Übungsaufgaben-Sammlung

Dr. Stefan Ackermann



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Übungsaufgabensammlung

• Algebra
  • Gruppen und Halbgruppen
    • Kürzbarkeit
  • Körper
    • Körper mit 2 und 3 Elementen
  • Restklassen
    • Division mit Rest I
    • Division mit Rest II
    • Division mit Rest III
  • Ringe
    • C(R)
      • Definition von C(R)
    • Homomorphismen
      • Spurhomomorphismus
    • Ideale
      • Ideale in Z
      • Ideale in Z (II)
    • Matrizenringe
      • kommutativer Unterring
    • Nullteiler
      • Integritätsringe
    • Teilbarkeit
      • ggT und kgV
• Analysis
  • Folgen
    • Funktionenfolgen
      • gleichmäßige Konvergenz
        • Charakteristische Funktion
        • Konvergenzuntersuchung
        • Stetigkeit der Grenzsumme
    • Zahlenfolgen
      • Anwendung der Definition
        • Arithmetisches Mittel
        • Cauchy-Folgen
        • Epsilon-n-0-Abschätzungen
        • k-te Wurzel u. a.
      • Geometirsche Folgen
      • liminf und limsup
        • Definition und Folgerungen
        • Häufungswerte
        • Limesmengen
        • Rechnen mit oberen Grenzwerten
        • Vergleich Wurzel- und Quotientenkriterium
      • Polizistenregel
      • Potenzfunktion versus Exponentialfunktion
      • rekursiv definierte Folgen
        • Eine rekursive definierte komplexe Folge
        • monoton beschränkte
          • Arithmetisches Mittel
          • Beispiel einer nach oben beschränkten Folge
          • fast monotone Folgen
          • Konvergenz rekursiver Folgen
          • monoton wachsende Folge
          • monotone Teilfolgen
          • Quadratwurzel
          • rekursiv mit Einschachtelung
      • Teilfolgen
        • Existenz einer speziellen Teilfolge
        • Häufungswerte
  • Funktionen
    • einer Variablen
      • Differentialrechnung
        • Anwendungen
          • Extremwertaufgaben
            • Ellipsenminimalproblem
            • Kegelvolumen
            • maximaler Blickwinkel
            • optimaler Blickwinkel
            • Sehnenwinkel
          • Fehlerrechnung
            • Bestimmung der dritten Dreiecksseite
          • lHospital
            • Differenzenformel für 2. Ableitung
            • Grenzwertberechnungen
            • Regel von de l'Hospital
            • Winkelapproximation 1
        • Bestimmung der Ableitung
          • Berechnen Sie f'
        • Mittelwertsätze
          • Anwendung des Mittelwertsatzes
          • Anwendung des Satzes von Rolle
          • Ungleichungen aus Mittelwertsatz
            • Bernoulli-Ungleichung
          • Verallgemeinerter Satz von Rolle I
          • Verallgemeinerter Satz von Rolle II
          • Zwischenwertsatz von Darboux
        • Taylorscher Lehrsatz
          • Restgliedabschätzung
          • Taylorentwicklung von exp(-1/x^2)
        • Theorie
          • Differentiation von Determinanten
          • Quotientenregel
          • x^a sin(1/x)
      • Grenzwerte und Stetigkeit
        • Gleichmäßige Stetigkeit
          • Definition und Eigenschaften
          • Gleichmäßige Stetigkeit des Produktes
          • Stetigkeit der Wurzelfunktion
          • Untersuchung und Definition
          • Untersuchungen
        • Singularitäten
          • wesentliche Singularität I
        • Stetigkeitsuntersuchungen
          • beschränktes Wachstum
          • stetig in irrationalen Zahlen I
          • stetig in irrationalen Zahlen II
          • Stetigkeit der Betragsfunktion
          • Stetigkeit der Wurzelfunktion
          • Stetigkeit des Maximums
        • unbestimmte Ausdrücke
          • Binomischer Satz
          • verallgemeinerte dritte binomische Formel
      • Integralrechnung
        • bestimmte Integrale
          • Anwendungen
            • (Bier)ausfluss
            • auslaufende Gefäße
            • Integralabschätzungen
            • Integranden mit Beträgen
            • Rekursive Berechnung
            • Substitutionstrick
          • Cauchy-Integral
            • monotone Funktion
          • einfache Berechnungen
          • Rotationsflächen
            • Inhaltsberechnung
            • Kugeloberfläche
            • Rotationsellipsoid
          • Rotationskörper
            • Höhe eines Rotationsparaboloids
            • Ring
            • verschiedene Rotationen
          • Theorie
            • ausgezeichnete Zerlegungsfolge
            • Konvexe Hülle
            • nicht Riemann-integrierbar, aber Stammfunktion
            • Vereinfachtes Konvergenzkriterium
          • uneigentliche Integrale
            • Existenz
            • Existenz II
            • Uneigentliches Integral
            • Vergleichskriterien
            • Vergleichskriterien II
        • Riemann-Stieltjes-Integral
          • Existenz bei Sprüngen
        • unbestimmte Integrale
          • Partialbruchzerlegung
            • einfache Nullstellen
            • Mehrfache komplexe Nullstellen
            • Mehrfache reelle Nullstellen
            • quadratisch irreduzibler Nenner
            • verschiedene Stamfunktionen
          • Partielle Integration
            • Rekursion für x^n*sin x
          • Stammfunktionen
            • einfache Bestimmungen
          • Substitution
            • Rational in sin und cos
      • Spezielle Funktionen
        • Identitäten
    • mehrerer Variabler
      • Differentialrechnung
        • partielle Ableitungen
          • Anwendungen
            • Differentiation von Parameterintgralen
          • Existenz und Berechnung
            • einfaches Beispiel
            • Totale Ableitung I
            • Totale Ableitung II
            • Totale Ableitung III
            • Totale Ableitung IV
            • Totale und Richtungsableitung
          • Taylorentwicklung
            • sin(x+y)*cos(x*y)*cosh(z)
            • x hoch y
  • Induktion
    • Abschätzungen von n!
    • Abzählbarkeit von Teilmengen
    • allgemeine Binomialkoeffizienten
    • Cosinus-Summe
    • Existenz der n-ten Wurzel
    • Indexverschiebung
    • minimales Element
    • Sinus-Summe
    • Summenformel für Binomialkoeffizienten
    • Verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung
    • von n auf n+2
  • reelle Zahlen
    • p-adische Zahlen
      • a-Brüche
      • Abzählbarkeit von Teilmengen von N
  • Unendliche Reihen
    • Fourierreihen
      • Entwicklung
    • geometrische Reihen
      • Fibonacci-Koeffizienten
      • komplexe geometrische Reihe
      • Potenzen der geometrischen Reihe
      • Volumen und Umfang der Koch-Schneeflocke
    • Großer Umordnungssatz
      • Cauchysche Produktreihe
        • Potenzen der geometrischen Reihe
        • Übungen zur Quadratwurzel
      • Endliche Zeilenreihen
      • Lambert-Reihe
    • konkrete Reihen
      • Binomische Reihe
      • e-Reihe
      • Lambert-Reihe
      • Teleskopreihen
    • Leibniz-Reihen
      • Binomialkoeffizienten
      • ln(n)/n
      • Monotonie erfoderlich
    • Potenzreihen
      • fastharmonische Reihen
      • Identitätssatz
      • Konvergenzradius
        • fehlende Exponenten
        • Formel von Hadamar
        • Formel von Hadamar II
        • Konvergenzradiusbestimmung
        • Potenzfunktion versus Exponentialfunktion
        • Quotientenkriterium versagt
        • Satz von Cauchy-Hadamar
      • Umordnung auf anderen Mittelpunkt
    • Quotientenkriterium
      • Konvergenzuntersuchung
    • Vergleichskriterium
      • Eulersche Zahl
      • gebrochen rationale Summanden
    • weitere Summationsverfahren
      • Partielle Summation
  • Ungleichungen
    • Bernoulli-Ungleichung
      • Bernoulli-Ungleichung
      • rationaler Exponent
    • Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
      • Disjunkte Kreise
      • Gegebene Summe und Quadratsumme
      • Lagrangesche Identität
    • Dreiecksungleichung
      • Abschätzung zusammengesetzter Größen
      • Beispiele
      • Wurzelungleichung
    • Mittelungleichung
      • Zykliches Produkt
    • Rechnen mit Ungleichungen
      • Lösen von Ungleichungen
    • Tschebyscheffsche Ungleichung
      • Tschebyscheffsche Ungleichung
    • weitere Abschätzungen
      • Abschätzung vom Reziproken der Wurzel
• Analytische Geometrie
  • Ebene Probleme
    • Disjunkte Kreise
  • Kegelschnitte
    • Kegelhalbierung
  • Kugelberechnungen
    • Kugel mit Loch
  • Polyeder
    • Ortsvektorsumme im regulären Polyeder
• Funktionalanalysis
  • Metrik und Norm
    • Beschränkte Metrik
    • Französische Eisenbahn-Metrik
    • Matrixnorm
    • Normen im zweidimensionalen Raum
    • reziproke Metrik in N
• Funktionentheorie
  • Gaußsche Integralformel
    • konjugierte Formel
  • Gaußscher Integralsatz
    • Fresnelsche Integrale
  • komplexe Zahlen
    • Rechnen mit komplexen Zahlen
      • Betrag und Argument
      • Beträge u. ä.
      • Geradengleichungen
      • Gleichungen und Ungleichungen
      • Identitäten mit Beträgen
      • komplexe Wurzeln
      • Polynome
      • Unimodularität
      • Vereinfachung
  • Möbiustransformationen
    • Spiegelung am Kreis
      • Kreisring am Einheitskreis
    • Transformation auf Kreisringe
  • Residuensatz
    • Berechnung reeller Integrale
      • uneigentliches Integral mit Cosinus
• Gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Einführende Übungen
    • DGls zu Kurvenscharen
      • DGL zu zweiparametriger Parabelschar
      • Einparametrige Geradenschar
    • Einfache Anfangswertprobleme
      • Anfangs- und Randwertprobleme
      • AWP zu Gleichung n-ter Ordnung
  • erster Ordnung
    • Analytische Lösungen
      • Potenzreihenansatz
    • direkt lösbare Typen
      • Ähnlichkeitsdifferentialgleichung
        • Bahn einer Ente
        • Kreisschar und orthogonale Trajektorien
        • Parabolspiegel
        • rechte Seite ist Funktion eines Quotienten aus Liearausdrücken
      • Bernoullische Differentialgleichung
        • Anfangswertprobleme
        • Transformation auf lineare DGl
        • Transformation auf lineare II
      • Exakte Differentialgleichung
        • Anfangswertproblem
        • Eulerfaktor m(x)
        • Eulerfaktor m(x^2+y^2)
        • Eulerfaktor m(x^a y^b)
        • Lineare als exakte DGL
      • Riccatische Differentialgleichung
        • Doppelverhältnis
        • Normalform -> lineare Differentialgleichung
        • Potenzansatz I
        • Transformation auf Bernoulli-Dgl.
        • Transformation auf DGl zweiter Ordnung
        • Transformation auf Normalform
      • Trennung der Variablen
        • (Bier)ausfluss
        • Kettenlinie
        • Nichteindeutigkeit des AWP
        • rechte Seite ist Funktion eines linearen Ausdrucks
        • Traktrix
    • implizite Dgl
      • Auflösung nach x möglich
        • x=(y')^3+y'
      • Auflösung nach y möglich
        • y=x^2*exp(y')+xy'
      • Clairautsche DGL
        • Theorie
        • unterer Halbkreis
        • y=xy'+(y')^2
      • Lagrangesche DGL
        • y=2 x y' - \sqrt{1+(y')^2
        • y=2*x*y'-ln(y')
    • Lineare Differentialgleichung
      • AWP 1
      • DGL des Stromkreises
      • Käfer auf Gummiband
      • Leitkurve
      • Lineare als exakte DGL
      • Verhalten im Unendlichen
    • Theorie
      • Autonome Differentialgleichung
      • Eindeutigkeitssatz von Nagumo
      • Lipschitzbedingung auf Vertikalstreifen
      • Monotonieprinzip
      • Polygonzugmethode
      • sukzessive Approximation I
  • n-ter Ordnung
    • Analytische Lösungen
      • Potenzreihenansatz
    • konstante Koeffizienten
      • allgemeine Lösung (Ordnung 4)
      • allgemeine Lösung u. AWP
    • nichtkonstante Koeffizienten
      • Bsp. für Eulersche DGL
      • Eulersche Differentialgleichung
      • Fundmentalsystem
      • Periodische Lösung
      • Reduktion
      • Reduktion II
      • xy''+(y-1)y'=0 und AWP
      • y''=exp(y) und AWP
    • Theorie
      • Dgl zu gegeb. Fundamentalsystem
      • Fortsetzbarkeit
      • Höchstens eine Nullstelle
      • Polynomring
      • spezielle Lösung
      • Taylorscher Satz
      • Unendlich viele Nullstellen
  • Systeme
    • konstante Koeffizienten
      • allgemeine Lösung
      • allgemeine Lösung II
      • einfache und doppelte konjugiert komplexe Nullstellen
      • Fundmentalsystem
      • gemeinsame Lösungen
      • geomerische VFH < algebraische VFH
      • Kompartement-Modell 1
      • nilpotente Koeffizientenmatrix
      • Rang-1-Koeffizientenmatrix
      • schiefsymmetrische Matrix
      • Verhalten im Unendlichen
    • Matrixexponentialfunktion
      • Anwendung der Rechenregeln
      • Berechnungen
      • Berechnungen II
      • Nilpotenz
      • Positive Matrizen
      • Rechenregeln
      • Umkehrfunktion
    • nichtkonstante Koeffizienten
      • Gleichung 2. Ordnung
      • konstante Differenz
      • linear DGl mit e-Funktion
      • spezielle Lösung
  • Trajektorien
    • Theorie und Beispiele
• Lineare Algebra
  • Binomialkoeffizienten
    • Primzahltest
  • Lineare Gleichungssysteme
    • vollsymmetrisches System
  • Matrizen
    • Eigenvwerte und -vektoren
      • Diagonalisierbarkeit
      • Transformation auf Diagonalgestalt
    • Eindeutigkeit der Inversen
  • Vektorräume und Moduln
    • K(m,n)
      • Biuntermoduln und Ideale
    • Vektorräume
      • Basen
      • Dimension
      • Eigenschaften von ...
      • Lineare Abbildungen
        • Abbildungsmatrix
        • Basistransformation
        • Kern und Abildungsmatrix
        • Surjektivität und Injektivität
      • Lineare Abhängigkeit
      • Linearkombinationen
      • Unterräume
        • Unterraumkriterien
        • Unterraumkriterien II
• Maß- und Integrationstheorie
  • Flächen und Durchfluss
    • Ellipsoid
    • Fluss des Coulomb-Feldes
    • Fluss durch Zylinderwand
    • Kegelspitze
    • Schwerpunkt der oberen Halbsphäre
    • sich durchdringende Zylinder
  • Flächenintegrale im R2
    • Streifen im 1. Quadranten
  • Gaußscher Satz im Raum
    • Kugel - Zylinder
  • Gaußscher Satz in der Ebene
    • Kardioide
    • Kartesisches Blatt
    • Sektorformel
  • Maße
    • messbare Mengen
      • Algebra messbarer Mengen
    • Nullmengen
      • Fast alle in endlich vielen Mengen
  • Prinzip des Cavalieri - Guldinsche Regel
    • Cavalierie-Prinzip
    • Inhalt eines Glases
    • n-dimensionale Einheitskugel
    • Volumen und Oberfläche des Torus
  • Volumenintegrale im R3
    • Anwendung für Kugelkoordinaten
    • Kegelhalbierung
    • Kugel mit Loch
• Mengen
  • Kombinatorik
    • Grundaufgaben
  • Mächtigkeit
    • Abzählbarkeit von Teilmengen von N
  • Mengenbeziehungen
    • Symmetrische Differenz
  • Supremum und Infimum
    • Bestimmung von Supremum und Infimum
    • Supreum und Infimum von Mengenkombinationen
• Numerik
  • Fehleranalyse
    • differentielle Algorithmusanalyse
    • Produktabschätzung
  • Fixpunktiteration
    • Funktion 3. Grades
  • Gauss-Algorithmus
    • Beispiel zur Pivotisierung
  • Integration
    • Gauss-Quadratur
      • Ein Beispiel mit 2 Stützstellen
      • Ein Beispiel mit 4 Stützstellen
• Partielle Differentialgleichungen
  • erster Ordnung
    • Charakteristikenmethode
      • Anfangswertproblem I
      • Charakteristisches System
      • radiale Charakteristiken
    • Einhüllende
    • Erhaltungsgleichungen
      • Burgers Gleichung
    • Randextremwerte
  • Multiindizes
    • Polynomische Formel
  • Symbol und Klassifizierung
    • Hauptsymbol
  • zweiter Ordnung
    • elliptische DGLs
      • Laplace-Operator
        • Abschätzung harmonischer Funktionen
        • a-priori-Abschätzung
        • Differenzenverfahren
        • Eine Integraleigenschaft
        • elliptische Koordinaten
        • Greensche Formel
        • Greensche Funktion für den Halbraum
        • Greensche Funktion für die Halbkugel
        • Grundlösungsmethode für Poisson-Gleichung im R^3
        • Hintereinanderausführung und subharmonische Funktionen
        • Integralabschätzung
        • Kugelpotential
        • Maximumprinzip
        • Minimumprinzip
        • Neumann-Funktion
        • Separation für EW-Problem
        • Separationsansatz im Kreis
        • Temperaturverteilung auf Kugelschale
    • hyperbolische DGLs
      • Wellengleichung
        • eingespannte Saite
        • Parallelogrammbedingung
    • Kugelkoordinaten
    • parabolische DGLs
      • Separationsansatz
      • Wärmeleitungsgleichung
        • Lösung im 1. Quadranten
        • spezielle Lösung
• Topologie
  • Abgeschlossene Mengen
    • Abschluss als Durchschnitt
  • Häufungspunkte
    • Stammbruchsumme
  • kompakte Mengen
    • Durchschnitt kompakter Mengen
  • Offene Mengen
    • Durchnitt mit offenen Mengen
  • Stetigkeit
    • Stetigkeit und Topologie
  • Zusammenhang
    • nicht zusammenhängender topologischer Raum