_{\mathcal{B}}(\mathbf{1}),\ S^{-1}$ und $M_{\mathcal{B}}(L)$..

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 289: Kern und Abildungsmatrix
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $T \in  \mathcal{L}(\mathcal{P}^4, \mathcal{P}^2)$ gegeben durch
\[Tp(x) := p''(x),\quad (p \in \mathcal{P}^4).\]
\begin{enumerate}
	\item Man bestimme den Kern von $T$ .
	\item Seien $\mathcal{A} = \set{1, x, x^2, x^3, x^4}$ und $\mathcal{B} = \set{1, x, x^2}$ die natüurlichen Basen von $\mathcal{P}^4$ bzw. $\mathcal{P}^2$. Bestimmen Sie die Matrix von $T$ bzgl. der Basen $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 290: Surjektivität und Injektivität
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $V , W$ Vektorräume der Dimension $n, (n \in \N)$, und $L : V \to W$
eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
\[L \quad\text{ist bijektiv}\quad  \Leftrightarrow L \quad\text{ist injektiv}\quad \Leftrightarrow L \quad\text{ist surjektiv.}\]
\textbf{Hinweis:} Verwenden Sie die Dimensionsformel und beachten Sie, dass $L$
injektiv ist genau dann wenn Kern $L = \set{0}$ ist.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 291: Lineare Abhängigkeit
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es ist zu untersuchen, welche der folgenden Teilmengen des Vektorraumes
$V$ linear unabhängig, welche linear abhängig sind.
\begin{enumerate}
	\item $\set{1, \e^x, \e^{2x}}, V = C(\R)$.
	\item $\set{1, \cos x, \cos^2x, \cos(2x)}, V = C(\R)$.
	\item $\set{1, x, |x|}, V = C(\R)$.
	\item $\set{1, x, |x|}, V = C([0,\infty))$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 292: Linearkombinationen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Die nachstehend genannten Behauptungen beweise man bzw. widerlege
man durch Angabe eines Gegenbeispiels.
\begin{enumerate}
	\item Ist $\set{v_1, v_2, v_3, v_4}$ ein linear abhängiges Vektorsystem, so ist $v_4$ eine Linearkombination von $\set{v_1, v_2, v_3}$.
	\item Ist $v_4$ eine Linearkombination von $\set{v_1, v_2, v_3}$, so ist $\set{v_1, v_2, v_3, v_4}$ ein linear abhängiges Vektorsystem.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Unterräume }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 293: Unterraumkriterien
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Seien $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \R$ und $U:=\set{x\in \R^n\ |\ \alpha_1x_1+\ldots+\alpha_nx_n=0}$. Zeigen Sie, dass $U$ ein Unterraum des $\R^n$ ist.
\item Wann ist für zwei Unterräume $U_1, U_2$ eines Vektorraumes $V$ über einem Körper $\K$ auch $U_1 \cup U_2$ ein Unterraum von $V$?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 294: Unterraumkriterien
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Man prüfe, ob die Menge $M$ derjenigen Vektoren des $\R^n$, deren erste zwei Koordinaten $x_1, x_2$ die Gleichung $5x_1 - x_2= 2$ erfüllen, ein Unterraum des $\R^n$ ist.
\end{enumerate}
Man untersuche, ob folgende Mengen von Polynomen Unterräume von $\mathcal{P}$ bilden:
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
	\item die Menge $M_1$ aller Polynome, die für $x = 3$ verschwinden;
	\item die Menge $M_2$ aller Polynome $p(x)$ mit $p(1) = 2$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Maß- und Integrationstheorie }
\chapter{ Flächen und Durchfluss }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 295: Ellipsoid
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne Volumen und Oberfläche des Ellipsoids
$$ {\cal E}=\{(x,y,z)\in \Rx{3},\ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 296: Fluss des Coulomb-Feldes
}}\\
% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Fluß eines {\scshape Coulumb}-Feldes
$$ K(x) = \frac{1}{4\pi r^2}\frac{x}{r};\qquad r=\|x\| \neq 0 $$
durch die nach außen orientierte Oberfläche $\partial G$ eines zulässigen Bereiches $G \subset \Rx{3}$, welcher den Ursprung in seinem Inneren enthält.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 297: Fluss durch Zylinderwand
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\vec{w}=(x,y,z)$ durch den Rand des Zylinders vom Radius 1 und der Höhe 1, der symmetrisch zur $z$-Achse auf der $(x,y)$-Ebene steht.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{210pt}
\vspace{5mm}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 298: Kegelspitze
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes\\ 
$S\subset\Rx{3}$ mit \\

$S=\{(x,y,z)|x=z\cos^3\varphi,\,y=z\sin^3\varphi \\
\mbox{ mit }0\leq z\leq 2, 0\leq \varphi\leq 2\pi\}.$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[br]{220pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.8]{aImage015}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 299: Schwerpunkt der oberen Halbsphäre vom Radius R
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne den Schwerpunkt der oberen Halbsphäre $\mathfrak{F}$ vom Radius R
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{210pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 300: Einander durchdringende Zylinder
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Man bestimme denjenigen Teil der Fläche des Zylinders $x^2+z^2=a^2$, der innerhalb des Zylinders $x^2+y^2=a^2$ liegt!\\
\item Man bestimme die Durchflußmenge durch die obere Fläche zum Fluß $\vec{f}=(0,0,1)$!\\
\item Man bestimme die Durchflußmenge durch die Gesamtflächen zum Fluß $\vec{g}=(0,0,z)$ (Quellen auf der $(x,y)$-Ebene)!
\item Man bestimme das Volumen des Gebietes $G$, das innerhalb beider Zylinder liegt.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{220pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.45]{aImage016}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Flächenintegrale im R2 }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 301: Streifen im 1. Quadranten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berchnen Sie das Integral
$$I = \iint_\Omega\,x\,y\,dxdy,$$
wenn $\Omega=\{(x,y)\in \Rx{2}\ |\ x>0,\,y>0,\,1< x+y <2 \}$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Gaußscher Satz im Raum }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{270pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 302: Kugel - Zylinder
}}\\
% Aufgabentext eintragen
Aus einer Kugel vom Radius $2R$ wird ein Zylinder vom Radius $R$ so herausgeschnitten, dass die Längsachse des Zylinders durch den Kugelmittelpunkt geht. Man bestimme das Volumen des Restkörpers $K$ mit den folgenden Methoden:

\begin{enumerate}
	\item klassische Geometrie
	\item Volumenintegral
	\item Satz von Gauß mit einem geeigneten Vektorfeld
	\item Guldinsche Regel (Rotationskörper)
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{160pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage017}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Gaußscher Satz in der Ebene }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{250pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 303: Fläche der Kardioide
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie die von der Kardiode eingeschlossene Fläche und deren Umfang.\\
\vspace{10mm}

Die Kardioide (vgl. Bronstein Kap. 1.3.1.2) ist die Epizykloide (Rollkurve) eines Kreises vom Radius $a$, der um einen Kreis gleichen Radiusses reibungsfrei gerollt wird, d.~h. die Kurve, die ein fester Punkt auf der Peripherie des rollenden Kreises in der Ebene beschreibt.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{180pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.4, keepaspectratio=false, height=210pt, width=180pt]{aImage018}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{240pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 304: Das kartesiche Blatt
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Berechnen Sie den Flächeninhalt des im ersten Quadranten liegenden Teils des kartesischen Blattes.

\tip Das kartesische Blatt ist die Fläche, die von der Kurve 
$$x^3+y^3=3axy$$
und der Geraden
$$x+y=-a$$
eingeschlossen wird.

Um eine Parametrisierung zu erhalten, versuchen Sie den Ansatz $y=t\,x$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{190pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.5]{aImage019}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 305: Flächenberechnung über Kurvenintegrale - die Sektorformel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Leiten Sie aus dem Gaußschen Satz in der Ebene durch Angabe eines speziellen Vektorfeldes eine Formel her, um den Flächeninhalt über ein Kurvenintegral zu berechnen.
\item Berechnen Sie den Flächeninhalt eines sektorförmigen Gebietes, d. h. eines Gebietes, das durch zwei Strahlen aus dem Koordinatenursprung und einer Kurve $r(\varphi)$ begrenzt wird, die den Abstand des Punktes vom Ursprung innerhalb der beide Strahlen angibt. 
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
 \includegraphics[scale=0.7]{aImage020}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Maße }
\section{ messbare Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 306: Messbare Mengen bilden Algebra
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $\mu$ ein (äußeres) Maß auf der Potenzmenge $\mathcal{A}=2^X$ einer Grundmenge $X$. Eine Menge $A \in \mathcal{A}$ heißt messbar gdw.
$$ \mu(B) = \mu(B \cap A) + \mu(B \backslash A) \quad\mbox{für alle}\quad B \in \mathcal{A}.$$

Zeigen Sie:
\ben
\item $\emptyset$ ist messbar.
\item Nullmengen sind messbar.
\item $X$ ist messbar.
\item Ist $A\in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $X \backslash A$ messbar.
\item Sind $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $D:=A_1 \cap A_2$ messbar.
\item Sind $A_1,A_2 \in \mathcal{A}$ messbar, dann ist auch $V:=A_1 \cup A_2$ messbar.
\een 

\underline{Bemerkung:} Aus den Punkten a), d) und e) folgt bereits, dass die messbaren Mengen eine Algebra bilden.\\

\underline{Zusatzaufgabe:} Zeige, dass die messbaren Mengen sogar eine $\sigma$-Algebra bilden, d.~h.:\\

Sind $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A}$ messbar, dann sind auch 
$$ D= \bigcap_{i=1}^\infty\, A_n \quad\mbox{und}\quad V=\bigcup_{i=1}^\infty\, A_n $$
messbar.
 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Nullmengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 307: Fast alle in endlich vielen Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\mu$ ein Maß auf einer $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ über $X$ und $\{A_n\}_{n\geq 1},\ A_n \in \mathcal{A}$ eine Folge meßbarer Mengen mit $\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) < +\infty$. 

Zeigen Sie:

Fast alle $x \in X$ gehören zu höchstens endlich vielen der Mengen $A_n$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Prinzip des Cavalieri - Guldinsche Regel }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 308: Cavalierie-Prinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $B\subset \R^n$ Jordan-messbar und für $x=(x_1,\ldots,x_n)\in B$ sei $a\leq x_n\leq b$.
\[Q(x_n):=\set{x'\in \R^{n-1}\ |\ (x',x_n)\in B}\]
\[q(x_n):=\abs{Q(x_n)}_{n-1}\]
Man zeige:
\[\abs{B}=\int_a^b\,q(x_n)\,dx_n.\]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{210pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 309: Inhalt eines Glases
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Das Innere eines Glases soll die Form eines Rotationsparaboloids $z = x^2 + y^2$ haben.\\
Berechne das Volumen $V$ und die Oberfläche $O$ des Glasinneren\\
mittels
\begin{enumerate}
	\item Guldinscher Regel,
	\item Volumenberechnung durch Integration im $\R^3$.
\end{enumerate}
Welche Höhe $h$ muss das Innere des Glases haben, wenn es 0,5 Liter fassen soll.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{220pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[angle=270, scale=0.34]{aImage021}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


% Aufgabe
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\underline{\textbf{Aufgabe 310: Die n-dimensionale Einheitskugel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme Volumen und Oberfläche der $n$-dimensionalen Kugel vom Radius $r$ mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri!
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.5]{aImage022}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{220pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 311: Volumen und Oberfläche des Torus
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne Volumen $V$ und Oberfläche $O$ des Torus 
\begin{enumerate}
	\item mit dem Cavalieri-Prinzip
	\item direkt durch geeignete Koordinatendarstellung und Transformationsformel.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{210pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.6]{aImage023}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Volumenintegrale im R3 }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{240pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 312: Kugelkoordinaten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man berechne das Volumen des Körpers, der begrenzt wird von der Fläche
$$(x^2+y^2+z^2)^2=axyz.$$
\vfill
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{190pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.5]{aImage024}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{200pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 313: Kegelhalbierung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Ein gerader Kreiskegel mit Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ wird durch einen ebenen Schnitt im Winkel $\alpha$ zur Grundfläche in zwei volumengleiche Teile geteilt. ($\alpha$ sei dabei natürlich echt kleiner als der Mantelwinkel des Kegels, so dass als Schnittfläche eine Ellipse entsteht, deren Rand ganz auf dem Kegelmantel liegt.)\\

Wie groß ist die Schnittfläche und in welcher Höhe schneidet die Schnittebene die Kegelachse?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{230pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.4]{aImage025}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 314: Kugel mit Loch
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In eine Kugel vom Radius $r$ wird ein zylindrisches Loch vom Radius $a$ so gebohrt, dass die Zylinderachse durch den Kugekmittelpunkt geht. Die Höhe des Loches beträgt 1~m.\\

Wie groß ist das Volumen des Restkörpers?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
\includegraphics[scale=0.7]{aImage026}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Mengen }
\chapter{ Kombinatorik }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 315: Grundaufgaben der Kombinatorik
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $M = \set{1,\ldots,m}$ und $N = \set{1,\ldots,n}$ mit natürlichen Zahlen $m,n$.
Bestimmen Sie die Anzahl aller
\begin{enumerate}
	\item eindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$;
	\item eindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$ mit $f(1) \leq f(2) \leq \dots \leq f(m)$;
	\item eineindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$;
	\item eineindeutigen Abbildungen $f : M \mapsto N$ mit $f(1) \leq f(2) \leq \dots \leq f(m)$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Mächtigkeit }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 316: Abzählbarkeit von Teilmengen von $\N$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie: Die Menger aller endlichen Teilmengen von $\N$ ist abzählbar.
Gilt das auch für die Menge aller Teilmengen von $\N$?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Mengenbeziehungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 317: Symmetrische Differenz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Für Mengen $X, Y$ setzen wir $X * Y := (X\cup Y)\setminus (X\cap Y)$ (\underline{symmetrische Differenz} von $X$ und $Y$). Zeigen Sie, dass für Mengen $X, Y, Z$ gilt
\begin{enumerate}
\item $X * Y = Y * X$ ({\it Kommutativität})
\item $X * \emptyset = X$
\item $(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$ {\it Assoziativität})
\end{enumerate}
und bestimmen Sie für eine Menge $A$ alle Mengen $B$ mit $A * B = \emptyset$. 
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Supremum und Infimum }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 318: Beschränktheit von Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Untersuchen Sie, ob die unter a) - c) definierten Mengen $M$ reeller Zahlen
nach oben oder unten beschränkt sind. Wenn ja, dann bestimmen Sie gegebenfalls $\sup M$
und $\inf M$. Existieren dann auch $\max M$ oder $\min M$?
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle{M := \set{x \in \R \ |\ x = 1 - \frac{(-1)^n}{n} , n \in \N}}$,
	\item $\displaystyle{M := \set{x \in \R \ |\ x^2 + 2x + 2 > 5\ x < 0}}$,
	\item $\displaystyle{M := \set{x \in \R \ |\ x = t + \frac{1}{t},\ 0 < t \leq 10,\ t \in \R}}$.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 319: Supreum und Infimum von Mengenkombinationen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $X, Y$ nichtleere, beschränkte Mengen reeller Zahlen und
\[ X + Y := \set{x + y\ |\ x \in X,\ y \in Y},\ X \cdot Y := \set{ xy\ |\ x \in X,\ y \in Y}.\]
\begin{enumerate}
	\item Beweisen Sie:
\[ \sup(X + Y ) = \sup X + \sup Y,\ \inf(X + Y ) = \inf X + \inf Y.\]
Gilt auch stets
\[\sup(X \cdot Y ) = \sup X \cdot \sup Y,\ \inf(X \cdot Y ) = \inf X \cdot \inf Y ?\]
\item Zeigen Sie:
\[\sup (X \cup Y ) = \max \set{\sup X,\ \sup Y},\ \inf (X \cup Y ) = \min \set{\inf X,\ \inf Y}.\]
Ist $X \cap Y \neq \emptyset$, so ist
\[\sup(X \cap Y ) \leq \min\set{\sup X,\ \sup Y},\ \max\set{\inf X,\ \inf Y} \leq \inf(X \cap Y ).\]
Kann hierbei das Kleiner-Zeichen auftreten?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Numerik }
\chapter{ Fehleranalyse }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 320: differentielle Algorithmusanalyse
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Bestimmen Sie die absolute und relative Problemkonditionszahl für die Funktion
$$f(x)=\frac1x-\frac1{x+1}=\frac1{x(x+1)};\quad x>1.$$
\item Beurteilen Sie mit Hilfe der differentiellen (relativen) Stabilitätsanalyse, welcher der beiden möglichen Algorithmen der bessere ist.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Fixpunktiteration }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 321: Fixpunktiteration bei einer Funktion 3. Grades
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Bestimmen Sie numerisch die Nullstellen des kubischen Polynoms $P = P(x)$
mit
\[P(x)= \frac{1}{4}x^3 - x + \frac{1}{5}.\]
Schreiben Sie dazu die Gleichung $P(x)=0$ in Fixpunktform um und überprüfen Sie, ob im Intervall $[0,1]$ die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach erfüllt sind. Starten Sie die sukzessive Iterationsfolge mit $x_0 = \frac{1}{2}$ und berechnen Sie sechs Iterationen, d.~h. $x_1,\ldots,x_6$. 
\item Welche Fehlerabschätzungen liefern die a priori und a posteriori Abschätzungen? 
\item Berechnen Sie die weiteren Nullstellen durch Abspaltung eines Linearfaktors und Lösung einer quadratischen Gleichung. Wie lässt sich der Fehler der weiteren Nullstellen abschätzen?
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Gauss-Algorithmus }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 322: Beispiel zur Pivotisierung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen Sie das Gleichungssystem
$$\bma{ccc}10&-7&0\\-3&2.099&6\\5&-1&5\\\ema\ \bma{c}x_1\\x_2\\x_3\\\ema = \bma{c}7\\3.901\\6\\\ema$$
in fünfstelliger Dezimal-Gleitkomma-Arithmetik
\bit
\item bei einem Rechner, der abschneidet
\item bei einem Rechner, der rundet.
\eit 
\ben
\item Verwenden Sie je einmal den Gauß-Algorithmus
ohne Pivotisierung, mit Spaltenpivotisierung und mit Totalpivotisierung!
\item Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Lösung und erklären Sie die Ursache für auftretende Fehler!
\item Beurteilen Sie die Akzeptanz der Näherungslösungen mit dem Satz von \textsc{Prager/Oettli}!
\item Führen Sie gegebenenfalls eine Nachiteration durch!
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Integration }
\section{ Gauss-Quadratur }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 323: Ein Beispiel zur Gaußquadratur mit 2 Stützstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme in der Arithmetik $\raum{M}_{10,5}$ die beste Quadraturformel über dem Intervall $I=[\pi,2\pi]$ und berechne damit 
$$\int_\pi^{2\pi}\ \sin(x)\,dx.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 324: Ein Beispiel zur Gauß-Quadratur mit 4 Stützstellen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Man bestimme in der Arithmetik $\raum{M}_{10,5}$ die beste Quadraturformel über dem Intervall $I=[0,\pi]$ und berechne damit 
$$\int_0^\pi\ \sin(x)\,dx.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Partielle Differentialgleichungen }
\chapter{ erster Ordnung }
\section{ Charakteristikenmethode }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 325: Anfangswertproblem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Lösen sie das Anfangswertproblem
\bea
	x \nabla u+ \frac{1}{2}| \nabla u|^{2} &=& u(x)\hspace{0,5 cm} \text{für}\hspace{0,5 cm} x \in \mathbb{R}^{n}, \\
	u(x) &=& \frac{1}{2}(1-|x|^2)\hspace{0,5 cm} \text{für}\hspace{0,5 cm} x\in S=\mathbb{R}^{n-1}\times \left\{ 0 \right\} 
\eea
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 326: Charakteristisches System
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Leiten Sie eine explizite Darstellungsformel für die Lösung $u=u(t,x)$ des folgenden Anfangswertproblems her:
\begin{eqnarray*}
u_t + a \cdot \nabla _x u+bu & = & 0 \, \, \, \textrm{in} \,  \left[0,\infty \right) \times \mathbb{R} ^n \\
u(0,\cdot ) & = & g(\cdot ) \,\,\, \textrm{in} \,  \mathbb{R} ^n
\end{eqnarray*}
Hierin sind $a\in \mathbb{R} ^n$ und $b\in \mathbb{R} $ konstant sowie $g:\mathbb{R} ^n \rightarrow \mathbb{R} $ eine gegebene, stetig differenzierbare Funktion.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 327: Charakteristikenmethode
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $E \subset \R^2$ der abgeschlossene Einheitskreis, $f$ eine beliebige, stetig differenzierbare Funktion in E, sowie $a \in \R, a > 0$. Das Randwertproblem
\bea
-a(xu_x + yu_y) + u &=& f \quad\mbox{in}\quad E,\\
u &=& 0 \quad\mbox{auf}\quad  \partial E
\eea
hat dann nach der Charakteristikenmethode eine stetig differenzierbare Lösung $u = u(x, y)$ zumindest in $E \backslash (0, 0)$. 
\ben
\item Zeigen Sie, dass $u$ beschränkt in $E \backslash (0, 0)$ ist. 
\item Läßt sich $u$ stetig in den Nullpunkt fortsetzten? 
\item Unter welchen Bedingungen an $a$ kann $u$ auch stetig
differenzierbar in den Nullpunkt fortgesetzt werden (und wird damit zu einer Lösung des Randwertproblems in ganz $E$)?
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 328: Einhüllende
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item \label{itm:aufg_2.a}
		Es sei $u = u \left( \cdot , a \right)$, $a \in A \subseteq \mathbb{R}$ eine einparametrige Lösungsschar der
		Differentialgleichung
		\begin{equation*}
			F \left( \cdot, u, \nabla u \right)	=	0.
		\end{equation*}
		Ferne existiere die Einhüllende $z = w \left( x \right)$ der einparametrigen Flächenschar $M_{a} = \left\{ \left(
		x, z \right) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \mid z = u \left( x, a \right), a \in A \right\}$ mit einer
		$C^{1}$-Funktion $w$.  Zeigen Sie, dass $w$ wieder eine Lösung der Differentialgleichung ist.  Die Einhüllende heißt
		dann auch \emph{singuläres Integral} der Differentialgleichung.

	\item \label{itm:aufg_2.b}
		Bestimmen Sie das singuläre Integral der Differentialgleichung
		\begin{equation*}
			u^{2} \left( 1 + \left\vert \nabla u \right\vert^{2} \right)	=	1
		\end{equation*}
		aus der Lösungsschar
		\begin{equation*}
			u \left( x, a \right)		=	\pm \left( 1 - \left\vert x - a \right\vert^{2} \right)^{\frac{1}{2}},	\quad	\left\vert x - a \right\vert < 1.
		\end{equation*}
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ Erhaltungsgleichungen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 329: Burgers Gleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Konstruieren Sie eine schwache Lösung für die Burgers Gleichung
$$u_t + \frac12\left(u^2\right)_x = 0,\qquad (t, x) \in (0,\infty) \times \R$$
mit den Anfangswerten
$$u(0, x) = \left\{ \begin{array}{ll}1 & \mbox{für}\quad x \leq 0,\\
1 - x & \mbox{für}\quad 0 \leq x \leq 1,\\
0 & \mbox{für}\quad 1 \leq x.\\ \end{array} \right.$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 330: Randextremwerte
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $u = u(x, y)$ eine stetig differenzierbare Lösung der Differentialgleichung
\begin{equation}
	a(x, y)u_x + b(x, y)u_y = -u
\end{equation}
im abgeschlossenen Einheitskreis $B \subset \Rx{2}$. Es gelte ferner
\begin{equation}
	a(x, y)x + b(x, y)y > 0 \qquad\mbox{für alle}\qquad (x, y) \in \partial B.
\end{equation}
Beweisen Sie, daß $u$ in $B$ identisch verschwindet.\\

\tip Zeigen Sie $\max_B u \leq 0$ und $\min_B u \geq 0$, wobei für die Untersuchung des Verhaltens von $u$ in den Randpunkten die
Bedingung (2) an die Koeffizienten ausgenutzt wird.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Multiindizes }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 331: Polynomische Formel und verallgemeinerte geometrische Reihe
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie als Beispiele zur Anwendung der Multiindexschreibweise die folgenden beiden Identitäten:
\begin{equation}
(x_1+x_2+\hdots+x_n)^m=\sum_{\abs{\alpha}=m} \frac{m!\,x^\alpha}{\alpha !}
\end{equation}
\begin{equation}
\bigl(1-(x_1+x_2+\hdots+x_n)\bigr)^{-1}=\sum_{\abs{\alpha}\geq 0} \frac{\abs{\alpha}!\,x^\alpha}{\alpha !}
\end{equation}
Für welche $x_1,\hdots,x_n$ konvergiert die letzte Reihe absolut?

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Symbol und Klassifizierung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 332: Hauptsymbol
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $P(x,\partial)=\sum_{\alpha\leq m} a_\alpha(x)\partial^\alpha$ ein linearer partieller Differentialoperator $m$-ter Ordnung mit stetigen Koeffizienten, $S_m=S_m(x,\xi)$ sein Hauptsymbol und $\phi=\phi(x)$ eine glatte reellwertige Funktion. Zeigen Sie f\"ur $\abs{\lambda} \rightarrow \infty$ die asymptotische Entwicklung
\begin{equation*}
e^{-i\lambda\phi}P(x,\partial)e^{i\lambda\phi}=\lambda^m S_m(x,\phi_{x_1},\hdots,\phi_{x_n})+ \mathrm O(\lambda^{m-1})
\end{equation*}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ zweiter Ordnung }
\section{ elliptische DGLs }
\subsection{ Laplace-Operator }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 333: Abschätzung harmonischer Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie folgende Variante der Abschätzungen für die Ableitungen einer harmonischen Funktion :\\
Ist u harmonisch in einem Gebiet $G \subseteq \mathbb{R}^n $,\,dann gilt 

\[ \abs{\partial{}^{\alpha}{u(x_0)}}\leq \frac{C_k}{r^{n+k}} \norm{u}_{L^{1}{(B)}} \]

für jede abgeschlossene Kugel $B = B_r(x_0)\,\subseteq G $ und jeden Multiindex $\alpha$ der Ordnung k. \\
Hierbei ist 

\[ \norm{u}_{L^{1}{(B)}}:= \int_{B} \abs{u(x)}\,dx  \]
die Norm von u im Raum $L^{1}(B)$ und
\[    C_0 := \frac{1}{\gamma_{n}} , \,\, C_k := \frac{(2^{n+1}nk)^k}{\gamma_{n}} , \,\,k= 1,2,\cdots \,, \]
wobei $\gamma_{n}$ das Volumen der Einheitskugel im $ \mathbb{R}^n $ bezeichnet.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 334: a-priori-Abschätzung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $B$ die abgeschlossene Einheitskugel im $\R^n$. Zeigen Sie die Existenz
einer nur von $n$ abhängigen Konstanten $C$ , so dass
\[ \max_{x\in B} |u(x)| \leq  C \rkl{\max_{x\in \partial B} |u(x)| + \max_{x\in B} |\Delta u(x)|}\]
für jede Funktion $u \in C^2(B)$ gilt.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 335: Differenzenverfahren 
}}\\

% Aufgabentext eintragen
In der Vorlesung wurde zum Anfangswertproblem
\begin{equation}
	u_t +c\,u_x =0, \quad u(0,x)= f(x)
\end{equation}
mit $c \in \R, f \in C^1(\R)$ das Differenzenverfahren über einem Gitter mit den Maschenweiten $h, k > 0$ und
\begin{equation}
	\frac{v(t+k,x)-v(tx)}{k} + c\frac{v(t,x+h)-v(t,x)}{h} = 0,\qquad v(0, x)= f(x)
\end{equation}
betrachtet. Zeigen Sie für $c< 0$ die Konvergenz. Genauer: Die Differenz $w = u - v$ zwischen der exakten Lösung und der Naherungslösung geht in allen Gitterpunkten aus einer beschränkten Menge des $\R^2_+:=\{(t,x) \in \R^2 |  t \geq 0\}$ gleichmäßig mit $h,k$ gegen Null,falls $c< 0, \lambda:= k/h> 0$ fest bleibt und $\lambda c \leq 1$ gilt.\\
Hinweis:Zeigen Sie zunächst
$$|w(t+k,x)| \leq (1-\lambda|c|)\,|w(t,x)|+\lambda|c|\,|w(t,x+h)|+o(h).$$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 336: Eine spezielle Integraleigenschaft harmonischer Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $u = u(x)$ harmonisch in einem Gebiet $\Omega\subset\Rx{n}$. Ferner seien $0 < a \leq
b \leq c$ reelle Zahlen mit $ac = b^2$ und $x_0 \in \Omega$ mit $B_c(x_0) \subset \Omega$.\\

Zeigen Sie, dass dann gilt:
$$\int_{|\omega|=1}\ u(x_0 + a\,\omega)\,u(x_0 + c\,\omega)\, d\omega = \int_{|\omega|=1}\ u^2(x_0 + b\,\omega)\, d\omega.$$

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 337: elliptische Koordinaten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Rechnen Sie den Laplace-Operator in der Ebene auf sogenannte elliptische
Koordinaten um. Dazu werden Koordinaten $(\eta, \vp)$ im $\R^2$ eingeführt durch
$$x = c\,\cosh \eta\,\cos \vp,\ y = c\,\sinh \eta\, \sin \vp,\ c = const. > 0.$$
Welchen Kurven in der $(x; y)$-Ebene entsprechen den Linien $\eta = const.$ bzw. $\vp = const.$?
\item Sei  $\psi = \psi(x_1, x_2)$ harmonisch und $\tilde{\psi}   = \tilde{\psi} (\eta; \vp)$ entstehe aus $\psi$  durch Umrechnen auf
elliptische Koordinaten, d.h.
$$\psi(x_1, x_2) = \psi (c\,\cosh \eta\, \cos \vp,\ c\, \sinh \eta\, \sin \vp) = \tilde{\psi} (\eta, \vp).$$
Welcher Gleichung genügt dann $\tilde{\psi}$  ?
\item Es sei $G \subset \R^2$ die Ellipse
$$G := \left \{(x_1, x_2) \in \R^2\ \left|\ \frac{x^2_1}{a^2} + \frac{x^2_2}{b^2} < 1\right. \right \}, a, b > 0.$$
Bestimmen Sie unter Benutzung elliptischer Koordinaten eine Lösung $\psi = \psi(x_1, x_2)$ des folgenden äußeren Dirichletproblems:
\bea
\Delta\psi  &=& 0 \quad\mbox{in}\quad \R^2 \backslash G,\\
\psi &=& x_1 \quad\mbox{auf}\quad \partial G,\\
|\psi| &\ & \mbox{beschränkt für}\quad |x| \rightarrow \infty.
\eea
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 338: Anwendung der Greenschen Formel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $u$ in der punktierten Kugel $B_R(x_0):= \set{x \in \R^n\ |\  |x - x_0| <R}$
harmonisch. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item Für $r \in (0,R)$ ist der Wert des Integrals
\[\int_{\partial B_r(x0)}\,\frac{(x - x_0)\cdot \nabla u(x)}{|x - x_0|}\,do_x\]
unabhängig von $r$.
  \item Es ist
	\[\int_{\partial B_r(x_0)}\,u(y)\,do_y = \begin{cases}\frac{c_0}{2-n}r + d_0r^{n-1} & \text{falls } n \geq 3,\\c_0r \ln r +d_0r & \text{falls } n =2\end{cases}\]
	mit Konstanten $c_0, d_0$. Welchen Wert hat $c_0$?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 339: Greensche Funktion für den Halbraum
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Greenschen Funktionen für das Dirichletproblem
für den Halbraum \( H=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ |x_n >0 \} \),

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 340: Grennsche Funktion für die Halbkugel
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Greenschen Funktionen für das Dirichletproblem
für die Halbkugel \( K_R=\{x=(x_1,...,x_n)  \in \mathbb{R}^n\ | |x| < R, x_n >0 \} \).


Hinweise: Machen Sie analog zum Vorgehen bei der Berechnung der Greenschen Funktion für die Kugel jeweils geeignete Ansätze mittels des Spieglungsprinzips. \\[5mm]
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 341: Grundlösungsmethode für die Poisson-Gleichung im $\R^3$
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Wir betrachten im $\R^3$ die Poisson-Gleichung
\[ -\Delta u(x) = f(x) \]
mit
\[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } |x| < 1, \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} .\]
Bestimmen Sie mit der Fundamentallösungsmethode eine Lösung.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 342: Hintereinanderausführung und subharmonische Funktionen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es seien $B$ eine reelle $(n \times n)$-Matrix, $c \in \R,\ Q : \R^n \to \R^n$ mit $Q(x) =Bx + c$ und $u \in C^2(\R^n)$. Zeigen Sie
\[ \Delta (u \circ Q) = (L_0 u) \circ Q,\]
wobei
\[ L_0 := \sum^n_{i,k=1}\,a_{ik}\,\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_k} \]
ist und die $a_{ik}$ die Elemente der Matrix $A := BB^T$ sind. Insbesondere ist also $\Delta(u \circ Q) =
(\Delta u) \circ Q$, wenn $B$ eine orthogonale Matrix ist.
\item Sei $\phi : \R \to  \R$ eine glatte und konvexe Funktion. Ferner sei $u$ harmonisch in einem
Gebiet $G \subseteq \R^n$. Zeigen Sie: Die Funktionen $v := \phi \circ u$ und $w := \abs{\nabla u}^2$
sind subharmonisch.
in G
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 343: Integralabschätzung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ein beschränktes Gebiet, für das der
Gaußsche Satz gilt.

Es sei $u\in C^{2}(\bar{G})$ eine reelle Funktion mit $u=0$ auf
$\partial G$.

Dann gilt für jedes $\epsilon>0$:

\[
2\int_{G}|\nabla u(x)|^{2}dx\leq\epsilon\int_{G}(\triangle u(x))^{2}dx+\frac{1}{\epsilon}\int_{G}u^{2}(x)dx
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 344: Kugelpotential
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $V(x)$ das Newtonsche Volumenpotential einer offenen Kugel $B_R \in \R^3$ vom Radius $R> 0$ um den Nullpunkt mit der Dichte $\rho(x)=|x|^2$ ($|x|$ bezeichnet die euklidische Norm von $x \in \R^3$) im Aufpunkt $x$, d.h.
$$V(x)= \iiint_{B_R} \frac{\rho(y)}{|x-y|}dy.$$

\ben
\item Berechnen Sie $V(x)$ für alle $x \in \R^3$ .
\item Für welche $x \in \R^3$ ist $V = V(x)$ zweimal stetig differenzierbar?
\item Bestätigen Sie durch direktes Nachrechnen mittels a)
$$\Delta V =0 \quad\mbox{in}\quad \R^3 \backslash \overline{B}_R,\quad  \Delta V =-4\pi |x|^2 \quad\mbox{in}\quad B_R$$
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 345: Maximumprinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein  beschränktes, nichtleeres Gebiet.
\begin{enumerate}
	\item Sei $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ , $g:= u|_{\partial\Omega}$ und
	 $-\Delta u(x)+u(x)a(x)=0 $ ($\ast$) für $x\in \Omega$ mit einer positiven Funkion $a$. Zeigen Sie für $x\in   \Omega$:
	\begin{equation*} \tag{$\ast\ast$}
		 \min \set{0,\min g}  \leq u(x) \leq \max \set{0,\max g}   
	\end{equation*}	
 \item Machen Sie sich mir Hilfe der gewöhnlichen Differentialgleichung $-u''+u=0$ klar, dass man in a) nicht $\min g\leq u(x)\leq \max g$ erwarten darf.
\item Sei $u$ in $\Omega$ eine harmonische Funktion, deren Gradient stetig auf $\overline\Omega$ fortsetzbar ist. 
Zeigen Sie, dass mindestens eine Maximalstelle von ${\vert\nabla u\vert}^2$ auf $\partial\Omega$ liegt.
\end{enumerate}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 346: Minimumprinzip
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es sei $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ ein  beschr"anktes, nichtleeres Gebiet, $T \subseteq\overline{\Omega} \text{ und } \Omega\setminus T$ sei offen.\\
Ferner sei $u: \Omega\setminus T \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion mit den folgenden drei Eigenschaften:\\

$\quad$ (1) $u$ ist harmonisch in $\Omega\setminus T$.\\
$\quad$ (2) Für alle $x_0\in\partial\Omega\setminus T$ gilt $u(x) \rightarrow 0$, wenn $x$ in $\Omega\setminus T$ gegen $x_0$ strebt.\\
$\quad$ (3) Es gibt eine harmonische Funktion $w:\Omega\setminus T\rightarrow(0,\infty)$ so, dass für alle $\xi\in T$ gilt: \\
$\qquad\quad$ $\vert u(x)\vert/w(x)\rightarrow 0$, wenn $x$ in $\Omega\setminus T$ gegen $\xi$ strebt.\\

Zeigen Sie, dass dann $u=0$ in $\Omega\setminus T$ ist. 

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 347: Neumann-Funktion
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\ben
\item Die Neumannsche Funktion $N=N(x,y)$ für ein Gebiet $\Omega \subset \Rx{n}$ wird definiert wie die Greensche Funktion für das Dirichlet-Problem mit dem Unterschied, dass die Bedingung $G(x,y)=0$ für $x \in \partial\Omega, y\in \Omega$ ersetzt wird durch $\frac{\partial N}{\partial n}(x,y) = const.$ für $x \in \partial\Omega, y\in \Omega$. Formulieren und beweisen Sie mit Hilfe der 2. Greenschen Formel eine Darstellung für die Lösung des Neumann-Problems mit Hilfe der Neumannschen Funktion. Inwieweit ist die Konstante bestimmt?
\item Lösen Sie das Neumann-Problem für eine Kugel im $\Rx{3}$. Gegeben ist eine Funktion $h: \partial B_R(0) \rightarrow \R$ mit $\int_{\partial B_r(0)}\,h(x)do_x =0$. Gesucht ist eine Darstellung (z.~B. mittels a)) der Lösung $u=u(x)$ von
\bea
\Delta u &=& 0 \quad\mbox{in}\quad B_R(0)\\
\frac{\partial u}{\partial n}&=& h \quad\mbox{in}\quad \partial B_R(0).\\
\eea
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 348: Separation für EW-Problem
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie durch Separation der Variablen die Eigenwerte und Eigenfunktionen
des Rand-Eigenwertproblems im Rechteck $R:=\left[0,a\right]\times\left[0,b\right]\subseteq\mathbb{R},a,b>0$:
\bea
\Delta u &=& -\lambda u \quad\text{in}\quad R\\
u &=& 0 \quad\text{auf}\quad  \partial R
\eea

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 349: Separationsansatz im Kreis
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Wir betrachten das Randwert--Problem für die Laplace--Gleichung {\sl (Dirichlet--Problem) } in einem Gebiet $\Omega $ des
$\mathbb{R} ^2$ für eine Funktion $f\in C(\partial \Omega )$,
\begin{eqnarray*}
{\bf (P)} 
 & & u\in C(\overline{\Omega })\cap C^2 (\Omega ),
 \\
  & & 
\Delta u \equiv u_{xx} + u_{yy} =0 \quad \mbox{in }\ \Omega ,
\\
 & & u=f \mbox{ auf $\partial \Omega $.}
 \end{eqnarray*}  
Lösen Sie {\bf (P)} in der Einheitskreisscheibe 
$B_1 := \{ {\bf x}:\, \Vert {\bf x} \Vert <1 \} $
 für die folgenden Randverteilungen:
\qquad  {\bf (a)} $f_1 (x,y)=1 $,\qquad  {\bf (b)} $f_2 (x,y)= x^3 $.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 350: Temperaturverteilung auf Kugelschale
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine sphärische Schale mit dem inneren Radius 1 und dem äußeren Radius 2
habe eine stationäre (d. h. zeitunabhängige) Temperaturverteilung. Die innere Randfläche
werde auf einer Temperatur von 100°C gehalten, auf dem äußeren Rand gelte $\frac{\partial u}{\partial n}=\gamma$, wobei $n$ die äußere Normale und $\gamma < 0$ konstant ist.
\ben
\item Bestimmen Sie die Temperaturverteilung in der Schale.
\item Kann $\gamma$ so gewählt werden, dass die Temperatur auf dem äußeren Rand 20°C beträgt?
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ hyperbolische DGLs }
\subsection{ Wellengleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{230pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 351: Eingespannte Saite
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Eine homogene, an $x=0,x=l$ eingespannte Saite
habe zum Zeitpunkt  $t=0$ die Form einer Parabel, die bzgl. der in $x=\frac{l}{2}$
erreichten Senkrechten symmetrisch die Höhe $h$ hat.
Suchen die Auslenkung $u=u(t,x)$ eines
Punktes der Saite von der geradlinigen
Gleichgewichtslage unter der Voraussetzung,
dass die Anfangsgeschwindigkeit $=0$ ist.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{200pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
  \includegraphics[scale=0.4]{aImage027}
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 352: Parallelogrammbedingung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Bestimmen Sie die Lösung $u = u(t, x)$ des charakteristischen Anfangswertproblems
für die eindimensionale Wellengleichung
\begin{equation}
	u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0.
\end{equation}
Genauer: Auf zwei sich schneidenden Charakteristiken
$$x + at = \alpha,\ x - at = \beta$$
seien die Werte der gesuchten Funktion $u$ vorgegeben:
$$u(t, \alpha - at) = f(t),\ u(t, \beta + at) = g(t)$$
mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen $f, g$, so dass im Schnittpunkt der Charakteristiken
die Werte übereinstimmen.
\ben
\item Bestimmen Sie die Lösung $u$ in Abhängigkeit von den Funktionen $f$ und $g$.
\item Bestätigen Sie für $u$ die Formel
$$u(t_0, x_0) + u(t_1, x_1) = u(t_2, x_2) + u(t_3, x_3)$$
für jedes "`charakteristische Parallelogramm"', d. h. $(t_0, x_0), (t_1, x_1)$ und $(t_2, x_2), (t_3, x_3)$
sind gegenüberliegende Eckpunkte in einem Parallelogramm, dessen Seiten auf Charakteristiken
der Wellengleichung liegen.
\item Zeigen Sie umgekehrt, dass jede dreimal stetig differenzierbare Funktion $u = u(t, x)$, die
die Eigenschaft b) für alle charakteristischen Parallelogramme besitzt, eine Lösung der
Wellengleichung ist.
\een
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 353: Kugelkoordinaten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Rechnen Sie die Differentialoperatoren
\[
Lu = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} + c (u_{xy} + u_{xz} + u_{yz}),\quad c = \mathrm{const.} \in \mathbb{R}
\]
($x$, $y$, $z$ kartesische Koordinaten im $\mathbb{R}^3$) auf r\"{a}umliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
um.


\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\section{ parabolische DGLs }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 354: Separationsansatz
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Gesucht ist $u=u\left(t,x\right)$, so dass
\[
t\cdot u_{t}=u_{xx}+2u
\]
unter der Randbedingung
\[
u\left(t,0\right)=u\left(t,\pi\right)
\]

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\subsection{ Wärmeleitungsgleichung }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 355: Lösung der Wärmeleitungsgleichung im 1. Quadranten
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $g : [0,\infty) \to \R$ mit $g(0) = 0$. Zeigen Sie, dass
\[u(x, t) =\frac{x}{\sqrt{4\pi}}\,\int^t_0\,\frac{1}{(t - s)^{3/2}}\,\e^{-\frac{x^2}{4(t -s)}}\,g(s)\, ds,\quad  x > 0,\ t > 0\]
eine Lösung des folgenden Rand/Anfangswertproblems für die Wärmeleitungsgleichung
\bea
u_t - u_{xx} &&= 0 \quad\text{in}\ (0, \infty) \times (0,\infty),\\
u(x, 0) &=& 0 \quad\text{für}\ x > 0,\\
u(0, t) = g(t) \quad\text{für}\ t > 0
\eea
liefert. Welche Regularität für $g$ ist ausreichend?\\ 
\underline{Hinweis:} Betrachten Sie $v(x, t) = u(x, t) - g(t)$ und setzten Sie $v$ für negative $x$-Werte geeignet fort.

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 356: spezielle Lösung der Wärmeleitungsgleichung
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Sei $ v = v(z), z>0 $ eine reelle Funktion einer reellen Variablen z und $ u = u(x,t) = v(\frac{x^2}{t}) $ für $ x \in \mathbb{R} , t>0. $ 
\begin{enumerate}
	\item Zeigen Sie: u genügt genau dann der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung
\begin{displaymath} u_t = u_{xx}, \end{displaymath}
wenn
\begin{displaymath} 4zv''(z)+(2+z)v'(z) = 0, z>0. \end{displaymath}
\item Zeigen Sie, daß die allgemeine Lösung der letzten Gleichung für v gegeben wird durch
\begin{displaymath} v(z) = c* \int\limits_0^z\, e^{- \frac{1}{4}s}*s^{- \frac{1}{2}} \,ds + d \end{displaymath}
mit Konstanten c, d. 
\item Differenzieren Sie $ v(\frac{x^2}{t}) $ nach x und bestimmen Sie die Konstante c so, daß der Wärmeleitungskern im \( \mathbb{R}^1 \) entsteht.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\part{ Topologie }
\chapter{ Abgeschlossene Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 357: Abschluss als Durchschnitt abgeschlossener Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Beweisen Sie den folgenden Satz:\\
Für jede Teilmenge $A \subseteq M$ eines metrischen Raumes $(M,d)$ ist
der Abschluss $\bar{A}$ (gleich $A$ vereinigt mit der Menge der Randpunkte) darstellbar als
\[\bar{A} = \bigcap_{B\in \mathfrak{A}}\,B,\quad\text{wobei}\quad \mathfrak{A}=\set{B\ |\ A\subseteq B \subseteq M, B\text{ abgeschlossen}},\]
d.h. $\bar{A}$ ist die kleinste $A$ umfassende und abgeschlossene Menge in $M$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Häufungspunkte }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 358: Stammbruchsumme
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\[
M=\Bigl\{x\in{\mathbb R}\;|\; x= \frac{1}{m}+\frac{1}{n},
n,m\in{\mathbb N}\Bigr\}.
\]
\ben
\item Zeigen Sie, dass $M$ weder offen noch abgeschlossen ist. \\
\item Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von $M$.
\een
Hierbei wird $\R$ als normierter Raum mit dem absoluten Betrag als Norm
betrachtet.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ kompakte Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 359: Durchschnitt kompakter Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Es seien $(M,d)$ ein metrischer Raum und $K_n\subseteq M$,
$n\in{\Bbb N}$ kompakte Teilmengen von $M$ mit
$\bigcap^\infty_{n=1} K_n=\emptyset$. 
\ben
\item Beweisen Sie, dass dann
unter den Mengen $K_n$, $n\in{\Bbb N}$ auch endlich viele Mengen
$K_{n_1},\ldots, K_{n_m}$
existieren mit
\[K_{n_1}\cap K_{n_2}\cap\cdots\cap K_{n_m}=\emptyset.\]
\item Gilt die entsprechende Aussage auch, wenn nur die Abgeschlossenheit und
Beschränktheit der Mengen $K_n$ vorausgesetzt wird?
\een

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Offene Mengen }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 360: Durchnitt mit offenen Mengen
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\begin{enumerate}
	\item Es sei $A$ eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$. 
Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge $B$ von $M$ die Beziehung 
$A\cap \overline{B}\subseteq\overline{A\cap B}$ gilt.\\
\item Geben Sie ein Beispiel zweier Intervalle $A,B$ auf der reellen
Zahlengeraden an, für die die Menge $A\cap \overline{B}$ nicht
in der Menge $\overline{A\cap B}$ enthalten ist.\\
\item Geben Sie auf der reellen Zahlengeraden Beispiele offener Mengen
$A,B$ an, so dass die vier Mengen $A\cap \overline{B}$, $ \overline{A}\cap B$,
$\overline{A\cap B}$ und $ \overline{A}\cap \overline{B}$ sämtlich
voneinander verschieden sind.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Stetigkeit }
\renewcommand{\labelenumii}{\roman{enumii})}
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 361: Stetigkeit und Topologie
}}\\

% Aufgabentext eintragen
Seien $X$ und $Y$ metrische Räume und $f:X\mapsto Y$ eine stetige Abbildung.
\begin{enumerate}
	\item Geben Sie wenigstens drei mögliche Definitionen von Stetigkeit an und beweisen Sie deren Äquivalenz.
	\item Beurteilen Sie den Wahrheitswert folgender Aussagen, indem Sie diese beweisen oder ein Gegenbeispiel angeben.
\begin{enumerate}
	\item Die Bilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.
	\item Die Urbilder beschränkter Mengen unter $f$ sind wieder beschränkt.
	\item Die Bilder offener Mengen unter $f$ sind wieder offen.
	\item Die Urbilder offener Mengen unter $f$ sind wieder offen.
	\item Die Bilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind wieder abgeschlossen.
	\item Die Urbilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind wieder abgeschlossen.
	\item Die Bilder kompakter Mengen unter $f$ sind wieder kompakt.
	\item Die Urbilder kompakter Mengen unter $f$ sind wieder kompakt.
\end{enumerate}
\item Wie ändern sich die Aussagen, wenn $X$ und $Y$ normierte Vektorräume sind und $f$ auch noch linear ist?
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\chapter{ Zusammenhang }
%Vorlage für Aufgabentext
\fbox{
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{430pt}
% Aufgabenüberschrift eintragen
\vspace{5mm}
\underline{\textbf{Aufgabe 362: Beispiel für einen nicht zusammenhängenden topologischen Raum
}}\\

% Aufgabentext eintragen
\textbf{Definition:} Ein topologischer Raum $(X, \tau)$ heißt \emph{zusammenhängend} genau dann, wenn keine offenen, disjunkten, nichtleeren Mengen $U, V \in \tau$ mit $X = U \cup V$ existieren.

$(X, \tau)$ heißt \emph{bogenzusammenhängend} genau dann, wenn für alle $x, y \in X$ eine stetige Abbildung $\omega : [a, b] \subset \R \to X$ mit $\omega(a) = x, \omega(b) = y$ existiert. $\omega$ heißt Weg von $x$ nach $y$.

$A \subset X$ heißt zusammenhängend (bogenzusammenhängend) genau dann, wenn $(A, \tau_A)$ zusammenhängend (bogenzusammenhängend) ist. D.~h. $A \subset X$ ist zusammenhängend, genau dann wenn
es keine offenen Mengen $U, V \subset X$ gibt, so dass
\begin{itemize}
	\item $A \subseteq U \cup V$,
	\item $A \cap (U \cap V ) = \emptyset$,
	\item $A \cap U \neq \emptyset,\ A \cap V \neq \emptyset$. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Sei $\R^2$ mit der Standardtopologie versehen. Betrachten Sie den Teilraum
$$X:= \{ (x,y)\in \R^2 \, |\,  x>0,\,  y=0\} \cup \{ (x,y)\in \R^2 \, |\, x>0, \, y=\frac{1}{x}\}$$
versehen mit der Relativtopologie. Ist $X$ zusammenhängend? Ist $X$ wegzusammenhängend?
\item Zeigen Sie, dass die zusammenhängenden Mengen von $\R$ gerade die Intervalle sind.
\end{enumerate}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{10pt}
% Hier Grafik oder andere Erläuterungen eintragen
%  \includegraphics[scale=0.7]{ }
\end{minipage}
\end{tabular}
}


\end{document}

